SKKN kinh nghiệm dạy học giải bài tập bất đẳng thức hướng khắc phục sai lầm tạo lập mới hệ thống bài tập

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

KINH NGHIỆM DẠY- HỌC: GIẢI BÀI TẬP “BẤT ĐẲNG THỨC”
HƯỚNG KHẮC PHỤC SAI LẦM - TẠO LẬP MỚI HỆ THỐNG BÀI TẬP
Họ và tên : Phạm Thị Vỹ
Giáo viên trường trung học cơ sở Buôn Trấp
Trình độ chuyên môn : ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – CHUYÊN NGÀNH TOÁN .
I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là một trong những bộ môn khoa học tự nhiên, được phát sinh từ nhu cầu
thực tế của con người. Dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải bài tập
là hình thức chủ yếu, do đó dạy học giải bài tập có một vị trí vô cùng quan trọng.
Đặc trưng của bài tập bộ môn toán nói chung, và thể loại toán về “bất đẳng thức” nói
riêng vô cùng rộng lớn và phong phú cả về thể loại, nội dung cũng như mức độ yêu cầu của
từng thể loại đó. Nó luôn là cơ sở, là nền tảng vững chắc cho bộ môn toán học và các bộ
môn khoa học tự nhiên khác. Loại bài tập này vận dụng được cho nhiều đối tượng học sinh
trong một lớp, một khối và trong nhiều cấp học. Đặc biệt dạng bài tập về bất đẳng thức được
đánh giá là loại bài nhằm phát triển tư duy trí tuệ của học sinh. Nó thường được đóng vai trò
làm câu khống chế điểm 9, điểm 10 trong các đề kiểm tra, đề thi hằng năm. Nhằm giúp giáo
viên chúng ta dễ dàng phát hiện, phân loại đối tượng học sinh, chọn lựa học sinh khá, giỏi
trong quá trình dạy học. Nếu học sinh biết giải và giải thành thạo loại toán này thì việc học
bộ môn toán sẽ không còn là rào cản hay thách thức đối với học sinh. Thế nhưng, theo nhận
định chủ quan của bản thân thì khả năng nhận thức, vận dụng kiến thức bộ môn toán vào
thực tiễn cũng như niềm đam mê toán học của học sinh hiện nay còn quá khiêm tốn.
Toán học là môn học luôn mang tính kế thừa, có nắm chắc kiến thức cơ bản về “bất
đẳng thức” biết vận dụng thành thạo kiến thức này trong việc giải bài tập thì may chăng mới
có thể mở rộng và nâng cao kiến thức sau này. Đó là cơ hội để bước vào trường chuyên, lớp
chọn, tương lai vào các trường đại học theo mong ước. Người ta thường nói ( móng có chắc
thì tường mới vững ).
Qua nhiều năm dạy học, qua nhiều kì kiểm tra và không ít lần được chọn bồi dưỡng
học sinh giỏi, bản thân tôi nhận thấy khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh
cũng như việc ra đề kiểm tra về mảng kiến thức “bất đẳng thức” của một số không ít học

sinh và ngay cả giáo viên vẫn còn nhiều lúng túng. Đề bài thường mang tính khuôn mẫu hay
sao chép từ nhiều tài liệu khác nhau. Kết quả bài làm của học sinh còn đặt nặng tính may rủi.
Nếu mỗi giáo viên chúng ta cùng nhìn thấy được tầm quan trọng của loại toán này, biết dựa
vào sự phong phú và tính đa dạng của nó thì chắc chắn khi đứng lớp chúng ta có thể tự tin
chủ động được kiến thức. Khôn khéo lựa chọn phương pháp giải phù hợp đối với từng loại
bài tập cụ thể. Hơn thế, mỗi giáo viên chúng ta có thể linh hoạt hơn trong việc giúp học sinh
khắc phục sai lầm khi giải bài tập. Tự cải biên đề bài, ra đề bài phù hợp với khả năng của
nhiều học sinh. Có thể mở rộng, nâng cao kiến thức ngay trên một tiết học. Việc làm này
không những phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, tạo cho không khí lớp học thêm phần
sinh động mà còn phát huy được tố chất toán học đang tiềm ẩn trong mỗi học sinh. Đáp ứng
được nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay. Thuận lợi cho giáo viên trong
việc phụ đạo học sinh yếu kém, đồng thời bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
Vậy làm thế nào để mỗi giáo viên chúng ta tự tin hơn, làm chủ được mảng kiến thức
về “Bất đẳng thức” khi truyền tải đến với học sinh, hướng dẫn và giúp học sinh biết tránh sai
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

lầm thường mắc khi giải loại bài tập này. Từ đó biết cải biên đề bài, tạo mới hệ thống bài
tập, biết vận dụng khả năng mở rộng kiến thức nhằm dễ dàng đạt được điểm tối đa trong các
bài kiểm tra, bài thi. Giáo viên khi thực thi tiết dạy, không còn quá lệ thuộc vào sách giáo
khoa. Đặc biệt hơn, đó là việc ra đề thi, đề kiểm tra ít có, hoặc không có sự trùng lặp đề năm
nay với đề năm trước, đề kì này với đề kì trước. Chấm dứt được sự ỉ lại hay mong chờ may
rủi trong thi cử, kiểm tra của học sinh. Đó chính là lí do mà đề tài cần quan tâm.
II/ ĐỐI TƯỢNG, CƠ SỞ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1) Đối tượng nghiên cứu : Học sinh và một số giáo viên dạy toán của trường trung
học cơ sở Buôn Trấp và các trường lân cận trong huyện Krông Ana, Tỉnh Đắc Lắc.

2) Cơ sở nghiên cứu : Căn cứ vào chất lượng học sinh từ lớp 8 đến lớp 9 và học sinh
lớp 9 thi vào lớp 10 các trường THPT, trường THPT chuyên của các năm 1996-1997; 1997
-1998; 2001- 2002; 2002 - 2003; 2005 - 2006 và năm học này.
3) Phương pháp nghiên cứu : Phối hợp đồng loạt tất cả các phương pháp: “trò
chuyện”, “đàm thoại”, “phỏng vấn trực tiếp, gián tiếp”, “điều tra trên phiếu học tập, thông
qua kết quả các bài kiểm tra 15 phút, 45phút, 90 phút, đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi vào
lớp 10 THPT qua nhiều năm,v..v.
Tài liệu nghiên cứu: Sách giáo khoa, sách giáo viên trong toàn cấp học. Các đầu sách
tham khảo xuất bản của bộ giáo dục và đào tạo nói về Bất đẳng thức. Sách nói về phương
pháp dạy học – dạy học giải bài tập ( của trường đại học sư phạm) .v..v
III/ NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU :

1) Nhiệm vụ của đề tài : Thực ra, loại toán có dạng “bất đằng thức” các em đã tiếp
cận ngay từ cấp tiểu học. Tuy nhiên mức độ yêu cầu của bài tập chỉ mới dừng lại ở phạm vi:
quan sát so sánh, điền dấu ( >; < ) vào ô trống hoặc biểu thức nào lớn hơn ? vì sao ?. Đối với
học sinh lớp 6, lớp 7 các dạng bài tập về bất đẳng thức được tăng dần với mức độ từ thấp
đến cao, tuy nhiên cụm từ “bất đẳng thức” vẫn còn là bí mật. Có chăng cũng chỉ là dạng bài:
so sánh biểu thức A và biểu thức B; khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? ; chứng minh
biểu thức A > B hoặc A < B. Lên đến lớp 8 lớp 9, yêu cầu về mức độ nhận thức cũng như
vận dụng kiến thức có sự đòi hỏi cao hơn. Các em cũng đã biết vận dụng định nghĩa, tính
chất và một số phương pháp thông thường để giải bài tập bất đẳng thức, biết tìm điều kiện
của chữ để một biểu thức luôn dương, luôn âm, hay biểu thức này lớn hơn biểu thức kia.
Vấn đề mà đề tài cần quan tâm ở đây là: Mức độ hiểu biết, nhận thức và khả năng vận dụng
kiến thức về “bất đẳng thức” đối với cả giáo viên và học sinh cần phải đạt ở mức cao hơn,
linh hoạt, sáng tạo hơn.
Đối với học sinh, là người được lĩnh hội kiến thức và vận dụng kiến thức nhằm phát
huy năng lực, phát triển trí tuệ. Để việc tiếp thu cũng như vận dụng có hiệu quả về mảng
kiến thức này, đòi hỏi các em phải có sự cần cù, chịu khó, biết liên tướng, ghép nối các kiến
thức đã được học một cách liên tục, lôgic, có hệ thống. Kiến thức có trước bao giờ cũng là
tiền đề cho kiến thức có sau. Và ngược lại, kiến thức có sau là sự kế thừa hoặc mở rộng từ

kiến thức có trước. Chính vì vậy học sinh phải có sự đam mê trong việc tự học, tự nghiên
cứu và vận dụng. Việc làm này, yêu cầu này đối với mọi học sinh thật không dễ chút nào.
- Đối với giáo viên, là người trực tiếp truyền tải kiến thức đến với học sinh, là người
chịu trách nhiệm trong việc ra đề thi, kiểm tra, đánh giá chất lượng học sinh. Chất lượng day
học của thầy được đánh giá bằng sự cân, đo, đong, đếm qua sự đam mê, tự giác nghiên cứu
và hiệu quả vận dụng kiến thức của học sinh thông qua các kì thi. Do đó, ngoài việc chăm lo
trang bị cho mình có một nghiệp vụ sư phạm vững vàng, một hành trang kiến thức vững
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

chắc, người giáo viên chúng ta cần phải thường xuyên học hỏi, tự trau dồi cho mình một kĩ
năng và nghệ thuật sư phạm trên bục giảng. Đặc biệt đối với loại bài tập “bất đẳng thức”,
được mệnh danh là loại bài tập khó dạy, khó học nhất. Như chúng ta đã biết, việc giải bài tập
là một yêu cầu quan trọng đối với mọi học sinh. Hơn nữa, loại bài tập về chứng minh “bất
đẳng thức” rất khó nêu lên một phương pháp tổng quát để chứng minh, do tính đa dạng của
các bất đẳng thức phải chứng minh cũng như các phương pháp chứng minh. Vì vậy, khi dạy
bài tập loại toán này, người dạy không chỉ đơn thuần cung cấp kiến thức mà còn dạy cho học
sinh biết cách suy nghĩ, tìm ra con đường giải. Từ đó rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức
một cách linh hoạt, sáng tạo để cải biên đề bài, tạo mới hệ thống bài tập. Nhằm hình thành
tư duy, phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh. Đó là nhiệm vụ không thể xem nhẹ đối với
mỗi giáo viên chúng ta.
A: GIẢI BÀI TẬP “BẤT ĐẲNG THỨC”

