Phương pháp toạ độ và các ứng dụng

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Mục lục
Trang
Lời nói đầu………………………………………………………………………..2
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản liên quan……………………………………3
A. Khái niệm và các tính chất cơ bản…………………………………...…3
I. Các khái niệm …………………………………………………….3
II. Một số tính chất trong E2 và E3 ………………………………….4
B. Một số công thức cơ bản trong tọa độ Đêcác vuông góc……………….6
I. Xét trong E2 ……………………………………………………...6
II. Xét trong E3………………………………………………………8
Chương 2: Một số ứng dụng giải bài tóan bằng phương pháp tọa độ…………14
Bài 1: Phương pháp tọa độ………………………………………………..14
Bài 2: Lớp các bài toán giải được bằng phương pháp tọa độ…………….15
I: Lớp bài toán tính góc và khoảng cách…………………………..15
II: Lớp các bài toán chứng minh tính vuông góc………………….24
III: Lớp các bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng phẳng………..30
IV: Lớp bài tóan tìm quỹ tích……………………………………...38
V: Lớp bài toán định tính chứng minh mối liên hệ đại số…………46
VI: Lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số……………52
Kết luận: ………………………………………………………………………...59
Tài liệu tham khảo:………………………………………………………………60

Hoàng Thị Ngọc Anh

1

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp
lời nói đầu

Hình học là một môn học có tính hệ thống chặt chẽ, tính lôgic và tính trừu
tượng hóa cao. Vì vậy hình học là một môn học khó đối với học sinh. Với mỗi bài
tập hình học có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau: Phương pháp tổng
hợp, phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ…
Việc sử dụng tọa độ để giải toán cung cấp cho học sinh một kiến thức mới
cách nhìn mới về toán học hiện đại. Giúp cho các em thấy được mối tương quan
1 -1 giữa đại số và hình học, nhằm phát triển tư duy toàn diện cho học sinh khi
đứng trước một bài toán, hình thành cho mình hướng tư duy đúng đắn, phù hợp.
Để góp phần đạt được mục tiêu đó luận văn đưa ra hệ thống lý thuyết phù hợp,
một số dạng toán thường gặp thông qua phương pháp chung và các ví dụ minh
họa, bước đầu giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của những ứng dụng của
tọa độ trong giải toán. Coi đây là một công cụ mới rất hiệu quả.
Bắt nguồn từ lòng say mê của bản thân và được sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình
của thầy Bùi Văn Bình em đã chọn đề tài: Phương pháp tọa độ và các ứng dụng
làm khoá luận tốt nghiệp của mình. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các
thầy cô giáo trong tổ hình học đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong quá trình
nghiên cứu, đặc biệt em xin chân trọng cảm ơn thầy Bùi Văn Bình đã trực tiếp
giảng dạy, giúp đỡ, hứơng dẫn em trong quá trình thực hiện đề tài này. Tuy có
nhiều cố gắng song do năng lực của bản thân cũng như điều kiện về tài liệu và
thời gian còn hạn chế nên bài khoá luận không thể tránh khỏi những sai sót. Em
hy vọng sẽ nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn.

Hà Nội, ngày 19 tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Hoàng Thị Ngọc Anh
Hoàng Thị Ngọc Anh

2

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Chương I: một số kiến thức cơ bản liên quan
A. khái niệm và các tính chất cơ bản

I. Các khái niệm.
1. Định nghĩa hệ tọa độ.



uur uur

uur



Trong không gian Eukleides n chiều E n (n  1) gọi   e , e ..., en là một

1 2
uuur

ur uur

cơ sở trực chuẩn của E n , nghĩa là ei .e j  ij , và O là điểm cho trước trong đó:
khi i  j

0
1

i, j  



uur uur

khi i = j
uur



thì tập hợp 0,   hay 0, e , e ,..., en được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn hay hệ tọa
1 2
độ Đêcác vuông góc.
2.Tọa độ của véctơ.



uur uur

uur



Trong không gian Eukleides n chiều E n với hệ tọa độ 0, e , e ,..., en , cho
1 2
r

vectơ v . Khi đó, luôn tồn tại duy nhất bộ số (x1,…,xn) sao cho:
r

ur

uur

r

uur

v  x1e1  x2 e2  ...  xn en . Bộ số (x1, x2, ...,xn) được gọi là toạ độ của vectơ v đối

với hệ tọa độ đã cho.
r

Kí hiêụ: v  ( x ,..., xn ).
1
3. Tọa độ của điểm.

