GOC TRONG KHONG GIAN ver 2018

Chuyờn KHONG CCH GểC trong khụng gian

CLB Giỏo viờn tr TP Hu

Chuyờn :

KHONG CCH V GểC TRONG KHễNG GIAN
Ch :

GểC TRONG KHễNG GIAN

I. PHNG PHP
Phng phỏp 1: Hỡnh hc thun tỳy
Kỹ năng
Cách dựng
Góc giữa

hai đ-ờng
thẳng
I

Trình bày
Gi 1 ; 2 l gúc gia 1 v 2 .

1



+) 00 900.
/ / 2
+) 1

1 ; 2 0 0
1 2

d

2

+) Vi 1 v 2 chộo nhau.

+) 1 2 1 ; 2 900.

I 2

1 ; 2 d; 2 .


I d : d / / 1

Góc giữa
đ-ờng
thẳng và
mặt phẳng

Gi d; P l gúc gia d v P .

d

A

d'

H

I

P

Xột d P I , ta thc hin chiu vuụng

+) 00 900.
d / / P
+) 00
.
d P
+) 900 d P .

gúc ng thng d lờn mt phng P c
ng thng d d; P d; d . C th:
+) Chiu vuụng gúc A A d xung P
c im H , ch rừ AH P .



.
+) d; P AIH

Góc giữa
hai mặt

phẳng

P

Gi

d

I

Trỡnh by:
Do AH P HI l hỡnh chiu ca
.
AI trờn P AI ; P AIH



P ; Q


l gúc gia P v

Q .




d'

Q

Xột P Q , chn im I sao cho:
I d P ; I d Q


P ; Q d; d .
d
d






+) 00 900.
P / / Q
+) 00
.
P Q
+) 900 P Q .



Lu ý:
Cho đa giác H nằm trong mp có diện tích l S v H' l hình chiếu vuông góc

của H lên mp . Khi đó diện tích S' của H' được tính bởi công thức:

H

H'
Giỏo viờn: Lấ B BO0935.785.115

Trng THPT ng Huy Tr, Hu

-1


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

S'  S.cos



víi     ;   

CLB Giáo viên trẻ TP Huế



Phƣơng pháp 2: Tọa độ hóa
Bước 1: Chọn hệ trục hợp lí. Xác định tọa độ các điểm, vec tơ đặc trưng liên quan đến đường thẳng,
mặt phẳng cần tính.
Bước 2: Ta có các dạng sau:
Dạng 1:
Góc giữa hai vectơ

 


Phương pháp: Cho 2 vectơ a(a1 ; a2 ; a3 ), b(b1 ; b2 ; b3 ) . Gọi   ( a , b ) , 00    1800

a1b1  a2 b2  a3 b3
a.b
Lúc đó: cos    
a.b
( a1 )2  ( a2 )2  ( a3 )2 . (b1 )2  (b2 )2  (b3 )2
 
Nhận xét: a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0
Dạng 2:

Góc giữa hai đƣờng thẳng

Phương pháp: Cho 2 đường thẳng:

 1 có 1 vectơ chỉ phương a( a1 ; a2 ; a3 ) .

 2 có 1 vectơ chỉ phương b(b1 ; b2 ; b3 ) .
Gọi   (1 , 2 ) ,

00    900


a.b
a1b1  a2 b2  a3 b3
Lúc đó: cos    
a.b
( a1 )2  ( a2 )2  ( a3 )2 . (b1 )2  (b2 )2  (b3 )2
 

Nhận xét: 1  2  a  b  a1b1  a2 b2  a3b3  0

Dạng 3:

Góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp: Cho 2 mặt phẳng:

Mp ( ) có 1 vectơ pháp n1 ( a1 ; a2 ; a3 ) .

Mp (  ) có 1 vectơ pháp n2 (b1 ; b2 ; b3 ) .

Gọi   ( ), (  )  , 00    900
 
n1 .n2
a1b1  a2 b2  a3 b3
Lúc đó: cos    
n1 . n2
( a1 )2  ( a2 )2  ( a3 )2 . (b1 )2  (b2 )2  (b3 )2


Nhận xét: ( )  (  )  n1  n2  a1b1  a2 b2  a3b3  0
Dạng 4:

Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng

Phương pháp:

Đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương a( a1 ; a2 ; a3 ) .


Mặt phẳng ( ) có 1 vectơ pháp tuyến n( A; B; C)
Gọi     , ( ), ,
Lúc đó:
Nhận xét:

00    900

a.n
a1 A  a2 B  a3C
sin    
a . n1
( a1 )2  ( a2 )2  ( a3 )2 . ( A)2  ( B)2  (C )2

 / /( ) hoặc   ( )  n.a  0  Aa1  Ba2  Ca3  0

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

-2


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Một số bài toán giải bằng phương pháp hình học thuần túy.
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.ABCD . Tính góc giữa hai đường thẳng AC và B ' D.
A. 300.

