Luận văn sư phạm Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục và toán tử tuyến tính liên tục trên không gian C[a.b]

Khóa lu n t t nghi p

TR

Mai Th Thanh Xuân

NG

IH CS

PH M HÀ N I 2

KHOA TOÁN

------

MAI TH THANH XUÂN

D NG T NG QUÁT C A
PHI M HÀM TUY N TÍNH LIÊN T C
VÀ TOÁN T

TUY N TÍNH LIÊN T C

TRÊN KHÔNG GIAN C[ a,b]
KHOÁ LU N T T NGHI P

IH C

Chuyên ngành : Gi i tích

HÀ N I - 2010

K32A Khoa Toán

3


Khóa lu n t t nghi p

TR

Mai Th Thanh Xuân

NG

IH CS

PH M HÀ N I 2

KHOA TOÁN

-----MAI TH THANH XUÂN

D NG T NG QUÁT C A
PHI M HÀM TUY N TÍNH LIÊN T C
VÀ TOÁN T

TUY N TÍNH LIÊN T C

TRÊN KHÔNG GIAN C

[ a ,b ]

KHOÁ LU N T T NGHI P

IH C

Chuyên ngành : Gi i tích
Ng

ih

ng d n khoa h c
TS.Khu t V n Ninh

HÀ N I - 2010

K32A Khoa Toán

4


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

L IC M

Khóa lu n đ

N

c hoàn thành v i s h

chu đáo c a TS. Khu t V n Ninh. Tôi xin đ

ng d n ch b o nhi t tình và
c trân tr ng bày t lòng bi t n

sâu s c t i th y TS. Khu t V n Ninh.
Nhân đây tôi xin trân tr ng c m n th y ph n bi n đã dành th i gian
đ c và đóng góp nhi u ý ki n quý báu cho tôi đ tôi có th hoàn thành t t
khóa lu n này, đ ng th i tôi xin trân tr ng c m n s quan tâm, giúp đ c a
các th y cô trong tr

ng

i h c S ph m Hà N i 2 đã t o đi u ki n giúp đ

tôi hoàn thành khóa lu n này.
Vì có nhi u h n ch v n ng l c và th i gian, khóa lu n này ch c ch n
không th tránh kh i nhi u thi u sót. Tôi hi v ng nh n đ

c nhi u ý ki n

đóng góp c a th y cô và các b n.
Cu i cùng em chúc các th y cô m nh kho , công tác t t đ c ng hi n
nhi u h n n a cho s nghi p giáo d c c a đ t n
trên con đ

c và thành công h n n a

ng nghiên c u khoa h c c a mình.

Hà N i, ngày 01 tháng 05 n m 2010
Sinh viên
MAI TH THANH XUÂN

K32A Khoa Toán

5


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

Tài li u tham kh o
1. PGS.TS.Nguy n Ph Hy [2006], Gi i tích hàm, NXB Khoa H c và
K Thu t.
2. Nguy n Xuân Liêm [2003], Bài t p gi i tích hàm, NXB Giáo D c.
3. Nguy n Duy Ti n [2007], Bài gi ng gi i tích (t p 1), NXB
Qu c Gia Hà N i.
4. Hoàng T y [2005], Hàm th c và gi i tích hàm, NXB
Gia Hà N i.

iH c

i H c Qu c

5.
c Thái và Nguy n Ti n D ng [2009], Nh p môn hi n đ i xác
su t và th ng kê, Trung tâm toán tài chính và công ngh Hà N i.
6. GS.TSKH.Nguy n V n Khuê và GS.TSKH.Lê M u H i [2001], C
s lý thuy t hàm và gi i tích hàm (t p 1), NXB Giáo D c.
7. A.N.Cônmôgôrôp, X.V.Fomin [1971], C s lý thuy t hàm và gi i
tích hàm (t p 1), NXB Giáo D c.
M CL C

L i nói đ u ....................................................................................................... 8
Ch

ng 1. TệCH PHÂN STIELJES ........................................................... 10

1.1. Hàm s có bi n phân b ch n ............................................................... 10
1.2. Tích phân Rieman - Stieljes ................................................................. 19
1.3. Tích Phân Lebesgue - Stieljes ............................................................. 27

