Luận văn sư phạm Phương pháp toạ độ và các ứng dụng

Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

M cl c
Trang
L i nói đ u………………………………………………………………………..2
Ch

ng 1: M t s ki n th c c b n liên quan……………………………………3
A. Khái ni m và các tính ch t c b n…………………………………...…3
I. Các khái ni m …………………………………………………….3
II. M t s tính ch t trong E2 và E3 ………………………………….4
B. M t s công th c c b n trong t a đ

êcác vuông góc……………….6

I. Xét trong E2 ……………………………………………………...6
II. Xét trong E3………………………………………………………8
Ch

ng 2: M t s
Bài 1: Ph

ng d ng gi i bài tóan b ng ph

ng pháp t a đ …………14

ng pháp t a đ ………………………………………………..14

Bài 2: L p các bài toán gi i đ

c b ng ph

ng pháp t a đ …………….15

I: L p bài toán tính góc và kho ng cách…………………………..15
II: L p các bài toán ch ng minh tính vuông góc………………….24
III: L p các bài toán ch ng minh th ng hàng, đ ng ph ng………..30
IV: L p bài tóan tìm qu tích……………………………………...38
V: L p bài toán đ nh tính ch ng minh m i liên h đ i s …………46
VI: L p các bài toán ch ng minh b t đ ng th c đ i s ……………52
K t lu n: ………………………………………………………………………...59
Tài li u tham kh o:………………………………………………………………60

Hoàng Th Ng c Anh

1

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

l i nói đ u

Hình h c là m t môn h c có tính h th ng ch t ch , tính lôgic và tính tr u
t

ng hóa cao. Vì v y hình h c là m t môn h c khó đ i v i h c sinh. V i m i bài

t p hình h c có th có nhi u ph
h p, ph

ng pháp vect , ph

ng pháp gi i khác nhau: Ph

ng pháp t ng

ng pháp t a đ …

Vi c s d ng t a đ đ gi i toán cung c p cho h c sinh m t ki n th c m i
cách nhìn m i v toán h c hi n đ i. Giúp cho các em th y đ

cm it

ng quan

1 -1 gi a đ i s và hình h c, nh m phát tri n t duy toàn di n cho h c sinh khi
đ ng tr

c m t bài toán, hình thành cho mình h

góp ph n đ t đ

c m c tiêu đó lu n v n đ a ra h th ng lý thuy t phù h p,

m t s d ng toán th
h a, b

ng t duy đúng đ n, phù h p.

ng g p thông qua ph

c đ u giúp h c sinh th y đ

ng pháp chung và các ví d minh

c t m quan tr ng c a nh ng ng d ng c a

t a đ trong gi i toán. Coi đây là m t công c m i r t hi u qu .
B t ngu n t lòng say mê c a b n thân và đ
c a th y Bùi V n Bình em đã ch n đ tài: Ph

c s giúp đ ch b o t n tình

ng pháp t a đ và các ng d ng

làm khoá lu n t t nghi p c a mình. Qua đây em xin g i l i c m n t i t t c các
th y cô giáo trong t hình h c đã t o đi u ki n giúp đ em trong quá trình
nghiên c u, đ c bi t em xin chân tr ng c m n th y Bùi V n Bình đã tr c ti p
gi ng d y, giúp đ , h

ng d n em trong quá trình th c hi n đ tài này. Tuy có

nhi u c g ng song do n ng l c c a b n thân c ng nh đi u ki n v tài li u và
th i gian còn h n ch nên bài khoá lu n không th tránh kh i nh ng sai sót. Em
hy v ng s nh n đ

c s ch b o c a th y cô và các b n.
Hà N i, ngày 19 tháng 5 n m 2007
Sinh viên
Hoàng Th Ng c Anh

Hoàng Th Ng c Anh

2

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Ch

Khóa lu n t t nghi p

ng I: m t s ki n th c c b n liên quan

A. khái ni m và các tính ch t c b n

I. Các khái ni m.
1.

nh ngh a h t a đ .



uur uur

uur



Trong không gian Eukleides n chi u E n (n  1) g i   e , e ..., en là m t
1 2
uuur

ur uur

c s tr c chu n c a E n , ngh a là ei .e j  ij , và O là đi m cho tr
khi i  j

0
1

i, j  



uur uur

khi i = j
uur



thì t p h p 0,   hay 0, e , e ,..., en đ
1 2
đ

c trong đó:

c g i là h t a đ tr c chu n hay h t a

êcác vuông góc.
2.T a đ c a véct .
Trong không gian Eukleides n chi u E n v i h t a đ



uur uur

uur



0, e , e ,..., en , cho
1 2

r

vect v . Khi đó, luôn t n t i duy nh t b s (x1,…,xn) sao cho:
r

ur

uur

uur

v  x1e1  x2 e2  ...  xn en . B s (x1, x2, ...,xn) đ

r

c g i là to đ c a vect v đ i

v i h t a đ đã cho.
r

Kí hiê : v  ( x ,..., xn ).
1
3. T a đ c a đi m.

