Luận văn sư phạm Phương trình vi phân ngẫu nhiên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (275.28 KB, 37 trang )
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
Nguyễn Thị Trường
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Toán ứng dụng
Người hướng dẫn khoa học:
Th.s NGUYỄN TRUNG DŨNG
Hà Nội - 2013
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
thầy giáo hướng dẫn Th.S.Nguyễn Trung Dũng. Thầy đã giao đề tài và tận
tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Nhân dịp này
em xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán
đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp K35 ngành Toán ứng
dụng, khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.
Hà nội, ngày 17 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Trường
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan:
Khóa luận tốt nghiệp là kết quả của sự nỗ lực tự bản thân và sự
hướng dẫn tận tình của thầy giáo hướng dẫn: Th.s Nguyễn Trung Dũng.
Nội dung khóa luận không trùng lặp với bất kì công trình nghiên
cứu nào đã công bố.
Hà Nội, ngày 17 tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Trường
2
Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Chương I. Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
I.1. Không gian Hilbert các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
I.1.1. Biến ngẫu nhiên đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.1.2. Không gian các biến ngẫu nhiên đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.1.4. Không gian Hilbert các quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.2. Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.1. Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.2. Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng ab f (s)dW (s) . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng at f (s)dW (s) . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3. Vi phân ngẫu nhiên và công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.1. Vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3.2. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
13
13
14
14
14
Chương II. Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
II.1. Một số giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
II.2. Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
II.3. Tính chất của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên . .
II.4. Công thức Ito và nghiệm chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
25
II.5. Xấp xỉ phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
36
3
LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình vi phân ngẫu nhiên đang ngày càng trở nên quan trọng vì nó
không chỉ là một lý thuyết toán học mới mẻ mà nó còn có nhiều ứng dụng
trong lĩnh vực của của cuộc sống . Vì vậy việc nghiên cứu lý thuyết của
phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được nhiều người quan tâm. Với mong
muốn được tập dượt công tác nghiên cứu khoa học và hứng thú tìm hiểu về
lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên nên tôi đã chọn đề tài : "Phương
trình vi phân ngẫu nhiên." Với đề tài này thì khóa luận trình bày phương
trình vi phân ngẫu nhiên dạng
dX(t, ω) = f (t, X(t, ω))dt + g(t, X(t, ω))dW (t, ω),
hay viết dưới dạng tích phân
t
X(t, ω) = X(0, ω) +
t
f (s, X(s, ω))ds +
0
g(s, X(s, ω))dW (s, ω)
0
Khóa luận gồm 2 chương :
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Trong chương này trình bày các khái niệm và các kết quả về không gian
Hilbert các biến ngẫu nhiên, các quá trình ngẫu nhiên ; tích phân ngẫu nhiên
Itô và công thức vi phân ngẫu nhiên Itô.
Chương 2: Phương trình vi phân ngẫu nhiên
Trình bày về sự tồn tại duy nhất nghiệm ; tính chất nghiệm của phương
trình vi phân ngẫu nhiên; công thức Itô và nghiệm chính xác.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn
đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và khó tránh khỏi có
những sai sót. Em mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn để
khóa luận hoàn thiện hơn.
Hà Nội, Ngày 17 tháng 05 năm 2013.
Sinh viên
Nguyễn Thị Trường
4
Chương I
Cơ sở lý thuyết
I.1. Không gian Hilbert các biến ngẫu nhiên
I.1.1.
Biến ngẫu nhiên đơn giản
Cho (Ω, A, P) là một không gian xác suất. Với A ∈ A và đặt IA là một
hàm được xác đinh bởi
IA (ω) =
1 nếu ω ∈ A
0 nếu trái lại.
Khi đó, IA (ω) là một biến ngẫu nhiên .
Ta có E(IA ) = P(A) . Khi đó tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các hàm chỉ tiêu
được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản.
Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản thì X có dạng
n
X(ω) = ∑ ci IAi (ω)
và
i=1
I.1.2.
n
E(X) = ∑ ci P(Ai ).
i=1
Không gian các biến ngẫu nhiên đơn giản
Kí hiệu
SRV = {X : X là biến ngẫu nhiên đơn giản định nghĩa trên (Ω, A, P)}
5
Ta có tổng của hai biến ngẫu nhiên đơn giản và tích của một số với biến
ngẫu nhiên đơn giản cũng là một biến ngẫu nhiên đơn giản.
