Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
VŨ THỊ MỪNG
SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG ĐẺ TÌM GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG HÌNH HỌC
KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC
• • • •
Chuyên ngành: Hình học
Ngưòri hướng dẫn khoa học TH.S NGUYỄN
VĂN VẠN
■
HÀ NỘI - 2014
Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân, đặc biệt là sự hướng dẫn
chỉ bảo tận tình của T h S . N g u y ễ n V ă n V ạ n đã giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên
cứu và hoàn thành khóa luận.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thày cô giáo trong khoa Toán nói
chung, các thầy cô giáo trong tổ Hình Học nói riêng, đặc biệt là T h S . N g u y ễ n V ă n
V ạ n đã tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình.
Do điều kiện thòi gian & khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn
không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy, cô cùng các bạn nhận xét và góp
ý kiến để em rút kinh nghiệm & có hướng hoàn thiện, phát triển khóa luận sau này E m x i n
c h â n t h à n h c ả m ơ n ỉ
Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên
Vũ Thị Mừng
Em xin cam đoan toàn bộ kết quả trong khóa luận này là do em tìm tòi, nghiên cứu
dưới sự hướng dẫn của thày cô trong tổ Hình Học, đặc biệt T h S . N g u y ễ n V ă n V ạ n và
không có sự trùng lặp với bất kỳ kết quả nào khác.
Hà Nội, thảng 5 năm 2014 Sinh viên
LỜI CẢM ƠN
Vũ Thị Mừng
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
1. Lí do chon đề tài
•
Hình học được coi là một môn học có tính chất hệ thống chặt chẽ, có
tính logic và tính trừu tượng hóa cao. Do đó, đối với nhiều học sinh thì hình
học được coi là môn học khó nhất trong tất cả các môn khác của toán học ở
nhà trường phổ thông, đặc biệt là việc học hình học không gian cũng như việc
học các phép biến hình.
Trong chương trình hình học ở bậc trung học ta đã được biết đến các
phép biến hình. Với bậc trung học cơ sở một số phép biến hình được đưa vào
như một công cụ để giải một số các bài toán hình học một cách hợp lý và
nhanh gọn. Với bậc trung học phổ thông, các em đã được học các phép biến
hình trong mặt phẳng ở lớp 11 và các phép biến hình trong không gian ở lớp 12.
Đứng trước một bài toán hình học ta có thể đưa ra nhiều phương pháp
giải khác nhau trong đó ta có thể sử dụng một “công cụ” đó là phép biến hình.
Trong nhiều trường họp phép biến hình tỏ ra là một công cụ khá hữu hiệu để
giải toán, vấn đề là “Việc lựa chọn một phép biến hình nào để có một lời giải
chính xác và ngắn gọn ?” vẫn là những câu hỏi mà không ít học sinh đặt ra.
Với tất cả những lý do trên đồng thời với sự gợi ý của thầy giáo Nguyễn
Văn Vạn em đã quyết định chọn đề tài “ Sử dụng phép đối xứng qua siêu
phẳng để tìm Giá Trị Lớn Nhất và Giá Trị Nhỏ Nhất trong hình học”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu vấn đề này nhằm:
+ Củng cố các kiến thức về phép đối xứng trục trong mặt phẳng và
trong không gian nhằm hiểu rõ hơn và có thể áp dụng tốt hơn phép này
vào giải toán.
+ Áp dụng phép đối xứng trục để tìm GTLN và GTNN ừong hình
học.
5
3. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng trong mặt
phẳng và trong không gian.
+ Phạm vi nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng trong hình học
với bài toán cực trị.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về cơ sở lí luận của phép đối xứng qua siêu phẳng
trong hình học.
Nghiên cứu sử dụng phép đối xứng để tìm GTLN và GTNN trong
hình học.
5. Phương pháp nghiền cứu
Phân tích các tài liệu liên quan.
6. Cấu trúc khóa luậ]
Ngoài phần Mở đầu, Ket luận, Tài liệu tham khảo, Nội dung khóa luận
gồm 2 chương:
C h ư ơ n g 1 . Kiến thức chuẩn bị.
C h ư ơ n g 2 . Phép đối xứng qua siêu phẳng với bài toán về GTLN và
GTNN trong hình học.
NỘI DUNG
Chương 1: KIÉN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Các định nghĩa
1.1.1. Định nghĩa phép biến hình
Định nghĩa 1
Giả sử đã cho tập hợp bất kỳ T. Một song ánh từ T vào chính nó được gọi
là 1 phép biến hình của tập T.
Định nghĩa 2
6
Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập T đã cho, dễ thấy ánh xạ tích
của f và g cũng là một song ánh của T vào T nên tích đó cũng là phép biến hình
của T. Ta gọi phép biến hình đó là tích của f và g.
Định nghĩa 3

