Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học (KL06172)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------------------

VŨ THỊ MỪNG

SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU
PHẲNG ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT TRONG HÌNH HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TH.S NGUYỄN VĂN VẠN

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân, đặc
biệt là sự hƣớng dẫn chỉ bảo tận tình của ThS. Nguyễn Văn Vạn đã giúp
đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo
trong khoa Toán nói chung, các thầy cô giáo trong tổ Hình Học nói
riêng, đặc biệt là ThS. Nguyễn Văn Vạn đã tạo điều kiện để em hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp của mình.
Do điều kiện thời gian & khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế
nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy,
cô cùng các bạn nhận xét và góp ý kiến để em rút kinh nghiệm & có
hƣớng hoàn thiện, phát triển khóa luận sau này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Vũ Thị Mừng


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan toàn bộ kết quả trong khóa luận này là do em
tìm tòi, nghiên cứu dƣới sự hƣớng dẫn của thầy cô trong tổ Hình Học,
đặc biệt ThS. Nguyễn Văn Vạn và không có sự trùng lặp với bất kỳ kết
quả nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Vũ Thị Mừng


MỤC LỤC
M

................................................................................................... 1

NỘI DUNG ............................................................................................... 3
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 3
1.1. Các định nghĩa ................................................................................ 3
1.1.1. Định nghĩa phép biến hình ...................................................... 3
1.1.2. Phép biến hình đẳng cự ............................................................ 3

1.1.3. Phép dời hình trong
1.1.4. Phép dời hình trong

2

............................................................. 4

3

............................................................ 4

1.1.5. Phép đối xứng trục trong

2 .................................................... 4

1.1.6. Phép đối xứng trục trong

3 .................................................... 4

1.1.7. Phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm trong mặt
phẳng................................................................................................... 5
1.2. Các tính chất................................................................................... 5
1.2.1. Tính chất của phép đối xứng trục trong

2

.............................. 5

1.2.2. Tính chất của phép đối xứng trục trong

3

.............................. 5

1.2.3. Tính chất về phép biến hình đẳng cự ........................................ 5
1.2.4. Tính chất của phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm
trong mặt phẳng .................................................................................. 6
1.3. Dạng chính tắc của một phép dời hình .......................................... 6
1.3.1. Trong

2 .................................................................................... 6

1.3.2. Trong

3 .................................................................................... 6

CHƢƠNG 2. PHÉP ỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VỚI BÀI TOÁN
VỀ GTLN VÀ GTNN TRONG HÌNH HỌC ........................................... 9
2.1. Các yếu tố cần biết liên quan về GTLN và GTNN......................... 9
2.1.1. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trong hình học .......................... 9


2.1.2. Bất đẳng thức tam giác .......................................................... 9
2.1.3. Đường vuông góc và đường xiên ........................................... 10
2.1.4. Trong đường tròn ................................................................... 11
2.1.5. Các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki ............................ 11
2.2. Lớp các bài toán trong phẳng về GTLN và GTNN ..................... 11
2.3. Lớp các bài toán trong không gian về GTLN và GTNN. ............ 17
KẾT LUẬN ............................................................................................. 29
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 30

MỞ ĐẦU
1. L do chọn ề tài
H nh học đƣ c coi à một môn học c t nh chất hệ thống chặt ch ,
c t nh ogic và t nh trừu tƣ ng h a cao. Do đ , đối với nhiều học sinh
th h nh học đƣ c coi à môn học kh nhất trong tất cả các môn khác của
toán học

nhà trƣờng phổ thông, đặc biệt à việc học h nh học không

gian c ng nhƣ việc học các ph p biến h nh.
Trong chƣơng tr nh h nh học bậc trung học ta đã đƣ c biết đến các
ph p biến h nh. Với bậc trung học cơ s một số ph p biến h nh đƣ c đƣa
vào nhƣ một công c để giải một số các bài toán h nh học một cách h p
và nhanh gọn. Với bậc trung học phổ thông, các em đã đƣ c học các ph p
biến h nh trong mặt phẳng

