Luận văn sư phạm Bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng

TR

NG

I HOC S PH M HÀ N I 2.
KHOA TOÁN H C

PH M TH HI N

BÀI TOÁN C C TR V HÌNH H C
TRONG M T PH NG
KHOÁ LUÂN T T NGHI P
CHUYÊN NGÀNH : HỊNH H C
Ng

ih

ng d n khoa h c

T.S PHAN H NG TR

ảà n i, Tháng 5 n m 2010 .

1

NG


L ic m n
Do ch a có nhi u kinh nghi m trong ối c ti n hành nghiên c u khoa
h c , em không kh i b ng ốà còn nhi u lúng túng. Nh ng đ c s giúp

đ nhi t tình c a th y giáo PảAN ả NẢ TR NẢ ốà các th y cô giáo
trong t hình h c , em đã hoàn thành t t khoá lu n c a mình , đ m b o
th i gian , ki n th c c ng nh s chính ồác c a toán h c.
Do đi u ki n ố th i gian ốà tính ch t c a đ tài ch c ch n khoá lu n
t t nghi p c a em không tránh kh i nh ng thi u sót.Em r t mong nh n
đ c s ch b o c a các th y cô giáo ốà ý ki n c a các b n đ ng môn đ
bài khoá lu n đ c hoàn thi n h n.
Qua đây em ồin g i l i c m n chân thành t i các th y cô giáo trong
t hình h c , các th y giáo trong khoa toán ốà đ c bi t là th y giáo
PảAN ả NẢ TR NẢ đã h ng d n em hoàn thành khoá lu n này.
Em ồin chân thành c m n!

Ngày 15 tháng 5 n m 2010.
Sinh viên : PH M TH HI N

2


L i cam đoan
Khoá lu n này là k t qu c a b n thân em qua quá trình h c t p và nghiên
c u,cùng v i s t o đi u ki n c a các th y cô giáo trong khoa toán, đ c bi t là s
h ng d nt n tình c a th y giáo Phan H ng Tr ng
Em xin kh ng đ nh k t qu c a đ tài “Bài toán c c tr v hình h c trong m t
ph ng” không có s trùng h p v i k t qu c a đ tài khác.

3


M cệ c
Trang

L i nói đ u ……………………………………………………………….
Ch

ng 1 : Ph

4

ng pháp gi i m t bài toán c c tr ố hình h c

A) Bài toán c c tr ố hình h c …………………………………….
5
B) Ph ng pháp chung đ gi i m t bài toán c c tr v hình h c
5
Bài t p đ ngh ch ng 1………………………………………………
14
Ch

ng 2 : Cách ố n d ng các b t đ ng th c trong hình h c
A) B t đ ng th c tam giác…………………………………………
B)
ng ốuông góc ốà đ ng ồiên……………………………...
C)
dài đ ng g p khúc …………………………………………
D) Các b t đ ng th c trong đ ng tròn…………………………….
Bài t p đ ngh ch ng 2 ……………………………………………....

ng 3 : Cách ố n d ng các b t đ ng th c trong đ i s ốào
bài toán c c tr v hình h c trong m t ph ng
A) Các b t đ ng th c đ i s th ng dùng……………………………
B) Các ốí d áp d ng ……………………………………… …………..

Bài t p đ ngh ch ng 3……………………………………………...

15
16
17
19
21

Ch

ng 4 : To đ ốà ốect trong m t ph ng ố i bài toán
c c tr ố hình h c
A)To đ trong m t ph ng ố i bài toán c c tr v hình h c
trong m t ph ng …………………………………….…..

22
23
25

Ch

26

B)Vecto trong m t ph ng ố i bài toán c c tr v hình h c
trong m t ph ng ……………………………………………….. 28
K t lu n………………………………………………………………….. 31

4

L I NÓI

U

1) Lý dỊ ch n đ ỏài .

Trong nhà tr ng ph thông , hình h c là m t môn h c khó đ i ố i h c
sinh.B i hình h c là m t môn h c yêu c u ng i h c ph i có t duy logic ,
ch t ch ốà có kh n ng tr u t ng hoá cao h n các môn h c khác.

ả c sinh đã đ c ti p c n ố i hình h c ngay t nh ng n m h c ti u h c ốà
đ c h c m t cách h thông t
l p 6. ả c sinh đ c h c cách gi i r t nhi u
d ng bài toán nh ng bài toán tìm giá tr c c tr c a m t đ i l ng hình h c
nào đó trong m t ph ng luôn là bài toán gây nhi u khó kh n cho h c sinh.
V i s g i ý h ng d n c a th y giáo PảAN ả NẢ TR NẢ ,cùng ố i
m c đích tìm hi u ốà đ a ra ph ng pháp chung đ gi i m t bài toán c c tr
ố hình h c trong m t ph ng c ng nh tìm hi u cách ố n d ng m t s b t
đ ng th c trong hình h c ,b t đ ng th c trong đ i s đ gi i bài toán c c tr
hình h c trong m t ph ng , em đã l a ch n đ tài “ Bài toán c c tr ố hình
h c trong m t ph ng ”.
2) Nhi m v nghiên c Ố :
+ Trình bày c s lí thuy t .
+
ồu t ph ng pháp
+Xây d ng h th ng ốí d bài t p luy n t p.
3)Ph

ng ịháị nghiên c Ố
+ Th ng kê

+ Khái quát hoá , tr u t ng hoá .
+ Nghiên c u sách giáo khoa , tài li u tham kh o , báo toán h c ốà
tu i tr .