Là giáo viên dạy toán, hẳn ai cũng thấy được việc dạy học sinh biết giải và giải thành
thạo bài tập về đẳng thức đã khó thì việc dạy giải bài tập về “bất đẳng thức” lại càng khó
hơn. Bởi lẻ khái niệm bất đẳng thức thức vô cùng phức tạp, một bất đẳng thức có thể đúng,

nhưng lại có thể sai, đúng trong miền xác định này nhưng lại sai trong miền xác định khác.
Ví dụ : 3x +1 > 2x + 5 có giá trị chân lí đúng với mọi x > 4 , nhưng lại sai với mọi x ≤ 4 .
Ngôn ngữ của bất đẳng thức lại được diễn đạt theo nhiều nghĩa khác nhau ( >; < ; ≤; ≥ ; lớn ,
hơn, bé hơn, không lớn hơn, không nhỏ hơn). Nếu học sinh không nắm vững định nghĩa,
tính chất của bất đẳng thức thì e rằng việc giải bài tập dạng này thật là khó khăn. Để đạt
được nhiệm vụ chung nói trên, cả giáo viên và học sinh cần phải hiểu một cách sâu sắc và
nắm vững định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức.
*Định nghĩa1:Hai biểu thức A và B được nối với nhau bởi một trong các quan hệ( <; ≤ ; >;
≥ ) thì ta nói có một bất đẳng thức. chẳng hạn: (A>B ; A < B ; A ≥ B ; A ≤ B) là các bất đẳng
thức
* Định nghĩa 2: A>B ⇔ A – B>0; A < B ⇔ A – B < 0; A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0 ;
A≤ B⇔ A – B ≤ 0
* Tính chất của các quan hệ: Trong quan hệ ( < ; >) thì có tính chất bắc cầu. Trong quan hệ (
≤ ; ≥ ) thì có tính chất phản xạ, phản xứng, bắc cầu .
* Một số định lí thường dùng.
1. a > b ⇔ b3. a + c > b ⇔ a > b – c
2. a > b ⇔ a ± m > b ± m

4.

a > b
⇒ a+c >b+d
c > d

a1 > b1 
a2> > b2 
Tổng quát
 ⇒ a1 + a2 + .... + an > b1 + b2 + .... + bn
........... 

an > bn 
 a.c > b.c∀c > 0
5. a > b ⇔ 
đặc biệt –a < -b ⇔ a > b
 a.c < b.c∀c < 0

6.

(không trừ vế theo vế)

a > b ≥ 0
 ⇒ a.c > b.d
c > d ≥ 0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a1 > b1 ≥ 0 
a2 > b2 ≥ 0 
* Tổng quát :
( Không chia vế theo vế )
 ⇒ a1 .a2 ....an > b1 .b2 ....bn
............... 
an > bn ≥ 0 
7. a>b ≥ 0 ⇒ a n > bn , ∀n ∈ Z +
8. a>b ≥ 0 ⇒ n a > n b∀n ∈ Z + ; n ≥ 2
1 1
9 . a>b và ab>0 ⇒ <

a b
2
Chú ý: a ≥ 0 với ∀ a ∈ R
a2>0 với ∀ a∈ R. a ≠ 0

* Một số bất đẳng thức thường dùng trong khi giải bài tập .
+ Bất đẳng thức ( a ± b)2 ≥ 0 với ∀ a, b.
+ Bất đẳng thức Côsi ( cauchy) : với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab hoặc

a+b
≥ ab
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
2
2
2
2
2
+ Bất đẳng thức bunhiacôpxki : ( ac + bd ) ≤ ( a + b ) ( c + d )
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a b
=
c d

Bài tập toán loại “Bất đẳng thức” rất đa dạng và phong phú. Nó phong phú cả về thể
loại nội dung cũng như mức độ yêu cầu nên khi dạy loại toán này chúng ta cần nghiên cứu kĩ
nội dung đề bài, mức độ yêu cầu của đề bài, tìm hiểu xem, người học thuộc đối tượng nào.
Từ đó tìm và chọn lựa phương pháp giảng dạy phù hợp cho từng loại bài, đáp ứng phần lớn

nhu cầu của từng đối tượng cần học.
Cho dù sử dụng phương pháp dạy học nào thì trước khi dạy giải bài tập, giáo viên
chúng ta cần phải cho học sinh được ôn lại kiến thức lí thuyết bổ trợ cho bài tập. Nắm được
lý thuyết, hiểu và biết vận dụng, chắc chắn sẽ thành công phần lớn trong việc giải bài tập.
Mặc dầu chưa có một phương pháp tổng quát nào nói về chứng minh: “Bất đẳng thức”. Song
từ các bài tập cụ thể và yêu cầu cụ thể ta có thể đưa ra “Một số” phương pháp đại cương sau
dùng để giải bài tập dạng này.
+ Phương pháp so sánh.
+Phương pháp xét hiệu (dựa vào định nghĩa)
+ Phương pháp biến đổi tương đương (phương pháp biến đổi trực tiếp )
+ Phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn
+ Phương pháp phân tích số hạng
Để giúp giáo viên và học sinh thuận lợi, dễ dàng hơn trong việc dạy cũng như việc
học giải bài tập về bất đẳng thức, Ta có thể tạm chia các bài tập dạng này thành hai loại.
( Loại bài có sẵn thuật toán và loại bài chưa có sẵn thuật toán ). Sau đây là một số bài tập cụ
thể minh họa cho nhận định trên.
A.1/ Loại bài tập có sẵn thuật toán :
Đối với loại bài tập đã có thuật toán, khi dạy giáo viên chúng ta yêu cầu học sinh
không được xem nhẹ vì đây là cơ sở quan trọng để tiến tới giải các bài tập có nội dung khó
hơn, phức tạp hơn . Do vậy học sinh cần hiểu rõ thuật toán là:
+ Năm vững quy tắc giải đã học .
+ Nhận dạng đúng bài toán
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

+ Giải theo quy tắc một cách thành thạo .

Đối với học sinh lớp 6, lớp 7 các bài tập về “bất đẳng thức” cũng chỉ là dạng bài: so
sánh biểu thức A và biểu thức B; khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?. Chứng minh số A >
số B hoặc số A < số B, cụm từ “ bất đẳng thức” vẫn còn là bí mật.
Ví dụ 1: a) so sánh : 200300 với 300200 hoặc chứng minh 200300 > 300200
b) So sánh : -200300 với -300200 hoặc chứng minh -200300 < -300200
c)So sánh : 200-300 với 300-200 hoặc chứng minh

1
1
p
300
200
300200

Để dạy loại bài tập này giáo viên chúng ta nên cho học sinh ôn lại kiến thức lũy thừa, nâng
một lũy thừa lên một lũy thừa, so sánh hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc cùng số mũ. So sánh
các số nguyên âm, so sánh nghịch đảo của các số nguyên dương. Từ đó hướng dẫn các em
biến đổi các số đã cho về mục đích cần so sánh của mình, dùng phép biến đổi từng vế:
A = A1=A2 = ... = An
B = B1 = B2 = ... = Bn
Nếu An > Bn thì A > B
Giải:

(
)
= ( ( 300 ) )

Câu a) 200300 = ( 200 )
300200

3 100
2 100

= 8000000100
= 90000100

Vậy 200300 > 300200
Câu b và câu c: Từ kết quả câu a và các quy tắc so sánh hai số hai số nguyên âm, so sánh
nghịch đảo của hai số nguyên dương ta suy ra được :
b) -200300 < -300200

c)

1
1
p
300
200
300200

Với loại bài tập này, giáo viên lưu ý cho học sinh nên tạo lập mới đề bài, xây dựng
thành một hệ thống bài tập mới ( bằng cách thay đổi cơ số hoặc số mũ ). Việc làm này tạo
cho học sinh thói quen luôn nghiên cứu, mở rộng khả năng hiểu biết. Nhằm rèn luyện kĩ
năng tư duy, phát triển trí tuệ cho học sinh.
Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức sau : A =

1
1
1
+

+ .... +
<1
1.2 2.3
2009.2010

Đây là một dạng bài quen thuộc, phổ biến rộng rãi trong toàn cấp học. Vận dụng được cho
nhiều đối tượng học sinh, nó tính chất giúp học sinh phát triển trí tuệ, hình thành năng lực tư
duy, rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải bài tập. Vì vậy, khi dạy loại toán này giáo viên
chúng ta yêu cầu học sinh nhận xét đặc điểm của từng phân số, tìm ra điểm giống nhau của
các phân số, từ đó rút ra được công thức tổng quát chung cho mọi phân số, tiến hành thực
hiện công thức theo thuật giải.
1
1
1
1 1 1 1
1 1
= − ;
= − nên
Ta có : n. n + 1 = n − n + 1 với n ∈ N* khi đó :
(
)
1.2 1 2 2.3 2 3
1 1
1 2

1 1
2 3

A = − + − + ... +

1
1
1
1
2009
−
= −
=
2009 2010
1 2010 2010

Vậy A < 1

Cũng bài toán đó, song tùy từng đối tượng sinh mà giáo viên đặt ra các mức yêu cầu khác
nhau, chẳng hạn
+ Đối với lớp 6, 7 thì yêu cầu: Chỉ ra được công thức tổng quát, vận dụng công thức để tính
giá trị của biểu thức A.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

