tài kiệu bồi dưỡng học sinh giỏi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (158.25 KB, 11 trang )

Chuyên đề bồi d ỡng học sinh giỏi
năm học 2010- 2011
biên soạn : gs ts cấn xuân thành
Câu1: Giả sử a,b,c,x,y,z là những số khác 0 thỏa mãn:
0
a b c
x y z
+ + =
và
1
x y z
a b c
+ + =
.
Gi i :
Ta có:
0
a b c
x y z
+ + =

ayz + bxz + cxy = 0

2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2( )x y z x y z xy xz yz x y z xyc xzb yza
a b c a b c ab ac bc a b c abc
+ +

+ + = + + + + + = + + +

ữ

1
2
=
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
+ + +

2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
Câu2: Cho x > y và xy = 1. CMR:
2 2 2
2
( )
8
( )
x y
x y

+

Giải:
Cho x > y và xy = 1. CMR:
2 2 2
2
( )
8
( )
x y
x y
+

Ta có:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
( )
8 ( ) 8( ) ( ) 8( ) 0
( )
x y
x y x y x y x y
x y
+
+ +

2 2 2 2

2 2( ) 2 2( ) 0x y x y x y x y

+ + +

2 2 2 2
2 2 2( ) 2 2 2 2( ) 2 0x y x y x y x y

+ + + + +

2 2 2 2
2 2 2( ) 2 2 2 2( ) 2 0x xy y x y x xy y x y

+ + + + +

) )
(
2 2
2 2 0x y x y

+

Luôn đúng
Câu3: 1. Giải pt: ( 1 1)( 1 1) 2x x x+ + =
Giải
Điều kiện: -1

x

1
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 1)( 1 1) 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1x x x x x x x x+ + = + + + + = + +

( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0x x x x x x x

+ + + = + + + =

0
1 1 2 1 2(*)
x
x x
=

+ = + +

(*)

1 2 1 1x x = + +

1- x = 4 + 4x + 4
1 x+
+ 1

4
1 x+
= - 4- 5x

2 2
4
4 4
5
24
05 5
25
16 16 25 40 16 25 24 0
24
25
x
x x
x

x
x x x x x
x

=
=

+ = + + + =

=

Câu4: a) Tìm nghiệm nguyên dơng của pt:
1 1 1
1
x y z

+ + =
b) Cho ba số dơng a,b,c thỏa mãn: a
2
+ b
2
+ c
2
=
7
5
. CM:
1 1 1 1
. .a b c a b c
+ <
Giải:
a) Ta có:
1 1 1
1
x y z
+ + =

x,y,z > 1
Giả sử x

y

z

1 1 1
x y z

+ +
3
z

3
z

1

z

3
Vì z nguyên dơng

z = 2;3.
* Nếu z = 2 ta có:
1 1 1
2x y
+ +
= 1

1 1
x y
+
=
1
2

x,y > 2

Vì x

y

1 1
x y
+

2
y

1
2

2
y

y

4
Vì y nguyên dơng

y = 3;4
+ Nếu y = 3

1 1
3x
+
=
1

2

x = 6
+ Nếu y = 4

1 1
4x
+
=
1
2

x = 4
* Nếu z = 3 ta có:
1 1 1
3x y
+ +
= 1

1 1
x y
+
=
2
3

x,y>
3
2
Vì x

y

1 1
x y
+

2
y

2
3

2
y

y

3
Vì y nguyên dơng

y = 2;3
+ Nếu y = 2

1 1
2x
+
=
2
3

x = 6
+ Nếu y = 3

1 1
3x
+
=
2
3

x = 3
Vậy nghiệm nguyên dơng của pt là: (3;3;3); (6; 2; 3); (6; 3; 2); (3; 2; 6); (3; 6; 2); (2; 3; 6);
(2; 6; 3); (2; 4; 4); (4; 2; 4); (4; 4; 2)
b) Ta có
1 1 1 1 1
0 1 0 1 0
. .
bc ac ab
bc ac ab ab ac bc
a b c a b c abc abc abc abc
+ < + < + < + >

2 2 2
7 3 3
2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0
5 5 5
ab ac bc ab ac bc a b c ab ac bc + > + + > + + + + >