Hoàng Thị Ngọc Anh

3

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp



uur uur

uur



Trong không gian Eukleides n chiều E n với hệ tọa độ 0, e , e ,..., en cho
1 2
uuuur

điểm M bất kì. Tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ
tọa độ đó.
uuuur

Như vậy, nếu OM (x1 , x2 , … , xn) tức là:
uuuur

ur

uur

uur

OM = x1e1  x2 e2  ...  xn en thì bộ số (x1 , x2 , … , xn ) được gọi là tọa độ
của điểm M.
Kí hiệu:

M (x1 , x2 , … , xn ) .

II. Một số tính chất trong E2 và E3.
1. Xét trong E2.
ur

Cho hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy. Khi đó nếu có 2 vectơ u( x ; y ) ,
1 1
r

v( x ; y ) và số k  R thì ta có:
2 2

Khi đó :

ur

r



u  v  (x  x ; y  y )
1 2 1 2



k .u  ( kx1 ; ky1 )



u.v  x .x  y . y
1 2 1 2



ur 2
u x 2y 2
1
1

ur

ur r

ur
u  x 2y 2
1
1



Hoàng Thị Ngọc Anh

ur r

cos ( u, v ) =
ur

r

x .x  y . y
r
ur r
1 2 1 2
( u, v khác 0 )
x 2  y 2. x 2  y 2
1
1
2
2

ur r



u  v  u.v  0  x .x  y .y  0
1 2 1 2



Cho 2 điểm M( x1, y1) và N ( x2 , y2).
4

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp
uuuur

Khi đó, tọa độ của vectơ MN  ( x  x ; y  y ) .
2 1 2 1
2. Xét trong E3.
ur

r

Cho hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz, cho 2 vectơ u( x , y , z ), v( x , y , z )
1 1 1
2 2 2
và số k  R . Khi đó ta có:
ur

r



u  v  (x  x ; y  y ; z  z )

1 2 1 2 1 2



k.u  (kx ; ky ; kz )
1 1 1



u.v  x .x  y . y  z .z
1 2 1 2 1 2

ur

ur r
uur

u2  x 2  y 2  z 2
1
1
1



ur
Khi đó : u  x 2  y 2  z 2
1
1
1

ur r

x .x  y . y  z . z
r
ur r
1 2 1 2 1 2
( u, v khác 0 )
x 2  y 2  z 2. x 2  y 2  z 2
1
1
1
2
2
2



cos ( u, v ) =



Cho 2 điểm M( x1, y1, z1) và N ( x2 , y2, z2).
uuuur

Khi đó, tọa độ của vectơ MN  ( x  x ; y  y ; z  z ) .
2 1 2 1 2 1


Tích có hướng của 2 vectơ.
y z

ur r
ur
u , v   w   1 1 ;


y z
 2 2

z x x y 
1 1; 1 1
z x x y 
2 2 2 2

ur

Vectơ w này có tính chất.
ur

ur

ur

r

+, w  u ; w  v .
Hoàng Thị Ngọc Anh

5

K29A Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán
ur

Khóa luận tốt nghiệp

ur

r

r

+, w  0  u // v
ur

+, Với u

//

r

ur

ur r

ur r

v  w  u . v .sin(u, v) .

r

v
ur

ur

ur r

w  S (u, v)

u
ur r

ur r

( trong đó S (u, v) là diện tích hình bình hành dựng trên u, v ).


ur r ur

Ba vectơ u, v, w đồng phẳng khi và chỉ khi tích hỗn hợp tạp của 3
ur r ur

ur r ur

vectơ : D( u, v, w ) = u, v  .w = 0
B. Một số công thức cơ bản trong tọa độ Đêcác vuông góc.

