Luận văn sư phạm Những bài toán về đa thức

Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

L IC M

ng Thông

N

Khóa lu n t t nghi p này là k t qu c a s c g ng c a b n thân em
sau m t th i gian h c t p,nghiên c u v i s giúp đ c a th y cô.
Qua đây,em xin bày t lòng bi t n sâu s c c a mình đ n các th y cô
giáo,đ c bi t là th y V

ng Thông - ng

i đã t n tình h

ng d n em trong

quá trình hoàn thành khóa lu n.
Em xin chân thành c m n !

Hà N i, tháng 5 n m 2010
Sinh viên th c hi n
Ph m Th Thu Th y

Ph m Th Thu Th y

1

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

ng Thông

L I CAM OAN
Em xin cam đoan khóa lu n t t nghi p này là k t qu c a quá trình h c
t p, nghiên c u c a em. Khóa lu n hoàn thành trên c s nh ng ki n th c mà
em đã đ

c h c, m t s tài li u tham kh o và s ch b o c a các th y cô giáo,

đ c bi t là s h

ng d n t n tình c a th y V

ng Thông.

V i đ tài: "Nh ng bƠi toán v đa th c ", khóa lu n này không có s
trùng l p v i các khóa lu n khác.

Hà N i, tháng 5 n m 2010
Sinh viên th c hi n
Ph m Th Thu Th y

Ph m Th Thu Th y

2

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

ng Thông

M CL C
L i nói đ u ................................................................................................... 1
Ch

ng 1: Nh ng ki n th c c b n v đa th c có liên quan ........................ 2

1.1.Vành đa th c m t n ............................................................................... 2
1.2. Vành đa th c nhi u n ........................................................................... 10
Ch

ng 2: M t s bài toán v đa th c m t n .............................................. 14

2.1 Bài toán 1: Ch ng minh m t đa th c chia h t cho m t đa th c.
Tìm d mà không th c hi n phép chia ................................. 14

f  x, m g  x, m ................................. 20

2.2 Bài toán 2: Tìm giá tr c a m đ

2.3 Bài toán 3: a th c b t kh quy .............................................................. 23
2.4 Bài toán 4: Bài toán nghi m c a đa th c. Công th c Viet ..................... 27
2.5 Bài toán 5:

ng d ng c a đ nh lí Viet vào gi i h ph

2.6 Bài toán 6: Ph

ng trình hàm đa th c .................................................... 35

2.7 Bài toán 7: Tìm
Ch

ng trình............ 32

c chung l n nh t c a đa th c .................................... 37

ng 3: M t s bài toán v đa th c nhi u n ........................................... 41

3.1 Bài toán 1: Phân tích đa th c thành nhân t ........................................... 41
3.2 Bài toán 2: Ch ng minh h ng đ ng th c ................................................ 43
3.3 Bài toán 3: Ch ng minh b t đ ng th c ................................................... 45
3.4 Bài toán 4: Tìm nghi m nguyên c a ph
3.5 Bài toán 5: Gi i h ph

ng trình đ i x ng .................. 48

ng trình d a vào đa th c đ i x ng................... 51

3.6 Bài toán 6: Gi i ph

ng trình c n th c d a vào đa th c đ i x ng......... 53

3.7 Bài toán 7: L p ph

ng trình b c hai d a vào đa th c đ i x ng ........... 54

3.8 Bài toán 8: Tr c c n th c

m u ............................................................. 55

K t Lu n …………………………………………………………………. 59
Tài li u tham kh o……………………………………………………….. 60

Ph m Th Thu Th y

3

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

L I NÓI

ng Thông

U

1. Lý do ch n đ tƠi
i s là m t b ph n l n trong toán h c, trong đó đa th c là khái ni m
c b n và quan tr ng. Lý thuy t đa th c đ
c p, toán ng d ng, toán s c p. Trong ch

c s d ng nhi u trong toán cao
ng trình ph thông, đ i s h u h t

nghiên c u v đa th c b c nh t, đa th c b c hai và m t s đa th c d ng đ c
bi t b c cao.
Tuy v y v n đ đa th c trình bày r i rác, ch a đ
th ng m t cách chi ti t, ch a đ a ra ph

ng pháp gi i t

c phân lo i và h
ng minh. Tài li u

vi t v đa th c ch a nhi u nên vi c nghiên c u v đa th c còn khó kh n.
V i nh ng lí do trên tôi đã ch n đ tài “Nh ng bƠi toán v đa th c”
nh m phân lo i, h th ng m t s bài toán v đa th c và ng d ng c a nó đ
gi i m t s bài toán có liên quan.
2. M c đích, nhi m v nghiên c u
Tìm hi u các bài toán v đa th c m t n, đa th c nhi u n và m t s bài
toán liên quan.
3.

it

ng nghiên c u.