B. 450.
C. 600.
D. 900.
Lời giải
D
C
Ta có:
       
A
B
AC.DB '  AC DB  DD '  AC DB  AA '
   
 AC.DB  AC.AA '  0.









C'

D'

 Chọn đáp án D.

B'

A'

Cách khác: Chỉ rõ AC   BDDB  AC  BD.
Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ACD  ,
khẳng định nào sau đây đúng?
1
A. cos   .
3

2
B. cos   .
3

C. cos  

2
.
3

D. cos  

2
.
4

Lời giải
 HB  AC
 góc giữa hai mặt phẳng
Gọi H là trung điểm AC  
 HD  AC

 ABC  và  ACD  là góc giữa hai đường thẳng HD và HB. Ta có:
HB  HD 

3a
, BD  a.
2


Xét tam giác BHD : cos BHD

A

H

C

D

HB2  HD2  BD2 1
 .
2 HB.HD
3

B

 Chọn đáp án A.
Câu 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng
SBC  và SAB , khẳng định nào sau đây đúng?
1
A. cos   .

3

2
B. cos   .
3

C. cos  

2
.
3

D. cos  

2
.
4

Lời giải
 HA  SB
 góc giữa hai mặt
Gọi H là trung điểm SB  
 HC  SB
phẳng SBC  và SAB  là góc giữa hai đường thẳng HA và
3a
, AC  2a.
2
HA2  HC 2  AC 2
1
Xét tam giác AHC : cos 

AHC 
 .
2 HA.HC
3
2 2
Suy ra: sin  
.  Chọn đáp án A.
3

S

H

HC. Ta có: HC  HA 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

D

A

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

C

B

-3

Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  a 3 . Hình chiếu
a
vuông góc H của S trên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC và SH  . Gọi M , N lần lượt là
2
trung điểm các cạnh BC và SC . Gọi  là góc giữa đường thẳng MN với mặt đáy  ABCD  . Khẳng
định nào sau đây đúng?
4
3
2
A. tan   .
B. tan   .
C. tan   .
3
4
3
Lời giải:
 
Ta có MN  SB . Do đó  MN ,  ABCD    SB,  ABCD   .

D. tan  1 .

S

Do SH   ABCD  nên
  
MN ,  ABCD    SB,  ABCD    SB, HB   SBH

.


N

BD 2a
Ta có BD  AB  AD  2a ; BH 
.

3
3
  SH  3 .
Tam giác SHB , có tan SBH
BH 4
 Chọn đáp án B.
2

2

D

A
H
B

C

M

Câu 5: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng

SBC  và SAD  , khẳng định nào sau đây đúng?
1
A. sin   .
3

2
B. sin   .
3

C. sin  

Lời giải
Gọi H , K lần lượt là trung điểm BC , AD.
BC / / AD  SBC   SAD   Sx / / AD.
Do

2 2
.
3

D. sin  

2
.
4

S

Mặt

khác

x

SH  BC
SH  Sx

 góc giữa hai mặt phẳng SBC  và SAD  là

SK  AD SK  Sx
góc giữa hai đường thẳng SH và SK.

Ta có: SH  SK 

D

3a
, HK  a.
2


Xét tam giác SHK : cos HSK

C

K
H

SH  SK  HK
1

2 2
 . Vậy sin  
.
2SH.SK
3
3
2

2

2

A

B

 Chọn đáp án C.
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  a, cạnh bên SA vuông

góc với đáy và SA  a. Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm tam giác SAC. Gọi α là số đo


của góc giữa hai vectơ AM và BG , khẳng định nào sau đây đúng?
A. cos α 

30
.
10

B. cos α 

30
.
10

C. cos α  

30
.
15

D. cos α  

2 30
.
15

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

-4


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

  
 
Phân tích các vectơ AM , BG theo cácvectơ AB, AC , AS với
  450 .
AB  a, AC  a 2 , BAC
a2
a 5
a 6  
, AM.BG   .
, BG 
2
2
3
 
 
AM.BG
30
.
 cos AM , BG  cos  

AM.BG
10
 Chọn đáp án A.

Ta có: AM 





Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  1, BC  3. Mặt bên SAC là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi α là số đo của góc giữa hai mặt phẳng
SAB và SBC  , khẳng định nào sau đây đúng?
A. cos α 

65
.
65

B. cos α 

65
.
10

C. cos α 

Lời giải

Cho hệ trục tọa độ Bxyz xác định như sau: B  0;0;0  , C
 3 1

; ; 3
A  0;1;0  , S 
 2 2



 


Ta có BA   0;1;0  , BS  



 nSAB  2 3;0;  3 và

 nSBC   0; 2 3;  1 .