+ Đối với lớp 8, lớp 9 thì yêu cầu: Chỉ ra và chứng minh được được công thức tổng quát.
Dựa vào công thức, dùng khả năng tư duy, lập luận để khẳng định A < 1 hoặc A không là số
tự nhiên .
Tương tự như dạng bài trên, sau khi giải bài tập giáo viên cho học sinh nêu hướng tạo lập hệ
thống bài tập mới có nội dung tương tự nhằm phát triển năng lực trí tuệ của các em.
Ví dụ 3: Cho a < b .Chứng tỏ rằng :

a) 2a +1 < 2b + 1 ;
b) 4a + 1 < 4b + 5 ;
c) a(a+2) < (a +1)2
Với dạng toán này, yêu cầu học sinh ôn lại kiến thức về liên hệ giũa thứ tự và phép cộng ,
phép nhân. vận dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, liên hệ giữa thứ tự và phép
nhân để chứng minh. Với câu b thì cho học sinh dùng thêm tính chất bắc cầu để kết luận .
Mỗi loại bài tập trên đều có thể triển khai đồng thời cho nhiều đối tượng học sinh
trong một lớp, nhiều lớp trong một khối. Chính vì vậy mỗi giáo viên chúng ta trước khi dạy
dạng này cần nghiên cứu kĩ, tìm hiểu nội dung, mức độ yêu cầu cho từng đối tượng học. Để
từ đó cân nhắc, chọn lọc, sắp đặt số lượng bài tập từ dễ đến khó, phân chia bài tập theo nhiều
mức độ, đảm bảo tính hệ thống, lôgic, phù hợp cho từng đối tượng học sinh. Được như vậy
thì giờ học mới trở nên lí thú, cuốn hút được học sinh, phù hợp phong trào “Xây dựng
trường học thân thiện, học sinh tích cực”. Giáo viên tăng cường cho học sinh cải biên đề bài,
tạo ra hệ thống bài tập mới ( bằng cách thay đổi một số dự kiện thích hợp ). Việc làm này
không ngoài mục đích khích lệ tinh thần tự học, phát huy tính sáng tạo, phát triển năng lực
trí tuệ, khơi dậy tố chất toán học đang tiếm ẩn trong mỗi học sinh.
 Ưu điểm và hạn chế: Các dạng bài đã nêu trên cơ bản đều đơn giản, dễ hiểu, dễ vận
dụng. dễ cải biên đề bài. Kiến thức được nâng dần từ dễ đến khó, giúp cho học sinh thuộc
diện đại trà cảm nhận được học toán không phải là quá khó. Từ đó giúp các em bớt đi mặc
cảm lo sợ khi học toán. Thấy được vẫn còn tia hy vọng về khả năng học toán. Phát huy được
tính tích cực, sáng tạo của học sinh khá giỏi. Giúp cho giáo viên dễ dàng truyền thụ kiến
thức, cũng như ra đề kiểm tra phù hợp nhiều đối tượng. Đáp ứng được nhu cầu đổi mới
phương pháp dạy học hiện nay. Hơn thế nữa là thuận lợi cho giáo viên trong việc phụ đạo
yếu kém, củng cố kiến thức cơ bản, bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi ngay trong một tiết học.
- Hạn chế : Đôi khi giáo viên không chủ động được thời gian ( vì lượng bài tập đưa ra quá
nhiều). Nề nếp lớp học không theo ý muốn.
A.2/ Loại bài tập chưa có sẵn thuật toán:
Loại bài tập này chiếm một số lượng khá lớn, nó gây cho học sinh và cả giáo viên
không ít khó khăn, dẫn đến tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là một
trở ngại lớn cho chí tiến thủ vươn lên trong học tập của học sinh và trong dạy học của giáo

viên. Khi dạy học sinh giải bài tập dạng này, giáo viên chúng ta không chỉ đơn thuần cung
cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tìm ra con đường hợp
lí để giải bài toán. Bởi vì “tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” ( Pôlia –
1975). Để giúp giáo viên và học sinh thuận lợi hơn trong khi trình bày lời giải dạng toán này,
ta có thể sử dụng một số phương pháp đại cương thông thường. Thông qua lượng đồ giải
toán 4 bước của Pôlia.như sau.
B1:Tìm hiểu kĩ nội dung bài tập
B2: Xây dựng chương trình giải
B3: Thực hiện chương trình giải
B4: Nghiên cứu lời giải
Mỗi giáo viên đều phải hiểu được, đây không phải là một thuật toán để giải bài tập, mà nó
chỉ mang tính chất hướng dẫn, gợi ý giúp cho giáo viên vận dụng vào từng bài cụ thể. Đó
cũng là sáng tạo trong dạy học .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sau đây là một số ví dụ cụ thể minh họa cho nhận định trên.
a) Dùng phương pháp xét hiệu :
Ví dụ :Chứng minh rằng :
a)

1
1
2
+
>

với a.b>1
2
2
1 + a 1 + b 1 + ab

b) a2 + b2 ≥

1
với a + b ≥ 1
2

c) a3 + b3 > a2b+ab2
với a>0; b>0
d) a4 + b4 > a3b + ab3 với a>0; b>0
e) ( a10 + b10)(a2 +b2) ≥ (a8 + b8)( a4+b4)
Đối với loại bài tập này, giáo viên cho học sinh quan sát kĩ đề bài, tìm hiểu xem bài
toán cho biết điều gì, yêu cầu ta phải làm gì ?. Để giải được bài tập dạng này ta cần liên hệ
giữa cái đã cho và cải phải tìm, dùng phương pháp phân tích để biết vận dụng những kiến
thức nào ?. Nếu khó quá, học sinh không thể trả lời thì giáo viên chúng ta nên có một số câu
hỏi phụ, nhằm gợi ý, giúp học sinh xây dựng được chương trình giải. Sau đó giáo viên phối
hợp với học sinh cùng thực hiện chương trình giải theo hướng đã định .
Xét hiệu, biến đổi biểu thúc về dạng phân thức ( bằng các phép toán thông thường ). Sau đó
lí luận dấu của tử và mẫu dẫn tới phân thức không âm rồi kết luận
Cụ thể : câu a) Xét hiệu :

1
1
2
+
>

2
2
1 + a 1 + b 1 + ab

1
1
1
1
1 + ab − 1 − a 2
1 + ab − 1 − b 2
1
1
2
−
+
−
=
+
+
−
=
2
2
2
2
1 + a 2 1 + b 2 1 + ab 1 + a 1 + ab 1 + b 1 + ab ( 1 + a ) ( 1 + ab ) ( 1 + b ) ( 1 + ab )
a ( b − a)

b ( a − b)

b−a  a
b  b − a a + ab 2 − b − ba 2
+
=
−
.
( 1 + a 2 ) ( 1 + ab ) ( 1 + a 2 ) ( 1 + ab ) 1 + ab  1 + a 2 1 + b2 ÷ = 1 + ab ( 1 + a 2 ) ( 1 + b2 )

( b − a ) + ab ( a − b )
( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ( 1 + ab )

( a − b ) ( ab − 1)
=
( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ( 1 + ab )
2

( a − b ) ( ab − 1)
Vì ab >1 ⇒ ab - 1>0; (a –b) ≥ 0 và mẫu thức >0 nên
( 1 + a 2 ) ( 1 + b2 ) ( 1 + ab )
2

2

Vậy

≥0

1
1
2

+
>
với ab >1.dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b
2
2
1 + a 1 + b 1 + ab

Tương tự với các câu c, câu d: Giáo viên cho học sinh xét hiệu, phân tích đa hức thành nhân
tử ( bằng các phương pháp nhóm, đặt nhân tử chung ). Lưu ý các nhân tử phải có dạng theo
mong muốn ( không âm hoặc luôn dương ). Sau đó lập để suy ra điều cần chứng minh. Giáo
viên nhấn mạnh cho học sinh, phải luôn xét điều kiện để dấu “ = “ xảy ra .
Chẳng hạn :
2
Câu c: a3 + b3 - a2b - ab2 = ( a − b ) ( a + b ) ≥ 0 vì a>0; b>0 ; (a-b)2 ≥ 0
Vậy a3 + b3 > a2b+ab2 với a>0; b>0 . dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b
2
Câu d: (a4 + b4) – (a3b + ab3) = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) ≥ 0 vì (a-b)2 ≥ 0; (a2+ab+b2)>0
Vậy a4 + b4 > a3b + ab3 với a>0; b>0. dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b
2
Câu e:( a10 + b10)(a2 +b2) - (a8 + b8)( a4+b4) = a 2b2 ( a 2 − b 2 ) ( a 4 + a 2b 2 + b 4 ) ≥ 0 vì a2b2 ≥ 0;
( a2 –b2 ) ≥ 0; (a4 +a2b2 +b4) > 0
a 2 = b2
 a = ±b
⇔
Vậy ( a + b )(a +b ) ≥ (a + b )( a +b ). Dấu “ = ” xảy ra ⇔  2 2
 a = 0; b = 0
a b = 0
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10

10

2

2

8

8

4

4

7


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b)Phương pháp biến đổi tương đương (phương pháp biến đổi trực tiếp )
Để giải được loại bài tập chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương
đương, trước tiên giáo viên cho học sinh hiểu rõ và nắm vững quy trình biến đổi tương
đương của bất đẳng thức như sau: Để chứng minh A ≥ B ta biến đổi tương đương như sau:
A ≥ B ⇔ ... ⇔ C ≥ D
Cuối cùng bất đẳng thức C ≥ D là đúng . Khi đó ta kết luận A ≥ B đúng ( đpcm)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng : với ∀ a,b,c,d,e, ∈ R thì : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a ( b+c+d+e)
Muốn giải được bài tập này bằng phương pháp trên, giáo viên cho học sinh nhận xét
các hạng tử của vế trái và các hạng tử sau khi khai triển của vế phải, từ đó giúp các em thấy
được sự cần thiết phải nhân thêm số 2 vào cả hai vế. Khai triển, chuyển vế và đưa về dạng
tổng các bình phương của các biểu thức. Sau đó dùng lập luận và kết luận bài toán. Cụ thể
bài toán được giải như sau.

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b+c+d+e) ⇔ 2(a2 + b2 + c2 + d2 + e2) ≥ 2a( b+c+d+e)
⇔ 4(a2+b2+c2+d2+e2) - 4a(b+c+d+e) ≥ 0
⇔ ( a 2 − 4ab + 4b 2 ) + ( a 2 − 4ac + 4c 2 ) + ( a 2 − 4ad + 4d 2 ) + ( a 2 − 4ac + 4c 2 ) ≥ 0
2
2
2
2
⇔ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e ) ≥ 0 . Bất đẳng thức đúng .
Vậy a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a( b+c+d+e) với ∀ a,b,c,d,e, ∈ R .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e hay b = c = d = e =

a
2

a+b
≥ ab ( Bất đẳng thức Côsi)
2
Vì a ≥ 0 ; b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 0 và ab ≥ 0 ⇒ ab ≥ 0 .

Ví dụ 2: Cho a ≥ 0 ; b ≥ 0 chứng minh :
2

a+b
a+b
2
≥ ab ⇔ 
≥ ab ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab ⇔ a 2 + 2ab + b 2 ≥ 4ab ⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0
Ta có
÷

2
 2 
2
⇔ ( a − b ) ≥ 0 bất đẳng thức đúng với mọi a, b không âm.
a+b
≥ ab với mọi a ≥ 0 ; b ≥ 0 .
2
2
a 2 + b2  a + b 
≥
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : a)
÷
2
 2 

Vậy

2

a 2 + b2 + c2  a + b + c 
≥
b)
÷
3
3



Đối với ví dụ này, giáo viên yêu cầu học sinh biến đổi trực tiếp, khai triển hằng đẳng
thức vế trái, quy đồng, chuyển vế, phân tích đa thức thành nhân tử rồi nhận xét .

