Luận văn sư phạm Độ đo xác suất trên không gian Metric

Khoá lu n t t nghi p
TR

Tr

ng HSP Hà N i 2

NG

I H C S PH M Hà N I 2
KHOA TOÁN
********************

V TR

NG GIANG

O XÁC SU T
TRÊN KHÔNG GIAN METRIC

KHÓA LU N T T NGHI P

IH C

Chuyên ngƠnh: Toán ng d ng

hƠ n i ậ 2009
V Tr

ng Giang

2

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

L IC M

ng HSP Hà N i 2

N

Sau m t th i gian mi t mài nghiên c u cùng v i s giúp đ c a các th y
cô giáo cùng các b n sinh viên, khóa lu n c a em đ n nay đã đ

c hoàn

thành. Em xin bày t long bi t n sâu s c c a mình đ n th y giáo Nguy n
Trung D ng đã t n tình giúp đ em trong su t quá trình nghiên c u và hoàn
thành khóa lu n này.
Em xin trân thành c m n s quan tâm, giúp đ c a các th y cô trong
khoa và các th y cô trong t Toán ng d ng tr

ng

i h c S ph m Hà N i

2, s đ ng viên, giúp đ , đóng góp ý ki n c a b n bè đã dành cho em trong
su t quá trình h c t p, nghiên c u và hoàn thành khóa lu n.
Do th i gian có h n và ch a có kinh nghi m trong công tác nghiên c u
khoa h c nên khóa lu n c a em không tránh kh i nh ng thi u xót. R t mong
nh n đ
đ

c s đóng góp ý ki n c a th y cô và các b n đ khóa lu n c a em

c hoàn thi n h n.
Hà N i, ngày 15 tháng 05 n m 2009
Sinh viên

V Tr

V Tr

ng Giang

3

ng Giang

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

L I CAM OAN
Tôi xin cam đoan khóa lu n t t nghi p đ i h c này là thành qu c a
riêng cá nhân tôi, nó không trùng l p v i b t kì đ tài nào đã đ

c công b .

N u sai tôi xin ch u hoàn toàn trách nhi m.

Hà N i, ngày 15 tháng 05 n m 2009
Sinh viên

V Tr

V Tr

ng Giang

4

ng Giang

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

m cl c
L i nói đ u .................................................................................................. 3
Ch

ng 1. Ki n th c chu n b .................................................................. 6
1.1. T p Borel ...................................................................................... 6
1.2.

đo xác su t Borel.................................................................... 8

1.3. S h i t y u c a đ đo ................................................................ 15
1.4. Metric Prokhorov .......................................................................... 20
Ch

ng 2.

nh lý Riesz vƠ đ nh lý Prokhorov........................................ 29

2.1.

nh lý Prokhorov ........................................................................ 29

2.2.

nh lý Riesz ................................................................................ 38

2.3.

nh lý Riesz trong không gian không compact .......................... 44

K t lu n ....................................................................................................... 50
TƠi li u tham kh o ..................................................................................... 51

V Tr

ng Giang

5

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

l i nói đ u
Toán ng d ng là m t ngành toán h c có ý ngh a r t to l n và chi m
m t v trí quan tr ng. Nó là c u n i đ đ a nh ng k t qu đ

c nghiên c u

trên lý thuy t c a gi i tích, đ i s , hình h c vào ng d ng trong các ngành
khoa h c khác và th c t cu c s ng.
Lý thuy t xác su t là m t b môn có ng d ng r t r ng rãi trong các
ngành khoa h c t nhiên, khoa h c xã h i và th c t cu c s ng. Nó là công c

