Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá

Sở giáo dục - đào tạo ngh an
***********************
Kinh nghiệm
GiảI hệ phơng trình bằng phơng pháp đánh giá
ngh an, ngày 25 tháng 03 năm 2008
1
I. Đặt vấn đề:
Trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp
10 thờng có những bài tập giải hệ phơng trình mà việc giải những hệ phơng
trình đó ta phải sử dụng phơng pháp đánh giá, việc đánh giá các hệ phơng
trình đó cũng không có một trình tự nào rỏ ràng và cụ thể mà chúng ta phải
biết vận dụng linh hoạt trong từng trờng hợp cụ thể . Sau đây tôi xin nêu một
số phơng pháp thờng gặp khi giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đánh giá và
một số ví dụ minh họa.
II. GiảI quyết vấn đề:
Phơng pháp1: Phơng pháp đánh giá bằng tập xác định
Ví dụ: Giải hệ phơng trình:





=++
=++
11
11
xy
yx
(Đề thi vào trờng chuyên tĩnh)
Lời giải
Điều kiện

0
0
y
x
Suy ra





++
++
11
11
xy
yx
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = 0
Do vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 0
Phơng pháp2: Đánh giá bằng bất đẳng thức
Ví dụ1: Giải hệ phơng trình (I)

=++
=+
043147
02
32
222
yxx
yxyx

Lời giải
2
Viết lại (I)






=++
=+
)2(0)1(3)1(7
)1(2)1(
32
22
yx
xyx
Từ (1) suy ra y
2
=
1

2
2
+
x
x

1


1

y


1 + y
3

0
Lại có (x - 1)
2


0 ,

x nên (2)

=+
=
01
0)1(
3
2
y
x


)3(
1
1



=
=
y
x
Kết quả (3) thỏa mản (1)





=
=

1
1
y
x
là nghiệm duy nhất của hệ phơng trình (I)
Vídụ2: Giải hệ phơng trình





=++
++=++
)2(3
)1(
2008200720072007
222
zyx
xzyzxyzyx
Lời giải
Ta có (1)

2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
- 2xy - 2yz - 2xz = 0

(x - y)
2
+ (y - z)
2
+ (x - z)
2
= 0 (3)
Vì (x - y)
2

0; (y - z)
2

0; (x - z)
2

0 với mọi x;y;z


(x - y)
2
+ (y - z)
2
+ (x - z)
2


0 với mọi x; y; z

(3)

x y = y z = z x = 0

x = y = z
Thay vào (2) ta có:
3x
2007
= 3y
2007
= 3z
2007
= 3
2008

x
2007
= y
2007
= z
2007
= 3
2007

Vậy hệ phơng trình ban đầu có nghiệm là x = y = z = 3

Phơng pháp3: Đánh giá bằng tính chẵn lẻ
Ví dụ1: Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất

3
(I)





=
++
++
=+
2
2
2
1
1
113
a
yy
yx
yax

(Đề thi học sinh giỏi lớp 10 tĩnh Hà Tĩnh năm học 2000 - 2001)
Lời giải
Để ý
yy
yy
+=
++
1

1
1
2
2
nên hệ (I)

(II)





=++
=+
22
2
1
113
ayx
yax
Điều kiện cần
Thấy rằng nếu có nghiệm (x
0
,y
0
) thì hệ cũng có nghiệm (x
0
,-y
0
)

Bởi vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là y
0
= 0
Thay y
0
= 0 vào (II) ta có



=+
=
2
1
13
ax
ax






=
=
3
4
1
a
a
Điều kiện đủ

a = -1, hệ (II) trở thành





=++
=++
11
113
2
2
yx
yx


x = y = 0
a =
3
4
, hệ (II) trở thành







=++
=+

9
16
1
11
3
4
3
2
2
yx
yx








=
=
0
9
7
y
x
Hệ có nghiệm duy nhất

=
=
0
9
7
y
x
Vậy tập hợp các giá trị của a tơng thích với yêu cầu bài toán là







==
3
4
;1 aa
4
Ví dụ2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất






++=++

=++
axxy
ayx
355
3
22
2
Lời giải
*Điều kiện cần
Thấy rằng, nếu hệ có nghiệm (x
0
,y
0
) thì nó cũng có nghiệm (-x
0
,-y
0
),
(-x
0
,y
0
),(x
0
,-y
0
).Bởi vậy, nghiệm duy nhất của hệ chỉ có thể là x
0
= y
0

= 0
Thay vào hệ ta có a =
3
*Điều kiện đủ
Với a =
3
, hệ trở thành





+=++
=++
)2(55
)1(33
22
2
xxy
yx
Để ý:
33
2
++
yx
Dấu đẳng thức xẩy ra khi x = y = 0.
Suy ra (1)

x = y = 0. Thấy rằng x = y = 0 cũng là nghiệm của (2)
Suy ra x = y = 0 là nghiệm duy nhất của hệ

Tóm lại: Tập hợp các giá trị phải tìm của a là a =
3
Phơng pháp 4: Đặc biệt hóa một ẩn
Ví dụ1: Giải hệ phơng trình (I)





=++
=+++
12
32
22
222
xyxzyzyx
yzxzxyzyx

(Đề thi giáo viên giỏi huyện Cẩm Xuyên năm 2004)
Lời giải
Viết lại (I)

(II)





=+
=+++

01)()(
03)()(
2
22
yxzyx
zyxzyx
5