Hoàng Th Ng c Anh

3

K29A Toán

Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

Trong không gian Eukleides n chi u E n v i h t a đ
uuuur

đi m M b t kì. T a đ c a vect OM đ



uur uur

uur



0, e , e ,..., en cho
1 2

c g i là t a đ c a đi m M đ i v i h

t a đ đó.
uuuur

Nh v y, n u OM (x1 , x2 , … , xn) t c là:

uuuur

ur

uur

uur

OM = x1e1  x2 e2  ...  xn en thì b s (x1 , x2 , … , xn ) đ

c g i là t a đ

c a đi m M.
Kí hi u:

M (x1 , x2 , … , xn ) .

II. M t s tính ch t trong E2 và E3.
1. Xét trong E2.
Cho h t a đ

ur

êcác vuông góc Oxy. Khi đó n u có 2 vect u( x ; y ) ,
1 1

r

v( x ; y ) và s k  R thì ta có:
2 2

Khi đó :

ur

r



u  v  (x  x ; y  y )
1 2 1 2



k .u  ( kx1 ; ky1 )



u.v  x .x  y . y
1 2 1 2



ur 2
u x2y2
1
1

ur

ur r

ur
u  x2y2
1
1



Hoàng Th Ng c Anh

ur r

cos ( u, v ) =
ur

r

x .x  y . y
r
ur r
1 2 1 2
( u, v khác 0 )
x 2  y 2. x 2  y 2
1
1
2
2

ur r



u  v  u.v  0  x .x  y .y  0
1 2 1 2



Cho 2 đi m M( x1, y1) và N ( x2 , y2).
4

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p
uuuur

Khi đó, t a đ c a vect MN  ( x  x ; y  y ) .
2 1 2 1
2. Xét trong E3.
Cho h t a đ

êcác vuông góc Oxyz, cho 2 vect

ur

r

u( x , y , z ), v( x , y , z )
1 1 1
2 2 2

và s k  R . Khi đó ta có:
ur

r



u  v  (x  x ; y  y ; z  z )
1 2 1 2 1 2



k.u  (kx ; ky ; kz )
1 1 1



u.v  x .x  y . y  z .z
1 2 1 2 1 2

ur

ur r

uur

u2  x 2  y 2  z 2
1
1
1



ur
Khi đó : u  x 2  y 2  z 2
1
1
1

x .x  y . y  z . z
r
ur r
1 2 1 2 1 2
( u, v khác 0 )
x 2  y 2  z 2. x 2  y 2  z 2
1
1
1
2
2
2

ur r



cos ( u, v ) =



Cho 2 đi m M( x1, y1, z1) và N ( x2 , y2, z2).
uuuur

Khi đó, t a đ c a vect MN  ( x  x ; y  y ; z  z ) .
2 1 2 1 2 1
Tích có h



ng c a 2 vect .
y z
ur r
ur
u, v  w   1 1 ;


y z
 2 2

z x x y 
1 1; 1 1
z x x y 
2 2 2 2

ur

Vect w này có tính ch t.
ur

ur

ur

r

+, w  u ; w  v .
Hoàng Th Ng c Anh

5

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán
ur

Khóa lu n t t nghi p

ur

r

r

+, w 0  u // v
ur

+, V i u

//

r

ur

ur r

ur r

v  w  u . v .sin(u, v) .

r

v
ur

ur

ur r

w  S(u, v)

u
ur r

ur r

( trong đó S(u, v) là di n tích hình bình hành d ng trên u, v ).

vect

ur r ur

Ba vect u, v, w đ ng ph ng khi và ch khi tích h n h p t p c a 3
ur r ur

ur r ur

: D( u, v, w ) = u, v .w = 0

B. M t s công th c c b n trong t a đ

êcác vuông góc.