I. Xét trong E2.
1. Công thức tính khoảng cách.
1.1 Khoảng cách giữa 2 điểm.
 Trong mặt phẳng cho 2 điểm M1( x1, y1) và M2 (x2 , y2). Khi đó khoảng
uuuuuuuur

cách d giữ 2 điểm M1 và M2 là độ dài vectơ M M và được tính bởi công thức
1 2
uuuuuur

sau: d = M M =
1 2

( x  x )2  ( y  y )2 .
2 1
2 1

1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng .
 Trong mặt phẳng khoảng cách từ điểm M1( x1, y1) đến đường thẳng 
có phương trình : A x + B y + C = 0 .
được tính theo công thức sau: d (M , ) 
1

Hoàng Thị Ngọc Anh

6

Ax  By  C
1
1

A2  B2
K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

2. Chia một đoạn thẳng theo tỉ số cho trước .
Trong E 2 , điểm M (x, y) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k có nghĩa:
uuuuuur

uuuuuur

MM  k.MM , khi đó:
1
2
x  kx

2
x  1

1 k

y  ky

1
2
y 

1 k


Với M1( x1, y1) và M2 (x2 , y2).

Đặc biệt, nếu k = -1 thì M là trung điểm của đoạn thẳng M1M2 , khi đó tọa

x x

x  1 2

2
.

y y

1 2
 y 
2

độ của điểm M được xác định như sau :

3.Công thức tính góc :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, cho 2 đường thẳng
có phương trình : (d1) : A1x + B1y + C1 = 0
(d2) : A2x + B2y + C2 = 0
Gọi  là góc giữa 2 đường thẳng d1, d2 .
Khi đó ta có :

cos  

A A B B
1 2 1 2
A2B 2 A 2B 2
1
1
2
2

Hai đường thẳng d  d  A A  B B = 0
1
2
1 2 1 2
4. côsin chỉ phương.
r

Trong E 2 , góc giữa vectơ v( x, y) và chiều dương của các trục Ox, Oy là

 x , y , khi đó : cos  x , cos  y gọi là các côsin chỉ phương.
Hoàng Thị Ngọc Anh

7

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán
cos  x =

Khóa luận tốt nghiệp

x
x y
2

cos  y =

;

2

Ta có:

y
x  y2
2

.

cos2  x  cos2  y  1

5. Điều kiện thẳng hàng, đồng phẳng.
Trong E 2 , ba điểm A( x1, y1) ; B( x2, y2) và C (x3 , y3) thẳng hàng nếu
uuur

x x
 3 1
x x
2 1

uuur

AC  k AB

( điều kiện cần và đủ ) :

hay

x1

y1 1

x2

y2

1

x3

y3

1

y y
3 1
y y
2 1

= 0

6. Công thức tính diện tích tam giác.
Trong E 2 , diện tích của tam giác có các đỉnh A( x1, y1) , B (x2 , y2) và
C (x3 , y3) được cho bởi công thức sau:

S

ABC



1
2

x1

y1 1

x2

y2 1

x3

y3 1

II. Xét trong E3.
1.Công thức tính khoảng cách.`
1.1. Khoảng cách giữa 2 điểm .

Trong không gian, nếu ta cho 2 điểm M1( x1, y1, z1) và M2 (x2 , y2, z2) tương
tự như trong mặt phẳng ta có:

Hoàng Thị Ngọc Anh

8

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán
uuuuuuuur

d= M M =
1 2

Khóa luận tốt nghiệp

( x  x )2  ( y  y )2  ( z  z )2 .
2 1
2 1
2 1

1.2 .Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Trong không gian, khoảng cách từ điểm M1( x1, y1 ,z1) đến đường thẳng 
có phương trình :

xx
y y

zz
0
0
0 được tính theo công thức:
a
b
c
uuuuuuuur ur
M M ,u 


d (M , )   0 ur 1  .

