Luận văn sư phạm Căn nguyên của giải tích Fourier

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khoá luận tốt nghiệp em đã nhận được rất nhiều
sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên. Em xin
chân thành cám ơn các thầy cô trong khoa toán trường ĐHSPHà Nội 2, các
thầy cô đã tận tình dạy dỗ em trong 4 năm học vừa qua và đã tạo điều kiện
giúp đỡ em hoàn thành thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin bày tở lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Bùi Kiên Cường
người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình
thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Do còn hạn chế về thời gian nên đề tài của em không tránh khỏi những
thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của quý thầy cô và các
bạn để đề tài của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cám ơn!
Hà nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Vũ Thị Cúc

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp là công trình nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn
của TS. Bùi Kiên Cường. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài này
em có tham khảo một số tài liệu (đã nêu trong phần tài liệu tham khảo).

Hà nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Vũ Thị Cúc

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1.Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 4
2.Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 4
Chương 1: Phương Trình Truyền Sóng ...................................................... 6
1.1 Một vài khái niệm mở đầu ........................................................................ 6
1.1.1 Chuyển động của hàm điều hòa đơn giản ............................................. 6
1.1.2 Sóng đứng và sóng dịch chuyển ........................................................... 9
1.1.3 Điều hòa và sự chồng chất của âm...................................................... 10
1.2 Nguồn gốc của phương trình truyền sóng ............................................... 11
1.2.1 Bài toán ............................................................................................... 11
1.2.2 Giải bài toán ........................................................................................ 11

1.3 Nghiệm phương trình truyền sóng .......................................................... 14
1.3.1 Nghiệm của phương trình truyền sóng ................................................. 14
1.3.2 Sự chồng chất của sóng đứng .............................................................. 18
1.4 Ví dụ ...................................................................................................... 22
Chương 2: Phương trình truyền nhiệt ...................................................... 24
2.1 Nguồn gốc của phương trình truyền nhiệt ............................................... 24
2.2 Trạng thái ổn định của phương trình truyền nhiệt trong đĩa .................... 26
2.3 Ví dụ ...................................................................................................... 30
Kết luận....................................................................................................... 35
Tài liệu tham khảo...................................................................................... 36

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Trong giải tích cổ điển và phương trình đạo hàm riêng, sinh viên đã được
tiếp cận giải tích Fourier và những ứng dụng của nó. Qua tìm hiểu ta thấy
rằng, bản chất của giải tích Fourier được bắt nguồn từ các hiện tượng vật lý
bên ngoài thực tiễn. Để làm sáng tỏ bản chất này và cũng làm tài liệu cho
khóa sau, em đã chọn đề tài “ Căn nguyên của giải tích Fourier” để làm tài
liệu cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2.Mục đích nghiên cứu
Qua đề tài nghiên cứu này ta có thể làm rõ được:

Cơ sở vật lý của giải tích Fourier
Bản chất vật lý của phương pháp tách biến
Bản chất vật lý của phương pháp D’Alembert
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm đạt được mục đích đã đề ra.
4.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: giải tích Fourier.
Phạm vi nghiên cứu: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt.
5.Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích tổng hợp và đánh giá.

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

6.Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Phương trình truyền sóng.
Chương 2: Phương trình truyền nhiệt.
Trong suốt quá trình nghiên cứu ẹm đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của
các thầy cô trong tổ giải tích khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đặc biệt là
thầy giáo Bùi Kiên Cường. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới các
thầy cô.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô và
các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cám ơn!

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 1
Phương Trình Truyền Sóng
1.1 Một vài khái niệm mở đầu
1.1.1 Chuyển động của hàm điều hòa đơn giản
Chuyển động của hàm điều hòa đơn giản được mô tả có trạng thái là hệ
thống dao động đơn giản nhất (gọi là dao động của hàm điều hòa đơn giản),
và đó chính là một cơ sở tự nhiên để bắt đầu nghiên cứu về dao động. Xét vật
khối lượng m được gắn vào một lò xo nằm ngang. Một đầu được gắn vào
bức tường, và giả thiết rằng hệ nằm trong một bề mặt không có ma sát.
Chọn trục tọa độ có gốc trùng với trọng tâm của vật khi vật ở trạng thái
nghỉ (khi đó lò xo không bị kéo hay nén), như trong hình 1. Kéo vật rời khỏi
vị trí cân bằng ban đầu.

m

y

m

0

y

0

y(t)

Hình 1. Chuyển động của hàm điều hòa đơn giản
và thả ra, nó sẽ chuyển động như một hàm điều hòa đơn giản. Chuyển động
này có thể mô tả bằng toán học khi ta sử dụng phương trình vi phân để thể
hiện sự thay đổi chuyển động của vật.

