Luận văn sư phạm Phép đối xứng qua đường thẳng trong E2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*****

DOÃN HOÀNG VIỆT

PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG
THẲNG TRONG E2
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI - 2013
1


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*****

DOÃN HOÀNG VIỆT

PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG
THẲNG TRONG E2
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
GVC. PHAN HỒNG TRƯỜNG

HÀ NỘI - 2013
2

LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian vừa qua, được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo và các
bạn sinh viên trong lớp. Em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài
“Phép đối xứng qua đường thẳng trong E2”
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ hình học đã tạo
điều kiện cho em hoàn thiện khóa luận này. Và đặc biệt, em xin chân thành
cảm ơn thầy giáo Phan Hồng Trường người đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn
thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Người thực hiện

Doãn Hoàng Việt

3


LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này được hoàn thành là kết quả của quá trình tìm tòi, tích luỹ
kiến thức của bản thân tôi dưới mái trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, cùng
với đó là quá trình học hỏi, nghiên cứu dưới sự dạy dỗ chỉ bảo tận tình của
thầy giáo Phan Hồng Trường.
Vì vậy, tôi cam đoan rằng luận văn này không trùng với bất kỳ luận văn
nào trước đó.
Người cam đoan

Doãn Hoàng Việt

4

MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU ........................................................................................ 1
PHẦN 2: NỘI DUNG .................................................................................... 2
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................ 2
1. Các khái niệm về phép biến hình ...................................................................2
2. Các khái niệm và tính chất về phép biến hình đẳng cự ..................................2
3. Định nghĩa và tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng........................3
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG
TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC ...................................... 5
§1: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải các bài toán
chứng minh .................................................................................................... 5
§2: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải các bài toán
tính toán ....................................................................................................... 14
§3: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc ...................... 19
giải các bài toán dựng hình ........................................................................... 19
§4: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc ...................... 29
giải bài toán quỹ tích .................................................................................... 29
CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ ............................................................... 34
KẾT LUẬN.................................................................................................. 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 40

5


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một trong những môn học khó và tương đối trừu tượng trong
chương trình toán phổ thông, đặc biệt là về phép biến hình. Vấn đề này, học

sinh được tiếp xúc ít và khi tiếp cận tới nó, học sinh thường lúng túng và bỡ
ngỡ. Nhưng phép biến hình là một công cụ đơn giản nhưng đầy hiệu quả
trong việc giải các bài toán hình học. Tuy nhiên, việc giải các bài toán hình
học bằng phương pháp biến hình không phải là dễ đối với cả học sinh và giáo
viên.
Về phép biến hình đẳng cự nói chung và phép đối xứng qua đường thẳng
nói riêng trong hình học phẳng, học sinh chỉ được học về phép đối xứng qua
đường thẳng một cách sơ lược và hệ thống bài tập còn rất sơ sài, chưa thể
hiện được tính ưu việt của phép đối xứng qua đường thẳng trong giải toán
hình học. Nhưng trên thực tế, phép đối xứng qua đường thẳng có thể giúp
chúng ta giải quyết được nhiều lớp các bài toán hình học. Để thấy được tính
hiệu quả của nó, tôi đã chọn đề tài “Phép đối xứng qua đường thẳng
trong E2”.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến phép đối xứng qua đường thẳng
và xây dựng hệ thống các ví dụ, bài tập minh hoạ, cùng các lời đánh giá nhận
xét sao cho hữu ích và có thể sử dụng được, thông qua các lớp bài toán: Bài
toán chứng minh, bài toán tính toán, bài toán dựng hình và bài toán quỹ tích.
3. Phương pháp và phạm vi nghiên cứu
Chứng minh bằng các ví dụ cụ thể dựa trên các tài liệu sẵn có.
Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 11 (cơ bản và nâng cao), các bài giảng
chuyên đề, sách tham khảo lớp 10 và lớp 11, các giáo trình hình học sơ cấp và
tài liệu có liên quan đến phép đối xứng qua đường thẳng.