K32A Khoa Toán

6


Khóa lu n t t nghi p

Ch

Mai Th Thanh Xuân

ng 2. D NG T NG QUÁT C A PHI M HÀM TUY N TÍNH

LIÊN T C TRÊN KHÔNG GIAN

C[a ,b] .............................................. 29

2.1. Không gian C[ a,b] .................................................................................. 29
2.2. Không gian liên h p c a không gian C[ a ,b ] ........................................... 32
2.3.Không gian các hàm có bi n phân b ch n trên đo n [a , b] ................. 34
2.4. Phi m hàm tuy n tính liên t c trong không gian C[ a ,b ] ....................... 35
Ch

ng 3. TOÁN T

TUY N TÍNH LIÊN T C TRÊN KHÔNG GIAN

C[a ,b] .............................................................................................................. 43
3.1. Không gian các toán t tuy n tính liên t c trên không gian C[ a ,b ] ...... 43
3.2. Toán t tuy n tính liên t c trên không gian C[ a ,b ] ............................... 45
K t lu n .......................................................................................................... 50

K32A Khoa Toán

7


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

L i nói đ u

Gi i tích hàm là m t ngành c a gi i tích toán h c nghiên c u v các
không gian vect đ

c trang b thêm các c u trúc tôpô và các toán t tuy n

tính liên t c gi a chúng. Ra đ i t đ u th k 20, đ n nay gi i tích hàm đã đ t
đ

c nh ng thành t u quan tr ng và tr thành chu n m c trong vi c nghiên

c u và trình b y các ki n th c toán h c. Gi i tích hàm đã đ
ch

ng trình đ i h c nh m t ph n b t bu c, tuy th v i l

c đ a vào

ng th i gian có

h n chúng ta khó có th nghiên c u sâu vào m t v n đ nào đó, bên c nh đó
n i dung c a gi i tích hàm r t phong phú nh : Không gian vect tôpô l i đ a
ph

ng (không gian đ nh chu n, không gian Banach, không gian Hilbert,…),

các toán t tuy n tính liên t c gi a các không gian,…
b

c đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c và tìm hi u sâu v

gi i tích hàm, em đã ch n đ tài: “ D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n
tính và toán t tuy n tính trên không gian C[ a ,b ] ”. Khóa lu n này nghiên c u
v m t v n đ quan tr ng c a gi i tích hàm đó là không gian các hàm liên t c
trên đo n [a , b] và các toán t tuy n tính liên t c trên nó.
N i dung c a khóa lu n bao g m:
Ch

ng 1. Tích phân Stieljes: Ch

ng này đ a ra các ki n th c ban

đ u v hàm có bi n phân b ch n và tích phân Stieljes (trong đó trình b y v
tích phân Rieman - Stieljes và tích phân Lebesgue - Stieljes ).

K32A Khoa Toán

8


Khóa lu n t t nghi p

Ch

Mai Th Thanh Xuân

ng 2. D ng t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên

không gian C[ a,b] : Ch

ng này vi t v không gian Banach Céa ,bù và d ng

ëê

ú
û

t ng quát c a phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian này.
Ch

ng 3. Toán t tuy n tính liên t c trên không gian C[ a,b]

Do l n đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c, th i gian có h n và
trình đ còn non tr cho nên các v n đ đ

c trình bày trong bài không tránh

kh i nh ng thi u sót nh t đ nh. Vì v y em r t mong nh n đ
góp c a th y cô và b n đ c đ khóa lu n đ

c ý ki n đóng

c hoàn thi n h n.

Em xin chân thành c m n.
Hà n i. ngày 01 tháng 05 n m
2010
Sinh viên
Mai Th Thanh Xuân

K32A Khoa Toán

9


Khóa lu n t t nghi p

Ch

Mai Th Thanh Xuân

ng 1. TệCH PHÂN STIELJES

1.1. Hàm s có bi n phân b ch n
nh ngh a 1.1.1 (Bi n phân b ch n)
Cho hàm s

F = F (x) xác đ nh trên đo n [a , b] . Ta g i bi n phân c a

hàm F trên [a , b] là c n trên đúng c a t ng

n- 1

åi= 0 F (xi+ 1)- F (xi )

l y theo t t c

các phép phân ho ch đo n [a , b] b i các đi m chia a  x0  x1  ...  xn  b . Kí
hi u là Vab (F ) .
T

 n1


đó ta có: Vab  F   sup  F  xi1   F  xi   l y theo phép phân
p  i 0




ho ch P nào đó.
Hàm F g i là hàm có bi n phân b ch n n u Vab (F )< + ¥ .
b

Theo đ nh ngh a c a bi n phân b ch n ta có: V  F    dF .
b
a

a

Ví d 1: Tìm bi n phân c a các hàm s sau trên đo n 0,1 .
a)

f  x  x.

b)

g  x  kf  x  m bi t r ng Vab  f    .