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Gọi y  t  là vị trí của vật ở thời điểm t . Ta giả sử rằng, lò xo ở trạng
thái lý tưởng để định luật Hooke’s được thỏa mãn: Lực phản hồi F tác dụng
bởi lò xo lên vật cho bởi F   ky  t  . Ở đây k  0 là đại lượng vật lý được gọi
là hằng số của lò xo. Áp dụng định luật Newton’s (lực = khối lượng x gia
tốc), ta có:
 ky  t   my  t  ,

Với y  là đạo hàm bậc hai của hàm y , biến số t .Với c  k m ,

phương trình vi phân trở về:

y  t   c 2 y  t   0.

(1)

Nghiệm tổng quát của phương trình (1 ) được cho bởi công thức:

y  t   a cos ct  b sin ct ,
với a, b là hằng số. Tất cả các hàm số có công thức trên đều thỏa mãn phương
trình (1), và cũng rõ ràng, chỉ các hàm này là nghiệm của phương trình đã
cho.
Trong biểu y  t  ở trên, với đại lượng c đã cho, a và b có thể đồng thời
là số thực. Để xác định nghiệm riêng của phương trình, ta phải đặt điều kiện
ban đầu cho hai hằng số chưa biết a và b . Chẳng hạn, nếu đã cho y  0  và
y  0  là vị trí ban đầu và vận tốc ban đầu của vật thì nghiệm của bài toán vật

lý được cho bởi công thức:
y  t   y  0  cos ct 

Vũ Thị Cúc

y  0 
sin ct.
c

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Đơn giản ta có thể kiểm tra được rằng: tồn tại hằng số A  0 và   R sao
cho:
a cos ct  b sin ct  A cos  ct    .

Theo cách lý giải vật lý trên, gọi A  a 2  b 2 là biên độ của dao động,
c là tần số tự nhiên,  là pha (xác định duy nhất từ bội số nguyên của 2 ) và

2 c là chu kỳ của chuyển động.

Đồ thị tiêu biểu của hàm số A   cos ct    được minh họa trong hình
2, hình đại diện là một đường lượn sóng, nó thu được khi tịnh tiến và dãn ra
(hoặc co lại) của đồ thị hàm số cos t .
Ta quan sát hai chú ý trong phần ví dụ chuyển động của hàm điều hòa
đơn giản. Chú ý một là sự diễn tả toán học của phần lớn các hệ dao động cơ
bản, gọi là dao động điều hòa đơn giản, bao gồm các hàm lượng giác cơ sở
của sin t , cos t .

Hình 2. Đồ thị của hàm số A   cos ct   
Điều này rất quan trọng vì sau đây ta sẽ nhắc lại mối quan hệ giữa
những hàm này với số phức, như trong công thức Euler’s eit  cos t  i sin t .
Nhận xét thứ hai là hàm điều hòa đơn giản được coi như một hàm theo biến
thời gian với hai điều kiện ban đầu, một để xác định vị trí, một để xác định

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

vận tốc (ví dụ, tại thời điểm t  0 ). Nhiều hệ dao động tổng quát hơn cũng có
chung tính chất này, như chúng ta sẽ thấy ở bên dưới.
1.1.2 Sóng đứng và sóng dịch chuyển
Như ta thấy, dao động của sợi dây có thể xem là chuyển động của sóng
một chiều. Bây giờ, ta sẽ mô tả hai loại chuyển động có biểu diễn là đồ thị
đơn giản.
Loại thứ nhất, ta khảo sát sóng đứng. Đó là những chuyển động được
mô tả bằng đồ thị y  u  x, t  theo biến thời gian t , sao cho y  u  x, t  như
hình 3 .
Nói cách khác, tồn tại hình dạng ban đầu y    x  biểu diễn sóng tại
thời điểm t  0 , và một phần tử khuyêch đại   t  , phụ thuộc vào thời gian t ,
sao cho y  u  x, t  , với:
u  x, t     x   t 