đ gi i quy t các v n đ chuyên môn c a nhi u l nh v c nh kinh t , sinh h c,
tâm lý – xã h i. Do đó b môn này đ
tr

c đ a vào gi ng d y

h u h t các

ng đ i h c, cao đ ng.
V i mong mu n tìm hi u sâu h n v b môn xác su t em đã ch n đ

tài: “

đo xác su t trên không gian metric”. Nghiên c u đ tài này giúp

chúng ta có c h i tìm hi u sâu h n v đ đo xác su t trên không gian metric
t ng quát và trên m t s không gian đ c bi t.
N i dung c a khóa lu n bao g m
Ch

ng 1: Ki n th c chu n b .
Trong ch

ng này trình bày v khái ni m và các tính ch t c a t p

Borel, đ đo xác su t Borel, s h i t y u c a đ đo và metric Prokhorov.
Ch

ng 2:

nh lý Prokhorov vƠ đ nh lý Riesz

N i dung c a ch

ng nay là đ nh lý Prokhorov, đ nh lý Riesz và đ nh

lý Riesz trong không gian không compact.

V Tr

ng Giang

6

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Ch

Tr

ng HSP Hà N i 2

ng 1. ki n th c chu n b

1.1.T p Borel
nh ngh a 1.1
Cho  X, d  là không gian metric.   đ i s Borel B  B  X  là   đ i s

nh nh t trong X mà có ch a t t c các t p con m c a X. Các ph n t c a B
đ

c g i là t p Borel c a X.
nh ngh a 1.2
Không gian metric  X, d  đ

đ

c g i là tách đ

c n u nó có t p con đ m

c trù m t, t c là t n t i x1, x2,... trong X sao cho  x1, x2 ,...  X ( A - bao

đóng c a A là t p đóng nh nh t ch a A trong X.
B đ 1.1. N u X là không gian metric tách đ

c, khi đó trùng v i   đ i s

sinh b i t t c các các hình c u m (ho c đóng) c a X.
Ch ng minh. Kí hi u
A    đ i s sinh b i các hình c u m (ho c đóng) c a X.

Hi n nhiên A  B .
Gi s D là t p đ m đ

c trù m t trong X. U  X là m . V i x U , l y

r  0 , r ฀ sao cho B x, r   U ( B x, r  là hình c u m ho c đóng v i tâm

là

x

và

bán

kính

x  B yx , r / 2  B x, r  .

r)

và

l y

yx  D  B x, r / 3 .

Khi

đó

t rx  r / 2 . Khi đó

U  B yx , rx  : x  U

V Tr

ng Giang

7

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p
là h p đ m đ

Tr

ng HSP Hà N i 2

c. Thành ra U  A suy ra B  A .

B đ 1.2. Cho  X, d  là không gian metric tách đ

c. C  B là đ m đ

c.

N u C tách r i các hình c u đóng v i các đi m, ngh a là v i m i hình c u
đóng B và x  B thì t n t i C C sao cho B  C và x  C , khi đó   đ i s
sinh b i C là   đ i s Borel.
Ch ng minh.
Hi n nhiên   C  B , trong đó   C là   đ i s sinh b i C . L y B là
hình c u đóng trong X . Khi đó B  C  C: B  C là giao c a đ m đ
các ph n t c a   C . Theo b đ trên ta nh n đ

c

c B    C .

nh ngh a 1.3
N u f : S T và AS, AT t
đ

c g i là đo đ

ng ng là   đ i s trong S và T, khi đó f

cn u

f 1  A   x  S: f  x   A AS v i m i A AT .
M nh đ 1.1. Cho  X, d  là không gian metric. B  X  là   đ i s nh nh t
sao cho v i m i hàm (giá tr th c) liên t c trên X là đo đ

V Tr

ng Giang

8

c.

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

1.2.

Tr

ng HSP Hà N i 2

đo xác su t Borel

nh ngh a 1.4.
Cho  X, d  là không gian metric. M t đ đo Borel h u h n trên X là ánh
x  : B  X  [0, ) sao cho
1.

  0 ,

2. A1, A2,... B r i nhau 

 A   


i 1

i


i 1

 Ai  ,

3.   X  1.

B đ 1.3. Cho X là không gian metric và  là đ đo h u h n trên X. Cho
A1, A2 ,... là dãy các t p Borel. Khi đó ta có

(1) N u A1  A2  ... và A   i 1 Ai , thì   A  limn   An  .


(2) N u A1  A2  ... và A   i 1 Ai , thì   A  limn   An  .