K32A Khoa Toán

10

Khóa lu n t t nghi p

c)

 1
 3

h x   1  x
 1



Mai Th Thanh Xuân

nÕu x=0
nÕu 0nÕu x=1

Bài gi i
a) Phép phân ho ch P chia đo n 0,1 thành n đo n b i các đi m chia

0  x0  x1  ...  xn1  xn  1 .
n 1

Khi đó ta có S   f  xi 1   f  xi 
i 0

n 1

  xi 1  xi  xn  x0  1
i 0

V y V01  f   1.
b) Ta có V01  f   
Phép phân ho ch P chia đo n 0,1 thành n đo n b i các đi m chia

0  x0  x1  ...  xn1  xn  1 .
n 1

Khi đó S   g  xi 1   g  xi 
i 0

n 1

  kf  xi 1   m  kf  xi   m
i 0

n 1

 k  f  xi 1   f  xi 
i 0

K32A Khoa Toán

11


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

V y V01  g   kV01  f   k  .

 1
 3

h x   1  x
 1



c)

nÕu x=0
nÕu 0nÕu x=1

Phép phân ho ch P chia đo n 0,1 thành n đo n b i các đi m chia

0  x0  x1  ...  xn1  xn  1 . Khi đó ta có:
n 1

S   h  xi 1    xi 
i 0

 h  x1   h  x0   h  x2   h  x1   ...  h  xn1   h  xn2   h  xn   h  xn1 
 1  x1 

2

8
1
 1  x1  1  xn1    1  1  xn1     2  xn1  x1  
3
3
3

8
V y V01  h   .
3

M t s tính ch t c a hàm có bi n phân b ch n.
nh lý 1.1.2
N u hàm s

f đ n đi u, không gi m thì f có bi n phân b ch n và

Vab  f   f  b   f  a  .

nh lý 1.1.3
T ng hay hi u c a hai hàm có bi n phân b ch n là m t hàm có bi n phân
b ch n, và Vab  f  g   Vab  f   Vab  g  .
K32A Khoa Toán

12


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

nh lý 1.1.4
Hàm s

f có bi n phân b ch n thì f có đ o hàm h u kh p n i.

nh lý 1.1.5
Cho hàm s

f xác đ nh trên đo n [a , b] và a  c  b thì

Vab  f   Vac  f   Vcb  f  .

nh lý 1.1.6
Cho hàm s

f

có bi n phân b ch n trên đo n [a , b] , hàm s

F  x  Vax  f  là bi n phân c a hàm f trên đo n  a , x . Khi đó hàm f liên

t c t i đi m x0   a , b thì hàm F c ng liên t c t i đi m x0 .
H qu
N u hàm s

f là hàm gián đo n có bi n phân b ch n trên đo n [a , b] thì

F  x  Vax  f  c ng gián đo n trên đo n [a , b] , trong đó đi m gián đo n c a

hai hàm s là trùng nhau và t i m i đi m gián đo n x0   a , b x y ra các đ ng
th c sau: f  x0   f  x0   F  x0   F  x0 

f  x0   f  x0   F  x0   F  x0 
nh lý 1.1.7
Hàm s

f có bi n phân b ch n trên đo n [a , b] thi hàm f c ng có bi n

phân b ch n trên đo n này, và Vab  f   Vab  f  .
nh lý 1.1.8

K32A Khoa Toán

13


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

Cho f là hàm s liên t c trên đo n [a , b] , khi đó f có bi n phân b ch n
trên đo n [a , b] khi và ch khi f c ng có bi n phân b ch n trên đo n [a , b] ,
và Vab  f   Vab  f  .
Ví d 2: Ta xây d ng m t ví d v hàm s liên t c trên [a , b] có bi n phân
không b ch n trên đo n này.