Phép biến hình f của tập T được gọi là phép biến hình đối họp nếu f
2
= Id,
dễ thấy lúc đó ta có f và phép biến hình nghịch đảo của f là f
1
trùng nhau.
Định nghĩa 4
Cho phép biến hình f của tập T. Điểm M của tập T được gọi là điểm bất
động của phép biến hình f nếu f(M) = M.
Định nghĩa 5
Cho phép biến hình f của tập T. Hình H bộ phận của T được gọi là hình
kép đối với phép biến hình f nếu ta có f(H) = H.
1.1.2. Phép biến hình đẳng cự Định
nghĩa
Phép biến hình trong không gian E
n
( n = 2 , 3 ) bảo tồn khoảng cách giữa
2 điểm gọi là phép đẳng cự.
1.1.3. Phép dời hình trong E
2
Một phép biến hình f: P—»Pđược gọi là phép dời hình nếu ttong mặt
phẳng p với hai điểm M, N bất kì và hai ảnh của chúng làn lượt là M’ = f(M),
N’ = f(N) ta luôn có M’N’ = MN.
1.1.4. Phép dời hình trong IEjj
Định nghĩa
Phép đẳng cự trong E
3
được gọi là phép dời hình nếu 2 tứ diện xác định
nó là cùng chiều.
1.1.5. Phép đối xứng trục frong E

2
Cho đường thẳng d, phép biến hình M—>M' sao cho MM' _Ld và
MM'nd=0, ừong đó o là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng qua
đường thẳng d.
Ký hiệu: Đ
d
.
1.1.6. Phép đổi xứng trục trong E
3
7
Trong không gian cho đường thẳng d. Phép biến hình f được xác định như
sau: với mọi điểm M + Nếu Med thì f(M) = M.
+ Neu M Ể d gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc vói d, cắt d tại I
thì f(M) = M’ được xác định sao cho ^ được gọi là phép đối xứng trong không
gian, d gọi là trục đối xứng.
Ký hiệu : Đ
d
Tập hợp ảnh của một điểm thuộc hình H qua phép biến đổi Đ
d
lập thành 1
hình H’ được gọi là hình đối xứng với hình H qua d, hoặc là ảnh của hình H
qua phép biến đổi đó.
Nếu H trùng với H’ thì ta nói hình H có trục đối xứng.
1.1.7. Phép tịnh tiến và phép quay quanh một diểm trong mặtphẳng
- Phép tịnh tiến:
Trong không gian E
n
( n = 2 , 3 ) cho véctơ Phép biến hình của không
gian cho ứng điểm M với điểm M’ sao cho MM' =
u

gọi là phép tịnh tiến theo
véctơ «. Kí hiệu T .
a
- Phép quay quanh một điểm trong mặt phang:
Trong E
2
cho một điểm o và một góc định hướng cp. Phép biến hình của
E
2
cho mỗi M với điểm M
J
sao cho:
+ OM = OM’
"I" VUTA
Ị
Vệ/
Gọi là phép quay trong mặt phang quanh tâm o, góc quay cp.
Kí hiệu Q(0,cp)
1.2. Các tính chất
1.2.1. Tính chất của phép đối xứng trục trong E
2
+ Đ
d
là phép phản chiếu.
+ Đ
2
d
=I
d
.