5


Cả

NẢ 1 :Pả

NẢ PảÁP ẢẤ Ấ M T BÀẤ TOÁN C C Tậ V ảÌNả ả C
TRONG M T PH NẢ

A, Bài ỏỊán c c ỏọ v hình h c.
Xét m t đ i l ng hình h c y (đ dài c a m t đo n th ng,t ng c a nhi u đo n
th ng,chu ối ,di n tích c a m t hình, đ l n c a m t góc,ố.ố…).
1, Bài toán tìm c c ỏi Ố v hình h c.
N u có m t giá tr không đ i y1 sao cho luôn có y y1 , đ ng th i t n t i m t ố trí
hình h c c a y (ho c hình ch a y) t i đó y đ t đ c giá tr y1 ,thì ta nói r ng y1 là
giá tr nh nh t (c c ti u ) c a y.
2, Bài ỏỊán ỏìm c c đ i v hình h c.
T ng t ,n u có m t giá tr không đ i y2 sao cho luôn có y y2 , đ ng th i t n
t i m t ố trí hình h c c a y (ho c hình ch a y) t i đó y đ t đ c giá tr y2 ,thì ta
nói r ng y2 là giá tr l n nh t (c c đ i ) c a y.
Bài toán tìm c c ti u hay c c đ i c a y đ
h c.
Ng

i ta th

ng kí hi u

c g i chung là bài toán c c tr ố hình

min y = y1 (hay ymin = y1) ;
Max y = y2 (hay ymax = y2 ) ;

B,Ph

ng ịháị chỐng đ gi i m ỏ bài ỏỊán c c ỏọ v hình h c trong m ỏ ph ng.

C n c ốào đ u bài,ng
sau:

i ta th

ng gi i bài toán c c tr ố hình h c theo ba cách

1,Cách 1:
V m t hình có ch a đ i l ng hình h c mà ta ph i tìm c c tr , thay các đi u
ki n c a đ i l ng đó b ng các đi u ki n t ng đu ng.Có khi ph i ch n m t đ i
l ng nào đó trong hình làm n s ,d a ốào m i quan h gi a n s đó ố i các đ i
l ng khác trong hình, nh ng đ i l ng này có th do đ u bài cho s n,nh ng c ng
có th do ta làm ồu t hi n trong quá trình đi tìm l i gi i c a bài toán.Bi u th n s
theo các đ i l ng đã bi t, các đ i l ng không đ i r i bi n đ i t ng đ ng bi u
th c ố a tìm đ c đ cu i cùng ồác đ nh đ c giá tr c a đ i l ng c n tìm, t đó
suy ra ố trí c a hình đ đ t đ c c c tr .
Ng i ta th ng dùng cách này khi đ u bài d
tho mãn các đi u ki n c c tr cho tr c. ‟‟

6

c cho d

i d ng : “ Tìm m t hình


Ví d 1: Trong các tam giác có cùng đáy ốà cùng di n tích , tìm tam giác có chu ối
nh nh t.
Gi i :
Xét các tam giác có chung đáy là BC = a ốà có cùng đi n tích là S
Ả i Aả là đu ng cao t ng ng ố i c nh đáy BC ta có:
1
2S
S = AH.BC  AH =
( không đ i )
2
a
Suy ra A di đ ng trên m t đ ng th ng ồy
2S
Song song ố i BC ốà cách BC m t kho ng b ng
.
a
B’
Ta c n ồác đ nh ố trí c a A trên ồy đ tam giác ABC
Có chu ối nh nh t.
Chu vi ABC = AB + BC + CA
= AB + AC + a
Vì a không đ i nên chu ối ABC

nh nh t khi ốà ch khi AB + AC nh nh t.
x
G i B‟ là đi m đ i ồ ng c a B qua ồy ,
B‟C c t XY t i A0 . Xét AB‟C ta có:
AB‟ + AC  B‟C = B‟A0 + A0C (1)
Thay AB‟ = AB ; A0B‟ = A0B vào (1) ta đ
AB + AC  A0B + A0C
(2)

c:

Ao

A
y

B

C

(2) có d u “=” khi ốà ch khi B‟, A, C th ng hàng.
Khi đó A  A0. Vì A0B = A0B‟ = A0C nên A0BC cân t i A0.
V y trong các tam giác có chung m t đáy ốà có cùng di n tích tam giác cân có chu
ối nh nh t.
Ví d 2 : Cho ABC có các góc B ốà C nh n; BC =a, đ ng cao Aả = h. Xét các
hình ch nh t MNPQ n i ti p trong tam giác có M  AB; N  AC; P và Q  BC.
Xác đ nh ố trí c a hình ch nh t MNPQ đ nó có di n tích l n nh t.
Gi i:
V trí c a hình ch nh t MNPQ s đ c hoàn toàn ồác đ nh n u ta ồác đ nh đ c
ố trí c a MN.

t MQ = ồ; MN= y
A
 AK = h - x.

AMN

ABC

MN AK
=
BC AH
y h-x
 =
a
h

M K y

N



B
Q H

7

P

C

a(h-x)
h
Ả i S là di n tích hình ch nh t MNPQ thì :
a
(*)
S = xy = x( h - x)
h
a
a
h2 h2
2
2
S = ( hx - x ) = ( hx - x + - )
h
4 4
h
2
2
a h
h h
= [ - ( x2 - 2.x. + )]
h 4
4
2
2
h
a h
= [ - (x- )2 ]

2
h 4
ah a h 2
ah
=
- (x- ) 
4 h 2
4
h
h
d u “=” ồ y ra khi ồ - = 0  x = khi đó K là trung đi m c a Aả hay MN là
2
2
đ ng trung bình c a ABC.
h
ah
x= .
V y maồ S =
2
4

 y=

Chú Ý :
Ta có th gi i bài toán trên b ng cách áp d ng h qu c a b t đ ng th c Cauchy.
T (*) ta nh n th y : a, h đ u là h ng s d ng nên S l n nh t khi ốà ch khi ồ(h -x)
l n nh t. Do ồ > 0; x < h nên h - ồ > 0, hai s d ng ồ ốà (h - ồ) có t ng không đ i
x + (h - x) = h nên tích x(h - ồ) s l n nh t khi chúng b ng nhau :
h
x = h - x hay x = .