3; 0; 0 ,

D. cos α 

2 65
.
65

z

S

 1

3 1
; ; 3
3;1; 2 3
 2
2 2


BC  3;0;0  3 1;0;0  ,








x

B

C

M

 
Suy ra cos   cos nSAB , nSBC  





65
.
20



A

3
15. 13



65
.
65

y

 Chọn đáp án A.
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , độ dài cạnh bên bằng 2a. Xét
 lớn nhất thì tỉ số SM bằng bao
điểm M thay đổi trên cạnh SA  M  S, M  A  . Khi số đo của góc BMD
SA
nhiêu?
1
7
1
2

A. .
B. .
C. .
D. .
2
8
4
3
Lời giải
2
2
2
2
  MB  MD  BD  1  BD .
Ta có cos BMD
2.MB.BD
2 MB2
 lớn nhất  cos BMD
 nhỏ nhất  MB nhỏ nhất
BMD
 M là chân đường vuông góc của B trên cạnh SA
SM SM.SA SO2 7
 OM  SA 


 .
SA
SA2
SA2 8
  2 MOB

.
Cách khác: Gọi O là tâm hình vuông ABCD  BMD

Xét tam giác vuông MOB có:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

-5


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

OB
 max  OM  OM  SA.
 BMO
min
OM
 Chọn đáp án B.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  2a, cạnh bên SA

tan BMO

vuông góc với đáy và SA  2a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD và α là số đo của
góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD  , khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin α 

224

.
21

B. sin α 

14
.
42

C. sin α 

2 14
.
21

Lời giải
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ.

z

Khi đó ta có: A  0; 0; 0  , S  0; 0; 2a  , B  a; 0; 0  , D  0; 2a; 0  ,

a
 
M  0; 0; a  , N  ; 2a; 0   BS   a; 0; 2a  , BD   a; 2a;0  ,
2



2

2
2
nSBC  4a ;  2a ;  2a  2a2  2;1;1  2a2 n'.



14
.
21

D. sin α 

S 2a

M



  a
 a
a 
MN   ; 2a;  a   1; 4;  2   u.
2
2
 2
 
n' . u
4
2 14
 sin     


  Chọn đáp án C.
21
6. 21
n' . u

P

2a

O A

D

x

y

N

a
C

B

Câu 10: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và α là số đo
góc giữa hai đường thẳng AN , CM , khẳng định nào sau đây đúng?
2
A. cos α  .
3

1
B. cos α  .
3

1
D. cos α  .
2

C. cos α  1.

Lời giải
Gọi P là trung điểm của DM  NP / /CM



 AN
, CM  AN
, NP  ANP



 

A



M

Giả sử độ dài cạnh của tứ diện đều là 1

P





1
3
3
7
 2.
 cos ANP
 NP  CM 
, AN 
, AP 
3
2
4
2
4
 Chọn đáp án A.

D

B
N
C

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SC và  là số đo của góc
giữa hai đường thẳng AC , BM . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. cos  

3
.
6

B. cos  

6
.
3

C. cos  

2
.
3

D. cos  

2
.
6

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

-6


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Gọi I là trung điểm AB , SAB cân tại S , SAB   ABCD 

S

 SI   ABCD  .

Gọi N là trung điểm SA  MN / / AC



 AC
, BM  MN
, BM  BMN

 



N



M

MN 2  MB2  BN 2
3
.

2 MN.MB
6
 Chọn đáp án A.

A

Vậy cos BMN 

D

I
B

C

Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và
AD. Gọi α là số đo của góc giữa hai mặt phẳng  BEF  và  ADDA  , khẳng định nào sau đây đúng?

A. cos α 

6
.

6

B. cos α 

6
.
3

C. cos α 

2
.
3

2
.
6

D. cos α 

Lời giải
Cách 1: Gọi M là trung điểm AD.
Ta có EM   AAD ' D  . Từ M kẻ MH vuông góc FD tại H.

C

D
F

 MH  FD

Lúc đó ta có 
. Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( BEF )
 EH  FD
  .
và ( ADDA) là MHE

B

A
H
α

C'

MH
a
a2
6
, trong đó EM  a; MH 
 EH  a2 
a .
 cos  
5
5
EH
5

D'
M

E

MH
6
 Chọn đáp án A.

EH
6
Cách 2: Ta có BEDF có hình chiếu lên ( AADD) là hình bình

a

B'

 cos  

F

A

1
hành AMD’F. SAMDF  a2 . (nửa hình vuông). Mặt khác BEDF là
2
hình thoi có hai đường chéo EF  a 2 , BD  a 3.