1


PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Các khái niệm về phép biến hình

1.1. Định nghĩa 1
Mỗi song ánh f : En  En được gọi là phép biến hình của không gian En
1.2. Định nghĩa 2
Cho phép biến hình f : En  En ta có các khái niệm sau:
a. Điểm M  En được gọi là điểm bất động đối với phép biến hình f nếu
f(M) = M.
b. Hình H  En được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu f(H) = H
c. Hình H  En được gọi là bất động đối với phép biến hình f nếu mọi điểm
của H đều là điểm bất động đối với f.
1.3. Định nghĩa 3
Phép biến hình f : En  En mà f ∙ f = id E được gọi là phép biến hình
n

đối hợp.
2. Các khái niệm và tính chất về phép biến hình đẳng cự
2.1. Định nghĩa
Phép biến hình f : En  En được gọi là phép biến hình đẳng cự của En nếu
nó bảo toàn khoảng cách của 2 điểm bất kỳ. Tức là:
F là phép đẳng cự  d(M, N) = d(f(M), f(N)),  M, N En ( d(M, N) là
khoảng cách của 2 điểm M, N).
2.2. Tính chất
a. Phép biến hình đẳng cự biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm giữa
A và C thành 3 điểm A', B', C' thẳng hàng với B' nằm giữa A' và C'.
b. Phép biến hình đẳng cự biến:
- Đường thẳng thành đường thẳng.
- Tia thành tia.
- Đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
2

- Góc thành góc bằng nó.
- Đường tròn có bán kính bằng đường tròn đã cho.
3. Định nghĩa và tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng
3.1. Định nghĩa
Cho một đường thẳng ∆. Phép biến hình biến mỗi điểm X  ∆ thành điểm
X và biến điểm M  ∆ thành điểm M' sao cho ∆ là trung trực của đoạn thẳng
MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng ∆ và được kí hiệu là Đ∆.
Phép đối xứng qua đường thẳng còn được gọi đơn giản là phép đối xứng trục.
Đường thẳng ∆ được gọi là trục đối xứng và là đường thẳng bất động của
phép đối xứng trục Đ∆. .
Cho trước một hình H. Tập hợp

∆

ảnh của mọi điểm thuộc H qua phép
đối xứng trục Đ∆ lập thành một

M

hình H' được gọi là hình

/

/

M'

đối xứng với H qua ∆.
Nếu H  H' thì ta nói H là hình có
trục đối xứng.

3.2. Tính chất
Ta có định lý sau:
* Định lý: Phép đối xứng trục là một phép biến hình đẳng cự.
* Dựa vào định lý và định nghĩa của phép đối xứng qua đường thẳng, ta suy
ra các tính chất :
a) Phép đối xứng qua đường thẳng là một phép biến hình đẳng cự nên nó có
đầy đủ tính chất của một phép biến hình đẳng cự.
b) Nếu M' là ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng ∆ thì M lại là
ảnh của M' qua phép đối xứng đó. Ta suy ra tích của một phép đối xứng qua
đường thẳng với chính nó là phép đồng nhất hay phép đối xứng qua đường
thẳng là một phép đối hợp.
3


c) Mọi điểm thuộc trục đối xứng ∆ đều là điểm bất động.
d) Mỗi đường thằng a vuông góc với trục đối xứng ∆ đều biến thành chính nó
với chú ý rằng giao điểm a với ∆ các điểm khác của a đều không phải là điểm
bất động.