B đ 1.4. N u  là m t đ đo Borel h u h n trên X và A là m t h các t p
Borel r i nhau c a X, khi đó có nhi u nh t đ m đ
đ đo

c các ph n t c a A có

khác 0.

m  1, đ t Am   A  A :   A  1/ m . V i m i

Ch ng minh. V i

A1, A2,...Am phân bi t ta có



k



  X      Ai     A1     A2   ...    Ak   k / m ,

 i 1



Do đó Am có nhi u nh t m  X  ph n t . V y
V Tr

ng Giang

9

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2



A A :   A  0   A
m1

là đ m đ

m

c.

Ví d . N u  là m t đ đo Borel trên ฀ , khi đó   t   0 v i m i t tr nhi u
nh t đ m đ

c t ฀ .

M nh đ 1.2. M i đ đo Borel h u h n trên X là chính quy, t c là v i m i

BB .

  B  sup  C : C  B, C ®ãng ( chÝnh quy trong)
 inf  U  : U  B, U më

Ch ng minh. T p R đ

A R 

c xác đ nh b i

  A  sup  C : C  A, C ®ãng vµ

  A  inf  U  : U  A, U më.

Ta ch ng t r ng R ch a các t p Borel. B
s

AR

(chÝnh quy ngoµi).

c 1: R là  _đ i s : R . Gi

và   0 . L y C đóng và U m

v i C AU

và

  A    C     A   U    . Khi đó U c  Ac  Cc , U c đóng, Cc m
và

  Ac     X    A    X     C      Cc    ,

  Ac     X    A    X    U      U c    .
Do đó Ac  R .
Gi s A1, A2,...R và   0 . V i m i i l y
V Tr

ng Giang

10

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Ui m , Ci đóng v i
Ci  A  Ui ,

 Ui     Ai   2i  ,   Ai     Ci   2i  / 2.
Khi đó

 C  A  U ,  U
i

i

i

i



i









i

i

i

là m và







 i 1







i 1



  Ui      Ai     Ui \  Ai 


i

i


 
    Ui \ Ai      Ui \ Ai 
 i 1
 i 1




i 1

i 1

    Ui     Ai     2i    .

 
 k 
H n n a    Ci   limk    Ci  , do đó v i k đ
 i 1 
 i 1 

l n nào đó,

k

 
 k 
   Ci      Ci    / 2 . Khi đó C  i 1 Ci  i 1 Ai , C đóng và
 i 1 

 i 1 



















   Ai     C     Ai      Ci    / 2
 i 1



 i 1 
 i 1 




    Ai \  Ci    / 2
i 1
 i 1



     Ai \ Ci     / 2
 i 1



    Ai \ Ci    / 2
i 1

V Tr

ng Giang

11

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2



     Ai     Ci     / 2   / 2   / 2   .
i 1

Do đó




i 1

Ai  R . V y R là  _đ i s

c 2. R ch a t t c các t p m . Ta ch ng t r ng R ch a t t c các t p

B
m .

Gi

s

là

A X

đóng.

Un   x  X : d  x, A  1/ n   x  X : a  A ví i d  a, x   1/ n ,
Khi đó Un là m , U1  U2  ... , và





t
n  1,2,... .

Ui  A , do A là đóng. Do đó

i 1

  A  limn  Un   infn  Un  . Nh v y
  A  inf  U  : U  A,U më  inf  Un     A .
n

Do đó AR .
K t lu n: R là  _đ i s mà ch a tát c các t p m , do đó R  B .
H qu 1.1. N u  vµ  là các đ đo h u h n trên không gian metric X và

  A    A v i m i A đóng (ho c A m ), khi đó    .
nh ngh a 1.5. (

đo Radon)

M t đ đo Borel h u h n  trên X đ

c g i là đ đo Radon n u v i m i

  0 t n t i t p compact K  X sao cho   X \ K    , hay nói cách khác

  X    X   .
H qu 1.2. N u  là đ đo Radon trên không gian metric X, khi đó

  A  sup  K  : K  A, K _compact

V Tr

ng Giang

12

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

v i m i t p Borel A trong X.
Ch ng minh. V i m i   0 l y t p compact K sao cho   X \ K    .
Khi đó