ớp 11 và các ph p biến h nh trong không gian

ớp 12.
ứng trƣớc một bài toán h nh học ta c thể đƣa ra nhiều phƣơng
pháp giải khác nhau trong đ ta c thể s d ng một công c

đ

à ph p

biến h nh. Trong nhiều trƣờng h p ph p biến h nh tỏ ra à một công c
khá hữu hiệu để giải toán. Vấn đề à

Việc ựa chọn một ph p biến h nh

nào để c một ời giải ch nh xác và ngắn gọn

vẫn à những câu hỏi mà

không t học sinh đặt ra.
Với tất cả những

do trên đ ng thời với sự g i

của thầy giáo

Nguyễn Văn Vạn em đã quyết định chọn đề tài “ S d ng ph p ối
ng qua siêu phẳng ể tìm Gi Trị Lớn Nhất và Gi Trị Nhỏ Nhất
trong hình học .
.M c

ch nghiên c u

Nghiên cứu vấn đề này nh m:

1


+ Củng cố các kiến thức về ph p đối xứng tr c trong mặt phẳng và
trong không gian nh m hiểu r hơn và c thể áp d ng tốt hơn ph p này
vào giải toán.
+ p d ng ph p đối xứng tr c để t m GTLN và GTNN trong h nh

học.
. Đối tƣ ng và phạm vi nghiên c u
+ ối tƣ ng nghiên cứu: Ph p đối xứng qua siêu phẳng trong mặt
phẳng và trong không gian.
+ Phạm vi nghiên cứu: Ph p đối xứng qua siêu phẳng trong h nh
học với bài toán cực trị.
. Nhiệm v nghiên c u
Nghiên cứu về cơ s

uận của ph p đối xứng qua siêu phẳng

trong h nh học.
Nghiên cứu s d ng ph p đối xứng để t m GTLN và GTNN trong
h nh học.
. Phƣơng ph p nghiên c u
Phân t ch các tài iệu iên quan.
6. Cấu trúc khóa luận.
Ngoài phần M đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Nội dung khóa luận
g m 2 chƣơng:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Ph p đối xứng qua siêu phẳng với bài toán về GTLN và
GTNN trong hình học.

2


NỘI DUNG
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. C c ịnh nghĩa
1.1.1. Định nghĩa phép biến hình

Định nghĩa 1
Giả s đã cho tập h p bất kỳ T. Một song ánh từ T vào chính nó
đƣ c gọi là 1 phép biến hình của tập T.
Định nghĩa
Giả s f và g là hai phép biến hình của tập T đã cho, dễ thấy ánh xạ
tích của f và g c ng à một song ánh của T vào T nên t ch đ c ng à
phép biến hình của T. Ta gọi phép biến h nh đ

à t ch của f và g.

Định nghĩa
Phép biến hình f của tập T đƣ c gọi là phép biến h nh đối h p nếu
f2 = Id, dễ thấy úc đ ta c f và ph p biến hình nghịch đảo của f là f-1
trùng nhau.
Định nghĩa
Cho phép biến hình f của tập T. iểm M của tập T đƣ c gọi à điểm
bất động của phép biến hình f nếu f(M) = M.
Định nghĩa
Cho phép biến hình f của tập T. Hình H bộ phận của T đƣ c gọi là
h nh k p đối với phép biến hình f nếu ta có f(H) = H.
1.1.2. Phép biến hình đẳng cự
Định nghĩa
Phép biến hình trong không gian
giữa 2 điểm gọi à ph p đẳng cự.

3

n

(n =2, 3) bảo t n khoảng cách

1.1.3. Phép dời hình trong

2

Một phép biến hình f: P  P đƣ c gọi là phép dời hình nếu trong
mặt phẳng P với hai điểm M, N bất kì và hai ảnh của chúng lần ƣ t là
M’ = f(M), N’ = f(N) ta uôn c M’N’ = MN.
1.1.4. Phép dời hình trong

3

Định nghĩa
Ph p đẳng cự trong

3

đƣ c gọi là phép dời hình nếu 2 tứ diện xác

định nó là cùng chiều.
1.1.5. Phép đối xứng trục trong

2

Cho đƣờng thẳng d, phép biến hình M  M' sao cho MM'  d và

MM' d  O, trong đ O à trung điểm của MM’ đƣ c gọi à ph p đối
xứng qua đƣờng thẳng d.
Ký hiệu:

d.