1

u

ur

ur

Trong đó M0( x0, y0 ,z0)  ; u là vectơ chỉ phương của  và u (a, b, c) ;
ur

ur

u là độ dài của vectơ u .
uuuuuuuur ur
uuuuuuuur
ur

 M M , u  : là tích có hướng của vectơ M M và vectơ u .
0 1
 0 1 

uuuuuuuur ur
 M M , u  : là diện tích hình bình hành có cạnh là
 0 1 

Ta có : d (M ,  ) =

uuuuuuuur

ur

M M và u .
0 1

y  y z z 2 z z x x 2 x x y  y
1 0 1 0  1 0 1 0  1 0 1 0
c
c
a
a
b
b
a 2  b2  c 2

2

1.3 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Khoảng cách từ một điểm M0( x0, y0 ,z0) đến mặt phẳng (  ) có phương
trình Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức :

d (M ,( ) 
0

Hoàng Thị Ngọc Anh

Ax  By  Cz  D
0
0
0
A2  B2  C 2
9

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

1.4 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
Trong không gian muốn tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
a và b ta có các phương pháp sau:
Phương pháp 1: Nếu biết độ dài đoạn vuông góc chung AB của 2
đường thẳng chéo nhau  AB = d(a,b).
Phương pháp 2: Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (  ) chứa đường thẳng a và (  ) // b.

Bước 2: Lấy một điểm M trên b và tính khoảng cách từ M tới (  )
d ( a, b) = d(M, (  ) ).
Phương pháp 3: ta thực hiện theo các bước:
uur

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng ``a và một điểm
1
M1 ( a1 , b1 , c1 )  a .
uur

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng b và một điểm
2
M2 ( a2 , b2 , c2 )  b .
Bước 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b được tính theo
công thức :
uur uur uuur
u , u  .BA


d (a,b) =  1uur 2uur
u , u 
 1 2 

2. Chia 1 đoạn thẳng theo 1 tỉ số cho trước.

Hoàng Thị Ngọc Anh

10

K29A Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trong E3 , điểm M (x, y, z) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k có nghĩa

uuuuuur

uuuuuur

MM  k.MM khi
1
2

x  kx

2
x  1
1 k


y  ky

1
2
y 
1 k



z  kz
2
z  1
1

k


Với M ( x , y , z ) ; M ( x , y , z ) .
1 1 1 1
2 2 2 2

Khi k = -1 thì điểm M là trung điểm của đoạn thẳng M1M2. Khi đó tọa độ
điểm M là :

x x

x  1 2
2


y y

1 2
y


2


z z

z  1 2
2

3. Công thức tính góc
 Trong không gian E3 , cho 2 đường thẳng d1 , d2 lần lượt có các vectơ
uur

uur

chỉ phương u  (a , b , c ) ; u  (a , b , c )
1
1 1 1
2
2 2 2
Gọi  là góc giữa 2 đường thẳng d1 , d2 . Ta có :
uur uur

u .u
a a b b c c
1
2
1 2 12 12
cos  uur uur 
u .u
a 2 b 2  c 2. a 2 b 2  c 2
1 2
1

1
1
2
2
2
 Trong không gian, với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz, cho đường thẳng
ur

d có vectơ chỉ phương a  (a , a , a ) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
1 2 3
ur

n( A, B, C) .

Hoàng Thị Ngọc Anh

11

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Khi đó góc  giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công
thức

sin  

Aa  Ba  Ca
1
2
3
A2  B2  C 2 a 2  a 2  a 2
1
2
3

Đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (P)


 A : B : C = a1 : a2 : a3 .