Các d ng toán c b n v đa th c
4. Ph

ng pháp nghiên c u
c tài li u, phân tích, so sánh, h th ng hóa.

Ph m Th Thu Th y

4

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p
CH
1.1

GVHD: V

NG 1: NH NG KI N TH C V

ng Thông

A TH C CÓ LIÊN QUAN

VƠnh đa th c m t n

1.1.1 Xơy d ng vƠnh đa th c m t n
Cho A là vành giao hoán có đ n v kí hi u 1
Kí hi u P = {  a 0 , a1 ,..., a n ,... , ai  A, i  ฀ , ai  0 h u h t }
Trên P’ ta xác đ nh 2 quy t c c ng và nhân nh sau:
(1)

 a0 , a1,...an ,...  b0 , b1,..., bn ,...   a0  b0 , a1  b1,..., a n  bn ,...

(2)

 a0 , a1,...an ,....b0 , b1,..., bn ,...   c0 , c1,..., cn ,...

Trong đó

c0  a 0b0
c1  a 0b1  a1b0
.............
ck  a 0bk  a1bk 1  ...  a k 1b1  a kb0 

 ab ;

i  j k

i j

k  0,1,2,...

Khi đó (P,+, .) l p thành m t vành giao hoán có đ n v g i là vành đa th c.
Th t v y, ta có 2 quy t c (1) và (2) cho ta 2 phép toán trong P.

*

(P, +) là m t nhóm giao hoán vì
 Phép c ng có tính ch t giao hoán và k t h p
 Ph n t không là  0,0,...,0,...
 Ph n t đ i c a  a0 , a1,..., a n ,... là  a0 , a1,..., a n ,...

*

(P, .) là m t v nhóm giao hoán vì:
 Do A giao hoán nên

 ab

i  j k

i j



ba

i  j k

j i

nên phép nhân giao hoán

 Phép nhân trong A có tính ch t k t h p và phân ph i đ i v i
phép c ng nên phép nhân trong P c ng có tính ch t k t h p, phân

ph i đ i v i phép c ng.

Ph m Th Thu Th y

5

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

ng Thông

 Ph n t đ n v là 1,0,...,0,...
Do đó P là m t vành giao hoán có đ n v 1.
Xét ánh x

f : A P

a   a ,0,...,0,...
Nh n th y f là đ n c u vành nên ta đ ng nh t m i ph n t

aA v i

f  a   P t c a  f  a    a ,0,...,0,...
Suy ra A là vành con c a P.
Xét dãy x   0,1,0,...,0,...
Theo quy t c nhân: x2   0,0,1,0,...,0,...

x3   0,0,0,1,0,...,0,...

……………………



xn   0,...,0,1,0,...


 n

Quy

c x0  1,0,...,0,...

Các ph n t c a P là các dãy  a0 , a1,..., a n ,... trong đó ai  0 h u h t nên ta có
th gi s n là s l n nh t đ

a n  0 .Khi đó m i ph n t trong P có th



a
,0,...
vi t.  a 0 ,..., a n ,0,....   a 0 ,0,...   0, a1,0,...  ...   0,...,0,

 n
 n




  a 0 ,0,...,  .1,0,...   a1 ,0,.... 0,1,0,...   a n ,0,....  0,...,0,1,0,...


 n

 a 0  a1 x  ...  a n xn

D ng này đ

c g i là d ng chính t c c a đa th c. Khi đó P thay b ng A[x]

và g i là vành đa th c c a n x.

Ph m Th Thu Th y

6

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

A là vành c s , các ph n t c a nó đ

ng Thông

c g i là các đa th c c a n x, th

ng

kí hi u là f(x), g(x), h(x), …
nh ngh a 1.1:



Trong đa th c f  x  a 0 x 0  a1x  ...  a n xn  A[ x]



a i i  0, n các h t c a đa th c





ai xi i  0, n là các h ng t c a đa th c
a0 đ

c g i là h ng t t do ; a n  0 đ

c g i là h t cao nh t.

1.1.2 B c c a đa th c
nh ngh a 1.2:

Cho đa th c f  x  A[x]

