Luận văn sư phạm Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số

Khoá lu n t t nghi p

Tr

Tr

ng HSP Hà N i 2

ng đ i h c s ph m hƠ n i 2
Khoa toán
************
ph m th lan h

ng

đ nh lý lagrange, đ nh lý stolz đ nh lý toeplitz
vƠ ng d ng trong lý thuy t gi i h n dãy s
khóa lu n t t nghi p đ i h c
Chuyên ngƠnh: Gi i tích

HƠ N i, 2010

Ph m Th Lan H

ng

1

K32-CN Toán

Khoá lu n t t nghi p

Tr

L IC M

N

Trong quá trình nghiên c u đ tài v i s h
th y giáo: Th c s Phùng
em đã ph n nào nghiên c u đ

ng HSP Hà N i 2

ng d n nhi t tình c a

c Th ng. Cùng v i s n l c c a b n thân
c đ tài trên. Do h n ch v th i gian, ki n

th c nên ch c ch n khóa lu n này không tránh kh i nh ng thi u sót. Em r t
mong có đ

c nh ng ý ki n đóng góp quý báu c a các th y cô và các b n

quan tâm đ đ tài đ

c hoàn thi n h n.

Em xin trân thành c m n s nhi t tình t n tâm c a th y giáo: Th c
s Phùng

c Th ng và toàn th các th y cô trong t gi i tích và các th y

cô trong khoa Toán đã quan tâm t o đi u ki n giúp đ em hoàn thành khóa
lu n này, c ng nh trong su t th i gian th c t p nghiên c u t i tr

ng

HSP Hà N i 2.
Sinh viên
Ph m Th Lan H

Ph m Th Lan H

ng

2

ng

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

L I CAM OAN

Tôi xin cam đoan khóa lu n t t nghi p v i đ

tài: “ nh lý

Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz vƠ ng d ng trong lý thuy t
gi i h n dãy s ” là công trình nghiên c u c a riêng tôi, k t qu không
trùng v i k t qu nào. N u sai tôi xin ch u hoàn toàn trách nhi m.

HƠ N i, ngày 20 tháng 4 n m 2010
Sinh viên
Ph m Th Lan H

Ph m Th Lan H

ng

3

ng

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

M CL C

L i m đ u ...................................................................................................... 1
L i cam đoan ....................................................................................... 2
M đ u. ........................................................................................................... 4
Ch

ng 1. Các ki n th c c b n v dãy s ................................................. 6
1.1. Dãy s ............................................................................................... 6
1.2. Dãy s b ch n .................................................................................. 6
1.3. Dãy s đ n đi u ................................................................................ 6
1.4. Dãy con ............................................................................................. 7
1.5. Gi i h n các dãy s .......................................................................... 7
1.6. Các đ nh lí......................................................................................... 7
1.7. Các nguyên lí v tính đ y đ c a  ................................................ 9
1.8. Gi i h n vô c c c a dãy s .............................................................. 9

Ch

Ch

ng 2.

nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz ................... 11

2.1.

nh lý Lagrange và các h qu ....................................................... 11

2.2.

nh lý Stolz và các h qu .............................................................. 14

2.3.

nh lý Toeplitz và các h qu ......................................................... 17

ng 3.

ng d ng trong lý thuy t gi i h n dãy s ............................... 20

3.1.

ng d ng đ nh lý Lagrange trong bài toán tìm gi i h n dãy s ...... 20

3.2.

ng d ng đ nh lý Stolz .................................................................... 27

3.3.

ng d ng đ nh lý Toeplitz ............................................................... 43

K t lu n .................................................................................................. 51
Tài li u tham kh o ................................................................................... 52

Ph m Th Lan H

ng

4

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

M

ng HSP Hà N i 2

U

1. Lý do ch n đ tƠi
Lý thuy t gi i h n là c s c a gi i tích. B i v y, nghiên c u v gi i
tích chúng ta th

ng xuyên ph i gi i quy t bài toán tìm gi i h n, trong đó

có gi i h n dãy s . Gi i bài toán gi i h n dãy s là vi c làm khó kh n đ i
v i các sinh viên và h c sinh gi i toán THPT. Các bài toán gi i h n c ng
n m trong ch

ng trình quy đ nh c a h i toán h c Vi t Nam đ i v i kì thi

Olympic toán h c sinh viên h ng n m gi a các tr

ng Cao đ ng và

i

h c v gi i tích.
Gi i bài toán v gi i h n dãy s có nhi u ph

ng pháp khác nhau.

