chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1. Cơ sở pháp chế
Đào tạo bồi dưỡng học sinh trung bình yếu kém là một công tác thường xuyên
của ngành giáo dục & đào tạo. Trong xu thế phát triển hiện nay, tình trạng học sinh ở
các vùng có điều kiện còn khó khăn bị mất gốc cũng như học yếu môn toán tương đối
phổ biến. Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc chống học sinh ngồi sai lớp
diễn ra tích cực cho nên công tác cập nhật bổ trợ kiến thức cho học sinh luôn được
ngành giáo dục hết sức chú trọng.
1.2. Cơ sở lý luận
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là
một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh
những tri thức cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội
dung của SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy
học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy
bộ môn toán thường xuyên phải làm.
Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc kịp thời bổ trợ kiến thức cho các
học sinh trung bình, yếu kém tạo điều kiện cho các em có cơ hội học tiếp lên các lớp
trên. Hàng năm nhà trường luôn tổ chức bồi dưỡng học sinh vào các thời điểm trong
năm đặc biệt vào cuối năm đã chứng tỏ tầm quan trọng của nó.
Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều phần kiến thức cơ bản, trong đó
chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một
vai trò quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên
các biểu thức đại số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không
thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình sẽ gặp
rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành
nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học kì, thi vào lớp 10, ... nhiều năm cũng có
những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ... Chính vì vậy, việc
bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong
những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm.

1.3. Cơ sở thực tiễn
Năm học này, bản thân tôi được Nhà trường và Phòng giáo dục giao cho nhiệm
vụ đào tạo bồi dưỡng học sinh môn toán 9. Đây là cơ hội để tôi đưa đề tài này áp
dụng vào công tác bồi dưỡng học sinh.
Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này.
2. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI


- Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử.
- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phương pháp giải
bài tập thích hợp cho từng bài với mức độ từ thấp đén cao.
- Thực nghiệm việc sử dụng các phương pháp giải bài tập phân tích đa thức thành
nhân tử trong giảng dạy.
- Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu.
3. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại trường: Trường THCS Lê Lợi, huyện
EaH’leo, tỉnh Đăk Lăk và dành cho đối tượng là học sinh bộ môn Toán lớp 9.
4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Học sinh giỏi lớp 9 của Trường THCS Lê Lợi, huyện EaH’leo, tỉnh Đăk Lăk.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phương pháp sau đây:
a) Phương pháp nghiên cứu lý luận.
b) Phương pháp khảo sát thực tiễn.
c) Phương pháp quan sát.
d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

P HẦN II : N ỘI D UN G N GHIÊN CỨU
1. NỘI DUNG THỰC HIỆN

1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử
a) Định nghĩa 1
+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói
rằng đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử.
+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một
nhân tử khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:
anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c(

an n an 1 n – 1
a
x +
x + …..+ 0 ) ( với c 0, c 1 ).
c
c
c

b) Định nghĩa 2
Giả sử P(x)  P  x  là đa thức có bậc lớn hơn 0. Ta nói P(x) là bất khả quy trên
trường P nếu nó không thể phân tích được thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và
nhỏ hơn bậc của P(x). Trường hợp trái lại thì P(x) được gọi là khả quy hoặc phân tích
được trên P.


1.1.2. Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
a)Định lý 1
Mỗi đa thức f(x) trên trường P đều phân tích được thành tích các đa thức bất khả
quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.”
b) Định lý 2
Trên trường số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất

hoặc bậc hai với biệt thức  < 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân
tích được thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với  < 0”.
c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )
Giả sử f(x) = a0 + a1x + ….. + anxn , n > 1, an 0, là một đa thức hệ số nguyên .
Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của a n nhưng p là ước của
các hệ số còn lại và p2 không phải là ước của các số hạng tự do a0. Thế thì đa thức f(x)
là bất khả quy trên Q.