Sự tự nhiên của sóng đứng gợi ý cho ta ý tưởng về phương pháp tách
biến trong phương trình đạo hàm riêng.
Loại chuyển động thứ hai của sóng thường được thấy trong tự nhiên là
sóng dịch chuyển. Biểu diễn của nó đặc biệt đơn giản:

Hình 3. Sóng đứng tại hai thời điểm khác nhau t  0 và t  t0

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

tồn tại hình dạng ban đầu F  x  sao cho u  x, t  bằng F  x  khi t  0 . Khi
t tăng, biên dịch chuyển sang phải một đoạn ct , với c là một hằng số dương,

hay:
u  x, t   F  x  ct  .

Về đồ thị, các vị trí này được mô tả trong hình 4.

Hình 4. Sóng dịch chuyển tại hai thời điểm khác nhau t  0 và t  t0
Vì sóng dịch chuyển theo thời gian t với tốc độ c , nên vận tốc của sóng
là hằng số. Hàm F  x  ct  là sóng dịch chuyển một chiều chuyển động sang
bên phải. Tương tự, u  x, t   F  x  ct  là sóng dịch chuyển một chiều chuyển
động sang bên trái.
1.1.3 Điều hòa và sự chồng chất của âm
Hiện tượng vật lý cuối cùng mà ta muốn đề cập đến (không đi vào chi
tiết) là hiện tượng mà các nhạc công đã phát hiện ra từ rất lâu. Đó là hòa âm.
Âm nghe được là hợp âm bằng cách kết hợp các âm bội được sinh ra tương
ứng từ âm sắc của nhạc cụ. Ý tưởng kết hợp hay chồng chất của các âm được
thực hiện ngay trong toán học dựa trên khái niệm cơ bản về sự tuyến tính,
như ta sẽ thấy ở bên dưới.

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Bây giờ chúng ta quay trở lại vấn đề chính, đó là mô tả chuyển động
của một sợi dây dao động. Đầu tiên, chúng ta rút ra phương trình sóng, đó là
phương trình đạo hàm riêng mô tả chuyển động của dây.
1.2 Nguồn gốc của phương trình truyền sóng
1.2.1 Bài toán
Tưởng tượng một sợi dây đồng nhất được đặt trên mặt phẳng Oxy , và
bị kéo theo hướng trục Ox từ x  0 đến x  L . Bằng cách nào đó làm cho sợi
dây dao động trong mặt phẳng đứng, để đơn giản ta coi mỗi điểm của sợi dây
dịch chuyển thẳng góc với trục Ox và trong cùng mặt phẳng. Khi đó,độ dịch
chuyển của nó y  u  x, t  là hàm số theo biến x và t , và mục tiêu là rút ra
được phương trình đạo hàm riêng biểu diễn hàm này.
1.2.2 Giải bài toán
Ta xem sợi dây bị chia thành hữu hạn N chất điểm (và xem mỗi chất
điểm là những hạt độc lập) phân phối đồng đều dọc theo trục Ox , hạt thứ n có
hoành độ xn  n L N . Do đó, chúng ta có thể hình dung sợi dây dao động như
một hệ gồm N hạt, mỗi hạt chỉ dao động theo phương thẳng đứng; tuy nhiên,
khác với dao động điều hòa đơn giản mà chúng ta đã xét ở trên, mỗi hạt sẽ
dao động như những mắt xích liên kết với các phần tử liền kề bởi độ căng của
sợi dây