A'

D

B

1
a2 6
 SBEDF  .a 2.a 3 
.
2
2

C

A'

M

1 2
D'
a
SAMDF
6
2
a
 2

.
Theo công thức hình chiếu ta có cos  
SBEDF
6
a 6
C'
B'

E
2
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại C , D, AD  3a, BC  CD  4a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA  3a. Gọi M là điểm nằm trên cạnh AD sao cho AM  a và N là trung
điểm của CD. Gọi α là số đo của góc giữa hai đường thẳng SM và BN , khẳng định nào sau đây đúng?

A. cos α 

5
.
5

B. cos α 

6
.
3

C. cos α 

2
.
3

D. cos α 

6
.
6

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

-7


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

  
Gọi E là điểm trẻn cạnh BC sao cho CE  3a . Khi đó AD, AE, AS

S

đôi một vuông góc.
   1  
Khi đó: SM  SA  AM  AD  AS ,
3
     4  1 
BN  BE  EA  AD  DC  AD  AE .
3
2
  4
SM.BN  AD2  4a2 , SM  SA2  AM 2  2a ,
9

B

N

BN  BC 2  CN 2  2 5a .

 
SM.BN
 
4a2
5
Do đó: cos   cos SM ; BN 
.


SM.BN 2a.2a 5
5
 Chọn đáp án A.
Câu 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC



E

C



D

M

A

có

đáy ABC là tam giác vuông tại
A, AB  2a , AC  a , AA   2 2a. Gọi D là điểm đối xứng với B qua A và M là trung điểm của đoạn

thẳng AD. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và CM.
A. 300.
B. 600.
C. 900.
Lời giải
 
AB.C M
3
Dùng phương pháp vectơ tính được cos 
AB, C M 

AB.C M
2
 
AB, CM  30 .







D. 450.
B



 Chọn đáp án A.

C

A

B'

C'

M

A'

D

Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.ABCD. Xét  P  là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng
CD. Tính giá trị nhỏ nhất của số đo góc giữa mặt phẳng  P  và mặt phẳng  BDDB  .

A. 600.

B. 300.

C. 450.

D. 00.

Lời giải
Giả sử hình lập phương có cạnh bằng 1 .
Chọn hệ tọa độ sao cho A  0; 0; 0  , D 1;0;0  , B  0;1;0  , A '  0;0;1

 C 1;1;0  , B '  0;1;1 , D ' 1;0;1  CD '   0;  1;1 .
Ta có: AC   BB ' D ' D  nên mặt phẳng  BDD ' B '  có 1 VTPT
 
n1  AC  1;1;0  .

Gọi n2   a; b; c  với a2  b2  c 2  0 là 1 VTPT của  P 
 
 n2 .CD '  0  b  c  0  c  b





Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P  và mặt phẳng  BDD ' B '  , 00    900 .

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

-8


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

 
n1 .n2
ab
ab
Ta có: cos     
.

n1 n2
2. a2  b2  c 2
2 a 2  4b 2
1 1
1
3
3
.a 2  .2b     2a2  4b2 
2a2  4b2  cos  
   600 . Vậy min   600 .
2
2
4
2
2
2


 Chọn đáp án A.
Câu 16: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, AC  BD  b, AD  BC  c. Gọi α là số đo góc giữa hai

Mà a  b 



1



đường thẳng AB và CD , khẳng định nào sau đây đúng?
A. cos α 

b2  c 2
a2

B. cos α 

.

b2  c 2
2a 2

.

C. cos α 



a2

2 b2  c 2



D. cos α 

.

a2
.
b2  c 2

Lời giải
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AC , CB, AD
 MN  AB, MP  CD     MN ; MP  ; MN 

2 AB2  2 AC 2  BC 2 2a2  2b2  c 2

4
4
2
2
2
2
2
2
NA

2
ND


AD
a

b
 c2
.
NP 2 

4
2
AN 2 

1
a
1
a
AB  ; MP  CD  .
2
2
2
2
2
2
2
2 a  2b  c
; DN 2  AN 2 
4

a2 a2 a2  b2  c 2

 
MN  MP  PN
b2  c 2
4 4
2

.
cos   cos NMP 


a a
2.MN.PM
a2
2. .
2 2
 Chọn đáp án A.
  1350 , AA  2. Hình chiếu vuông góc
Câu 17: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AB  1, AC  2 , CAB
2

2

2

của điểm A trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của BC. Tính số đo của góc giữa đường thẳng
AH và mặt phẳng  ABBA  .