Minh họa câu b cụ thể như sau:
2

a 2 + b2 + c2  a + b + c 
a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
⇔
≥
≥
÷
3
3
3
9


⇔ 3a2 + 3b2 +3c2 ≥ a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac +2bc ≥ ( a − b ) + ( a − c ) + ( b − c ) ≥ 0 đúng Vậy
2

2

2

2

a 2 + b2 + c2  a + b + c 
≥
Vậy
÷ với mọi a,b không âm. Dấu”=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
3
3



Ví dụ 4: Chứng minh rằng : a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc

Ta nhận thấy các hạng tử vế trái có dạng bình phương của một số hoặc một biểu thức,
các hạng tử vế phải là số chẵn luôn có dạng hai lần tích của hai biểu thức, nếu chuyển về
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

một vế nhóm các hạng tử một cách thích hợp thì có thể viết được dưới dạng bình phương
của một biểu thức. Sau đó lí luận biểu thức không âm và ta có điều phải chứng minh, Cụ thể
cách giải như sau:
Ta có : a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc ⇔ : a2 + 4b2 + 4c2 - 4ab + 4ac - 8bc

(a

2

− 4ab + 4b 2 ) + 4c 2 + ( 4ac − 8bc ≥ 0 ) ⇔

( a − 2b )

2

+ 2.2c. ( a − 2b ) + ( 2c ) ⇔ ( a − 2b + 2c ) ≥ 0
2

2

Ví bất đẳng thức sau đúng nên a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc đúng .dấu “=” xảy ra khi và
chỉ khi a +2c = 2b
* Ưu điểm : Với các ví dụ và hai phương pháp giải trên, cơ bản vận dụng các phép
biến đổi hằng đẳng thức, nhân đơn đa thức, phân tích thành nhân tử đơn giản, dể hiểu. Phù
hợp nhiều đối tượng học sinh. Thỏa mãn được nhu cầu người học. Gây được nhiều hứng thú
cho học sinh trong giờ học. Học sinh tích cực xây dựng bài, đáp ứng đổi mới phương pháp
dạy học trong giai đoạn hiện nay.
* Hạn chế: Một số bài khó nhìn ra được hằng đẳng thức, đòi hỏi phải phân tích kĩ học
sinh mới có thể hiểu, mặt khác đối tượng học không được đồng đều nên đôi khi giáo viên
không chủ động được thời gian. Nề nếp lớp học không theo ý muốn.
c)Phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn :
Trong giải bài tập, các bất đẳng thức có sẵn đóng một vai trò vô cùng quan trọng. Nó
là công cụ sắc bén giúp ta giải quyết nhanh, chính xác được nhiều bài tập mà ta tưởng chừng
như không thể giải được. Vì vậy trước khi giải loại bài tập này, giáo viên chúng ta cần cho
học sinh hiểu và nắm vững một số bất đẳng thức thông dụng đối với chương trình thực học.
2
+ Bất đẳng thức có dạng bình phương : ( a ± b ) ≥ 0 với mọi a, b.
+Bất đẳng thức Côsi(cau chy): Với hai số không âm a và b ta có

a+b
≥ ab hay a + b ≥ ab
2

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
2
2
2

2
2
+Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: ( ac + bd ) ≤ ( a + b ) ( c + d ) .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a b
=
c d

Sau đây là một số ví dụ minh họa giải bằng phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn.
Ví dụ : loại bài dùng bất đẳng thức có “dạng bình phương”
a) Mức độ thấp: Chứng minh rằng : a2 + b2 +c2 ≥ ab + bc + ca
Bất đẳng thức dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu được phổ biến thông
dụng nhất đối với chương trình cấp trung học cơ sở. Vận dụng phù hợp được cho nhiều đối
tượng học sinh. Trước khi dạy giải bài tập này, giáo viên cho học sinh ôn lại tính chất mở
rộng của bất đẳng thức. Yêu cầu học sinh nhận xét các hạng tử ở hai vế của bất đẳng thức, từ
đó nêu hướng sử dụng bất đẳng thức nào. Trả lời được yêu cầu này không khó đối với học
sinh. Do vậy bài tập dễ dàng được giải quyết như sau:
2
Ta có: ( a − b ) ≥ 0 ⇔ a2 - 2ab + b2 ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab với ∀ a,b.
Tương tự : b2 + c2 ≥ 0 ; c2 + a2 ≥ 0
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức ta được : 2( a 2 + b2 + c2 ) ≥ 2( ab + bc + ca )
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ( đpcm) . dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
b) Mức độ cao : Chứng minh:

1 x2 + x + 1
≤
≤3
3 x2 − x + 1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đây là bài tập có hai yêu cầu, ta phải giải quyết từng yêu cầu riêng lẻ, rồi sau đó kết
hợp ta sẽ được yêu cầu cử bài.
Với bài tập này, chỉ có thể dùng bất đẳng thức dạng bình phương của một tổng hoặc một
2
hiệu ( a ± b ) ≥ 0 với mọi a, b.
Ta có ( x + 1)2 ≥ 0 với ∀ x ⇒ 2( x + 1)2 ≥ 0 ⇔ 2x2 + 4x + 2 ≥ 0
⇔ 3x2 + 3x + 3 ≥ x2 – x +1 ≥ 0 ⇔ 3(x2 + x + 1) ≥ x2 – x +1 (*)
1
2

3
4

Vì x2 – x +1 = ( x - )2 + > 0 , chia hai vế bất đảng thức (*) cho x2 – x +1 ta được
x2 + x + 1 1
≥
x2 − x + 1 3

(1)

Ta lại có : ( x – 1)2 ≥ 0 ⇒ 2( x – 1)2 ≥ 0 ⇔ 2x2 - 4x + 2 ≥ 0 ⇔ 3x2 - 3x + 3 ≥ x2 + x +1
⇔ 3(x2 - x + 1) ≥ x2 + x +1 (**)

1
2

3
4

Vì x2 – x +1 = ( x - )2 + > 0

Chia hai vế của (**) cho x2 - x +1 ta được

x2 + x + 1
≤ 3 (2 )
x2 − x + 1

1 x2 + x + 1
≤3
Tử (1) và (2) suy ra ≤ 2
3 x − x +1

* Loại bài dùng bất đẳng thức Côsi
Đối với chương trình trung học cơ sở, Bất đẳng thức Côsi là một trong những bất
đẳng thông dụng nhất thường xuất hiện nhiều trong hai dạng bài tập.“chứng minh bất đẳng
thức”. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất” của biểu thức.
Mỗi loại bài tập đều có thể triển khai đồng thời cho nhiều đối tượng học sinh trong
một lớp, nhiều lớp trong một khối. Chính vì vậy mỗi giáo viên chúng ta trước khi dạy loại
toán nào cần nghiên cứu kĩ, tìm hiểu nội dung, mức độ yêu cầu cần truyền thụ cho đối tượng
học. Để từ đó cân nhắc, chọn lọc, sắp đặt số lượng bài tập từ dễ đến khó, phân chia bài tập
theo nhiều mức độ, đảm bảo tính hệ thống, lôgic, phù hợp cho từng đối tượng học sinh.
Được như vậy thì giờ học mới trở nên lí thú, cuốn hút được học sinh . Tạo được sự thân
thiện giữ thầy và trò .

*/ Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ1: Mức độ 1 ( dành cho nhiều đối tượng )
Cho a,b,c ≥ 0 . chứng minh rằng : (a + b)( b +c )(c +a ) ≥ 8abc
Với bài này, cho học sinh nhận xét từng cặp số đối chiếu điều kiện bất đẳng thức Côsi, sau
đó áp dụng cho từng cặp số . Rồi dùng tính chất mở rộng nhân vế theo vế của bất đẳng thức
ta được điều phải chứng minh . Cụ thể
Ta có: a + b ≥ 2 ab ; b +c ≥ 2 bc ; c + a ≥ 2 ca
Nhân vế theo vế ta được : (a +b)( b +c )( c + a ) ≥ 8 ab.bc.ca ⇔ (a +b)( b +c )( c + a ) ≥ 8abc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 2: Mức độ 2 ( Dành cho học sinh lớp lớn , học sinh khá , giỏi )
Cho 0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 4 , Chứng minh ( 3 − x ) ( 4 − y ) ( 2 x + 3 y ) ≤ 36 .
Không phải bài tập nào cũng cho sẵn các biểu thức thỏa mãn điều kiện của đề bài, có thể
dùng ngay được bất đẳng thức Côsi. Mà đòi hỏi học sinh phải có sự khôn khéo, trong tính
toán, biến đổi. Với bài này, giáo viên cho học sinh dựa vào điều kiện bài toán, biến đổi các
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

biểu thức đã cho về dạng các biểu thức không âm rồi dùng bất đẳng thức Côsi mở rộng cho
ba biểu thức không âm . Cụ thể:
Vì 0 ≤ x ≤ 3 ⇒ 3 - x ≥ 0 ⇒ 6 – 2x ≥ 0
0 ≤ y ≤ 4 ⇒ 4 - y ≥ 0 ⇒ 12 -3y ≥ 0
(2x + 3y ) ≥ 0
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số: 6 – 2x ; 12 – 3y ; 2x + 3y ta có :
6 − 2 x + 12 − 3 y + 2 x + 3 y 3
≥ ( 6 − 2 x ) ( 12 − 3 y ) ( 2 x + 3 y )
3
6 − 2 x + 12 − 3 y + 2 x + 3 y 3
⇔(

) ≥ ( 6 − 2 x ) ( 12 − 3 y ) ( 2 x + 3 y )
3
⇔ 63 ≥ 6( 3- x)(4 – y)(2x +3y) ⇔ 62 ≥ ( 3- x)(4 – y)(2x +3y ) ⇔ 36 ≥ ( 3- x)(4 – y)(2x +3y )
Vậy (3-x)(4–y)(2x+3y) ≤ 36 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
6 − 2 x = 12 − 3 y
2 x − 3 y = 6
x = 0
⇔
⇔
thỏa mãn điều kiện ( đpcm)

6 − 2 x = 2 x + 3 y
4 x + 3 y = 6
y = 2
Ví dụ 3: Cho a ≥ 4 ; ab ≥ 12 . Chứng minh a + b ≥ 7.