1.2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành
tích các đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành
thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ
cấp”. Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân
tích một đa thức thành nhân tử.
1.2.1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với
phép cộng (theo chiều ngược).Sau đây là một số ví dụ :
Chuự yự a > 0, a ( a )2
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (Các bài này đơn giản nên chỉ giải tóm tắt hoặc
ghi kết quả)
1) 5x – 5y = 5(x – y) ;

2) 2x2y + xy2 = xy(2x + y) ;

3) 12x2y2 – 18xy2 + 30y = 6y(2x2y – 3xy + 5) ;
4) x(y – 1) + 2(1 – y) = (x-2)(y-1)
5) 3 + 3 = 3 ( 3 + 1) ; 6) x - 3 x = x ( x - 3) ; 7) 14  7 = 7( 2  1) ;
8) 15  6 = 3( 5  2) ; 9) ab  a = a ( b  1) ;
10) 33  22 ; 11) 10 – 2 5 ; 12) a  b  a 2  b 2 ;
13) ax  by  bx  ay vụựi a,b,x,y dửụng.

14) 3x - 3x + 6 - 2 3

; 15) a + a  ab ; 16) 8 x + 4x ; 17) x y  y x ;

18) xm+2 - xm = xm(x2 – 1)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (các bài này khó hơn nên giải chi tiết)
Bài 19:A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)


Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)
= 2x2 (ax + 2by + ax – by)
=2x2(2ax + by)
Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
Giải: Ta có:

P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))

= (5y + 2b)(- 4a2 + ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a
Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2
Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z
Do đó : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2
= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))
=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)
Bài 22 : phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)
Giải: Ta có: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)

= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)
= (5c + 2d)(ax – 4a2)
= a(5c + 2d)(x – 4a)
Bài 23: phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
Giải: Ta có: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)
= 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2))
= 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)
= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)
Bài 24 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
Giải: Ta có : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
= (y – 2z)(16x2 – 10y)


Bài 25 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x3 + 3x2 + 2x + 6
Giải: Ta có : B = x3 + 3x2 + 2x + 6
= x2(x + 3) + 2( x + 3)
= (x2 + 2)(x + 3)
Bài 26 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 6z3 + 3z2 + 2z +1
Giải: Ta có : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1
= 3z2(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z2 + 1)
1.2.2 . Phương pháp nhóm các hạng tử
Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp
của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó

vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số ví dụ :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
1) x (x – y) + x – y = (x – y)(x + 1) ; 2) 2x + 2y –x (x + y) = (x + y)(2 – x) ;
3) 5x2 – 5xy – 10x + 10y = 5(x – y)(x – 2)
4) 4x2 + 8xy – 3x – 6y ;
5) 2x2 + 2y2 – x2z + z – y2z – 2 ;
6) ab + b a  a  1
7) x3 

y3  x2 y 

xy 2 ;

8) a 3b  ab3  (a  b) 2 ;
9) bc(b + c) + ca( c – a) – ab(a + b)
10) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc.
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
Giải: Ta có :

B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2)
= x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y)
= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)
= (y – z)((x(y + z) – yz – x2))
= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz)
= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))

= (y – z)(x – y)(z – x)
Bài 12 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A= 4x5 +6x3 +6x2 +9
Giải: Ta có : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9
= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)
= (2x3 + 3)(2x2 + 3)
Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x 6 + x4 + x2 + 1
Giả: Ta có : B = x6 + x4 + x2 + 1
= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)
= (x2 + 1)(x4 + 1)
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x2 + 2x + 1 – y2
Giải: Ta có: B = x2 + 2x + 1 – y2
= (x2 + 2x + 1) – y2
= (x + 1)2 – y2
=(x +1 – y)(x + 1 + y )
Bài 15 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
Giải: Ta có : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)
= (x + y)2 – z(x + y)
= (x + y)(x + y – z)
Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 2xy + z + 2x + yz
Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz
= (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1)
= (y + 1)(2x + z)
1.2.3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ
thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.
Các hằng đẳng thức thường dùng là :
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2