nh lí Lagrange, đ nh lí Stolz và đ nh lý Toeplitz là m t ph

ng pháp

m nh đ gi i các bài toán gi i h n dãy s khó và ph c t p. Do đó, d
h

ng d n c a th y giáo: Th c s Phùng

is

c Th ng em đã nh n đ tài

“ nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz vƠ ng d ng trong lý
thuy t gi i h n dãy s ”.
2. M c đích nghiên c u
Cung c p cho h c sinh m t ph

ng pháp đ có th x lý các bài toán

gi i h n dãy s khó và đa d ng. Qua đó c ng c ki n th c v gi i h n cho
h c sinh và giúp h c sinh v n d ng thành th o các đ nh lý đã bi t, đ c bi t
là đ nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz.
3.

it
+

ng vƠ ph m vi nghiên c u
it

ng nghiên c u: Sinh viên và h c sinh THPT

+ Ph m vi nghiên c u:

nh lý Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý

Toeplitz và ng d ng trong lý thuy t gi i h n dãy s
Ph m Th Lan H

ng

5

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

4. Nhi m v nghiên c u

Nh c l i các ki n th c c b n v gi i h n. Giúp h c sinh n m ch c
đ nh lý: Lagrange, đ nh lý Stolz, đ nh lý Toeplitz và kh n ng v n d ng
sáng t o đ nh lí đ gi i bài toán v gi i h n.

Ph m Th Lan H

ng

6

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

Ch

ng HSP Hà N i 2

ng 1

CÁC KI N TH C C

B N V DÃY S

1.1. Dãy s
Ánh x

f :NR
n  f ( n)

G i là dãy s
Ta th

ng ghi a n  f (n) .

Kí hi u là (a n ) (hay a1, a 2 ,..., a n ,... ).
1.2. Dãy s b ch n
Dãy (a n ) g i là b ch n trên n u t n t i s

M sao cho a n  M

n  N .
Dãy (a n ) g i là b ch n d

i n u t n t i s

M sao cho a n  M

n  N .
Dãy (a n ) g i là b ch n n u nó v a b ch n trên và v a b ch n d

i.

Rõ ràng dãy (a n ) b ch n n u t n t i s t nhiên K  0 sao cho

a n  K , n  N .
1.3. Dãy s đ n đi u

Dãy s (a n ) g i là gi m (t

n  N (t

ng ng a n  a n1 n  N ).

Dãy s (a n ) g i là t ng (t

n  N (t

ng ng gi m nghiêm ng t) n u a n  a n1
ng ng t ng nghiêm ng t) n u a n  a n1

ng ng a n  a n1 n  N ).

Các dãy t ng và gi m g i chung là dãy đ n đi u.

Ph m Th Lan H

ng

7

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

1.4. Dãy con

n  nk
Cho dãy (a n ) và  k 1
k  N
 nk  N
thì dãy (a k ) v i (a k  ank ) g i là dãy con c a dãy (a n ) và kí hi u là (a nk ) .
Chú ý: Ta d dàng ki m tra đ

c r ng:

nk  k k  N .
M i dãy đ u là dãy con c a chính nó.
M i dãy con c a dãy b ch n (t
thì b ch n (t

ng ng b ch n trên, b ch n d

ng ng b ch n trên, b ch n d

i)

i).

M i dãy con c a m t dãy đ n đi u là m t dãy đ n đi u.
1.5. Gi i h n c a dãy s
S a đ

c g i là gi i h n c a dãy (a n ) n u

  0, n  N n  N , n  n  a n  a  
Kí hi u: lim  a hay a n  a .
n

Dãy có gi i h n g i là dãy h i t và dãy không h i t đ

c g i là dãy

phân kì.
1.6. Các đ nh lý
a) Gi i h n c a dãy h i t là duy nh t.
b) lim a n  a  lim (a n  a )  0
n