Đây cũng là bài chưa có biểu thức thỏa điều kiện của bất đẳng thức Côsi, muốn sử
dụng bất đẳng thức Côsi ta phải biến đổi tạo ra các số không âm mà trung bình cộng của nó
phải chứa ( a +b), Trung bình nhân của hai số thì không còn chứa a, b. Để thỏa yêu cầu trên,
ta cần cặp số sau: a và b +1 .
Vì a ≥ 4 ; ab ≥ 12 nên a > 0 , b > 0 ⇒ b +1 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số
a và b + 1. Ta có a + (b +1) ≥ 2 a (b + 1) ⇔ a + (b +1) ≥ 2 ab + a ⇔ a + b +1 ≥ 2 12 + 4 =8
⇔a+b=7.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b + 1 ⇒ a = 4 , b = 3 .
*/ Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất : Loại bài tập tìm giá trị nhỏ nhất “min”
hay giá trị lớn nhất “max” được gọi chung là toán cực trị. Để giải loại bài tập này, cần nhấn
mạnh cho học sinh ngoài việc tìm min , tìm max cần xét điều kiện dấu “=” xảy ra.
Ví dụ 1: Cho x ≥ 2 . Tìm min của x +

1

x

Muốn tìm min của biểu thức ta phải biến đổi biểu thức về dạng lớn hơn hoặc bằngmột
số. Xét điều kiện dấu “=” xảy ra, dùng lập luận chỉ ra giá trị nhỏ nhất là số khi xảy ra dấu
“=” Đối với bài này, hai số x và

1
không thỏa điều kiện bất đẳng thức Côsi. Do đó muốn
x

dùng bất đẳng thức Côsi ta phải tạo ra hai số không âm có giá trị bằng nhau, rồi mới được
dùng. Cụ thể cho bài giải trên sẽ là :
1
x 1 3x
x 1 3x 2 3x
3.2 5
=
= + + ≥ 2 . + = + ≥ 1+
x
4 x 4
4 x 4 2 4
4
2
x 1
1 5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi = ⇔ x = 2 . Vậy min x + = khi x = 2 .
4 x
x 2
1
1

4 3
Cách 2: (Phân tích theo ): Ta có x + = x + − . Dùng bất đẳng thức côsi cho 2 số
x
x
x x
4
4 3
3
3 5
4
4

x; ta được .  x + ÷ ≥ 2 x. = 4 . Suy ra x + − ≥ 4 − ≥ 4 − = ( do x ≥ 2 )
x
x x
x
2 2
x
x


Cách 1:( phân tích theo x) : Ta có : x +

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4

1 5
x = > 0

⇔ x = 2 . Vậy min x + =
x
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
khi x = 2
x 2
 x ≥ 2

Ví dụ 2: b) Cho a +b = 9 và a; b ≥ 0 .
*/ Tìm max của a.b
*/ Tìm max của a2b5
Do bất đẳng thức Cô si có chiều “ ≥ ”, nên học sinh thường quen với loại bài tập tìm “min”.
Khi gặp yêu cầu tìm max, học sinh có thể lúng túng không tìm ra hướng giải. Để giúp học
sinh nhanh chóng ổn định tinh thần, giáo viên chúng ta gợi ý cho học sinh đọc yêu cầu bài
toán theo hai chiều ( a ≥ b thì b ≤ a). Muốn tìm max ta cần chiều “ ≤ ”. Nghĩa là chiều ngược
lại của bất đẳng thức Côsi. (Hay tìm max là bài toán ngược của bài toàn tìm min). Một khi
học sinh đã thông suốt được lập luận trên thì việc giải bài tìm max sẽ không còn mấy khó
khăn. Có chăng thì cũng chỉ là yêu cầu lập luận chặt chẽ mà thôi . Cụ thể :
*/ Vì a +b = 9 và a; b ≥ 0 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số a và b không âm, ta có
2

2

a+b
 a+b
 9  81
ab ≤
⇔ ab ≤ 
÷ . Do a +b = 9 nên ab ≤  ÷ =
2
4

 2 
2
a = b
9
⇔a=b=
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
2
a + b = 9
81
9
Vậy max của a.b = khi a = b =
4
2
a a b b b b b 2 5
*/ Ta có a2.b5 = a.a.b.b.b.b.b =  . . . . . . ÷.2 .5 .
2 2 5 5 5 5 5

a + b ≥ 2 ab ⇔

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 7 số ta có :
7
7
a a b b b b b 2 5
2 5  a+b
2 59
.
.
.
.
.

.
.2
.5
≤
2
.5
=
2
.5

÷

÷
 ÷
2 2 5 5 5 5 5
 7 
7

2b
45


a=
b=
a b


 =



5
7
⇔
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  2 5 ⇔ 
2
18
 a + b = 9
 b+b = 9
a =
 5

7
7

18

45

 
Vậy max (a2.b5) = 22.55  ÷ khi a = ; b =
7
7
7
Tóm lại: Bài tập dùng bất đẳng thức Côsi rất đa dạng và phong phú. Mỗi loại bài có
nhiều dạng khác nhau , mỗi dạng lại có nhiều mức độ yêu cầu phù hợp cho nhiều đối tượng
học.
Nhờ có bất đẳng thức Côsi mà chúng ta giải quyết được nhiều bài tập trong một thời gian
ngắn. Chính vì vậy mà mỗi giáo viên chúng ta khi dạy giải bài tập cần tìm tòi, nghiên cứu kĩ
phương pháp giải cho từng dạng, từng loại bài cụ thể. Làm được điều này, không những tự
mình rèn luyện cho mình có một hành trang kiến thức vững vàng, tự tin khi đứng trên bục

giảng mà còn để lại ấn tượng tốt đẹp trước học sinh, cũng như cha mẹ các em.
d) Phương pháp phân tích số hạng:
Loại bài tập dùng phương pháp phân tích số hạng là một trong những tập được mệnh
danh là khó đối với học sinh, bởi các em không hiểu, không nắm được cách phân tích số
hạng là gì, có chăng cũng chỉ là dự đoán, mò mẫm, may chăng thì được kết quả đúng. Vì thế
9

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

mà học sinh và ngay cả giáo viên cũng cảm thấy nản chí muốn lùi bước khi gặp dạng toán
này. Để giúp học sinh bớt đi sự chán nản, cam đảm, tự tin hơn khi đối mặt với loại bài tập
này. Người thầy phải làm thế nào để giúp cho học sinh biết liên tưởng, ghép nối các kiến
thức đã học, tìm dạng bài tập quen thuộc đã có cách giải từ dễ đến khó, khôn khéo gợi ý cho
học sinh biết dựa vào bài đã học , tìm ra điều tương tự có thể vận dụng cho bài tập này. Làm
nhiều lần, qua nhiều bài tập tương tự như vậy chắc chắn học sinh sẽ không còn cảm thấy
chán nản hay lười biếng . Nhiều em sẽ có hứng thú tìm tòi lời giải cho nhiều bài tập hay và
khó hơn .
Ví dụ 1: Chứng minh A =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
<1

1.2 2.3 3.4
2009.2010

Đây là bài toán thông dụng nhất, phổ biến nhất, các em được giải ngay từ khi được về
học phân số. Ta nhận thấy mỗi phân số đều phân tích được thành một hiệu theo công thức
sau:
1
1
1
= −
với n ∈ N. Việc giải bài tập này không khó đối với học sinh (ngay cả học
n(n + 1) n n − 1

sinh diện đại trà ). Bởi các em đã được giải nhiều lần. Nếu các em biết liên tưởng kiến thức
cũ và vận dụng được công thức thì việc giải bài tập ở dạng này sẽ bớt đi phần trở ngại, khó
khăn .
Cũng dạng bài tập này, nếu ta thay đổi một phần nhỏ dự kiện và giữ nguyên dự kiện
kia thì ta sẽ có nhiều bài tập cùng dạng hay hơn, Đáp ứng được nhu cầu của nhiều đối tượng
học. Thuận lợi cho giáo viên trong việc phụ đạo học sinh yếu, bồi dưỡng học sinh giỏi .
Ví dụ 2:( Dành cho học sinh giỏi ) Chứng minh :

1 1 1
1 5
+ 2 + 2 + ... + 2 < với ∀ n >1
2
1 2 3
n
3

Thực sự đây là bài tập khó, mặc dầu các phân số có gống nhau ( tử chung, mẫu số đều có

dạng bình phương của các số tự nhiên liên tiếp) nhưng đây không phải là bài ở dạng 1. Vậy
làm thế nào để tách, và tách như thế nào ? Trả lời câu hỏi này không dễ đối với học sinh và
ngay cả với giáo viên . Muốn vậy, đòi hỏi giáo viên chúng ta phải thường xuyên tham khảo
tài liệu, sưu tầm các phương pháp giải hay và phù hợp đối tượng học sinh . Minh học cách
giải bài tập trên như sau:
Giải : Ta có với ∀ k >1 :
2 ( 2k + 1 − 2k + 1)
1
4
4
4
2.2
1 
 1
= 2< 2
=
=
=
= 2
−
÷ với
2
k
4k
4k − 1 ( 2k − 1) ( 2k + 1) ( 2k − 1) ( 2k + 1)
( 2k − 1) ( 2k + 1)
 2k − 1 2k + 1 

k = 2 , 3, 4...
Cho k lần lượt bằng 2, 3, 4 .. n ta được :

1 1
1
1
1 
1  2
1 1 1 1
1
+ 2 + ... + 2 < 2  − + − + ...
−
÷< 2  −
÷<
2
2 3
n
2n − 1 2n + 1 
3 5 5 7
 3 2n + 1  3
1 1 1
1
2 5
Do đó 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 + =
( đpcm)
1 2 3
n
3 3

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 1 +
Giải:Ta có 1 = 2 =
k

2 k

1
1
1
+
+ ... +
> 2.
2
3
n

(

(

)

n + 1 − 1 với ∀n ∈ Z +

)

2 k − k +1
2
2
>
=
=2
k − k −1
k+ k

k + k +1

(

k +1 − k

)

với k =1,2,3

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khi k = 1,2 , 3, ...n ta được

(

)

1
1
1
+
+ ... +
> 2 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ... + n + 1 − n = 2
2
3
n

1
1
1
+
+ ... +
> 2. n + 1 − 1 với ∀n ∈ Z +
Vậy 1 +
2
3
n
1+

(

(

)

n +1 −1

)

*/ Bài tập tương tự :( Tham khảo )
1 1 1
1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 < 2 − với n > 1
2
1 2 3
n

n
1 1 1
1
b) 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 với ∀n ∈ Z +
1 2 3
n

Chứng minh :a)

1

1

1

1

+
+
+ ... +
c) 2 +
3 2 4 3
( n + 1) n < 2 với ∀n ∈ Z

1 
 1
−
÷
k +1 
 k

Gợi ý giải câu c: Mỗi phân số đều có dạng công thức tổng quát : < 2 

Thay k lần lượt bởi các số 1, 2, 3, ... vào công thức tổng quát , ta có điều phải chứng minh.
1
1
1 
1  1
1 
 1
1
= k.
= k −
+
−
÷= k 
÷
÷=
k . ( k + 1)
k +1   k
k +1 
 k k +1 
( k + 1) k
 k

k  1
1 
1 
 1
−

−
 1 +
÷

÷< 2 
÷ do
÷
k +1   k
k +1 
k +1 
 k


k
<1
k +1

Khi k
1
1
1
1
+
+
+ ... +
< 2.  1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... + 1 − 1 ÷
2 3 2 4 3
( n + 1) n
2
2