Chúng ta có thể dễ dàng chứng minh được SRV một không gian véctơ
các biến ngẫu nhiên . Cho X,Y ∈ SRV , ta sẽ định nghĩa tích vô hướng và
chuẩn trên SRV như sau :
Tích vô hướng
Tích vô hướng (X,Y ) được định nghĩa trên SRV là
(X,Y ) = E(X,Y ) với
X,Y ∈ SRV .
Chú ý rằng X,Y ∈ SRV thì
n
(X,Y ) = E(XY ) = E
n
n
∑ ∑ ci IAi d j IB j
i=1 j=1
=∑
n
∑ ci d j .P(Ai ∩ B j ).
i=1 j=1
Chuẩn
1
1
X = (X, X) 2 = (E | X |2 ) 2 .
Nói chung, không gian tích vô hướng của các biến ngẫu nhiên đơn giản
là không đầy đủ. Tuy nhiên, nó có thể được bổ sung để tạo thành không gian
Hilbert HRV , ở đó SRV trù mật trong HRV .
Giả sử rằng {Xn }∞
n=1 là một dãy các biến ngẫu nhiên trong HRV sao cho
với mọi ε > 0 cho trước thì tồn tại một số nguyên N sao cho :
Xn − Xm
RV
với m, n > N.
<ε
Vì HRV là không gian đầy đủ, tồn tại biến ngẫu nhiên X ∈ HRV sao cho
Xn − Xm
RV →
0
khi n → ∞.
Ngoài ra, SRV ⊂ HRV là trù mật trong HRV , với mọi ε > 0 cho trước thì tồn
tại biến ngẫu nhiên đơn giản Y ∈ SRV sao cho
X −Y < ε.
.
Chú ý
Trong không gian Hilbert HRV tích vô hướng được định nghĩa là
(X,Y ) = E(XY )
6
và chuẩn trong không gian này là
X
RV = (E
1
| X |2 ) 2 .
và tập hợp các hàm đơn giản trong SRV là trù mật trong HRV .
I.1.3.
Ví dụ
Ví dụ I.1. Không gian Hilbert L2 [0, 1]
Xét không gian xác suất (Ω, A, P) trong đó không gian mẫu là tập hợp các
điểm thuộc [0, 1], nghĩa là Ω = {x : 0 ≤ x ≤ 1}. Không gian các biến cố A
là σ − đại số của tập các khoảng có dạng (a, b] ⊂ [0, 1]. Độ đo xác suất P
là độ đo Lebesgue ở đó P(A) = b − a nếu A = [a, b] ∈ A.
Đặt SRV là tập tất cả các hàm đơn giản định nghĩa trên A. Nếu X ∈ SRV thì
biến ngẫu nhiên X có dạng
n
trong đó Ai ∈ A với mọi i
X(x) = ∑ ci IAi (x)
i=1
và
IAi (x) =
nếu ∈ Ai
nếu ngược lại.
1
0
Đặt HRV là không gian đủ của SRV . Không gian Hilbert HRV bao gồm, ví
dụ tất cả các biến ngẫu nhiên liên tục trên [0, 1].
Thật vậy, cho f : [0, 1] → R là một hàm liên tục .
Đặt xi = (i−1)
n với i = 1, 2, ..., n và định nghĩa
n
fn (x) = ∑ f (xi ) In,i (x)
i=1
trong đó
Ix,i (x) =
i
1 nếu i−1
n ≤x≤ n
0 nếu ngược lại .
Ta có thể chỉ ra rằng dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản { fn }∞
n=1 là dãy
7
Cauchy trong HRV .
Hơn nữa,
f − fn
RV →
0
khi n → ∞.
Vì vậy, f là giới hạn của dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản trong không gian
HRV và f ∈ HRV .
Chú ý rằng nếu X(x) = x thì X có phân phối đều trên [0, 1], nghĩa là
X ∼ U[0, 1].
Không gian Hilbert trong ví dụ này là không gian đầy đủ L2 [0, 1], nghĩa là
1
HRV = L2 [0, 1] = hàm f đo được Lebesgue trên [0, 1]sao cho
0
| ( f (x)) |2 dx < ∞ .