n

c) lim a n  0  lim a n  0
n

n

d) lim a n  a  lim a n  a
n

n

e) M i dãy h i t đ u b ch n.
f) lim a n  a , lim bn  b,  R

n

n

Khi đó:
Ph m Th Lan H

ng

8

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

lim (a n  bn )  a  b

n

lim ( .a n )   .a

n 

lim ( a n .bn )  a.b

n

an a

n b
b
n
lim

(v i b  0 )

g) Cho (a n ) , (bn ) là các dãy h i t và h ng s n0  N . Khi đó:
N u a n   , n  n0 thì lim a n  
n

lim a n  a   thì t n t i s n1  N sao cho an   , n  n1

n

N u a n   , n  n0 thì lim a n  
n
N u lim a n  a   thì t n t i n1  N sao cho an   , n  n1
n

N u   an   n  n0 thì   lim a n  
n

N u   lim a n  a   thì n1  N sao cho a  an  
n

n  n1
N u a n  bn , n  n0 thì lim a n  lim bn
n

n

a n  cn  bn , n  n0
thì lim cn  a
N u
n 
a n  lim bn  a
 nlim
n

 cn  bn , n  n0
N u
bn  0
 nlim


thì lim cn  0
n

h) Dãy (a n ) h i t khi và ch khi m i dãy con c a nó đ u là dãy h i
t và có chung m t gi i h n.

Ph m Th Lan H

ng

9

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

1.7. Các nguyên lý v tính đ y đ c a 
a) Nguyên lý Weierstrass
N u dãy (a n ) t ng và b ch n trên thì nó h i t và lim a n  sup a n
n

N u dãy (a n ) gi m và b

ch n d

nN

i thì nó h i t

và

lim a n  inf a n

n

nN

b) Nguyên lý Cantor
Dãy đo n  a n ; bn  g i là th t d n n u

an , bn   an1, bn1 

n  N .

Nguyên lý Cantor: M i dãy th t d n đ u có đi m chung duy nh t.
c) Nguyên lý Bolzano – Weierstrass
M i dãy b ch n có ít nh t m t dãy con h i t .
d) Nguyên lý Cauchy
Dãy (a n ) đ

c g i là dãy Cauchy (hay dãy c

b n) n u

" e > 0, $ ne Î N : " n, m > ne Þ a m - a n < e
Nguyên lý: Dãy (a n ) là dãy h i t khi và ch khi nó là dãy
Cauchy.
1.8. Gi i h n vô c c c a dãy s
Dãy (a n ) đ

c g i là có gi i h n + ¥ n u

" A> 0, $ nA Î N sao cho " n Î N, n > nA thì a n > A.
Kí hi u: lim a n = + ¥
n® + ¥

Dãy (a n ) đ

c g i là có gi i h n - ¥ n u

" A> 0, $ nA Î N sao cho " n Î N, n > nA thì an < - A.
Kí hi u: lim a n = - ¥
n® + ¥

Dãy (a n ) đ
Ph m Th Lan H

ng

c g i là có gi i h n ¥ n u
10

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

" A> 0, $ nA Î N sao cho " n Î N, n > nA thì a n > A.
Kí hi u: lim a n = ¥
n® + ¥

* Chú ý
  ,   ,  ch là nh ng kí hi u ch không ph i là nh ng s th c.

Nh ng dãy có gi i h n h u h n đ

c g i là dãy h i t .

lim a n = ¥ Û lim

n® ¥

Ph m Th Lan H

ng

11

n® ¥

1
= 0.
an

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

Ch
NH Lụ LAGRANGE,
2.1.

ng HSP Hà N i 2

ng 2

NH Lụ STOLZ,

NH Lụ TOEPLITZ

nh lý Lagrange vƠ h qu

2.1.1.

nh lý Lagrange
Cho hàm s

(a ; b).

