skkn: sử dụng máy tính cầm tay dạy các dạng bài toán về đa thức trong trương trình toán ở trường THCS

Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
Thông tin về sáng kiến
1. Tên sáng kiến:
Sử dụng máy tính cầm tay giải các dạng bài toán về đa thức trong ch-
ơng trình Toán ở trờng THCS
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Giảng dạy chơng trình Toán cấp trung học cơ sở với cả đối tợng học
sinh đại trà và học sinh giỏi.
3. Thời gian áp dụng sáng kiến:
Sáng kiến đã đợc áp dụng này trong giảng dạy học sinh giỏi bộ môn
Giải toán nhanh trên máy tính cầm tay từ năm học 1999 -2000 đến nay.
4. Tác giả:
Họ và tên: Trần Thị Thu Hờng
Năm sinh: 1978.
Nơi thờng trú: Thị Trấn Gôi, huyện Vụ Bản, tỉnh Nam Định.
Trình độ chuyên môn: Đại học Toán.
Chức vụ công tác: giáo viên.
Nơi công tác: Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản.
Địa chỉ liên hệ: Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản.
Điện thoại: 0982270578.
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Trờng THCS Trần Huy Liệu.
Địa chỉ Thị Trấn Gôi, huyện Vụ Bản, tỉnh Nam Định
Số điện thoại: 03503820267
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
2
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
I Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Ngay từ khi cha có toán học, từ thời Nguyên thuỷ loài ngời đã biết sử
dụng công cụ thô sơ nh những chiếc lá cây, viên đá, vạch lên nền đất, khắc lên
vách để biết số sản phẩm mình làm ra, số con thú mình săn bắn đợc,. Trải qua

từng thời kỳ phát triển của lịch sử loài ngời, sự phát triển của Toán học luôn gắn
liền và không thể thiếu với đời sống hàng ngày.
Để nâng cao chất lợng dạy và học, thầy và trò cần phải đổi mới phơng
pháp dạy và học theo hớng tích cực, năng động và sử dụng một cách hiệu quả
các thành tựu công nghệ mới. Với máy tính điện tử và mạng Internet, toán học
phổ thông có khả năng tiếp cận tốt hơn tới toán học hiện đại. Vì vậy, vấn đề là:
Làm thế nào để học sinh phổ thông có thể tiếp cận đợc với những thành tựu mới,
thậm chí mới nhất, của toán học hiện đại và nh vậy phải chăng sẽ hình thành
một phong cách học tập mới mang đậm tính chủ động, ham mê khám phá và
sáng tạo? Trong khi đó bài tập toán rất đa dạng và phong phú, việc giải nhanh
các bài toán sẽ giúp cho các em học sinh thấy hiệu quả hơn trong quá trình học
tập, đồng thời nó trang bị cho học sinh một kỹ năng phân tích tìm ra thuật giải
cho một công việc. Đây là một nội dung rất quan trọng tạo cho các em hứng thú,
cơ sở để tiếp cận với nội dung Giải toán nhanh bằng máy tính điện tử khá phổ
biến hiện nay trong chơng trình THCS, đồng thời tạo tiền đề cho học sinh khi
học cấp 3 hoặc bậc học cao hơn trong các môn học về cấu trúc dữ liệu, lập trình -
thuật giải .
Trong những năm gần đây với sự phát triển nhanh chóng của khoa
học kĩ thuật, nhất là các ngành thuộc lĩnh vực Công nghệ thông tin. Máy tính
điện tử bỏ túi (MTĐTBT) cũng đã đợc sử dụng rộng rãi và là một công cụ hỗ trợ
học tập không thể thiếu với mỗi học sinh đặc biệt là từ cấp học trung học cơ sở,
các em phải đối mặt với lợng kiến thức không nhỏ với nhiều bộ môn học và mức
độ khó ngày càng nhiều. Vì vậc việc bồi dỡng, phát triển trí tuệ và năng lực hoạt
động sáng tạo của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi nhà trờng. Sử dụng
MTĐTBT cũng là một học động phát triển trí tuệ và năng lực sáng tạo của học
sinh rất hiệu quả. Nó có thể hỗ trợ học sinh rất tích cực trong việc giải toán,
không chỉ giúp học sinh có đợc các kết quả tính toán nhanh, chính xác, tiết kiệm
thời gian làm bài mà quan trọng hơn với những tính năng phong phú nh của các
máy tính thông dụng hiện nay thì khi sử dụng MTĐTBT hoc sinh còn đợc rèn
luyện t duy thuật toán một trong những t duy rất quan trọng cho mỗi học sinh,

rất hữu ích cho việc học các môn khoahọc tự nhiên. Rộng hơn nữa các em có thể
tự tìm tòi sáng tạo ra một tính chất, hệ quả nào đó hay một qui luật toán học lý
thú. Điều này sẽ giúp cho các em hứng thú hơn trong học tập, tạo tiền đề cho
những ý tởng tìm kiếm những giải pháp ứng dụng toán học trong cuộc sống sau
này.
Với t cách là một công cụ hỗ trợ cho việc giảng dạy của giáo viên và việc
học tập của học sinh, MTĐTBT có thể đáp ứng nhu cầu đổi mới phơng pháp dạy
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
3
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
học theo hớng hiện đại một cách hiệu quả. Hiện nay có nhiều loại máy tính có
tính năng mạnh phù hợp với chơng trình học của học sinh phổ thông nh các dòng
máy Casio, Vinacal: Casio Fx 500MS, Casio Fx- 570MS, Casio Fx-500ES,
Casio Fx-570ES, Vinacal-500MS, Vinacal Fx- 570MS,
Là một giáo viên toán đã từng giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi bộ
môn Giải toán nhanh trên máy tính cầm tay nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ tác
dụng của chiếc MTCT đối với học sinh ở cấp Trung học cơ sở. Nó không chỉ đơn
giản là giúp học sinh tính toán nhanh với các con số phức tạp hay kiểm tra kết
quả của một bài toán mà còn giúp học sinh tìm ra cách làm của một bài toán hay
phát hiện ra qui luật của một dãy số, Cụ thể ở chơng trình Toán 6, với máy tính
học sinh có thể tìm bội, ớc, bội chung nhỏ nhất, ớc chung lớn nhất, phân tích
một số ra thừa số nguyên tố. ở chơng trình Toán 7, máy tính có thể giúp học sinh
tính giá trị biểu thức, làm bài toán thống kê, mô tả, tính căn bậc hai. ở chơng
trình Toán 8 máy tính có thể giúp học sinh làm tốt hơn dạng toán phân tích đa
thức thành nhân tử, giải phơng trình, hệ phơng trình. Chơng trình Toán 9 máy
tính giúp học sinh tính góc, tính tỉ số lợng giác của một góc chính xác mà không
cần tra bảng, tính căn bậc hai, căn bậc 3, Mặt khác máy tính còn hỗ trợ cho
việc học và làm bài cũng nh phát triển năng lực t duy sáng tạo rất tốt cho đối t-
ợng học sinh giỏi toán. Qua quá trình thực tế giảng dạy và tích lũy kinh nghiệm
hơn 10 năm tôi nhận thấy việc cần thiết phải hớng dẫn học sinh sử dụng MTCT

