BÀI TẬP ĐIỆN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (667.18 KB, 117 trang )
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Điện học
Chơng 1: Trờng tĩnh điện
1-1. Tìm lực hút giữa hạt nhân và electron trong nguyên tử Hyđrô. Biết rằng bán kính
nguyên tử Hyđrô là 0,5.10
-8
cm, điện tích của electron e = -1,6.10
-19
C.
Giải:
Sử dụng công thức lực tơng tác giữa hai điện tích của định luật Culông (với điện tích của
electron và hạt nhân hyđrô q
e
= - q
p
= -1,6.10
-19
C, khoảng cách r = 0,5.10
-10
m):
N10.23,9
)10.5,0(
)10.6,1.(10.9
r
qqk
F
8
210
2199
2
21
==
1-2. Lực đẩy tĩnh điện giữa hai proton sẽ lớn hơn lực hấp dẫn giữa chúng bao nhiêu lần,
cho biết điện tích của proton là 1,6.10
-19
C, khối lợng của nó bằng 1,67.10
-27
kg.
Giải:
Theo công thức của định luật Culông và định luật vạn vật hấp dẫn, ta có:
2
2
2
2
2
1
r
Gm
Fvà;
r
kq
F ==
)lần(10.25,1
)10.67,1.(10.67,6
)10.6,1.(10.9
Gm
kq
F
F
36
22711
2199
2
2
2
1
==
1-3. Hai quả cầu đặt trong chân không có cùng bán kính và cùng khối lợng đợc treo ở
hai đầu sợi dây sao cho mặt ngoài của chúng tiếp xúc với nhau. Sau khi truyền cho
các quả cầu một điện tích q
0
= 4.10
-7
C, chúng đẩy nhau và góc giữa hai sợi dây bây
giờ bằng 60
0
. Tính khối lợng của các quả cầu nếu khoảng cách từ điểm treo đến tâm
quả cầu bằng l = 20 cm.
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Giải:
Do các quả cầu là giống nhau nên điện tích mỗi quả cầu nhận đợc là:
C10.2
2
q
7
0
21
===
Hai quả cầu cân bằng khi:
0TFP
d
=++
Khi đó, dễ dàng nhận thấy:
P
F
tg
d
=
với P = mg và
( )
2
2
0
2
21
sin.24
l
kq
r
qkq
F
d
==
tgl
kq
tgl
q
P
Pl
q
tg
.sin.16.sin64.sin16.4
22
2
0
22
0
2
0
22
0
2
0
==
=
Thay số:
( )
( ) ( )
)(157,0
30.30sin.2,0.16
10.4.10.9.1
0022
2
79
N
tg
P ==
)(16)(016,0
81,9
157,0
gkg
g
P
m
====
1-4. Tính khối lợng riêng của chất làm quả cầu trong bài 1-3. Biết rằng khi nhúng các quả
cầu này vào dầu hỏa, góc giữa hai sợi dây bây giờ chỉ bằng 54
0
( = 2 đối với dầu
hỏa).
Giải:
F
đ
T
P
2
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Từ kết quả bài 1-3, ta đ có đối với quả cầu đặt trong không khí thì:
11
22
01
2
0
.sin64
tgl
q
P
=
(1)
Khi nhúng các quả cầu vào dầu hoả, mỗi quả cầu sẽ chịu thêm tác dụng của lực đẩy
Acsimét P
1
hớng ngợc chiều với trọng lực. Do đó, bằng tính toán tơng tự bài trên, ta thu
đợc:
22
22
02
2
0
1
.sin64
tgl
q
PP
=
(2)
Mặt khác:
VgPVgmgP
01
;
===
(3)
Từ (1), (2) và (3), ta có:
0
22
2
2
11
2
11
.sin
.sin
==
tg
tg
P
PP
)(tg.sin.tg.sin
022
2
211
2
1
=
11
2
122
2
2
22
2
2
0
tg.sin.tg.sin.
tg.sin.
.
=
Thay số với:
)/(800;27;30;2;1
3
0
0
2
0
121
mkg=====
)/(2550800.
30.30sin27.27sin
27.27sin
3
002002
002
mkg
tgtg
tg
=
2.
2.
=
1-5. Hai quả cầu mang điện có bán kính và khối lợng bằng nhau đợc treo ở hai đầu sợi
dây có chiều dài bằng nhau. Ngời ta nhúng chúng vào một chất điện môi (dầu) có
khối lợng riêng
1
và hằng số điện môi . Hỏi khối lợng riêng của quả cầu () phải
bằng bao nhiêu để góc giữa các sợi dây trong không khí và trong điện môi là nh
nhau.