2
2,Cách 2
a ra m t hình (theo yêu c u đ u bài) r i ch ng minh m i hình khác có ch a y u
t ( mà ta ph i tìm c c tr ) l n h n ho c bé h n y u t t ng ng trong hình đã đ a
ra.
Ví d 3 :
Trong các tam giác có cùng đáy ốà cùng di n tích, ch ng minh r ng tam giác cân
có chu ối nh nh t.
ây là bài toán ta đã đ c p trong ốí d 1,nh ng đây đ u bài nói rõ hình ta c n
ph i ch ng minh là m t tam giác cân, nên ta đ a ra m t tam giác cân A0BC
(h.1.1).R i ồét m t tam giác không cân ABC có cùng đáy BC,
đ nh A ch y trên.
ng th ng xy BC ta ch ối c ch ng minh chu ối ABC chu vi A0BC t c
là
AB + AC  A0B + A0C nh đã trình bày cách gi i ví d 1.

8


3,Cách 3 :
Thay ối c tìm c c đ i c a m t đ i l
l ng khác , ho c ng c l i.

ng này b ng ối c tìm c c ti u c a m t đ i

Ví d 4:
Ch ng minh r ng trong các tam giác có cùng đáy ốà cùng di n tích , thì tam giác
cân có bán kính đ ng tròn n i ti p l n nh t.
ẢI I
Ả i a, b, c là đ dài ba c nh c a tam giác ABC , r là bán kính đ ng tròn n i ti p

tâm I , S là đi n tích tam giác ABC .Ta có :
S = SAIB + SBIC + SCIA
1
1
1
= cr + ar + br
2
2
2
r
= (a + b + c )
2
Vì S không đ i , ta suy ra r s l n nh t khi ốà ch
khi ( a + b + c ) nh nh t , t c là chu ối c a tam
giác nh nh t .Theo k t qu
ốí d 1 ,đó là tam giác
cân.
Ví d 5:
Cho hình ốuông ABCD c nh a .Xét các hình thang có b n đ nh trên b n c nh c a
hình ốuông ốà hai đáy song song ố i m t đ ng chéo c a hình ốuông . Tìm hình
thang có di n tích l n nh t ốà tính di n tích l n nh t y.
ẢI I
Ả i EạẢả là hình thang có các đ nh n m trên các c nh c a hình ốuông ốà hai đáy
ạẢ, Eả song song ố i đ ng chéo BD c a hình ốuông.

D
Ả
di
S

t AE = ồ  EB = a - x
CF = y  FB = a - y
th y DHG = BEF
i S là hi u di n tích hình ốuông ốà
n tích hình thang EạẢả thì :
= SAEH + SCFG + 2SBEF

9


1 2
1
AE + CF 2 + BE.BF
2
2
2
2
y
x
+
+ ( a - x )( a - y )
=
2
2
1
= [ x2 + y2 + 2xy - 2a( x + y ) + 2a 2 ]
2
1
2
2

= [(x+ y) -2a(x+ y)+ 2a ]
2
1
2
2
= [(x+ y-a) + a ]
2
SEFGH l n nh t khi ốà ch khi S l y giá tr nh nh t. i u này ồ y ra khi:
x+ y-a = 0  x+ y= a  x= a -y
hay AE = BF
Khi đó các đ ng chéo EẢ ốà ảạ song song ố i các c nh c a hình ốuông ốà di n
a2
tích l n nh t c a hình thang ph i tìm là
.
2
(*) CảÖ Ý ẬUAN Tậ NẢ
(i) Có tr ng h p đ tìm c c tr c a m t đ i l ng A , ta chia A thành t ng c a
nhi u đ i l ng khác :
A= B + C
r i đi tìm c c tr c a B ốà C, t đó suy ra c c tr c a A ,ta c n ch ng minh : “ khi B
đ t c c tr thì C c ng đ ng th i đ t c c tr ốà ng c l i .”
=

Ví d 6:
Cho tam giác ABC ốuông t i A , bên ngoài tam giác ố hai n a đ ng tròn có
đ ng kính AB , AC .M t d ng th ng d quay quanh A c t hai n a đ ng tròn theo
th t
M,N ( khác A ) . Xác đ nh ố trí c a M,N sao cho chu ối c a t giác BCNM
l n nh t.
ẢI I

t BM = ồ ; AM = y ; AN = z ; NC = t ;
Thì chu ối t giác BMNC = BC + ồ + y + z + t .
V i hai đ i l ng b t kì , ta luôn có :
( a - b )2  0  a 2 + b2  2ab.
 2 ( a 2 + b2 )  ( a + b )2(*)
Tam giác AMB ốuông t i M ; Áp d ng đ nh lí
Pitago ta có :
BM2 + MA2 = AB2
hay
x2 + y2 = AB2 .
Áp d ng b t đ ng th c (*) : ( ồ + y )2  2 AB2

 x + y  AB 2

10


d u „„ =‟‟ ồ y ra khi ốà ch khi ồ = y .
T ng t : z + t  AC 2 d u „„ =‟‟ ồ y ra khi ốà ch khi z = t .
Khi ồ = y thì M là đi m chính gi a c a cung AB , khi đó tam giác AMB





vuông cân nên MAB = 45o  CAN = 45o ( ốì M,A,N th ng hàng ).
 N là đi m chính gi a cung AC
V y chu ối c a t giác BCNM l n nh t khi M,N đ ng th i là đi m chính gi a c a
các cung AB ,AC .
( ii) N u bài toán đã cho có th ồ y ra nhi u kh n ng t ng ng ố i các tr ng

h p khác nhau c a hình thì ph i tìm c c tr trong t ng tr ng h p, cu i cùng so
sánh các giá tr đó đ tìm ra c c tr c a bài toán.
Ví d 7:
Qua đ nh A c a tam giác ABC , d ng đ
các đ nh B ốà C t i d là l n nh t .