Khi

f ( x) liên t c trên đo n [a ; b], có đ o hàm trên kho ng

đó

t n

t i

c

thu c

kho ng

(a ; b)

sao

cho

f (b) - f (a ) = f ' (c)(b - a ) .
2.1.2. H qu (đ nh lý Rolle)
Cho hàm s

f ( x) liên t c trên đo n [a ; b], có đ o hàm trên kho ng

(a ; b) và f (a ) = f (b) thì t n t i c thu c kho ng (a ; b) sao cho f ' (c) = 0
Ch ng minh
Ta th y hàm s

f ( x) th a mãn các đi u ki n đ nh lý Lagrange:

f ' ( x) liên t c trên [a ; b], có đ o hàm trên [a ; b], do đó t n t i c thu c (a ; b)
sao cho

f (b) - f (a ) = f ' (c)(b - a )
Û f ' (c ) =

f (b) - f (a )
b- a

Theo gi thi t f (b) = f (a ) nên f (a ) - f (b) = 0 .
V y f ' (c) = 0 (đi u ph i ch ng minh).
2.1.3. H qu 2
f ( x) xác đ nh và liên t c trên đo n [a ; b], có đ o hàm

Cho hàm s

trên kho ng (a ; b), ngoài ra f ' (c) = 0 , " x Î (a ; b) thì f ( x) = k (v i k là
h ng s ) x  a; b.
Ph m Th Lan H

ng

12

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Ch ng minh
Ta ch ng minh v i x0 , y0 thu c đo n [a ; b] mà x0 ¹ y0 thì

f ( x0 ) = f ( y0 )
Th t v y, gi s

x0 < y0 suy ra [x0 ; y0 ]Ì [a ; b]. Ta th y f ( x) th a mãn các

đi u ki n c a đ nh lý Lagrange trên [x0 ; y0 ] do đó

$ c Î ( x0 ; y0 ) đ f ' (c) =

f ( y0 ) - f ( x0 )
y0 - x0

Do theo gi thi t f ' (c) = 0 , " x Î (a ; b) nên ta có f ' (c) = 0 , " c Î (x0 ; y0 )
Hay là: f ( y0 ) - f ( x0 ) = 0

Þ f ( y0 ) = f ( x0 )

Hay là: f ( x) = k (v i k là h ng s )
2.1.4.

nh ngh a và đ nh lý m r ng
a)

nh ngh a Ánh x co
f : X ® Y g i là ánh x Co n u t n t i c Î [0;1) sao cho

Cho ánh x

f ( x) - f ( y) £ c x - y , " x, y Î X .

b) Nguyên lý Ánh x co
N u f : X ® X là m t ánh x Co thì f có duy nh t m t đi m b t
đ ng, t c là t n t i duy nh t x Î X sao cho f ( x) = x .
Ta xét hàm s

f ( x) th a mãn các đi u ki n đ nh lý Lagrange rõ ràng

v i m i x khác y, $ c n m gi a x, y sao cho

f ( x) - f ( y) £ f ' (c) x - y
N u ta thêm gi thi t f ' ( x) £ c < 1 thì f ( x) là m t ánh x Co. V n d ng ý
t

ng này vào dãy s k t h p v i tính đ y đ c a không gian R ta có đ nh

lý sau đây r t ti n l i cho vi c xét s h i t cho m t dãy s c.

Ph m Th Lan H

ng

13

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

c)

Tr

ng HSP Hà N i 2

nh lý 2.1.5

Cho f : [a ; b]® [a ; b] th a mãn các đi u ki n c a đ nh lý Lagrange
sao cho f ' ( x) £ c < 1 " x Î [a ; b]. Khi đó m i dãy ( xn ) th a mãn

ìï x1 = a Î [a ; b ]
ïí
ïïî xn+ 1 = f ( xn ), n ³ 1
Thì đ u h i t t i x* và f ( x* ) = x* (v i x* là đi m b t đ ng c a f ).
Ch ng minh
V i m i n ³ 2 , ta có $ a n n m gi a xn và xn+ 1 sao cho

xn+ 1 - xn = f ( xn ) - f ( xn- 1 ) = f ' (a n ) xn - xn- 1 £ c xn - xn- 1 £ ... £ c n- 1 x2 - x1
V i m i m Î Z1 thì

xn+ m - xn £ xn+ m - xn+ m- 1 + xn+ m- 1 - xn+ m- 2 + ... + xn+ 1 - xn
£ c n+ m- 2 xn - x1 + c n+ m- 3 x2 - x1 + ... + c n- 1 x2 - x1

=c

n- 1

(1 - c m )
x2 - x1 ® 0 khi n ® + ¥
1- c

Do đó ( xn ) là dãy cauchy. Vì Â là không gian đ nên ( xn ) h i t
t

t

x* = lim xn
n® ¥

xn+ 1 = f ( xn ) Þ lim xn+ 1 = lim f ( xn ) = f (lim xn ) Þ x* = f ( x* ) (đpcm)

N u trong đ nh lý trên ta thay a; b b i kho ng h u h n hay vô h n
thì đ nh lý v n còn đúng. V n d ng đ nh lý trên cho các bài toán v gi i
h n r t ti n l i.