Trong không gian, với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho các mặt

phẳng ( 1 ) , (  2 ) lần lượt có các vectơ pháp tuyến

uur
n  ( A , B ,C ) ,

1

1 1 1

uur
n  ( A , B , C ) thì số đo của góc  giữa 2 mặt phẳng đó được tính theo công

2

2 2 2

thức.
cos =

A A  B B C C
1 2 1 2 1 2
A 2  B 2 C 2 A 2  B 2 C 2
1
1
1
2
2
2

4. Côsin chỉ phương.
r

Trong E3 , góc giữa vectơ v (x, y, z) và chiều dương của các trục Ox, Oy,
Oz là  x , y , z . Khi đó cos  x ,cos  y ,cos  z gọi là các côsin chỉ phương. Ta
có:
cos  x =

x
x2  y 2  z 2
cos  z =

cos  y =

;

y
x2  y 2  z 2

.

z
x2  y 2  z 2

Rõ ràng: cos2  x  cos2  y  cos2  z  1.
5. Điều kiện thẳng hàng, đồng phẳng.

Hoàng Thị Ngọc Anh

12

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

 Trong E3 , điều kiện cần và đủ để 3 điểm A( x1, y1, z1) , B (x2 , y2 ,z2) và
uuur

uuur

C (x3 , y3 , z3) thẳng hàng là AC  k.AB
x x
y y
z z
 3 1 3 1 3 1
x x
y y
z z
2 1
2 1
2 1



y1

z1 1

y2

z2 1

y3

z3 1

=

z1

x1 1

z2

x2 1

z3

x3 1

=

x1

y1 1

x2

y2 1 =

x3

y3 1

0

 Trong E3 , cho 4 điểm A, B , C , D với A( x1, y1,z1) , B (x2 , y2,z2)
C (x3 , y3,z3) , D (x4 , y4,z4) .
Điều kiện cần và đủ để 4 điểm đó đồng phẳng là :

x1

y1 z1

1

x2

y2

z2

1

x3 y3

z3

1

y4 z4

1

x4

=

0

uuur uuur uuur
  AB, AC  . AD



=

0

6. Công thức tính diện tích tam giác, thể tích tứ diện.
 Trong E3 , diện tích của tam giác có các đỉnh A( x1, y1,z1) ,
B (x2 , y2, z2) , C (x3 , y3, z3) được tính theo công thức :

S

ABC



1
2

1
=
2

uuur uuur
 AB, AC 



2
2
y y z z
z z x x
2 1 2 1  2 1 2 1 
y y z z
z z x x
3 1 3 1
3 1 3 1

x x y y
2 1 2 1
x x y y
3 1 3 1

2

 Trong E3 thể tích tứ diện có các đỉnh A( x1, y1, z1) , B (x2 , y2, z2) ,
Hoàng Thị Ngọc Anh

13

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

C (x3 , y3, z3) , D (x4 , y4, z4) được tính theo công thức:
V

ABCD



=

1 uuur uuur uuur
D(OA, OB, OC )
6

1
6

x1

y1 z1

1

x2

y2

z2

1

x3 y3 z3

1

y4 z4

1

x4

Chương II: Một số ứng dụng giải bài toán bằng
phương pháp tọa độ

Bài 1: Phương pháp tọa độ
1. Các bước giải bài toán bằng phương pháp tọa độ:
Khi bài toán cho có các vấn đề như tính khoảng cách, tính góc, chứng minh
sự vuông góc của 2 đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng, của 2 mặt
phẳng... hoặc những bài toán quỹ tích, cực trị, chứng minh yếu tố cố định... thì ta
có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán
Nó gồm có 4 bước sau:
Hoàng Thị Ngọc Anh