1.1.6. Phép đối xứng trục trong

3

Trong không gian cho đƣờng thẳng d. Phép biến h nh f đƣ c xác
định nhƣ sau: với mọi điểm M
+ Nếu Md thì f(M) = M.
+ Nếu M  d gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d, cắt d
tại I thì f(M) = M’ đƣ c xác định sao cho IM  IM' đƣ c gọi à ph p đối
xứng trong không gian, d gọi là tr c đối xứng.
Ký hiệu:

d

Tập h p ảnh của một điểm thuộc hình H qua phép biến đổi

d

lập

thành 1 h nh H’ đƣ c gọi à h nh đối xứng với hình H qua d, hoặc là ảnh
của hình H qua phép biến đổi đ .
Nếu H trùng với H’ th ta n i h nh H c tr c đối xứng.

4

1.1.7. Phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng
- Phép tịnh tiến:
Trong không gian

n

(n =2, 3) cho véctơ a . Phép biến hình của

không gian cho ứng điểm M với điểm M’ sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a gọi là phép
tịnh tiến theo véctơ a . Kí hiệu Ta .
- Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng:
Trong
hình của

2

2

cho một điểm O và một g c định hƣớng φ . Phép biến

cho mỗi M với điểm M’ sao cho:

+ OM = OM’
+ (OM,OM')  φ
Gọi là phép quay trong mặt phẳng quanh tâm O, góc quay φ .
Kí hiệu Q (O,φ)
1.2. Các tính chất
1.2.1. Tính chất của phép đối xứng trục trong
+
+

+

d
2

d

2

là phép phản chiếu.
d = Id.

có duy nhất một đƣờng thẳng bất động chính là d.

1.2.2. Tính chất của phép đối xứng trục trong

3

+ Ph p đối xứng tr c là phép dời hình.
+ Ph p đối xứng tr c à ph p đối h p, tức là f2 = id.
+ Tập các điểm bất động của ph p đối xứng

d

qua đƣờng thẳng d

à đƣờng thẳng d.
1.2.3 . Tính chất về phép biến hình đẳng cự
a. Phép biến h nh đẳng cự biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng với B n m
giữa A và C thành 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng với B’ n m giữa A’ và

C’.

5


b. Phép biến hình đẳng cự biến:
+ ƣờng thẳng thành đƣờng thẳng.
+ Tia thành tia.
+ oạn thẳng thành đoạn thẳng.
+ Góc thành góc b ng nó.
+

ƣờng tròn thành đƣờng tròn có bán kính b ng đƣờng tròn đã

cho.
1.2.4. Tính chất của phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm
trong mặt phẳng
- Phép tịnh tiến:
+ Phép tịnh tiến là phép dời hình.
+ Phép tịnh tiến không c điểm bất động nếu v ctơ tịnh tiến khác 0
- Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng:
Gọi là phép quay trong mặt phẳng quanh tâm O, góc quay φ . Kí
hiệu Q(O, φ )
Tính chất:
Phép quay Q(O, φ ) là phép dời hình
Phép quay Q(O, φ ) à ph p đối h p khi và chỉ khi φ  k180 .
Phép quay Q(O, φ ) uôn c điểm bất động chính là tâm O.
1.3. Dạng chính tắc của một phép dời hình
1.3.1. Trong

2

Phép dời hình trong

2

không à ph p đ ng nhất thì có thể biểu diễn

duy nhất dƣới dạng một phép quay hoặc 1 phép tịnh tiến.
1.3.2. Trong

3

Định lý
Phép dời hình trong

3

không là phép tịnh tiến có thể biểu diễn duy

nhất dƣới dạng tích của một phép quay quanh một tr c d và một phép

6


tịnh tiến theo véctơ v có giá trị song song với đƣờng thẳng d. Tích này
giao hoán đƣ c và đƣ c gọi là phép dời hình xoắn ốc.
Ch ng minh
Ta đã biết, nếu f là một phép dời hình khác tịnh tiến trong