Hình 5. Dao động của sợi dây như một hệ các khối lượng

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ta đặt yn  t   u  x, t  , và kí hiệu yn 1  yn  h , với h  L N . Nếu ta giả
sử sợi dây có hằng mật độ là   0 thì ta có thể coi khối lượng của mỗi hạt là

 h . Theo định luật Newton,  hy '' n  t  bằng lực tác dụng nên hạt thứ n . Ta
đưa ra giả sử đơn giản rằng lực này chịu ảnh hưởng của hai hạt lân cận, tức là
của hạt có hoành độ xn1 và xn1 (xem Hình 5). Ta giả sử thêm rằng lực (hay
độ căng) tác động từ bên phải của hạt thứ n tỉ lệ với  yn1  yn  h , trong đó h
là khoảng cách giữa xn1 và xn ; do đó ta có thể viết độ căng dây như sau:
 
   yn 1  yn  ,
h

trong đó   0 là hằng số bằng hệ số căng của dây.
Tương tự cũng có một lực như thế tác động từ bên trái, và nó là
 
   yn1  yn  .
h

Tổng hợp lực ta có, 2 lực này tác động chiều ngược nhau và tạo ra mối liên hệ
với sự dao động yn  t  , cụ thể là

 hyn t  

(2)


h

 y  t   y  t   2 y  t .
n 1

n 1

n

Một mặt:
yn 1  t   yn 1  t   2 yn  t   u  xn  h, t   u  xn  h, t   2u  xn , t  .

Mặt khác, với bất kỳ hàm thích hợp F  x  (hàm có đạo hàm cấp hai liên tục)
ta có
F  x  h   F  x  h   2F  x 
 F   x  khi h  0
h2

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Do đó sau khi chia (2) cho h và cho h tiến dần về 0 ( N tiến ra vô cùng), ta

có thể kết luận:
 2u
 2u
 2  2 ,
t
x

Hay
1  2u  2u
,

c 2 t 2 x 2

với c   

Công thức này được gọi là phương trình sóng một chiều, hay đơn giản
hơn là phương trình sóng. Hệ số c  0 được gọi là vận tộc của chuyển động.
Để có sự liên quan tới phương trình đạo hàm riêng, chúng ta có một
nhận xét toán học quan trọng. Ta phải làm điều này với thang tỉ lệ, hay theo
ngôn ngữ của vật lý là “sự thay đổi đơn vị”. Đó là, ta coi tọa độ x bằng

x  aX trong đó a là một số dương thích hợp. Bây giờ nhờ hệ tọa độ X mới,
đoạn 0  x  L trở thành 0  x  L a . Tương tự, ta có thể thay thế tọa độ thời
gian

t bởi

t  bT , với

b

là một số dương khác. Nếu ta đặt

U  X , T   u  x, t  thì khi đó:

U
u
a ,
X
x

2
 2U
2  u
,

a
X 2
x 2

tương tự với đạo hàm theo biến thời gian t . Vì vậy nếu ta chọn a và b một
cách phù hợp, chúng ta có thể biến đổi phương trình sóng một chiều thành
 2U  2U
,

T 2 X 2

điều này có tác dụng làm vận tốc c  1 . Hơn nữa, ta có thể tùy ý thay đổi đoạn

0  x  L thành 0  x   . Những điều này được thực hiện bằng cách cách đặt

a  L  , và b  L c . Sau khi giải được phương trình mới, ta quay lại giải

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

phương trình ban đầu bằng cách đổi ngược lại biến. Vì vậy, ta không làm
giảm tính tổng quát nếu xem phương trình sóng được cho trên đoạn  0,   với
vận tốc c  1 .
1.3 Nghiệm phương trình truyền sóng
Sau khi tìm được phương trình sóng của dây dao động, bây giờ chúng
ta trình bày hai cách để giải nó:
 sử dụng sóng dịch chuyển,
 sử dụng sự chồng chất của sóng đứng.
1.3.1 Nghiệm của phương trình truyền sóng
Để đơn giản hóa bài toán, ta giả sử c  1và L   , khi đó phương trình
cần giải có dạng:
 2u  2u
trên đoạn 0  x   , với t  0 .

t 2 x 2

Ta có các nhận xét quan trọng: nếu F là hàm khả vi cấp hai thì
u  x, t   F  x  t  và u  x, t   F  x  t  là nghiệm của phương trình sóng. Thật

vậy:
 2u
 u

F


 F 
 2u  2u
 x
x 2
u  x  t   F  x  
 2  2.
2
t
x
 u  F    u  F 
2
 t
t

Chú ý, đồ thị của u  x, t   F  x  t  tại thời điểm t  0 đơn giản chỉ là
đồ thị của F , tại thời điểm t  1 nó là đồ thị của F dịch sang phải một
khoảng bằng 1 . Do đó, ta thấy rằng F  x  t  là sóng dịch chuyển sang phải

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

với tốc độ bằng 1. Tương tự, u  x, t   F  x  t  là một sóng dịch chuyển sang
trái với tốc độ là 1. Các chuyển động này được miêu tả trong Hình 6.