2

3
( ) 0
5
a b c + + >
luôn đúng
Câu5: Giải hệ pt:
2 2
7
12
x y xy
xy x y
+ + =

+ =

Giải:
Ta có:
2 2
3
( )
4
7
7
( ) 12
12
4
( )
3
x y

I
xy
x y xy
x y xy
xy x y
xy x y
x y
II
xy
+ =

=
+ + =
+ + =

+ =
+ =
+ =

=

Hệ pt (I) vô nghiệm
Hệ pt(II) có nghiệm
1
3
x
y
=

=

hoặc
3
1
x
y
=

=

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm
1
3
x

y
=

=

hoặc
3
1
x
y
=

=

Câu6: a) Tìm x

N biết:
1 1 1 2 2002
1 ... 1
3 6 10 ( 1) 2004x x
+ + + + + =
+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
6 6 6
3 3 3 3 3 3
x y z
x y y z z x
+ +

+ + +

Trong đó x,y,z là các số dơng thỏa mãn:
1xy xy yz yz zx zx+ + =
Giải:
Giải
a) Ta có:
1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 ... ...
3 6 10 ( 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 ( 1)x x x x
+ + + + + = + + + + +
+ +

1 1 1 1 1
2 ...
1.2 2.3 3.4 4.5 ( 1)x x

= + + + + +

ữ
+

Ta lại có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ; ; ; ;...;
1.2 2 2.3 2 3 3.4 3 4 4.5 4 5 ( 1) 1x x x x
= = = = =
+ +

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 ... 2 1 ... 2 1
3 6 10 ( 1) 2 2 3 3 4 4 5 1 1 1
x
x x x x x x

+ + + + + = + + + + + = =
ữ ữ

+ + + +

Do đó
1 1 1 2 2002 2 2002 2 4006
1 ... 1 1
3 6 10 ( 1) 2004 1 2004 1 2004
x x
x x x x
+ + + + + = = =
+ + +

4008 4006 4006 2 4006 2003x x x x
= + = =
Vậy với x = 2003 thì
1 1 1 2 2002
1 ... 1
3 6 10 ( 1) 2004x x

+ + + + + =
+
b/ *Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số
6
3 3
x
x y+
và
3 3
4
x y+
ta có:

6 3 3 6 3 3
3
3 3 3 3
2 .
4 4
x x y x x y
x
x y x y
+ +
+ =
+ +
Tơng tự ta có:
6 3 3 6 3 3
3
3 3 3 3
2 .
4 4

y y z y y z
y
y z y z
+ +
+ =
+ +

6 3 3 6 3 3
3
3 3 3 3
2 .
4 4
z z x z z x
z
z x z x
+ +
+ =
+ +

6 6 6 3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
4 4 4
x y z x y y z z x
x y z
x y y z z x
+ + +
+ + + + + + +
+ + +

6 6 6
3 3 3 3 3 3
x y z
x y y z z x
+ +
+ + +

3 3 3
2
x y z+ +
(1)
Mặt khác:
) ) )
2 2 2
3 3 3 3 3 3
0x y y z z x

+ +

với mọi x, y, z dơng

x
3
- 2
3 3
x y
+ y
3
+ y
3
- 2 + z
3
+ z
3
- 2
3 3
z x
+ x
3

0

2(x
3
+ y
3

+ z
3
)

2(
3 3
x y
+
3 3
y z
+
3 3
z x
)

x
3
+ y
3
+ z
3

3 3
x y
+
3 3
y z
+
3 3

z x

x
3
+ y
3
+ z
3

1xy xy yz yz zx zx+ + =
(2)
Từ (1) và (2)

6 6 6
3 3 3 3 3 3
x y z
x y y z z x
+ +
+ + +

1
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
1
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3

1
3
*Cách 2: Ta chứng minh BĐT:
)
(
2
2
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
...
...
...
n
n
n n
a a a
a
a a
b b b b b b
+ + +
+ + +
+ + +
(*)
áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:

)
(
2

2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
. . ... . ... ...
n n
n n
n
n
a a
a a a a
b b b b b b
b b b
b b b