+ Đ
d
có duy nhất một đường thẳng bất động chính là d.
1.2.2. Tính chất của phép đối xứng trục trong
IE3 + Phép đối xứng trục là phép dời hình.
8
+ Phép đối xứng trục là phép đối hợp, tức là f
2
= id.
+ Tập các điểm bất động của phép đối xứng Đ
d
qua đường thẳng d là
đường thẳng d.
1.2.3. Tính chất về phép biến hình đẳng cự
a. Phép biến hình đẳng cự biến 3 điểm A, B, c thẳng hàng với B nằm giữa A và c
thảnh 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng với B’ nằm giữa A’ và
c\
b. Phép biến hình đẳng cự biến:
+ Đường thẳng thành đường thẳng.
+ Tia thành tia.
+ Đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
+ Góc thành góc bằng nó.
+ Đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng đường tròn đã
cho.
1.2.4. Tính chất của phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm
trong mặt phẳng
- Phép tịnh tiến:
+ Phép tịnh tiến là phép dời hình.
+ Phép tịnh tiến không có điểm bất động nếu véctơ tịnh tiến khác c
- Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng:

Gọi là phép quay ttong mặt phang quanh tâm o, góc quay cp. Kí hiệu
Q(0, cp)
Tính chất:
Phép quay Q(0, cp) là phép dòi hình
Phép quay Q(0, cp ) là phép đối hợp khi và chỉ khi cp-^180 .
Phép quay Q(0, cp) luôn có điểm bất động chính là tâm o.
1.3. Dạng chính tắc của một phép dời hình
1.3.1. Trong E
2
Phép dời hình trong ]E
2
không là phép đồng nhất thì có thể biểu diễn duy
nhất dưới dạng một phép quay hoặc 1 phép tịnh tiến.
9
1.3.2. Trong IEj
Định lý
Phép dời hình trong E
3
không là phép tịnh tiến có thể biểu diễn duy nhất
dưới dạng tích của một phép quay quanh một trục d và một phép
tịnh tiến theo véctơ V có giá trị song song với đường thẳng d. Tích này giao
hoán được và được gọi là phép dời hình xoắn ốc.
Chứng minh
Ta đã biết, nếu f là một phép dòi hình khác tịnh tiến trong IE
3
thì ta có thể
phân tích bằng vô số cách thành tích của một phép quay và một phép tịnh tiến
hoặc ngược lại là tích của một phép tịnh tiến và phép quay.
Giả sử f = 7 , ọ )
+) Nếu véc tơ a có giá vuông góc vói d thì 7 , ạ > ) làmột phép quay

Q\d',00 ta có Q' — Ql- '
+) Nếu véc tơ a có giá không vuông góc với d thì ta có thể :
Phân tích:
l/*' t/v I V ừong đó z có giá vuông góc với đường thẳng d.
к có giá song song với đường thẳng d.
Khi đó ta có :
f=TTQ TQ vởiTQ Q"
Do véc tơ V giá song song với d nên véc tơ V có giá song song với trục quay
của Q” do vậy / = T- Q Q T- . Như vậy trong cả 2 trường
họp f đều có thể phân tích thành tích giao hoán của một phép quay và một
phép tịnh tiến.
Ta chứng minh tính duy nhất như sau:
Giả sử f có hai cách phân tích theo kiểu trên :
f=T.Q = QT với T=T
a
, Q = Q(d,<p)
và f - T ' . Q ' — Q ' T ' với Г =71 Q ' = Q X d \ q f ) theo đó ta có
QT — Q'T' nên T.Q.T = T'.Q'.T' =^T.Q'=T.Q'.T.T~
l
=T.Q'T'.T'~
l
(1)
1
Mặt khác QT = Q'T' nên Q = T.Q'.T'~
l
=>Q\r=T.Q'.T'-\Q' (2)
Từ (1) và (2) ta có T. Q ' = Q . T '
Khi đó véc tơ HII nên d II II
Giả sử M G ш
3