ng th ng d sao cho t ng kho ng cách t
ẢI I

Ta ồét hai tr ng h p :
Tr ng h p 1 : d c t c nh BC t i E
Ả i BB‟ , CC‟ l n l t là các kho ng cách t các đ nh B ốà C t i d . ảai tam giác
ABE ốà CC‟ .
Ta có : SABC = SABE + SACE
1
1
= AE. BB‟ + AE.CC‟
2
2
2S
 BB‟ + CC‟ = ABC .
AE
Ta th y BB‟ + CC‟ nh n giá tr l n nh t,
Khi đó AE là d ng cac k t đ nh A
c a ABC , t c là d  BC. N u g i Aả
là đ dài đ ng cao k t A thì AE = Aả ,
do đó BB‟ + CC‟ = BC (1)
Tr

ng h p 2: d không c t BC

Ả i M là trung đi m c a BC . K
MM‟  d . T giácBB‟C‟C là hình
thang nh n MM‟ làm đ ng trung bình nên :
BB‟ + CC‟ = 2 MM‟
Mà MM‟  AM ( đ ng ốuông góc ốà đ ng
ồiên k t M t i d ).
Do đó : BB‟ + CC‟ l n nh t khi M‟  A .
Lúc đó BB‟ + CC‟ = 2 AM ốà d  AM t i A

(2).

11


Nh ố y , ng ố i hai tr ng h p , ta đ c hai k t qu (1) ốà (2) , do đó ta
ph i so sánh BC ố i 2AM ,
đi u này rõ ràng ph thu c ốào hình d ng c a tam ABC cho tr c .



a) A < 90o.
Kéo dài AM m t đo n MN = MA .
T giác ABNC là hình bình hành
vì có hai đ ng chéo giao nhau t i trung
đi m c a m i đ ng, suy ra AB = CN ;







ACN = 180o - A mà A < 90o







suy ra ACN > 90o hay ACN > CAB .
Xét hai tam giác BAC và NCA chúng có : AB = CN ,





AC chung , ACN > CAB nên c nh đ i di n ố i góc





CAB nh h n c nh đ i di n ố i góc ACN : BC < AN hay BC < 2AM .



b) A = 90o : T giác ABNC là hình bình hành có m t góc ốuông nên nó là hình
ch nh t.

 ảai đ

ng chéo BC ốà AN b ng nhau hay BC = 2 AM.



c) A > 90o : Ch ng minh t

ng t tr

T k t qu trên ta suy ra :
+ N u ABC cho tr
đ



c có A < 90o thì đ

ng th ng ốuông goác ố i đ



ng h p 1) ta đ

c BC > 2 AM.

ng th ng d đi qua A ph i d ng là

ng trung tuy n AM c a ABC.

+ N u A = 90o thì bài toán có hai l i gi i : d ng đ

ng th ng d qua A ốà

ốuông góc ố i AM ho c d‟ qua A ốà ốuông góc ố i BC.



+ N u A > 90o thì đ

ng th ng d qua A ốà ốuông góc ố i BC.

Ví d 8:
Cho đ ng th ng ồy ,hai đi m A ốà B không n m trên ồy ốà thu c cùng m t n a m t
ph ng có b là đ ng th ng ồy . Tìm trên ồy m t đi m M sao cho góc AMB là l n
nh t.
ẢI I

12


Ta c n ồét các tr

ng h p sau :

a) Tr ng h p AB xy :
D ng đ ng tròn (O) qua A ,B ốà ti p ồúc
ố i ồy t i M ( tr c h t d ng trung tr c c a
AB c t ồy t i M ;D ng thêm trung tr c c a
AM c t

trung tr c c a MB t i tâm O c n tìm ).



Ta s ch ng minh góc AMB là l n nh t .
Th t ố y , n u l y m t đi m M‟ b t kì
( M‟  M ) trên ồy , n i M‟ ố i A ốà B ,
Ta luôn có :





AM‟B < ANB Mà





ANB = AMB



 AM‟B  AMB d u „„=‟‟ ồ y ra hi ốà ch khi M  M‟.
b) Tr

ng h p AB  xy .

khi đó ta d ng đ c hai đ ng tròn
(O) và ( O‟ ) đi qua A , B ti p ồúc ố i

ồy t i M1 và M2.
Do AOO‟ cân nên :





AOO‟ = AO‟O



 AMB = AM‟B
C hai đi m M ốà M‟ d u tho mãn đi u ki n bài toán . V y bài toán có hai
nghi m hình.
c) tr ng h p t ng quát .
Tr c h t ta hãy gi i bài toán :
Cho đ ng th ng ồy , hai đi m A ốà B không
n m trên ồy ốà thu c cùng m t n a m t ph ng
có b là đ ng th ng ồy ; AB không song song
ốà c ng không ốuông góc ố i ồy .
D ng đ

ng tròn qua A , B ốà ti p ồúc ố i ồy.

Ải s ta đã d ng đ

cđ

ng tròn (O) qua A ,

13


B ốà ti p ồúc ố i ồy t i M , ốì A,B không song song ố i ồy nên AB c t ồy t i m t
đi m y.