A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
A2 - B2 = (A + B) (A - B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)
Sau đây là một số bài tập cụ thể:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ; 2) 1 – 2y + y2 = (1 – y)2 ;
3) x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)3 ; 4) 27 + 27x + 9x2 + x3 ;
5) 8 – 125x3 = (2 – 5x)(4 + 10x + 25x2 ; 6) 64x3 +

1
; 7) 1 – x2y4 ;
8

8) (x – y)2 – 4 = (x – y – 2)(x – y + 2) ; 9) 16x2 – 9(x + y)2 ; 10) x + 2 x + 1
11) x – 2 xy + y = ( x  y )2 ;

12) 1 - x x ;

13) a a - 1 ;

14) x x - 8 ; 15) x x + y y

16) (x + y)3 – x3 – y3 = 3xy(x + y); 17) (x – y + 4)2 – (2x + 3y – 1)2
Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2y2 + y4
Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4
= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
= (x2 + y2)2 - x2y2
= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)
Bài 218: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
Giải: Ta có : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1)
= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)
Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử


A = (x + y)3 +(x - y)3
Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác
giải như sau :
Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)
= 2x(4x2 – 3(x2 – y2))
= 2x(x2 + 3y2)
Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2
= 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))
= 2x(x2 + 3y2)

Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 16x2 + 40x + 25
Giải: Ta có: A = 16x2 + 40x + 25
= (4x)2 + 2.4.5.x + 52
= (4x + 5)2
Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3
Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y)
Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))
= - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)
= 3(z – x)(y – z)(x – y)
Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (a + b+ c)3 – (a3 + b3+ c3)
Giải: Ta có: A = (a + b+ c)3 –(a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)
= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)
= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x8 – 28


Giải: Ta có : P = x8 – 28
= (x4 + 24) (x4 - 24)
= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 )
= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22)
= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)
Giải: Ta có:

Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)
= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)
= (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3)
= (x – 1)( x2 + 6x + 9)
= (x – 1)(x + 3)2

1.2.5. Phương pháp đặt ẩn phụ
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa
thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ
dễ dàng phân tích được thành nhân tử. Sau đây là một số bài toán dùng phương
pháp đặt ẩn phụ.
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành :
A = y2 + 4y – 12
= y2 – 2y + 6y – 12
= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x2 + x vào (1) ta được :
A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Đặt y = (x2 + x + 1). Đa thức đã cho trở thành :
A = y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12

= y2 – 3y + 4y – 12


= y(y – 3) + 4(y – 3)
= (y – 3)(y + 4)

(*)

Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta được :
A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x12 – 3x6 + 1
Giải: B = x12 – 3x6 + 1
Đặt y = x6 (y 0 )
Đa thức đã cho trở thành :
B = y2 – 3y + 1
= y2 – 2y + 1 – y
= (y – 1)2 – y
= (y – 1 -

y )(y + 1 + y )

(*)

Thay : y = x6 vào (*) được :
B = (x6 – 1 - x 6 )( y  1  x 6 )
= (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3)
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12
Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12
= (x + y)2 – (x + y) – 12
- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :
A = X2 – X – 12
= X2 - 16 – X + 4
= (X + 4)(X - 4) - (X - 4)
= (X - 4)(X + 4 - 1)
= (X - 4)(X + 3) (1)
- Thay X = x + y vào (1) ta được :
A = (x + y – 4)( x + y + 3)