4


CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG
THẲNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
§1: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc giải
các bài toán chứng minh
1.1. Khái niệm bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh chứa đựng trong tất cả các loại bài toán hình học
khác như: bài toán tính toán, bài toán dựng hình, bài toán tìm quỹ tích. Đó là
bài toán cần chứng minh mệnh đề A  B với A là giả thiết, B là kết luận. Ta

đi từ giả thiết A đến kết luận B bằng những suy luận hợp logic dựa trên cơ sở
của các định nghĩa, định lý.
1.2. Sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng trong bài toán chứng minh
Nếu ta thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đường đã cho trong giả
thiết A với các điểm hay các đường trong kết luận B thông qua phép đối xứng
trục thì nhờ tính chất đẳng cự của phép đối xứng qua đường thẳng ta nhận
được kết quả về tính đồng quy, thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ
vuông góc, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau,các tam giác, các
đường tròn bằng nhau… Từ đó ta sẽ dễ dàng giải quyết được bài toán chứng
minh.
1.3. Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép đối xứng qua đường thẳng
Nếu mệnh đề A  B đã được khẳng định nhờ phép đối xứng qua đường
thẳng thì ta có thể sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng xét mệnh đề đảo
B  A, xét các trường hợp đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự hoá của
mệnh đề này ta sẽ được bài toán mới.
1.4. Một số ví dụ cụ thể
Ví dụ 1.1:
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường tròn (S) đi qua 3
điểm I, B, C cắt các đường thẳng AB và AC thành 2 dây cung. Chứng minh
rằng hai dây cung đó có độ dài bằng nhau.
5


Lời giải:
Để chứng minh hai dây cung là giao điểm của (S) với AB và AC có độ dài
bằng nhau, ta thấy việc chứng minh trực tiếp độ dài của chúng bằng nhau là
rất khó. Vì vậy ta sẽ tìm cách chứng minh qua phép đối xứng qua đường
thẳng và tìm một trục đối xứng cho phù hợp.
Gọi J là tâm đường tròn
bàng tiếp thuộc ฀

ABC của tam giác

A

ABC. Ta sẽ tìm một phép đối
xứng qua đường thẳng IJ biến

I

dây cung này thành dây cung kia.
B

Ta có: I là tâm đường tròn

C

ngoại tiếp ∆ABC
 IB là phân giác của góc ฀
ABC
฀
฀ = IBC
 IBA

J

(1)

x

Tương tự, IC là phân giác ฀

ACB
฀
 ฀
ACI = ICB

y

(2)

Gọi đường kéo dài của 2 tia AB và AC là Ax và Ay
฀
của ∆ABC
J là tâm đường tròn bàng tiếp BAC
฀ x . Do đó JB
฀ x = JBC
฀
 IB là phân giác của CB
฀
฀
= JCy
Tương tự ta cũng có: JCB

(3)
(4)

180
฀ + JBC
฀
฀ + JCB
฀

= ICB
=
Từ (1),(2),(3) và (4)  IBC
2

฀ = ICJ
฀ = 90°.
Hay IBJ
 Tứ giác IBJC là tứ giác nội tiếp.
฀ = ICJ
฀ = 90°
Kết hợp với IBJ
 IBJC nội tiếp đường tròn đường kính IJ.

Ta có: IJ là trục đối xứng của hai đường thẳng AB, AC và đường tròn (S).
Do đó các giao điểm của (S) và AB sẽ đối xứng với các giao điểm của (S).
6


với AC thông qua trục IJ.
Hay 2 dây cung đó sẽ đối xứng nhau qua IJ.
 Theo tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng, hai dây cung đó có độ

dài bằng nhau.
Ta có điều phải chứng minh.
* Khai thác sâu bài toán
฀ . Khi đó, mọi đường tròn có tâm nằm trên
Gọi At là tia phân giác của xAy

Tia At đều cắt Ax, Ay thành 2 cung bằng nhau. Vậy ta có bài toán mới sau:

฀
Bài toán: Cho góc xAy
cố định. Đường tròn tâm I nằm trên phân giác của
฀ , cắt Ax, Ay tương ứng thành 2 dây cung. Chứng minh hai dây cung đó
xAy

bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Khi đó, do tính chất đối xứng của đường tròn, ta chọn tia phân giác At
làm trục đối xứng. Ta có :
ĐAt : Ax  Ay
(I,R)  (I,R)
Khi đó suy ra 2 dây cung tương ứng qua phép đối xứng trục At sẽ bằng nhau
do tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng.
 Điều phải chứng minh.