3
3
4
n
n +1 
1


= 2 1 −


1 
÷ < 2 (đpcm)
n +1 

*/ Ưu điểm hạn chế :+ Dạng bài tập này, giúp giáo viên chọ học sinh giỏi chính xác
một cách tuyệt đối. Học sinh giải được các bài tập này khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, thì
đó là những nhân tài thật sự.
+Hạn chế : Bài tập quá khó, lực học trong lớp không đồng đều, dể đưa đến tình trạng
học sinh chán nãn, bỏ bê học toán .
Dạng bài tập về chứng minh bất đẳng thức không chỉ xuất hiện ở phân môn đại số mà
còn xuất hiện ngay cả trong phân môn hình học và cả các môn khoa học tự nhiên khác như:
( Môn hóa học, môn vật lý . v. v). Do đó khi dạy loại toán này, giáo viên nên lấy thêm ví dụ
thuộc các môn học nói trên, nhằm tạo ra cho học sinh hứng thú, gây sự tò mò, ham tìm hiểu.
Đồng thời giúp học sinh thấy được sự cần thiết phải học đều các môn. Có như thế mới giáo
dục và phát triển con người toàn diện, phù hợp với mục tiêu giáo dục mà bộ giáo dục và đào
tạo đã ban hành. Toán học được gắn liền với các môn khoa học khác, gắn liền với đời sống
thực tế. Chính lao động làm phát sinh toán học, ngược lại toán học bổ trợ cho đời sống thực
tế con người .
Ví dụ: về hình học :

GT: Cho ∆ ABC,AB =c ; BC = a; CA = b
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M trong ∆ ABC . Khoảng cách từ M đến BC,

AC, AB là x,y,z.
KL: Xác định vị trí của M để P =

a b c
+ +
x y z

A

Đạt giá trị nhỏ nhất .
GV: Muốn tìm giá trị nhỏ nhất, ta phải biến đổi P về dạng lớn hơn
hoặc bằng một số không đổi, xét điều kiện dấu “=” xảy ra.
Ta có : SABC = SMBC +SMCA + S MAB ⇒ S =
a b c
1
( ax + by + cz ) ⇒ 2SP = ( ax + by + cz )  + + ÷=
2
x y z
x

y

y

b

c

M y

z

x
B

a

C

z

x z






x y
y z
x z
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : + ≥ 2; + ≥ 2; + ≥ 2
y x
z y

z x

a2 +b2+c2 +ab  + ÷+ bc  + ÷+ ca  + ÷.
y x
z y
z x

Do đó : 2SP ≥ a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca = ( a + b + c )

2

⇒ P ≥ ( a + b + c ) . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ M là tâm đường tròn nội tiếp
2S
2

tam giác , Vậy P nhỏ nhất khi M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Ví dụ 2:
B
Cho hai điểm A, B như
A
A
B
hình vẽ. Xác định vị trí
của điểm M trên d sao
d
d
cho tổng khoảng cách
M
M
AM + MB là nhỏ nhất .

Đây là một bài
A'
toán có nội dung được
nhắc đến nhiều trong thực
tế. Để giúp học sinh giải được bài toán này, giáo viên chúng ta cho học sinh ôn lại các kiến
thức về bất đẳng thức tam giác, Gợi ý tạo hình, thay việc tính tổng AM +MB bởi tổng hai
đoạn thẳng khác(sao cho đảm bảo không mất tính tổng quát). Dùng tính chất đối xứng qua
một đường thẳng, tính chất về bất đẳng thức tam giác. Nếu học sinh nắm vững các kiến thức
trên thì việc giải bài tập này không còn mấy khó khăn. Cụ thể :
Tạo điểm A đối xứng với A’ qua d và M thuộc d nên AM = A’M( theo tính chất đối xứng )
AM + MB = A’M + MB.
Xét ∆ A’MB có A’M + MB ≥ A’B.( bất đẳng thức tam giác )
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A’M + MB = A’B ⇔ M ∈ A’B, mặt khác M ∈ d . Do đó M là
giao điểm của d và A’B ( A’ là điểm đối xứng với A qua d ).
Qua bài tập này, giáo viên có thể giáo dục cho học sinh thấy được tầm quan trọng của toán
học trong đời sống thực tế. Nhờ có toán học mà chúng ta làm lợi kính tế cho mọi người, mọi
nhà và cho toàn xã hội.
* Ví dụ về môn hóa học : Cho 2,4 gam một kim loại hoá trị 2 tác dụng với dung dịch chứa
0,18 mol HCl thì sau phản ứng dư kim loại .
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 15


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Lượng kim loại trên nếu cho tác dụng với dung dịch chứa 0,22 mol HCl thì sau phản ứng dư
axit . Xác định kim loại đó .
Đây là một bài bất đẳng thức có nội dung hóa học. Khi dạy loại bài tập này giáo viên
nên cho học sinh ôn lại cách giải bài toán bằng cách lập phương trình, lập bất phương trình,
tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân. Nếu học sinh nắm được lí thuyết, biết vận dụng
vào thực tế thì việc giải bài toán này cũng không quá khó khăn. Từ đó giúp cho học sinh

thấy được mối quan hệ qua lại giữa các môn học, sự cần thiết phải học đều các môn. Sau đây
là lời giải của bài toán trên.
Giải: Gọi kim loại cần xác định trên là R , đ/k
Theo bài ra ta có phương trình phản ứng : R
+
2HCl
RCl 2 + H2
Theo phương trình phản ứng số mol HCl bằng 2 lần số mol kim loại R
Số mol kim loại là:

2, 4
R

2, 4
> 0, 09
R
2, 4
< 0,11
+ Trường hợp 2:0,22 mol HCl phản ứng vừa đuur với 0,11 mol R →
R
2, 4
< 0,11 ⇒ 21,8 Từ (1) và (2) ta có : 0,09 <
R

+ Trường hợp 1: 0,18 mol HCl phản ứng vừa đủ với 0,09 mol R →

(1)
(2)

Vậy kim koại cần tìm là Ma giê ( Mg = 24)
B/ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC :

Trong giải bài tập, mặc dầu gặp dạng bài đã quen thuộc, tưởng chừng như điểm 10 dễ
dàng nắm được trong tay, vậy mà đó cũng chỉ là điều mơ ước của học sinh mà thôi. Bởi lẻ
khi giải bài tập, học sinh thường mắc phải không ít sai lầm. Có hai nguyên nhân chính dẫn
đến học sinh thường mắc phải sai lầm trong khi giải bài tập.
*/ Nguyên nhân về lời giải :
- Sai sót về kiến thức toán học ( Hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết
luận của định lí .
-Sai sót về phương pháp suy luận.
- Sai sót do tính sai, sử dụng kí hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai ....
*/ Nguyên nhân về cơ sở lí luận :
- Học sinh hiểu đúng, nhưng không trình bày rõ lí do ( do thời gian hạn chế hoặc học
sinh nghĩ rằng không cần thiết phải trình bày )
-Học sinh cứ tưởng là đúng một cách vô lí ( thiếu cơ sở) .
-Học sinh không thấy được cơ sở lí luận, nhưng lại thấy kết luận là đúng nên cứ kết
luận bừa .
**/ Sau đây là một số ví dụ về bài giải sai lầm thường gặp và hướng khắc phục trong khi giải
bài tập “bất đẳng thức”.
Ví dụ 1: Cho x ≥ 2 . Tìm min của x +

1
x

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cách giải sai: Sai lầm của học sinh khi giải bài này, các em đã áp dụng bất đẳng thức côsi
1
, bởi vì các em không chú ý đến giả thiết mà chỉ nhìn thấy, cả hai số đều
x
1
1
1
không âm và tích của hai số đó bằng 1 nên ta có : x + ≥ 2 x. = 2 . Vậy min x + = 2
x
x
x
1
Thực chất ở đây x và không bằng nhau do đó không được dùng bất đẳng thức Côsi.
x

cho hai số x và

Cách giải đúng : Tham khảo ở phần phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi ( phần trên)
Ví dụ 2: Cho x ≥ 3 . Tìm min của x +

1
x2

Cách giải sai : Do x ≥ 3 ⇒ x ≥ 9 > 0 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x2 và

1
x2

1
1

1
2
2 1
2 = x + 2 ≥ 2 x . 2 = 2 . Vậy min x + 2 = 2.
x
x
x
x
1
Nguyên nhân sai : Học sinh đã hiểu nhầm kiến thức x 2 = 2 nên vận dụng sai bất đẳng thức
x

ta được x +

Côsi.
Cách giải đúng : Phân tích x +

1
thành tổng của 4 số , trong đó có 3 số dùng được bất
x2

đẳng thức cô si ( Tích của ba số đó không còn chứa x) . Cụ thể
Ta có : x +

x
1  25 x
1  x
+
+ 2 ÷+
2 =

x
 27 27 x  27
 x

x

1 

Áp dụng bất đẳng thức cho 3 số dương  ; ; 2 ÷ta được :
 27 27 x 
x
1  25 x
 x
x
x
1
x x 1
1
+ 2 ÷+
≥
+
+ 2 ≥ 33
. . 2 = 3. . Vì x ≥ 3 ⇒  +
 27 27 x  27
27 27 x
27 27 x
9
1
 x
1 25 x 1 25.3 28

 = 2
+
= +
=
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  27 x ⇔ x = 3 .
3 27 3 27
9
 x ≥ 3
1
28
khi x = 3.
2 =
x
9
Ví dụ 3: Cho a.b ≥ 20 ; b ≥ 5 . Chứng minh rằng a +b ≥ 9
Cách giải sai thứ nhất : Học sinh giải : Do a.b ≥ 20 ; b ≥ 5 ⇒ a ≥ 4 nên a +b ≥ 9

Vậy min x +

Nguyên nhân sai: Trong biến đổi học sinh đã vận dụng và lập luận sai.
Cách giải sai thứ hai: Học sinh giải , Áp dụng bất đẳng Côsi cho a và b ta được .
a + b ≥ 2 ab ≥ 2 20 = 4 5 vì a = b và a.b = 20 nên a = b = 20
Nếu giả thiết a.b = 20 là đúng thì a + b ≥ 9 là sai . Như vậy, sai lầm trong bài này là đề ra sai.
Cách giải đúng: Rõ ràng a.b ≥ 20 ; b ≥ 5 ⇒ a >0 , b >0 ⇒ a +1 >0 . Áp dụng bất đẳng thức
Cô si cho 2 số b và a + 1 ta được .
b + (a +1) ≥ 2 b. ( a + 1) = 2 ab + b .
vì a.b = 20 và b ≥ 5 nên 2 ab + b ≥ 2 20 + 5 = 10
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 17