N u f  x  0 thì ta nói f  x là đa th c không có b c ho c là  .
N u f  x  0 thì ta g i ch s l n nh t n sao cho a n  0 c a đa th c f  x là
b c c a đa th c. Kí hi u : deg f  x  n
nh lí 1.1: Cho hai đa th c f  x , g  x  A[ x]* . Khi đó:
1) N u f  x  g  x  0 thì deg  f  x  g  x   max deg f  x ,deg g  x
2) N u f  x.g  x  0 thì deg  f  x.g  x   deg f  x  deg g  x
nh lí 1.2: N u A là m t mi n nguyên, f  x và g  x là 2 đa th c khác
không c a vành A[x] thì

f  x.g  x  0 và deg  f  x.g  x   deg f  x  deg  g  x 
H qu : N u A là mi n nguyên thì A[x] là mi n nguyên.
1.1.3 Phép chia đa th c
a,

nh lí phép chia v i d .
nh lí 1.3: Gi s A là m t tr

ng. Khi đó:

f  x , g  x  A[x],g  x  0 thì ! q  x , r  x  A[x]
sao cho f  x  q  x g  x  r  x

Ph m Th Thu Th y

7

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

ng Thông

Trong đó r  x  0 ho c r  x  0 thì deg r  x  deg g  x
Ta g i q  x là th

ng và r  x là d .

b, Phép chia h t.
nh ngh a 1.3.

Cho 2 đa th c f  x , g  x  A[x], g  x  0

Ta nói f  x chia h t cho g  x n u t n t i đa th c

q  x  A[ x] sao cho f  x  g  x.q  x. Ta kí hi u: f  x  g  x
1.1.4. Nghi m c a đa th c
nh ngh a 1.4: Cho đa th c f  x  a 0  a1 x  ...  a n xn  A[x]

a,

L y ph n t c b t kì thu c A, ph n t

f  c   a 0  a1c  ...  a nc n  A đ

cg i

là giá tr c a đa th c f  x t i x  c .

N u f  c   0 thì c đ

c g i là nghi m c a đa th c f  x trong A

nh lí Bézout

b,

Gi s A là m t tr

ng, c  A , f  x  A[x]. D c a phép chia

f  x cho x  c là f  c 
c, L

c đ Horner.

Th c hi n phép chia đa th c f  x  a o xn  a1xn1  ....  a n cho x  c ta đ
h t c a đa th c th

ng q  x  b0 xn1  b1 xn2  ....  bn1 cho b i công th c

b0  a 0 ; b i  a i  c.bi 1 , i  1, n; r  a n  c.bn1

c

a0

a1

…

an-1

an

b0

b1

…

bn-1

r

d, Nghi m b i vƠ tính ch t c a nghi m b i.
nh ngh a 1.5: Gi s A là tr

Ph m Th Thu Th y

c

ng, c  A, f  x  A[x],m ฀ , m  1

8

K32C Toán

Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

ng Thông

c là nghi m b i c p m n u và ch n u f  x x  c  và f  x không chia h t
m

cho  x  c 

m1

.

- V i m = 1 : c g i là nghi m đ n
- V i m =2 : c g i là nghi m kép
- V i m  3 : c g i là nghi m b i b c m
nh lí 1.4 (

nh lí c b n ).

M i đa th c f  x v i h s ph c, b c n  n  1 có đúng n nghi m
ph c k c s b i c a m i nghi m.
e,

nh lí Viéte
Cho đa th c f  x  A[x], f  x  a n xn  a n1xn1  ...  a1x  a 0  n  1

T n t i tr

ng E  A và ch a h t t t c các nghi m c a nó.

f  x  a n  x  1  x   2 ... x   n  .
Trong đó 1, 2 ,..., n là các nghi m c a f  x ta nh n đ

c:

a n1









...
n
1
2

an

a n1

1 2  ...  1 n  ...   2 3  ...   n1 n 
an


............

n a0

1 2 ... n   1 a
n


Công th c trên là công th c Viéte
c bi t n =2 thì f  x  ax2  bx  c

 a  0

b

1   2   a
Công th c Viéte là: 
   c
 1 2 a

Ph m Th Thu Th y

9

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

ng Thông

 a  0

n = 3 thì f  x  ax3  bx2  cx  d

b








1
2
3

a

c

Công th c Viéte là: 1 2  1 3   2 3 
a

d

1 2 3   a


1.1.5.

i s các đa th c.

 X  , ,.,x  th

nh ngh a 1.6: C u trúc đ i s là b

a mãn đi u ki n sau:

1)  X, ,. l p thành m t vành
2)  X, ,x k  l p thành m t K – môđun, K – vành giao hoán có đ n v
A[x] là vành đa th c
n

n

a  A, f  x   a i x  A[ x] thì a . f  x    a i a  xi
i

i 0

i 0

Ta có A – đ i s các đa th c A[x].
*

Phép h p thành đa th c.
n

f  x   ai xi  A[ x]

Cho hai đa th c

i 0

n

g  x   b j x j  A[ x]
j 0

n

 f .g  x  f [g  x ]= ai [g  x  ]i  A[ x].
i=0

n

 gf  x   b j [f  x  ]j
j 0

B c c a đa th c h p thành nh h n ho c b ng tích các b c c a đa th c
*

Phép l y đ o hàm.
n

n

Cho f  x   a i x A[ x] ; f  x   iai xi 1 là đ o hàm c a đa th c f  x
i

i 1

Ph m Th Thu Th y

'

i 1

10

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p
1.1.6.