I. Xét trong E2.
1. Công th c tính kho ng cách.
1.1 Kho ng cách gi a 2 đi m.
 Trong m t ph ng cho 2 đi m M1( x1, y1) và M2 (x2 , y2). Khi đó kho ng
uuuuuuuur

cách d gi 2 đi m M1 và M2 là đ dài vect M M và đ

1 2
uuuuuur

sau: d = M M =
1 2

c tính b i công th c

( x  x )2  ( y  y )2 .
2 1
2 1

1.2 Kho ng cách t m t đi m đ n m t đ

ng th ng .

 Trong m t ph ng kho ng cách t đi m M1( x1, y1) đ n đ
có ph
đ

ng th ng 

ng trình : A x + B y + C = 0 .

c tính theo công th c sau: d (M , ) 
1

Hoàng Th Ng c Anh

6

Ax  By  C
1
1
A2  B2
K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

2. Chia m t đo n th ng theo t s cho tr

c.

Trong E 2 , đi m M (x, y) chia đo n th ng M1M2 theo t s k có ngh a:
uuuuuur

uuuuuur

MM  k.MM , khi đó:
1
2
x  kx

2

x  1

1 k

y  ky

1
2
y 
1 k


V i M1( x1, y1) và M2 (x2 , y2).

c bi t, n u k = -1 thì M là trung đi m c a đo n th ng M1M2 , khi đó t a
đ c a đi m M đ

x x

x  1 2

2
.

y y

1 2
 y 
2

c xác đ nh nh sau :

3.Công th c tính góc :
Trong m t ph ng v i h t a đ
có ph

êcác vuông góc Oxy, cho 2 đ

ng th ng

ng trình : (d1) : A1x + B1y + C1 = 0
(d2) : A2x + B2y + C2 = 0

G i  là góc gi a 2 đ
Khi đó ta có :
Hai đ

ng th ng d1, d2 .

cos  

AA B B
1 2 1 2
A2  B 2 A 2  B 2
1
1
2
2

ng th ng d  d  A A  B B = 0

1
2
1 2 1 2
4. côsin ch ph

ng.
r

Trong E 2 , góc gi a vect v( x, y) và chi u d

ng c a các tr c Ox, Oy là

 x, y , khi đó : cos  x , cos  y g i là các côsin ch ph
Hoàng Th Ng c Anh

7

ng.
K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán
cos  x =

Khóa lu n t t nghi p

x

x y
2

cos  y =

;

2

Ta có:

y
x  y2
2

.

cos2  x  cos2  y  1

5. i u ki n th ng hàng, đ ng ph ng.
Trong E 2 , ba đi m A( x1, y1) ; B( x2, y2) và C (x3 , y3) th ng hàng n u
uuur

( đi u ki n c n và đ ) :

x x
 3 1
x x
2 1

uuur

AC  kAB

hay

x1

y1 1

x2

y2

1

x3

y3

1

y y
3 1
y y
2 1

= 0

6. Công th c tính di n tích tam giác.

Trong E 2 , di n tích c a tam giác có các đ nh A( x1, y1) , B (x2 , y2) và
C (x3 , y3) đ

c cho b i công th c sau:

1
S

ABC 2

x1

y1 1

x2

y2 1

x3

y3 1

II. Xét trong E3.
1.Công th c tính kho ng cách.`
1.1. Kho ng cách gi a 2 đi m .
Trong không gian, n u ta cho 2 đi m M1( x1, y1, z1) và M2 (x2 , y2, z2) t

ng

t nh trong m t ph ng ta có:

Hoàng Th Ng c Anh

8

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán
uuuuuuuur

d= M M =
1 2

Khóa lu n t t nghi p

( x  x )2  ( y  y )2  ( z  z )2 .
2 1
2 1
2 1

1.2 .Kho ng cách t m t đi m đ n m t đ

ng th ng.

Trong không gian, kho ng cách t đi m M1( x1, y1 ,z1) đ n đ
có ph

ng trình :

x x
y y
z z
0
0
0 đ
a
b
c

ng th ng 

c tính theo công th c:

uuuuuuuur ur
M M ,u 


d (M , )   0 ur 1  .