Đặc biệt, nhiều hàm sẽ cần bổ sung để HRV là đầy đủ nhưng có thể không
liên tục. Do đó, ta phải sử dụng tích phân Lebesgue vì tích phân Rieman của
các hàm đó không tồn tại. Tuy nhiên, nếu tồn tại tích phân Rieman thì tích
phân Lebesgue tồn tại và hai tích phân này bằng nhau. Hơn nữa, các hàm
liên tục và bình phương khả tích là trù mật trong L2 [0, 1]. Chú ý rằng, với
X,Y ∈ HRV thì
1
X(x).Y (x)dx
(X,Y ) =
và
0
X
2
RV =
1
0
| X(x) |2 dx.
Ví dụ I.2. Ví dụ về sự hội tụ trong không gian Hilbert HRV = L2 [0, 1]
Giả sử HRV được định nghĩa như trong ví dụ I.1 .Cho Y ∼ U[0, 1] và dãy
các biến ngẫu nhiên {Xn }∞
n=1 được định nghĩa là
Xn (x) =
1
2 Y (x)
0
nếu 21 ≤ Y (x) ≤ 1
nếu ngược lại .
Khi đó,
Xn − Xm
RV →
0
khi m, n → ∞.
Vì vậy, {Xn } ⊂ HRV là dãy Cauchy trong HRV . Thật vậy, Xn hội tụ trong HRV
tới X = 12 Y khi n → ∞.
Ví dụ I.3. Ví dụ về sự không hội tụ
Giả sử HRV được định nghĩa như trong ví dụ I.1.
8
Cho Y ∼ U[0, 1] là dãy các biến ngẫu nhiên có phân phối đều với n = 1, 2, ...
thì
1
Yn
RV =
1
2
x2 dx
0
1
=√
3
với mỗi n.
Cho X = 1 và dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }∞
n=1 được định nghĩa là
nếu √1n ≤ Yn (x) ≤ 1
nếu ngược lại .
1
1 + nYn (x)
Xn (x) =
Khi đó,
Xn − X
RV =
√1
n
1
2
n2 x2 dx
=
0
√
n
3
1
2
→∞
khi n → ∞.
Vì vậy, dãy {Xn }∞
n=1 không là dãy Cauchy trong không gian HRV .
Ví dụ I.4. Không gian Hilbert chuẩn hóa
Xét Ω = {x : −∞ < x < +∞}. Kí hiệu A là σ -đại số sinh bởi các khoảng có
dạng (a, b] , A là σ -đại số Borel trên R. Định nghĩa biến ngẫu nhiên X là
X(x) = x với A ∈ A, µ ∈ R và σ > 0. là hằng số. Định nghĩa
P(A) =
p(s)ds
A
−(s − µ)2
trong đó p(s) = √
.
exp
2σ 2
2πσ 2
1
Tức là,
b
P(a ≤ X ≤ b) =
a
−(s − µ)2
1
√
exp
ds.
2
2
2σ
2πσ
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với trung bình µ và
phương sai σ 2 . Kí hiệu X ∼ N(µ, σ 2 ).
SRV là không gian các hàm đơn giản trên không gian xác suất (Ω, A, P) với
tích vô hướng
+∞
( f , g) = E( f g) =
−∞
f (s)g(s)p(s)ds với f , g ∈ SRV
9
Giả sử HRV là đầy đủ của SRV . Khi đó HRV là không gian các biến ngẫu
nhiên định nghĩa trên R với chuẩn
2
RV =
f
+∞
−∞
| f (s) |2
1
√
exp
2π σ 2
−(s − µ)2
ds với f ∈ HRV .
2σ 2
Tập hợp các biến ngẫu nhiên liên tục f sao cho
+∞
−∞
I.1.4.
| f (s) |2 ds < ∞
là trù mật trong HRV .
Không gian Hilbert các quá trình ngẫu nhiên
Cho f (t) = f (t, (ω)) là một quá trình ngẫu nhiên sơ cấp hay hàm ngẫu
nhiên đơn giản định nghĩa trên [0, T ] × Ω , nghĩa là f có dạng sau
N−1
f (t, (ω)) =
∑
i=0
f (ti , ω) · Ii (t),
trong đó 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tN = T là một phân hoạch trên [0, T ] và Ii (t)
là hàm đặc trưng:
Ii (t) =
1 nếu ti ≤ t < ti+1
0 nếu ngược lại .