Giải:
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Sử dụng các tính toán đ làm ở bài 1-4, và thay
1,,
1210
===
, ta có:
22
2
1
2
1
11
2
22
2
22
2
1
.sin
.sin.sin.sin.
.sin.
.
tg
tgtgtg
tg
=
=
Với điều kiện góc lệch giữa các sợi dây trong không khí và chất điện môi là nh nhau hay:
22
2
11
2
21
.sin.sin
tgtg =
=
biểu thức trên trở thành:
1
1
=
1-6. Một electron điện tích e, khối lợng m chuyển động đều trên một quỹ đạo tròn bán
kính r quanh hạt nhân nguyên tử Hyđrô. Xác định vận tốc chuyển động của electron
trên quỹ đạo. Cho e = -1,6.10
-19
C, m = 9,1.10
-28
kg, khoảng cách trung bình từ electron
đến hạt nhân là r = 10
-8
cm.
Giải:
Êlêctrôn chuyển động xung quanh hạt nhân theo quỹ đạo tròn dới tác dụng của lực hớng
tâm chính là lực Culông.
Coulombht
FF =
2
0
22
r4
e
r
v
m
=
mr4
e
r4.m
e.r
v
0
2
2
0
2
2
==
mr2
e
mr4
e
v
0
0
2
==
Thay số, ta có:
)/(10.6,1
10.10.1,9.10.86,8.1.2
10.6,1
6
103112
19
smv ==
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
1-7. Tại các đỉnh A, B, C của một hình tam giác ngời ta lần lợt đặt các điện tích điểm: q
1
= 3.10
-8
C; q
2
= 5.10
-8
C; q
3
= -10.10
-8
C. Xác định lực tác dụng tổng hợp lên điện tích
đặt tại A. Cho biết AC = 3cm, AB = 4cm, BC = 5cm. Các điện tích đều đặt trong
không khí.
Giải:
Ta có:
+ Lực
1
F
của q
2
tác dụng lên q
1
:
)(10.4,8
)10.4.(10.86,8.1.4
10.5.10.3
4
3
2212
88
2
0
21
1
N
r
F
AB
===
+ Lực
2
F
của q
3
tác dụng lên q
1
:
)(10.30
)10.3.(10.86,8.1.4
10.10.10.3
4
3
2212
88
2
0
31
2
N
r
F
AC
===
+ Dễ dàng nhận thấy:
222
ACABBC +=
Vậy, tam giác ABC vuông tại A. Khi đó:
- Lực
F
có phơng hợp với cạnh AC một góc xác định bởi:
'421528,0
10.30
10.4,8
0
3
3
2
1
=
==
F
F
tg
- Chiều của
F
nh hình vẽ.
- Độ lớn của lực đợc tính bằng:
A
B
C
F
2
F
1
F
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
)(10.11,3)10.30()10.4,8(
223232
2
2
1
NFFF
=+=+=
1-8. Có hai điện tích bằng nhau và trái dấu. Chứng minh rằng tại mọi điểm cách đều hai
điện tích đó, phơng của lực tác dụng lên điện tích thử q
0
song song với đờng thẳng
nối hai điện tích đó.
Giải:
Gọi là đờng trung trực của đoạn thẳng AB nối hai điện tích q
1
và q
2
bằng nhau và trái
dấu. Xét điện tích thử q
0
(cùng dấu với điện tích đặt tại B) đặt tại C nằm trên . Ta có:
2
2
0
02
2
0
01
1
)(4)(4
F
AC
CB
F ===
Xét thành phần của tổng hợp lực
F
dọc theo :
0cos)(coscos
2121
===
FFFFF
Vậy,
F
chỉ có thành phần hớng theo phơng vuông góc với , hay
F
song song với
đờng thẳng nối hai điện tích q
1
và q
2
.
2
0
3
01
2
0
01
21
sin2
sin2
sin
4
2
sinsin
AB
AB
l
l
FFF
=
=+=
1-9. Tìm lực tác dụng lên một điện tích điểm q = (5/3).10
-9
C đặt ở tâm nửa vòng xuyến bán
kính r
0
= 5cm. tích điện đều với điện tích Q = 3.10
-7
C (đặt trong chân không).
