Luận văn sư phạm Phép nghịch đảo với bài toán dựng hình học trong mặt phẳng

Tr

ng đ i h c s ph m hà n i 2
Khoa toán
====  ====

V th thuý

phép ngh ch đ o v i bài toán d ng hình
trong m t ph ng

Khoá lu n t t nghi p đ i h c
Chuyên ngành: Hình h c

Ng

ih

ng d n khoa h c

GVC. inh V n Thu

HÀ N I - 2007


Khóa lu n t t nghi p

L ic m n
Trong quá trình hoàn thành khóa lu n này, em đã nh n đ
viên, h

c s đ ng

ng d n, ch b o t n tình c a th y inh V n Th y, cùng nh ng ý ki n

đóng góp quý báu c a các th y cô trong t Hình h c, Tr

ng

ih cS

ph m Hà N i 2. Qua đây, em xin g i l i c m n chân thành và sâu s c nh t
t i th y

inh V n Th y - ng

su t quá trình làm khóa lu n.

i đã tr c ti p h

ng d n và ch b o em trong

ng th i em c ng xin bày t lòng bi t n chân

thành t i các th y cô trong t Hình h c đã giúp đ em hoàn thành khóa lu n
này.
Hà N i, ngày 04 tháng 05 n m 2007
Sinh viên
V Th Thúy

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
2


Khóa lu n t t nghi p

M cl c
Trang
L i nói đ u ........................................................................................................ 5
Ch ng 1: Bài toán d ng hình .......................................................................... 7
1.1. M t s đ nh ngh a................................................................................... 7
1.1.1. Hình là gì? ....................................................................................... 7
1.1.2. Nghi m c a m t bài toán d ng hình là gì? ..................................... 7
1.1.3. Gi i m t bài toán d ng hình là gì? .................................................. 7
1.2. Các b c gi i m t bài toán d ng hình ............................................... 8
1.3. Các ph ng pháp d ng hình .................................................................. 8
Ch ng 2: phép ngh ch đ o ............................................................................ 10
2.1. nh ngh a và các tính ch t c a phép ngh ch đ o................................ 10
2.1.1. nh ngh a ..................................................................................... 10
2.1.2. M t s tính ch t c a phép ngh ch đ o .......................................... 10
2.2. Các đ nh lí ............................................................................................ 11
2.3. nh c a đ ng th ng và đ ng tròn qua phép ngh ch đ o .................. 12
Ch ng 3: ng d ng phép ngh ch đ o gi i bài toán
d ng hình ................................................................................... 13
3.1. Bài toán 1 ............................................................................................. 13
3.2. Bài toán 2 ............................................................................................. 15
3.3. Bài toán 3 ............................................................................................. 15
3.4. Bài toán 4 ............................................................................................. 15
3.5. Bài toán 5 ............................................................................................. 17

3.6. Bài toán 6 ............................................................................................. 19
3.7. Bài toán 7 ............................................................................................. 21
3.8. Bài toán 8 ............................................................................................. 23
3.9. Bài toán 9 ............................................................................................. 26
3.10. Bài toán 10 ......................................................................................... 27
3.11. Bài toán 11 ......................................................................................... 29
3.12. Bài toán 12 ......................................................................................... 29
3.13. Bài toán 13 ......................................................................................... 29
3.14. Bài toán 14 ......................................................................................... 31
3.15. Bài toán 15 (Bài toán Apoloniuyt). .................................................... 33
3.16. Bài toán 16 ......................................................................................... 38
Ch ng 4: M t s Bài t p áp d ng ................................................................. 40
4.1.
bài ................................................................................................... 40
4.2. H ng d n gi i ..................................................................................... 41
SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
3


Khóa lu n t t nghi p
Ph n k t lu n ................................................................................................... 49
Tài li u tham kh o ........................................................................................... 50

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
4

Khóa lu n t t nghi p

L i nói đ u
1. Lí do ch n đ tài
Hình h c là môn h c h p d n, thu hút nhi u h c sinh yêu toán. Vi c
gi i các bài t p, tìm ra nhi u cách gi i, trong đó có nh ng cách hay, đ c đáo
s phát huy tính sáng t o, ni m say mê đ i v i môn hình h c. V i m i bài t p
có th có nhi u ph
véct , ph

ng pháp gi i: ph

ng pháp t ng h p, ph

ng pháp

ng pháp bi n hình,...