  A  K     A \ Kc     A    Kc     A  
và

  A  K   sup  C : C  K  A, C ®ãng
 sup  K  : K  A, K compact,

Vì m i t p con đóng ch a trong t p compact là compact. K t h p l i ta có
đi u ph i ch ng minh.
Hi n nhiên, n u  X, d  là m t không gian metric compact, khi đó m i đ đo
Borel h u h n trên X là đ đo Radon. Không gian metric tách đ
khi đ

c đ y đ đôi

c g i là không gian Polish.

nh lý 1.1. N u  X, d  là không gian metric tách đ

c đ , khi đó m i đ đo

Borel h u h n trên X là đ đo Radon.
B đ 1.5. N u  X, d  là không gian metric đ , khi đó m t t p đóng K trong

X là compact khi và ch khi hoàn toàn b ch n, t c là v i m i   0 t p K b
ph b i h u h n hình c u (m ho c đóng) bán kính bé h n ho c b ng  .
Ch ng minh. ] Hi n nhiên: ph K b i t t c  -hình c u v i tâm trong K
có ph con h u h n.

V Tr

ng Giang

13

K31B CN Toán

Khoá lu n t t nghi p

] Gi s

 xn n

Tr

ng HSP Hà N i 2

là m t dãy trong K. V i m i m 1 có h u h n 1 / m -hình

c u ph K, ít nh t m t trong s chúng ch a xn v i n nhi u vô h n. V i m 1
l y hình c u B1 v i bán kính  1 sao cho N1  n : xn  B1 là vô h n, và l y
n1  N1 .

L y

hình

c u

B2

v i

bán

kính

 1/ 2

sao

cho

N2  n  n1 : xn  B2  B1 là vô h n, và l y n2  N2 . L y B3 , bán kính
 1 / 3, N3  n  n2 : xn  B3  B2  B1 là vô h n, n3  B3 . Và c ti p t c nh

v y.

 

Theo cách đó xnk

k

 

là dãy con c a  xn n và vì xnl  Bk v i m i l  k , xnk

 

dãy Cauchy. Do X là không gian đ , xnk

k

k

là

h i t trong X và do K đóng, gi i

h n thu c K. Nh v y  xn n có dãy con h i t và K là compact.
Ch ng minh đ nh lý 1.1. Ta ch ng minh r ng v i m i   0 t n t i t p
compact K sao cho   X \ K    . Gi s

D  a1, a2 ,... là m t t p con đ m

c trù m t c a X. Khi đó v i m i   0 ,

đ

  X   limn 



n
k1




k1

B ak ,   X . Do đó



B ak ,  v i m i   0 . Cho   0 , khi đó v i m i

m 1 t n t i nm sao cho
 nm

   B ak ,1/ m     X   2 m .
 k1

t
 nm

K   B ak ,1/ m .
m1 k1

V Tr

ng Giang

14

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Khi đó K là đóng và v i m i   0 ,
nm

nm

k1

k1

K   B ak ,1/ m   B ak , 

n u ta ch n m  1/  . V y theo b đ K là compact. H n n a
nm
nm
 
  

  X \ K       X \  B ak ,1/ m       X \  B ak ,1/ m 
k1
k1
  m1 

 m1


 nm
   m
     X      B ak ,1/ m     2    .



m1 
 k1
  m1


V Tr

ng Giang

15

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

1.3. S h i t y u c a đ đo
Cho  X, d  là không gian metric và kí hi u

Cb  X   f : X  ฀ : f lµ liªn tôc vµ bÞchÆ
n .
M i f  Cb  X là kh tích v i đ đo Borel h u h n b t kì trên X.
nh ngh a 1.6 Cho , 1, 2 ,... là các đ đo Borel h u h n trên X. Ta nói
r ng  i i h i t y u t i  n u

 fd   fd

i

khi i   v i m i f  Cb  X .