F
1
F
2
F
A B
C
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Giải:
Ta chia nửa vòng xuyến thành những phần tử dl mang điện
tích dQ. Chúng tác dụng lên điện tích q lực dF. áp dụng nguyên
lý chồng chất lực, ta có:
==
cos;sin dFFdFF
yx
(nửa vòng xuyến) (nửa vòng xuyến)
Ta có:
2
00
4
.
r
qdQ
dF
=
với
drdldl
r
Q
dQ .;
0
0
==
d
r
dF
2
00
2
4
=
Do tính đối xứng, ta thấy ngay F
y
= 0, nên
2
00
2
2
2
2
00
2
2
.cos
4 r
d
r
FF
x
===
Thay số:
)(10.14,1
)10.5.(10.86,8.1..2
10).3/5.(10.3
3
22122
97
NF
==
1-10. Có hai điện tích điểm q
1
= 8.10
-8
C và q
2
= -3.10
-8
C đặt cách nhau một khoảng d =
10cm trong không khí (hình 1-1). Tính:
1. Cờng độ điện trờng gây bởi các điện tích đó tại các điểm A, B, C. Cho biết:
MN = d = 10cm, MA = 4cm, MB = 5cm, MC = 9cm,
NC = 7cm.
2. Lực tác dụng lên điện tích q = -5.10
-10
C đặt tại C.
x
y
q
dF
x
dF
r
o
dl
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Giải:
1. áp dụng nguyên lý chồng chất điện trờng:
+ Điện trờng do q
1
và q
2
gây ra tại A cùng phơng cùng chiều:
2
0
2
2
0
1
)(4)(4
21
AN
q
AM
q
EEE
AAA
+=+=
)/(10.5,52
)10.6(
10.3
)10.4(
10.8
10.86,8.1.4
1
4
22
8
22
8
12
mV
E
A
=
+=
+ Điện trờng do q
1
và q
2
gây ra tại B cùng phơng ngợc chiều:
2
0
2
2
0
1
)(4)(4
21
BN
q
BM
q
EEE
BBB
==
)/(10.6,27
)10.15(
10.3
)10.5(
10.8
10.86,8.1.4
1
4
22
8
22
8
12
mVE
B
=
=
+ Phơng, chiều của E
A
và E
B
đợc xác định nh trên hình vẽ.
Dùng định lý hàm số cos, ta thu đợc:
C
q
1
B
A N
M
q
2
Hình 1-1
C
q
1
B
A N
M
q
2
E
B
E
A
E
C
E
C1
E
C2
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
cos2
2121
22
CCCCC
EEEEE +=
Ta cũng có:
23,0
7.9.2
1079
.2
coscos..2
222222
222
=
+
=
+
=+=
NCMC
MNNCMC
NCMCNCMCMN
)m/V(10.87,8
)10.9.(10.86,8.4
10.8
)CM(4
q
E
4
2212
8
2
0
1
C
1
===
)m/V(10.50,5
)10.7.(10.86,8.4
10.3
)CN(4
q
E
4
2212
8
2
0
2
C
2
===
Vậy:
)/(10.34,923,0.10.50,5.10.87,8.2)10.50,5()10.87,8(
4442424
mVE
C
=+=
Để xác định phơng của E
C
, ta xác định góc là góc giữa E
C
và CN theo định lý hàm số sin:
C
C
C
C
E
sinE
sin
sin
E
sin
E
11
==
'096792,0
10.34,9
)23,0(1.10.87,8
sin
0
4
24
==
=
2. Ta có:
)(10.467,010.34,9.10.5.
4410
NEqF
CC
===
Chiều của lực F
C
ngợc với chiều của điện trờng E
C
trên hình vẽ.
1-11. Cho hai điện tích q và 2q đặt cách nhau 10 cm. Hỏi tại điểm nào trên đờng nối hai
điện tích ấy điện trờng triệt tiêu.
Giải:
Trên đờng nối hai điện tích, điện trờng do chúng gây ra luôn cùng phơng ngợc chiều
nên ta có:
===
2
2
2
1
0
2
20
2
10
21
21
4
4
2
4 rr
q
r
q
r
q
EEE
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Giả sử tại điểm M cách điện tích q một khoảng r, điện trờng triệt tiêu. Điểm M cách điện
tích 2q một khoảng là (l-r) với l là khoảng cách giữa q và 2q.
0
)rl(
2
r
1
4
q
E
22
0
=
=
22
22
r2)rl(0
)rl(
2
r
1
==
r2rl =
)cm(14,4
21
10
21
l
r
+
=
+
=
Vậy, điện trờng giữa hai điện tích q và 2q triệt tiêu tại điểm M nằm trên đờng nối hai
điện tích tại vị trí cách điện tích q là 4,14 (cm).
1-12. Xác định cờng độ điện trờng ở tâm một lục giác đều cạnh a, biết rằng ở sáu đỉnh
của nó có đặt:
1. 6 điện tích bằng nhau và cùng dấu.
2. 3 điện tích âm và 3 điện tích dơng về trị số đều bằng nhau.