để giải toán.
II. Thực trạng việc sử dụng máy tính cầm tay cuả học
sinh trớc khi có sáng kiến
Thực tế hiện nay đa số học sinh khi đến trờng học đều trang bị cho mình
một chiếc máy tính điện tử bỏ túi để cho tiện trong việc tính toán khi làm bài tập.
Mặc dù vậy không phải học sinh nào cũng có thể sử dụng máy tính để hỗ trợ cho
học tập một cách hiệu quả mà phần lớn các em chỉ coi máy tính nh công cụ để
tính toán nhanh hơn mà thôi, thậm chí có em không cần hiểu và nắm rõ dạng
toán và phơng pháp làm bài để dung máy tính hỗ trợ và tìm hớng giải thì việc sử
dụng máy tính quả là lãng phí. Việc các em cha biết cách sử dụng máy tính một
cách hợp lí để hỗ trợ cho giải toán là phổ biến. Thông thờng các em chỉ lạm
dụng, dùng máy tính thay cho việc tính toán của mình nên dần mất đi tính linh
hoạt trong tính toán nên khi rời máy là tính chậm thậm chí còn tính sai. Vì nhìn
thấy mặt trái của việc sử dụng máy tính nh vậy nên nhiều phụ huynh và không ít
giáo viên đã hạn chế và ngăn cấm học sinh sử dụng máy tính khi làm toán. Điều
này hoàn toàn hợp lí với những học sinh có thói quen lời tĩnh, ỉ nại vào máy tính
nhng với những đối tợng học sinh biết sử dụng máy tính nh công cụ hỗ trợ khi
làm toán thì lại là một thiệt thòi đặc biệt là với đối tợng học sinh khá và giỏi. Vì
vậy điều quan trọng nhất là làm thế nào để hớng dẫn học sinh cách sử dụng máy
tính sao cho có hiệu quả nhất
Trong chơng trình cải cách sách giáo khoa mới lợng bài tập nhiều và có rất
nhiều bài tập cần phải sử dụng đến máy tính bỏ túi. Trong khi lý thuyết trình bày
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
4
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
trong một tiết dạy nhiều, phần lớn không đợc chứng minh mà công nhận là chủ
yếu, các thuật toán để giải một số dạng toán không đợc trình bày đầy đủ; trong
sách giáo khoa các nội dung về sử dụng máy tính điện tử bỏ túi thờng chỉ đợc
trình bày ở phần Bài đọc thêm. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh khai
thác đợc hết tính năng của chiếc máy tính bỏ túi trong việc giải các bài toán đơn

giản, các bài toán có thuật toán, các bài toán có qui luật nh dãy số, chuỗi
Đa thức là một mảng kiến thức không nhỏ trong chơng trình đại số ở cấp
trung học cơ sở với nhiều dạng toán từ đơn giản đến phức tạp có rải khắp trong
chơng trình toán từ lớp 7 đến lớp 9. Với những bài toán về đa thức có nhiều bài
có những phơng pháp giải không đơn thuần, đòi hỏi tính phức tạp không chỉ về
con số, vì vậy khi có máy tính hỗ trợ thì việc giải các bài toán đa thức trở nên
thuận lợi hơn nhiều. Thực tế qua giảng dạy nhiều năm tôi đã thấy rõ tác dụng
của chiếc máy tính cầm tay với những bài toán về đa thức nếu các em nắm đợc
thuật toán và phơng pháp giải nên tôi mạnh dạn đa ra sáng kiến kinh nghiệm
Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán về đa thức trong chơng trình
toán ở trờngTHCS.
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
5
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
iii. Các giải pháp
1. Yêu cầu của việc sử dụng máy tính cầm tay khi giải toán
Trớc khi dạy cho học sinh sử dụng máy tính để giải toán giáo viên cần cho
học sinh hiểu đợc:
- Máy tính là một công cụ hỗ trợ cho giải toán chứ không phải dùng máy
tính để thay thế cho việc làm toán.
- Muốn sử dụng máy tính để giải một bài toán trớc hết học sinh phải nắm
đợc phơng pháp giải dạng toán đó, cách làm và các bớc để làm bài toán đó.
- Bên cạnh đó học sinh phải nắm chắc cách sử dụng máy tính, các chức
năng của máy tính: các phím hàm, cách sử dụng phím nhớ, cách gán giá trị
cho ô nhớ, cách giải phơng trình, hệ phơng trình, tính giá trị biểu thức, tính
luỹ thừa, tính căn, tính tỉ số lợng giác của góc, và sử dụng các chức năng
của máy một cách linh hoạt.
2. Phân loại các dạng toán về đa thức:
Dạng 1: Tính giá trị của đa thức
Dạng 2: Tìm d trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b

Dạng 3: Tìm thơng trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) =
ax + b
Dạng 4: Tìm giá trị tham số trong đa thức bị chia để đa thức f(x) chia hết
cho nhị thức g(x) = ax +b.
Dạng 5: Tìm hệ số của đa thức bậc cao
Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng 7: Phân tích đa thức theo bậc của một đa thức bậc một.
Dạng 8: Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dơng của đa thức
Dạng 9: Xác định đa thức theo các điều kiện cho trớc.
3. Các kiến thức cần bổ sung để sử dụng khi làm bài toán về đa thức
3.1 Định lí Bézout
Phần d của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x a là một hằng
số bằng f(a)
* Hệ quả: Nếu f(a) =0 thì đa thức f(x) chia hết cho g(x)
3.2 Lợc đồ Hoocner
Trong trờng hợp chia một đa thức P
n
(x) cho một nhị thức x- m ta có thể sử
dụng thuật toán Hoocner nh sau:
Giả sử khi chia đa thức P
n
(x)= a
n
x
n
a
n-1
n-1
+ a
n-2

x
n-2
++ a
1
x + a
0
cho nhị
thức x-m ta đợc đa thức Q(x) =b
n-1x
n-1
+ b
n-2
x
n-2
+ b
1
x + b
0
thì
giữa các hệ số a
n,
a
n-1,
, a
1,
a
0
và b
n-1
, b

n-2
,, b
1
, b
0
có mối quan hệ sau đây
b
n-1
=a
n
b
n-2
=m . b
n-1
+a
n-1

b
0
= m . b
1
+ a
1
.
và số r r = m . b
0
+ a
0
.
3.3 Một số hằng đẳng thức tổng quát:

1.
( )
2
1 2

n
A A A+ +
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
6
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
2 2 2
1 2
1 2 1 3 1
2 3 2 4 2
1

2 2 2
2 2 2
2
n
n
n
n n
A A A
A A A A A A
A A A A A A
A A

= + + +
+ + + +

+ + + +
+ +
2.
( )
( )
1 2 2 1

n n n n n n
A B A B A A B AB B

= + + + +
3.
( )
( )
2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 1

k k k k k k k
A B A B A A B A B AB B

= + +
4.
( )
( )
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

k k k k k k
A B A B A A B AB B
+ +
+ = + + +
3.4 Khai triển hệ số của đa thức bậc cao

( )
1 1 2 2 2 1 1

n
n
n n n n n
n n n
a b a C a b C a b C ab b

+ = + + + + +
Trong đó
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=

4. Hớng dẫn sử dụng máy tính giải các dạng toán về đa thức
4.1 Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
Ví dụ 1a:
Tính giá trị của biểu thức A(x)=5x
5
+3x
3
2x
2
+125 tại x = 1,52; 5,236

(Qui trình trên máy Casio FX 500MS)
ấn:
1,52 SHIFT STO X
(Gán giá trị cho biến nhớ X của máy tính)
An tiếp:
3 2
5 ALPHA X ^ 5 3 ALPHA X x 2 ALPHA X x 125+ + =

ĐS:171,48303
(Màn hình máy tính hiện: 5X^5+3X
3
-2X
2
+125 gần giống nh biểu thức đã
cho)
ấn tiếp:
5,236 SHIFT STO X =
Đáp số: 20178,2361
* Phân tích:
- Nếu không sử dụng máy tính thì việc tính giá trị biểu thức bậc 5 nh trên
quả là không đơn giản, nhng nếu đơn thuần là thay các giá trị của biến vào tính
bình thờng thì ta phải mất khá nhiều thời gian vì vậy nếu biết sử dụng chức năng
của máy thì ta chỉ cần nhập biểu thức A(x) một lần mà có thể tính giá trị của đa
thức tại nhiều giá trị khác nhau của biến.
- Với bài toán trên ta có thể thực hiện trên máy 570MS hoặc máy tính
500ES, 570ES với chức năng của phím CALC
Nh vậy chỉ cần một lần nhập biểu thức nhng có thể tính với nhiều giá trị
khác nhau của biến x, chức năng này của máy tính rất thuận lợi cho những dạng
bài tính toán giá trị biểu thức tại nhiều giá trị khác nhau của biến của biến. Ví
dụ nh:

Hãy điền vào bảng sau:
x -3
5
1
2
0,0(25) 1,856 8
A(x)
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
7
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
- Không chỉ với một biến mà máy tính có thể dùng nhiều biến nhớ khác
nhau cùng một lúc để có thể tính giá trị của đa thức với nhiều biến rất thuận lợi
Ví dụ 1b: Tính giá trị của biểu thức
P(x,y) = 8x
5
y
3
z
4
+ 3x
3
yz
2
-4xyz
3
tại x = 1,52; y = 3, z = -2,3
(Qui trình trên máy Casio FX 500MS)
ấn:
1,52 SHIFT STO X
3 SHIFT STO Y

-2,3
SHIFT STO
Z
(Gán giá trị cho biến nhớ X, Y, Z của máy tính)
ấn tiếp:
3 3
2 3
8 5 4 3ALPHA X ALPHA Y ALPHA Z ALPHA X ALPHA
Y ALPHA Z ALPHA X ALPHA Y ALPHA Z

+
=

Kết quả: 49432,80155
4.2 Dạng 2: Tìm d trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x)
= ax + b
Khi chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x)=ax+ b ta luôn đợc f(x)=Q(x)
(ax+b) + r, trong đó r là một số (không chứa biến x). Thế
b
x
a
=
ta đợc P(
b
a

) =
r.
Nh vậy để tìm số d khi chia f(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = f(
b

a

), lúc này dạng toán trở thành dạng toán tính giá trị của đa thức
Ví dụ 2a: Tìm d của phép chia đa thức f(x) = x
3
+ 4x
2
7 cho đa thức
g(x) = x 1
áp dụng định lí Bézout ta có d trong phép chia trên là f(1)
Cách làm:
Tính f(1):
- Gán giá trị 1 cho X.
- Nhập biểu thức x
3
+ 4x
2
7 rồi ấn
=
Kết quả: -2
* Phân tích bài toán: Từ định lí Bézout ta suy ra: với những phép chia mà
đa thức chia g(x) không có dạng x- m mà có dạng phức tạp hơn nh g(x) = ax + b
thì phơng pháp làm tơng tự nhng trớc hết ta tìm nghiệm của ax + b là x =
b
a

sau đó tính f(
b
a

).
Ví dụ 2b: D trong phép chia đa thức f(x) = 3x
4
7x
2
+
15
4

cho đa thức g(x) = -6x + 7 là f(
7
6
)
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
8
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
4.3. Dạng 3: Tìm thơng trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức
g(x) = ax + b
Ví dụ 3a: Tìm thơng trong phép chia hai đa thức sau:
5 4 3
1 3
( ) 2 5 1
2 4
f x x x x x
= + +
cho đa thức
( ) 3g x x
=
* Cách làm: Nghiệm của đa thức chia là 3. Ta sử dụng lợc đồ Hoocner để
tìm thơng của phép chia trên nh sau:

2
1
2
-5 0
3
4
-1
3 2
1
6
2
1
14
2
1
43
2
1
131
4
3
392
4
(Qui trình trên máy Casio FX 500MS)
- Hệ số bậc cao nhất (bậc 4) của thơng là 2.
- Hệ số bậc 3 của thơng là:
1 1
2.3 6
2 2
+ =