Xét hàm s




nÕu x  0
 xcos
f ( x)  
x
0
nÕu x  0

ho ch P chia đo n [0,1] b i các đi m
1
1
1
 x2n1 
 ...  x2   x1  1. Khi đó ta có
0  x2n1  x2n 
2n
2n  1
2

Phép

phân

chia

 x j nÕu j ch½n
f (xj )  
 x j nÕu j lÎ .
2n

2n

j 1

j 1

Suy ra S   f ( x j 1)  f ( x j )  

2n
1
1
1
  2
j 1 j
j 1 j

V i n đ l n ta có S l n tùy ý  V01  f    .
nh lý 1.1.9
i u ki n c n và đ đ hàm s

f có bi n phân b ch n trên [a , b] là t n

t i hàm s t ng     x sao cho: x  a , b, h  0 : x  h a , b thì

f  x  h   f  x    x  h     x  .
Ch ng minh
( i u ki n c n )

K32A Khoa Toán

14


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

Xet hàm f là hàm có bi n phân b ch n trên đo n [a , b] . Ch n

    x  Vax  f  là hàm t ng trên [a , b] , khi đó ta có x  a , b, h  0 :
x  h  a , b thì
f  x  h   f  x  Vxx h  f  = Vaxh  f   Vax  f  =   x  h     x .
( i u kiên đ )
Cho f là hàm xác đ nh trên đo n [a , b] và  là hàm t ng trên đo n
[a , b] ta có x  a , b, h  0 :

x  h  a , b thì

f  x  h   f  x 

 Vxx h  f  = Vaxh  f   Vax  f  =   x  h     x .

Phép phân ho ch P chia đo n  a , b thành n đo n b i các đi m chia

a  x0  x1  ...  xn1  xn  b .
n 1

n 1

i 0

i 0

S   f  xi 1   f  xi      xi 1     xi 

  b    a 
V y v i phép phân ho ch

P

b t kì thì

S   b    a 

hay

Vab  f     b     a  hay f là hàm có bi n phân b ch n trên đo n [a , b] .

H qu
Hàm s

f có bi n phân b ch n khi và ch khi nó bi u di n đ

cd

i

d ng hi u c a hai hàm s đ n đi u không gi m.
Ch ng minh

K32A Khoa Toán

15


Khóa lu n t t nghi p

Ta

Mai Th Thanh Xuân

đ

di n

bi u

c

f  x    x    x

trong

đó

  x  Vax  f  ,   x     x  f  x  . Hi n nhiên ta có  là hàm đ n đi u
không gi m.
Ta xét hàm 

ta có: x  a , b, h  0 sao cho x  h a , b thì

  x  h    x     x  h  f  x  h    x   f  x  , mà theo đ nh lý ta có:
x  a , b, h  0 : x  h  a , b thì f  x  h   f  x    x  h     x .
V y   x  h    x   0   là hàm đ n đi u không gi m.
Chi u ng

c l i có đ

c do đ nh lý 1.1.2 và đ nh lý 1.1.3.

nh lý 1.1.10
N u hàm f có bi n phân b ch n trên đo n 0,1,     x là hàm liên
t c, t ng th c s

trên đo n  ,   sao cho     0,     1 thì hàm

F  x  f   x  có bi n phân b ch n trên đo n  ,   , và V01  f   V  F  .
Ch ng minh
Gi s F có bi n phân không b ch n trên đo n  ,   , khi đó v i m i s
t nhiên M, ta có th tìm đ

c m t phép phân ho ch P chia đo n  ,  

thành n đo n b i các đi m chia   x0  x1  ...  xn1  xn   sao cho
n 1

 F x   F x   M .
i 0

i 1

i

K32A Khoa Toán

16


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

T phép phân ho ch P ta thi t l p phép phân ho ch P ' , phép phân ho ch
này chia đo n 0,1 thành n đo n b i các đi m chia 0  t0  t1  ...  tn  1 v i

 i  0, n .

ti    xi 

n 1

Ta có

S   f  ti 1   f  ti 
i 0

n 1

  f   xi 1    f   xi  
i 0

n 1

  F  xi 1   F  xi   M
i 0

n1

V y S   f  ti 1   f  ti   M  M  ฀  , trái v i gi thuy t hàm f có bi n
i 0

phân b ch n trên đo n 0,1 . V y đi u gi s là sai hay F có bi n phân b
ch n trên đo n  ,   .
n 1

Ta l i có

n 1

 f t   f t    F  x   F  x 
i 0

i 1

i

i 0

i 1

i

 V01  f   V  F  .