Giải:
1. Nếu ta đặt tại sáu đỉnh của lục giác đều các điện tích bằng nhau và cùng dấu, thì các cặp
điện tích ở các đỉnh đối diện sẽ tạo ra tại tâm các điện trờng bằng nhau nhng ngợc chiều,
nên chúng triệt tiêu lẫn nhau. Do vậy, điện trờng tổng cộng tại tâm lục giác bằng không.
E
0
= 0 (do tính đối xứng)
2. Để đặt ba điện tích dơng và ba điện tích âm cùng độ lớn vào sáu đỉnh của lục giác đều,
ta có ba cách xếp nh sau:
a) Các điện tích âm và dơng đợc đặt xen kẽ với nhau:
Ta nhận thấy: các cặp điện trờng (E
1
, E
4
), (E
2
, E
5
) và (E
3
, E
6
) cùng phơng cùng chiều và
các điện trờng có cùng độ lớn.
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Các cặp điện tích 1-4, 2-5 và 3-6 tạo ra các điện trờng
bằng nhau và hợp với nhau các góc bằng 120
0
(Hình vẽ).
Do tính đối xứng nên điện trờng tổng hợp có giá trị bằng
0.
b) Các điện tích dơng và âm đặt liên tiếp:
Các cặp điện tích 1-4, 2-5 và 3-6 tạo ra các điện trờng bằng
nhau nh hình vẽ:
2
0
2
0
1362514
24
22
a
q
a
q
EEEE
=====
Ta có thể dễ dàng tính đợc: điện trờng tổng cộng E hớng
theo phơng của điện trờng E
14
và có độ lớn bằng:
2
0
14
2
a
q
EE
==
c) Các điện tích đặt nh trên hình bên:
Hai cặp điện tích cùng dấu đặt tại các đỉnh đối diện tạo ra tại
O các điện trờng có cùng độ lớn nhng ngợc chiều. Do đó,
điện trờng do hai cặp điện tích 2-5 và 3-6 tạo ra tại O là bằng không. Vậy, điện trờng tại O
bằng điện trờng do cặp điện tích 1-4 tạo ra tại O:
2
0
14
2 a
q
EE
==
1-13. Trên hình 1-2, AA là một mặt phẳng vô hạn tích điện đều với mật độ điện mặt =
4.10
-9
C/cm
2
và B là một quả cầu tích điện cùng dấu với điện tích trên mặt phẳng. Khối
lợng của quả cầu bằng m = 1g, điện tích của nó bằng q = 10
-9
C. Hỏi sợi dây treo quả
cầu lệch đi một góc bằng bao nhiêu so với phơng thẳng đứng.
120
0
E
14
E
25
E
36
1
6
5
4
3
2
O
E
14
E
25
E
36
1
6
5
4
3
2
O
E
14
1
6
5
4
3
2
O
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Giải:
Tại vị trí cân bằng:
0=++ PFT
Trong đó:
0
2
;
q
EqFmgP ===
Từ hình vẽ ta thấy:
2309,0
81,9.10.10.86,8.1.2
10.10.4
2
312
95
0
====
mg
q
P
F
tg
0
13
=
1-14. Một đĩa tròn bán kính a = 8cm tích điện đều với mật độ điện mặt = 10
-8
C/m
2
.
1. Xác định cờng độ điện trờng tại một điểm trên trục của đĩa và cách tâm đĩa một đoạn
b = 6cm.
2. Chứng minh rằng nếu b 0 thì biểu thức thu đợc sẽ chuyển thành biểu thức tính
cờng độ điện trờng gây bởi một mặt phẳng vô hạn mang điện đều.
A
F
A
R P
T
A
B
A
Hình 1-2
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
3. Chứng minh rằng nếu b a thì biểu thức thu đợc chuyển thành biểu thức tính cờng
độ điện trờng gây bởi một điện tích điểm.
Giải:
1. Chia đĩa thành từng dải vành khăn có bề rộng dr. Xét dải vành khăn có bán kính r (r<a).
Vành khăn có điện tích tổng cộng:
drrdQ
.2.
=
Chia vành khăn thành các điện tích điểm dq. Chúng gây ra điện trờng
Ed
tại A. Theo
định lý chồng chất điện trờng, điện trờng tại A bằng tổng tất cả các giá trị
Ed
đó.
Điện trờng
Ed
có thể phân thành hai thành phần
1
Ed
và
2
Ed
. Do tính đối xứng nên tổng
các thành phần
1
Ed
bằng không. Vậy:
==
cos
2
dEdEdE
r
, với là góc giữa
Ed
và OA
( )
( ) ( )
2/3
22
0
2/3
22
0
22
22
0
2
..
.
4
.