Vậy 2 dây cung đó sẽ bằng nhau.
Ví dụ 1.2:
Cho ∆ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng của H
qua các cạnh của tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, các đường
tròn ngoại tiếp ∆BCH, ∆CAH, ∆ABH, ∆ABC đều bằng nhau.

7


Lời giải:
a, Gọi H1 = ĐBC(H)

A

H2 = ĐAC(H)

H2

H3 = ĐAB(H)
Ta sẽ chứng minh

N

H1, H2, H3  (O)

H3

Trong đó (O) là

P

O
H

đường tròn ngoại tiếp

C

tam giác ABC.

B

Trước hết ta sẽ chứng minh H1  (O).

Gọi M = AH  BC, N = BH  AC, P = CH  AB.

M
H1

Tứ giác APHN có: ฀
APH = ฀
ANH = 90°
 APHN nội tiếp đường tròn đường kính AH
฀
= 180°
 ฀A + PHN

(1)

฀
฀
Mà PHN
= BHC
( đối đỉnh )

(2)

Do H1 = ĐBC(H) nên theo tính chất bảo toàn góc của ĐBC ta có:
฀
= B฀H1C
BHC

(3)

Từ (1),(2) và (3)  ฀A + B฀H1C = 180°
 Tứ giác ABH1C nội tiếp.

Mà A,B,C  (O) nên H1  (O)
Chứng minh tương tự ta cũng có H2, H3  (O)
b, Ta có: ĐBC :

H  H1

ĐBC : ∆BHC  ∆BH1C
 Đường tròn ngoại tiếp ∆BHC bằng đường tròn ngoại tiếp ∆BH1C.

Mà đường tròn ngoại tiếp ∆BH1C chính là (O).
Vậy đường tròn ngoại tiếp ∆BHC bằng đường tròn (O)
Tương tự ta có : ĐAC : ∆AHC  ∆AH2C
ĐAB : ∆AHB  ∆AH3B
Do đó ta có đường tròn ngoại tiếp ∆AHC, ∆AHB bằng đường tròn ngoại tiếp
8


của ∆ABC ( chính là (O) ).
Ta có điều phải chứng minh.
* Khai thác sâu bài toán
- Ở phần b của bài toán ta nhận xét thấy:
Để chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC và các tam giác còn lại
bằng nhau một cách trực tiếp thì ta phải đi chứng minh bán kính của chúng
bằng nhau. Việc này rất khó thực hiện. Nhưng nếu sử dụng tính chất của phép
đối xứng qua đường thẳng thì việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn.
Qua đó thấy được ưu điểm của phép đối xứng qua đường thẳng trong bài toán
chứng minh.

- Từ bài toán trên ta có kết quả sau :
Nếu gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BHC,
∆AHC, ∆AHB thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆O1O2O3. Từ đó ta có
đường tròn ngoại tiếp ∆O1O2O3 bằng đường tròn (O). Do đó ta có thể mở
rộng bài toán trên thành bài toán sau :
Bài toán: Cho H là trực tâm của ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi O1, O2,
O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BHC, ∆AHC, ∆AHB. Chứng minh
rằng đường tròn ngoại tiếp ∆O1O2O3 bằng đường tròn (O).
Hướng dẫn giải:
+ Ta cần chứng minh: ĐBC(O) = O1, ĐAC(O) = O2, ĐAB(O) = O3
Mà H  (O1), H  (O2), H  (O3)
Bán kính của (O1), (O2), (O3) đều bằng bán kính của (O)
 H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆O1O2O3

Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.3:
Cho tam giác ABC và đường tròn (O) nội tiếp tam giác, tiếp xúc với các
cạnh BC tại A', CA tại B' và AB tại C'. Gọi I là điểm đối xứng với A' qua AO.
Chứng minh rằng: IB' = A'C'.

9


Lời giải:
A

Ta có : B' và C' đều là

B'

C'

điểm của ∆ABC và (O)

O

 B',C' cách đều AO.
 B' đối xứng với C'

I

qua đường thẳng OA.