A. 300.

B. 600.

C. 450.

D. 900.

Lời giải
Gọi L là chân đường cao tại C  của tam giác ABC. Kẻ HK  AB tại K.
.
Lúc đó: AH , ABBA  AKH





B

C



A

2

AB  1  2  2. 2.
BC   AB2  AC 2  2 ABA.C .cos C
 5  BC   5.
2
AB2  AC 2 BC 2 3 5 1
1

AH 2 

    AH  .
2
4
2 4 4
2
1
3
AH  AA2  AH 2  2  
.
2
2

  C L.AB  HK  CL  AB.AC.sin CAB  1 .
Ta có AB.AC.sin CAB
2
2 AB
2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

B'

H

C'

K
A'

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

-9


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

1
AH
1

  300.
 2 
 AKH
Xét tam giác AHK có tan AKH 
HK
3
3
2
 Chọn đáp án A.
  600 , cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh a, BAD

Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng SBC  và SCD  bằng 600. Tính độ dài đoạn thẳng SA.
A.

6a

.
4

6a
.
2

B.

C.

3a
.
2

D.

3a
.
4

Lời giải
a
.
2

Kẻ OH  SC , H  SC  
SBC  , SCD   BH
, DH .

Ta có AB  a , OB  OD 

 





  1200 ( do BH  BC  BH)  BDO
  600
 BDH

 OH  OB.cot 600 

a
2 3

 SA 

a 6
4

 Chọn đáp án A.

Câu 19: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng 1. Xét điểm M thay đổi trên cạnh AB. Số
đo của góc giữa hai đường thẳng AC và DM đạt giá trị lớn nhất khi độ dài đoạn thẳng AM bằng bao
nhiêu?
1
2
A. 1.

B. .
C. .
D. 0.
2
3
Lời giải
Gọi AM  x  0  x  1  DM  x2  1, AC '  3 .
 
DM.AC '



Ta có cos 
.
DM , AC '   cos DM , AC ' 
DM.AC '
  
     
Mặt khác DM  AM  AD  xAB  AD ; AC '  AB  AD  AA '
 
Do đó, ta có DM.AC '  x  1 .
x 1
1 x
DM , AC '  

Khi đó cos 
 do 0  x  1 .
3. x2  1
3. x2  1



Xét hàm số f  x  

1 x
3. x  1
2

A'



D'
C'

B'

A

D

M
B

C


DM , AC '  lớn nhất  cos  DM , AC '  nhỏ nhất  f  x 
trên 0;1 . Để góc 
x1

đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;1 . Ta có f '  x   
3.

x

2



1

3

 0, x  0;1 nên f  x  đạt giá trị nhỏ

nhất trên đoạn 0;1 tại x  1 hay AM  1 .
 Chọn đáp án A.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

- 10


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 20: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2 3. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , BD.

Biết rằng MN  3, tính số đo của góc hợp bởi hai đường thẳng AC và BD.
A. 300.
B. 600.
C. 900.
Lời giải
 ME / / AB
Gọi E là trung điểm của BC  
  AB, CD    ME, EN  .
 EN / /CD

D. 450.

2

 ME  NE  3
  333 1
 cos MEN
Xét tam giác MNE có 
2
2. 3. 3

 MN  3
  120 . Vậy AB, CD  ME, EN  180  120  60 .
 MEN



 



 Chọn đáp án A.

Câu 21: Cho hình lăng trụ đều ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi α là số đo của góc hợp
bởi hai mặt phẳng  ABC  và  BCCB  , khẳng định nào sau đây đúng?
A. cos α 

7
.
7

B. cos α 

2 7
.
7

C. cos α 

3
D. cos α  .
4

10
.
10

Lời giải
Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , BC. Ta có BM chính là đường
cao trong tam giác cân BAC.

 AN  BC
 AN   BCCB 
Ta có 
 AN  BB

A'

C'

B'

Suy ra hình chiếu của tam giác BAC lên  BCCB là BNC.
Diện tích tam giác
1
1
SBAC  .BM.AC  .
2
2
SBNC  SBBC  SBBN

 
a 2

2

2

a
1
7 a 7

    .a

.
2 2
4
2

A

C

M

1
1 a2 a2
 a2  .  .
2
2 2
4

N

a
B
2

a
7
.
Ta lại có SBNC  SBAC .cos   cos   2 4 

7
a 67
4
 Chọn đáp án A.
  BSC
  CSA
  900 , SA  1, SB  2, SC  x, x  0 . Gọi M, N, P lần lượt
Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có ASB
là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tính giá trị của x biết rằng hai mặt phẳng (SMN) và (SMP) vuông
góc với nhau.

A.

2 5
.
5

B.

3
.
2

C.

5
.
2

D.

5.