Ph m Th Lan H

ng

14

K32-CN Toán


Khoỏ lu n t t nghi p

2.2.

Tr

ng HSP H N i 2

nh lý Stolz v cỏc h qu

2.2.1.

nh lý Stolz
Gi s

lim yn = + Ơ v y( n) t ng ho c b t u t m t giỏ tr N

nđ + Ơ

yn+ 1 > yn , " n > N . Khi ú

no ú t ng th c s

x
xn - xn- 1
= a thỡ lim n = a ( a h u h n ho c vụ h n).
nđ + Ơ y
yn - yn- 1
n

N u lim
nđ + Ơ

Ngh a l lim
nđ + Ơ

xn

x - xn- 1
= lim n
yn nđ + Ơ yn - yn- 1
Ch ng minh

Tr

ng h p 1: Xột a h u h n, t c l lim
nđ + Ơ

xn - xn- 1
=a
yn - yn- 1

Khi ú v i " e > 0, $ N0 sao cho " n > N0 thỡ

e
xn - xn- 1
- a<
yn - yn- 1
2
aSuy ra

a-

e xn - xn- 1 e
<
< +a
2 yn - yn- 1 2

e xk+ 1 - xk e
<
< + a ( " N0 Ê k Ê n - 1 )
2 yk+ 1 - yk 2

M y( n) t ng th t s nờn yk+ 1 - yk > 0

ổ eử
ổ eử
ỗỗa + ữ
y
y
<
x
x
<
Do ú ỗỗa - ữ
(
)
ữ
ữ
k+ 1
k
k+ 1
k
ữ
ữ(yk+ 1 - yk )
ỗ
ốỗ
ứ

ố
2
2ứ
Thay k = N0, N0+1,,n-1 r i c ng l i ta

c

ổ eử
ổ eử
ỗỗa - ữ
ỗa + ữ
y
y
<
x
x
<
(
)
ữ
ữ
N0
n
N0
ữ n
ữ(yn - yN0 )
ỗố
ốỗỗ
2ứ
2ứ

a-

Ph m Th Lan H

ng

e xn - xN0 e
<
< +a
2 yn - yN0 2
15

K32-CN Toỏn


Khoỏ lu n t t nghi p

Tr



xn - xN0
yn - yN0

- a<

ng HSP H N i 2

e
2

(1)

Ta l i cú



xn
x - ayn xn - ayn - ( xN0 - ayN0 ) xN0 - ayN0
- a= n
=
+
yn
yn
yn
yn
=

=

xn - xN0 - a ( yn - yN0 )
yn

Vỡ v i n l n thỡ 0 < 1 -

yn

ử x - ay
yN0 ỗổxn - xN0
ữ

N0
ữ+ N0
ỗỗ
- aữ
ữ
yn ỗố yn - yN0
yn
ữ
ứ

yN0
yn

<1

xn - xN0
xN0 - ayN0
xn
- aÊ
- a+
yn
yn - yN0
yn

Vỡ lim yn = + Ơ nờn lim
nđ + Ơ

xN0 - ayN0

ử

yn - yN0 ỗổxn - xN0
x - ayN0
ữ
ữ+ N0
ỗỗ
- aữ
ữ
ữ
yn ỗố yn - yN0
yn
ứ

= 1-

ị

+

nđ + Ơ

xN0 - ayN0
yn

= 0.