1

u

ur

Trong đó M0( x0, y0 ,z0)  ; u là vect ch ph

ur

u là đ dài c a vect
uuuuuuuur ur
 M M , u  : là tích có h
 0 1 

ur

u .
uuuuuuuur

ur

ng c a vect M M và vect u .
0 1

uuuuuuuur ur
 M M , u  : là di n tích hình bình hành có c nh là
 0 1 

Ta có : d (M ,  ) =

ur

ng c a  và u (a, b, c) ;

uuuuuuuur

ur

M M và u .
0 1

y  y z z 2 z z x x 2 x x y  y
1 0 1 0  1 0 1 0  1 0 1 0
c
c
a
a
b
b
a 2  b2  c 2

2

1.3 Kho ng cách t m t đi m đ n m t m t ph ng.
Kho ng cách t m t đi m M0( x0, y0 ,z0) đ n m t ph ng (  ) có ph
trình Ax + By + Cz + D = 0 đ

c tính theo công th c :

d (M ,( ) 
0

Hoàng Th Ng c Anh

ng

Ax  By  Cz  D

0
0
0
A2  B2  C 2
9

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

1.4 Kho ng cách gi a 2 đ

ng th ng chéo nhau.

Trong không gian mu n tính kho ng cách gi a 2 đ
a và b ta có các ph
Ph
đ

ng th ng chéo nhau

ng pháp sau:

ng pháp 1: N u bi t đ dài đo n vuông góc chung AB c a 2

ng th ng chéo nhau  AB = d(a,b).
Ph

ng pháp 2: Ta th c hi n theo các b
ng trình m t ph ng (  ) ch a đ

c:

B

c 1: L p ph

ng th ng a và (  ) // b.

B

c 2: L y m t đi m M trên b và tính kho ng cách t M t i (  )
d ( a, b) = d(M, (  ) ).
Ph

B

ng pháp 3: ta th c hi n theo các b

c 1: Tìm vect ch ph

c:

uur

ng th ng ``a và m t đi m

uur

ng th ng b và m t đi m

ng u c a đ
1

M1 ( a1 , b1 , c1 )  a .
B

c 2: Tìm vect ch ph

ng u c a đ
2

M2 ( a2 , b2 , c2 )  b .
B

c 3: Kho ng cách gi a hai đ

ng th ng chéo nhau a và b đ

c tính theo

công th c :
uur uur uuur
u , u  .BA



d (a,b) =  1uur 2uur
u , u 
 1 2 

2. Chia 1 đo n th ng theo 1 t s cho tr

Hoàng Th Ng c Anh

10

c.

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

Trong E3 , đi m M (x, y, z) chia đo n th ng M1M2 theo t s k có ngh a

uuuuuur

x  kx


2
x  1
1 k


y  ky

1
2
y
1 k


z  kz
2
z  1

1
k


uuuuuur

MM  k.MM khi
1
2

V i M (x , y , z ) ; M (x , y , z ) .
1 1 1 1
2 2 2 2

Khi k = -1 thì đi m M là trung đi m c a đo n th ng M1M2. Khi đó t a đ
đi m M là :

x x

x  1 2
2


y y

1 2
y


2

z z

z  1 2
2

3. Công th c tính góc
 Trong không gian E3 , cho 2 đ
ch ph

ng th ng d1 , d2 l n l

t có các vect

uur

uur

ng u  (a , b , c ) ; u  (a , b , c )
1
1 1 1
2
2 2 2
G i  là góc gi a 2 đ

ng th ng d1 , d2 . Ta có :

uur uur

u .u
a a b b c c
1
2
1 2 12 12
cos  uur uur 
u .u
a 2 b 2  c 2. a 2 b 2  c 2
1 2
1
1
1
2
2

2
 Trong không gian, v i h t a đ
d có vect ch ph

êcác vuông góc Oxyz, cho đ

ng th ng

ur

ng a  (a , a , a ) và m t ph ng (P) có vect pháp tuy n
1 2 3

ur

n( A, B, C) .
Hoàng Th Ng c Anh

11

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán
Khi đó góc  gi a đ

Khóa lu n t t nghi p

ng th ng d và m t ph ng (P) đ

c tính theo công

th c

sin  

Aa  Ba  Ca
1
2
3
A2  B2  C 2 a 2  a 2  a 2
1
2
3

ng th ng d vuông góc m t ph ng (P)


Trong không gian, v i h t a đ

ph ng ( 1 ) , (  2 ) l n l

 A : B : C = a1 : a2 : a3 .

êcác vuông góc Oxyz cho các m t

t có các vect pháp tuy n

uur
n  ( A , B ,C ) ,

1

1 1 1

uur
n  ( A , B , C ) thì s đo c a góc  gi a 2 m t ph ng đó đ

2

2 2 2

c tính theo công

th c.