và f(M) = ЛГ thì ta có thể biểu diễn:
MM -MN , NM
ở đó MN ^d,NM'^d
Rõ ràng trong cách biểu diễn / = T. Q = Q T thì a — N M
Tương tự ta có a - N M .Do yậy a — a hay T=T’ suy ra Q=Q’
Tính duy nhất của biểu diễn đã được chứng minh.
Vậy định lý hoàn toàn được chứng minh.
CHƯƠNG 2. PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VỚI BÀI TOÁN VỀ
GTLN VÀ GTNN TRONG HÌNH HỌC
2.1. Các yếu tố cần biết liên quan về GTLN và GTNN
2.1.1. Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất trong hình học
+ Tìm giá tậ lớn nhất và nhỏ nhất của 1 đại lượng hình học biến thiên f
(độ dài đoạn thẳng, diện tích, đa giác, thể tích khối đa diện,
góc ) yêu cầu phải tìm được các giá ttị fi, f
2
cố định luôn thỏa mãn
bất đẳng thức:
/i </</2
Đồng thời chỉ rõ các vị trí hình học của đại lượng biến thiên đang xét để
tại đó f đạt giá trị nhỏ nhất fi hay lớn nhất f
2
.
Thông thường bài toán chỉ yêu cầu tìm 1 trong 2 giá trị này. Để giải loại
bài toán này ta thường thực hiện như sau:
a) Biểu diễn đại lương cần tìm GTLN, GTNN theo các đại lượng biến thiên của
đề tài.
b) Nếu đại lượng đó chỉ phụ thuộc vào 1 đại lượng biến thiên ta có thể:
Ắp dụng các bất đẳng thức liên quan đến đoạn thẳng.
Áp dụng các bất đẳng thức liên quan đến hàm số lượng giác.
1

Dùng ẩn phụ để đưa về dạng hàm số áp dụng phương pháp đạo hàm để
tìm GTLN, GTNN.
c) Nếu đại lượng đó phụ thuộc vào nhiều đại lượng thay đổi, ta có thể áp dụng các
bất đẳng thức, bất đẳng thức quan trọng như: Cauchy, Bunhiacopxki,
2.1.2. Bất đẳng thức tam giác
Với ba điểm A, B, c bất kì ta luôn có:
AB+AC > BC
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi điểm A thuộc đoạn BC.
2.1.3. Đường vuông góc và đường xiên
- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc
với đường thẳng có độ dài ngắn nhất.
- Trong hai đường xiên kẻ từ 1 điểm đến một đường thẳng, đường xiên nào có
hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.
VD:
Cho đường thẳng d và đường tròn (O; R) có khoảng cách từ tâm о đến d
là OH > R. Lấy hai điểm bất kì Aed và Be(0,R). Hãy chỉ ra vị trí của А, В sao
cho độ dài AB ngắn nhất.
Giải
Từ tâm О kẻ OH_Ld cắt (O, R) tại K.
Xét ДАВО ta có:
AB+OB>OA
Mà OA > ОН (đường xiên và đường vuông góc kẻ từ о đến d)
=> AB+OB > ОН =^> АВ> ОН-
OB=OH OK=KH Vậy min AB = KH
<^>A=Hvà B = K.
1
2.1.4. Trong đường tròn
- Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn.
- Trong hai dây cung không bằng nhau, dây nào lớn hơn thì có khoảng cách từ
tâm đến dây đó nhỏ hơn và ngược lại.

2.1.5. Các bất đẳng thức Cauchy, Bunhỉacopxki
* Bất đẳng thức Cauchy
Với n số không âm , a
n
(ft > 2) Ta có:

n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi O ị =«2 = =a
n
.
* Bất đẳng thức Bunhiacopxkỉ
Với 2 bộ số n số thực) ( n > 1) (Opí^, ,^), 0 \ , b
2
, , b
n
)
(afa + aj?
2
+ +a
n
b
n
)
2
< («J
2
+ «2
2
+ +
a2

n
)(h
2 +
^2
+

+
b
2
n
)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi — = — = = —.
h b
2
b
n
2.2. Lớp các bài toán trong phẳng về GTLN và GTNN
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B. Tìm trên d điểm M sao
tổng AM + MB có giá trị nhỏ nhất khi:
a) A, B khác phía đối vói d.
b) A, B nằm cùng phía đối với d.
Giải
a) Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng d:
1
Khi đó MA+MB > AB. Mà AB không đổi nên MA+MB nhỏ nhất bằng AB.
Khi đó M chính là giao của đoạn thẳng AB và đường thẳng d.
b) Lấy A’ đối xứng với A qua d.
Lấy M bất kì thuộc d. Khi đó MA + MB = MA’+Mfi > X B .
Mà A’B không đổi nên MA + MB nhỏ nhất bằng A’B. Khi đó M chính là giao
của A’B với d. Từ đó ta suy ra M = M'