- Hệ số bậc 2 của thơng là:
1 1
6 .3 5 14
2 2
=
- Hệ số bậc 1 của thơng là:
1 1
14 .3 0 43
2 2
+ =
- Hệ số bậc 0 của thơng là:
1 3 1
43 .3 131
2 4 4
+ =
- D của phép chia là:
1 3
131 .3 1 392
4 4
=
Vậy thơng của phép chia đã cho là:
4 3 2
1 1 1 1
2 6 14 43 131
2 2 2 4
x x x x+ + + +
Và d trong phép chia đó là:
3
392
4

* Kết luận:
- Ta thấy việc sử dụng máy tính tính theo lợc đồ Hoocner ta tìm đợc đa
thức thơng và d của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất g(x) rất nhanh
và chính xác. Nếu không sử dụng cách làm trên học sinh cũng có thể tìm thơng
và d theo cách thông thờng: đặt phép chia hai đa thức đã sắp xếp, khi đó việc
thực hiện phép chia sẽ rất phức tạp và mất thời gian hơn vì ta phải tính toán với
các số lẻ.
- Tuy nhiên đa thức chia g(x) ở trên là đa thức dạng x-a có hệ số của x là
1, nếu hệ số của x không là 1 thì việc dùng lợc đồ Hooner cũng cha cho ta thơng
và d cần tìm ngay, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 3b: Tìm thơng trong phép chia đa thức
f(x) = 3x
4
+ 5x
3
- 4x
2
+2x 7cho đa thức g(x) = 4x 5
* Cách làm:
Để tìm thơng của phép chia trên ta sử dụng lợc đồ Hoocner
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
9
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
Ta thấy nghiệm của đa thức chia là
5
4
không phải là số nguyên vì vậy ta
phải làm bài toán qua hai bớc nh trong bảng sau:
3 5 -4 2 -7
5

4
3
35
4
111
16
683
64
87
6
256
3
4
35
16
111
64
683
256
Trong bảng:
+ Dòng đầu tiên từ cột thứ hai là hệ số của đa thức bị chia (viết theo thứ tự
bậc giảm dần của biến)
+ Dòng thứ hai: cột đầu là nghiệm của đa thức chia, các hệ số tiếp theo là
nghiệm của đa thức thơng theo lợc đồ Hoocner nhng đây là hệ số của phép chia
đa thức bị chia chia cho đa thức g(x) = x -
5
4
=
1
4

g(x) nên hệ số của đa thức th-
ơng của phép chia đã cho đợc ghi ở dòng 3(tính bằng hệ số của đa thức dòng 2
chia cho 4 là hệ số của biến x trong đa thức chia.
Vậy thơng trong phép chia f(x) cho g(x) là h(x)=
3 2
3 35 111 683
4 16 64 256
x x x+ + +
Và d r =
87
6
256
4.4. Dạng 4: Tìm giá trị tham số trong đa thức bị chia để đa thức
f(x) chia hết cho nhị thức g(x) = ax +b.
Ví dụ 4: Tìm a để: f(x) = x
4
+ 7x
3
+ 2x
2
+ 13x + a
chia hết cho đa thức g(x) = x+6
* Phơng pháp
Đặt f(x)=h(x) + a (với h(x) = x
4
+ 7x
3
+ 2x
2
+ 13x )

Phép chia f(x) cho g(x) là phép chia hết

số d trong phép chia f(x) cho g(x) bằng 0

f(-6) = 0

h(-6) + a = 0

a = - h(-6)
Để tính a ta tính h(-6)
Qui trình1: tính thông thờng trên máy (fx-500MS và fx-570 MS):
Số d
( ) ( )
2
4 3
a ( 6) 7( 6) 2 6 13 6

= + + +

ấn các phím:
( )

6
SHIFT
STO
X
( )

(
ALPHA

X
^
4
+
7
ALPHA
X
3
x
+
2
ALPHA
X
2
x
+
13
ALPHA
X
)
=
Kết quả: a = 222
Qui trình 2: dùng chức năng phím
Calc
với máy Casio Fx 570 MS)
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
10
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
Nhập biểu thức X
4

+ 7X
3
+ 2X
2
+ 13X
n
Calc
X, Máy hỏi X?
Nhập -6
=
n tiếp = máy hiện - 222
Kết quả a = 222
4.5. Dạng 5: Tìm hệ số của đa thức bậc cao
Ví dụ 5a: Tìm hệ số của x
10
trong đa thức khai triển của (x+1)
13
*Phơng pháp:
Để tìm hệ số của x
10
trong đa thức khai triển của (x+1)
13
ta sử dụng công
thức khai triển hệ số của đa thức bậc cao
( )
1 1 2 2 2 1 1

n
n
n n n n n

n n n
a b a C a b C a b C ab b

+ = + + + + +
Ta có:
( )
13
13 1 12 2 11 3 10 12
13 13 13 13
1 1x x C x C x C x C x+ = + + + + + +
Suy ra hệ số của x
10
là
3
13
C
Qui trình tính trên máy fx-500MS

13 3nCr =
kết quả 286
* Kết luận: nếu không sử dụng cách tính
3
13
C
trên máy tính thì ta phải tính
3
13
C
phức tạp hơn nh sau:
( )

3
13
13! 13!
3! 13 3 ! 3!10!
11.12.13
2.11.13
1.2.3
286
C = =

= =
=
Ví dụ 5b: Tìm hệ số của x
8
trong khai triển của và thu gọn đa thức:
(1+x
2
-x
3
)
9
* Cách làm:
Ta có:

( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 3

2
2 3
2 3
1 2 3 2 2 3 3 2 3
9 9 9
8 9
8 2 3 2 3
9
1
1
1

x x
x x
C x x C x x C x x
C x x x x
+

= +

= + + +
+ + +
Hạng tử x
8
chỉ xuất hiện trong
( )
3
3 2 3
9
C x x

và
( )
4
4 2 3
9
C x x
mà không thể có
trong các hạng tử còn lại
Ta khai triển tiếp hai hạng tử trên:
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
11
B¸o c¸o s¸ng kiÕn Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh cÇm tay
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3
3
2 3 2
3 2 2 2 3
2 1 2 3 2 3 3
3
3
x x x x
x C x x C x x x
 
− = + −
 
= + − + − + −
nªn hƯ sè cđa x

8
trong khai triĨn
( )
3
2 3
x x−

lµ
2
3
C
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
2 3
4
3
2
4 3 2 2 3 4
2 1 2 3 2 2 3 3 2 3 3
4 4 4
x x
x x
x C x x C x x C x x x
−
 