4
br
drrb
dQ
br
b
br
b
br
dq
dE
r
+
=
+
=
+
+
=
Điện trờng do cả đĩa gây ra tại A là:
( )
+
=
+
=
+
==
22
0
22
0
0
2/3
22
0
/1
1
1
2
0
1
2
.
2
ba
a
br
b
br
drrb
dEE
a
r
r
b
dE
1
dE
2
dE
dq
A
O
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
( ) ( )
( )
m/V226
10.6/10.81
1
1
10.86,8.2
10
E
2
2
2
2
12
8
+
=
2. Nếu cho b 0, ta có:
0
22
0
0
2
/1
1
1
2
lim
=
+
=
ba
E
b
Điện trờng khi b 0 có biểu thức giống với điện trờng do mặt phẳng tích điện đều gây ra.
3. Nếu b a, áp dụng công thức gần đúng:
2
2
22
2
1
/1
1
b
a
ba
+
Vậy:
2
0
2
0
2
2
0
2
2
2
0
44
).(
4
.
2
11
2 b
q
b
a
b
a
b
a
E
===
=
Điện trờng khi b a có biểu thức giống với điện trờng do một điện tích điểm gây ra.
1-15. Một mặt hình bán cầu tích điện đều, mật độ điện mặt = 10
-9
C/m
2
. Xác định cờng
độ điện trờng tại tâm O của bán cầu.
Giải:
Chia bán cầu thành những đới cầu có bề rộng dh (tính theo phơng trục của nó). Đới cầu
đợc tích điện tích:
( )
..2
/
.2
cos
.2.
dhR
Rr
dhrdhr
dQ
h
hh
===
với
là góc giữa mặt đới cầu và trục đối xứng của đới cầu.
dh
h
dE
O
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Tính tơng tự nh phần đầu của bài 1-14, ta tính đợc điện trờng dE do đới cầu gây ra tại
O có hớng nh hình vẽ và có độ lớn bằng:
( )
3
0
2/3
22
0
4
.2.
.
4
R
dhRh
dQ
hr
h
dE
h
=
+
=
Lấy tích phân theo h từ 0 đến R, ta có:
0
2
2
0
0
2
0
4
0
222
..
=
===
R
h
R
dh
R
h
dEE
R
Coi
1=
, ta có:
)/(2,28
10.86,8.1.4
10
12
9
mVE ==
1-16. Một thanh kim loại mảnh mang điện tích q = 2.10
-7
C. Xác định cờng độ điện trờng
tại một điểm nằm cách hai đầu thanh R = 300cm và cách trung điểm thanh R
0
=
10cm. Coi nh điện tích đợc phân bố đều trên thanh.
Giải:
Chia thanh thành những đoạn nhỏ dx. Chúng có điện tích là:
dx
RR
q
dx
l
q
dq
2
0
2
2
==
Xét điện trờng
dE
gây ra do đoạn dx gây ra tại điểm đang xét. Ta có thể tách
dE
thành hai
thành phần
1
dE
và
2
dE
. Điện trờng tổng cộng
E
là tổng tất cả các điện trờng
dE
đó. Do
tính đối xứng nên tổng tất cả các thành phần
1
dE
bằng không. Ta có:
l/2
x
R
R
0
dE
2
dE
1
dE
0
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
( )
( )
dx
xRl
qR
dx
l
q
xR
R
xRr
dq
dE
2/3
22
00
0
22
0
0
22
00
2
0
2
4
..
4
1
cos.
4
+
=
+
+
==
( )
=
+
=
+
==
0
0
0
d
)tgRR.(cos
R
l4
qR
dx
xRl4
qR
dEE
2/322
0
2
0
2
0
0
0
tgRx
2/l
2/l
2/3
22
00
0
2
[ ]
000000
0
0
0
0000
RR4
q
R2
l
.
lR2
q
lR4
sinq2
sin
lR4
q
d.cos
lR4
q
0
0
===
==
Thay số:
)/(10.6
1,0.3.10.86,8.1.4
10.2
3
12
7
mVE =
1-17. Một mặt phẳng tích điện đều với mật độ . Tại khoảng giữa của mặt có một lỗ hổng
bán kính a nhỏ so với kích thớc của mặt. Tính cờng độ điện trờng tại một điểm
nằm trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng và đi qua tâm lỗ hổng, cách tâm đó
một đoạn b.
Giải:
Ta có thể coi mặt phẳng tích điện có lỗ hổng không tích điện nh một mặt phẳng tích điện
đều mật độ và một đĩa bán kính a nằm tại vị trí lỗ tích điện đều với mật độ -.