A A  B B C C
1 2 1 2 1 2
A2  B 2 C 2 A 2  B 2 C 2
1
1
1
2
2
2

cos =

4. Côsin ch ph

ng.
r

Trong E3 , góc gi a vect v (x, y, z) và chi u d

ng c a các tr c Ox, Oy,

Oz là  x, y , z . Khi đó cos  x,cos  y,cos  z g i là các côsin ch ph

ng. Ta

có:
cos  x =

x
x2  y2  z2
cos  z =

cos  y =

;

y
.
2
2
2
x y z

z
x2  y2  z2

Rõ ràng: cos2  x  cos2  y  cos2  z  1.
5. i u ki n th ng hàng, đ ng ph ng.
Hoàng Th Ng c Anh

12

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

 Trong E3 , đi u ki n c n và đ đ 3 đi m A( x1, y1, z1) , B (x2 , y2 ,z2) và
uuur

uuur

C (x3 , y3 , z3) th ng hàng là AC  k.AB
x x
y y
z z
 3 1 3 1 3 1

x x
y y
z z
2 1
2 1
2 1



y1

z1 1

y2

z2 1

y3

z3 1

=

z1

x1 1

z2

x2 1

z3

x3 1

=

x1

y1 1

x2

y2 1 =

x3

y3 1

0

 Trong E3 , cho 4 đi m A, B , C , D v i A( x1, y1,z1) , B (x2 , y2,z2)
C (x3 , y3,z3) , D (x4 , y4,z4) .
i u ki n c n và đ đ 4 đi m đó đ ng ph ng là :

x1

y1 z1

1

x2

y2

z2

1

x3 y3

z3

1

y4 z4

1

x4

=

0

uuur uuur uuur
  AB, AC  . AD



=

0

6. Công th c tính di n tích tam giác, th tích t di n.
 Trong E3 , di n tích c a tam giác có các đ nh A( x1, y1,z1) ,
B (x2 , y2, z2) , C (x3 , y3, z3) đ
1
S

ABC 2

1
=
2

c tính theo công th c :

uuur uuur
 AB, AC 



2
2
y y z z
z z x x
2 1 2 1  2 1 2 1 
y y z z
z z x x

3 1 3 1
3 1 3 1

x x y y
2 1 2 1
x x y y
3 1 3 1

2

 Trong E3 th tích t di n có các đ nh A( x1, y1, z1) , B (x2 , y2, z2) ,
Hoàng Th Ng c Anh

13

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

C (x3 , y3, z3) , D (x4 , y4, z4) đ

c tính theo công th c:

1 uuur uuur uuur

V
 D(OA, OB, OC )
ABCD 6

1
6

=

x1

y1 z1

1

x2

y2

z2

1

x3 y3 z3

1

y4 z4

1

x4

Ch

ng II: M t s
ph

ng d ng gi i bài toán b ng
ng pháp t a đ

Bài 1: Ph
1. Các b

c gi i bài toán b ng ph

ng pháp t a đ
ng pháp t a đ :

Khi bài toán cho có các v n đ nh tính kho ng cách, tính góc, ch ng minh
s vuông góc c a 2 đ

ng th ng, c a đ

ng th ng và m t ph ng, c a 2 m t

ph ng... ho c nh ng bài toán qu tích, c c tr , ch ng minh y u t c đ nh... thì ta
có th s d ng ph
Nó g m có 4 b

ng pháp t a đ đ gi i toán
c sau:

Hoàng Th Ng c Anh

14

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

 Ch n h t a đ thích h p, sao cho đi m g c O và các tr c t a đ trùng
v i các đi m đ c bi t, các đ

ng đ c bi t thì vi c tính toán s đ

c th c hi n đ n

gi n, ng n g n
 Chuy n ngôn ng hình h c sang ngôn ng t a đ
 Sau đó b ng ph

ng pháp t a đ và các phép tính đ i s chúng ta c n

th c hi n các yêu c u c a bài toán đ t ra
 Chuy n các k t qu t ngôn ng t a đ sang ngôn ng hình h c
2. M t vài ví d v cách chuy n ngôn ng hình h c sang ngôn ng t a đ
. M là trung đi m c a đo n th ng AB  MA = MB
. Hai đ
ph

ur

r

ng th ng d1 và d2 vuông góc và g i u1 , u 2 l n l

ng c a d1, d2 khi đó:
uur

uur

uur uur

uur uur

t là vect ch

ur ur

d  d  u  u  u .u  0  u . u cos (u , u )  0
1
2
1 2

1 2
1 2
2 2

.