14

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

 Chọn hệ tọa độ thích hợp, sao cho điểm gốc O và các trục tọa độ trùng
với các điểm đặc biệt, các đường đặc biệt thì việc tính toán sẽ đựơc thực hiện đơn
giản, ngắn gọn
 Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ
 Sau đó bằng phương pháp tọa độ và các phép tính đại số chúng ta cần
thực hiện các yêu cầu của bài toán đặt ra
 Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học
2. Một vài ví dụ về cách chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ
. M là trung điểm của đoạn thẳng AB  MA = MB
ur

r

. Hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc và gọi u1 , u 2 lần lượt là vectơ chỉ
phương của d1, d2 khi đó:
uur

uur

uur uur

uur uur

ur ur

d  d  u  u  u .u  0  u . u cos (u , u )  0
1

2
1 2
1 2
1 2
2 2

.Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi:
uuur

uuuuur

u // n
 a  ka ; b  kb ; c  kc
1
2 1
2 1
2
d ( P)
uuur

(Với u (a , b , c ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d
d 1 1 1
uuuuur

n (a , b .c ) là vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P))
( p) 2 2 2

Bài 2: Lớp các bài toán giải được bằng phương pháp tọa độ
I. Lớp bài toán tính góc và khoảng cách
Bài toán tính góc và khoảng cách là những bài toán yêu cầu tính góc giữa 2

đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Hoàng Thị Ngọc Anh

15

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Khoảng cách giữa 2 điểm, từ một điểm đến một đường thẳng, từ điểm đến mặt
phẳng...
Phương pháp chung để giải bài toán tính góc và khoảng cách bằng phương
pháp tọa độ là sử dụng các công thức có liên quan như đã nói ở chương I áp dụng
trên hệ trục tọa độ.
Ví dụ 1:
Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O là tam diện vuông,
OA=OB=OC=1. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm các cạnh AB, OA. Tính
khoảng cách giữa 2 đường thẳng OM, CN.
Lời giải
Cách 1:
Bằng phương pháp tổng hợp có thể giải bài toán bằng các cách sau:
1. Dựng đường vuông góc chung EF của OM và CN. Tính EF

Hoàng Thị Ngọc Anh

16

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp
C

F
H
B
O

E

K
M

N
I
A

2. Khoảng cách cần tìm bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường
thẳng OM đến mặt phẳng(  ) . (  )//OM và chứa CN; (  ) chính là mặt phẳng
(CKI) trong đó OK//AB và KI//OM .
Khi đó, OKIM là hình chữ nhật và dễ dàng chứng minh nếu OH  CK thì
OH  mặt phẳng (CKI).
tính OH từ tam giác vuông OCK, có OK=

2
và OC=1
4

Khi đó áp dụng công thức diện tích suy ra OH =

1
3

3. Xem khoảng cách cần tìm là đường cao của hình chóp có đáy thuộc mặt
phẳng chứa CN và song song với OM và đỉnh của hình chóp là điểm thuộc OM,
V
S

ta có OH =3 .

Hoàng Thị Ngọc Anh

17

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Cách 2:

Chọn hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz sao cho điểm O của hình chóp
trùng gốc tọa độ.
z

C

O
B
N

y

M

A

x

1 1
2 2

Khi đó: O (0, 0, 0); A (1, 0 ,0) ;

1
2

C (0, 0, 1); M( , , 0 ); N( , 0, 0 ).
uuur

1 1

2 2

Ta có, vectơ chỉ phương của đường thẳng OM là: OM  ( , , 0).
uuur
1
Vectơ chỉ phương của đường thẳng CN là: CN  ( ,0, 1) .
2
uuur

Vectơ nối 2 điểm của 2 đường thẳng trên là : OC  (0,0,1) .
Khi đó khoảng cách giữa 2 đường thẳng OM và CN là:

Hoàng Thị Ngọc Anh

18

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

uuur uuur uuur
OM , CN  .OC


d


uuur uuur
OM , CN 



0

0

1

1
2
1
2

1
2

0

0

-1
=

1 2
2 +
1
-1

2

2
1
0
0
2
+
0 -1

1 1 2
2 2
1
0
2

1
3

Nhận xét:
Như vậy bằng phương pháp tổng hợp, để giải bài toán ta phải kẻ thêm hình.
Điều này đối với nhiều bài là khó xác định. Cách 2 ta sử dụng phương pháp tọa
độ lời giải có phần đơn giản, ngắn gọn.
Ví dụ 2:
Cho hình lập phương ABCD. A' B 'C ' D' . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các
cạnh AD và BB ' . Tính góc tạo bởi 2 đường thẳng MN và AC ' .
Giải.
Cách 1: Dùng phương pháp tổng hợp.
A'

D'
C'

B'

N.