Hình 6. Sóng dịch chuyển theo cả hai hướng.
Sự thảo luận của ta về âm và cách kết hợp của chúng giúp ta đưa đến
nhận xét rằng phương trình sóng là tuyến tính. Điều này có nghĩa là nếu
u  x, t  và v  x, t  là nghiệm riêng, thì  u  x, t    v  x, t  cũng là nghiệm, với

hằng số  và  bất kỳ. Do đó, ta có thể chồng chất hai sóng chạy theo những
hướng ngược chiều nhau để thấy rằng bất cứ khi nào F và G là hàm khả vi
cấp hai thì:
u  x, t   F  x  t   G  x  t 

là một nghiệm của phương trình sóng. Thật ra, ta sẽ chỉ ra rằng tất cả các
nghiệm của phương trình sóng đều có dạng như công thức này.
Ta tạm thời giả sử 0  x   và t  0 và giả sử u là hàm khả vi cấp hai
là nghiệm của phương trình sóng với mọi số thực x và t . Đặt   x  t ,

  x  t , định nghĩa v  ,   u  x, t  . Với cách đặt biến như này, v thỏa mãn
 2
 0.


Lấy tích phân hệ thức trên hai lần thu được   ,   F    G   , kéo theo

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
u  x, t   F  x  t   G  x  t  ,

với một vài hàm F và G .
Bây giờ ta kết hợp kết quả này với bài toán ban đầu, đó là, chuyển động
vật lí của sợi dây. Ở đó, ta đã đặt điều kiện 0  x   , hình dáng ban đầu của
sợi dây u  x, t   f  x  , và hai đầu của sợi dây cố định, tức là 0  x   , với

t  0 . Để sử dụng được kết quả đơn giản bên trên, đầu tiên ta thác triển f trên
toàn bộ R bằng cách biến nó thành hàm lẻ trên   ,   , tiếp theo biến nó tuần
hoàn theo x với chu kỳ 2 , và tương tự với nghiệm của bài toán u  x, t  .
Cuối cùng, đặt u  x, t   u  x, t  ,khi t  0 . Sự mở rộng của u là nghiệm của
bài toán trên toàn bộ R và u  x,0   f  x  với mọi x  R . Do đó,
u  x, t   F  x  t   G  x  t  , đặt t  0 ta thu được:
F  x   G  x   f  x .

Bởi vì có nhiều lựa chọn của F và G thỏa mãn đồng nhất thức này,
điều này gợi ý ta có thể áp đặt thêm một điều kiện ban đầu khác của u (tương
tự như hai điều kiện ban đầu của hàm điều hòa đơn giản), cụ thể là vận tốc
ban đầu của sợi dây, ta kí hiệu là g  x 

u
 x, 0   g  x  ,
t

hiển nhiên g  0   g    0 . Lặp lại, ta mở rộng g trên R bằng cách làm cho
nó lẻ trên   ,   và tuần hoàn với chu kỳ 2 . Hai điều kiện ban đầu của vị
trí và vận tốc chuyển thành hệ phương trình:
 F  x   G  x   f  x  ,

 F   x   G  x   g  x  .

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Lấy đạo hàm phương trình thứ nhất rồi cộng vào phương trình hai, ta được:
2F   x   f   x   g  x  .