+ Điện trờng do mặt phẳng tích điện đều gây ra tại điểm đang xét là:
0
1
2
=
E
+ Điện trờng do đĩa gây ra tại điểm đang xét là: (xem cách tính trong bài 1-14)
+
=
22
0
2
/1
1
1
2
ba
E
+ Điện trờng do mặt phẳng và đĩa gây ra cùng phơng và ngợc chiều nên:
22
0
21
/12
ba
EEE
+
==
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
1-18. Một hạt bụi mang một điện tích q
2
= -1,7.10
-16
C ở cách một dây dẫn thẳng một
khoảng 0,4 cm và ở gần đờng trung trực của dây dẫn ấy. Đoạn dây dẫn này dài
150cm, mang điện tích q
1
= 2.10
-7
C. Xác định lực tác dụng lên hạt bụi. Giả thiết rằng
q
1
đợc phân bố đều trên sợi dây và sự có mặt của q
2
không ảnh hởng gì đến sự phân
bố đó.
Giải:
Xét mặt Gaox là mặt trụ đáy tròn bán kính R
0
có trục trùng với sợi dây, chiều cao h (h l)
ở vùng giữa sợi dây và cách sợi dây một khoảng R
0
l, ta có thể coi điện trờng trên mặt trụ
là đều. Sử dụng định lý Otxtrôgratxki-Gaox, ta có:
l
hqq
hRE
1
00
0
0
.
1
.2.
==
lR
q
E
00
1
2
=
Lực điện tác dụng lên hạt bụi là:
( )
N
lR
EqF
10
312
716
00
21
2
10
5,1.10.4.10.86,8.1.2
10.2.10.7,1
2
===
1-19. Trong điện trờng của một mặt phẳng vô hạn tích điện đều có đặt hai thanh tích điện
nh nhau. Hỏi lực tác dụng của điện trờng lên hai thanh đó có nh nhau không nếu
một thanh nằm song song với mặt phẳng còn thanh kia nằm vuông góc với mặt phẳng.
Giải:
Lực tác dụng lên thanh nằm song song là:
==
ii
EqFF
1
và lực tác dụng lên thanh nằm vuông góc là:
==
kk
EqFF
2
Do điện trờng do mặt phẳng vô hạn tích điện đều gây ra là điện trờng đều nên:
21
FFEE
ki
==
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Vậy, lực tác dụng lên hai thanh là nh nhau.
1-20. Một mặt phẳng vô hạn mang điện đều có mật độ điện tích mặt =2.10
-9
C/cm
2
. Hỏi
lực tác dụng lên một đơn vị chiều dài của một sợi dây dài vô hạn mang điện đều. Cho
biết mật độ điện dài của dây = 3.10
-8
C/cm.
Giải:
Ta thấy, lực tác dụng lên dây không phụ thuộc vào cách đặt dây trong điện trờng. Ta có:
+ Điện trờng do mặt phẳng gây ra là:
0
2
=
E
+ Điện tích của dây là:
Lq
=
Vậy, lực tác dụng lên mỗi đơn vị chiều dài dây là:
)(4,3
10.86,8.1.2
1.10.3.10.2
2
12
65
0
N
L
EqF
===
1-21. Xác định vị trí của những điểm ở gần hai điện tích điểm q
1
và q
2
tại đó điện trờng
bằng không trong hai trờng hợp sau đây: 1) q
1
, q
2
cùng dấu; 2) q
1
, q
2
khác dấu. Cho
biết khoảng cách giữa q
1
và q
2
là l.
Giải:
Véctơ cờng độ điện trờng tại một điểm M bất kỳ bằng
21
EEE
+=
với
1
E
và
2
E
là các véctơ cờng độ điện trờng do q
1
, q
2
gây ra.
Để
E
= 0, thì ta phải có:
21
EE
=
+ Hai điện trờng E
1
và E
2
cùng phơng, M phải nằm trên đờng thẳng đi qua điểm đặt các
điện tích.
x
l
q
2
q
1
M
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
+ Hai điện trờng E
1
và E
2
cùng độ lớn:
( )
2
1
2
2
0
2
2
0
1
21
q
q
xl
x
xl4
q
x4
q
EE
=
=
=
( )
xl
q
q
x
q
q
xl
x
2
1
2
1
==
l
q
q
q
1
q
q
l
x
21
1
2
1
2
1
=
=
+ Hai điện trờng E
1
và E
2
ngợc chiều:
1. Nếu q
1
, q
2
cùng dấu thì M phải nằm giữa hai điên tích:
l
q
xlx
21
1
0
+
=<<
2. Nếu q
1
, q
2
khác dấu thì M phải nằm ngoài hai điện tích:
l
q
xlxhayx
21
1
0
=><
1-22. Giữa hai dây dẫn hình trụ song song cách nhau một khoảng l = 15cm ngời ta đặt một
hiệu điện thế U = 1500V. Bán kính tiết diện mỗi dây là r = 0,1cm. Hy xác định
cờng độ điện trờng tại trung điểm của khoảng cách giữa hai sợi dây biết rằng các
dây dẫn đặt trong không khí.