B

C

A'

Xét phép đối xứng trục OA ta có :
ĐOA : B'  C'
I  A'
 IB'  A'C'

Do đó IB' = A'C'
Ta có điều phải chứng minh.
* Khai thác sâu bài toán
Ta nhận thấy rằng : Nếu AC > AB thì ta có CC' > BB'. Điều này có thể
chứng minh được bằng phép đối xứng qua đường thẳng.
Từ đó ta có bài toán mới sau :

Bài toán: Cho ∆ABC có đường tròn nội tiếp của nó tiếp xúc với các cạnh
AB và AC tương ứng tại các điểm C' và B'. Chứng minh rằng nếu AC > AB
thì CC' > BB'.
Hướng dẫn giải:
Gọi B'' là điểm đối xứng với B qua
A

phân giác góc A. Khi đó B'' nằm trên
cạnh AC và AB = AB''

C'

Tam giác ABB'' cân tại A, do đó

B'
B''

฀ '' C tù.
฀
AB '' B nhọn và BB

Mặt khác, tia B''C' nằm ngoài

B

10

C

฀ '' C nên C
฀' B '' C là góc tù,
góc BB

đối diện với góc đó là cạnh CC'.
Vì vậy CC' > B''C' hay CC' > BB'. Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.4:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Kí hiệu AH, AD lần lượt là
đường cao, đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng đường thẳng đối
xứng với AH qua AD đi qua tâm O của đường tròn.
Lời giải:
Gọi Ak là đường thẳng đối xứng với AH qua AD ( K  (O) ).
฀ D = K
฀AD
Vì AK đối xứng với AH qua AD  HA

(1)

฀
Mà AD là phân giác BAC

(2)

฀ D
฀ D = CA
 BA

฀AC .
฀
=K

Từ (1) và (2) ta có: HAB

Ta có :

A

ĐAD : AH  AK
AB  AC
฀
฀AC
=K
Mà HAB
฀
฀AC
 K
 ĐAD : HAB

O

Xét ∆ABH và ∆ACK có:
฀
฀AC
= K
HAB

B

฀
ABC = ฀
AKC

( cùng chắn cung ฀
AC )
 ∆ABH và ∆ACK đồng dạng (g.g)
AHB = ฀
฀
ACK = 90°

 AK là đường kính của đường tròn (O)

Ta có điều phải chứng minh.

11

H

D

C
K


* Khai thác sâu bài toán
Gọi P,Q lần lượt là điểm đối xứng với H qua AB và AC. Khi đó HA là
phân giác của góc tạo bởi giao điểm của PQ và AB, AC kẻ từ H.
Ta có bài toán mới nhờ phép đối xứng qua đường thẳng :
Bài toán: Cho tam giác ABC nhọn và H là chân đường cao kẻ từ A xuống
BC. Gọi P,Q là các điểm đối xứng với H qua AB và AC. Đường thẳng PQ cắt
฀
.

AB và AC tại K và E. Chứng minh rằng HA là đường phân giác của KHE

Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta dễ dàng thấy AB, AC là các phân giác ngoài của tam giác
KHE. Vì vậy ta suy ra HA cũng là phân giác trong của tam giác đó.
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.5:
Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có hai góc kề cạnh CD nhọn. Chứng
minh rằng nếu số đo góc D lớn hơn số đo góc C thì ta có AC > BD.
Lời giải:
Gọi ∆ là đường trung trực
của cạnh AB và D' là điểm

A

đối xứng với D qua ∆.

/

/

B

Khi đó D'  CD.
฀ D
฀ 'B > BC
Vì ฀
ADC = DD

฀ ' D nhọn.

 BD

D

D'

C

฀ 'C tù.
฀ 'D , do đó AD
฀ ' D nhọn và AD
Vì tia D 'A nằm trong BD

฀ ' tù, do đó cạnh AC lớn nhất, nghĩa là AC > AD '
Trong ∆AD 'C có góc D

Mà AD ' = BD  AC > BD. Ta có điều phải chứng minh.