Giả sử rằng f (ti , ·) ∈ HRV với mỗi ti . Đặc biệt, E( f 2 (ti )) < ∞ với mỗi i.
Kí hiệu
SSP := {hàm đơn giản f (t, ω) định nghĩa trên [0, T ] × Ω sao cho
T
2
N−1
E( f (t)) dt =
0
∑ E( f 2 (ti )).(ti+1 − ti ) < ∞.
i=0
Trên SSP tích vô hướng (·, ·) được định nghĩa như sau
T
( f , g)SP =
0
E( f (t) · g(t))dt.
10
và chuẩn được định nghĩa như sau
f
SP = ( f ,
1
2
T
1
2
f )SP =
E( f (t))2 dt
.
0
Không gian SSP là không gian Metric với metric · SP .
Tuy nhiên, SSP không là không gian không đủ và ta có thể thấy rằng không
phải mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong SSP . Không gian này là không gian
đủ bằng cách bổ sung thêm các quá trình ngẫu nhiên. Kí hiệu HSP là không
gian đầy đủ và SSP là trù mật trong HSP . Nghĩa là, cho quá trình ngẫu nhiên
f ∈ HSP và cho ε > 0 thì tồn tại g ∈ SSP sao cho f − g SP < ε.
Giả sử, quá trình ngẫu nhiên f (t, ω) thỏa mãn với các hằng số dương
k1 , k2 sao cho
f (0)
và
2
RV ≤ k1
2
RV
f (t2 ) − f (t1 )
với mọi t1 ,t2 ∈ [0, T ] .
Khi đó f ∈ (HSP ) và
≤ k2 | t2 − t1 |
N−1
fN (t, ω) =
∑
f (ti , ω).Ii (t)
i=0
là dãy Cauchy trong SSP ⊂ HSP là hội tụ tới f .
Thật vậy
f
2
SP
T
≤2
0
T
2
E | f (t) − f (0) | dt + 2
0
E | f (0) |2 dt ≤ k2 T 2 + k1 T.
Hơn nữa, theo định lý Fubini
T
T
0
E | f (t) | dt = E
0
| f (t) | dt
T
và
0
T
2
E | f (t) | dt = E
0
| f (t) |2 dt.
Với f ∈ HSP , áp dụng bất đẳng thức Cauhy-Schwarz
| ( f , g)SP |≤ f
ta có
T
E( f (t).g(t))dt ≤
0
T
0
SP
· g
SP
1
2
E | f (t) |2 dt
11
T
0
1
2
E | g(t) |2 dt
.
Vì vậy, áp dụng bất dẳng thức Cauchy-Schwarz và định lý Fubini ta có
T
T
E
0
| f (t) | dt =
E | f (t) | dt ≤ T
0
T
1
2
E | f (t) |2 dt .
0
Hơn nữa , theo bất đẳng thứ tam giác
f +g
SP
áp dụng với f , g cụ thể là
T
0
≤ f
SP
1
2
E | f (t)+g(t) |2 dt
+ g
T
≤
0
SP
với f , g ∈ HSP
1
2
E | f (t) |2 dt
T
+
0
1
2
E | g(t) |2 dt
.
I.2. Tích phân ngẫu nhiên Ito
Xét năm điều kiện sau của quá trình ngẫu nhiên f với f ∈ HSP :
(C1 ) : f (a) ∈ HRV do đó f (a) 2RV = E | f (a) |2 ≤ k1 ,
k1 > 0.
2
2
(C2 ) :
f (t2 ) − f (t1 ) RV = E | f (t2 ) − f (t1 ) | ≤ k2 | t2 − t1 | với t1 ,t2 ∈
[a, b] ; k2 là hằng số dương.
(C3 ) : f không dự báo được trên [a,b].
(C4 ) : Hàm G : [a, b]×R → R tồn tại hằng số không âm k3 sao cho với mỗi t1 ,t2 ∈
[a, b] và với mọi X ∈ HSP thì
E | G(t2 , X(t2 )) − G(t1 , X(t1 )) |2 ≤ k3 (| t2 − t1 |) + E | X(t2 ) − X(t1 ) |2 ).
(C5 ) : Cho G : [a, b] × R → R nếu X(a) ∈ HRV thì G(a, X(a)) ∈ HRV .
I.2.1.
Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm đơn giản
Cho fm ∈ SSP là hàm không dự báo được, trong đó
m−1
fm (t, ω) =
∑
(m)
fi
(ω)Ii (t)
và
i=0
12
(m)
fi
∈ HRV
với mọi i, m.
Khi đó tích phân
b
a f m (s)dW (s)
được định nghĩa như sau:
m−1
b
I( fm ) =
fm (s)dW (s) =
a
.
Chú ý với I( fm ) ∈ HRV thì
I( fm )
m−1
E|
∑
i=0
trong đó
(m)
fi ∆Wi |2 =
fm ∈ SSP
I.2.2.
∆Wi
∆Wi = W (ti+1 ) −W (ti )
m−1
thì
fim 2RV
∑
b
∆ti =
a
i=0
∆ti = ti+1 − ti
.
Vì vậy
(m)
fi
i=0
trong đó
2
RV =
∑
E | fm (t) |2 dt = fm
với mọi i = 0, 1, ..., m − 1
I( fm )
RV =
fm
Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng
SP
b
a
.
f (s)dW (s)
Cho f ∈ HSP thỏa mãn các điều kiện (C1 ) − (C3 ).
Tích phân ab f (t)dW (t) được định nghĩa là:
m−1
b
I( f ) = lim
m→∞ a
(m)
ở đó ti
I.2.3.
∑
m→∞
fm (t)dW (t) = lim
(m)
f (ti
i=0
(m)
(m)
).(W (ti+1 ) −W (ti
))
= a + i.( b−a
m ).
Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng
t
a
f (s)dW (s)
Cho f ∈ HSP thỏa mãn các điều kiện (C1 ) − (C3 ).
Tích phân at f (t)dW (t) được định nghĩa là:
m−1
t
I( f )(t) = lim
m→∞ a
(m)
ở đó ti
∑
m→∞
fm (t)dW (t) = lim
i=0
= a + i.( t−a
m ).
13
(m)
f (ti
(m)
(m)
).(W (ti+1 ) −W (ti
))
2
SP
I.3. Vi phân ngẫu nhiên và công thức Itô
I.3.1.
Vi phân ngẫu nhiên
Xét quá trình ngẫu nhiên dưới đây:
b
b
f (s)d(s) +
X(t) = X(a) +
a
a
g(s)dω(s) a ≤ t ≤ b
(∗)
trong đó f , g ∈ HSP ; X(a) ∈ HRV ; f , g thỏa mãn các điều kiện (C1 ) − (C3 )
Nếu f , g thỏa mãn (∗) thì ta nói rằng X có vi phân ngẫu nhiên dạng sau
dX = f (t)d(t) + g(t)dW (t) với a ≤ t ≤ b.
I.3.2.
Công thức Itô
Cho X ∈ HSP thỏa mãn phương tình vi phân (∗) , với t ∈ [a, b] ; f , g thỏa
mãn điều kiện (C1 ) − (C3 ) và
f 2 (t)
RV ≤ k4
g2 (t)
;
RV ≤ k4 ;
t ∈ [a, b]
Giả sử F(t, x) có các đạo hàm riêng liên tục :
∂ F(t, x)
∂t
;
∂ F(t, x)
∂x
trong đó t ∈ [a, b] ,
;
x∈R,
∂ 2 F(t, x)
∂ 2t
;
∂ 2 F(t, x)
∂ 2x
;
∂ 2 F(t, x)
∂ x∂t
và hàm F cũng thỏa mãn các điều kiện (C4 ), (C5 )
Giả sử ta cũng có các hàm
f (t)
∂ F(t, x)
;
∂x
1 2 ∂ 2 F(t, x)
;
g (t)
2
∂ 2x
g(t)
∂ F(t, x)
,
∂x
thỏa mãn các điều kiện(C4 ), (C5 )
Đặt
2
˜f (t, x) = ∂ F(t, x) + f (t) ∂ F(t, x) + 1 g2 (t) ∂ F(t, x)
∂t
∂x
2
∂ 2x
14
và
g(t,
˜ x) = g(t)
∂ F(t, x)
∂t
Khi đó F có vi phân ngẫu nhiên :
dF(t, X(t)) = f˜(t, X(t))dt + g(t,
˜ X(t))dW (t).
15
Chương II
Phương trình vi phân ngẫu
nhiên
II.1.
