PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Lược đồ giải phương trình mũ
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình
Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện
Phương pháp 1:
Biến đổi tương đương
Phương pháp 2:
Logarit hoá và đưa về cùng cơ số
Phương pháp 3:
Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ:
a. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một
pt với một ẩn phụ
b. Sử dụng một ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành một
pt với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x


c. Sử dụng k ẩn phụ để chuyển pt ban đầu thành hệ pt
với k ẩn phụ
d. Sử dụng một ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành hệ
phương trình với một ẩn phụ và một ẩn x
Phương pháp 4:
Hàm số bao gồm:
a. Sử dụng tính liên tục của hàm số
b. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
c. Sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
d. Sử dụng định lý Lagrange
e. Sử dụng định lý Rôn

Phương pháp 5:
Đồ thị
Phương pháp 6:
Điều kiện cần và đủ
Phương pháp 7:
Đánh giá
Chú ý:
1. Trong trường hợp sử dụng pp biến đổi tương đương,
ta có thể bỏ qua bước 1 để giảm thiểu độ phức tạp
2. Nếu lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ thì:
a. Với phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần
thiết lập điều kiện hẹp cho ẩn phụ.
b. Với phương trình chứa tham số phải đi tìm điều kiện
đúng cho ẩn phụ.


Thí dụ: Nếu đặt t = x
2
thì:
a. Với phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần
điều kiện t > 0
b. Với phương trình chứa tham số phải cần điều kiện
t ≥ 1


Bài toán 1:
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

( ) ( )
f x g x
a a
=
( )
1
0 1
( )
a
a
f x g x
=


< ≠
⇔





=



Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:
hoặc
( ) ( )
0
1 ( ) 0

a
a f x g x
>


⇔

− − =
 

 



Ví dụ 1: Cho phương trình:
Biến đổi tương đương pt về dạng:
Vậy, với ...
( )
2
4 5
3 9 1
x x m− +
=
a. Giải pt với m = 1
b. Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
2
4 5 2
3 3
x x m
− +

=
2
4 5 2x x m⇔ − + =
( )
2
( ) 4 5 2 0 2f x x x m
⇔ = − + − =
a. Với m = 1, ta được:
2
4 3 0x x− + =
1
3
x
x
=

⇔

=



b. Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
⇔
(2) có hai nghiệm trái dấu
⇔
a.f(0) < 0
5 2 0m
⇔ − <
5

2
m
⇔ >
Vậy, với ...


Ví dụ 2: Cho phương trình:
Biến đổi tương đương pt về dạng:
( )
3 2 2
2 3 2 2
8 4 1
mx x x mx x− + − + −
=
a. Giải pt với m = 1
b. Tìm m để pt có ba nghiệm phân biệt.
( ) ( )
3 2 2
2 3 2 2
3 2
2 2
mx x x mx x− + − + −
=
( ) ( )
3 2 2
3 2 3 2 2 2mx x x mx x
⇔ − + − = + −
( )
3 2
3 2 3 7 2 0mx m x x

⇔ − + − − =
( )
( )
2
3 2 2 1 0x mx x
⇔ − − + =


( ) ( )
2
3 2 0
2 1 0 2
x
f x mx x
− =

⇔

= − + =

Vậy, với ...
a. Với m = 1, ta được:
2
3 2 0
2 1 0
x
x x
− =

⇔


− + =

2
3
1
x
x

=

⇔

=

b. Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
⇔
(2) có hai nghiệm phân biệt khác
2
3


⇔
( )
'
2
0
0
2
0

3
a
f


≠


∆ >


 

≠
 ÷

 

0
1 0
4 4
0
9 3
m
m
m


≠


⇔ − >



− ≠

( )
3
,1 \ 0, .
4
m
 
⇔ ∈ −∞
 
 
Vậy, với ...


Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình:
( )
2
2
2 2
a
x x
x x
+
− = −
Phương trình tương tương với:
( ) ( )

2
2
2 2
x x a
x x
+
− = −
Điều kiện: x – 2 > 0
( )
2 *x⇔ >
( )
( )
2
2 1 2 0x x x a⇔ − − + − =
2
3
2 0
x
x x a
=

⇔

+ − =



Vậy pt có nghiệm x = 3 với mọi a.
2
2 0x x a+ − =

Xét phương trình:
( ) ( )
2
1 1 2x a
⇔ + = +
Khi đó, ta có biện luận:
•
Nếu a + 1 < 0
1a⇔ < −
•
Nếu a + 1 = 0
1a
⇔ = −
, pt vô nghiệm
, pt có nghiệm x = -1 (loại
vì không thoả (*) ).
•
Nếu a + 1 > 0
1a
⇔ > −
, pt có hai nghiệm:
1
2
1 1
1 1
x a
x a