+ + + + + + + + +
ữ

ữ

ữ

) )
(
2
2 2
2
1 2
1 2 1 2
1 2
... ... ...
n
n n
n
a
a a
a a a b b b
b b b

+ + + + + + + + +

ữ

)
(
2
2
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
...
...
...
n
n
n n
a a a
a
a a
b b b b b b
+ + +
+ + +
+ + +
đpcm
áp dụng BĐT (*) ta có:
6 6 6
3 3 3 3 3 3
x y z
x y y z z x
+ +

+ + +

)
(
2
3 3 3
3 3 3
3 3 3
2( ) 2
x y z
x y z
x y z
+ +
+ +
=
+ +
(1)
Mặt khác:
) ) )
2 2 2
3 3 3 3 3 3
0x y y z z x

+ +

với mọi x, y, z dơng

x
3
- 2
3 3
x y
+ y
3
+ y
3
- 2 + z
3
+ z
3
- 2
3 3
z x
+ x
3

0

2(x
3
+ y
3
+ z
3
)

2(
3 3
x y
+
3 3
y z
+
3 3
z x
)

x
3
+ y
3
+ z
3

3 3
x y
+

3 3
y z
+
3 3
z x

x
3
+ y
3
+ z
3

1xy xy yz yz zx zx+ + =
(2)
Từ (1) và (2)

6 6 6
3 3 3 3 3 3
x y z
x y y z z x
+ +
+ + +

1
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =

1
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
1
3
Câu7: a) Cho x- y = 4; x
2
+ y
2
= 36. Tính x
3
- y
3
.
b) Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện: a + b = 3; ax + by = 5; ax
2
+ by
2
= 12;
ax
3
+ by
3
= 31. Tính ax
4
+ by
4
Giải:
a) Ta có: (x- y)

2
= x
2
+ y
2
- 2xy

2xy = x
2
+ y
2
- (x- y)
2
= 36- 16 = 20

xy = 10

x
3
- y
3
= (x- y)(x
2
+ xy + y
2
) = 4.(36 + 10) = 184
b) Ta có: ax
2
+ by

2
= (ax + by)(x + y)- (a + b)xy (1)
ax
3
+ by
3
= (ax
2
+ by
2
)(x + y)- (ax + by)xy (2)
ax
4
+ by
4
= (ax
3
+ by
3
)(x + y)- (ax
2
+ by
2
)xy (3)
Từ (1) và (2) ta có
5( ) 3 12 25( ) 15 60 11( ) 33 3
12( ) 5 31 36( ) 15 93 5( ) 3 12 1
x y xy x y xy x y x y
x y xy x y xy x y xy xy
+ = + = + = + =

+ = + = + = =

ax
4
+ by
4
= 31.3- 12.1= 81
Câu8:a) Giải pt:
3
3
1 1
78( )y y
y y
+ = +
với điều kiện y

0.
a) Giải hệ pt:
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 185
( ) 65
x xy y x y
x xy y x y

+ + + =

+ + =

Giải :
a) Giải pt:
3
3
1 1
78( )y y
y y
+ = +
với điều kiện y

0.
Ta có:
3 2 2
3 2 2
1 1 1 1 1 1 1
78( ) 1 78 79 0y y y y y y y
y y y y y y y

+ = + + + = + + + =

ữ ữ ữ ữ ữ

2
2
2
1 1 1 1 1 1 1
2 81 0 81 0 9 9 0y y y y y y y
y y y y y y y

+ + + = + + = + + + + =
ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ

1
0( )
1
9 0( )
1
9 0( )
y I
y
y II
y
y III
y

+ =

+ =

+ + =

(I)

2
1 0y + =
_ vô nghiệm
(II)

y
2
- 9y + 1 = 0

y =
9 77
2

(III)

y
2
+ 9y + 1 = 0

y =
9 77
2

Vậy pt đã cho có các nghiệm y =
9 77
2

; y =

9 77
2

b) Giải hệ pt:
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 185
( ) 65
x xy y x y
x xy y x y

+ + + =

+ + =

(I)
Đặt
2 2
t x y= +
(t

0) ta có hệ:
2 3 3
2 3 3
( ) 185 185 2 250
( ) 65 65 65
t xy t t xyt t
t xy t t xyt t xyt