Trong ch

ng trình hình h c ph thông, bài toán d ng hình luôn là bài

toán khó đ i v i h c sinh, các em th

ng ng i ho c không thích gi i bài toán

d ng hình. Vì lí do s ph m mà các sách giáo khoa ph thông không đi sâu
nghiên c u lí thuy t c a bài toán d ng hình, c ng nh nh ng ph
gi i bài toán d ng hình.

ng pháp

giúp các em h c sinh ph thông, đ c biêt là các

em h c sinh khá, gi i h ng thú h n v i bài toán d ng hình, trong khóa lu n
này, tôi xin cung c p m t s lí thuy t t ng quát nh t v bài toán d ng hình
đ ng th i đ a ra m t ph

ng pháp gi i r t hay bài toán d ng hình d a vào

phép ngh ch đ o.
Phép ngh ch đ o là m t phép bi n hình không đ
trình ph thông, mà ch đ

ng

c d y cho h c sinh các l p chuyên. Do phép

ngh ch đ o có kh n ng bi n đ

ng tròn thành đ

ng th ng và ng

nó có ng d ng to l n đ i v i l p các bài toán d ng đ
toán t d ng đ

c d y trong ch

ng tròn sang d ng đ

c l i nên

ng tròn. Vi c qui bài

ng th ng th a mãn m t s yêu c u nào

đó, làm cho bài toán tr nên đ n gi n h n r t nhi u.
Chính vì nh ng lí do đó mà tôi đã ch n đ tài: "Phép ngh ch đ o v i
bài toán d ng hình trong m t ph ng".
2. Nhi m v nghiên c u

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
5


Khóa lu n t t nghi p
Nghiên c u l p các bài toán d ng hình (ch y u là d ng đ
d a vào phép ngh ch đ o. T đó th y đ

ng tròn)

c tính u vi t c a phép bi n hình, c

th là phép bi n hình ngh ch đ o, đ i v i các bài toán d ng hình trong m t
ph ng.
3. Ph

ng pháp nghiên c u

Nghiên c u sách giáo khoa, sách tham kh o, các t p chí toán h c và các
tài li u có liên quan đ n n i dung đ tài.
4. N i dung khóa lu n
Khóa lu n này trình bày nh ng ng d ng c a phép ngh ch đ o gi i bài
toán d ng hình trong m t ph ng. Ngoài vi c làm rõ tính u vi t c a phép
ngh ch đ o trong vi c gi i các bài toán d ng hình, lu n v n còn đ a ra các bài
toán bi n đ i t bài toán ban đ u mà v n s d ng phép ngh ch đ o đ gi i.
N i dung khóa lu n g m 4 ch

ng:

Ch

ng 1: Bài toán d ng hình.

Ch

ng này cung c p nh ng ki n th c t ng quát nh t c a bài toán

d ng hình.
Ch

ng 2: Phép ngh ch đ o.

Ch

ng này trình bày đ nh ngh a, các tính ch t, các đ nh lí c a phép

ngh ch đ o.
Ch
Ch

ng 3: ng d ng phép ngh ch đ o gi i bài toán d ng hình.

ng này g m các bài toán d ng hình có s d ng phép ngh ch đ o đ gi i.

Cu i m i bài toán đ u có nh n xét và nh ng bài toán suy ra t bài toán ban
đ u.
Ch
Ch

ng 4: M t s bài t p áp d ng.

ng này g m 6 bài t p, t

ng ng v i m i bài đ u có h

SVTH: V Th Thúy

ng d n gi i.

K29E - Toán
6


Khóa lu n t t nghi p
Do l n đ u tiên làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c nên tôi không

tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong đ

c s đóng góp ý ki n c a th y cô và

các b n sinh viên.

Ch

ng 1

Bài toán d ng hình
Ch

ng này cung c p nh ng lí thuy t t ng quát nh t v bài toán d ng

hình trong m t ph ng.
1.1. M t s đ nh ngh a
1.1.1. Hình là gì?
Hình là m t t p h p khác r ng nh ng đi m.
1.1.2. Nghi m c a m t bài toán d ng hình là gì?
 Nghi m c a bài toán d ng hình là hình tho mãn các đi u ki n c a bài
toán đó.
 Tìm nghi m c a bài toán d ng hình là ch ra th t c a m t dãy h u
h n các phép d ng c b n c n ph i th c hi n đ có nghi m c a bài
toán.
1.1.3. Gi i m t bài toán d ng hình là gì?
Gi i m t bài toán d ng hình là tìm t t c các nghi m c a nó. Xét xem
trong tr

ng h p nào thì bài toán có nghi m, n u có thì có bao nhiêu nghi m.

V s nghi m c a bài toán d ng hình, ta quy

c nh sau:

 N u đ không quy đ nh v trí c a hình ph i tìm đ i v i hình đã cho thì
nh ng hình b ng nhau (ch khác nhau v v trí) tho mãn bìa toán thì s
đ

c xem là m t nghi m.