Kí hi u i   . (Có nhi u nh t m t gi i h n  nh v y, đi u đó đ

c kéo

theo t vi c metric hóa b i metric Prokhorov, mà s đ

ph n

cđ c pt i

ti p theo.)
nh lí 1.2 Cho  X, d  là không gian metric, , 1, 2 ,... là các đ đo Borel
xác su t trên X . Các kh ng đ nh sau đây là t

ng đ

ng.

(a) i  
(b)

 gd

i

  gd v i m i gUCb  X   { f : X  ฀ : f là liên t c

đ u và b ch n}
(c) limsupi  i  C    C v i m i C  X đóng
(d) liminfi  i U    U  v i m i U  X m
(e) i  A    A v i m i t p Borel A trong X v i   A  0 .

(A  A \ A0 ).
Ch ng minh.  a   b là hi n nhiên
V Tr

ng Giang

16

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

 b   c : Gi

Tr

ng HSP Hà N i 2

t Um   x : d  x, C  1/ m ,

s C là t p đóng khác r ng.

m 1. (Trong đó d  x, A  inf aA d  x, a n u A   và “ d  x,    ”.) Khi

đó Umc là đóng và
inf d  x, y  1/ m

c
xC,yUm

Do đó t n t i fm UCb  X v i 0  fm  1 trên X , fm  1 trên C, và fm  0
trên U . (Th t v y fm 
c
m



d x,Umc



d x,U

c
m



  d  x, C

là hàm c n tìm.) Vì

i  C   1C di   fmdi ,
t gi thuy t (b) ta có

limsup i  C  limsup  fmdi   fmd   1Um d   Um  .
i 

Vì





i 

Um  C (t C là đóng) ta th y

m1

  C  lim  Um   limsup i  C .
m

 c   d : S

i 

d ng ph n bù



    1  limsup  U 
 1   U     X    U    U  .

liminf i U   liminf i  X   i U c

i 

i 

c

 d    c : T

V Tr

ng Giang

c

i 

i

c

ng t

17

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

 c   d   e :

Tr

ng HSP Hà N i 2

A0  A  A, A0 là m và A là đóng, nh v y theo (c) và

(d)

   

limsup i  A  limsup i A   A    A  A
   A    A    A ,

 

 

liminf i  A  liminf i A0   A0    A \ A
   A    A    A ,

Do đó i  A    A .

 e   a : Cho

g Cb  X . Gi s ta có

đ n gi n; ta mu n hàm g g n đúng có đ

 fd   fd

i

đúng v i các hàm

c  gdi   gd .

t

  E   x : g x   E    g1  E  , E là t p Borel trong ฀ .
Khi đó  là đ đo Borel h u h n (đ đo xác su t) trên ฀ và n u ta l y

a   g  , b  g  , khi đó   ฀ \  a, b   0 . Do  là h u h n, t n t i nhi u
nh t đ m đ

c  v i     0 . Do đó v i   0 , t n t i t0 ,..., tm ฀ sao

cho
(i)

a  t0  t1  ....  tm  b ,

(ii)

t j  t j 1   , j  1,..., m,

(iii)

 t j   0 , t c là   x : g x   t j   0 , j  0,..., m.

 





t

V Tr

ng Giang

18

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Aj  x  X : t j 1  g x   t j   g1 [ t j 1, t j )  , j  0,..., m.
Khi đó Aj B  X v i m i j và X   j 1 Aj . H n n a
m

Aj  x : t j 1  g x   t j  ( vì đây là t p đóng và ch a Aj ),
Aj0  x : t j 1  g x   t j  ( vì đây là t p m ch a trong Aj ),
Nh v y


 

   x : g x   t     x : g x   t   0  0.

  Aj    A j \ Aj0    x : g x   t j 1 hoÆ
c g x   t j 
j 1

j

Do đó theo (e), i  Aj     Aj  khi i   v i j  1,..., m.

t

m

h   t j 1 Aj ,
j 1

khi đó h x   g x   h x    v i m i x  X . Do đó

 gd    gd     g  h  d    hd     g  h  d    hd 
  g  h d    hd    hd    g  h d 
j

j

j

j

  j  X  

i u

đó

 gd 

i

V Tr

kéo

theo

j

 t    A     A      X 
m

j 1

j 1

i

j

j

limsupi  gd i   gd   2 .