Một số giả thiết
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô trên đoạn [0, T ] có dạng như
sau :
t
X(t, ω) = X(0, ω) +
t
f (s, X(s, ω))ds +
0
với
0≤t ≤T
và
g(s, X(s, ω))dW (s, ω) (II.1)
0
X(0, ·) ∈ HRV
hoặc có dạng vi phân như sau:
dX(t, ω) = f (t, X(t, ω))dt + g(t, X(t, ω))dW (t, ω)
(II.2)
với 0 ≤ t ≤ T , X(0, ·) ∈ HRV .
Các hàm số f (t, x), g(t, x) được gọi là hệ số của phương trình.
Giả sử f , g là các hàm không dự báo được và thỏa mãn các điều kiện
(C6 ) và (C7 ) sau:
(C6 ) : | f (t, x)− f (s, y) |2 ≤ k(| t −s | + | x−y |2 )
(C7 ) :
| f (t, x) |2 ≤ k(1+ | x |2 )
với
0 ≤ s , t ≤ T , x, y ∈ R.
với 0 ≤ t ≤ T , x ∈ R.
16
Mệnh đề II.1.1.
Đặt u(t) = f (t, X(t)) , v(t) = g(t, X(t)).
Khi đó nếu f , g thỏa mãn các điều kiện (C6 ), (C7 ) và X ∈ HSP thì u, v ∈ HSP
Chứng minh. Thật vậy với X ∈ HSP ta có :
u
2
SP
T
=
0
T
2
E | f (t, X(t)) | dt ≤
0
k(1+E | X(t) |2 dt ≤ kT +k X
2
SP <
Vì vậy u ∈ HSP . Bằng cách lập luận tương tự ta cũng chỉ ra được v ∈
HSP .
Mệnh đề II.1.2.
Nếu f (t, x)thỏa mãn (C6 ).Khi đó ta có các khẳng định sau :
1.Với t1 ∈ [0, T ], ε > 0 thì f (t1 , X) − f (t1 ,Y ) SP < ε nếu X − Y SP <
δ với δ > 0.
2.Nếu X ∈ HSP , ε > 0 thì
f (t1 , X) − f (t2 , X) SP < ε khi | t1 − t2 |<
δ , với δ > 0.
Chứng minh. 1. Ta có
f (t1 , X) − f (t1 ,Y )
T
2
SP =
0
T
≤
Do đó , nếu X −Y
2. Ta xét
SP
<
f (t1 , X) − f (t2 , X)
E | f (t1 , X(t)) − f (t1 ,Y (t)) |2 dt
0
kE | X(t) −Y (t) |2 dt = k X −Y
thì
√ε
k
2
SP =
T
0
f (t1 , X(t)) − f (t1 ,Y (t))
SP <
E | f (t1 , X(t)) − f (t2 , X(t)) |2 dt
T
≤
0
kE | t2 − t1 | dt = kT | t2 − t1 |
17
2
SP
ε.
∞.
ε2
Nếu | t2 − t1 |<
kT
thì
f (t1 , X) − f (t2 , X)
SP <
ε.
Chú ý: Nếu điều kiện (C6 ), (C7 ) được thỏa mãn và X ∈ HSP thì ta có thể
áp dụng công thức Itô cho (II.2)
II.2.
Sự tồn tại duy nhất nghiệm
Định lý II.2.1.
Xét phương trình vi phân dạng sau:
t
X(t, ω) = X(0, ω) +
t
f (s, X(s, ω))ds +
0
g(s, X(s, ω))dW (s, ω) .
0
với t ∈ [0, T ] và X(0, ·) ∈ HRV .
Khi đó nếu f , g thỏa mãn các điều kiện (C6 )và(C7 )
thì phương trình có tồn tại và duy nhất nghiệm với X ∈ HSP .
Chứng minh. Đặt X0 (t) = X(0) , trong đó X(0) ∈ HRV là điều kiện ban đầu
cho trước (chú ý X0 ∈ HSP ).
Định nghĩa X1 (t) được xác định bởi phương trình sau:
t
t
g(s, X0 (s))dW (s).
f (s, X0 (s))ds +
X1 (t) = X0 (t) +
0
0
Vì f , g thỏa mãn các điều kiện (C6 )và (C7 ) , X0 ∈ HSP , khi đó X1 ∈ HSP và
2
SP
X1 − X0
1
≤ (k(2T 2 + 2T 3 )) 2 (1+ X0
1
2
2
RV ) .