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

- 11


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian
Đưa

hình

chóp

vào

hệ

trục

tọa

độ

(Oxyz)

CLB Giáo viên trẻ TP Huế
với

SA  Oz ,SB  Ox,SC  Oz

Ta

có
tọa
độ
các
điểm

1  x   x 1
S  0;0;0  , M  1;0;  , N  1; ;0  ; P  0; ; 
2  2   2 2



a  2.SM   2; 0;1   
1
 nSMN    a1 ; a2     x; 2; 2 x 

 


a2  2.SN   2; x; 0 



a  2.SM   2; 0;1   
3
 nSMP    a3 ; a4     x; 2; 2 x 

 


a

2.
SP

0;
x
;1


 4
 
2
 SMN   SMP   nSMN  .nSMP   0  x2  4  4 x2  0  x 
5
 Chọn đáp án A.
Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy
4 13a
. Gọi E là điểm trên cạnh CD sao cho EC  2ED. Gọi α là số đo của góc hợp bởi hai mặt
13
phẳng SBE  và  ABCD  , khẳng định nào sau đây đúng?

và SA 

3
A. cos α  .
5

2
B. cos α  .
3

2
C. cos α  .
5

1
D. cos α  .
3

Lời giải
Trong  ABCD  kẻ AM  BE tại M . Do SA   ABCD  nên SM  BE .
  .
Góc giữa SBE và ABCD là góc SMA









4a2
a 13
2a
.
 BE  CE2  BC 2 
 a2 
9
3
3
2S
a2
3a
1
1
a2


.
SABE  AB.BC  , mà SABE  AM.BE  AM 
BE a 13
2
2
2
13
3
Xét tam giác SAM vuông tại A :

Ta có CE 

SM  SA2  AM 2 

AM 3
16a2 9a2
5a
. Vậy cos  


 .
13
13
SM 5
13

 Chọn đáp án A.
Câu 24: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm cạnh SC. Gọi
α là số đo của góc hợp bởi hai đường thẳng AM và SB, khẳng định nào sau đây đúng?

A. cos α 

5
.
10

B. cos α 

5
.
5

C. cos α 

5
.
4

D. cos α 

5
.
15

Lời giải

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

- 12


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Gọi N là trung điểm BC. Ta có SB / / MN   AM ,SB   AM , MN  .

S

Tam giác SAC vuông tại S nên ta có
AM  AN  a2 

a2 a 5
a

, MN  .
4
2
2

a
M

Trong tam giác MAO ta có
5 a 2 a 2 5a 2
 
D
A
  AM  MN  AN  4
4
4  5.
cos AMN
2.AM.MN
10
a 5 a
B
N
C
2.
.
a

2 2
 Chọn đáp án A.
Một số bài toán giải bằng phương pháp tọa độ.
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  2a, AD  3a, SA vuông góc
với đáy và SA  a. Tính cos với  là góc giữa hai đường thẳng SB và CD.
2

A. cos  

5
.
5

2

2

B. cos  

5
.
10

C. cos  

4 5
.
11

D. cos  

Lời giải
Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có: A  0;0;0  , S  0;0; a  ,

z

D  3a;0;0  , B  0; 2a;0  , C  3a; 2a;0  .


Ta có: CD   0; 2a;0  ; SB   0; 2a; a  .
 
CD.SB
2 5
Lúc đó: cos     
.
5
CD . SB

2 5
.
5

S

a

D x

3a

A
2a

y

B

C

 Chọn đáp án D.

Câu 26: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng

 là góc giữa hai đường thẳng SC và AD.
A. cos  

2 5
.
5

B. cos  

5
.
5

C. cos  

2
.

6

3 2a
. Tính cos với
2

D. cos  

2 2
.
6

Lời giải
Gọi O là tâm của đáy. Ta có: SO  SA2  AO2  2a.
Chọn hệ trục như hình vẽ.
 a a 
Ta có: O  0;0;0  , S  0;0; 2a  , A   ; ; 0  ,
 2 2 
a a  a a 
 a a 
B ; ; 0  , C  ;  ; 0  , D   ;  ; 0 .
 2 2 
2 2  2 2 

z
S

a

D

C
x

O
B

A
y


  a a

Ta có: AD   0; a;0  ; SC   ;  ; 2a  .
2 2

 
SC.AD
2
Lúc đó: cos     
.
6
SC . AD

D
a

C
O

x

B

A
y

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

- 13


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

 Chọn đáp án C.
  600 , SA vuông góc với đáy
Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABD
và SA  2a. Tính cos , với  là góc giữa hai đường thẳng AC và SB.