Vậy Min(MA + MB) = AB <=>M
=M'
в
Ví d ụ 2. Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này.
Hãy tìm trên cạnh Qx một điểm в và trên cạnh Oy một điểm с sao cho A ABC
có chu vi nhỏ nhất.
Giải
* Phân tích
Giả sử ta đã dựng được điểm в eOx, CeOy sao cho A ABC có chu vi nhỏ
nhất.
Gọi A2 = Đ
0
Y (A)
Ai — Đox (A)
Và Bj = AjA
2
nOx Cj =A
l
A
2
nỌy
Ta có
AB+BC+CA = AiB +BC+CA2 ^ A| A2
=
АI B| +B|C| +С|A2
1
= AB, +BjC| +AC,
=>AB+BC+CA > AB, +в,с, +АС,.
Do AABCcó chu vi nhỏ nhất nên:
В — Bj ; С — Cj

* Cách dựng
- Ai= Đox (A)
- Аг= Đo
y
(A)
- B=AjA2 nOx ; С =AjA
2
nOy Khi đó
В, С là điểm càn dựng.
Ai
x
* Chứng minh
Lấy điểm B’ bất kỳ thuộc Ox, C’ bất kỳ thuộc Oy
Đox(A) = Ai; Đoy(A)= A
2
; B=AJA2 OOX ; СЬАД^ nOy
Ta có:
AB’ + B’C’+AC’= AiB’ + B’C’ + A
2
C’
>AiB + BC + A
2
C = AB + ВС + CA Do đó A
ABC có chu vi nhỏ nhất.
* Biện luận
- Nếu xOy <90 thì bài toán có 1 nghiệm hình.
1
- Nếu xOy >90° thì AịOA^ = 2xOy > 180 nên A!A
2
không cắt Ox, Oy hoặc

chúng cắt tại o trong trường họp A1A2 đi qua o.
Với VB, c eOx, Oy ta đều có:
AB + BC + CA = AiB + BC + CA
2
> A
x
O + A
2
0 =^A ABC có chu vi
nhỏ nhất khi B=c=0. Tức À ABC suy biến thành đoạn OA. Do đó bài toán
không có nghiệm hình.
V í d ụ 3 . Cho À ABC nhọn dựng AMNPvới 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh tương
ứng của A ABC sao cho chu vi AMNP nhỏ nhất.
Giải
Giả sử MeBC, PeAB, NeAC
ĐAB' M—
AMh ĐAC- M—>M2 AMh
Theo bài toán trên ÁMNP có chu vi nhỏ nhất, nếu phép đối xứng trục là
giao điểm của MiM
2
với AC và AB và lúc đó:
MN + NP + MP = M
X
M
2

ÀAM
1
M
2

là tam giác cân tại đỉnh A có
MjAM
2
= 2BAC (không đổi)
Bởi vậy MiM
2
nhỏ nhất nếu AMi, AM
2
nhỏ nhất hay AM ngắn nhất. Nói
cách khác M phải là chân đường cao H hạ từ A xuống BC.
V í d ụ 4 . Cho ÀABC nội tiếp trong đường tròn tâm o, cạnh BC cố định, lìm
yị trí của A trên cung BmC sao cho chu vi AABC đạt giá tri lớn
nhất.
1
B M H
A
c
Giải
Gọi AO là trung điểm của cung BmC. Giả sử A là điểm tùy ý trên cung
BmC và
ĐAAO: Ai—>
MH
A)|-»
AM = AC A
0
M = A
0
C
A
0

AM = A
0
AC Vì AqACB là tứ giác nội tiếp, nên в
A
o
AC+A
o
BC=180°
Lại có AoBC = AQCB ( do A AçjBCcân).
AoCB = AQAB ( cùng chắn cung AQB).
=^>A
o
AC+A
o
AB=180° ^>A
0
AM+A
0
AB =
180°
=>в, A, M thẳng hàng.
Gọi С là chu vi A ABC, còn с là chu vi AAQBC .
Ta có:
С 4C+ВС < А
и
в+А
и
м+ВС
^ AQB+AQC+BC=С Vậy chu yi A ABC
lớn nhất khi và chỉ khi A = Aq là trung điểm của cung BmC.