GVHD: V

ng Thông

a th c đ ng d .

nh ngh a 1.7:

Cho   x là đa th c khác không. Ta nói nh ng đa th c

P  x và Q  x  là đ ng d theo môđun đa th c   x n u

[P  x   Q  x  ]  x trong A[x].
Kí hi u P  x  Q  x  mod   x 
nh lí 1.5: Cho   x là đa th c khác không. P  x và Q  x  là hai đa th c.

P  x  Q  x   mod   x  khi và ch khi P  x ,Q  x  cho cùng m t đa th c d
khi chia cho   x .
1.1.7.

a th c b t kh quy.
Kí hi u K là m t trong các t p ฀ , ฀ , ฀ .

nh ngh a 1.8: Cho m t đa th c P  x không là đa th c b c không v i h s
trong K g i là b t kh quy trên K n u nó không bi u di n nh m t tích c a hai
đa th c khác đa th c b c không v i h s trong K v i các b c nh h n b c
c a P  x .
nh lí 1.6: Cho P  x là m t đa th c v i h s trong t p K. P  x b t kh
quy trên K khi và ch khi

c duy nh t c a nó v i các h s thu c K có d ng

và  P  x ,   0;  K 
nh lí 1.7: N u P  x là m t đa th c b t kh quy trên K, Q  x  là đa th c b t
kì v i h s trong K thì ho c Q  x  P  x ho c  P  x  ,Q  x    1 .
nh lí 1.8: Cho P  x là đa th c b t kh quy trên K, Q  x và R  x là đa
th c v i h s thu c K. N u P  x Q  x R x thì ít nh t m t trong các nhân
t

P  x ho c Q  x chia h t cho R x .

Ph m Th Thu Th y

11

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

nh lí 1.9: N u m t đa th c h s nguyên không phân tích đ
hai đa th c h s nguyên thì nó c ng không phân tích đ

ng Thông
c thành tích

c thành hai đa th c

h s h ut.
* Tiêu chu n EisenStein
Cho P  x  a 0  a1x  ...  a n xn

 n  1 là đa th

c v i h s nguyên, n u t n

t i s nguyên t p th a mãn đi u ki n:
i.

an  p

ii.

ai  p

iii.

a0  p2

i  0, n  1

Khi đó đa th c P  x b t kh quy trong Q[x]
c chung l n nh t.

1.1.8.

nh ngh a 1.9.Cho hai đa th c P  x ,Q  x   K[x] , K – mi n nguyên và ít
nh t m t trong hai đa th c khác không. a th c D  x đ

c g i là

c chung

l n nh t c a P  x và Q  x n u
1) P  x D  x và Q  x D  x
2) N u P  x D1  x và Q  x D1  x thì D  x D1  x
Kí hi u:

D  x   P  x ,Q  x 

(Ch n D  x là đa th c có h t cao nh t là đ n v )
* Tính ch t
1. N u D  x   P  x ,Q  x  thì  D  x   P  x ,Q  x  v i

là s b t kì,

  0.
2. N u P  xQ  x thì  P  x ,Q  x   Q  x
3.

 P  x ,Q  x   P  x ,Q  x   P  x , Q  x

Ph m Th Thu Th y

12

;   0

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p
4.

GVHD: V

 P  x ,Q  x   Q  x , R x , R x là s

ng Thông

d trong phép chia

P  x cho Q  x
1.1.9

a th c trên các tr

ng s

a, a th c v i h s h u t .

 a n  0  là m

N u f  x  a n xn  ...  a 0

f  x có th vi t d

t đa th c v i h s h u t thì

i d ng

f  x  b1  bn xn  ...  b0   b1g  x
Trong đó b là m u s chung c a các phân s a i ; bi  ฀ , i  0, n
Vì f  x và g  x ch khác nhau m t nhân t b c không nên các nghi m c a

f  x là nghi m c a g  x . Vi c tìm nghi m c a m t đa th c v i h s h u t
đ

c đ a v tìm nghi m c a đa th c v i h s nguyên.
nh lí 1.10: N u  p, q   1 và

p
là nghi m c a đa th c v i h s nguyên:
q

f  x  a n xn  ...  a1 x  a 0 thì p là

c c a a0, q là

c c a an.

b, a th c v i các h s th c vƠ ph c.
nh lí 1.11: M i đa th c f  x v i h s th c có b c l đ u có ít nh t m t
nghi m th c
nh lí 1.12: Cho f  x ฀ [x] n u s ph c  là nghi m c a f  x thì s
ph c liên h p  c ng là nghi m c a f  x .
nh lí 1.13: M i đa th c f  x  ฀ [x], deg f  x  n  1 thì f  x có n
nghi m ph c.
1.2.