1.2.6. Phương pháp đề xuất bình phương đủ ( tách số hạng)
Phương pháp đề xuất bình phương đủ là phương pháp thêm, bớt các hạng tử
trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đưa về hằng đẳng thức đáng nhớ.
Sau đây là một số ví dụ :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1) x3 – 7x – 6
Caựch giaỷi 1: Taựch -7x = - x – 6x ủửụùc (x + 1)(x2 – x – 6) roài taựch tieỏp - 6 = 2 – 4.
ẹaựp soỏ: (x + 1)(x + 2)(x – 3).
Caựch giaỷi 2:Taựch –7x = - 4x –3x ủửụùc (x + 2)(x2 – 2x – 3) roài taựch tieỏp – 3
= -1 – 2
Caựch giaỷi 3: Taựch – 6 = 8 – 14
2) x3 – x – 6
Caựch giaỷi 1: Taựch - 6 = -4 -2 ủửụùc (x2 – 4) – (x + 2) = . . .
ẹaựp soỏ: (x + 2)(x – 3)
Caựch giaỷi 2: Taựch - 6 = - 9 + 3 ủửụùc x2 – 9 – (x – 3) = …
Caựch giaỷi 3: Taựch - x = 2x – 3x ủửụùc (x2 + 2x) – ( 3x + 6) = …
3) x4 + 4x2 – 5 = (x4 + 4x2 + 4) – 9 = (x2 + 2)2 – 32 = ….

Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x2 – 6x + 5
Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách như sau:
Cách 1: A = x2 – 6x + 5
= x2 – x – 5x + 5
= x(x – 1) – 5(x – 1)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 2 : A = x2 – 6x + 5
= (x2 - 2x + 1) – 4x + 4
= (x – 1)2 – 4(x – 1)
= (x – 1)(x – 1 - 4)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 3 : A = x2 – 6x + 5
= (x2 – 6x + 9) – 4
= (x – 3)2 – 4
= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)


= (x – 1)(x – 5)
Cách 4 : A = x2 – 6x + 5
= (x2 – 1) – 6x + 6
= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
= (x – 1)( x + 1 – 6)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 5 : A = x2 – 6x + 5
= (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2
= 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1)
= 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 6 : A = x2 – 6x + 5

= (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4
= (x – 1)2 – 4x(x – 1)
= (x – 1)( (5(x – 1) – 4x))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 7 : A = x2 – 6x + 5
= (6x2 – 6x) – 5x2 + 5
= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)
= (x – 1)(6x – 5(x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 8 : A = x2 – 6x + 5
Đặt f(x) = x2 – 6x + 5
Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho
(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy
A = (x – 1)(x – 5)
Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c 0) bằng phương pháp tách số hạng
ta làm như sau :
Bước 1 : lấy tích a.c = t
Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = pi.qi
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b
Bước 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c
Bước 5 : từ đây nhóm các số hạng và đưa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử


B = x4 + 2x2 - 3
Giải:
Cách 1: B = x4 + 2x2 - 3
= x4 – x2+ 3x2 – 3
= x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)
= (x2 – 1) (x2 + 3)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 2: B = x4 + 2x2 - 3
= x4 + 3x2 – x2– 3
= x2(x2 + 3) - (x2 + 3)
= (x2 + 3)(x2 – 1)
= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 3 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 ) + 2x2 – 1 – 2
= (x4 – 1) + 2x2– 2
= (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1)
= (x2 – 1)(x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 4 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 + 2x2 + 1) - 4
= (x2 + 1)2 – 4
= (x2 + 1)2 – 22
= (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Cách 5 : B = x4 + 2x2 - 3
= (x4 – 9) + 2x2 + 6
= (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3)
= (x2 + 3)( x2 - 3 + 2)
= (x2 + 3)(x2 – 1)
= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 6 : B = x4 + 2x2 - 3
= (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2


= 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1)

= 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1)
= (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x 4 + x2 + 1
Giải:
Cách 1 : A = x4 + x2 + 1
= (x4 + 2x2 + 1) - x2
= (x2 + 1)2 - x2
= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 2 : A = x4 + x2 + 1
= (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)
Cách 3 : A = x4 + x2 + 1
= (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1)
= x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
1.2.7. Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được
các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :
 a  c  16
 ac  b  d 12