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
7


Khóa lu n t t nghi p
 N u đ quy đ nh rõ v trí c a hình ph i tìm đ i v i hình đã cho thì
nh ng hình b ng nhau nh ng khác nhau v v trí v n đ

c coi là nh ng

nghi m khác nhau.
1.2. Các b

c gi i m t bài toán d ng hình

Nói chung, tr nh ng bài toán quá d , mu n gi i m t bài toán d ng
hình, ng

i ta th

B

ng th c hi n b n b

c:

c 1: Phân tích
c quan tr ng nh t, vì đó là chìa khoá đ gi i bài toán. M c đích c a

B

phân tích là thi t l p đ

c m i quan h gi a các y u t ph i tìm và các y u t

đã cho đ t đó suy ra cách d ng (n u c n thi t có th v thêm nh ng hình
ph ).
B

c 2: Cách d ng

Ch ra th t các phép d ng c b n c n th c hi n đ có hình c n ph i
tìm.

tránh r

m rà, ng

i ta không ch qui bài toán d ng hình v các phép

d ng c b n mà có th qui v các bài toán d ng hình c b n.
B

c 3: Ch ng minh

Xác nh n hình đã d ng th c s tho mãn đ y đ các yêu c u c a đ .
Trong b
B

c này ta xem nh các phép d ng

ph n 2 đ u th c hi n đ

c.

c 4: Bi n lu n

Xét xem nh ng y u t đã cho ph i tho mãn nh ng đi u ki n nào đ có
th d ng đ

c hình ph i tìm và n u d ng đ

Nói cách khác là thi t l p đi u ki n gi i đ

c thì có bao nhiêu hình nh th .
c và xác đ nh s nghi m c a bài

toán.
1.3. Các ph

ng pháp d ng hình

Nói chung có 3 ph
 Ph

ng pháp chính hay s d ng:

ng pháp qu tích.

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
8


Khóa lu n t t nghi p
 Ph

ng pháp đ i s .

 Ph

ng pháp bi n hình.

Ngoài ba ph
pháp khác nh : Ph

ng pháp trên, còn có th d ng hình theo nh ng ph
ng pháp ng

c, ph

ng

ng pháp hình h c gi i tích.

Bài toán d ng hình có th gi i b ng các ph

ng pháp khác nhau nh ng

l i gi i s đ n gi n h n n u s d ng phép bi n hình ho c có nh ng bài toán
không th gi i b ng ph

ng pháp nào khác ngoài ph

phép bi n hình mà ta th

ng pháp bi n hình. Các

ng s d ng nh : Phép v t , phép đ i x ng tr c,

phép đ i x ng tâm, phép t nh ti n, phép quay. Ngoài các phép bi n hình k
trên mà h c sinh đã đ

c làm quen

các tr

ng ph thông còn m t phép bi n

hình quan tr ng, r t ti n l i đ i v i l p các bài toán yêu c u d ng đ

ng tròn.

ó là phép ngh ch đ o.

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
9


Khóa lu n t t nghi p

Ch

ng 2

phép ngh ch đ o
2.1.

nh ngh a và các tính ch t c a phép ngh ch đ o

2.1.1.

nh ngh a

Trong m t ph ng (P), cho m t đi m O c đ nh và s th c k  0.
M t song ánh f: (P)  (P)
M  M'

O,M,M  th¼ng hµng.
Sao cho 
OM.OM   k.
Thì phép bi n hình f g i là phép ngh ch đ o c c O, ph
Ta th

ng tích k.

ng kí hi u phép ngh ch đ o là f(O, k).

Phép ngh ch đ o hoàn toàn đ

c xác đ nh n u bi t c c O và ph

ng

tích k c a nó.
2.1.2. M t s tính ch t c a phép ngh ch đ o
1. Phép ngh ch đ o có tính ch t đ i h p.
2. N u k > 0 thì hai đi m M và M' = f(M) cùng n m v m t phía đ i
v i đi m O, Khi đó t p h p nh ng đi m kép c a phép ngh ch đ o f(O, k) là
đ

ng tròn tâm O có bán kính b ng
Ta g i đ

ng tròn này là đ

k.
ng tròn ngh ch đ o c a phép ngh ch đ o

f(O, k).
3. N u k < 0 thì hai đi m M và M' = f(M) n m v 2 phía đ i v i đi m
O. Khi đó ta không có đi m kép,do đó không có đ

ng tròn ngh ch đ o vì k <

0.

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
10


Khóa lu n t t nghi p
2.2. Các đ nh lí
Chúng ta công nh n các đ nh lí sau v phép ngh ch đ o. Các đ nh lí đã
đ

c ch ng minh rõ ràng trong các sách tham kh o,

đây ta ch đ a ra đ áp

d ng vào gi i các bài toán liên quan.
2.2.1.

nh lí 1

N u phép ngh ch đ o f(O, k) có ph
đi qua hai đi m t

ng tích k > 0 thì m i đ

ng tròn

ng ng M và M' = f(M) đ u tr c giao v i đ

ng tròn

ngh ch đ o c a phép ngh ch đ o đó.
H qu 1: Qua phép ngh ch đ o v i ph
tr c giao v i đ
2.2.2.

ng tích k > 0, m i đ

ng tròn ngh ch đ o đ u bi n thành chính nó.
nh lí 2

Cho phép ngh ch đ o f(O, k) v i k > 0. N u có hai đ
giao v i đ
là hai đi m t
2.2.3.