Ví d 3: Cho hàm s

 x2
nÕu x  [0,1)

f  x   5
nÕu x  1
 x  3 nÕu x  (1,2]


Tìm V01  f  , V12  f  , V02  f 
Bài gi i

K32A Khoa Toán

17


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

+ ) Tìm V01  f 
Phân

ho ch

đo n

0,1

thành

n

đo n

b i

các

đi m chia

0  t0  t1  ...  tn  1
n 1

Ta có S   f  ti 1   f  ti  
i 0

 f  t1   f  t0   f  t2   f  t1   ...  f  t n1   f t n2   f t n   f t n1 



 





 



 t12  0  t22  t12  ...  tn21  tn22  5  tn21  5
V y V01  f   sup S  5

( P là phép phân ho ch đo n [a , b] b t kì)

p

+ ) Tìm V12  f 
Phân

ho ch

đo n

1,2

thành

n

đo n

b i

các

đi m chia

1  x0  x1  ...  xn  2
n 1

Ta có: S '   f  xi 1   f  xi  
i 0

 f  x1   f  x0   f  x2   f  x1   ...  f  xn   f  xn1 
  x1  3  5  x2  3   x1  3  ...  xn  3   xn1  3

  x1  2  xn  x1  4  2x1  2
V y V12  f   sup S'  2

( P là phép phân ho ch đo n [a , b] )

p

Ta l i có V02  f   V01  f   V12  f   7 .

K32A Khoa Toán

18


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

1.2. Tích phân Rieman - Stieljes
nh ngh a 1.2.1 (Tích phân Rieman - Stieljes)
Cho hàm s
b i

các

f và g xác đ nh trên đo n [a , b] . Ta phân ho ch đo n [a , b]

đi m

n- 1

S=

chia

åi= 0 f (xi )éêëg (xi+ 1)- g (xi )ùúû

a  x0  x1  ...  xn  b

và

l p

t ng

trong đó xi là m t đi m b t kì trên đo n

éx , x ù, i = 0, n - 1 . N u khi max ( x - x ) ® 0 thì t ng S d n đ n m t gi i
i
ú
ëê i i+ 1 û
i= 0,n- 1 i+ 1

h n không ph thu c vào cách phân ho ch đo n [a , b] và cách ch n đi m xi
thì gi i h n đó g i là tích phân Rieman - Stieljes (Hay tích phân Stieljes) c a
b

hàm f theo g trên đo n [a , b] và kí hi u nh sau: (R.S)ò f (x)dg (x) ho c
a

b

(S)òa f (x)dg (x).
nh lý 1.2.2 ( i u ki n t n t i tích phân Rieman - Stieljes)
N u hàm f Î C[ a ,b] và g là hàm có bi n phân b ch n trên đo n [a , b] thì
b

t n t i tích phân Rieman - Stieljes: (S)ò f (x)dg (x).
a

Ch ng minh
Do f là hàm liên t c trên [a , b] nên f liên t c đ u trên đo n [a , b] ta có:

" e > 0, $ d > 0 sao cho f (x '')- f (x ') <

K32A Khoa Toán

e
2Vab ( g )

, " x ', x '': x ''- x ' < d .

19


Khúa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuõn

Ta l y hai phộp phõn ho ch P1, P2 chia o n [a , b] thnh nh ng o n cú
t quỏ d , trờn chỳng ta l y nh ng i m tựy ý v l p t ng tớch

di khụng v
phõn S1, S2 t

ng ng. Ta s ch ng minh S1 - S2 < e .

Gi s phộp phõn ho ch P1 cú cỏc i m chia: a = x0 < x1 < ... < xn = b thỡ
ta cú t ng tớch phõn S1 t

ng

n- 1

ng l: S1 =

ồi= 0 f (x1)ộờởg (xi+ 1)- g (xi )ựỳỷ

v i

xi ẻ ộởờxi ; xi+ 1 ựỷỳ.

