Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012 và 2013

SƠ
̉
GIA
́
O DU
̣
C VA
̀
ĐA
̀
O TA
̣
O K THI CHN ĐI TUYN HC SINH GII
THNH PH H CH MINH LP 12 THPT NĂM HO
̣
C 2012-2013
MÔN THI: TON
Ngy thi: 18 - 10 - 2012
Đ CHNH THC
Thơ
̀
i gian la
̀
m ba
̀
i: 180 pht.



Bài 1. (4 điểm)

Giải hệ phương trình
3 2 3
1
4 12 9 6 7
xy x y
x x x y y
  


     




Bài 2. (4 điểm)
Cho dãy số
()
n
u
xác định bởi
1
*
1
1
2
34
,
21
n
n

n
u
u
u n N
u








  




Chứng minh dãy số
()
n
u
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.


Bài 3. (4 điểm)
Cho
,,x y z
là các số dương

thỏa mãn
1 1 1
1
x y z
  
. Chứng minh:
x yz y zx z xy xyz x y z        


Bài 4. (4 điểm)
Cho tam giác nhọn
ABC
với các đường cao
,AH BK
nội tiếp đường tròn (O). Gọi
M
là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) sao cho các đường
thẳng
AM
và
BK
cắt nhau tại
E
; các đường thẳng
BM
và
AH
cắt nhau tại
F
.

Chứng minh rằng khi
M
di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) thì trung điểm
của đoạn
EF
luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Bài 5. (4 điểm)
Tìm tất cả các đa thức
()Px
hệ số thực thỏa mãn :
2
( ). ( 3) ( ), P x P x P x x   



HẾT