VƠnh đa th c nhi u n.

1.2.1. Xơy d ng vƠnh đa th c nhi u n
Xây d ng vành đa th c nhi u n b ng ph

Ph m Th Thu Th y

13

ng pháp quy n p

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

ng Thông

Cho A là m t vành giao hoán có đ n v 1.
Ta xây d ng đ

c vành

A1  A[ x1 ] là vành đa th c n x1 l y h t có đ n v trên A
A2  A1[x2 ]=A[x1, x2 ] g i là vành đa th c hai n
........

An  An[xn-1 ]=A[x1,..., xn ] là vành đa th c n xn, l y h t trên An-1
Vành An  A[x1,..., xn ] đ

c g i là vành đa th c c a n n x1,..., xn l y h t

trong vành A.
M i ph n t c a An đ

c g i là m t đa th c n n x1,..., xn l y trong vành A.

Kí hi u:

f  x1,..., xn  hay g  x1,..., xn  .

B ng ph

ng pháp quy n p ta ch ng minh đ

f  x1,..., xn   A x1,..., xn  đ u bi u di n d

c m i đa th c

i d ng:

f  x1 ,..., xn   c1 x1a11 ....xna1n  ...  cm x1am1 ...xn amn

V i ci  A, i  1, m, a ij  ฀ , j  1, n và  ai1,..., ain    a j1,..., a jn  n u i  j
Các s ci đ

c g i là các h t , ci x1ai1 ...xnain đ

c g i là các h ng t c a đa

th c f  x1,..., xn 
a th c f  x1,..., xn   0  ci  0i  1, m
Hai đa th c f  x1, x2 ,..., xn  và g  x1,..., xn  là b ng nhau khi và ch khi chúng
có các h ng t nh nhau.
1.2.2: B c c a đa th c nhi u n
nh ngh a 1.10: Cho f  x1,..., xn   A x1,...., xn  là m t đa th c khác không,
f  x1 ,..., xn   c1 x1a11 ...xn a1n  ....  cm x1am1 ...xnamn

V i ci  0, i  1, m,

Ph m Th Thu Th y

 a i1,..., ain    a j1,..., a jn  , i 

14

j

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

ng Thông

Ta g i là b c c a f  x1,..., xn  đ i v i n xi có s m cao nh t mà xi có đ

c

trong các h ng t c a đa th c.
T ng ai1  ...  ain là b c c a h ng t th i.
S l n nh t trong nh ng s là b c c a các h ng t đ

c g i là b c c a

đa th c.

N u các h ng t có cùng b c m thì ta g i đa th c là đ ng c p b c m hay
m t d ng b c m.
m =1 ta g i là d ng tuy n tính
m = 2 ta g i là d ng toàn ph
m =3 ta g i là d ng l p ph

ng

a th c đ i x ng.

1.2.3.
a,

ng

nh ngh a 1.11: Gi s A là vành giao hoán có đ n v , f  x1,..., xn  là m t

đa th c c a vành A x1,...., xn  ; f  x1,..., xn  là đa th c đ i x ng n u v i m i
hoán v

các s

i1 , i2 , ...,in c a các s

1,2,…,n đ u th a mãn đ ng

th c f  x1,..., xn   f  xi1,..., xin 
nh lí 1.14: T p h p các đa th c đ i x ng l p thành vành con c a vành

A x1,...., xn 

b, a th c đ i x ng c b n.
Trong vành đa th c A x1,...., xn  có n đa th c sau:

 1  x1  x2  ...  xn
  x x  ...  x x  x x  ...  x x  ...  x x
 2 1 2
n 1 n
1 n
2 3
2 n

....
 n  x1 x2 x3...xn
c g i là các đa th c đ i x ng c b n.

Ph m Th Thu Th y

15

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p
c,

GVHD: V

ng Thông

nh lí c b n c a đa th c đ i x ng.

M i đa th c f  x1,..., xn   A x1,..., xn  là đa th c đ i x ng thì t n t i

duy nh t đa th c g  x1,..., xn   A x1,..., xn  sao cho f  x1,..., xn   g 1,..., n 





v i  i i  1, n là các đa th c đ i x ng c b n.
d,

a đa th c đ i x ng v đa th c đ i x ng c b n g m :
Cách 1:

Ph

ng pháp h ng t cao nh t

Cách 2:

Dùng ph

ng pháp h t b t đ nh.

e, T ng l y th a.
nh ngh a 1.12: Cho k  0 là m t s nguyên b t kì và x1, x2 ,..., xn là nh ng
s th c. a th c đ i x ng:

Sk  x1k  x2k  ...  xnk đ

c g i là t ng l y th a b c k c a x1,..., xn

Theo đ nh lí c b n c a đa th c đ i x ng, m i t ng l y th a có th bi u di n
nh đa th c c a nh ng đa th c đ i x ng c b n.
nh lí 1.15: M i t ng l y th a Sk  xk  yk th a mãn nh ng đ ng th c sau:

S0  2, S1   1 , S2   12  2 2
Sk   1Sk 1   2 Sk 2 , k  3
V i 1  x  y, 2  xy
nh lí 1.16: T ng l y th a Sk  xk  yk  zk th a mãn đ ng th c :
S0  3; S1   1; S2   1S1  2 2
S3   1S2   2 S1  3 3
Sk   1Sk 1   2 Sk 2   3 Sk 3 , k  4

đây 1  x  y  z; 2  xy  yz  xz và  3  xyz

Ph m Th Thu Th y

16

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p
CH
2.1.

GVHD: V

NG 2: M T S

BẨI TOÁN V

ng Thông

A TH C M T N

Bài toán 1: Ch ng minh m t đa th c chia h t cho m t đa th c.
Tìm d khi không th c hi n phép chia

2.1.1 C s lý lu n
- S d ng đ nh ngh a, tính ch t phép chia h t.
- Phép chia v i d .
2.1.2 Ph

ng pháp

* N u ch ng minh tính chia h t, ta d a vào các tính ch t sau:
- Bi n đ i f  x  g  x h  x
-  f  x  g  x g  x  f  x g  x

-

 f  x g  x

 f  x g  x .h  x 
 f  x h  x

 g  x , h  x   1

- f  x x  a   f  a   0
- S d ng đ ng d th c
- Ch ng minh b ng ph

ng pháp quy n p.

* N u tìm s d c a phép chia ta d a vào đ nh lý B zu.
2.1.3 Ví d minh h a:
Ví d 1: Trong vành đa th c ฀  x , ch ng minh r ng f  x  x3k  x3l 1  x3n2
chia h t cho g  x  x2  x  1 v i k, l , n฀ tùy ý.
L i gi i
Cách 1: Bi n đ i xu t hi n x2  x  1

f  x  x3k  x3l 1  x3n2   x3k  1   x3l 1  x   x3n2  x2    x2  x  1

  x3  1 f1  x  x  x3  1 f2  x  x2  x3  1 f3  x

Ph m Th Thu Th y

17

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

ng Thông

V i
f1  x  x 

 ...  1

f2  x  x 

 ...  1

f3  x  x 

 ...  1

3 k 1

3 l 1

3 n 1

 f  x   x3  1  f1  x  xf2  x  x2 f3  x    x2  x  1

  x  1  x2  x  1  f1  x  xf2  x  x2 f3  x    x2  x  1 x2  x  1

V y f  x x2  x  1

Cách 2: S d ng đ ng d th c.
M c tiêu: C n ch ng minh f  x  0  mod g  x 
Ta có: x3  1   x  1  x2  x  1  x3  1 mod g  x  , g  x  x2  x  1
Khi đó :

x3k   x3   1k  1 mod g  x 
k

x3l 1   x3  x  x1k  x  mod g  x 
l

x3n2  x2  x3   x21n  x2  mod g  x 
n

 x3k  x3l 1  x3n 2  x2  x  1  0  mod g  x 
 f  x g  x
Cách 3: Ch ng minh b ng ph

ng pháp quy n p toán h c.

t fk ,l ,n  x  x3k  x3l 1  x3n2
Ch ng minh b ng ph

ng pháp quy n p theo k.

- V i k = 0 ta có:

f0,l ,n  x  1  x3l 1  x3n2  1  x2  x   x3l 1  x   x3n2  x2 

 x  x3l  1  x2  x3n  1   x2  x  1

Ph m Th Thu Th y

18

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

ng Thông

 x  x3  1 f2  x  x2  x3  1 f3  x   x2  x  1

 f0,l ,n  x x2  x  1

V y kh ng đ nh đúng v i k = 0;
* Gi s kh ng đ nh đúng v i k-1. Ta c n ch ng minh kh ng đ nh đúng v i k.
Th t v y, ta có



fk ,l ,n  x  x3k  x3l 1  x3n2  x 

3 k 1

 

 x3l 1  x3n2  x3k  x 

3 k 1



 fk 1,l ,n  x   x3  1 x 

3 k 1

Vì fk1,l ,n  x x2  x  1 theo gi s và  x3  1 x2  x  1
Nên fk ,l ,n  x x2  x  1

k, l , n  ฀ (đpcm).