B

A

.
O

K

M
.

D

C

Kéo dài B 'C ' và đặt C ' K  B'C ' . Khi đó tứ giác ADKC ' là hình bình hành
( Vì AD //  C ' K ). Gọi O là trung điểm BC ' .

Hoàng Thị Ngọc Anh

19

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Mặt khác MN// OD và DK // AC ' nên góc giữa MN và AC’ chính là góc
·
ODK
.

Giả sử cạnh hình lập phương bằng a. áp dụng định lý côsin cho OKC ' ta có:
· 'K .
OK 2  C ' K 2  OC '2  2C ' K .OC ' .cos OC
a 2 2
a 2
5a 2
0
)  2a.
= a (
.cos 45 =
.
2
2
2
2

áp dụng định lí côsin cho OKD , ta có:

·
OK 2  DK 2  OD 2  2DK .OD. cos KDO
.
a 6 2
a 6
5a 2
·
)  2a 3.
. cos KDO =
= (a 3)  (
.
2
2
2
2

·

Từ hệ thức trên suy ra: cos KDO

2
3

Cách 2: Dùng phương pháp tọa độ.
z

D'

A'

C'

B'
A O

M

N

B

D

y

C

x

Hoàng Thị Ngọc Anh

20

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz sao cho A  0 . Khi đó các điểm B,
D, A' lần lượt thuộc các trục Ox, Oy, Oz.. Để đơn giản ta giả thiết cạnh của hình
lập phương bằng 1.
Ta có: A(0,0,0) , B(1,0,0) , C(1,1,0) , D(0,1,0).

A' (0,0,1) , B' (1,0,1) , C' (1,1,1) , D' (0,1,1) .
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB'
1
1
 M (0, ,0) ; N (1,0, )
2
2

Góc giữa 2 đường thẳng AC ' và MN chính là góc giữa 2 vectơ chỉ phương
uuur
uuur
AC ' và MN .

uuuur

uuuur
1 1
Ta có: AC '  (1,1,1) ; MN  (1,  , )
2 2

Gọi  là góc giữa AC ' và MN
uuuur uuuur

1

1
1.1  .1  .1
2
2
2

cos   uuuur uuuur 
3
3
MN . AC '
. 3
2
MN . AC '

Ta có :

Nhận xét:
Với yêu cầu tính góc của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian có thể
có nhiều phương pháp giải khác nhau. Tuy nhiên với 2 cách giải trên rõ ràng
bằng phương pháp tọa độ việc giải bài toán đã đơn giản hơn rất nhiều. Ta chỉ việc
áp dụng công thức liên quan đã biết mà không phải kẻ thêm hình.
Ví dụ 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường
tròn đường kính AB = 2a, SA = a 3 và vuông góc với đáy.
Hoàng Thị Ngọc Anh

21

K29A Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
Giải
Vì giả thiết cho SA  ( ABCD) tại A. Do đó, ta có thể chọn hệ trục tọa độ
Đêcác vuông góc Oxyz sao cho A  O .Giả sử điểm B  Ox, S  Oz.
Khi đó: A(0,0,0); B(2a,0,0). Do ABCD là nửa lục giác đều nên:

 C(

3a a 3
,
,0) ;
2 2

a a 3
D( ,
,0)
2 2

;

S (0,0, a 3)

z

S

B
A

x

D

C

y

uur

a. Gọi n ( x , y , z )
1 1 1 1

;

uur

n ( x , y , z ) theo thứ tự là vectơ pháp tuyến của
2 2 2 2

các mặt phẳng (SAD), (SBC).
uur uur
 n  SA Với
 1

 uur uuur
 n  SD
 1

uur

SA  (0,0, a 3)
uuur
a a 3
SD  ( ,
, a 3)
2 2

uur

 n ( 3, 1,0) .
1

Hoàng Thị Ngọc Anh

22

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán
uur uuur
 n  SB
 2

 uur uuur
 n  SC
 2

Khóa luận tốt nghiệp
uuur

SB  (2a,0, a 3)