Tương tự

2G  x   f   x   g  x  ,
do đó tồn tại hằng số C1 và C2 để
x

1
F  x    f  x    g  y  dy   C1
2
0


và
x

1
G  x    f  x    g  y  dy   C2 .
2
0


Bởi vì F  x   G  x   f  x  ta kết luận rằng C1  C2  0 , và vì vậy,
nghiệm cuối cùng của phương trình sóng với hai điều kiện ban đầu có dạng
x t

1
1
u  x, t    f  x  t   f  x  t     g  y dy.
2
2 x t
Dạng của nghiệm này được gọi là công thức D’ Alambert . Ta thấy rằng
việc thác triển f và g đảm bảo sợi dây luôn luôn có một đầu cố định, đó là:

u  0, t   u  , t   0 với mọi t .
Ta thấy, việc chuyển từ t  0 đến t  R và sau đó trở lại t  0 , mà ta đã
làm ở trên thể hiện tính chất đảo chiều thời gian của phương trình truyền sóng

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

dẫn đến một nghiệm u của phương trình truyền sóng với t  0 , chuyển thành
nghiệm u  được định nghĩa với thời gian t  0 , thiết lập đơn giản bằng cách
đặt u   x, t   u  x, t  , sự kiện này được sinh ra từ tính bất biến của phương
trình truyền sóng dưới phép biến đổi t  t .
1.3.2 Sự chồng chất của sóng đứng
Ta chuyển sang phương pháp thứ hai để giải phương trình truyền sóng
dựa trên hai kết luận cơ bản từ những quan sát vật lý thu được ở trên. Xét hiện
tượng sóng đứng, ta thấy nghiệm đặc biệt của phương trình sóng có dạng

 ( x)  t  . Phương pháp này cũng áp dụng được với các trường hợp khác (ví
dụ như phương trình nhiệt), được gọi là phương pháp tách biến. Khi đó do
tính tuyến tính của phương trình sóng, chúng ta mong muốn có thể kết hợp
những sóng thuần khiết thành tổ hợp âm phức tạp hơn của âm thanh. Tiếp tục
ý tưởng này, chúng ta mong rằng có thể biểu diễn nghiệm tổng quát của
phương trình sóng dưới dạng tổng các nghiệm riêng.
Chú ý, một vế của phương trình sóng chỉ liên quan đến vi phân theo
x còn vế còn lại chỉ liên đến vi phân theo t . Nhận xét này đưa ra thêm lý do

để tìm nghiệm của phương trình bằng công thức u  x, t    ( x)  t  (đó chính
là phép tách biến), với hy vọng đưa một phương trình đạo riêng khó thành
một hệ các phương trình vi phân thường đơn giản hơn. Trong trường hợp
phương trình truyền sóng, với u có dạng như ở trên, ta có:

  x    t      x   t  ,
và do đó

   t     x 

.
 t    x 

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nhận xét quan trọng là vế trái chỉ phụ thuộc vào biến t , và vế phải chỉ
phụ thuộc vào biến x . Điều này chỉ xảy ra khi cả hai vế của phương trình là
hằng số, cùng bằng một hằng số, gọi là  . Vì vậy, phương trình truyền sóng
có thể đưa về hệ về hệ sau:

   t     t   0

   x     x   0.

(3)

Ta tập trung chú ý vào phương trình đầu tiên của hệ trên. Đến bây giờ,
ta nhận ra phương trình mà ta thu được khi khảo sát có dạng chuyển động
điều hòa đơn giản. Chú ý, ta chỉ cần xét trường hợp   0 bởi vì khi   0 thì
nghiệm  sẽ không dao động khi thời gian thay đổi. Do đó, chúng ta có thể

viết   m2 , và nghiệm của phương trình có dạng:

  t   A cos mt  B sin mt.
Tương tự, ta tìm được nghiệm của phương trình thứ hai trong hệ (3) như sau

฀ sin mx.
  x   ฀A cos mx  B
Bây giờ ta quan tâm tới việc sợi dây có bị tác động tại x  0 và x   .
฀  0 , thì m phải là một số
Hay   0       0 kéo theo ฀A  0 , và nếu B

nguyên. Nếu m  0 thì nghiệm suy biến, và nếu m  1 , ta có thể đặt lại hằng
số và rút gọn thành trường hợp m  1 bởi vì hàm sin y là hàm lẻ và hàm

cos y là hàm chẵn. Cuối cùng, chúng ta có dự đoán với mỗi m  1 , hàm
um  x, t    A m cos mt  Bm sin mt  sin mx,
được xem như là một sóng đứng, là nghiệm của phương trình sóng. Chú ý,
với những biến đổi ở trên, ta chia cho  và  , nhưng đôi khi chúng lại bằng