ng th ng d vuông góc v i m t ph ng (P) khi và ch khi:
uuur

uuuuur

u // n
 a  ka ; b  kb ; c  kc
1
2 1
2 1
2
d (P )
uuur

(V i u (a , b , c ) là vect ch ph
d 1 1 1

ng c a đ

ng th ng d

uuuuur

n (a , b .c ) là vect pháp tuy n m t ph ng (P))

( p) 2 2 2

Bài 2: L p các bài toán gi i đ

c b ng ph

ng pháp t a đ

I. L p bài toán tính góc và kho ng cách
Bài toán tính góc và kho ng cách là nh ng bài toán yêu c u tính góc gi a 2
đ

ng th ng, góc gi a hai m t ph ng, góc gi a đ

Hoàng Th Ng c Anh

15

ng th ng và m t ph ng.
K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

Kho ng cách gi a 2 đi m, t m t đi m đ n m t đ

ng th ng, t đi m đ n m t

ph ng...
Ph

ng pháp chung đ gi i bài toán tính góc và kho ng cách b ng ph

pháp t a đ là s d ng các công th c có liên quan nh đã nói

ch

ng

ng I áp d ng

trên h tr c t a đ .
Ví d 1:
Cho t

di n OABC có góc tam di n đ nh O là tam di n vuông,

OA=OB=OC=1. G i M, N l n l
kho ng cách gi a 2 đ

t là các trung đi m các c nh AB, OA. Tính

ng th ng OM, CN.
L i gi i

Cách 1:
B ng ph
1. D ng đ

ng pháp t ng h p có th gi i bài toán b ng các cách sau:
ng vuông góc chung EF c a OM và CN. Tính EF

Hoàng Th Ng c Anh

16

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p
C

F
H
B
O

E

K

M

N
I
A

2. Kho ng cách c n tìm b ng kho ng cách t m t đi m b t k trên đ

ng

th ng OM đ n m t ph ng(  ) . (  )//OM và ch a CN; (  ) chính là m t ph ng
(CKI) trong đó OK//AB và KI//OM .
Khi đó, OKIM là hình ch nh t và d dàng ch ng minh n u OH  CK thì
OH  m t ph ng (CKI).
tính OH t tam giác vuông OCK, có OK=

2
và OC=1
4

Khi đó áp d ng công th c di n tích suy ra OH =
3. Xem kho ng cách c n tìm là đ

1
3

ng cao c a hình chóp có đáy thu c m t

ph ng ch a CN và song song v i OM và đ nh c a hình chóp là đi m thu c OM,
V

S

ta có OH =3 .

Hoàng Th Ng c Anh

17

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

Cách 2:
Ch n h tr c t a đ

êcác vuông góc Oxyz sao cho đi m O c a hình chóp

trùng g c t a đ .
z

C

O
B

N

y

M

A

x

1 1
2 2

Khi đó: O (0, 0, 0); A (1, 0 ,0) ;

1
2

C (0, 0, 1); M( , , 0 ); N( , 0, 0 ).
uuur

1 1
2 2

Ta có, vect ch ph

ng c a đ

ng th ng OM là: OM  ( , , 0).

Vect ch ph

ng c a đ

uuur
1
ng th ng CN là: CN  ( ,0, 1) .
2

Vect n i 2 đi m c a 2 đ

uuur

ng th ng trên là : OC  (0,0,1) .

Khi đó kho ng cách gi a 2 đ

Hoàng Th Ng c Anh

18

ng th ng OM và CN là:

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

uuur uuur uuur
OM , CN  .OC



d
uuur uuur
OM , CN 



0

0

1

1
2
1
2

1
2

0

0

-1
=

2
1
0
0
2
+
0 -1

1 2
2 +
1
-1
2

1 1 2
2 2
1
0
2

1
3

Nh n xét:
Nh v y b ng ph

ng pháp t ng h p, đ gi i bài toán ta ph i k thêm hình.

i u này đ i v i nhi u bài là khó xác đ nh. Cách 2 ta s d ng ph

ng pháp t a

đ l i gi i có ph n đ n gi n, ng n g n.
Ví d 2:
Cho hình l p ph

' ' ' '
D . G i M, N l n l
ng ABCD. ABC

c nh AD và BB' . Tính góc t o b i 2 đ

t là trung đi m các

ng th ng MN và AC ' .
Gi i.