A. cos  

15
.
10

B. cos  

15
.
5

C. cos  

15
.
15

D. cos  

Lời giải
Gọi O là tâm của đáy. Do ABCD là hình thoi cạnh a ,
  600  ABD là tam giác đều cạnh a.
ABD
  3a ;
Ta có: AH  AD cos HAD
2
a
DH  AD2  AH 2  . Ta có: A  0;0;0  , S  0;0; 2a  ,
2
 3a 3a 
 3a 3a 
B  a;0; 0  , C  ;
;0  , O ;
; 0 .
 2 2


 4 4





  3a 3a  
; 0  ; SB   a; 0; 2a 
Ta có: AC   ;
 2 2



 
AC.SB
15
Ta có: cos     
.
10
AC . SB

2 15
.
15

z
S

x

B

A
O

a

H

C

y

D
x

C

B

a
O
D
30

y

0

H

A

 Chọn đáp án A.
Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
A, AB  a, AA  2a. Tính cos , với  là góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABC  .

A. cos  

2
.
3

2
B. cos   .
3

1
C. cos   .
3

1
D. cos   .
4

Lời giải
Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có: A  0;0;0  , A  0;0; 2a  , B  0; a;0  ,
C  a;0; 0  , B  0; a; 2a  , C  a;0; 2a  .



Ta có: AB   0; a; 2a  ; AC   a;0; 2a 
 
  AB, AC  2a2 ; 2a2 ; a2 .


Mặt phẳng
 ABC có một





n1   AB, AC  2a2 ; 2a2 ; a2 .





z
A

B





C

2a

vectơ

pháp

tuyến

là



x

a
C'

A'
a
B'

y

 
n1 .n2
 
1
Mặt phẳng  ABC  có một vectơ pháp tuyến là n2  AA   0;0; 2a  . Suy ra: cos      .
n1 . n2 3

 Chọn đáp án C.

  600 , SA vuông góc với đáy
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABD
và SA  2a. Tính sin  , với  là góc giữa hai đường thẳng AD và SC.

A. sin  

15
.
10

B. sin  

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

133
.
14

C. sin  

133
.
28

D. sin  

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

15
.

20

- 14


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Lời giải
Gọi O là tâm của đáy. Do ABCD là hình thoi cạnh a ,
  600  ABD là tam giác đều cạnh a.
ABD

z
S

  3a ;
Ta có: AH  AD cos HAD
2
a
DH  AD2  AH 2  . Ta có: A  0;0;0  , S  0;0; 2a  , B  a;0; 0  ,
2
 3a 3a 
 3a 3a 
C ;
;0  , O ;
; 0 .
 2 2


 4 4





  a 3a    3a 3a

; 0  ; SC   ;
; 2 a 
Ta có: AD   ;
2 2

 2 2





 
AD.SC
3 7
Ta có: cos     
14
AD . SC
 sin   1  cos2  

x

B

A
O

a

H

C

y

D
x

C

B

a
O
D
30

y

0

H

A

133
(do 0    900 ).
14

 Chọn đáp án B.
  600 , SA vuông góc với đáy
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABD
và SA  2a. Tính cos , với  là góc giữa hai mặt phẳng SBC  và SDC  .

A. cos  

5
.
19

B. cos  

10
.
19

C. cos  

15
.
15

D. cos  

Lời giải
Gọi O là tâm của đáy. Do ABCD là hình thoi cạnh a ,
  600  ABD là tam giác đều cạnh a.
ABD

z
S

  3a ; DH  AD2  AH 2  a .
Ta có: AH  AD cos HAD
2
2
Ta có: A  0;0;0  , S  0;0; 2a  ,

 3a 3a 
 3a 3a 
B  a;0; 0  , C  ;
;0  , O ;
; 0 .
 2 2

 4 4





  3a 3a



; 2a  ; SB   a; 0; 2a 
Ta có: SC   ;
 2 2



  
3a 2 
 SB, SC    3a2 ; a2 ;
.

 
2 


Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

2 15
.
15

B

A
O
H

x
a

C

y

D
x

C

B

a
O
D
30

A

y

0

H

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

- 15


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

  a 3a
  
   3a 3a

3a 2 
; 2a  ; SC   ;
; 2a   SD , SC    0; 2a2 ; 
Ta có: SD   ;
 . Mặt phẳng SBC  có một

 
2 2

 2 2


2






2






3a 
vectơ pháp tuyến là n1  SB, SC    3a2 ; a 2 ;
 . Mặt phẳng SDC  có một vectơ pháp tuyến là

 
2 

 
n1 .n2
     
3a 2 
5
2
n2  SD , SC   0; 2a ; 
 . Suy ra: cos      .

 

2 
n1 . n2 19

 Chọn đáp án A.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUẬN
Câu 31: Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD là tam giác đều cạnh 4, đường thẳng AB vuông góc với

mặt phẳng  BCD  và AB  2. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CD, tính số đo của góc
hợp bởi hai đường thẳng AM và BN.
A. 450.