= + −
 
= + − + − + − + −

nªn hƯ sè cđa x
8
trong khai triĨn
( )
4
2 3
x x−
lµ 1
VËy hƯ sè cđa h¹ng tư x
8
trong khai triĨn vµ thu gän cđa f(x) lµ:
3 2 4
9 3 9
. .1C C C+

Qui tr×nh tÝnh trªn m¸y fx-500MS
An:
9 3 3 2 9 4 1nCr nCr nCr× + × =
KÕt qu¶ 378
4.6 D¹ng 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
 XÐt bµi to¸n tỉng qu¸t víi ®a thøc bËc 2:Ph©n tÝch tam thøc bËc hai
F(x) = ax
2
+ bx + c thµnh nh©n tư.
Víi bµi to¸n nµy ta cã thĨ ph©n tÝch nh sau:
2
2 2
2 2
2
2

2
2
2
2
Ta có: F(x) = ax bx c
b c b b b c
a x x a x x
a a a 2a 2a a
b b 4ac
a x
2a 4a
b
Đặt b 4ackhiđó F(x) a x
2a 4a
Nếu 0thìF(x) 0.Lúcđo ù F(x) không t
+ +
 
     
= + + = + + − +
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 
 
−
 
= + −
 
 ÷

 
 
 
 
∆
 
∆ = − = + −
 
 ÷
 
 
 
∆ < > hể phân tích thành nhân tử được.

2
b
Nếu 0thì F(x) = a x
2a
b b
Nếu 0thì F(x) = a x x
2a 2a
 
∆ = +
 ÷
 
  
+ ∆ − ∆
∆ > + +
 ÷ ÷
  

Víi ph©n tÝch trªn th× chØ cÇn x¸c ®Þnh ®ỵc
∆
ta sÏ ph©n tÝch ®ỵc bµi to¸n.
Do ®ã, chØ cÇn cµi ®Ỉt ch¬ng tr×nh ®Ĩ tÝnh
∆
trong m¸y tÝnh ta sÏ gi¶i ®ỵc bµi
to¸n víi hƯ sè tïy ý.
TrÇn ThÞ Thu Hêng Trêng THCS TrÇn Huy LiƯu – Vơ B¶n
12
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
Thay giá trị của các hệ số vào chơng trình đã cài đặt rồi so sánh với 0. Tùy
vào kết quả so sánh ta phân tích F(x) thành nhân tử theo các trờng hợp ở trên
Ví dụ 6a: Phân tích đa thức A = 6x
2
+ 7x + 2 thành nhân tử.
(Qui trình với máy Casio Fx 500 MS)
* Phơng pháp 1: Theo bài toán tổng quát trên
ấn:
=
2
ALPHA B x 4 ALPHA A ALPHA C

(Màn hình máy tính sẽ hiện biểu thức: B
2
4AC)
ấn tiếp:
6 SHIFT STO A 7 SHIFT STO B 2 SHIFT STO C

(Gán các hệ số cho biểu thức)
ấn tiếp:

=
(//Màn hình hiện kết quả 1)
Vậy

> 0 nên:
A =
( ) ( )

+

+ + = + + = + +
ữ ữ
ữ ữ


7 1 7 1 2 1
6 x x 6 x x 3x 2 2x 1
2.6 2.6 3 2
* Phơng pháp 2: (Sơ đồ Hoocner, đối với đa thức một biến)
Viết
n n 1
0 1 n
P(x) a x a x a

= + + +
dới dạng
0 1 2 n
P(x) ( (a x a )x a )x )x a= + + + +
Vậy
0 0 0 1 0 2 0 0 n

P(x ) ( (a x a )x a )x )x a= + + + +
.
Đặt b
0
= a
0
; b
1
= b
0
x
0
+ a
1
; b
2
= b
1
x
0
+ a
2
; ; b
n
= b
n-1
x
0
+ a
n

.
Suy ra: P(x
0
) = b
n
.
Từ đây ta có công thức truy hồi: b
k
= b
k-1
x
0
+ a
k
với k > 1.
Giải trên máy: - Gán giá x
0
vào biến nhớ M.
- Thực hiện dãy lặp: b
k-1
ALPHA M
+ a
k
Chú ý: - Phơng pháp dùng sơ đồ Hoocner chỉ áp dụng hiệu quả đối với
máy fx-220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng
phơng pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS
có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm
CALC
, máy hỏi X? khi
đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là

=
xong. Để có thể kiểm tra lại kết
quả sau khi tính nên gán giá trị x
0
vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để
tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
Ví dụ 6b : Phân tích đa thức f(x) = x
3
- 5x
2
+11 x -10 thành nhân tử?
Dùng chức năng giải phơng trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm
của đa thức f(x) ta thấy f(x) có nghiệm x
1
= 2.
Suy ra đa thức x
3
- 5x
2
+11 x -10 chia hết cho (x-2).
Sử sụng lợc đồ Hoocner để chia x
3
- 5x
2
+11 x -10 cho (x-2) ta có:
Khi đó bài toán trở về tìm thơng của phép chia f(x) cho (x-2).
Quy trình trên máy:
Gán 2 X
An tiếp:
1

x
X
+
5
=
IFTSH
b
c
a
Ghi -3
An tiếp:
x
X
+
11
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 5
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
13
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
An tiếp:
x
X
+
10
=

IFTSH
b
c
a
Ghi 0
Khi đó ta có f(x) = (x-2)(x
2
- 3x + 5)
Tam thức bậc hai x
2
- 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử
đợc nữa.
Vậy x
3
- 5x
2
+11 x -10 = ( x-2)(x
2
- 3x + 5)
Ví dụ 6c: Phân tích đa thức f(x) = x
5
+ 5x
4
3x
3
x
2
+58x - 60 thành
nhân tử
* Phân tích: Vì hệ số tự do của f(x) là 60 nên nghiệm nguyên của đa thức

đ cho l Ư(60).
Ta có Ư(60) ={

1;

2;

3;

4;

5;

6;

10;

12;

15;

20;

30;

60}
Lập quy trình trên máy để kiểm tra xem trong các số trên số nào là
nghiệm của đa thức f(x)
Gán -1 X
Nhập vào máy đa thức :X

5
+ 5X
4
3X
3
X
2
+58X - 60 rồi ấn dấu
=

Máy báo kq -112
Gán tiếp : -2 X Máy báo kq -108
Gán tiếp -3 X Máy báo kq 0
Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đ cho, nn f(x) chia hết cho
(x+3). Khi đó bài toán trở về tìm thơng của phép chia đa thức f(x) cho (x-3).
Quy trình:
-3 X
1
x
X
+
5
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 2
x
X