ng tròn

ng tròn tr c

ng tròn ngh ch đ o tâm O và c t nhau t i M, M' thì hai đi m này
ng ng c a phép ngh ch đ o f(O, k) đã cho.
nh lí 3

i v i m t phép ngh ch đ o f(O, k) b t kì, hai đi m A, B không th ng
hàng v i c c ngh ch đ o, cùng v i nh c a chúng là A' = f(A), B' = f(B) cùng
n m trên m t đ
2.2.4.

ng tròn.

nh lí 4

Tích c a hai phép ngh ch đ o có cùng c c O là f(O, k) và f'(O, k') là
m t phép v t tâm O, t s

k'
.
k

H qu 2: Hình d ng c a m t hình H trong m t phép ngh ch đ o không
ph thu c vào ph

ng tích ngh ch đ o mà ch ph thu c vào v trí c a c c

ngh ch đ o.
2.2.5.

nh lí 5

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
11


Khóa lu n t t nghi p
Cho hai đi m A, B và nh A', B' c a chúng trong m t phép ngh ch đ o
c c O, ph

ng tích k.

th c: A'B' = k .
2.2.6.

dài các đo n th ng AB, A'B' liên h v i nhau b i h

AB
.
OA.OB

nh lí 6

Phép ngh ch đ o b o t n góc.
2.3. nh c a đ
2.3.1.

ng th ng và đ

nh lí 7

Phép ngh ch đ o bi n đ
thành m t đ
Ng
đ

ng tròn qua phép ngh ch đ o

ng th ng không đi qua c c ngh ch đ o O

ng tròn đi qua c c ngh ch đ o.
c l i, m t đ

ng tròn đi qua c c ngh ch đ o O thì có nh là m t

ng th ng không đi qua c c ngh ch đ o đó.
H qu 3: N u đ

ng tròn tâm I bi n thành đ

ng th ng d thì tâm I c a

nó bi n thành đi m đ i x ng I' c a c c ngh ch đ o O qua d.
2.3.2.

nh lí 8

M tđ

ng th ng và m t đ

phép ngh ch đ o, n u đ
2.3.3

ng tròn có th coi là nh c a nhau qua hai

ng th ng không ti p xúc v i đ

ng tròn.

nh lí 9

Qua m t phép ngh ch đ o, m t đ
đ o O bi n thành m t đ
2.3.4.

ng tròn không đi qua c c ngh ch

ng tròn không đi qua đi m O đó.

nh lí 10

Hai vòng tròn nói chung có th xem là ngh ch đ o c a nhau b ng hai
cách, v i hai tâm ngh ch đ o chính là hai tâm v t trong và ngoài c a hai
đ

ng tròn đó.

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
12


Khóa lu n t t nghi p

Ch

ng 3

ng d ng phép ngh ch đ o
gi i bài toán d ng hình
Do phép ngh ch đ o có kh n ng bi n đ

ng tròn thành đ

ng th ng

i ta khai thác kh n ng này c a phép ngh ch đ o đ gi i toán.

nên ng

bi t là các bài toán liên quan đ n vi c d ng đ
d ng đ

ng tròn sang d ng đ

ng tròn. Vi c quy bài toán t

ng th ng làm cho bài toán tr nên đ n gi n

r t nhi u. Mu n v y, trong các bài toán ng
là giao đi m c a m t s đ

c

i ta th

ng ch n c c ngh ch đ o

ng tròn và các tính ch t đ

c đ c p đ n ph i là

các b t bi n c a phép ngh ch đ o nh đ l n c a góc, tính tr c giao c a
đ

ng, s ti p xúc c a các đ

ng...

L a ch n phép ngh ch đ o thích h p v i c c ngh ch đ o là đi m c
đ nh, ph

ng tích ngh ch đ o là h ng s giúp cho vi c d ng m t s đi m

thu c hình c n d ng t

đ o ch y u

b

ng đ i khó tr nên d dàng h n. Dùng phép ngh ch

c phân tích gi i đ

c nhi u bài toán d ng đ

ng tròn th a

mãn các đi u ki n nào đó.
D

i đây là m t s bài toán d ng hình gi i b ng phép ngh ch đ o.

3.1. Bài toán 1
D ng đ
tr

ng tròn tho mãn đi u ki n: đi qua hai đi m A, B cho

c và ti p xúc v i m t đ

ng tròn ( ) = (O, R) cho tr

c.

Bài gi i

 Phân tích:
Gi s đã d ng đ
v iđ

ng tròn ( ) đi qua hai đi m A, B cho tr

c và ti p xúc

ng tròn ( ) .

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
13


Khóa lu n t t nghi p

Xét phép ngh ch đ o f = f(A,

P

A

/ ( ) ). Khi đó:

f: ( )  ( )
B  B'

( ) 

trong đó Z là đ

Z,

B'

ng th ng.