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------⇒
≥
hay b + (a +1) = 10 a + b 9
a + 1 = b
b = 5

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b = 20 ⇔ 
. Vậy a+b ≥ 9 khi b = 5 và a = 4
a = 4
b ≥ 5

a b
+ ≥ 2 với a,b cùng dấu
b a
a b
a b
a b
Cách giải sai: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho , ta được + ≥ 2 . = 2
b a
b a
b a

Ví dụ 4: Chứng minh

Đây là một sai lầm không chỉ dành cho học sinh mà ngay giáo viên ( Sai sót về kiến thức
a b
, là hai số dương nhưng
b a
a b
a b

≠ . Sai lầm trong bài này là thiếu điều kiện để dấu “=” xảy ra . Người giải đã hiểu =
b a
b a

thức ) nếu chúng ta không cẩn thận cũng dễ mắc phải , Mặc dầu

Cách giải đúng phải là : Tùy thuộc vào phương pháp lựa chọn chứng minh ( tham khảo ở
phần trên) . Đơn cử một cách giải như sau :
2
2
a − b)
Ta có : a + b − 2 = a + b − 2ab = (
Vì a,b cùng dấu nên ab>0 và (a-b)2 ≥ 0 ∀ a, b
2

b a
ab
ab
2
a b
a − b)
Do đó (
≥ 0 . Vậy + ≥ 2 với a,b cùng dấu .
b a
ab

Chú ý : Khi giải bài tập về dạng chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất hoặc
nhỏ nhất . Ngoài việc tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất , cần chú ý thêm xét điều kiện để dấu
“=” xảy ra.
Ví dụ 5: Đề bài yêu cầu, chứng minh a2 +b2 +c2 ≥ ab +bc +ca (1)

Cách giải sai : Khi giải bài này , học sinh đã suy luận :
2
2
2
Từ (1) ⇒ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca ⇒ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0
(2 )
Học sinh kết luận : vì (2) đúng nên (1) đúng .
Đây là phép phân tích đi xuống nên từ (2) đúng ta chưa có quyền kết luận (1) đúng . Sai lầm
trong bài này là học sinh chưa nắm vững bất phương trình tương đương.
Cách giải đúng Cũng phép biến đổi trên , song thay phép suy ra (kéo theo) bằng phép biến
đổi tương đương, cuối cùng kết luận vì (2) đúng nên (1) đúng . và xét trường hợp dấu “=”
xảy ra .
Ví dụ 6 : Giải phương trình x2 < 4 hoặc phương trình : x2 > 4
Cách giải sai: x2 < 4 ⇒ x < ± 2 hoặc x2 > 4 ⇒ x > ± 2 trong cả hai trường hợp này,
học sinh đã mắc sai lầm (về kiến thức ). do không nắm vững tính chất của lũy thừa bậc chẵn
trong bất đẳng thức .
Cách giải đúng : x2 < 4 ⇒ x < 2 ⇒ -2 < x < 2.
x2 > 4

x > 2
⇒ x >2⇒ 
 x < −2

Là giáo viên, người trực tiếp truyền thụ kiến thức đến với học sinh. Mỗi chúng ta cần
chịu khó đầu tư nhiều hơn trong việc tìm tòi, chọn lọc các phương pháp dạy học phù hợp
cho từng loại bài tập, phù hợp cho từng cách giải khác nhau, kịp thời chỉ ra những sai lầm
học sinh thường gặp, giúp các em dễ dàng vượt đến đích trong các bài kiểm tra, bài thi. Để
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

có một bài tập hoàn chỉnh, yêu cầu học sinh nên tập một thói quen kiểm tra lại bài sau khi
giải. Đặc biệt chú ý ( về cơ sở lí luận, trình bày lời giải )
Một số bài tập vận dụng
Bài 1. Giải bằng nhiều cách. Cho x ≥ 3 . a) Tìm min x +

1
x

b) Tìm min x +

1
x3

1 1 1



1 1 1
3

Bài 3. Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ . Tìm min của  a + b + c + + + ÷
a b c
2

1 1 1
Hướng giải bài 3: để đảm bảo a = b =c = = =
thì ta phải tách các số sao cho phù hợp
a b c

Bài 2. Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 3 . Tìm min của  a + b + c + + + ÷
a b c

điều kiện áp dụng được bất đẳng thức Côsi.
C1/ Tách a +b +c = 4a + ab +4c -3a -3b -3c
C2/ Tách

1 1 1 1
1
1 31 1 1
+ + =
+
+ +  + + ÷
a b c 4a 4b 4c 4  a b c 

Dùng bất đẳng thức Côsi cho 6 số và bất đẳng thức Côsi cho 3 số . ta được điều cần tìm.
Đặc biệt đối với đối tượng là học sinh khá giỏi, giáo viên chú trọng mức độ ra đề, đề
bài đòi hỏi học sinh cần có sự sáng tạo. Phải khôn khéo, linh hoạt trong biến đổi mới làm
xuất hiện các số đủ điều kiện có thể dùng bất đẳng thức Côsi. Vì vậy yêu cầu học sinh không
nên tự thỏa mãn trước những gì mình đạt được mà phải thật sự cần cù, chăm chỉ hơn, đam
mê trong nghiên cứu.
C/ MỞ RỘNG TÍNH ĐA DẠNG, PHONG PHÚ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TẠO
LẬP ĐỀ MỚI ĐỀ BÀI :

Như chúng ta đã biết: Kiến thức luôn mang tính kế thừa, Việc nắm vững kiến thức
đồng nghĩa với sự cần cù, chăm chỉ tích góp kiến thức trong học tập. Việc hiểu sâu sắc về
tính chất của bất đẳng thức, giúp người dạy, cũng như người học dễ dàng xoay chuyển tình
thế, giải quyết được nhiều dạng bài tập. Đặc biệt, đối với người thầy thì dễ dàng hướng dẫn
học tránh được những sai lầm thường gặp. Tự cải biên, tạo ra được nhiều dạng bài tập hay và

bổ ích ngay trên một giờ dạy. Phát huy được tính tích cực, tự giác, năng động, khích lệ được
tính đam mê sáng tạo của nhiều học sinh. Giờ học trở nên sinh động và lí thú, phù hợp với
đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Trên cơ sở đó, giáo viên tạo được nhiều đề kiểm tra,
đề thi có nhiều mức độ yêu cầu trên cùng một đơn vị kiến thức mà không có sự trùng lặp
tránh được sự mong chờ may rủi trong kiểm tra của học sinh. Sau đây là một số ví dụ dạng
bài tập có thể cải biên tạo hệ thống bài tập mới .
+ Dạng hình học: Nếu thay hai điểm A, B bởi hai khu dân cư Điểm M bởi trạm thủy điện và
d là bờ sông ta có bài toán mới. Bài toán này giúp ta làm lợi kinh tế (do tiết kiệm được dây
điện )
+ Dạng bài tìm min, tìm max: Đối với các bài tập tìm min , max, ngoài việc dạy cho học sinh
cách giải bài tập, giáo viên chúng ta cần gợi ý, hướng dẫn tạo cho các em biết vận dụng các
tính chất đặc biệt của bất đẳng thức Côsi ( Tính bình đẳng của a và b ). Từ đó biết cách tách
số đã cho thành các số mà tích của hai, hay nhiều số luôn cho ta một hằng số để tạo lập hệ
thống đề bài tập mới. Học sinh biết ra đề bài đồng nghĩa với học sinh biết giải bài tập đó.
Làm tốt điều này thì chắc chắn không những kiến thức của các em là có thực mà còn gây
được hứng thú, khích lệ sự đam mê, ham tìm tòi, khơi dậy tiềm ẩn về tố chất toán học của
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 19


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

các em. Phù hợp với xu thế đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Sau đây là ví dụ minh
họa về hướng tạo mới đề bài, ra hệ thống đề bài giúp cho giáo viên không còn lệ thuộc vào
sách giáo khoa mà tự tin, làm chủ kiến thức ( loại này phù hợp với đối tượng học sinh thuộc
diện đại trà, lớp đại trà). Cụ thể :
Ví dụ 1: Cho x ≥ 2. Tìm min của x +

1
bài tập đã sữa phần trên .
x

+ Nếu cố định giả thiết (x ≥ 2) , thay đổi kết luận tìm min của ( x +

1
1
x + 3 . v..v) ta
2 hoặc
x
x

sẽ có một loạt bài tập mới cùng dạng .
1
x

+ Nếu Cố định kết luận ( tìm min của x + ) , thay dự kiện của giả thiết ( Số 2 bởi các số
nguyên dương khác) ta lại có một loạt bài tập mới cùng dạng .
+ Nêú thay đổi đồng thời cả giả thiết và kết luận thì ta lại sẽ có một hệ thống bài tập
Ví dụ 2: Xét lại ví dụ1: Chứng minh A =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
<1
1.2 2.3 3.4
2009.2010

Cũng dạng bài tập này, nếu ta thay đổi một phần nhỏ dự kiện và giữ nguyên dự kiện kia thì
ta sẽ có nhiều bài tập cùng dạng hay hơn, Đáp ứng được nhu cầu của nhiều đối tượng học.
Thuận lợi cho giáo viên trong việc phụ đạo học sinh yếu, bồi dưỡng học sinh giỏi .
Ví dụ :C1: Nếu thay số 1 ở tử bởi cùng một số khác và giữ nguyên mẫu.
C2: Giữ nguyên tử và thay đổi mẫu bằng tích của hai số nguyên chẵn liên tiếp hoặc
tích hai số nguyên lẻ liên tiếp , hoặc tích hai số cách đều.
C3: Thay đổi cá tử và mẫu ta sẽ có một loạt bài tập mới, có nhiều mức độ yêu cầu
khác nhau.
Ví dụ 3: Cho a.b ≥ 20 ; b ≥ 5 . Chứng minh rằng a +b ≥ 9 ( Đã sửa)
Giáo viên gợi ý cho học sinh , yêu cầu học sinh nêu hướng có thể tạo lập hệ thống bài tập
tương tự được không ? nếu được thì lập bằng cách nào ?
C1/ Cố định giả thiết a.b ≥ 20 , thay b ≥ 5 bởi a ≥ 5 và giữ nguyên kết luận a +b ≥ 9 , ta có
bài toán tương tự .
C2/ Thay giả thiết a.b ≥ 20 và a +b ≥ 9 còn giữ nguyên b ≥ 5 . ta có một bài tương tự
Chẳng hạn : a.b ≥ 31 , b ≥ 5 . Chứng minh a +b ≥ 5
C3/ Thay đổi đồng thời cả giả thiết và kết luận ta lại có thêm nhiều bài tập mới có cùng nội
dung.
Ví dụ 4 ( giành cho học sinh giỏi ) Cho a +b = 9 và a; b ≥ 0 . Tìm max của a2b5
Trên cơ sơ sở đã có bài giải sẵn, học sinh có thể cải biên đề bằng cách :
C1/ cố định giả thiết a +b = 9 và a; b ≥ 0 , thay yêu cầu của kết luận ( đổi số mũ của a , b
hoặc cả a và b) ta có nhiều bài tập tương tự cách giải trên.
C2/ Cố định kết luận, thay đổi một dự kiện của giả thiết a +b bằng một số tự nhiên khác ta
lại có hàng loạt bài tập.
Tóm lại: Không phải bất kì bài tập nào khi dạy giáo viên chúng ta cũng bắt buộc học
sinh tạo lập mới được đề bài mà tùy từng bài cụ thể, tùy thuộc đối tượng học là ai. Tuy
nhiên, nếu trong tiết dạy đưa được yêu cầu này vào thì tiết học mới trở nên lí thú và bổ ích.
Thu hút được sự chý ý của học sinh.
2) Kết quả nghiên cứu : Loại toán về bất đẳng thức được phổ biến rộng rãi như nội dung đề
tài trình bày ở trên. Phần lớn học sinh hiểu và vận dụng tốt trong các bài kiểm tra định kì,
học kì. Đặc biệt loại toán có sử dụng bất đẳng thức phần lớn thường được ra đề trong các kì