Ví d 2: Cho đa th c f  x   x2  x  1   x2  x  1  2
2n

2n

Ch ng minh r ng f  x chia h t cho x2  x n ฀ .
L i gi i
Nh n th y đa th c chia có 2 nghi m x = 0 và x =1. Ta ch ng t r ng
x=0 và x =1 là nghi m c a f  x .
Ta có f  0    1  1  2  0
2n

2n

f 1  12 n   1  2  0
2n

 f  x x

Do đó  f  x x  1


 x, x  1  1

suy ra f  x x2  x

Ví d 3: Ch ng minh r ng v i m i giá tr n฀ * , đa th c  x  1

2 n 1

 xn 2

chia h t cho đa th c x2  x  1
L i gi i
Ta ch ng minh b ng ph

Ph m Th Thu Th y

ng pháp quy n p theo n฀ *

19

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

ng Thông

- V i n =1 thì:

 x  1

2 n 1

 xn 2   x  1  x3
3

  2 x  1  x2  2 x  1  x2   x  1 x
  2 x  1  x2  x  1 x2  x  1

Do đó kh ng đ nh đúng v i n =1.
- Gi s kh ng đ nh đúng v i n -1 t c là:

 x  1

2 n1



 xn1  x2  x  1

- Ta c n ch ng minh kh ng đ nh đúng v i n฀ *
Ta có  x  1

2 n 1

 xn2   x  1  x  1
2

 x2  2 x  1 x  1

2 n 1

 x2  x  1 x  1

2 n 1

 x2  x  1 x  1

2 n 1

Theo gi thi t quy n p

2 n 1

 x.xn1

 x.xn 1

 x. x  1

2 n 1



 xxn 1

 x  x  1

x  1

2 n 1

2 n 1

 xn 1





 xn 1  x2  x  1

Nên kh ng đ nh đúng v i n
2 n1
V y  x  1  xn2  x2  x  1 , n  ฀ *.



Ví d 4: Tìm d khi chia đa th c
f  x  x99  x55  x11  x  7 cho x  1;

x2  1

L i gi i
Theo đ nh lí Bezout ta có:
S d c a phép chia f  x cho x  1 là:
r  f  1   1   1   1   1  7  3

99

55

11

Xét f  x  x99  x55  x11  x  7

  x99  x   x55  x   x11  x  2 x  7

 x x98  1  x  x54  1  x  x10  1  2 x  7

Ph m Th Thu Th y

20

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V



Nh n th y x2 n  1   x2   1   x2  1 x 
n

2 n 1

ng Thông



 ...  x2  1  x2  1 ; n  ฀ *

Do đó d c a phép chia là : 2x  7
Ví d 5: Tìm d khi chia đa th c
f  x  xn  xn1  ...  x2  x  1 cho x2  1 v i n > 2.

L i gi i
ng là q  x , d là r  x  ax+b

G i th

Khi đó f  x   x2  1 q  x  ax+b
ng th c trên đúng v i x do đó c ng đúng v i x  1
Thay x =1 ta có:
n
n 1
 1
 ... 
1

1  a  b  n  1

1

n 1

Thay x = -1 ta có :

1   1  ...  1  a  b  2 

n 1

n

n 1

Xét 2 tr

ng h p x y ra

- N u n ch n t c n  2k(k ฀ *) thì

 2  có d

ng  1   1
2k

2 k 1

 ...   1  1  a  b

 1 = a b

3

T (1) và (3) ta có h :

n

a

a  b  n  1 
2


a  b  1
b  n  2

2

- N u n l , t c n  2k  1

 1

2 k 1

 k ฀ * thì

(2) có d ng

  1  ...   1  1  a  b



Ph m Th Thu Th y

2k

0

= a b

21

 4

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

ng Thông

T (1) và (4) ta có h
n 1


a
a  b  n  1 
2


a  b  0
b  n  1


2

V y n ch n thì d là
n l thì d là

n
n2
x
2
2

n 1
n 1
x
2
2

2.1.4. BƠi t p áp d ng.
Bài 1: Ch ng minh r ng
a,  x  1  x2 n  2 x  1 chia h t cho x x  1 2 x  1 , n ฀
2n

b, x4 n2  2 x2 n1  1 chia h t cho  x  1 , n ฀
2

c, x2  x9  x1945 chia h t cho  x2  x  1
d, x10  10 x  9 chia h t cho  x  1

2

e, x33  x91  x47 chia h t cho x2  x  1
Bài 2: Ch ng minh r ng m, n ฀ thì
x6 m4  x6 n2  1 chia h t cho x4  x2  1

Bài 3: Ch ng minh r ng f  x chia h t cho g  x v i

f  x  x99  x88  x77  ...  x11  1
g  x  x9  x8  x7  ...  x  1
Bài 4: Tìm d khi chia đa th c
f  x  x50  x49  ...  x2  x  1 cho x2  1

Bài 5: Tìm d khi chia các đa th c sau
a. x41 : x2  1
b. x27  x9  x3  x : x2  1

Ph m Th Thu Th y

22

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p
2.2.