Với

uuur

SC  (

3a a 3
,
, a 3)
2
2

uur

 n ( 3 , 1 , 2)
2
Khi đó, gọi  là góc tạo bởi 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
uur uur

n .n
3 1  0

2
1
2 
cos   uur1 uu


r
3  1. 3  1  4 4 2 2 2
n .n
1 2

Suy ra

b. Phương trình mặt phẳng (SBC) được xác định bởi.
Qua ®iÓm B(2a,0,0)
(SBC) 
uur
 Cã vect¬ ph¸p tuyÕn
n2 ( 3,1, 2)

Do đó phương trình mặt phẳng (SBC) có dạng:
(SBC):

3( x  2a) 1.( y  0)  2( z  0)  0

 3x  y  2z  2a 3  0
Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) được xác định như sau

d ( A,(SBC )) 

3.0  0  2.0  2a 3
3 1 4

a

3
2

Ví dụ 5:
Trong không gian cho các điểm A, B, C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy,
Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA = a, OB = a 2 , OC = c
(a, c >0). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật OADB và M là trung
điểm của đoạn BC. (P) là mặt phẳng đi qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo
một đường thẳng vuông góc với AM.
Hoàng Thị Ngọc Anh

23

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Gọi E là giao điểm của (P) với OC. Tính độ dài OE
Nhận xét:
Nếu dùng phương pháp tổng hợp để giải bài toán trên thì việc xác định
các giao điểm, giao tuyến là tương đối phức tạp.Từ giả thiết bài toán cho các tia

Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một ta nghĩ tới việc áp dụng phương
pháp tọa độ để tìm mối liên hệ giữa cái đã cho và điều cần chứng minh.
z

C

M

I E
O

y

B

J

A

D

x

Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz, theo giả thiết có A, B, C tương
ứng thuộc các trục Ox, Oy, Oz.
Do đó:

A(a, 0 ,0);

B(0, a 2 , 0) ; C(0, 0, c)

D(a, a 2 , 0) ; M(0,

a 2 c
, )
2 2

Gọi IJ là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (OCD).
Ta có:

IJ  AM
uuuur

(giả thiết)

Mặt khác có: AM  (a,
Hoàng Thị Ngọc Anh

(1)

a 2 c
, )
2 2
24

K29A Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoa Toán

Khóa luận tốt nghiệp

uuur

OD  (a, a 2,0)
uuuur uuur

AM .OD  a.a 

Suy ra :


a 2
c
.a 2  .0  0
2
2

AM  OD

(2)

Từ (1) ,(2) và từ IJ, OD đồng phẳng suy ra IJ //OD .
uuur

uuur

Mặt phẳng (P) qua A (a, 0, 0), có cặp vectơ chỉ phương là AM và OD .

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
a 2
2
a 2

c
2 (x-a) +
0

c
2
0

a 2
2
a 2

a
a
(y-0) +
a
a

(z-0) = 0

 2cx  2cy  6az  2ac  0 .
Tọa độ điểm E là nghiệm cuả hệ
 2cx  2cy  6az  2ac  0



x  0
y  0



Vậy

E ( 0,0,

c
).
3




x  0

y  0

c
z 
3


Do đó OE 

c
3

II. Lớp các bài toán chứng minh tính vuông góc
Lớp bài toán chứng minh tính vuông góc là những bài toán yêu cầu chứng
minh 2 đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt
phẳng vuông góc với nhau ...
Đối với những bài toán dạng này, khi giải bằng phương pháp tổng hợp ta
phải đi chứng minh góc tạo bởi các yếu tố đó bằng 90 0. Việc làm này nhiều khi
Hoàng Thị Ngọc Anh

25

K29A Toán