N u l y t t c cỏc i m chia c a hai phộp phõn ho ch ta cú phộp phõn
ho ch o n [a , b] th ba, ta kớ hi u l P3 , phộp phõn ho ch ny t t h n
phộp phõn ho ch P1 v P2 . G i cỏc i m chia c a cỏch phõn ho ch ny l:
a = x0 = x0(0) < x0(1) < ... < x0(m ) = x1 = x1(0) < .... < x1(m ) = x2 = x2(0) < ... < xn(m- 1 ) = xn = b
0

Ta cú t ng tớch phõn t

n- 1

1

ng ng: S =

n- 1 mi - 1

ồi= 0 ồj= 0

ổ j ửộ ổ j+ 1 ử
ổ j ửự
f ỗỗxi( )ữữờờg ỗỗỗxi( )ữữữ- g ỗỗxi( )ữữỳỳ Trong
ố ứ ố
ố ứ
ứ

ở

ỷ

ộ j
j+ 1 ự
j
ú xi( ) ẻ ờxi( ); xi( ) ỳ.
ờở

ỳ
ỷ

Vỡ trong phộp phõn ho ch P1, P2 , P3 cỏc o n chia u cú di khụng
v

ổ j+ 1 ử
e
ổ jử
t quỏ d nờn v i i , j b t kỡ ta luụn cú: f ỗỗỗxi( )ữữữ- f ỗỗxi( )ữữ <
b
ố
ứ
ố
ứ
2Va (g )
ổ
ố

ử

ứ

f ỗỗxi( )ữữ- f (xi ) <

ị S - S1 =

n- 1 mi - 1

ồi= 0 ồj= 0

K32A Khoa Toỏn

j

ổ j ửộ ổ j+ 1 ử
ổ j ửự
f ỗỗxi( )ữữờờg ỗỗỗxi( )ữữữ- g ỗỗxi( )ữữỳỳố ứ ố
ố ứ
ứ
ở

ỷ

e
2Vab

(g )

n- 1

ồi= 0 f (xi ) ờởộg (xi+ 1)- g (xi )ỳỷự=
20


Khúa lu n t t nghi p

=

Mai Th Thanh Xuõn

n- 1 ỡù mi - 1

ớù
ù
i= 0 ùợù

ồ ồj= 0

n- 1 ùỡ mi - 1

ù
=
ớ
ù
i= 0 ùợù

ồ ồj= 0

=

<

ùỵ
ù

ỷ

ổ j ửộ ổ j+ 1 ử
ổ j ửự
f ỗỗxi( )ữữờờg ỗỗỗxi( )ữữữ- g ỗỗxi( )ữữỳỳố ứ ố
ố ứ
ứ
ở
ỷ

mi - 1

ồj= 0

ùỹ

f (xi ) ờộg (xi( j+ 1) )- g (xi( j) )ỳựýù
ở

ỷùù
ù
ỵ

ự
ựộ ổ ( j+ 1)ử

ổ jử
ổ ( j )ử
ữ
ỗ
ờ
ỳ
ữ
ỗ
ờf ỗỗxi( )ữ
ỳ
f
x
g
x
g
x
(
)
ữ
i ỳờ ỗ
ữ
ữỳ
ữ
ỗ i
ốỗ i ứ
ờ ố ứ
ứ
ỷở ố
j= 0 ở
ỷ

ồi= 0 ồ
ồi ồj

ổ j+ 1 ử
ổ jử
g ỗỗỗxi( )ữữữ- g ỗỗxi( )ữữ
ố ứ
ứ
(g ) ố

e
2Vab

e
2Vab

V y ta cú S - S1 <
T

ở

n- 1 mi - 1 ộ

n- 1 mi - 1

<

ỹ

ù
ổ j ửộ ổ j+ 1 ử
ổ j ửự
f ỗỗxi( )ữữờờg ỗỗỗxi( )ữữữ- g ỗỗxi( )ữữỳỳ- f (xi ) ờộg (xi+ 1 )- g (xi )ỳựýù
ố ứ ố
ố ứ
ứ
ở
ỷù

Vab (g ) =

(g )

e
.
2

e
.
2

ng t nh trờn ta cú S - S2 <

e
2

V y S1 - S2 = S1 - S + S - S2 Ê S1 - S + S - S2 < e .
L y dóy s d
m t s sn t

ng gi m en đ 0(n đ Ơ ), v i m i en ta u ch n

c

ng ng sao cho v i e = en ; s = s n i u ki n c a nh lý 1.2.2

c th a món. Ta cú s

c ch n ph thu c vo e , ta gi s dóy (s n ) l p

thnh dóy s gi m.
V i m i n ta u cú phộp phõn ho ch Pn chia o n ộờởa , bựỳỷ thnh cỏc o n
v i di khụng quỏ s n v t ng tớch phõn Sn t

K32A Khoa Toỏn

ng ng.