V í d ụ 5. Cho tam giác ДАВС v à một đường thẳng d. Hãy tìm trên đường
thẳng d điểm M sao cho:
1
Giải
a) Ta sẽ đưa bài toán về dạng quen thuộc:
Gọi K là trung điểm của AB.Theo tính chất trung điểm, ta có:
LTAẨ. X I 1T1U
Khi đó bài toán được đưa về tìm điểm M trên d sao cho MK+KC nhỏ
nhất.
Khi đó MK+KC> KC=>MK+MCnhỏ nhất bằng KC. Khi đó M = d nKC.
b) Trên đường thẳng AB, ta lấy điểm H sao cho:
2 _
11 X I «/X ■ ■ V/
Trên đường thẳng AC, ta lấy điểm K sao cho:
4±I xu 1 — ư
Khi đó bài toán được đưa về tìm điểm M trên d sao cho MK+MH nhỏ
nhất.
Khi đó MK+MH > KH. Khi đó MK + MH nhỏ nhất bằng KH. Khi đó M
= dnKH.
a
)
ITil X I ITIUI I
nhỏ nhất.
1 nhỏ nhất.
I |—TXTXV^ I -LT.LÍ
в
2.3 Lớp các bài toán trong không gian về GTLN và GTNN.
V í d ụ 6. Trong không gian, cho đường thẳng A và hai điểm А, в sao
cho đường thẳng AB và A chéo nhau, một điểm M di động trên А. Xác
định vị trí của M để:

1. MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
2. |MA-MB| đạt giá trị lớn nhất.
Giải
1)
*Phân tích
Giả sử đã dựng được điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi H & К làn lượt là hình chiếu vuông góc của А & в lên А.
Dựng mặt phang (P) vuông góc vói A tại K. Trong (P) dựng đường tròn
(K) tâm K, bán kính KB. Suy ra A là trục đối xứng của (K).
Do đó, vói mọi điểm м e А & V điểm N e (K) ta đều có MN = MB.
Gọi (Q) là mặt phẳng xác định bởi А & Л. Mặt phẳng (Q) cắt đường ừòn
(K) theo đường kính CD.
Trong (Q), giả sử hai điểm А & с nằm về cùng một phía đối với А. Khi
đó, với mọi điểm M e A, ta luôn có
MB = MC = MD và MA + MB = MA + MD > AD.
Dấu “=” xảy ra <^>M = Ivới I là giao điểm của A&AD.
* Cách dựng
- Dựng H & К lần lượt là hình chiếu vuông góc của А & в lên А.
- Dựng mặt phang (P) vuông góc với A tại K.
- Trong mặt phẳng (P), dựng đường tròn (K) tâm K, bán kính KB. Gọi
(Q) là mặt phẳng xác định bỏi А & А. Mặt phẳng (Q) cắt đường
tròn (K) theo đường kính CD.
-DựngM: |M}=ADnA
M chính là điểm cần dựng.
*Chứng minh
Theo cách dựng, hiển nhiên ta có Min(MA+MB) = AD với D là điểm
cố định đã dựng ở trên.
*Biên luân
• •
Bài toán đã cho luôn có một nghiệm hình.

2)
*Phân tích
Giả sử đã dựng được điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Theo phân tích ở phần 1 ta có, VM e À:
|MA-MB| = |MA—MC| < AC Dấu “=” xảy ra M trùng
với điểm J, với J là giao điểm của À& đường thẳng AC.
*Cách dựng
- Dựng các điểm H, K; mặt phẳng (P), (Q); đường tròn (K) và đường kính
CD của nó như ở phần 1.
- DựngM: {M}=ACnA
M chính là điểm càn dựng.
* Chứng minh
Theo cách dựng, hiển nhiên ta có Max(|MA— MB|)=ACvói c là
điểm cố định đã dựng được ở ttên.
*Biện luận
- Nếu AH = BK tức AC11 thì bài toán vô nghiệm hình.
- Nếu AH & BK không bằng nhau thì bài toán có 1 nghiệm hình. Ví dụ 7.
Cho hai nửa đường thẳng OA, OB về cùng một phía đối với mặt phẳng
(P) và o thuộc mặt phẳng (P). Hãy tìm trong (P) đường thẳng tạo với OA,
OB các góc có tổng số đo nhỏ nhất.
Giải
*Phân tích
Giả sử đã dựng được đường thẳng d thỏa mãn đầu bài, không
giảm tổng quát ta có thể giả sử о e d.
(Vì nếu О Ể dthỏa mãn yêu cầu của bài toán thì đường thẳng
dV/d, О e d'cûng thỏa mãn bài toán)
Xét phép đối xứng qua mặt phẳng (P):
Đ
p
: Bi—>