Khi ú t n t i s t nhiờn N 0' sao cho n N0' thỡ
T (1) v (2) suy ra " n > Max{N0 , N0' } thỡ
Do ú lim
nđ + Ơ

Tr

x N0 y N0
yn




2

(2)

xn
e e
- a< + =e
yn
2 2

xn
= a.
yn

ng h p 2: Xột a vụ h n, t c l

lim

nđ + Ơ

xn - xn- 1
= +Ơ

yn - yn- 1

(ho c

a= - Ơ )
Ph m Th Lan H

ng

16

K32-CN Toỏn


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

V i m i n đ l n n > N thì xn - xn- 1 > yn - yn- 1

(3)

Mà ( yn ) t ng th c s nên yn - yn- 1 > 0
Suy ra xn - xn- 1 > 0

 dãy ( xn ) là dãy t ng .

Þ xn > xn- 1

T (3) suy ra
xk+ 1 - xk > yk+ 1 - yk

"k: N £ k £ n- 1

Thay k = N, N + 1,..., n - 1 r i c ng l i ta đ

c

xn - xN > yn - yN Û xn > yn - yN + xN Þ lim xn = + ¥
n® + ¥

Và ( xn ) t ng
Áp d ng ph n trên ta có

lim

n® + ¥

yn
y - yn- 1
x
= lim n
= 0 Þ lim n = + ¥
n® + ¥ y
xn n® + ¥ xn - yn- 1
n

V i a = - ¥ ta xét t

ng t .

2.2.2. H qu
a) H qu 1
Cho dãy ( xn ) th a mãn lim xn = a . Khi đó
n® + ¥

lim

n® + ¥

x1 + x2 + ... + xn
= a
n

Ch ng minh
Th t v y, áp d ng đ nh lý Stolz v i dãy un , un =

n

å

xi và vn = n

i= 1

" n ta có
lim

n® + ¥

Ph m Th Lan H

x1 + x2 + ... + xn
u
u - un- 1
x
= lim n = lim n
= lim n = a
n® + ¥ v
n
vn - vn- 1 n® + ¥ 1
n

ng

17

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

b) H qu 2
N u dãy ( xn ) , un > 0, " n và lim un = a > 0 thì lim

n® + ¥

n® + ¥

n

u1.u2 ...un = a .

Ch ng minh
Th t v y, t

lim un = a suy ra lim (ln un ) = ln a

n® + ¥

n® + ¥

Theo h qu 1 thì lim

n® + ¥

ln u1 + ln u2 + ... + ln un
= ln a
n

Hay lim

n® + ¥

Û lim

ln (u1u2 ...un )
= ln a
n
n

n® + ¥

V y lim
n® + ¥

2.3.
2.3.1.

n

u1.u2 ...un = a

u1.u2 ...un = a .

nh lý Toeplitz vƠ các h qu
nh lý Toeplitz



Cho b s pnk  k  1, n; n  1, 2....  th a mãn các đi u ki n:





i) pnk  0
n

ii)

p

nk

k1

1

iii) lim pnk = 0 (v i m i k- c đ nh )
n® + ¥

Khi đó n u dãy  xn  h i t thì dãy  yn  xác đ nh b i

n

yn   pnk xk (n=1,2...)
k 1

C ng h i t và lim yn = lim xn .
n® + ¥

Ph m Th Lan H

ng

n® + ¥

18

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Ch ng minh
Gi s

lim xn = a thì

n® + ¥

" e > 0, $ N0 Î N sao cho xn - a <

e
" n > N0 .
2

$ D > 0 sao cho xn - a < D n .
T

lim pnk = 0 Þ $ M0 Î N(M0 > N0 ) sao cho

n® + ¥

pnk <

e
2 DM0

(" k = 1, M )
0

Khi đó " n > M0 ta có
n

å

n

pnk xk - a =

k= 1

£

n

å

pnk (xk - a )

k= 1

pnk xk - a =

k= 1

M0

å

pnk xk - a +

k= 1

< M0

<

e
+
2 DM0

n® + ¥

n® + ¥

n

å

n

å

pnk xk - a

k= M0 + 1
n

å

pnk

k= M 0 + 1

e
2

e e
+ = e.
2 2

V y lim yn = lim
Bi u th c

å

n

å

pnk xk = a .

k= 1

pnk xk là trung bình chung tr ng l

ng c a x1,..., xn . Do

k= 1

đó đ nh lý Toeplitz là c s đ xét s h i t c a các dãy trung bình c b n.
T cách ch ng minh đ nh lý Toeplitz ta có th m r ng thành h qu .