12


* Khai thác sâu bài toán
Ta thấy phép đối xứng qua đường thẳng không chỉ giúp ta chứng minh
trực tiếp một tính chất hình học mà còn gián tiếp giúp ta chứng minh bằng
cách tạo ra các yếu tố bên ngoài, hình phụ… để chứng minh bài toán.
Ngoài ra, nhiều bài toán chứng minh được tạo thành từ chính phép đối
xứng trục đó. Ta có bài toán sau :
Bài toán: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng các điểm đối xứng
với trực tâm tam giác qua mỗi cạnh của tam giác đều nằm trên đường tròn
ngoại tiếp của tam giác đó. Kết luận trên còn đúng không trong trường hợp

∆ABC có góc tù ?
Hướng dẫn giải:
Gọi H ' là điểm đối xứng với H qua BC. Khi đó ta dễ dàng chứng minh
฀ 'C = BHC
฀
฀ .
= 180°- BAC
được BH

Khi đó H  đường tròn (ABC) (ĐPCM).

13


§2: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc
giải các bài toán tính toán
2.1. Khái niệm về bài toán tính toán
Trong hình học, ta thường gặp một số bài toán tính toán tiêu biểu như:
tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo của góc, tỉ số độ dài đoạn thẳng, tính chu vi
diện tích của các hình hình học. Để giải bài toán tính toán, thông thường ta sử
dụng các bước sau :
1. Xác định các yếu tố tính toán, các yếu tố đã biết
2. Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố cần tính toán
3. Tiến hành tính toán theo dữ liệu đã được thiết lập
2.2. Giải bài toán tính toán nhờ sử dụng phép đối xứng qua đường thẳng
Ta sử dụng các tính chất của phép đối xứng trục để tìm ra các góc bằng
nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các tam giác hay đường tròn bằng nhau…
Từ đó dựa vào các yếu tố đã biết của bài toán và các kết quả vừa tìm được
nhờ sử dụng tính chất của phép đối xứng qua đường thẳng để tìm ra các đại
lượng cần tính toán.

2.3. Một số ví dụ cụ thể
฀ =80°. Điểm O nằm trong tam giác sao
Ví dụ 2.1: Cho ∆ABC cân tại A, BAC
฀ =10°, OCB
฀ =30°. Tính góc ฀
cho OBC
AOB .

Lời giải:
Kẻ đường cao AH. Ta gọi I = AH  OC, K = AH  OC.
Xét phép đối xứng qua đường thẳng AH:
ĐAH : B  C
 ĐAH : ∆IBH  ∆IHC
฀
฀
฀
= IBH
= OBC
= 10°
 ICH
฀
฀
฀
= OCB
- ICH
= 30° - 10° = 20°
 ICK

14

A

K
O

I
B

10°

30°

H

C

180  80
฀ =20°
Mà ฀
= 50°  ฀
ACB =
ACK = 20°  ฀
ACK = ICK
2

 CK là phân giác của góc ฀
ACI

Ta có: ĐAH : A  A

II
B C
KK
 ĐAH : ∆AIB  ∆AIC

Do đó phép đối xứng qua đường thẳng AH biến phân giác của ∆AIC thành
phân giác BK của ∆AIB.
฀
ABK = 20° = KBO
 ฀
฀
฀
฀
Ngoài ra BOK
= OBC
+ OCB
= 10° + 30° = 40° ( góc ngoài ∆BOC)
฀
฀
= BAK
= 40°
 BOK

Xét phép đối xứng trục: ĐBK : B  B
KK
฀
฀
Mà BOK
= BAK
= 40°  ĐBK : A  O  ∆OAB cân tại B.

180  40
= 70°.
Do ฀
ABO = 40° nên ฀
AOB =
2

Vậy ฀
AOB = 70°.