3

thì ta

có thể phân tích b ng vô số cách thành tích của một phép quay và một
phép tịnh tiến hoặc ngƣ c lại là tích của một phép tịnh tiến và phép
quay.
Giả s

f = Ta .Q(d ,)

+) Nếu v c tơ a có giá vuông góc với d thì Ta .Q(d ,) là một phép quay

Q '(d ', ') ta có Q '  QT
. 0.
+) Nếu v c tơ a có giá không vuông góc với d thì ta có thể :
Phân tích:

a  u  v trong đ

u có giá vuông góc với đƣờng thẳng d.
v có giá song song với đƣờng thẳng d.

Khi đ ta c :

f  Tv .Tu .Q  Tv .Q'' với Tu .Q  Q"
Do v c tơ v giá song song với d nên v c tơ v có giá song song với
tr c quay của Q do vậy f  Tv .Q"  Q".Tv . Nhƣ vậy trong cả 2 trƣờng
h p f đều có thể phân tích thành tích giao hoán của một phép quay và
một phép tịnh tiến.

Ta chứng minh tính duy nhất nhƣ sau:
Giả s f có hai cách phân tích theo kiểu trên :

f  T .Q  QT
. với T  Ta , Q  Q(d ,)

7


và f  T '.Q '  Q '.T ' với T '  Ta ' , Q '  Q '(d ', ') theo đ ta c

.  T '.Q '.T '  T.Q'  T.Q'.T.T 1  T.Q'.T '.T '1 (1)
QT
.  Q '.T ' nên T .QT
Mặt khác QT
.  Q '.T ' nên Q  T.Q'.T '1

 Q'.T '  T.Q'.T '1 .Q' (2)
Từ (1) và (2) ta có T .Q '  QT
. '
Khi đ v c tơ a d nên d d ' a
Giả s M 

3

và f(M) = M’ th ta c thể biểu diễn:

MM '  MN  NM '
đ MN  d, NM '  d

. thì a  NM '
Rõ ràng trong cách biểu diễn f  T .Q  QT
Tƣơng tự ta có a '  NM ' .Do vậy a  a ' hay T=T’ suy ra Q=Q’
Tính duy nhất của biểu diễn đã đƣ c chứng minh.
Vậy định

hoàn toàn đƣ c chứng minh.

8


CHƢƠNG . PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VỚI BÀI
TOÁN VỀ GTLN VÀ GTNN TRONG HÌNH HỌC
2.1. Các yếu tố cần biết liên quan về GTLN và GTNN
2.1.1. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trong hình học
+ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 1 đại ƣ ng hình học biến
thiên f (độ dài đoạn thẳng, diện t ch, đa giác, thể tích khối đa diện,
g c……) yêu cầu phải t m đƣ c các giá trị f1, f2 cố định luôn thỏa mãn
bất đẳng thức:

f1  f  f2
ng thời chỉ rõ các vị trí hình học của đại ƣ ng biến thiên đang
x t để tại đ f đạt giá trị nhỏ nhất f1 hay lớn nhất f2.
Thông thƣờng bài toán chỉ yêu cầu tìm 1 trong 2 giá trị này. ể giải
loại bài toán này ta thƣờng thực hiện nhƣ sau:
a) Biểu diễn đại ƣơng cần tìm GTLN, GTNN theo các đại ƣ ng
biến thiên của đề tài.
b) Nếu đại ƣ ng đ chỉ ph thuộc vào 1 đại ƣ ng biến thiên ta
có thể:
Áp d ng các bất đẳng thức iên quan đến đoạn thẳng.