Ph m Th Lan H

ng

19

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

2.3.2. H qu

Cho b s Pnk ( k = 1, n ; n = 1,2,... ) th a mãn các đi u ki n:
i) lim pnk = 0 (v i m i k_c đ nh)
n® + ¥

n

ii) lim
n® + ¥

å

pnk = 1

k= 1
n

iii) $c > 0 sao cho

å

pnk £ c , " n Î Z+ k

k= 1

Khi đó, n u lim xn = a thì lim
n® + ¥

n® + ¥

n

å

pnk xk = a . ( a có th h u h n

k= 1

ho c vô h n).

Ph m Th Lan H

ng

20

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

Ch
NG D NG
3.1.

ng HSP Hà N i 2

ng 3

NH Lụ TRONG Lụ THUY T GI I H N DÃY S

ng d ng đ nh lý Lagrange trong bƠi toán tìm gi i h n dãy s

3.1.1. Ph

ng pháp chung

Trong bài toán tìm gi i h n dãy s , ta có th v n d ng đ nh lý 2.1.5
đã nêu

ch

ng 2 đ tìm gi i h n c a dãy {xn }Ì R (n Î N ) xác đ nh b i

h th c truy h i

ìïï
x1 = a
í
ïïî xn+ 1 = f ( xn )

n Î N, n ³ 1

Nh ng ta c ng có th làm tr c ti p thông qua xét hàm s
vi trên đo n [a , b ] và ph
(gi i h n c a dãy s

f ( x) kh

ng trình g (t ) = t có nghi m duy nh t t0 Î [a , b ]

trên n u có chính là nghi m c a ph

ng trình

g (t ) = t ).

T đó, áp d ng đ nh lý Lagrange ta có

a n+ 1 - t0 = f (a n ) - f (t0 ) = f ' (cn ) . a n - t0 v i cn n m gi a

a n và t0
Nh bi u di n này ta chuy n vi c

c l

ng đánh giá a n+ 1 - t0

thông qua f ' (cn ) đ ch ra s t n t i hay không t n t i gi i h n c a dãy.
3.1.2. Các ví d minh h a

ìï
1
ïï
x1 =
ï
2
Ví d 1. Xét dãy {xn } th a mãn ïí
ïï

xn2
- 1
ïï xn+ 1 =
3
ïî
Ph m Th Lan H

ng

21

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Ch ng minh r ng dãy {xn } có gi i h n và tìm gi i h n đó.
Gi i
xn2
- 1 ta th y - 1 < xn < 0
T h th c truy h i xn+ 1 =
3

xn2
f ( x) =
- 1 trên kho ng (-1;0) thì xn+ 1 = f ( xn )

3

Xét hàm s

Ta có f ' ( x) =

2x
2
2
Þ f ' ( x) = x £ , " x Î (- 1;0)
3
3
3

Theo đ nh lý 2.1.5 thì dãy {xn } h i t ,
x2
- x - 1 = f ( x) - x thì ta c ng có g(x) liên t c trên (t g ( x) =
3

1;0) và
g ' ( x) =

2x
- 1< 0
3

" x Î ( - 1; 0 do đó ph

ng trình g ( x) = 0 có

m t nghi m duy nh t thu c (-1;0), và nghi m đó chính là gi i h n c a dãy

{xn } (đ nh lý 2.1.5)
x2
- 1 = x Û x2 - 3x - 1 = 0
Ta có f ( x) = x Û
3

é
êx1 = 3 - 13
ê
2
Þ ê
ê
êx = 3 + 13
êë 2
2
V y lim xn =

3-

13
2

.

ìï
u1 = 1; u2 = 2
Ví d 2. Xét dãy {un } th a mãn ïí
ïïî un+ 2 = un + 2un+ 1 , n ³ 1