Cách 1: Dùng ph

ng pháp t ng h p.
A'

D'
C'

B'

N.

B

A

.
O

K

M
D

.

C

' '
' '
Kéo dài BC
và đ t C ' K  BC
. Khi đó t giác ADKC ' là hình bình hành

( Vì AD //  C ' K ). G i O là trung đi m BC ' .

Hoàng Th Ng c Anh

19

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

M t khác MN// OD và DK // AC ' nên góc gi a MN và AC’ chính là góc
·
ODK
.

Gi s c nh hình l p ph

ng b ng a. áp d ng đ nh lý côsin cho OKC ' ta có:

· 'K .
OK 2  C ' K 2  OC '2  2C ' K.OC ' .cos OC
a 2 2
a 2
5a 2
0
)  2a .
.cos 45 =
.

= a (
2
2
2
2

áp d ng đ nh lí côsin cho OKD , ta có:
·
OK 2  DK 2  OD 2  2DK.OD. cos KDO
.
a 6 2
a 6
5a 2
·
)  2a 3.
. cos KDO =
= (a 3)  (
.
2
2
2
2

·

T h th c trên suy ra: cos KDO

Cách 2: Dùng ph

2

3

ng pháp t a đ .
z

D'

A'

C'

B'
A O

M

N

B

D

y

C

x

Hoàng Th Ng c Anh

20

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán
Ch n h t a đ

D, A' l n l
l p ph

Khóa lu n t t nghi p

êcac vuông góc Oxyz sao cho A 0 . Khi đó các đi m B,

t thu c các tr c Ox, Oy, Oz..

đ n gi n ta gi thi t c nh c a hình

ng b ng 1.
Ta có: A(0,0,0) , B(1,0,0) , C(1,1,0) , D(0,1,0).

A' (0,0,1) , B' (1,0,1) , C' (1,1,1) , D' (0,1,1) .
Vì M, N l n l

t là trung đi m c a AD và BB'

1
1
 M (0, ,0) ; N (1,0, )
2
2

Góc gi a 2 đ

ng th ng AC ' và MN chính là góc gi a 2 vect ch ph

ng

uuur
uuur
AC ' và MN .

uuuur

uuuur
1 1
Ta có: AC '  (1,1,1) ; MN  (1,  , )
2 2

G i  là góc gi a AC ' và MN
uuuur uuuur

1
1
1.1  .1  .1
2

2
2

cos   uuuur uuuur 
3
3
MN . AC '
. 3
2
MN. AC '

Ta có :

Nh n xét:
V i yêu c u tính góc c a hai đ
có nhi u ph
b ng ph

ng th ng chéo nhau trong không gian có th

ng pháp gi i khác nhau. Tuy nhiên v i 2 cách gi i trên rõ ràng

ng pháp t a đ vi c gi i bài toán đã đ n gi n h n r t nhi u. Ta ch vi c

áp d ng công th c liên quan đã bi t mà không ph i k thêm hình.
Ví d 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là n a l c giác đ u n i ti p đ
tròn đ

ng kính AB = 2a, SA = a 3 và vuông góc v i đáy.

Hoàng Th Ng c Anh

21

K29A Toán

ng


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

a. Tính góc gi a hai m t ph ng (SAD) và (SBC).
b. Tính kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (SBC)
Gi i
Vì gi thi t cho SA  ( ABCD) t i A. Do đó, ta có th ch n h tr c t a đ
êcác vuông góc Oxyz sao cho A  O .Gi s đi m B Ox, S  Oz.
Khi đó: A(0,0,0); B(2a,0,0). Do ABCD là n a l c giác đ u nên:

 C(

3a a 3
,
,0) ;
2 2

a a 3
D( ,
,0)
2 2

;

S(0,0, a 3)

z

S

B
A

x

D

C

y

uur

a. G i n ( x , y , z )
1 1 1 1

;

uur

n ( x , y , z ) theo th t là vect pháp tuy n c a
2 2 2 2

các m t ph ng (SAD), (SBC).
uur uur
 n  SA V i
 1
 uur uuur
 n  SD
 1

uur

SA  (0,0, a 3)
uuur
a a 3
, a 3)
SD  ( ,
2 2

uur

 n ( 3, 1,0) .
1

Hoàng Th Ng c Anh

22

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán
uur uuur
 n  SB
 2
 uur uuur
 n  SC
 2

Khóa lu n t t nghi p
uuur

V i

SB  (2a ,0, a 3)
uuur

SC  (

3a a 3
,
, a 3)

2
2

uur

 n ( 3 , 1 , 2)
2
Khi đó, g i  là góc t o b i 2 m t ph ng (SAD) và (SBC).
uur uur

n .n
3 1  0
2
1
2 
cos   uur1 uu


r
3  1. 3  1  4 4 2 2 2
n .n
1 2

Suy ra
b. Ph

ng trình m t ph ng (SBC) đ

c xác đ nh b i.