Áp d ng các bất đẳng thức iên quan đến hàm số ƣ ng giác.
Dùng ẩn ph để đƣa về dạng hàm số áp d ng phƣơng pháp đạo hàm
để tìm GTLN, GTNN.
c) Nếu đại ƣ ng đ ph thuộc vào nhiều đại ƣ ng thay đổi, ta có
thể áp d ng các bất đẳng thức, bất đẳng thức quan trọng nhƣ: Cauchy,
Bunhiacopxki,….
2.1.2. Bất đẳng thức tam giác
Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có:

AB+AC  BC

9


Dấu = xảy ra khi và chỉ khi điểm A thuộc đoạn BC.
2.1.3. Đường vuông góc và đường xiên
- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đƣờng thẳng, đoạn
vuông góc với đƣờng thẳng c độ dài ngắn nhất.
- Trong hai đƣờng xiên kẻ từ 1 điểm đến một đƣờng thẳng, đƣờng
xiên nào có hình chiếu lớn hơn th ớn hơn và ngƣ c lại.
VD:
Cho đƣờng thẳng d và đƣờng tròn (O; R) có khoảng cách từ tâm O
đến d là OH > R. Lấy hai điểm bất kì Ad và B (O,R) . Hãy chỉ ra vị
trí của A, B sao cho độ dài AB ngắn nhất.
Giải
Từ tâm O kẻ OH  d cắt (O, R) tại K.
Xét ΔABO ta có:

AB+OB  OA
Mà OA  OH (đƣờng xiên và đƣờng vuông góc kẻ từ O đến d)

 AB+OB  OH
 AB  OH  OB=OH  OK=KH
Vậy min AB = KH  A  H và B  K .

O

B

K
d
A

H

10


2.1.4. Trong đường tròn
- ƣờng kính là dây cung lớn nhất của đƣờng tròn.
- Trong hai dây cung không b ng nhau, dây nào lớn hơn th c
khoảng cách từ tâm đến dây đ nhỏ hơn và ngƣ c lại.
2.1.5. Các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki
* Bất ẳng th c Cauchy
Với n số không âm a1, a2 ,....., an (n  2) Ta có:

a1  a2  ........  an n
 a1.a2.......an
n
ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ......  an .

* Bất ẳng th c Bunhiacopxki
Với 2 bộ số n số thực) (n  1) (a1, a2 ,..., an ) , (b1, b2 ,......, bn )

(a1b1  a2b2  ......  anbn )2  (a12  a22  .....  a2n )(b12  b22  .....  b2n )
Dấu b ng xảy ra khi và chỉ khi

a1 a2
a
  ........  n .
b1 b2
bn

2.2. Lớp các bài toán trong phẳng về GTLN và GTNN
Ví d 1. Cho đƣờng thẳng d và hai điểm A, B. T m trên d điểm M sao
tổng AM + MB có giá trị nhỏ nhất khi:
a) A, B khác ph a đối với d.
b) A, B n m cùng ph a đối với d.
Giải
a) Lấy điểm M bất kỳ thuộc đƣờng thẳng d:
Khi đ MA  MB  AB . Mà AB không đổi nên MA+MB nhỏ nhất b ng
AB. Khi đ M chính là giao của đoạn thẳng AB và đƣờng thẳng d.
b) Lấy A’ đối xứng với A qua d.
Lấy M bất kì thuộc d. Khi đ MA + MB = MA’+MB  A'B .

11


Mà A’B không đổi nên MA + MB nhỏ nhất b ng A’B. Khi đ M chính
là giao của A’B với d. Từ đ ta suy ra M  M'
Vậy

Min(MA + MB) = AB

 M  M'
B
A
M

d

A’
Ví d 2. Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc
này. Hãy tìm trên cạnh Ox một điểm B và trên cạnh Oy một điểm C sao
cho ΔABC có chu vi nhỏ nhất.
Giải
* Phân tích
Giả s ta đã dựng đƣ c điểm BOx , C Oy sao cho  ABC có
chu vi nhỏ nhất.
Gọi

A2 =

Oy

(A)

A1 =

Ox

(A)

B1  A1A2 Ox

Và

C1  A1A2 Oy
Ta có
AB+BC+CA = A1B +BC+CA2  A1A2 =A1B1+B1C1+C1A2

= AB1 +B1C1 +AC1

12


AB+BC+CA  AB1+B1C1+AC1 .
Do ΔABC có chu vi nhỏ nhất nên:

B  B1 ; C  C1
* Cách dựng
- A1=

Ox (A)

- A2=

Oy

(A)

- B=A1A2 Ox ; C =A1A2 Oy
Khi đ B, C à điểm cần dựng.
x

A1
B1
B

A
y

O
C

C1
A2

* Ch ng minh
Lấy điểm B’ bất kỳ thuộc Ox, C’ bất kỳ thuộc Oy
Ox(A)

= A1;

Oy(A)=

A2; B=A1A2 Ox ; C=A1A2  Oy

Ta có:
AB’ + B’C’+AC’= A1B’ + B’C’ + A2C’

 A1B + BC + A2C = AB + BC + CA
Do đ  ABC có chu vi nhỏ nhất.
* Biện luận
- Nếu xOy  90 thì bài toán có 1 nghiệm hình.