Do   1  đi qua A, B và ti p xúc

Z

C'

v i ( ) nên Z đi qua B' và c ng ti p
xúc v i ( ) . T đó ta suy ra cách d ng.

 

O .
B

 Cách d ng:

C

 D ng B' là nh c a B qua phép
ngh ch đ o f v i k =

P

A

/ ( ) .

 T B' k ti p tuy n Z v i đ

 

ng

tròn ( ) t i C'.

A

Hình 1

 D ng C' là nh c a C qua phép ngh ch đ o f.
 D ng đ

ng tròn     đi qua ba đi m A, B, C

 Ch ng minh:
ng tròn     đi qua A, B theo cách d ng. Do     là nh c a Z qua
phép ngh ch đ o f và đ
đ

ng th ng Z là ti p tuy n c a đ

ng tròn ( ) và     ti p xúc nhau. V y     là đ

ng tròn ( ) nên hai

ng tròn c n d ng.

 Bi n lu n:
 N u B' n m trong ( ) thì bài toán vô nghi m.
 N u B' n m trên ( ) thì bài toán c ng vô nghi m.
 N u B' n m ngoài ( ) thì bài toán có hai nghi m hình.

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
14


Khóa lu n t t nghi p
 Nh n xét:

P

Qua phép ngh ch đ o f=f(A,

A

/ ( ) ) ta d dàng d ng đ

tròn ( ) tho mãn các yêu c u c a bài toán. Vi c d ng đ

ng

ng tròn ( ) đ

đ a v bài toán d ng hình c b n nh d ng ti p tuy n c a đ
đ

c đ

c

ng tròn, d ng

ng tròn đi qua 3 đi m không th ng hàng mà h c sinh ph thông đã bi t

cách d ng. N u thay đ i m t s yêu c u hay m t vài gi thi t c a bài toán 1 ta
s đ

c m t bài toán m i có cách gi i t

N u thay đi m B b ng m t đ

ng t .

ng th ng d ta đ

c bài toán sau:

3.2. Bài toán 2
D ng đ
tr

ng tròn ( ) tho mãn đi u ki n:

c và ti p xúc v i m t th ng d cho tr

tròn ( ) cho tr

i qua m t đi m A cho

c đ ng th i ti p xúc v i đ

ng

c.

N u ta coi đ

ng th ng là đ

ng tròn có tâm

xa vô t n và đi m B là

vòng tròn có bán kính b ng 0 thì ta có bài toán sau:
3.3. Bài toán 3
D ng đ
tr

ng tròn ( ) tho mãn đi u ki n: đi qua m t đi m A cho

c và ti p xúc v i hai đ

ng th ng cho tr

c.

Trong bài toán 2, t yêu c u c a bài toán, h c sinh có th suy ngay
đ

c các tr

ng h p x y ra c a bài toán tùy vào v trí c a đi m A thu c hay

không thu c đ

( ) . Trong tr

ng th ng d, đi m A thu c đ
ng h p đi m A thu c đ

ng tròn ( ) hay không thu c

ng th ng d thì bài toán s đ a v bài

toán sau.
3.4. Bài toán 4
D ng đ

ng tròn ( ) ti p xúc v i đ

th i ti p xúc v i đ

ng tròn ( ) cho tr

ng th ng d t i m t đi m A cho tr

SVTH: V Th Thúy

c đ ng

c.

K29E - Toán
15


Khóa lu n t t nghi p
Ta có th gi i bài toán này nh sau:
Bài gi i
 Phân tích:
Gi s đã d ng đ
tr

ng tròn ( ) ti p xúc v i đ

cđ

c, đ ng th i ti p xúc v i đ

ng tròn ( ) cho

ng th ng d t i đi m A. G i M là đi m ti p

xúc c a ( ) và ( ) .
Xét phép ngh ch đ o f = f(A,

P

A

/ ( ) ). Khi đó

f: ( )  ( )
d  d
( )  d1 v i d1 là đ

ng th ng

M  M1
Do ( ) ti p xúc v i d nên d1 // d

(1)

Do ( ) ti p xúc v i ( ) nên d1 ti p xúc v i ( ) t i M1

(2)

T (1) và (2) suy ra OM1  d. T đó ra suy ra cách d ng.
 Cách d ng:
 D ng đ

và vuông góc v i d.
 D ng M1 là giao đi m c a Z
v iđ

Z

ng th ng Z đi qua O
( )

( )
O

M
I

ng tròn ( ) .

d2

 D ng M=AM1  ( ) .

d

A

 D ng d2 là trung tr c c a MA
 D ng d3 là đ

M1

d3

ng th ng vuông

H×nh 2

Hình 2

góc v i d t i A.
 D ng I là giao c a d2 và d3.
 D ng ( ) =(I, IA).