Gọi D E d, D ф О Vì d c= (P)
=>d = Đp(d)
=^DOB = DOB'
Ta có AOD +DOB = AOD + DOB' > AOB'(Theo tính chất của góc tam
diện).
Dấu “=” xảy ra khi d с rrp(AOB').
в
dcz(P) ^>d = (P)n(AOB')
Ta có cách dựng:
Dựng B’ = Đp(B)
D = AB'n(P)
Đường thẳng d đi qua o, D là đường thẳng cần dựng.
* Chứng minh:
Vì OD = (AOB')n(P) nên AOD+DOB=AOD+DOB' = AOB'.
Ta chứng minh AOB' là góc nhỏ nhất.
Thật vậy:
Với d’ là đường thẳng bất kì (P); dVd, d’ đi qua o =>BOd = B'Od'
=> AOd'+d'OB=AOd'+d'OB' > AOB'
Vậy góc AOB'là góc nhỏ nhất.
* Biên luân
• •
Bài toán luôn có duy nhất 1 nghiệm hình Ví dụ 8. Cho mặt phẳng
(P) và hai điểm A, B không nằm trên mặt phẳng (P). Điểm M thay đổi
trên mặt phẳng (P). Xác định vị trí của M để MA + MB đạt giá trị nhỏ
nhất.
Giải
Chia làm 2 trường hợp:
*Trường họp 1: Hai điểm A, B nằm khác phía đối vói mặt phẳng (P).
Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với mặt phẳng (P) là I.
Ta có: MA+MB>AB,VMe(P)

ÍMGAB
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi < _
5
J
Ịn G (P)
C^M=Ỉ
Vậy : Khi M trùng với I thì MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất & bằng AB.
n
* Trường hợp 2:
Hai điểm А, в nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P).
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P).
Ta có: MA = MA’.
Gọi J là giao điểm của BA’ vói mặt phẳng (P). VM e (P) ta có:
MA+MB = MÄ+MB > BA'.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy: Khi M trùng với điểm J thì MA + MB đạt GTNN và bằng BA’ với
A’ là ảnh của A qua Đp.
A
В
Ví d ụ 9. Cho mặt phẳng (P) và 2 điểm phân biệt А, в không nằm trên
mặt phẳng (P). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng (P). Xác định vị trí của
M để |MA — MB|đạt GTLN.
Giải
Chia làm 2 trường hợp:
* Trường hợp 1 : Hai điểm А, в nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P).
Giả sử đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I. Ta có:
|MA- MB|<AB , VMe(P)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba điểm M, А, в thẳng hàng và M
nằm ngoài đoạn thẳng AB, nhưng M nằm trên mặt phẳng (P) nên khi đó
M là giao điểm của đoạn thẳng AB và mặt phẳng (P) tức M=I.

Vậy: Khi M trùng với I thì |MA—MB| đạt GTLN và bằng AB.
Nếu d(A, (P)) = d(B, (P)) thì AB| I
* Trường hợp 2: Hai điểm A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng (P).
Gọi A’= Đ(P) (A) thì MA = MA’. Gọi J là giao điểm của A’B vói (P)
(nếu có). Ta có
MA MB = MA' MB < A’B, VMe(P).
Theo trường họp 1 suy ra khi M trùng với J thì |MA—MB| đạt GTLN
và bằng A’B.
Nếu d(A, (P)) = d(B, (P)) thì AB| I .
Bài toán không có nghiệm hình.
в
Bài toán không có nghiệm hình.