V y

  gd  khi i  

ng Giang

19

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p
Nh n xét.

Tr

ng HSP Hà N i 2

i u ki n các đ đo xác su t , 1, 2 ,... trong đ nh lí trên có th

thay th b i đi u ki n là đ đo Borel h u h n sao cho i  X     X  khi

i  .

V Tr

ng Giang

20

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

1.4. Metric Prokhorov
Cho  X, d  là không gian metric. Kí hi u

P  P  X  t t c các đ đo xác su t trên X .
Ta có đ nh ngh a v s h i t y u trong P .

nh ngh a v i , P ,

dP   ,   inf   0:   A    A    vµ   A    A    A B  X  ,
trong đó

A   x : d  x, A    n u A   và    v i m i   0 .
(

đây d  x, A  inf d  x, a : a  A .) Hàm dP đ

trên P (c m sinh b i d) mà s đ
tách đ

c ki m ch ng

c g i là metric Prokhorov
đ nh lý ti p theo. N u X là

c, khi đó s h i t theo metric chính là s h i t y u trong P .

nh lý 1.3. Cho  X, d  là không gian metric.
(1) dP là metric trên P  P  X  .
(2) Cho , 1, 2,...P . Khi đó dP  i ,    0 kéo theo i   .
Ch ng minh. (1) V i m i   1 thu c vào t p h p c a đ nh ngh a công th c
c a dP , nh v y c n d

i đúng đ

c xác đ nh. Hi n nhiên dP  ,   0 và

dP  ,   dP  ,   v i m i , P .

dP  ,    0: Gi s  P . V i m i t p Borel A và   0 , A  A , nh
v y   A    A    , do đó dP  ,     , t đó dP  ,    0 .

V Tr

ng Giang

21

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

dP  ,   0     : N u dP  ,   0 , khi đó t n t i m t dãy  n  0 sao

 

 

cho   A   An   n và   A   An   n v i m i n . Do A   n An ,

 

 

đi u đó kéo theo   A   A và   A   A .

c bi t ,   A    A v i

m i t p đóng A và vì v y    ( theo h qu 1.1).
B t đ ng th c tam giác: Cho , , P . Cho   0 sao cho

  A    A    ,   A    A   v i m i AB

và   0 sao cho

  A    A    ,   A    A    v i m i AB .
Khi đó v i AB

 A      
  A    A        A      
  A    A     


 

 

Bây gi chú ý r ng  A   A  .( Th t v y, x   A   d  x, A    

y  A : d  x, y  

và

y  A  a  A : d  y, a   ,

nh

v y

d  x, a  d  x, y  d  y, a     , và x  A   .) Hi n nhiên ta c ng có

A 

 

 A   . Do đó v i m i AB ,

  A    A        ,

  A    A        .

V Tr

ng Giang

22

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

Do đó theo đ nh ngh a, dP  ,      .

dP   ,  và c n d

ng HSP Hà N i 2

ý r ng c n d

i đúng c a  là

i đúng c a  là dP  ,  . Nh v y l y c n d

i đúng c a

   thu đ c
dP  ,   dP  ,   dP ,  .
(1) đã đ

c ch ng minh.

(2) Gi s

r ng dP  i ,    0 khi i   . Khi đó t n t i  i  0 v i

i  A    A    i và   A  i  A   i v i m i AB . Do đó v i
i

i

AB ,

  

limsup i  A  limsup  Ai   i
i 

i 

 



 

 lim  Ai   A .
i 

c bi t v i m i t p đóng C  X , limsupi  i  C    C và vì v y

i  .
nh lý 1.4. N u

 X, d 

là không gian metric tách đ

c, khi đó v i m i

, 1, 2,...P  X ta có
i   khi và ch khi dP  i ,    0 .
ch ng minh đ nh lý này ta c n m t b đ v s t n t i c a ph đ c bi t v i
các hình c u nh .