GVHD: V

Bài toán 2: Tìm giá tr c a m đ

ng Thông

f  x, m g  x, m

2.2.1 C s lí lu n
S d ng đ nh ngh a, tính ch t c a phép chia h t.
2.2.2 Ph

ng pháp gi i.

B

c 1:

Bi u di n f  x d

B

c 2:

Gi i ph

i d ng f  x  g  x.q  x  r  x

ng trình r  x  0 đ tìm tham s m

2.2.3 Các ví d minh h a
Ví d 1: Tìm s t nhiên n sao cho x2 n  xn  1 chia h t cho x2  x  1
L i gi i
t fn  x  x2 n  xn  1

x3  1   x  1  x2  x  1

Ta có :

Nên n u tìm đ
Ta xét tr

c s t nhiên n mà fn  x x3  1 thì fn  x x2  x  1

ng h p sau:

TH1: N u n = 3k thì
fn  x  x6 k  x3k  1   x6 k  1   x3k  1  3



=  x6  1 x 

6 k 1





 ...  1   x3  1 x 

3 k 1



 ....  1  3

Vì x6  1   x3  1 x3  1   x  1  x2  x  1 x3  1 x2  x  1
và  x3  1 x2  x  1
nên fn  x chia cho  x2  x  1 đ

c d 3 (lo i).

TH2: N u n = 3k + 1 thì

fn  x  x6 k 2  x3k 1  1

  x6 k 2  x2    x3k 1  x  x2  x  1
 x2  x6 k  1  x  x3k  1  x2  x  1

 x2  x6  1 M  x  x3  1 N   x2  x  1

Ph m Th Thu Th y

23

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

GVHD: V

V i M  x6 k1  x6 k2  ...  1

và

Nx

3 k 1

x

3 k 2 

ng Thông

 ....  1

Do đó fn  x x2  x  1
TH3: N u n = 3k +2 thì
fn  x  x6 k 4  x3k 2  1

  x6 k4  x4    x3k2  x2   1  x2  x4

 x4  x6 k  1  x2  x3k  1   x4  2 x2  1  x2 

 x4  x6  1.M  x2  x3  1 N   x2  x  1 x2  x  1
Suy ra fn  x x2  x  1
V y v i m i s t nhiên n không chia h t cho 3 thì fn  x x2  x  1
Ví d 2: Xác đ nh a,b đ đa th c p  x  axn1  bxn  1 chia h t cho  x  1 .
2

L i gi i
Ta đ t p  x   x  1 q1  x  r1

q1  x   x  1 q2  x  r2
Khi đó p  x   x  1 q2  x  r2  x  1  r1
2

r2 x  r1  r2

Nh v y s d là

r2  0
 r 1  r2



r
r
0
1 2

th a mãn yêu c u thì
D a vào l

1

1

c đ Horner tìm r1 , r2

a

b

0

0...0


a

a+b

a+b

a

2a+b

3a+2b

Ph m Th Thu Th y

0

1

a+b

a+b

a+b+1=r1

…

(n+1)a+nb = r2

n3

24

K32C Toán


Khóa lu n t t nghi p

Ta có

GVHD: V

ng Thông

a  b  1  0
r1  0
a  n




r2  0  n  1 a  nb  0 b  n  1

V y v i a  n; b  n  1 thì p  x chia h t cho  x  1

2

Ví d 3: Trong ฀  x tìm đi u ki n c a các s t nhiên khác không k, l, n đ
đa th c x3k  x3l 1  x3n2 chia h t cho x2  x  1 .
L i gi i
(S d ng đ ng d th c)
Ta có :

x3  1  0mod   x  v i   x  x2  x  1
x3  1 mod   x 
x3k   1  mod   x 
k

x3l 1   1 x  mod   x 
l

x3n2   1 x2  mod   x 
n

T đó x3k  x3l 1  x3n2   1   1 x   1 x2  mod   x 
k

l

n

V y đ th a mãn yêu c u thì n và l trái tính ch n l v i k
2.2.4 BƠi t p áp d ng.
Bài 1: Tìm giá tr c a a và b đ đa th c p  x  ax4  bx3  1 chia h t cho

 x  1

2

Bài 2: Tìm n฀ đ

p  x  x4 n  x3n  x2 n  xn  1 chia h t cho đa th c

  x  x4  x3  x2  x  1
Bài 3: Trong ฀  x tìm đi u ki n c a các s t nhiên khác không k,l,n đ đa
th c f  x  x3k  x3l 1  x3n2 chia h t cho x4  x2  1 .
Bài 4: Tìm s t nhiên n sao cho đa th c p  x   x  1  xn  1 chia h t cho
n

đa th c   x  x2  x  1 .

Ph m Th Thu Th y

25

K32C Toán