= − + +


= − − +


( < 0: loại)


1
1 1 2x a
= − + + >
Ta có:
1 3a
⇔ + >
8a
⇔ >
Kết luận:
- Với a ≤ 8 pt có nghiệm x = 3
- Với a > 8 pt có hai nghiệm x = 3 và
1 1x a
= − + +


Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 1 3
2 1 3 4 1
x
x x x x
x x
−−
− − − + − −
=

Biến đổi tương đương pt về dạng:
( )
1
1
2 1 3
1
2 1 3 4 1
x
x
x
x
x x x x
=


>




− −


=


− − − + − −


Giải (1) bằng cách nhân lượng liên hợp, ta được:

2 1 3 4 1 1x x x x
− − + + − − =
( ) ( )
2 2
1 1 2 1 1x x
⇔ − − + − − =
1 1 2 1 1x x
⇔ − − + − − =
( ) ( )
1 1 2 1 1 1 2 1x x x x
⇔ − − + − − = − − + − −
( ) ( )
1 1 2 1 0x x
⇔ − − − − ≥
1 1 2x
⇔ ≤ − ≤
1 1 4x
⇔ ≤ − ≤
2 5x
⇔ ≤ ≤
Vậy,...


Ví dụ 5: Giải phương trình:
( ) ( )
sin 2 3
2 2
2 2

x cosx
x x x x
−
+ − = + −
( )
( )
( )
2
2
2 0
2 1 sin 2 3 0
x x
x x x cosx

+ − >


+ − − − + =


Phương trình được viết lại dưới dạng:


( )
( )
( )
2
1 2 *
1 0 1
sin 3 2 2

x
x x
x cosx
− < <




− − =
⇔



+ =




Giải (1) ta được:
1,2
1 5
2
x
±
=
thoả (*)
Giải (2) ta được:
1 3
sin 1
2 2

x cosx
+ =


sin 1
3
x
π
 
⇔ + =
 ÷
 
2
3 2
x k
π π
π
⇔ + = +
2 , .
6
x k k Z
π
π
⇔ = + ∈
Để thoả mãn điều kiện (*) ta phải có:
1 2 2
6
k
π
π

− < + <
0k
⇔ =


Khi đó ta nhận nghiệm
3
6
x
π
=
Vậy, ...


Bài toán 2:
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Dạng 1: Phương trình:
( )
f x
a b
=
( )
0 1; 0
log
a
a b
f x b
< ≠ >



⇔

=


Dạng 2: Phương trình:
( ) ( )
f x f x
a b
=
( ) ( )
log log
f x f x
a a
a b
⇔ =
( ) ( )
.log
a
f x g x b
⇔ =
hoặc
( ) ( )
log log
f x f x
b b
a b
⇔ =

Bài toán 2:
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
Dạng 2: Phương trình:
( ) ( )
f x f x
a b
=
( ) ( )
log log
f x f x
a a
a b
⇔ =
( ) ( )
.log
a
f x g x b
⇔ =
hoặc
( ) ( )
log log
f x f x
b b
a b
⇔ =
( ) ( )
.log .
b

f x a g x
⇔ =


Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
2
2
2
4 2
3 2
3
. 2
2
. 2 3
. 2 3 .
x x
x
x x
a
b
c
−
− −
=
=
=
a. Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình, ta được:
2
2
2 2

3
log 2 log
2
x
−
=
2
2
2 log 3 1x x
⇔ − = −


2
2
2 1 log 3 0x x
⇔ − + − =
Ta có:
2 2
' 1 1 log 3 log 3 0
∆ = − + = >
Suy ra pt có 2 nghiệm:
1,2 2
1 log 3x
= ±
Vậy, ....


b. Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình, ta được:
2
4 2

2 2
log 2 log 3
x x
− −
=
( )
2
2
4 2 log 3x x
⇔ − = −
2
2 2
log 3 2 log 3 4 0x x
⇔ − + − =
Ta có:
( )
2
2
2 2 2
' log 3 8log 3 16 log 3 4
∆ = − + = −
Suy ra pt có 2 nghiệm:
( )
3 2
1,2
log 3 4 log 3
2
x
± −
=

Vậy, ....
2
2
log 3 2
x
x
=

⇔

= −



c. Lấy logarit cơ số 10 hai vế phương trình, ta được:
3 2
lg 2 lg 3
x x
=
3 .lg 2 2 .lg 3
x x
⇔ =
3 lg 3
2 lg 2
x
 
⇔ =
 ÷
 
Vậy, ....

3 2
2
log log 3x
⇔ =