15


* Khai thác sâu bài toán
Bài toán trên thuộc loại tính toán các đại lượng hình học, cụ thể là tính độ
lớn (số đo) của một góc giữa hai tia. Bài toán này vì thế có nhiều cách giải
khác nhau, đặc biệt là hướng tính toán dựa trên cách vận dụng định lý sin và
côsin. Tuy nhiên, đối với trường hợp bài toán này từ đặc điểm ∆ABC cân tại
A, chúng ta nghĩ đến phép đối xứng qua đường thẳng với trục đối xứng là
AH, trong đó AH là đường cao của ∆ABC.
Xét trường hợp tương tự nếu ∆ABC cân tại B, ta sẽ có bài toán sau :
฀
฀
= 10°, PCA
=
Bài toán: Giả sử P là điểm nằm trong ∆ABC sao cho PAC
฀ .
฀
20°, PAB

= 30°, ฀
ABC = 40°. Hãy tính độ lớn BPC

Hướng dẫn giải:
Lời giải bài toán này tường tự như lời giải bài toán trên, chỉ khác là ta xét
phép đối xứng qua đường thẳng với trục đối xứng là BH (BH là là đường cao
hạ từ đỉnh B).
Ví dụ 2.2:
Cho ∆ABC cân đỉnh B, ฀
ABC = 30°. Trên BC lấy D sao cho AC:BD= 2 .
฀
.
Tính DAC

Lời giải:
Gọi a là đường trung trực của BA

B

Ta có: Đa : D  D'
Gọi E = a  BC  A,D',E thẳng hàng.
Vì

300
D

Đa : B  A

E

D  D'

a

EE

150

Mà B,D,E thẳng hàng, nên
ta có A,D',E thẳng hàng.

A

16

300
450

C


฀ = BCA
฀ = 180  30 =75°
Do ∆ABC cân tại B có B฀ =30° nên BAC
2

฀ D ' = 30° = ฀
Ta có ∆AEB cân tại E  BA
ABE

฀' AC = 75° - 30° = 45°
 D

Mặt khác theo giả thiết ta có:
AC = BD 2 = A'D 2
Trong ∆AD'C ta có:
฀' AC = 45°, AC = A'D 2
D

Nên theo định lý cosin ta có:
D'C2 = AC2 + AD'2 – 2AC.AD'.cos45°
= 2AD'2 + AD'2 - 2 2 .AD'2.

2
2

= AD'2
 D'C = AD'
฀' AC = 45°
 ∆AD'C cân tại D' có D
 ฀
AD ' C = 90°.

Ta có ∆EDD' cân tại E và E฀DD ' = B฀ = 30°
Mặt khác trong ∆DD'C có:
฀ = 30°
D
฀ ' = DD
฀ ' E = 90° = 30° + 90° = 120°
D

฀ D ' = 30°
 DC

Vì D'A = D'D = D'C nên ∆DD'A cân tại D'
฀ ' = 1 DD
฀ ' E = 15°
 DAD
2

฀
฀' AC = 15° + 45° = 60°
฀ ' + D
 DAC
= DAD
฀
Vậy DAC
= 60°.

17

(1)


Ví dụ 2.3:
Cho ∆ABC cân tại C có ฀
ACB = 100°. Qua A và B vẽ các tia AL và BK (L
฀
฀
= 30°, KBA
= 20°, AL cắt BK ở M. Tính các

 BC, K  AC) sao cho LAB

฀
.
góc ฀
ACM và BCM

Lời giải:
Gọi CH là đường cao

1000

C

của tam giác ABC.
Ta có: ĐCH : A  B
EA  EB
IA  IB

B

A
300

H

(Với E = BK  CH, I = AL  CH)
฀
฀
= CBA

= 40°
Trong ∆ABC cân tại C có C฀ = 100°  CAB
฀
฀
฀ = 10°
= CAB
- IAB
 CAI

(1)

฀AH = EBH
฀
฀ E = IAH
฀
฀AH = 10°
Ta có E
= 20°  IA
-E

(2)

฀
฀ E = 10°
= IA
Từ (1) và (2) suy ra: CAI
฀ E  IB là phân giác góc CBE
฀
 AI là phân giác góc CA

Xét phép đối xứng qua đường thẳng BI ta có:
ĐBI : BC  BK
IC  IM
 M là ảnh của C qua ĐBI

Vậy tam giác CBM cân tại đỉnh B và ta có:
180  20
฀
฀
BCM
= BMC
=
=80°
2

Do đó ฀
ACM = 100° - 80° = 20°
Vậy ฀
ACM = 20°.