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

0 , do đó chúng ta phải kiểm tra lại bằng tay xem sóng đứng u m có là có là
nghiệm của phương trình không. Cụ thể:

um
 m  Am cos mt  Bm sin mt  cos mx
x
 2u
 2m  m2  Am cos mt  Bm sin mt  sin mx
x
um
 m   Am sin mt  Bm cos mt  sin mx
t
 2u
 2m  m2  Am cos mt  Bm sin mt  sin mx
t

Từ (*) và (**) 

 *

**

 2u m  2u m

x
t

Trước khi tiếp tục nghiên cứu vấn đề khó hơn của phương trình sóng,
chúng ta dừng lại để thảo luận chi tiết hơn về sóng đứng. Thuật ngữ xuất phát
từ việc quan sát đồ thì của um  x, t  với mỗi t cố định. Đầu tiên giả sử rằng

m  1 , và chọn u  x, t   cos t sin x . Khi đó, Hình 7 (a) là đồ thị của u tại thời
điểm t khác nhau.

(a)

(b)

Hình 7. Âm cơ bản(a) và âm bội (b) tại các thời điểm khác nhau.

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Trường hợp m  1 tương ứng với âm cơ bản hay họa âm đầu tiên của
sợi dây dao động
Bây giờ cho m  2 và quan sát u  x, t   cos 2t sin 2 x . Nó tương ứng
với âm bội đầu tiên hay họa âm thứ hai, chuyển động này được miêu tả trong
 
Hình 7(b). Chú ý, u  , t   0 với mọi t . Những điểm này cố định theo thời
2 

gian, và được gọi là các nút, những điểm khác mà chuyển động với biên độ
cực đại được gọi là bụng sóng.
Với giá trị m lớn hơn, ta thu được âm bội hơn hay điều hòa cao hơn.
Chú ý, khi m tăng, tần số tằng, và chu kỳ 2 m giảm. Do đó, các âm cơ bản
có tần số thấp hơn âm bội.
Bây giờ chúng ta quay trở lại bài toán ban đầu. Xin nhắc lại phương

trình sóng là tuyến tính theo nghĩa rằng nếu u và v là nghiệm của phương
trình thì  u   v cũng là nghiệm với giá trị  ,  bất kỳ. Việc này cho phép
chúng ta tạo ra nhiều nghiệm bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính của sóng đứng
u m . Kỹ thuật này, được gọi là sự chồng chất nghiệm, cho ta gợi ý cuối cùng

về nghiệm của phương trình sóng:


u  x, t     A m cos mt  Bm sin mt  sin mx.

(4)

m 1

Chú ý rằng tổng trên là vô hạn, dó đó câu hỏi về sự hội tụ được đặt ra,
nhưng lập luận của ta đến giờ đều đúng, ta sẽ không quan tâm đến nó ở thời
điểm này.
Giả sử công thức trên là tất cả các nghiệm của phương trình sóng. Nếu
chúng ta yêu cầu vị trị ban đầu của sợi dây tại thời điểm t  0 được cho dưới

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

dạng đồ thị của hàm f trên đoạn

0,  ,

với f  0   f    0 , ta có

u  x,0   f  x  , do đó:


A
m 1

m

sin mx  f  x  .

Bởi vì hình dạng ban đầu của sợi dây có thể là bất kỳ một hàm f thích
hợp nào đó, nên chúng ta đưa ra một câu hỏi cơ bản sau:
Cho một hàm f trên đoạn  0,   , (với f  0   f    0 ), ta thể tìm
được hệ số Am sao cho:


f  x    A m sin mx

(5)

hay không?

m 1

Câu hỏi này được phát biểu không chặt chẽ tuy nhiên nó là bài toán cơ

bản phát sinh ra sự nghiên cứu của giải tích Fourier.
Một nhận xét đơn giản cho phép ta dự đoán công thức của Am nếu khai
triển (5) đúng. Thật vậy, chúng ta nhân hai vế của nó với sin nx và lấy tích
phân trên đoạn  0,   ; biến đổi ta thu được:



o



 

f  x  sin nxdx     A m sin mx sin nxdx

0  m1
=







 A  sin mx sin nxdx  A . 2 ,
m

m 1

n

0

trong đó ta đã sử dụng


0,

0



 sin mx sin nxdx  

Vũ Thị Cúc

m  n,
2,

m  n.