13


- Nếu xOy  90 thì A1OA2  2xOy  180 nên A1A2 không cắt Ox,
Oy hoặc chúng cắt tại O trong trƣờng h p A1A2 đi qua O.
Với  B, C Ox, Oy ta đều có:
AB + BC + CA = A1B + BC + CA2  A1O + A2O

  ABC có chu vi nhỏ nhất khi B  C  O . Tức ΔABC suy biến thành
đoạn OA. Do đ bài toán không c nghiệm hình.
Ví d 3. Cho ΔABC nhọn dựng ΔMNP với 3 đỉnh n m trên 3 cạnh
tƣơng ứng của ΔABC sao cho chu vi ΔMNP nhỏ nhất.
Giải

A

MBC, P  AB ,

Giả s

N

NAC
AB:

AC:

P

M  M1
AM

M1

AM1

M  M2
AM

M2

B

M H

C

AM2

Theo bài toán trên ΔMNP có chu vi nhỏ nhất, nếu ph p đối xứng
tr c à giao điểm của M1M2 với AC và AB và úc đ :
MN + NP + MP = M1M2

ΔAM1M2 là tam giác cân tại đỉnh A có

M1AM2  2BAC (không đổi)
B i vậy M1M2 nhỏ nhất nếu AM1, AM2 nhỏ nhất hay AM ngắn
nhất. Nói cách khác M phải à chân đƣờng cao H hạ từ A xuống BC.
Ví d 4. Cho ΔABC nội tiếp trong đƣờng tròn tâm O, cạnh BC cố định.
Tìm vị trí của A trên cung BmC sao cho chu vi ΔABC đạt giá trị lớn
nhất.

14


Giải
Gọi A0 à trung điểm của cung BmC. Giả s A à điểm tùy ý trên
cung BmC và
AAo:

A
M
A0

A
C
A0

A0

AM  AC

 A0M  A0C

A0AM  A0AC

m

Vì A0ACB là tứ giác nội tiếp, nên

B

M
A

C

A0AC  A0BC  180 .
Lại có

A0BC  A0CB ( do Δ A0BC cân).
A0CB  A0AB ( cùng chắn cung A0B ).

 A0AC  A0AB  180 .
 A0AM  A0AB  180 .
B, A, M thẳng hàng.
là chu vi ΔABC , còn

Gọi

0

là chu vi ΔA0BC .

Ta có:

 AB+AC+BC  A0B+A0M+BC
 A0B+A0C+BC 

0

Vậy chu vi ΔABC lớn nhất khi và chỉ khi A  A0 à trung điểm
của cung BmC.
Ví d 5. Cho tam giác ΔABC và một đƣờng thẳng d. Hãy tìm trên
đƣờng thẳng d điểm M sao cho:

15


a) MA  MB  2 MC nhỏ nhất.
b) 2MA +3MB  4MC +MA nhỏ nhất.
Giải
a) Ta s đƣa bài toán về dạng quen thuộc:
Gọi K à trung điểm của AB.Theo tính chất trung điểm, ta có:

MA+MB  2MK
Khi đ bài toán đƣ c đƣa về t m điểm M trên d sao cho MK+KC nhỏ
nhất.
Khi đ

MK+KC  KC  MK+MC nhỏ nhất b ng KC. Khi đ

M  d  KC.
A
K

MM

d

C
B
b) Trên đƣờng thẳng AB, ta lấy điểm H sao cho:

2HA  3HB  0
Trên đƣờng thẳng AC, ta lấy điểm K sao cho:

4HC  HA  0
Khi đ bài toán đƣ c đƣa về t m điểm M trên d sao cho MK+MH nhỏ
nhất.
Khi đ MK+MH  KH . Khi đ MK + MH nhỏ nhất b ng KH. Khi đ

M  d  KH.