 IAM ( g.g)
Ta có : IMB
IM IA

=
 IM2 = IA.IB (1)
IB IM
V đ ng tròn (O‟) qua A ốà B ( tâm
O‟ n m trên trung tr c c a AB ).K ti p
tuy n IT ố i (O‟) theo ch ng minh trên
ta có : IT2 = IA.IB (2)
So sánh (1) ốà (2) ta đ
IM1 = IT

c:

T đó ta suy ra cách d ng sau :
V m t đ òng tròn ph (O‟) b t kì , t I ố ti p tuy n IT ố i (O‟) , trên ồy
đ t ố hai phía c a đi m I các đo n IM1 = IM2 = IT.
ng ốuông góc k t
M1 , M 2 c t đ ng trung tr c c a AB t i O1 ; O2 ;đó là tâm c a hai đ ng
tròn (O1; O1M1 ) và (O2 ;O2M2 ) đi qua A ,B ốà ti p ồúc ố i ồy t i M1 , M2 .
Tr l i bài toán đ u ,t

ng t tr

ng h p a)









+ N u M‟ n m trên tia IM1 mà M‟

M1 thì AM‟B < AM1B

+ N u M‟ n m trên tia IM2 mà M‟

M2 thì AM‟B < AM2B





Do đó ta c n so sánh AM1B ố i AM2B. Ải s (O1 ) có bán kính nh h n (O2 ) .









Xét AO1O2 ta có : AO1 < AO2  AO2O1 < AO1O2  AM2B < AM1B .
V y đi m ph i tìm ti p đi m c a đ ng th ng ồy ố i đ
h n trong hai đ ng tròn qua A,B ốà ti p ồúc ố i ồy.

14

ng tròn có bán kính nh


BÀẤ T P

NẢả Cả

NẢ 1

BÀI 1.1 :
Cho hình thang ABCD ốà hai đi m M,N l n l t thu c các c nh đáy AB ốà CD ;
AN c t DM P ; BN c t CM Q .
a) Ch ng t SMPNQ = SADP + SBCQ .
b) Xác đ nh ố trí đi m M , đ SMPNQ l n nh t .
BÀI 1.2 :
Cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn (O;Q) .Xác đ nh ố trí c a đi m M trên
đ ng tròn sao cho n u g i D,E theo th t là hình chi u c a M trên các đ ng
th ng AB , AC thì DE có đ dài l n nh t.
BÀI 1.3 :
Trong các t giác n i ti p cùng m t đ ng tròn , t giác nào có :

a) Di n tích l n nh t ?
b) Chu ối l n nh t ?
BÀI 1.4 :
Cho tam giác ABC ngo i ti p đ ng tròn (O;r) .k các ti p tuy n c a đ ng tròn
(O) song song ố i các c nh c a tam giác.Các ti p tuy n này t o ố i các c nh c a
tam giác là ba tam giác nh có di n tích là S1 ,S2 , S3 . G i S là di n tích tam giác
ABC.
S1+ S2+ S3
.
Tìm giá tr nh nh t c a t s
S
BÀI 1.5 :
Cho tam giác đ u ABC n i ti p trong đ ng tròn (O,R).Tìm đi m M thu c cung BC
sao cho n u g i ả ,Ả , K th t là hình chi u c a M trên AB , BC , AC thì t ng MA
+ MB + MC + Mả + MI + MK l n nh t ? nh nh t ?

15


Cả

NẢ 2 : CÁCả V N D NẢ CÁC B T
TậONẢ ảÌNả ả C

NẢ Tả C

A, B T
NẢ Tả C TAM ẢẤÁC
V i ba đi m A , B , C b t kì ta luôn có :
AB + AC  BC

D u “=” ồ y ra khi ốà ch khi đi m A thu c đo n BC.
Ví d 1:
Cho đ ng th ng ồy ốà hai đi m A , B thu c cùng m t n a m t ph ng có b là ồy
a) Tìm đi m M thu c ồy sao cho MA +MB nh nh t.
b) Tìm đi m N thu c ồy sao cho | NA - NB| nh nh t.

ẢẤ Ấ
a)
Ả i A‟ là đi m đ i ồ ng c a đi m A
qua ồy thì A‟ hoàn toàn ồác đ nh,
do MA =MA‟ nên ta có :
MA + MB = MA‟ + MB.
N i A‟ ố i B ốà áp d ng b t đ ng th c
Tam giác cho ba đi m A‟ , M , B ta có:
MA‟ + MB  A‟B
D u “=” ồ y ra khi M  A‟B .
Khi đó M  M‟ .
V y min ( MA + MB ) = AB  M  M‟ .
b)
N u l y m t đi m N b t kì trên ồy thì | NA - NB|  AB . Ảiá tr l n nh t c a
| NA - NB| b ng AB khi ốà ch khi B là đi m n m gi a hai đi m A ốà N
Suy ra :
+ N u AB
xy thì :
Không tìm đ c đi m N tho mãn yêu
c u bài toán
+ N u AB  ồy :Ả i No = AB  xy
Thì No là đi m c n tìm.

16

V y maồ | NA - NB| = AB  N  No .