Giải:
Ta đi xét trờng hợp tổng quát: nếu gọi khoảng cách từ điểm M đến trục dây dẫn thứ nhất
là x thì cờng độ điện trờng tại M là:
)(22
1
00
xlx
l
xlx
E
=
+=
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
với là mật độ điện dài trên dây. Mặt khác:
dU = - Edx
( )
[ ]
=
=
+==
r
rl
r
rl
xlxdx
xlx
EdxU
rl
r
lnlnln
2
11
2
000
=
r
rl
U
ln
0
Thế vào biểu thức cờng độ điện trờng và thay x = l/2, ta có:
=
=
r
rl
l
U
r
rl
U
l
l
l
l
E
ln.
2
ln
.
2
.
2
2
1
0
0
Thay số:
( )
mVE /10.4
001,0
149,0
ln.15,0
1500.2
3
=
1-23. Cho hai điện tích điểm q
1
= 2.10
-6
C, q
2
= -10
-6
C đặt cách nhau 10cm. Tính công của
lực tĩnh điện khi điện tích q
2
dịch chuyển trên đờng thẳng nối hai điện tích đó xa
thêm một đoạn 90cm.
Giải:
Ta có: Công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích q
2
từ điểm A đến điểm B là:
A = q
2
.(V
A
V
B
)
Vậy:
)(4
.
)(44
0
21
0
2
0
1
2
rlr
qql
rl
q
r
q
qA
+
=
+
=
Thay số:
( )
( )
JA 162,0
1.1,0.10.86,8.1.4
10.2.10.9,0
12
66
=
Dấu trừ thể hiện ta cần thực hiện một công để đa q
2
ra xa điện tích q
1
.
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
1-24. Tính công cần thiết để dịch chuyển một điện tích q = (1/3).10
-7
C từ một điểm M cách
quả cầu tích điện bán kính r = 1cm một khoảng R = 10cm ra xa vô cực. Biết quả cầu
có mật độ điện mặt = 10
-11
C/cm
2
.
Giải:
Công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích là:
A = q.(V
A
V
B
)
Vậy: )(
444
.
2
102010
==
= Rdo
R
R
Q
R
Q
qA
)()(4
..4.
0
2
0
2
Rr
qr
Rr
rq
+
=
+
=
Thay số:
( )
( )
( )
JA
7
212
2
277
10.42,3
10.11.10.86,8.1
10.10.3/1.10
=
1-25. Một vòng dây tròn bán kính 4cm tích điện đều với điện tích Q = (1/9).10
-8
C. Tính điện
thế tại:
1. Tâm vòng dây.
2. Một điểm M trên trục vòng dây, cách tâm của vòng dây một đoạn h = 3cm.
Giải:
Chia vòng dây thành những đoạn vô cùng nhỏ dl mang điện tích dq. Điện thế do điện tích
dq gây ra tại điểm M trên trục vòng dây, cách tâm của vòng dây một đoạn h là:
22
0
4 hR
dq
dV
+
=
Điện thế do cả vòng gây ra tại M là:
+
=
+
==
22
0
22
0
44 hR
Q
hR
dq
dVV
1. Điện thế tại tâm vòng (h =0):
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
( )
( )
V
R
Q
V
O
250
10.4.10.86,8.1.4
10.9/1
4
212
8
0
===
2. Điện thế tại M (h = 3cm):
( )
( ) ( )
( )
V
hR
Q
V
H
200
10.310.410.86,8.1.4
10.9/1
4
2
2
2
212
8
22
0
=
+
=
+
=
1-26. Một điện tích điểm q = (2/3).10
-9
C nằm cách một sợi dây dài tích điện đều một
khoảng r
1
= 4cm; dới tác dụng của điện trờng do sợi dây gây ra, điện tích dịch
chuyển theo hớng đờng sức điện trờng đến khoảng cách r
2
= 2cm, khi đó lực điện
trờng thực hiện một công A = 50.10
-7
J. Tính mật độ điện dài của dây.
Giải:
Ta có: dA = q.dV
dr
r2
.q)Edr.(qdA
0
==
( )
2
1
0
12
0
r
r
0
r
r
ln
2
q
rlnrln
2
q
r
dr
2
q
dAA
2
1
====
2
1
0
r
r
ln.q
A2
=
Vậy:
( )
( )
mC /10.6
2
4
ln.10.3/2
10.50.10.86,8.1..2
7
9
712
=
1-27. Trong chân không liệu có thể có một trờng tĩnh điện mà phơng của các véctơ cờng
độ điện trờng trong cả khoảng không gian có điện trờng thì không đổi nhng giá trị
lại thay đổi, ví dụ nh thay đổi theo phơng vuông góc với các véctơ điện trờng
(hình 1-3) đợc không?