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 20


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

thi học sinh giỏi các cấp, kì thi vào các trường chuyên, lớp chọn. Qua công tác điều tra bằng
nhiều phương pháp:cụ thể như: “Trò chuyện”, “vấn đáp”, điều tra trên phiếu học tập (Thông
qua các bài kiểm tra). Dựa trên kết quả thi vào các trường chuyên, lớp chọn hàng năm. Bản
thân tự đánh giá được mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức về “bất đẳng thức” của học
sinh ngày một cao hơn. Mức độ ra đề kiểm tra ngày một khó hơn, những năm về sau cao
hơn năm trước. Với kĩ năng đổi mới trong việc ra đề, đề bài không có sự trùng lặp, không có
hiện tượng sao chép. vậy mà số lượng học sinh làm được câu khó ngày càng nhiều hơn, chất
lượng đạt được của học sinh vẫn cứ cao hơn những năm trước .
- Thông qua ghi chép và theo dõi kết quả thực hiện mãng kiến thức này của học sinh đại trà
và kết quả thi học sinh giỏi các cấp, thi vào các trường THPT, trường THPT chuyên hàng
năm, bản thân thu được kết quả như sau :
*/ Kết quả của ba lớp 8 và ba lớp 9 trong hai năm liền thuộc ba mốc thời gian thực dạy .
Khối

8
Khối

9

Năm học 1996-1997
( SS:90)
Số lượng
3→5

Năm học 2000-2001

(SS: 135)

%
3,3% → 5,6%

Năm học 1997 -1998
( SS:90)
Số lượng
5→9

Số lượng
7 → 11

Năm học 2004-2005
( SS:135)

%
5,2% → 8,1%

Năm học 2001 – 2002
( SS: 135)

%
Số lượng
5,6% → 10% 11 → 18

Số lượng
11 → 19

%

8,1% → 14,1%

Năm học 2005 -2006
( SS:135)

%
Số lượng
8,1% → 13,3% 26 → 42

%
19,3% → 31,1%

*/ Phần lớn học sinh thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT, THPT chuyên các trường đều
vận dụng một cách tương đối khá về giải dạng bài về “ bất đẳng thức” . Vì vậy số lượng học
sinh giỏi hàng năm tương đối cao .
Cấp
huyện
Cấp
tỉnh

Năm học 1999 -2000

Năm học 2002 - 2003

Năm học 2005 -2006

Số lượng
4 em
Năm học 1999-2000

Số lượng
4 em
Năm học 2001 - 2002

Số lượng
3 em
Năm học 2005 -2006

Số lượng

Số lượng

Số lượng

2 em

Không thi

1 em

*/ Kết quả thi vào trường chuyên hàng năm :
Năm học 1997 -1998
Số lượng

6 em

Năm học2001 - 2002
Số lượng

8 em

Năm học 2005 -2006
Số lượng

8 em

Đối với năm học 2009-2010: Mặc dầu chưa kết thúc năm học song bản thân nhận định được
chất lượng bộ môn toán của học sinh năm học này có rất nhiều tiến bộ so với các năm học
trước. Chất lượng mũi nhọn đạt tương đối cao. Học sinh giỏi cấp huyện:Giải nhất- giải ba.
IV/ NHỮNG ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ :
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1) Một số đề xuất : Từ thực tế, trải nghiệm qua nhiều năm dạy học, tôi rút ra được bài học
cho bản thân về tầm quan trọng của loại toán “Bất đẳng thức” trong các bộ môn khoa học
nói chung và bộ môn toán học nói riêng. Nhờ có “bất đẳng thức” mà ta giải quyết được
nhiều dạng bài toán trong nhiều lĩnh vực, cũng như trong đời sống hàng ngày. Vì vậy mà đề
tài của tôi luôn chú trọng việc không ngừng khai thác kiến thức, vận dụng hiểu biết kiến
thức, truyền thụ cũng như xây dựng mở rộng hệ thống kiến thức đến với học sinh. Giúp các
em thấy được, nhiệm vụ chính của người học sinh trong thời đại này là: “Học, học nữa, học
mãi”. Để đạt được mục tiêu, nội dung và nhiệm vụ mà đề tài nêu ra ở trên, bản thân cần có
một số đề xuất sau :
- Duy trì giáo viên dạy nhiều năm trên một lớp trong cấp học ( Giúp cho học sinh làm
quen với phương pháp dạy học, thuận lợi cho giáo viên trong việc phụ đạo yếu, kém và
củng cố kiến thức bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Phát huy được vai trò học sinh khá giỏi, hỗ
trợ giúp đỡ học sinh yếu .
- Biên chế số lượng học sinh trên một lớp cần ít hơn so với thực tế hiện tại ( Thuận lợi
cho giáo viên dễ bao quát lớp, quan tâm, theo dõi và giúp đỡ được từng em ngay trong mỗi

tiết học )
- Mỗi gia đình cần thật sự quan tâm “đúng cách” nhiều hơn đến con em mình. Trang bị
đầy đủ đồ dùng học tập ngay từ đầu năm học cho con em .( Giúp cho các em có được nề
nếp trong và ngoài giờ học tốt hơn, nhằm nâng cao hiệu quả học tập )
- Bên đoàn , đội : Nên thường xuyên phát động phong trào thi đua xây dựng hệ thống bài
tập theo từng mảng kiến thức trên từng môn học . Mỗi học sinh phải tích cực, tự giác, chịu
khó, say mê trong nghiên cứu tìm tòi kiến thức. (Giúp các em năng động thực sự, sáng tạo,
tự tin hơn trong lĩnh hội và vận dụng kiến thức ).
2) Một vài kiến nghị :
* Đối với lãnh đạo các cấp :
- Thường xuyên tổ chức, triển khai các chuyên đề về đổi mới phương pháp dạy học cụ thể,
sát thực. Chẳng hạn ( Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng đồ dùng học tập. Kinh
nghiệm hướng dẫn học sinh tạo lập mới hệ thống đề bài tâp.v.v)..
-Tạo điều kiện thuận lợi tối đa về thời gian để cho giáo viên, cán bộ công chức viên chức
được mở rộng, nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
*/ Đối với giáo viên : Tận tâm hơn nữa với nghề dạy học (Đi sâu vào việc tìm tòi biện pháp
để truyền thụ kiến thức đến học sinh đạt hiệu quả hơn, quan tâm thực sự đến chất lượng học
tập của học sinh, đồng nghĩa với chăm lo cho thành quả dạy học của mình. Tôn trọng thành
quả đạt được của học sinh dù đó là nhỏ nhất.
V/ KẾT LUẬN : Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ khi dạy học sinh giải bài tập về mảng
kiến thức “Bất đẳng thức”, cũng như việc vận dụng tính đa dạng sự phong phú của “bất đẳng
thức” trong việc cải biên đề bài, làm đề kiểm tra, đề thi hàng năm của giáo viên. Tuy chưa
đem lại hiệu quả cao, mĩ mãn cho bản thân và toàn thể học sinh song đối với bản thân thì đó
là cả một quá trình tìm tòi, đúc rút qua nhiều năm thực dạy, và ôn luyện học sinh giỏi. Tôi
nghĩ rằng, với kinh nghiệm nhỏ nhoi này không chỉ dành riêng cho mảng kiến thức về “Bất
đẳng thức” mà còn vận dụng được cho nhiều mảng kiến thức khác trong bộ môn toán nói
riêng và các bộ môn khoa học khác nói chung. Nếu mỗi giáo viên chúng ta cùng đồng lòng,
nhiệt huyết với phong trào “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực”. Tận tâm
hơn với nghề dạy học. Xem học sinh như con em của mình. Xem học trò giỏi, đồng nghiệp
là bạn đồng hành của mình. Cùng cởi mở, chia sẽ, cùng thảo luận, xây dựng, mở rộng kiến

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

thức. Ắt kinh nghiệm dạy học ngày một dày dặn hơn. Đặc biệt hơn nữa là, nếu mỗi giáo viên
chúng ta biết thường xuyên tích lũy, gom nhặt, sắp đặt một cách có hệ thống kiến thức. Biết
vận dụng kiến thức một cách đúng lúc, phù hợp, linh hoạt và sáng tạo thì hiệu quả dạy học
của bộ môn toán chắc chắn sẽ được nhân lên. Việc ra đề thi sẽ không còn có sự trùng lặp hay
sao chép. Chất lượng bài làm của học sinh không còn là sự mong chờ may rủi. Được như
vậy thì một ngày không xa chất lượng bộ môn toán không chỉ sẽ ngang tầm với các bộ môn
khoa học khác mà còn có khả năng dẫn đầu trong các môn khoa học tự nhiên.
Kinh nghiệm của bản thân còn hơi phiến diện, nặng tính chủ quan, không sao tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp bổ sung của bạn bè, đồng nghiệp để
kịp thời điều chỉnh, mong sao kinh nghiệm dạy học được ngày một hoàn thiện hơn .
Xin chân thành cảm ơn .

Buôn Trấp tháng 2/2010
Người viết

Phạm Thị Vỹ

Nhận xét của hội đồng chấm cấp trường :
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................

.......
Chủ tịch HĐ( Ký tên, đóng dấu)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 23