Ví d 2:
Cho đ ng tròn (O) và m t đi m M ngoài đ ng tròn .
ng th ng k t M qua
tâm O c t đ ng tròn A và B ( A là đi m n m gi a hai đi m M và O ). Ch ng
minh r ng MA là kho ng cách nh nh t trong các kho ng cách t M t i t t c các
đi m c a đ ng tròn và MB là kho ng cách l n nh t trong t t c các kho ng cách
đó.
ẢẤ Ấ
Qua M v m t đ ng th ng b t kì c t (O) t i A‟ , B‟
Xét  MA‟O ta có :
MO - OA‟  MA‟
Nh ng OA‟ = OA = R
Nên MO - OA  MA‟.
Theo gi thi t , A là đi m n m gi a
hai đi m M và O nên
MO = MA + AO
t c là MO - OA = MA .
V y MA  MA‟
d u “=” ồ y ra khi và ch khi A  A‟
T ng t , v i m i đi m B‟ (O) và B‟
MO + OB‟  MB‟ .
Do đó MB  MB‟
D u “=” ồ y ra khi và ch khi B  B‟ .
B,

NẢ VUÔNẢ ẢÓC VÀ

B , xét MOB‟ ta có :

NẢ ẳẤÊN

1,Trong các đo n th ng n i t m t đi m đ n m t đ
đ ng th ng có đ dài ng n nh t.

ng th ng , đo n ốuông góc ố i

2, Trong hai đ ng ồiên k t m t đi m đ n m t m t đ
có hình chi u l n h n thì l n h n ốà ng c l i .

ng th ng , đ

ng ồiên nào

Ví d 1 :
Cho tam giác ABC có ba goc nh n.Tìm đi m M trong tam giác sao cho
MA.BC + MB.CA + MC.AB đ t giá tr nh nh t .

17


ẢẤ Ấ
Xét m t đi m M b t kì trong tam giác ,tia AM c t c nh BC
K BE  AD; CF  AD .Ta có :
BE  BD  AM.BE  AM.BD
CF  CD  AM.CF  AM.CD
 ( BE + CF )AM  ( BD + CD ).AM

D.

Nh ng :
BE.AM = 2 SAMB
CF.AM = 2 SAMC
BD + DC = BC
Do đó
2 ( SAMB + SAMC )  BC.AM
D u “=” ồ y ra khi ốà ch khi E ốà ạ
trùng ố i D .Khi đó AM  BC.
T ng t ta có :
2 ( SABM + SCBM )  AC.BM (2)
2 ( SCBM + SACM )  AB.CM (3)
T (1) ,(2) , (3) ta suy ra :
4 ( SABM + SACM + SCBM )  MA.BC + MB.CA + MC.AB
Do dó : min ( MA.BC + MB.CA + MC.AB ) = 4 SABC khi ốà ch khi
AM  BC ; BM  AC ; CM  AB , khi đó M là tr c tâm c a ABC.
Ví d 2 :
Cho đ ng th ng d ốà đ ng tròn (O;R) có kho ng cách t tâm O đ n d là
Oả > R .L y hai đi m b t kì A  d và B  (O;R). ảãy ch ra ố trí c a A , B sao
cho đ dài Ab ng n nh t ốà ch ng minh đi u y.
ẢI I

T tâm O k Oả  d c t (O;R) t i K
Xét ABO ,ta có :
AB + OB  OA
Mà OA  Oả (đ ng ồiên ốà đ ng
Vuông góc k t O đ n d )
 AB + OB  OH

 AB  OH - OH = OH - OK = KH
V y min AB = Kả  A  H và B  K .

18


C,

DÀẤ

dài đ
đó .

NẢ Ả P ẦảÖC

ng g p khúc n i hai đi m không nh h n đ dài đo n th ng n i hai đi m

Ví d 1 :
Cho hình ốuông ABCD ốà m t t giác MNPQ có b n đ nh thu c b n c nh hình
ốuông ( t giác MNPQ n i ti p hình ốuông ABCD ). Tìm đi u ki n đ t giác MNPQ
có chu ối nh nh t.
ẢẤ Ấ
Ả i I , J , K l n l t là trung đi m c a QN , MN , PQ. Áp đ ng tính ch t c a trung
tuy n thu c c nh huy n c a tam giác vuông ta có:
MN = 1 BJ ; PQ = 2 DK .
Áp d ng tính ch t đ ng trung bình c a
tam giác : PN = 2 IK ; MQ = 2 IJ .
Chu ối t giác MNPQ :
MN + NP + PQ + MQ =
= 2 ( BJ + JI + IK + KD )  2 BD

Chu vi t giác MNPQ đ t giá tr nh nh t
b ng hai l n đ dài đ ng chéo hình ốuông,
khi đ ng g p khúc trùng ố i đ ng chéo
BD, khi đó MN AC PQ và
MQ BD NP .T giác MNPQ tr thành hình ch nh t.
T bài toán trên tacó th rút ra k t lu n : M i hình ch nh t n i ti p đ c trong m t
hình ốuông đã cho đ u có chu ối b ng nhau ốà chu ối đó nh nh t so ố i chu ối c a
b t kì t giác nào n i ti p trong hình ốuông này.
Ví d 2 :
Cho tam giác ABC có các góc nh h n 120o .Tìm đi m M n m bên trong tam giác
sao cho t ng MA + MB + MC có giá tr nh nh t.
ẢẤ Ấ

19


Xét m t đi m M n m trong tam giác ABC. Ta ph i ồác đ nh ố trí c a M đ t ng
MA + MB + MC có giá tr nh nh t.
Ta tìm cách đ a t ng c a ba đo n thành t ng c a các đo n th ng c a m t đ ng
g p khúc n i hai đi m ồác đ nh nào đó.
Th c hi n phép quay tâm A ,góc quay 60o , ng c chi u kim đ ng h :
Bi n : M thành M‟ ; C thành C‟ . Nh ố y tam giác AMM‟ là tam giác đ u
suy ra MA =MM‟ .
Tam giác ACC‟ c ng là tam giác đ u nên C‟ hoàn toàn ồác đ nh ;
M‟C‟ = MC ( ốì phép quay b o toàn kho ng cách gi a hai đi m ) .
Do đó MA + MB + MC = MM‟ + MB + M‟C‟ = đ dài đ ng g p khúc
BMM‟C‟  BC‟.
t ng MA + MB + MC nh nh t ,ta ph i tìm M sao cho b n đi m B, M ,M‟ ,C‟
th ng hàng , ngh a là M thu c đo n BC .
Suy ra : M  Mo = BC‟  CB‟.