 ad  bc  14
 bd 3

Xét bd = 3 với b, d  Z , b  1;3 

với b = 3; d = 1


Hệ điều kiện trở thành :
 a  c  6

 ac 8
 a  3c  14


Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2
Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
= (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
2. Kết quả
Tôi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dưỡng học sinh môn toán tại
Trường THCS Lê . Kết quả mà tôi đã thu được điểm thi học kì 1 20% giỏi, 30% khá,
35% trung bình; sau khi sơ kết học kì 1 là 10% giỏi, 20% khá, 40% trung bình, 28%,
yếu.
3. Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện
Trong quá trình thực hiện đề tài và bản thân tôi là người trực tiếp thực hiện việc
bồi dưỡng học sinh. Tôi đã rút ra một số bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện
như sau:
- Để thực hiện tốt công tác bồi dưỡng học sinh, trước hết giáo viên cần phải có

tâm huyết với nghề, có sự nhiệt tình và tính kiên nhẫn, nắm vững các thuật toán. Cần
phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích được sự tò mò, năng động,
sáng tạo, tích cực của học sinh.
- Toán học là một bộ môn khó, các vấn đề của toán là rất rộng. Chính vì vậy,
giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ôn tập cơ bản bao gồm
tất cả các kiến thức cần đạt cho từng đối tượng học sinh
- Trong quá trình bồi dưỡng học sinh cần thường xuyên bám sát đối tượng học
sinh, theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh. Đồng thời,
kích thích các em phát huy tối đa khả năng của mình trong quá trình ôn luyện, học
tập. Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời những sai sót mà học sinh có
thể mắc phải, giúp các em có niềm tin, nghị lực và quyết tâm vượt qua những khó
khăn
- Trong quá trình bồi dưỡng học sinh cũng cần hết sức tránh cho học sinh
những biểu hiện tự ty, cho mình là không làm được các yêu cầu của thầy. Chính vì
vậy, giáo viên cần tỏ ra sự tin tưởng vào học sinh, kịp thời động viên khen ngợi các ý
kiến tốt.

P HẦN III : KẾ T LU ẬN C HU N G
Bồi dưỡng học sinh trung bình, yếu kém bậc THCS là cả một quá trình lâu dài,
bền bỉ. Bởi vì các em đã trải qua cả một quá trình 9 năm học toán nhưng nếu mất gốc
thì quá trình lấp lỗ hổng kiến thức đó rất khó khăn. Để khắc phục tình trạng đó cần


phải bồi dưỡng cho các em ngay từ năm học lớp 6. Với 4 năm liên tục, cùng với sự nỗ
lực của cả thầy lẫn trò, chắc chắn chúng ta sẽ có ít học sinh yếu kém bộ môn Toán.
Trên đây, đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình bồi
dưỡng học sinh – Tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong những mạch kiến thức rất
trọng tâm của chương trình toán.
* Kiến nghị đề xuất
- Cần có sự quan tâm hơn nữa từ phía ban giám hiệu, cha mẹ học sinh và giáo viên

chủ nhiệm trong việc giáo dục ý thức học tập cho học sinh.
- Cần phân loại học sinh ngay từ đầu năm học để có kế hoạch bồi dưỡng kịp thời và
thường xuyên trong suốt quá trình học toán ở cấp THCS.
- Tăng thêm thời gian bồi dưỡng cho học sinh môn Toán 9 vì lượng kiến thức toán
trong quá trình 4 năm là quá nhiều.

NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG GIÁM KHẢO
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................


............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
............................................................................................................................
...................................................................................................
NGƯỜI VIẾT

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

(Ký tên, đóng dấu)

Nguyễn Thị Như Thùy

MỤC LỤC
Phần I: Mở đầu

Trang 2

Phần II: Nội dung nghiên cứu

Trang 3

Cơ sở lí luận

Trang 3

Các biện pháp thực hiện

Trang 4

Kết quả

Trang 16

Bài học kinh nghiệm

Trang 16

Kết luận chung

Trang 17


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng một số tài liệu sau:
- Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán 9.
- Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)
“23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của Nhóm tác giả:
Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp
(NKTH).