V Tr

ng Giang

23

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

B đ 1.6. Cho  X, d  là không gian metric tách đ

ng HSP Hà N i 2
c và  là m t đ đo

Borel h u h n trên X. Khi đó v i m i   0 t n t i đ m đ

c các hình c u

m (ho c đóng) B1, B2 ,... sao cho


B  X,
i 1

i

bán kính c a Bi là nh h n  v i m i i ,

  Bi   0 v i m i i.
Ch ng minh. Gi s D là t p đ m đ

c trù m t trong X . Cho x  D .

t

S x, r   y  X : d  y, x   r  . Ta th y r ng biên c a hình c u m ho c đóng
tâm t i x và bán kính r ch a trong S x, r  .   0 cho tr

S  S x, r  :  / 2  r    là r i nhau và vì th có nhi u nh t đ m đ
ph n t có đ đo  l n h n 0. Do S là không đ m đ

c, h
c các

c, t n t i r   / 2, 

sao cho   S x, r    0 . Theo cách này ta th y v i m i x  D có m t hình c u
m

(ho c đóng) B x, r  tâm t i x

v i bàn kính r   / 2,  và

  B x, r    0 . Do D là trù m t nên các hình c u là m t ph c a X , và do D
là đ m đ

c nên ta có đ m đ

c các hình c u B1, B2 ,...

Ch ng minh đ nh lý 1.4. ] đã đ

c ch ng minh

] Cho   0 . Ta mu n ch ra r ng t n t i N sao cho v i m i i  N ta
có dP  i ,     b ng cách ch ra i  B    B    và   B  i  B   
v i m i BB .

V Tr

ng Giang

24

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

L y   0 v i    / 3 và s d ng b đ trên ta có các hình c u m
B1, B2 ,... v i bán kính   / 2 sao cho




j 1

 

Bj  X và  Bj  0 v i m i j.

Xác đ nh k sao cho

 k 
   Bj   1   .
 j 1 
Chú ý r ng h các t p h p mà có th xây d ng đ

c b i t h p các hình c u

B1,..., Bk



A   Bj : J  1,..., k ,
 jJ

là m t h h u h n. Ta s coi h này nh các t p Borel tùy ý. V i m i AA ,
A  B1  ...  Bk , do đó   A    B1   ...    Bk   0 . Vì i   , ta

có i  A    A v i m i AA . Xác đ nh N sao cho

i  A    A   v i m i i  N và m i AA .
Khi đó trong tr

ng h p đ c bi t i

 B     B     1 2

k

j 1

k

j

j 1

j

v i

m i i N.
Bây gi gi s BB cho tr

c. Coi B g n đúng v i t p h p

A  Bj : j 1,..., k sao cho Bj  B   A .
Ta th y
• A  B   x : d  x, B    vì đ

V Tr

ng Giang

ng kính c a m i Bj là   ,

25

K31B CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

k

• B   B   j 1 Bj    B 

 

 B 
k

j 1

c

j


  A 

ng HSP Hà N i 2

 B 
k

j 1

c

j

k

vì B   j 1 Bj

  j 1 B  Bj   A ,
k

• i  A    A   v i m i i  N ,


• 




k

 j 1 Bj



c



   , i 





k

 j 1 Bj

   2 v i m i i  N .
c

Do đó v i m i i  N

  k c 
  B    A      Bj      A    i  A  2
  j 1  


 i  B   2  i  B    ,
  k c 
i  B  i  A  i    Bj    i  A  2    A  3
  j 1  


   B   3    B    .
i u này đúng v i m i BB , nh v y dP  i ,     v i m i i  N .

M nh đ 1.3. Cho  X, d  là không gian metric tách đ
v i metric Prokhorov dP là tách đ

c. Khi đó P  P  X 

c.

Ch ng minh. Gi s D  a1, a2 ,... là t p đ m đ

c trù m t trong X .

t

k


M  1 a1  ...   k ak : 1,..., k  ฀   0,1,  j  1, k  1,2,... .
j 1



V Tr

ng Giang

26

K31B CN Toán