Tính a = lim
Ph m Th Lan H

ng

22

un+ 1
.
un
K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Gi i
Theo đ bài, rõ ràng un > 0 v i m i n. T un+2 = un + 2un+1
Ta có un+2 > 2un+1
Do đó

u
u + 2un+ 1
u n+ 2
u
= 2+ n
> 2 và có n+ 2 = n

un+ 1
un+ 1
un+ 1
u n+ 1
t vn =

Xét hàm s

u n+ 1
1
> 2 ta có vn+ 1 = 2 +
un
n
1
x

f ( x) = 2 +

Ta th y f ' ( x) = -

( x> 2) Þ vn+ 1 = f (vn )
1
1 1
Þ f ' ( x) = 2 < , " x > 2
2
x
x
4

Theo đ nh lý 2.1.5 suy ra dãy {un } h i t t i a và f (a ) = a hay ta có

2+

V y ta có lim

un+ 1
= 1+
un

1
= a Û a 2 - 2a - 1 = 0 Û
a

éa = 1 ê
ê
êëa = 1 +

2
2

2.

ex
Ví d 3. Cho f ( x) =
( x + 1)2
u0 = 0
ïì
Xét dãy {un } xác đ nh b i ïí
ïïî un+ 1 = f (un ), n ³ 0
Ch ng minh r ng $ k Î (0;1) sao cho

un+ 1 - a £ k un - a

( a là nghi m c a ph

ng trình

f ( x) = x ).

Ph m Th Lan H

ng

23

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Gi i
Xét hàm s

f ( x) =

ex
> 0, " x ¹ - 1 . T

( x + 1)2

u0 = 0 ta có

un+ 1 = f (un ) > 0

B ng quy n p ta ch ng minh đ

c 0 < un < 1, " n ³ 1

ex
f ( x) =
> 0, " x ¹ - 1 trên kho ng (0;1)
( x + 1)2

Xét hàm s

f ( x)

liên t c trên (0;1)

e x ( x - 1)
;
M t khác f ( x) =
( x + 1)3

e x ( x2 - 2 x + 3)
> 0; " x Î (0;1)
f ( x) =
( x + 1)4

''

'

Do đó f ' ( x) là hàm đ ng bi n, ta có f ' (0) < f ' ( x) < f ' (1); " x Î (0;1)

e x ( x - 1)
Hay là - 1 <
< 0 t c là f ' ( x) < 1; " x Î (0;1)
3
( x + 1)
Theo đ nh lý 2.1.5 thì dãy {un } có gi i h n là a và f (a ) = a .
Áp d ng đ nh lý Lagrange ta có
$ c Î (0;1) sao cho un+ 1 - a = f ' (c) . un - a

Do f ' (c) < 1 nên $ k Î (0;1) sao cho 1> k ³ f ' (c) hay
Ta có un+ 1 - a £ k un - a (đi u ph i ch ng minh).

ìï
a1 = 0
Ví d 4. Cho dãy {a n } th a mãn ïí
ïï a n+ 1 = 2 + a n , n ³ 1
î
Ch ng minh r ng dãy {a n } có gi i h n và tìm gi i h n đó.
Gi i
Theo đ bài a1 = 0 và a n+ 1 =
T đó ta có a n ³
Ph m Th Lan H

ng

2 + an

2 , " n Î N*
24

K32-CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Xét hàm s

f ( x) =

Tr

2 + x liên t c trên n a đo n th ng [0;+ ¥

thì a n+ 1 = f (a n ) ; f ' ( x) =
và có

f ' ( x) <

1
2 2

ng HSP Hà N i 2

1

>0
2 2+ x

)

" x¹ - 2

" x Î [0; + ¥ ).

Theo đ nh lý 2.1.5 thì dãy {a n } có gi i h n là a và f (a ) = a . Ta
có

2+ a = a
Û 2 + a = a2
éa = 2
Û a2 - a - 2 = 0 Þ ê
êëa = - 1
V y lim an = 2.
u0 > 0
ïìï
ï
Ví d 5. Cho dãy {un } xác đ nh b i í
1
ïï un+ 1 =
,n ³ 0
2 + un
ïîï

Tìm lim un
Gi i

Xét hàm s

f ( x) =

1
, x ³ 0 . Khi đó un+ 1 = f (un )
2+ x

Hàm f ( x) kh vi trên 0; và ta có f ' ( x) = -

f ' ( x) £

1
<0
(2 + x) 2

1
, " x Î (0; + ¥ )
4

Theo đ nh lý 2.1.5 thì dãy {un } có gi i h n và gi i h n c a dãy {un }
là nghi m c a ph

Ph m Th Lan H

ng trình f ( x) = x

ng

25

K32-CN Toán