B. 300.

C. 600.

D. 900.

  600. Mặt bên SAB là tam giác cân
Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và ABC

đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tính số đo của góc
giữa hai đường thẳng AM và CD.
A. 900.
B. 600.
C. 300.
D. 450.
  600 , cạnh bên SA vuông
Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 6a, BAD
góc với đáy và SA  3a. Tính số đo của góc giữa hai mặt phẳng SBC  và SCD  .
A. 900.
B. 600.
C. 300.
D. 450.
Câu 34: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc
của A trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của AB. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AA, BC. Biết AH  2a và α là số đo của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng  ACH  , khẳng

định nào sau đây đúng?
77
22
2 5

5
B. cos α 
C. cos α 
D. cos α 
.
.
.
.
11
11
5
5
Câu 35: Cho hình lập phương ABCD.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD.
Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AM và BN.
A. 900.
B. 600.
C. 300.
D. 450.
  600 , mặt bên SAB là tam giác đều
Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC

A. cos α 

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SCD  ,
tính cos α.
1
6
3
10
B.

C.
D.
.
.
.
.
4
4
2
4
Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết
rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC  bằng a. Xét góc α thay đổi là số đo của góc giữa

A.

đường thẳng SB và mặt phẳng đáy. Tính cosα sao cho thể tích hình chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất.
A. cos α 

3
.
6

B. cos α 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

6
.
3

C. cos α 

3
.
3

D. cos α 

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

6
.
6

- 16


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Câu 38: Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a. Xét M , N là hai điểm thay đổi trên các cạnh
BD , BA sao cho BM  BN. Gọi M , N lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng MN và các đường thẳng
BD, BA. Tính giá trị biểu thức P  cos2 α  cos2 β.
1
2
3
B. 1.
C.
D.

.
.
.
2
2
2
Câu 39: Cho hình hộp ABCD.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  1, AD  2, hình chiếu vuông góc

A.

của điểm A trên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm H của AD. Biết rằng AA hợp với đáy một góc
600. Gọi α là số đo của góc hợp bởi hai đường thẳng AC , BD, khẳng định nào sau đây đúng?

1
A. cos α  .
5

1
5
10
C. cos α  .
D. cos α 
.
.
10
5
3
  CAD
  DAB
  900 , AB  1, AC  2, AD  3. Gọi α là số đo của góc

Câu 40: Cho tứ diện ABCD có BAC

B. cos α 

hợp bởi hai mặt phẳng  ABC  và  BCD  , khẳng định nào sau đây đúng?
2
A. cos α  .
7

B. cos α 

2 13
.
13

C. cos α 

3 5
.
7

1
D. cos α  .
3

AB
Câu 41: Cho tứ diện ABCD có CD 
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AC , BD. Biết rằng
4



8MN  5AB, tính góc giữa hai vectơ AB và CD.
A. 900.
B. 450.
C. 600.
D. 1200.
Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  1, AD  2, cạnh bên SA vuông góc với

đáy và SA  5. Gọi α là số đo của góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng SAC  , khẳng định nào
sau đây đúng?
30
30
15
15
B. sin α 
C. sin α 
D. sin α 
.
.
.
.
15
6
5
6
Câu 43: Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi một vuông góc với nhau và AB  AC  AD  1. Gọi


M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC , α là góc giữa hai vectơ CM và DN , khẳng định nào sau

A. sin α 

đây đúng?
30
30
30
30
B. cos α 
C. cos α  
D. cos α 
.
.
.
.
15
15
30
30
Câu 44: Cho hình lăng trụ đều ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, cạnh bên bằng 1. Tính
góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABC  .

A. cos α  

A. 600.
B. 900.
C. 300.
D. 450.
Câu 45: Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Biết
AB  CD  2, MN  3 , tính góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABC  .

A. 600.
B. 300.
C. 450.
D. 900.
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  1, AD  2, cạnh bên SA vuông góc với
đáy và SA  5. Gọi α là số đo của góc giữa hai mặt phẳng SAB  và SBD  , khẳng định nào sau đây
đúng?

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

- 17


Chuyên đề KHOẢNG CÁCH – GÓC trong không gian

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

145
5
6
29
B. cos α 
C. cos α 
D. cos α 
.
.
.
.

29
5
6
25
Câu 47: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB  1, BC  3 , mặt bên SAC là tam

A. cos α 

giácđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi α là số đo của góc giữa hai mặt phẳng
SAB và  ABC  , khẳng định nào sau đây đúng?
1
2 3
D. tan α  .
.
3
2
0

Câu 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC  60 , mặt bên SAB là tam giácđều và

A. tan α  2.

B. tan α 

3
.
2

C. tan α 

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi α là số đo của góc giữa hai mặt phẳng SBC  và SCD  ,
khẳng định nào sau đây đúng?
A. cos α 

10
.
5

B. cos α 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

2
.
5

C. cos α 

5
.
4

1
D. cos α  .
2

Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

- 18