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
16


Khóa lu n t t nghi p

 Ch ng minh: V i phép ngh ch đ o f=f(A,

P

A

/ ( ) )

T cách d ng ta có ( ) ti p xúc v i d t i A

Vì f(d)=d, ( ) ti p xúc v i d suy ra d//d1 là nh c a ( ) qua phép
ngh ch đ o f và d1 c ng qua M1 là nh c a M qua f suy ra d1 ti p xúc v i ( )
do ( ) b t đ ng qua phép ngh ch đ o f.
V y ( ) ti p xúc v i đ
đ

ng tròn ( ) cho tr

ng th ng d t i đi m A đ ng th i ti p xúc v i

c

 Bi n lu n:
 N u A n m trong ( ) t c d c t ( ) t i hai đi m phân bi t thì bài toán có
hai nghi m.
 N u d ti p xúc v i ( ) t i A thì bài toán có vô s nghi m.
 N u d ti p xúc v i ( ) t i m t đi m khác A thì bài toán có m t nghi m.
 N u A n m ngoài ( ) thì bài toán có hai nghi m.
 Nh n xét: N u thay gi thi t ( ) ti p xúc v i đ
M cho tr
M ta đ

c thì b ng cách k hình ph là đ

ng tròn ( 1 ) t i đi m

ng th ng d ti p xúc v i ( 1 ) t i

c bài t p trên.

Bài toán 3 là bài toán khá quen thu c đ i v i h c sinh ph thông.Vi c
d ng đ

ng tròn đi qua m t đi m cho tr

c và ti p xúc v i 2 đ

ng th ng c t

nhau (ho c song song), h c sinh đã bi t cách d ng d a vào phép v t v i tâm
v t là giao đi m hai đ

ng th ng (ho c phép t nh ti n), ta c ng có th gi i

bài toán này b ng m t phép bi n hình khác đó là phép ngh ch đ o v i c c
ngh ch đ o chính là đi m A. Bài toán đ
hai đ

ng tròn và d ng nh c a đ

c đ a v d ng ti p tuy n chung c a

ng th ng và đ

ng tròn qua phép ngh ch

đ o.
3.5. Bài toán 5
SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
17


Khóa lu n t t nghi p
Cho đ

( ) . D ng đ

ng tròn ( ) = (O, R) và 2 đi m phân bi t A, B không thu c
ng tròn ( ) đi qua A, B và tr c giao v i ( ) .

Bài gi i
 Phân tích:
Gi s đã đ ng đ

cđ

ng tròn ( ) tho mãn yêu c u bài toán t c ( ) đi

qua hai đi m A, B và tr c giao v i ( ) .
Xét phép ngh ch đ o: f = f(A,
f:

P

A

/ ( ) ). Khi đó

( )  ( )
B  B'
( )  Z v i Z là đ

ng th ng

Do ( ) đi qua A, B và tr c giao v i ( )
nên đ

ng th ng Z đi qua B' và tr c giao v i ( ) .

T đó ta có cách d ng.

B'
( )

M'

 Cách d ng:
 D ng B' = f(B) v i f = f(A,
 D ng đ

P

A

O

/ ( ) ).

.
N'

ng th ng B'O.

 D ng M', N' l n l

M

N

B
. O'

t là giao c a B'O v i
(  )

( )

A

 D ng M, N là nh c a M', N'qua f.
ng tròn ( ) đi qua b n đi m: M, N, A, B

Hình
3
 Ch ng minh: Rõ ràng ( ) đi qua A, B theo cách d ng.
 D ng đ

Do B'O là tr c giao v i ( ) và ( ) là nh c a B'O qua phép ngh ch

đ o f, ( ) b t đ ng qua f nên ( ) tr c giao v i ( ) .

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
18


Khóa lu n t t nghi p
V y ( ) là đ

ng tròn tho mãn yêu c u bài toán.

 Bi n lu n:
 N u B' n m trong ( ) và A, B', O th ng hàng thì bài toán vô nghi m.
 Các tr

ng h p còn l i bài toán luôn có m t nghi m hình.

 Nh n xét:
N u thay đi m A b ng m t đ
bài toán ta s đ
D ng đ
v i hai đ

ng tròn và m r ng thêm yêu c u c a

c m t bài toán ph c t p h n r t nhi u.
ng tròn ti p xúc v i m t đ

ng tròn cho tr

ng tròn cho tr

c và vuông góc

c khác.

3.6. Bài toán 6
Cho đ
D ng đ

ng tròn ( ) và hai đi m phân bi t A, B không thu c ( ) .

ng tròn ( ) đi qua 2 đi m A, B và t o v i ( ) m t góc b ng 600.
Bài gi i

 Phân tích:
Gi s đã d ng đ

ng tròn ( ) đi qua A, B và t o v i ( ) m t

cđ

góc b ng 600. Xét phép ngh ch đ o f = f(A,

P

A

/ ( ) ), khi đó:

( )  ( )

f:

B  B'
( )  Z v i Z là đ

ng th ng

Do ( ) đi qua A, B và t o v i ( ) m t góc b ng 600 nên Z đi qua B' và
c ng t o v i ( ) m t góc b ng 600.