21


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

Ta ch ng minh (Sn ) là dãy c b n.
N u m  n thì t t c các đo n chia c a phép phân ho ch Pn , Pm đ u có đ
dài nh h n s n (s n > s m ) , do đó Sn - Sm < e , v y dãy (Sn ) là dãy c b n,

Sn = I .
nên $ nlim
®¥

Ta ch ng minh v i m i phép phân ho ch P b t kì ta đ u có I - S < e
v i S là t ng tích phân t
V i

m i

" n ³ N : Sn - I <
Ta luôn tìm đ

e> 0

ng ng c a phép phân ho ch P .
ta

ch n

s

t

nhiên

N

sao

cho

e
do nlim
Sn = I .
®¥
2

(

)

c s n0 ³ N sao cho en0 £

e
, S là t ng tích phân t
2 n0

ng

ng v i phép phân ho ch Pn0 _phép phân ho ch [a , b] thành các đo n có đ
dài nh h n s n0 .

S là t ng tích phân t

ng ng c a m t phép phân ho ch b t kì đã phân

ho ch [a , b] thành các đo n có đ dài nh h n s n0 .
Khi đó S - Sn0 < en0 £

e
.
2

S - I = S - Sn0 + Sn0 - I £ S - Sn0 + Sn0 - I < e
b

Þ lim S = I hay tích phân Rieman - Stieljes (R.S)ò f (x)dg (x) là t n t i.
s®0

nh lý 1.2.3 (

K32A Khoa Toán

a

nh lý giá tr trung bình)

22


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

b

N u t n t i tích phân Stieljes (S )ò f (x)dg (x) thì:
a

b

(S)ò f (x)dg (x) < max f (x) Vab (g ).
[a ,b]

a

Ch ng minh
b

N u t n t i tích phân (S )ò f (x)dg (x) thì v i m i phép phân ho ch
a

n- 1

åi= 0

đo n [a , b] ta có:

f (xi )éêg (xi+ 1 )- g (xi )ùú£
ë
û

n- 1

åi= 0 f (xi ) g (xi+ 1)- g (xi )

n- 1

£ max f (x) å g (xi+ 1 )- g (xi ) £ max f (x) Vab (g ) .

[ a ,b ]

[ a ,b ]

i= 0

n- 1

V y ta có

Hay

f (x) Vab (g )
åi= 0 f (xi )éêëg (xi+ 1)- g (xi )ùúû£ max
[ a ,b ]
b

f (x) Vab (g )
(S)òa f (x)dg (x) < max
[ a ,b ]

nh lý 1.2.4
N u g là hàm có bi n phân b ch n, b ng h ng s kh p n i có th tr ra
h u h n hay đ m đ

c các đi m trong c a  a, b thì
b

 f  x dg x  0

f  Ca,b .

a

Ch ng minh
+) Gi s g x   c  c ฀  tr h u h n đi m.

K32A Khoa Toán

23


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

nh lý đúng v i m i hàm g khác hàm h ng t i m t đi m duy nh t x0 ( vì
b ng cách làm gi m vô h n các thành ph n cu phép phân ho ch đo n [a , b]
sao cho x0 không bao gi là m t đi m chia ta thu đ

c nh ng t ng tích phân

b ng không). Do đó đ nh lý c ng đúng v i m i hàm g khác hàm h ng t i h u
h n đi m ( tính ch t c ng tình).
+) Gi s g x   c  c ฀  t i x1, x2,..., xn,... và ta có yi  g xi 


y

Vì g có bi n phân b ch n nên

i 1

nhiên N sao cho

y

n

nN





i

i  1,2... .