3
=
IFTSH
b
c
a
Ghi -9
x
X

1
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 26
x
X
+
58
=
IFTSH
b
c
a
Ghi -20
x
X

60
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 0
Khi đó ta có f(x) = (x+3)(x
4
+2x
3
-9x
2
+26x-20)
* Ta lại xét đa thức g(x) = x
4
+2x
3
-9x
2
+26x-20
Nghiệm nguyên là ớc của 20.
Dùng máy ta tìm đợc Ư(20) = {

1;

2;

4;

5;

10;

20}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x):
Gán: -1 X
Nhập vào máy đa thức: x
4
+2x
3
-9x
2
+26x-20 rồi ấn dấu
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
14
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
=
máy báo kq -96
Gán tiếp: -2 X máy báo kq -148
Gán tiếp: -4 X máy báo kq -180
Gán tiếp: -5 X máy báo kq 0
Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết
cho (x+5). Khi đó bài toán trở về tìm thơng của phép chia đa thức f(x) cho (x+5).
Quy trình:
-5 X
1
x
X

+
2
=
IFTSH
b
c
a
Ghi -3
x
X
+
9
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 6
x
X
+
26
=
IFTSH
b
c
a
Ghi -4
x
X

+
20
=
IFTSH
b
c
a
Ghi 0
Khi đó ta có g(x) = (x+5)(x
3
-3x
2
+6x-4)
Tiếp tục dùng chức năng giải phơng trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên
của đa thức h(x) = x
3
-3x
2
+6x-4
Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta đ-
ợc:
h(x) = (x-1)(x
2
-2x+4)
Ta thấy đa thức (x
2
-2x+4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử.
Vậy f(x) = (x+3)(x+5)(x-1)(x
2
-2x+4)

4.7 Dạng 7: Phân tích đa thức theo bậc của một đa thức bậc một.
Ví dụ 7: Phân tích đa thức theo bậc của đa thức bậc nhất
Bài toán tổng quát: Cho đa thức bậc n: P(x)
Phân tích đa thức P(x) theo bậc của đa thức (x-c)
* Phơng pháp:
áp dụng n-1 lần lợc đồ Hoocner:
+ Trớc tiên thực hiện phép chia P(x)=q
1
(x)(x-c)+r
0
theo sơ đồ
Hoorner để đợc q
1
(x) và r
0
+ Tiếp tục dùng lợc đồ Hoorner tìm các q
k
(x) và r
k-1

P(x)= r
n
(x-c)
n
+r
n-1
(x-c)
n-1
++ r
2

(x-c)
2
+r
1
(x-c) +r
0
Ví dụ 7 Phân tích x
4
3x
3
+ x 2 theo bậc của x 3.
* Cách làm: Vì đa thức trên có bậc là 4, phân tích theo đa thức x-3 có
nghiệm là 3 nên áp dụng lợc đồ Hoocner 3 lần, ta có bảng:
1 -3 0 1 -2 x
4
-3x
2
+x-2
3 1 0 0 1 1 q
1
(x)=x
3
+1, r
0
= 1
3 1 3 9 28 q
2
(x)=x
3
+3x+1, r

1
= 28
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
15
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
3 1 6 27 q
3
(x)=x+6, r
2
= 27
3 1 9 q
4
(x)=1=r
4
, r
3
= 9
Vậy x
4
3x
3
+ x 2 = (x-3)
4
+ 9(x-3)
3
+ 27(x-3)
2
+ 28(x-3)+1
4.8 Dạng 8: Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dơng của đa thức
Bổ đề: Nếu trong phân tích

P(x)= r
n
(x-c)
n
+r
n-1
(x-c)
n-1
++ r
2
(x-c)
2
+r
1
(x-c) +r
0
ta có r
i


0 với mọi i = 0, 1, , n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn
hơn c.
Ví dụ: Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dơng của đa thức
x
4
3x
3
+ x 2
* Cách giải:
Qua ví dụ 7 ta thấy trong phân tích x

4
3x
3
+ x 2 theo bậc của x-3 thì:
x
4
3x
3
+ x 2 = (x-3)
4
+ 9(x-3)
3
+ 27(x-3)
2
+ 28(x-3)+1
Vì tất cả các hệ số trong phân tích trên: 1, 9, 27, 28, 1 đều dơng do đó cận
trên của các nghiệm dơng của đa thức x
4
3x
3
+ x 2 là c = 3
Thực tế đa thức đã cho có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và
-0,9061277259 (đều nhỏ hơn 3)
4.9 Dạng 9: Xác định đa thức theo các điều kiện cho trớc.
Ví dụ 9: Cho đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+bx
2

+cx+d
Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3)=9; P(4) = 11;
Xác định đa thức P(x)
* Cách làm
- Xác định đa thức P(x) nghĩa là ta phải tìm các hệ số của P(x)
- Lần lợt thay các giá trị của x bằng 1; 2; 3; 4 vào P(x), với mỗi giá trị ta
đợc một phơng trình bậc nhất 4 ẩn a, b, c, d. khi đó ta có hệ 4 phơng trình bậc
nhất 4 ẩn.
- Biến đổi hệ phơng trình, khử bớt một ẩn của hệ ta đợc hệ 3 phơng trình
bậc nhất 3 ẩn.
- Sử dụng chức năng giải hệ phơng trình của máy tính ta tìm đợc nghiệm
của hệ (3 hệ số), từ đó suy ra hệ số còn lại của đa thức.
Giải
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
16
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
( )
1 5
( 2) 7
(3) 9
( 4) 11
1 5
16 8 4 2 7
81 27 9 3 9
256 64 16 4 11
4
8 4 2 9
27 9 3 72
64 16 4 245
4

8 4 2 9
27 9 3 72
6
P
P
P
P
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d

=

=


=


=

+ + + + =

+ + + + =



+ + + + =


+ + + + =

+ + + =


+ + + =



+ + + =


+ + + =

+ + + =
+ + + =

+ + + =
4 16 4 245
7 3 13
26 8 2 76

63 15 3 249
a b c d
a b c
a b c
a b c






+ + + =

+ + =


+ + =


+ + =

Sử dụng máy tính giải hệ 3 ẩn trên ta có
Quy trình trên máy 500MS
Mode Mode Mode
An tiếp
1
An tiếp
3

máy hỏi cácgiá trị của các hệ số của phơng trình, ta lần lợt nhập tiếp:

7 3 1 ( 13) 26 8 2 ( 76) 63 15 3 ( 249)
= = = = = = = = = = = =
Kết quả
10
10
35
35
48
48
27
a
a
b
b
c
c
d
=

=


=

=

=

=

=

Vậy P(x) = x
4
10x
3
+35x
2
- 48x + 27
*Kết luận: qua bài toán trên ta thấy có thể sử dụng chế độ giải phơng trình
đã đợc cài sẵn trong máy để giải và tìm nhanh, chính xác nghiệm của hệ phơng
trình bậc nhất 3 ẩn. Không chỉ thế với máy tính Vinacal 570MS ta còn có thể
giải đợc hệ phơng trình bậc nhất 4 ẩn mà không cần biến đổi đa về hệ phơng
trình 3 ẩn nh trên.
Nhận xét chung: Sử dụng máy tính bỏ túi để giải nhanh các dạng toán sẽ
giúp cho học sinh:
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
17
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
- Đợc trang bị thêm một số kiến thức về thuật giải, trong đó có các thuật
giải dựa vào thuật toán, có các thuật giải tự suy luận lôgíc từ các kiến thức toán
học.
- Giúp học sinh làm quen với các chơng trình cài đặt sẵn trong máy tính,
đây là công cụ giúp cho học sinh tự kiểm tra lại kết quả giải toán của mình một
cách nhanh chóng, tiện lợi. Đồng thời nó chính là mô hình ứng dụng công nghệ
phần mềm trong công việc hiện nay.
- Giúp học sinh đợc làm quen với cách tìm ra các quy luật toán học. Đây
là một cách tiếp cận rất tốt cho các em về sau này trong việc nghiên cứu toán học
hiện đại và các ứng dụng toán học trong đời sống.

5. Một số bài tập về đa thức
1. Tính giá trị của biểu thức:
a, A= 5x
3
y
4
+ 3x
3
y 7x
5
y
3
với x =
2
3
7

và y = 15,36
b, B=
3 4 2 4 3 2
1 2
3 4
5 3
x y z xy z y z
+
Với x= -2,3; y=5,14; z=
1
3
2

2. Tìm d trong các phép chia sau:
a, (x
4
+ 3x
3
2x
2
+5x 6) : (x-3)
b, (2x
3
+ 5x
2
x + 4) : (3x 5).
c, (
3
4
x
5
+ x
4
-
1
2
3
x
2
+ 0,126x +1) :(3+x )
d, (x
6
- 4x

3
+ 3x
5
+ 2x
2
x + 7):(3+
2
5
x)
3. Tìm thơng trong phép chia đa thức
a, (2x
4
5x
2
+ 3x
2
4) : (x+2)
b, (15x
6
+ 2x
5
+x
4
3x
2
+5): (3x-1)
c, (x
4
3x
3

+x
2
2x + 5):(2- 4x)
4. Tìm a để các phép chia sau là phép chia hết.
a, (3x
4
+ 4x
3
+ x
2
1 + a) : (x -1)
b, (
2
3
7
x
5
+ 2x
4
-
5
1
6
ax
2
+ 4x -4) : (3 -2x)
c, (2ax
3
+ x
2

-3ax 7x
5
) : (1+ 4x)
5. Phân tích đa thức thành nhân tử
a, 3x
4
27,6x
3
+ 31,8x
2
9,2x 9,6
b, 6x
4
+ 41x
3
123x + 56
c, x
4
+ x
3
7x
2
x
6
6. Phân tích các đa thức sau theo bậc của đa thức bậc nhất
a, Phân tích đa thức x
4
3x
3
+x

2
2x + 5 theo bậc của đa thức x-2
b, Phân tích đa thức x
6
+ 2x
5
+x
4
3x
2
+ 3 theo bậc của đa thức
x +3
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
18
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
7. Cho đa thức Q(x) = x
4
+ mx
3
+ nx
2
+ px + q và cho Q(1) = 5; Q(2)=7;
Q(3)=9; Q(4)=11.
a, Xác định các hệ số của Q(x)
b, Tính các giá trị Q(10), Q(11); Q(12); Q(13).
8. Tìm hệc số của x
10
trong khai triển và thu gọn của đa thức
( )
( )

12
2 3
1f x x x
= + +
9. Cho f(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Biết f(1) = 7; f(2) = 28; f(3)= 63.
Chứng minh rằng : [f(100) + f(96)] chia hết cho 8
10. Cho P(x) =
9 7 5 3
1 1 13 82 32
630 21 30 63 35
x x x x x
+ +
Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên
của x.
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
19
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
iv. hiệu quả của sáng kiến đem lại
Qua thời gian thực hiện giải pháp này tôi nhận thấy kết quả đạt đợc nh sau:
4.1 Đối với giáo viên
- Kiểm tra kết quả bài làm của học sinh nhanh chóng và chính xác
- Rèn luyện đợc khả năng tính toán chính xác.
- Tiết kiệm thời gian tính toán, tăng thời gian giảng bài.
- Mở rộng đợc cho học sinh các bài toán khó, có tính qui luật.

4.2 Đối với học sinh
Trớc đây khi tôi cha triển khai chuyên đề này thì khi làm các bài tập đặc
biệt là các bài toán tính phức tạp thì học sinh thờng lúng túng, mất khá nhiều
thời gian song thực tế kết quả nhiều khi vẫn sai. Với các bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử không phải khi nào cũng có thể tìm đợc ngay hớng để làm
hay có thể nhận dạng ngay việc nên tách hạng tử nào. Còn với những bài toán
tìm tham số cha biết trong đa thức bị chia để phép chia là chia hết thì học sinh
cảm thấy rất khó hình dung ra cách giải vì việc chia hai đa thức khi đó cũng
không phải đơn giản vì đa thức bị chia chứa tham số. Từ khi triển khai sử dụng
máy tính hỗ trợ thì tính phức tạp của nhiều bài toán đã đợc giảm: ví dụ với bài
toán phân tích đa thức thành nhân tử các em có thể dùng giải phơng trình bậc 2,
bậc 3 một ẩn cài sẵn trong máy để tìm nghiệm hoặc tìm một số nghiệm của ph-
ơng trình bậc 4, bậc 5, từ đó có hớng tách và phân tích thừa số còn lại,
Tóm lại tôi thấy việc dạy cho học sinh sử dụng máy tính điện tử bỏ túi giải
nhanh một số dạng toán thờng gặp ngay trong chơng trình học toán sẽ giúp cho
học sinh:
- Khai thác tốt hơn các chức năng của máy tính bỏ túi trong việc tính toán.
- Rèn luyện đợc khả năng tính toán chính xác và khả năng kiểm tra kết
quả giải bài tập.
- Khai thác hiệu quả các chức năng của máy tính điện tử trong việc tính
toán của môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung.
- Tiết kiệm đợc rất nhiều thời gian trong các giờ dạy học toán, từ đó có
thời gian để giảng dạy thêm các bài tập toán phức tạp hơn, bài tập không thuật
toán trong sách giáo khoa.
- Định hớng giải bài toán nhanh, tiếp cận đợc nhiều dạng toán phức tạp.
- Kích thích tinh thần hứng thú học tập bộ môn toán của các học sinh, đặc
biệt là các em hạn chế về khả năng tính nhẩm.
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
20
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay

4.3 Kết quả đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên MTCT những
năm học gần đây:
+Năm học 2005 2006 đội tuyển xếp thứ 3 tỉnh với 8 trên 10 học
sinh tham gia thi đạt giải.
+ Năm học 2006 -2007 đội tuyển xếp thứ 2 của tỉnh với 9 trên 11
em tham gia thi đạt giải trong đó có 2 giải nhất.
+ Năm học 2007 2008 đội tuyển xếp thứ 4 của tỉnh với 8 trên 11
em tham gia dự thi đợc giải trong đó có một giải nhất.
+ Năm học 2008 2009 đội tuyển xếp thứ 6 tỉnh với 7 trên 10 em
tham gia thi đạt giải với 2 giải nhì.
+ Năm học 2009 2010 đội tuyển xếp thứ 4 tỉnh với 9 trên 12 em
tham gia thi đạt giải với 3 giải nhì.
v. kết luận
Trải qua qua trình giảng dạy với 10 năm kinh nghiệm gắn bó với bộ môn
Toán nói chung và bộ môn Giải toán trên máy tính cầm tay nói riêng, tuy cha
phải là nhiều song tôi cũng đã cố gắng tích luỹ kinh nghiệm cho bản thân. Kết
hợp với quá trình tự học hỏi của bản thân cùng sự quan tâm của các cấp lãnh
đạo, sự giúp đỡ của bạn bè, đồng nghiệp tôi đã có đợc nhiều điều bổ ích, thiết
thực cho quá trình công tác giảng dạy của mình. Từ thực tế giảng dạy học sinh
đặc biệt qua quá trình bồi dỡng học sinh giỏi bộ môn Giải toán nhanh trên
MTCT những năm qua tôi đã nhận thấy lợi ích rất thiết thực của chiếc máy tính.
Với mong muốn phát huy hơn nữa tính năng của chiếc máy tính trong học tập
của học sinh, phát huy khả năng sáng tạo của học sinh khi giải toán cũng nh bồi
dỡng khả năng và t duy thuật toán logic cho học sinh ở độ tuổi các em, tôi đã đa
ra chuyên đề trên. Kết quả bớc đầu với học sinh trờng THCS Trần Huy Liệu nơi
tôi công tác và cụ thể với đội tuyển học sinh giỏi bộ môn Giải toán trên MTCT
các năm gần đây tôi thấy rất hiệu quả, hầu hết học sinh sau khi học theo các ph-
ơng pháp trên đều không còn cảm thấy ngại khi gặp các bài toán về đa thức mà
hơn nữa còn tìm ra nhiều cách giải dựa trên các chức năng khác nhau của máy
tính. Qua đó nâng cao khả năng t duy lôgíc, rèn luyện tính linh hoạt trong phán

đoán nhận xét vấn đề, rèn luyện kĩ năng thực hành và năng lực định hớng giải
toán cho học sinh. Từ đó góp phần vào nâng cao chất lợng bộ môn toán trong
nhà trờng và làm cho các em yêu thích bộ môn toán hơn, giúp cho các em tiếp
cận tốt hơn các thành tựu công nghệ mới và toán học hiện đại
Tuy nhiên vì điều kiện và khả năng hạn chế nên tôi không có tham vọng
trình bày hết tác dụng của máy tính khi giải toán cũng nh tất cả các dạng toán
của bộ môn Giải toán trên máy tính cầm tay mà chỉ đề cập đến một trong những
mảng kiến thức lớn và thông dụng là các bài toán về đa thức. Vì nhiều yếu tố
khách quan có thể sáng kiến này cha đáp ứng đợc sự mong mỏi từ phía bạn đọc,
tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp chân thành từ phía các thầy cô giáo, bạn bè,
đồng nghiệp để sáng kiến của tôi hoàn thiện hơn, đợc nghiên cứu, áp dụng trong
phạm vi rộng rãi hơn, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học bộ môn Toán nói
riêng và chất lợng giáo dục nói chung.
Xin chân thành cảm ơn!
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
21
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
Vụ Bản, ngày 10 tháng 5 năm 2010.
Tác giả sáng kiến:
Trần Thị Thu Hờng
Xác nhận, đánh giá, xếp loại của trờng THCS Trần Huy Liệu
Xác nhận, đánh giá, xếp loại của phòng GD - ĐT Vụ Bản
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
22
Báo cáo sáng kiến Giải toán trên máy tính cầm tay
Danh mục các tài liệu tham khảo:
1. Bộ sách giáo khoa toán 6, toán 7, toán 8, toán 9 của NXBGD.
2. Hớng dẫn sử dụng và giải toán 6, 7, 8, 9 trên máy tính Casio Fx
500MS; Fx 570MS của vụ THPT.
3. Hớng dẫn sử dụng và giải toán 6, 7, 8, 9 trên máy tính Casio Fx

500ES; Fx 570ES của vụ THPT.
4. Hớng dẫn thực hành giải toán trên MTBT Casio Fx 500MS; Fx
570MS của vụ THPT.
5. Giải toán trên máy tính điện tử Casio Fx 500MS; Fx 570MS của
TS Tạ Duy Phợng.
6. Các báo Toán học tuổi thơ 2 từ số 5 đến số 40.
7. Các bài viết về Giải toán trên MTBT Casio trên báo Toán học tuổi
trẻ.
8. Một số ví dụ nâng cao thực hành tính toán trên MTBT Casio của
vụ THPT.
9. Giới thiệu một số đề thi giải toán trên máy tính bỏ túi từ năm
1996 -2000 của vụ THPT.
10. Các đề thi giải toán trên máy tính bỏ túi các tỉnh thành và khu
vực các năm từ 2000 2005 của TS Tạ Duy Phợng.
Trần Thị Thu Hờng Trờng THCS Trần Huy Liệu Vụ Bản
23