Đề thi + Đáp án thi HSG vòng 1, 2010

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12
Năm học 2010 -2011
Thời gian: 150 phút
( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (5 điểm)
Cho hàm số:
3
1
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Cho điểm
0 0 0
( ; ) ( )M x y C∈
. Tiếp tuyến của ( C) tại M
0
cắt các tiệm cận của
(C) lần lượt tại A và B. Chứng minh M
0
là trung điểm đoạn AB.
Câu 2: ( 6 điểm)
1. Tính tích phân: I =
1
0

7
x x
x x
e e
dx
e e
−
−
+
+
∫
2. Giải phương trình:
2
2 2x x= + +
3. Giải phương trình:
sinx cos
2 2 cos sinx
x
x− = −
Câu 3: (3 điểm)
1. Biến đổi sau đúng hay sai? Giải thích?
5 5 5
2.
5 2
2 2 2
( 1) ( 1) (( 1) ) (1) 1− = − = − = =
2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số, chia hết cho 7?
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC với A(-1;3). Xác định tọa độ đỉnh B,C biết
a. Hai đường cao: BH : 5x+3y-25=0 và CK :3x+8y-12=0

b. Đường trung trực của AB là 3x+2y -4 =0 và tọa độ trọng tâm G(4;-2)
Câu 5: (3 điểm)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng với D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với BD, tính độ dài đoạn vuông góc chung
của MN và AC.
------------------- Hết -----------------------

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu1: 5 điểm
1. HS tự giải 3 điểm
2. 2 điểm
• Tính
0
0
0
3
1
x
y
x
+
=
−
• Đưa ra phương trình tiếp tuyến:
0 0
2
0
4
( )

( 1)
y x x y
x
= − − +
−
• Xác đinh giao điểm với tiệm cận ngang y=1, tiệm cận đứng x=1 lần lượt tại
A(2x
0
-1;1) và B(1;
0
0
7
1
x
x
+
−
).
• Tìm tọa độ trung điểm của AB => đpcm
Câu 2: 6 điểm
1. Tính tích phân: I =
1 1
0 0
7 4( ) 3( )
x x x x x x
x x x x
e e e e e e
dx dx
e e e e
− − −

− −
+ + + −
=
+ +
∫ ∫
=
1 1
0 0
( )
4 3
x x
x x
d e e
dx
e e
−
−
+
+
+
∫ ∫
= 4 +
2
1 1
0 0
1
4 3ln( ) 4 3ln
2
x x
e

x e e
−
+
+ + = +
2. Đk:
2x
≥ −
Đặt 2t x= + ,
0t ≥
ta có
{
2
2
2
2
t x
x t
= +
=+
Giải hệ phương trình đối xứng suy ra nghiệm x=2, thỏa mãn điều kiện bài
toán.
3. Giải phương trình:
sinx cos
2 2 cos sinx
x
x− = −
• Sinx >cosx ta có VT>0, VP <0 => phương trình vô nghiệm
• Sinx <cosx ta có VT<0, VP >0 => phương trình vô nghiệm
• Phương trình có nghiệm khi :
Sinx =cosx

, (k )
4
x k
π
π
⇔ = + ∈Ζ
Câu 3: 3 điểm
1. Biến đổi như vậy là sai vì:
Dấu “ =” thứ hai xảy ra khi :
• Cơ số âm thì số mũ phải nguyên
• Số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
Dễ thấy biểu thức trái với 2 điều kiện trên nên không đúng
2. Số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 7 nhỏ nhất là 105
Số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 7 lớn nhất là 994
Bài toán trở thành:
“Cho cấp số cộng có U
1
=105,d=7, U
n
=994. Tìm n?”
Áp dụng công thức: U
n
=U
1
+(n-1)d suy ra n =128.
Câu 4: 3 điểm
1. Viết phương trình AC, Lấy giao AC và CK suy ra tọa độ C
Viết phương trình AB, Lấy giao AB và BH suy ra tọa độ B
2. Tìm tọa độ B: đối xứng với A qua đường trung trực.
Tìm tọa độ C: Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm.

Câu 5: 3 điểm . Đề TSĐH khối B năm 2007. Đáp số d =
2
4
a
----------------- Hết ------------------