  , do đó ta có th ch n s t

  , khi đó g  c  gn  g trong đó gn là m t hàm l y









giá tr yi i  1, n t i x1 i  1, n và b ng không t i x  xi i  1, n , còn g
b

ch khác không t i nh ng đi m xN 1, xN 2... , khi đó

 f  x  dc  0

và

a

 f  x dg  x   0 .
n

 f  x dg x   m ax f  x  V  g  m ax f  x  2
b

b

L i có

a,b

a

a

b
a

a,b

(theo đ nh lý giá tr trung bình 1.2.3).
b

V y

 f  x dg x  0

f  Ca,b .

a

nh lý 1.2.5
Hàm g có bi n phân b
b

 f  x  dg x   0

1



ch n trên đo n [a , b] khi đó n u



, f  Ca,b thì g là hàm h ng t i m i đi m liên t c c a

a

nó.
Ch ng minh

K32A Khoa Toán

24


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

Gi s t n t i hai đi m x1, x2  x1  x2  mà t i đó hàm g liên t c nh ng

g x1   g x2  .
L y các lân cân c a x1, x2 nh sau: Vx1   x : x  x1   
Vx2   x : x  x2   

sao

cho

Vx1  Vx2   .
+) N u g x1  , g x2  cùng d u.
Gi s 0  g x1   g x2  . Do 1 đúng nên đ ng th c c ng đúng v i hàm

0 nÕu a  x  x1  


 x  x1   nÕu x1    x  x1



f0  x   1
nÕu x1  x  x2  
 x  x 
1  1 2
nÕu x2    x  x2


0 t ¹ i nh÷ng gi ¸ tr Þcßn l ¹ i
Ch n phép phân ho ch P chia đo n [a , b] thành n đo n b i các đi m
chia a  t0  t1  ...  ts  x1  ts1  x2  ...  tn  b th a mãn ts1  ts   .





Ch n i  ti ,ti 1  i  0, n  1 sao cho f0 i   0, f0 i 1   1.
n1

Ta có  n   f0  i   g ti 1   g ti   g x2   g x1   0 , đi u này mâu
i 0

b

thu n v i gi thi t

 f  x dg x  0

f  Ca,b

a

K32A Khoa Toán

25


Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

Gi s 0  g x2   g x1  , ta ch n f   f0 ta c ng có k t qu nh trên.
T

ng t v i tr

ng h p g x1  , g x2   0 .

+) N u g x1  , g x2  trái d u.
Gi s

g x1   0  g x2  ta làm t

ng t nh tr

ng h p cùng d u v i

hàm f0 . Còn n u g x2   0  g x1  thì ta ch n hàm f   f0 và làm t

ng t

c ng d n đ n mâu thu n.
V y g x1   g x2  . Lai có x1, x2 là nh ng đi m liên t c tùy ý c a hàm g nên
g là hàm h ng t i m i đi m mà hàm liên t c.

H qu 1
N u g1, g2 là các hàm s có bi n phân b ch n trên đo n [a , b] , và b ng
nhau kh p n i tr ra m t s đi m h u h n hay đ m đ
b

b

 f  x dg  x   f  x  dg  x 
1

a

ây là tr

c c a  a, b thì:

2

f  Ca,b .

a

ng h p riêng c a đ nh lí 1.2.4 v i hàm g  g1  g2 .

H qu 2
N u g1, g2 là các hàm s
b

có bi n phân b ch n trên đo n [a , b] ,mà

b

 f  x dg  x   f  x  dg  x 
1

a

2

f  Ca,b thì g1  g2 là hàm h ng t i m i

a

đi m mà nó liên t c.
ây là tr

ng h p riêng c a đ nh lý 1.2.5 v i hàm g  g1  g2 .

K32A Khoa Toán

26

Khóa lu n t t nghi p

Mai Th Thanh Xuân

1.3. Tích Phân Lebesgue - Stieljes
nh ngh a 1.3.1 (

đo Lebesgue - Stieljes)
là hàm đ n đi u không gi m. Hàm g xác đ nh

Cho hàm s g : ¡ ® ¡

m t hàm G trên các gian nh sau:

G  a , b  g (b  )  g  a  
G[a , b)  g (b  )  g  a  
G(a , b]  g (b  )  g  a  
G  a , b   g (b  )  g  a  
Trên đ i s C t o nên do các t p có th bi u di n thành h p c a m t s
n

h u h n gian r i nhau, P  C; P    i ; D i là các gian r i nhau.
i 1

n

Ta đ nh ngh a mg ( P )   G (i )
i 1

n


P

i 

i 1





Ta có mg là m t đ đo trên đ i s C và là đ đo duy nh t th a mãn
mg ()  G()


V i

ta

A ฀ ; A  i
i 1









i 1



đ nh

ngh a

g

nh

sau:

g ( A)  inf   G(i ) : A  i .
 i 1

K32A Khoa Toán

27