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
19


Khóa lu n t t nghi p

Do Z t o v i ( ) m t góc b ng 600 nên d(O, Z) =
c ađ

R
 Z là ti p tuy n
2

R

. T đó ta có cách d ng.
2

ng tròn tâm O, bán kính b ng

 Cách d ng:
 D ng B ' = f(B) v i f = f(A,
 D ng đ

P

A

/ ( ) )

 R
ng tròn   1    O,  .
 2

 D ng Z đi qua B' và ti p xúc v i   1  .
 D ng C' là giao c a Z v i đ

B'

ng tròn
 

( ) .

 

 D ng C là nh c a C' qua f.
 D ng đ

ng tròn ( ) đi qua 3 đi m

A, B, C.
Khi đó ( ) là đ

B

1

C'

O.

Z

 

O' .
C
A

ng tròn c n d ng.

 Ch ng minh:
Rõ ràng ( ) đi qua A, B theo cách d ng.

Hình 4

Do ( ) là nh c a Z qua phép ngh ch đ o f và góc gi a ( ) và Z b ng
600 nên góc gi a ( ) và ( ) b ng 600.
V y ( ) tho mãn yêu c u bài toán.
 Bi n lu n:
 N u B' thu c mi n trong c a đ

ng tròn ( 1 ) thì bài toán vô nghi m.

 N u B' n m trên ( 1 ) sao cho AB' là ti p tuy n c a ( 1 ) thì bài toán
c ng vô nghi m.

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
20


Khóa lu n t t nghi p
 N u B' n m trên ( 1 ) nh ng AB' không là ti p tuy n thì bài toán có
m t nghi m hình.
 Các tr

ng h p còn l i bài toán có hai nghi m hình.

 Nh n xét:
 T bài toán v a gi i ta c ng có th suy ra bài toán sau:
ng tròn ( ) đi qua đi m A, ti p xúc v i m t đ

D ng đ

c đ ng th i t o v i m t đ

tr

ng tròn cho tr

c khác m t góc b ng 600.

 Các bài toán 1, 3, 4 đ u yêu c u d ng m t đ
đi m cho tr
h n

c và t o v i đ

ng tròn ( ) cho tr

bài toán 1, góc gi a hai đ

ng tròn cho

ng tròn ( ) đi qua 2

c m t góc nào đó. Ch ng

ng tròn ( ) và ( ) b ng 00, bài toán 3 góc

b ng 900 hay bài toán 4 góc b ng 600. V y n u xét trong tr

ng h p t ng

quát, t c là ( ) qua A, B và t o v i ( ) m t góc b ng   0    900  thì có
l i gi i bài toán d ng hình không?
3.7. Bài toán 7
Cho đ
đ

ng tròn ( ) = (O, R) và 2 đi m A, B không thu c ( ) . D ng

ng tròn ( ) đi qua A, B và c t ( ) t i 2 đi m xuyên tâm đ i.
Bài gi i
 Phân tích:
Gi s d ng đ

cđ

( ) t i C, D sao cho CD là đ

ng tròn ( ) = (O, R) đi qua hai đi m A, B và c t
ng kính c a ( ) .

Xét phép ngh ch đ o f = f(A,
A

P
B1

/ ( ) ). Khi đó:

f:

( )  ( )

B

B  B1

C

C1
B2
SVTH: V Th Thúy
21

A

.

K29E - Toán
.O

D1
D


Khóa lu n t t nghi p
C  C1
D  D1
( )   , v i  là đ

ng th ng

Do ( ) b t bi n qua phép ngh ch đ o f và C, D  ( ) nên C1, D1  ( ) .
Do A, B, C, D  ( 1 ) nên B1, C1, D1  
Ta l i có C1D1 là tr c đ ng ph

ng c a 2 đ

P

(1)

ng tròn ( ) và (AC1D1)
Hình 6a

nên:
B1

/ ( ) =P

B1

/(AC1D1 )

G i B2 là đi m thu c AB1 và B1A.B1B2 =P

B1

Theo (1) ta có B2 tho mãn B1A.B1B2 =P

/(AC1D1 )

B1

/( ) .

 B2  (AC1D1 )
Ta có f(CD) = (AC1D1), f      .
Do CD là đ

ng kính c a đ

ng tròn ( ) nên CD tr c giao v i ( ) .

Suy ra (AC1D1) tr c giao v i ( ) . V y đ
B2, đ ng th i tr c giao v i đ

ng tròn (AC1D1) đi qua A và

ng tròn ( ) .

T đó ta có cách d ng.
B1

 Cách d ng:
 D ng B1 = f(B) v i f = f(A,

P

A

B

/( ) ).