Bất đẳng thức trên được suy ra từ
X1 − X0
2
SP =
0
t
t
T
E|
f (s, X0 (s))ds +
0
0
18
g(s, X0 (s))dW (s) |2 dt
t
T
≤2
E|
0
0
T
≤2
0
0
T
≤2
f (s, X0 (s))ds | +E |
t
t
t
2
t
2
E | f (s, X0 (s)) | ds+
(T + T 2 )k(1+ X0
0
= k(2T 2 + 2T 3 )(1+ X0
0
0
g(s, X0 (s))dW (s) |2
E | g(s, X0 (s)) |2 ds dt
2
RV )dt
2
RV ).
Tiếp tục quá trình này , dãy {Xn }∞
n=1 ⊂ HSP , được định nghĩa truy hồi với
n ≥ 1 như sau
t
t
Xn (t) = X0 (t) +
0
f (s, Xn−1 (s))ds +
0
g(s, Xn−1 (s))dW (s).
Ta sẽ chứng minh đây là dãy Cauchy trong không gian Hilbert HSP . Thật
vậy, ta có
t
Xn−1 (t) − Xn (t) =
f (s, Xn (s)) − f (s, Xn−1 (s)) ds
0
t
+
0
g(s, Xn (s)) − g(s, Xn−1 (s)) dW (s).
Do đó
E | Xn+1 (t) − Xn (t) |2 ≤ 2t
t
+2
0
t
0
E | f (s, Xn )(s) − f (s, Xn−1 )(s) |2 ds
E | g(s, Xn )(s) − g(s, Xn−1 )(s) |2 ds
19
dt
t
≤ 2tk
0
t
≤ (2T k + 2k)
t
≤L
t
E | Xn (s) − Xn−1 (s) |2 ds + 2k
0
0
0
E | Xn (s) − Xn−1 (s) |2 ds
E | Xn (s) − Xn−1 (s) |2 ds
E | Xn (s) − Xn−1 (s) |2 ds trong đó L = 2T k + 2k.
Đặt an (t) = E | Xn+1 (t) − Xn (t) |2 .Khi đó từ bất đẳng thức trên ta có
t
an (t) = L
0
an−1 (s1 )ds1
≤ ... ≤ L
L
0
sn−1
s1
t
n
≤
...
0
0
0
s1
t
2
0
an−2 (s2 ) ds2 ds1
a0 (sn )dsn ....ds2 ds1 .
Vì vậy ,
an (t) ≤ Ln
s1
t
sn−1
...
0
0
0
a0 (sn )dsn ....ds2 ds1 .
Bất đẳng thức trên kéo theo
Ln T n−1
an (t) ≤
(n − 1)!
X1 − X0
2
SP
.
Khi đó ta có
Xn+1 − Xn
2
SP
≤
Ln T n
(n)!
X1 − X0
2
SP
.
Xét m > n và áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có
Xm − Xn
SP
≤ Xm − Xm−1
20
SP
+ Xm−1 − Xn
SP
≤ Xm − Xm−1
Ln T n
≤
n!
≤
Ln T n
n!
SP
1
2
+ Xm−1 − Xm−2
Ln+1 T n+1
+
1
2
1+···+
+...+ Xn−1 − Xn
SP
1
2
Lm T m
+ ... +
(n + 1)!
1
2
SP
X1 − X0
m!
SP
1
2
Lm−n T m−n
X1 − X0
(n + 1)(n + 2)...m
SP
1
2
≤ 2
Ln T n
n!
X1 − X0
SP
giả sử rằng
n, m ≥ 4LT.
Vì X1 − X0 SP là bị chặn và từ bất đẳng thức trên suy ra với mọi ε > 0
và tồn tại N > 0 sao cho Xn − Xm SP < ε với mọi m, n > N.
Do đó dãy {Xn }∞
n=1 là dãy Cauchy trong HSP và Xn là hội tụ duy nhất tới
X ∈ HSP khi n → ∞.
Bây giờ cho Y ∈ HSP trong đó Y thỏa mãn mối quan hệ
t
t
Y (t) = −X(t) + X(0) +
g(s, X(s))dW (s).
f (s, X(s))ds +
0
0
Vì
t
t
0 = −Xn (t) + Xn (0) +
0
f (s, Xn−1 (s))ds +
0
g(s, Xn−1 (s))dW (s)
và X − Xn SP −→ 0 khi n −→ ∞ thì hiển nhiên
Y SP = 0.