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Do đó, có thể dự đoán Am là hệ số Fourier sine thứ n của f , đó là:
(6)

A 
n

2



 f  x  sin nxdx.
0

Chúng ta sẽ quay trở lại công thức này và một công thức tương tự như thế
sau.
Ta có thể chuyển câu hỏi về chuỗi hàm sin Fourier trên đoạn  0,  
sang câu hỏi tổng quát hơn trên đoạn   ,   . Nếu ta có thể biểu diễn hàm f
dưới dạng chuỗi hàm sin trên đoạn  0,   , thì khai triển này cũng đúng trên
đoạn   ,   nếu ta thác triển f trên đoạn này bằng cách biến nó thành hàm
lẻ. Tương tự, chúng ta cũng có thể đặt ra câu hỏi một hàm chẵn g  x  trên
đoạn   ,   có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi hàm cos hay không, cụ
thể:


g  x    Am cos mx.
m 0

Tổng quát hơn, bởi vì bất kỳ hàm F nào trên đoạn   ,   cũng có thể
được biểu diễn thành f  g , trong đó f là hàm lẻ và g là hàm chẵn, nên
chúng ta đặt ra câu hỏi F có thể được viết lại dưới dạng




m 1

m 0

F  x    A m sin mx   Am cos mx,

Hay bằng cách áp dụng đồng nhất thức Euler’s eix  cos x  i sin x , ta
mong muốn F có dạng:


F  x    ameimx .
m 1

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tương tự với công thức (6) , ta có thể sử dụng kết quả :
1
2



 e

imx



0,
e  inx dx  
1,

nm
n  m.

để nhận thấy
an 

1
2



 F  x  e

 inx

dx.



Đại lượng a n được gọi là hệ số Fourier thứ n của F .

Ta có thể viết lại bài toán đặt ra ở trên như sau:
Câu hỏi: Cho hàm F xác định trên   ,   , với hằng số Fourier xác định
ở trên, liệu điều sau còn đúng
F  x 

(7)



ae

m 

m

imx

hay không?

Công thức của bài toán này, có dạng số mũ phức, sẽ được ta áp dụng
trong hầu hết các trường hợp dưới đây.
Quay trở lại với phương trình truyền sóng. Để xây dựng công thức hóa
bài toán một cách chính xác, chúng ta phải đặt hai điều kiện ban đầu như đã
gặp ở chuyển động điều hòa đơn giản và các sóng đứng đã chỉ ra. Đòi hỏi, u
thỏa mãn phương trình vi phân và hai điều kiện:
u  x,0   f  x  và

Vũ Thị Cúc

u

 x,0   g  x  ,
t

K35E – Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ở đó f và g là những hàm cho trước. Lưu ý rằng điều này phù hợp với
(4), khi f với g có thể biểu diễn dưới dạng:
f  x 



A

m 11

m

sin mx và

g  x 



 mB

m 11

m

sin mx.

1.4.Ví dụ: Sợi dây được kéo
Bây giờ ta áp dụng các lập luận ở trên vào bài toán kéo sợi dây. Để đơn
giản, ta chọn đơn vị sao cho sợi dây nằm trong đoạn  0,   , và thỏa mãn
phương trình truyền sóng với c  1. Giả sử sợi dây được kéo đến độ cao h tại
điểm p với 0  p   ; đó là vị trí ban đầu. Nghĩa là, ta kéo sợi dây sao cho vị
trí đầu tiên của sợi dây có dạng hình tam giác cho bởi:

 xh
 p ,
f  x  
 h   x  ,
   h

0 x p
p  x ,

Được minh họa trong đồ thị 8:

Hình 8. Vị trí ban đầu của sợi dây bị kéo

Vũ Thị Cúc

K35E – Sp Toán