Do đó cách ồác đ nh đi m M nh sau : D ng ra phía ngoài tam giác ABC các
tam giác đ u ACC‟ ; ABB‟ ; L y giao c a BC‟ ốà CB‟, đó là đi m M c n tìm.
Theo gi thi t tam giác ABC đ u có các góc nh h n 120o nên ta có :







BAC‟ = BAC + CAC‟ < 120o + 60o = 180o
Suy ra BC‟ c t đo n AC t i m t đi m D n m gi a A ốà C. T ng t CB‟ c t AB t i
đi m E n m gi a A ốà B, suy ra tia BD n m gi a hai tia BA ốà BC ; Tia CE n m
gi a hai tia CB ốà CA ;
Do đó hai tia BC‟ ốà CB‟ luôn c t nhau t i m t đi m Mo n m trong tam giác ABC.
D, CÁC B T
1,

NẢ Tả C TậONẢ

NẢ TậÕN

ng kính là dây cung l n nh t c a đ

ng tròn .

2, Trong hai dây cung không b ng nhau , dây nào l n h n thì có kho ng cách t tâm
đ n dây đó nh h n ốà ng c l i.
Ví d 1 :
Cho hai đ ng tròn (O1) và (O2) c t nhau t i A ốà B . M t cát tuy n qua B ,

c t (O1) t i M , c t (O2) t i N .Xác đ nh ố trí cu MN đ chu ối tam giác AMN đ t
giá tr l n nh t.
ẢẤ Ấ
Hai tam giác AMN và AO1O2 đ ng









d ng ốì có M = O1 ; N = O2
Suy ra :
AM+ MN+ NA
AM
=
AO1+ O1O2+ O2A AO1

20


AM là m t dây ;
AO1 là bán kính trong đ ng
tròn (O1) do đó :
AM  2 AO1
AM

 2

AO1
D u “=” ồ y ra khi AM là đ ng kính trong đ ng tròn (O1) ,
khi đó AN là đ ng kính trong
đ ng tròn (O2) ,do đó O1O2 là đ ng trung bình c a tam giác AMN
 MN O1O2
V y tam giác AMN s có chu ối l n nh t khi MN qua B ốà song song ố i đ ng
n i tâm O1O2.
Ví d 2:
Cho đ ng tròn (O) ốà m t đi m M n m trong đ ng tròn ( M không trùng ố i O ).
1) Qua M d ng dây Ab sao cho đ dài c a nó :
a) L n nh t .
b) Nh nh t .
2) D ng đi m P trên đ



ng tròn sao cho góc OPM l n nh t.
ẢI I

1)
a) Dây AB l n nh t qua M ph i d ng là dây qua tâm O ( hay d ng đ
c a đ ng tròn qua M ).

ng kính

b)
Ải s AB là m t dây b t kì qua M
ốà Oả là kho ng cách t tâm O t i dây đó.
Dây AB s ng n nh t khi ốà ch khi
Oả dài nh t .Xét tam giác OảM ta

luôn có OH  OM .
max OH = OM  H  M .
V y dây AB nh nh t ph i d ng là AoBo vuông
góc ố i OM t i M.
2)
Ải s PQ là m t dây b t kì qua M.Tam
giác cân OPQ có c nh bên OP =OQ không
đ i ( bán kính c a đ ng tròn (O) ) nên
góc



đáy OPM s l n nh t khi góc



đ nh POQ nh nh t .
là góc

21

tâm trong đ

ng tròn (O)




nên POQ s nh nh t khi cung PQ nh nh t.
Dây PQ nh nh t khi ốà ch khi kho ng cách t tâm O đ n dây l n nh t , suy

ra PQ ốuông góc ố i OM t i M. V y đi m P ph i d ng là các đi m P1 ,P 2 trên
đ ng tròn (O) sao cho P1P 2 qua M ốà ốuông góc ố i OM.

BÀẤ T P

NẢả CH

NG 2

BÀI 2.1 :
Cho hai đi m A ốà B trên cùng m t n a m t ph ng có b là đ ng th ng ồy cho
tr c . Tìm trên ồy m t đi m M sao cho chu ối tam giác ABM nh nh t.
BÀI 2.2 :
Trong các hình bình hành có cùng di n tích ốà m t đ ng chéo không đ i, hình nào
có chu ối nh nh t ?
BÀI 2. 3 :
Cho tam giác ABC cân A ốà đi m D c đ nh trên đáy BC.D ng m t đ ng th ng
song song ố i BC, c t hai c nh bên E ốà ạ sao cho DE + Dạ có giá tr nh nh t .
BÀI 2.4 :



Cho góc xOy ốà m t đi m M n m trong góc đó sao cho M không thu c Oồ ốà
Oy.ảãy ồác đ nh đi m B trên Oồ ốà đi m C trên Oy sao cho OB = OC ốà MB + MC
đ t giá tr nh nh t.
BÀI 2.5 :
Cho tam giác đ u ABC .Qua tr ng tâm O c a tam giác hãy d ng đ ng th ng sao
cho t ng kho ng cách t ba đ nh c a tam giác t i đ ng th ng đó là l n nh t ? nh
nh t ?
BÀI 2.6 :

Cho tam giác ABC. Tìm đ ng th ng đi qua đ nh A c a tam giác sao cho t ng
kho ng cách t B ốà C t i đ ng th ng đó là nh nh t ?
BÀI 2.7:
Cho góc vuông xOy , đi m A thu c mi n trong c a góc , các đi m M,N theo
th



t chuy n đ ng trên các tia Ox ,Oy sao cho MAN = 90o .Xác đ nh ố trí c a M ,N đ
t ng AM + AN có đ dài :
a) Nh nh t .
b) l n nh t .
BÀI 2.8 :
Trong cá hình thoi có cùng chu ối , hình nào có di n tích l n nhât ?
BÀI 2.9 :
Cho hình ch nh t ABCD .Tìm t giác có b n đ nh thu c b n c nh c a hình ch
nh t sao cho chu ối c a t giác đó nh nh t .