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Giải:
Xét đờng cong kín hình chữ nhật nh hình vẽ, ta có:
dlEdV .
=
=
ABCDA
AA
dl.EVV
+++=
DACDBCAB
dl.Edl.Edl.Edl.E
( )
0CD.E0AB.E
21
++=
( )
0lEE
12
==
Vậy: Nếu phơng của véctơ cờng độ điện trờng không đổi thì giá trị của nó cũng phải
không đổi trong toàn bộ không gian. Không có điện trờng nào nh nêu trong đề bài.
1-28. Tính điện thế gây ra bởi một quả cầu dẫn điện mang điện q bằng cách coi điện thế tại
một điểm A nào đó bằng tổng các điện thế do từng điện tích điểm gây ra, trong các
trờng hợp sau:
1. Tại một điểm nằm trên quả cầu.
2. Tại một điểm nằm trong quả cầu.
3. Tại một điểm nằm ngoài quả cầu cách bề mặt của nó một đoạn bằng a.
Giải:
E
A
B
C D
E
Hình 1-3
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
Chia quả cầu thành những vòng dây tích điện có chiều dầy dh vô cùng nhỏ bán kính
22
hRr =
đợc tích điện với mật độ điện mặt
2
4
R
q
=
. Điện tích của vòng dây là:
cos
.2
..
dhr
dSdq
==
với là góc giữa mặt vòng dây và trục của nó. Dễ thấy:
R
dhq
dhR
R
q
dq
R
r
2
.
.2.
4
cos
2
==
=
Tính tơng tự bài 1-25, điện thế do vòng dây gây ra tại điểm A cách tâm O một khoảng x
nh hình vẽ là:
( )
hxxRR
qdh
hxxhrR
dhq
xhr
dq
dV
2828
.
4
22
0
222
0
2
2
0
++
=
+++
=
++
=
Vậy, điện thế do cả mặt cầu gây ra là:
[ ]
( )
2
2
0
)(
)(
0
2
22
0
)(
2.
1616
28
.
2
2
22
xR
xR
t
xR
q
t
dt
xR
q
hxxRR
dhq
dVV
xR
xR
hxxRt
R
R
+
==
++
==
+
++=
( )
( )
( )
>
=+=
Rx
x
q
Rx
R
q
xRxR
xR
q
0
0
0
4
4
8
1. Điện thế tại tâm quả cầu (x = 0) và trên mặt cầu (x = R):
R
q
V
0
4
=
2. Điện thế tại điểm nằm ngoài quả cầu, cách mặt cầu một khoảng là a (x = R + a):
( )
aR
q
V
+
=
0
4
O A
R
x
r
h
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên
1-29. Tính điện thế tại một điểm trên trục của một đĩa tròn mang điện tích đều và cách tâm
đĩa một khoảng h. Đĩa có bán kính R, mật độ điện mặt .
Giải:
Chia đĩa thành những phần tử hình vành khăn bán kính x, bề rộng dx. Phần tử vành khăn
mang điện tích
xdxdSdq
2.. ==
. Theo bài 1-25, điện thế do hình vành khăn gây là:
22
0
22
0
22
0
24
2
4
hx
xdx
hx
xdx
hx
dq
dV
+
=
+
=
+
=
Điện thế do cả đĩa gây ra:
[ ]
2
22
00
0
22
0
2
44
2
22
2
22
h
hR
t
t
dt
hx
xdx
dVV
hR
h
hxt
R
+
==
+
==
+
+=
Vậy:
(
)
hhRV
+=
22
0
2
1-30. Khoảng cách giữa hai bản tụ điện là d = 5cm, cờng độ điện trờng giữa hai bản
không đổi và bằng 6.10
4
V/m. Một electron bay dọc theo đờng sức của điện trờng từ
bản này sang bản kia của tụ điện với vận tốc ban đầu bằng không. Tìm vận tốc của
electron khi nó bay tới bản thứ hai của tụ điện. Giả thiết bỏ qua ảnh hởng của trọng
trờng.
Giải:
Công của lực điện trờng gia tốc cho electron là: A = eU = eEd.
Mặt khác:
)0v(mv
2
1
mv
2
1
mv
2
1
A
1
2
2
2
1
2
2
=== do
( )
s/m10.26,3
10.1,9
10.5.10.6.10.6,1.2
m
eEd2
m
A2
v
7
31
2419
2
===