Qua ®iÓm B(2a,0,0)
(SBC) 
uur
 Cã vect¬ ph¸p tuyÕn
n2 ( 3,1, 2)

Do đó ph

ng trình m t ph ng (SBC) có d ng:
(SBC):

3( x  2a ) 1.( y  0)  2( z  0)  0

 3x  y  2z  2a 3  0
Khi đó kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (SBC) đ

d ( A,(SBC )) 

3.0  0  2.0  2a 3
3 1 4

a

c xác đ nh nh sau

3
2

Ví d 5:
Trong không gian cho các đi m A, B, C theo th t thu c các tia Ox, Oy,

Oz vuông góc v i nhau t ng đôi m t sao cho OA = a, OB = a 2 , OC = c
(a, c >0). G i D là đ nh đ i di n v i O c a hình ch nh t OADB và M là trung
đi m c a đo n BC. (P) là m t ph ng đi qua A, M và c t m t ph ng (OCD) theo
m tđ

ng th ng vuông góc v i AM.

Hoàng Th Ng c Anh

23

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

G i E là giao đi m c a (P) v i OC. Tính đ dài OE
Nh n xét:
N u dùng ph

ng pháp t ng h p đ gi i bài toán trên thì vi c xác đ nh

các giao đi m, giao tuy n là t

ng đ i ph c t p.T gi thi t bài toán cho các tia

Ox, Oy, Oz vuông góc v i nhau t ng đôi m t ta ngh t i vi c áp d ng ph

ng

pháp t a đ đ tìm m i liên h gi a cái đã cho và đi u c n ch ng minh.
z

C

M

I E
O

y

B

J

A

D

x

L i gi i:
Ch n h tr c t a đ

êcác vuông góc Oxyz, theo gi thi t có A, B, C t

ng

ng thu c các tr c Ox, Oy, Oz.
Do đó:

A(a, 0 ,0);

B(0, a 2 , 0) ; C(0, 0, c)

D(a, a 2 , 0) ; M(0,

a 2 c
, )
2 2

G i IJ là giao tuy n c a m t ph ng (P) và m t ph ng (OCD).
Ta có:

IJ  AM
uuuur

(gi thi t)

M t khác có: AM  (a ,
Hoàng Th Ng c Anh

(1)

a 2 c
, )
2 2
24

K29A Toán


Tr

ng HSP Hà N i 2
Khoa Toán

Khóa lu n t t nghi p

uuur

OD  (a , a 2,0)
uuuur uuur

AM .OD  a.a 

Suy ra :


a 2
c
.a 2  .0  0
2
2

AM  OD

(2)

T (1) ,(2) và t IJ, OD đ ng ph ng suy ra IJ //OD .
uuur

M t ph ng (P) qua A (a, 0, 0), có c p vect ch ph
V y ph

uuur

ng là AM và OD .

ng trình m t ph ng (P) là:
a 2
2
a 2

c
2 (x-a) +
0

c
2
0

a 2
2

a 2

a
a
(y-0) +
a
a

(z-0) = 0

 2cx  2cy  6az  2ac  0 .
T a đ đi m E là nghi m cu h
 2cx  2cy  6az  2ac  0


x  0
y 0



V y

E ( 0,0,

c
).
3




x  0

y 0

c
z 
3


Do đó OE 

c
3

II. L p các bài toán ch ng minh tính vuông góc
L p bài toán ch ng minh tính vuông góc là nh ng bài toán yêu c u ch ng
minh 2 đ

ng th ng vuông góc, đ

ng th ng vuông góc v i m t ph ng, 2 m t

ph ng vuông góc v i nhau ...
i v i nh ng bài toán d ng này, khi gi i b ng ph

ng pháp t ng h p ta

ph i đi ch ng minh góc t o b i các y u t đó b ng 900. Vi c làm này nhi u khi
Hoàng Th Ng c Anh

25

K29A Toán