18

200


§3: Ứng dụng của phép đối xứng qua đường thẳng trong việc
giải các bài toán dựng hình
3.1. Khái niệm bài toán dựng hình
Bài toán dựng hình được phát biểu dưới dạng: “Dựng một hình thoả mãn
các điều kiện, yêu cầu sau…”

Các bước để giải bài toán dựng hình
Thông thường giải một bài toán dựng hình gồm 4 bước:
Bước 1: Phân tích
Giả sử đã dựng được hình thoả mãn yêu cầu của bài toán, căn cứ vào hình
đó xét xem mối quan hệ giữa các yếu tố (điểm, đoạn thẳng, đường thẳng,
đường tròn, độ dài đoạn thẳng, các quan hệ song song, vuông góc…) của hình
đó để xác định xem yếu tố nào trước, yếu tố nào sau. Bước này là bước quan
trọng để đưa ra lời giải của bài toán.
Bước 2: Cách dựng
Dựa vào phần phân tích trình bày lần lượt các phép dựng và thể hiện bằng
hình vẽ các phép dựng đó.
Bước 3: Chứng minh
Khi phép dựng đã được thực hiện, dựa vào phép lập luận để chứng tỏ rằng
hình đã dựng thoả mãn các yêu cầu đặt ra của bài toán.
Bước 4: Biện luận
Xét xem khi nào các phép dựng trong bước 2 dựng được và dựng được bao
nhiêu hình thoả mãn bài toán hay nói cách khác trả lời xem có bao nhiêu hình
thoả mãn bài toán.
3.2. Giải bài toán dựng hình nhờ phép đối xứng qua đường thẳng
Có thể nói bước phân tích đóng vai trò hàng đầu trong bài toán dựng hình.
Có bài toán dựng hình sau khi phân tích còn lại các điều khác hầu như là hiển
nhiên.

19


Có thể hình dung bước phân tích nhờ sơ đồ như sau:
H  H1  H2  …  Hn-1  Hn
- Để dựng được hình H ta phải dựng hình H1
- Để dựng được hình H1 ta phải dựn hình H2

-…
- Để dựng được hình Hn-1 ta phải dựng hình Hn
Quá trình này dựng được khi Hn đã cho dễ dàng dựng được từ các yếu tố
đã cho trong giả thiết nhờ các phép dựng cơ bản.
3.3. Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép đối xúng qua đường thẳng
Đề xuất bài toán: Với bài toán dựng hình H có tính chất α nào đó đã cho.
Sử dụng phép đối xứng trục Đ biến hình H thành hình H' có tính chất α' có
được do chuyển các tính chất α tương ứng qua Đ (nhờ tính chất bất biến của
Đ) ta nhận được bài toán dựng hình H' có tính chất α'. Lúc đó nếu một trong
hai bài toán giải được thì bài toán còn lại cũng giải được.
Xét một số trường hợp của bài toán: sử dụng thao tác đặc biệt hoá, khái
quát hoá, tương tự hoá bằng cách thay đổi tập hợp điểm (hình này) bằng các
tập hợp điểm khác (hình khác) nhờ sử dụng sự trợ giúp của phép đối xứng qua
đường thẳng.
3.4. Một số ví dụ cụ thể
Ví dụ 3.1:
Cho hai đường thẳng a, b và đường tròn (O). Hãy tìm trên a điểm M và
trên đường tròn (O) điểm N sao cho b là đường trung trực của đoạn thẳng
MN.
Lời giải:
Bước 1: Phân tích
Giả sử ta đã dựng được điểm N và điểm M thoả mãn:
- N  (O).
- b là đường trung trực của MN.
20