16


A

d
M

H

K

B

C

2.3 Lớp các bài toán trong không gian về GTLN và GTNN.
Ví d 6. Trong không gian, cho đƣờng thẳng  và hai điểm A, B sao
cho đƣờng thẳng AB và  chéo nhau, một điểm M di động trên  . Xác
định vị trí của M để:
1. MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
2. MA  MB đạt giá trị lớn nhất.
Giải
A
B

C

H

M

K

I

P

J

D

17


1)
*Phân tích
Giả s đã dựng đƣ c điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi H & K lần ƣ t là hình chiếu vuông góc của A & B lên  .
Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với  tại K. Trong (P) dựng đƣờng tròn
(K) tâm K, bán kính KB. Suy ra  là tr c đối xứng của (K).
Do đ , với mọi điểm M &  điểm N  (K) ta đều có MN = MB.
Gọi (Q) là mặt phẳng xác định b i A &  . Mặt phẳng (Q) cắt đƣờng
tròn (K) theo đƣờng kính CD.
Trong (Q), giả s hai điểm A & C n m về cùng một ph a đối với  . Khi
đ , với mọi điểm M , ta luôn có
MB = MC = MD và MA + MB = MA + MD  AD.
Dấu = xảy ra  M  I với I à giao điểm của  &AD.
* Cách dựng
- Dựng H & K lần ƣ t là hình chiếu vuông góc của A & B lên  .
- Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với  tại K.
- Trong mặt phẳng (P), dựng đƣờng tròn (K) tâm K, bán kính KB.
Gọi (Q) là mặt phẳng xác định b i A &  . Mặt phẳng (Q) cắt đƣờng
tròn (K) theo đƣờng kính CD.
- Dựng M: M  AD 
M ch nh à điểm cần dựng.
*Ch ng minh
Theo cách dựng, hiển nhiên ta có Min(MA+MB)  AD với D là
điểm cố định đã dựng

trên.

*Biện luận
Bài toán đã cho uôn c một nghiệm hình.

18


2)
*Phân tích
Giả s đã dựng đƣ c điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Theo phân tích

phần 1 ta có, M  :

MA  MB  MA  MC  AC
Dấu = xảy ra  M trùng với điểm J, với J à giao điểm của  &
đƣờng thẳng AC.
*Cách dựng
- Dựng các điểm H, K; mặt phẳng (P), (Q); đƣờng tròn (K) và
đƣờng kính CD của n nhƣ

phần 1.

- Dựng M: M  AC 
M ch nh à điểm cần dựng.
*Ch ng minh
Theo cách dựng, hiển nhiên ta có Max( MA  MB)  ACvới C là
điểm cố định đã dựng đƣ c

trên.

*Biện luận
- Nếu AH = BK tức AC  thì bài toán vô nghiệm hình.
- Nếu AH & BK không b ng nhau thì bài toán có 1 nghiệm hình.
Ví d 7. Cho hai n a đƣờng thẳng OA, OB về cùng một ph a đối với
mặt phẳng (P) và O thuộc mặt phẳng (P). Hãy t m trong (P) đƣờng thẳng
tạo với OA, OB các góc có tổng số đo nhỏ nhất.
Giải

19


B
A

D
d

O
P

B’
’
*Phân tích
Giả s đã dựng đƣ c đƣờng thẳng d thỏa mãn đầu bài, không giảm
tổng quát ta có thể giả s Od.
(Vì nếu O  d thỏa mãn yêu cầu của bài toán th đƣờng thẳng d’//d,

Od' c ng thỏa mãn bài toán)
X t ph p đối xứng qua mặt phẳng (P):

p:

B

B'

Gọi D  d, D  O
Vì d  (P)  d =

p(d)

 DOB  DOB'
Ta có AOD + DOB  AOD + DOB'  AOB' (Theo tính chất của góc tam
diện).
Dấu = xảy ra khi d  mp(AOB').

20