 D ng B2 trên AB1 sao cho
B1A.B1B2 =P

B1

C

( )

C1

B2

O.

/( ) .

(1 )

O1.
A
D

D1

( )

SVTH: V Th Thúy
22

K29E - Toán


Khóa lu n t t nghi p
 D ng đ

ng tròn ( 1 ) đi qua A, B2 và tr c giao v i ( ) .

 D ng giao đi m C1, D1 qua f.
 D ng ( ) là đ

Hình 6b

ng tròn qua A, B, C, D.

Khi đó ( ) là đ

ng tròn c n d ng.

 Ch ng minh:
Theo cách d ng ta có ( ) đi qua A, B, C, D.
Theo cách d ng ta c ng có ( 1 )  ( ) .
M t khác do C, D l n l
V y CD là đ

t là nh c a C1, D1 nên C, D  ( ) .

ng kính c a ( ) .

V y ( ) tho mãn yêu c u bài toán.
 Bi n lu n:
 N u B n m trong ( ) thì bài toán vô nghi m.
 N u B n m ngoài ( ) thì bài toán có 1 nghi m.
 Nh n xét:
Coi B là m t đ

ng tròn có bán kính b ng 0, ta chuy n v bài toán sau,

v n s d ng phép ngh ch đ o đ gi i.
D ng đ
v im tđ

ng tròn tho mãn đi u ki n:
ng tròn cho tr

i qua m t đi m cho tr

c và c t m t đ

ng tròn cho tr

c ti p xúc

c khác t i các

đi m xuyên tâm đ i.
3.8. Bài toán 8
D ng m t vòng tròn ti p xúc v i m t đ

ng th ng AB và ti p xúc v i

m t vòng tròn ( ) tâm O bán kính R t i đi m P cho tr

c trên vòng tròn

y.
Bài gi i
Cách 1: Không s d ng phép bi n hình ngh ch đ o.

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
23


Khóa lu n t t nghi p
 Phân tích:
Gi s đã d ng đ
đi m P cho tr

cđ

ng tròn ( ) t i

ng tròn ( ) ti p xúc v i đ

c, đ ng th i ti p xúc v i đ

v i ( ) t i P nên tâm O1 c a ( ) n m trên đ

ng th ng AB. Vì ( ) ti p xúc
ng th ng OP.

Qua P v m t ti p tuy n v i v i vòng
tròn ( ) c t AB
v i ( )

Q. Vì ( ) ti p xúc

P và ti p xúc v i AB

nên O1 n m trên đ

O.

M

P

ng phân giác c a

O1 .

฀

฀ .
góc PQB
hay PQA
A

Q

B

M

Hình 7a
V y tâm c a vòng tròn ( ) ph i tìm là giao c a đ
đ

ng th ng OP và c a

฀
฀
ng phân giác c a góc PQB
(hay PQA
).

T đó ta có cách d ng.
 Cách d ng:
 D ng đ

ng th ng OP.

 D ng ti p tuy n d t i P c a

đ

d2

ng tròn ( ) .

O2

d

 D ng Q = d  AB.
 D ng d1, d2 l n l

.O

t là phân

d1

P

฀ .
giác trong và ngoài PQB

O1 .

 D ng O1 = d1  OP.
A

 D ng ( ) = (O1, O1P).

Khi đó ( ) là đ


ng tròn c n d ng.

Q

B

M

Hình 7b

Ch ng minh:
SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
24


Khóa lu n t t nghi p
Rõ ràng ( ) và ( ) có đi m chung P trên đ

ng n i tâm OO1nên ( )

và ( ) ti p xúc v i nhau t i P.
฀
ng phân giác c a góc PQB
và ti p xúc v i

( ) có tâm O1 n m trên đ

c nh PQ t i P nên c ng ti p xúc v i QB t i M. V y ( ) tho mãn yêu c u bài
toán.
T

ng t thì vòng tròn tâm O2 = OP  d2, bán kính O2P c ng là đ

ng

tròn c n d ng.
 Bi n lu n:
 N u d1  d2 và PO c t 2 đ

ng th ng t i hai đi m phân bi t thì bài toán

có 2 nghi m hình.
 N u d1  d2 và PO c t d1 thì bài toán có 1 nghi m.
 N u OP không c t c d1 và d2 thì bài toán vô nghi m.
Cách 2: S d ng phép ngh ch đ o.
H

ng d n: Gi s d ng đ

ti p xúc v i đ

cđ

ng tròn ( ) ti p xúc v i ( ) t i P và

ng th ng AB.

Xét phép ngh ch đ o: f = f  P,k  v i k  0
f:

( )  d
( )  d1

AB  (AB)
V i (AB) là đ

ng tròn đi qua A1 = f(A), B1 = f(B).

Do ( ) ti p xúc v i ( ) và AB nên d1 // d và d1 ti p xúc v i đ

ng

tròn (AB).
 Nh n xét:

SVTH: V Th Thúy

K29E - Toán
25