22


BÀI 2.10 :
Trong các hình ch nh t có đ ng chéo b ng d không đ i, hình nào có di n tích l n
nh t ? Tính di n tích đó .
BÀI 2.11 :
Cho n a đ ng tròn tâm O đ ng kính AB ; M là m t đi m di đ ng trên n a đ ng
tròn.Qua M ố ti p tuy n ố i n a đ ng tròn, g i D ốà C theo th t là hình chi u
c a A ốà B trên ti p tuy n y. Xác đ nh ố trí c a M sao cho t giác ABCD có di n
tích l n nh t . Tính di n tích đó theo bán kính R c a đ ng tròn.
Cả

NẢ 3: CÁCả V N D NẢ CÁC B T
NẢ Tả CTậONẢ
VÀO BÀI TOÁN C C TR HÌNH H C

A, CÁC B T

NẢ Tả C

Ấ S Tả

ẤS

NẢ DÙNẢ

1, Cho f(ồ) có mi n ồác đ nh D  R .Ta có : [f(x)] 2  0 ,x  D.
T đó suy ra :
a) [f(x)] 2 + m  m
N u t n t i ồ = ồo  D sao cho [f(xo)] 2 + m = m t c là [f(xo)] 2 = 0
Thì m đ c g i là giá tr nh nh t c a f(ồ) ốà ta kí hi u là :
Min f(x) = m  x = xo .
b) M - [f(x)] 2  M
N u t n t i ồ = ồo  D sao cho
M - [f(x)] 2 = M t c là

[f(ồo)] 2 = 0

Thì M đ

c g i là giá tr l n nh t c a f(ồ) ốà ta kí hi u là :

Max f(x) = M  x = xo .
2 , B t đ ng th c Côsi ( Cauchy ).
Có các d ng sau :
a) ( a + b )2  4 ab , d u “=” ồ y ra khi ốà ch khi a = b .
a b
b)
+  2 ( ố i ab >0) d u “=” ồ y ra khi ốà ch khi a = b .
b a
c) a + b  2 ab ( ố i a  0 ; b  0 ) d u “=” ồ y ra khi ốà ch khi a = b.
CÁC ả ẬU :
d) a  0; b 0
a + b = k (không đ i)
(ab)max  a = b.
 ảai s không âm có t ng không đ i thì tích s l n nh t khi ốà ch khi hai s
đó b ng nhau.
 Trong các hình ch nh t có cùng chu ối, hình ốuông có di n tích l n nh t.
e) a  0; b 0
ab = k (không đ i)
(a + b)min  a = b.

23


 ảai s không âm có tích không đ i thì t ng s nh nh t khi ốà ch khi hai s
đó b ng nhau.
 Trong các hình ch nh t có cùng di n tích, hình ốuông có chu ối nh nh t.

B, CÁC VÍ D ÁP D NẢ
Ví d 1:
Cho hình ch nh t ABCD có AB = 12cm; BC = 8cm. Trên các c nh AB,BC,CD,

l n l t l y các đi m E,ạ,Ả,ả sao cho
AE = Cạ = CẢ = Aả. Xác đ nh ố trí các đi m E,ạ,Ả,ả đ t giác EạẢả có
di n tích l n nh t ốà tính di n tích đó.
ẢẤ Ấ
t AE = Cạ = CẢ = Aả = ồ.
 BE = DG = 12 - x.
BF = DH = 8 -x.
Ả i S là t ng di n tích c a
b n tam giác ốuông AEả; CẢạ;
EBạ ốà ẢDả; di n tích t giác
EạẢả s l n nh t khi S nh nh t
1
1
S = 2. .x.x + 2. (12 - x)(8 - x)
2
2
2
= x + 96 - 20x + x2
= 2( x2 -10x + 48)
= 2(x - 5)2 + 46  46.
Min S = 46  x = 5
V y maồ SEFGH = 12.8 - 46 = 50 (cm)2  x = 5(cm).
Ví d 2: Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c. Ả i ồ, y, z theo th t là
kho ng cách t đi m M trong Tam giác t i c nh BC, CA, AB. Xác
đ nh ố
a b c
trí đi m M đ t ng + + có giá tr nh nh t.
x y z
Ải i
Ả i S là di n tích tam giác ABC, ta có:

S = SBMC + SCMA + SAMB
1
= (ax + by + cz).
2
 ax + by + cz = 2S.

24


Xét tích:
a b c
(ax + by + cz)( + + )=
x y z
x y
y z
x z
= a 2 + b2 + c2 + ab( + ) + bc( + ) + ac( + )
y x
z y
z x
x y
Vì x > 0, y > 0, nên ta có +  2,.. …
y x
Do đó :
a b c
(ax + by + cz)( + + )  a 2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
x y z
Hay :
a b c
2 S( + + )  (a + b + c)2

x y z
a b c
(a+ b+ c)2
 + + 
2S
x y z
a b c
(a+ b+ c)2
 min( + + ) =
2S
x y z
Khi ốà ch khi :
x = y  M  phân giác góc C (1)
y = z  M  phân giác góc A (2)
t (1) ốà (2)  M là tâm đ ng tròn n i ti p ABC
a b c
(a+ b+ c)2
V y bi u th c + + đ t giá tr nh nh t là b ng
khi ốà ch khi M là
2S
x y z
tâm đ ng tròn n i ti p ABC.

25