Vậy X(t) là nghiệm duy nhất của phương trình (II.1) trong HSP .
II.3.
Tính chất của nghiệm phương trình vi phân
ngẫu nhiên
Định lý II.3.1. Tính bị chặn của nghiệm
Giả sử f , g thỏa mãn (C6 ) , (C7 ) và X ∈ HSP là nghiệm của phương trình
21
II.1
Khi đó
E | X(t) |2 ≤ 3(E | X(0) |2 +kT 2 + kT )exp(3k(T + T 2 )) với 0 ≤ t ≤ T.
Để chứng minh định lý trên ta cần bổ đề sau.
Bổ đề II.3.1. Bất đẳng thức Bellman-Gronwall.
Nếu a(t) ≤ b(t) + c
t
thì a(t) ≤ b(t) + c
a(s)ds
0
Chứng minh. Từ
t
0
exp(c(t − s))b(s)ds.
t
a(t) ≤ b(t) + c
suy ra
a(s)ds,
(II.3)
0
s
a(s) − c
0
a(z)dz ≤ b(s).
Do đó
d
exp(−cs)
ds
s
≤ b(s) exp(−cs)
a(z)dz
0
Vì vậy ,
t
t
exp(−ct)
0
hay
a(z)dz ≤
t
t
0
b(s)exp(−cs)ds
0
a(s)ds ≤
0
b(s)exp(c(t − s))ds.
Thay bất đẳng thức cuối này vào (II.3) ta được :
t
a(s) ≤ b(t) + c
0
exp(c(t − s))b(s)ds.
22
(II.4)
Bây giờ ta đi chứng minh định lý trên.
Thật vậy ,
t
t
2
E | X(t) | ≤ E | X(0) +
f (s, X(s))ds +
0
0
t
2
≤ 3E | X(0) | +3E |
0
≤ 3E | X(0) | +3t
0
f (s, X(s))ds | +3E |
g(s, X(s))dW (s) |2
0
t
2
E | f (s, X(s)) | ds + 3
≤ 3E | X(0) |2 +(3t + 3)k
2
t
2
t
2
g(s, X(s))dW (s) |2
t
0
0
Eg2 (s, X(s)) | ds
E | 1 + X 2 (s) | ds
t
2
≤ 3E | X(0) | +(3t + 3t)k + (3T + 3)k
0
E | X 2 (s) | ds
Đặt a(t) = E | X 2 (t) | và b(t) = 3E | X 0 | +(3t 2 + 3t)k,
bất đẳng thức trên sẽ được viết lại như sau
t
a(t) ≤ b(t) + (3T + 3)k
a(s)ds.
0
Áp dụng bất đẳng thức Bellman-Gronwall ta có
t
a(t) ≤ b(t) + (3T + 3)k
0
exp(k(3T + 3)(t − s))b(s)ds.
Vì b(t) là hàm tăng trên [0, T ] nên
t
a(t) ≤ b(t) + b(t)(3T + 3)k
23
0
exp(k(3T + 3)(t − s))ds.
Do đó,
với 0 ≤ t ≤ T.
E | X(t) |2 ≤ 3(E | X(0) |2 +kT 2 + kT )exp(3k(T + T 2 ))
Định lý II.3.2. : Tính liên tục của nghiệm trên [0,T]
Giả sử f , g thỏa mãn (C6 ) , (C7 ) và X ∈ HSP là nghiệm của phương trình
(II.1). Khi đó tồn tại một hằng số c ≥ 0 sao cho
E | X(t) − X(r) |2 ≤ c | t − r | với 0 ≤ r , t ≤ T.
Đặc biệt , với ε > 0 cho trước tồn tại δ > 0 sao cho
ε khi | t − r |< δ .
X(t)−X(r)
RV <
Chứng minh. Rõ ràng
t
t
X(t) − X(r) =
g(s, X(s))dW (s).
f (s, X(s))ds +
0
0
Hơn nữa , định lý (II.3.1) kéo theo tồn tại M > 0 sao cho
E | X(s) |2 ≤ M với 0 ≤ s ≤ T.
Sử dụng bất đẳng thức này cùng với điều kiện (C7 ) ta được
t
2
E | X(s)−X(r) | ≤ 2 | t −r |
t
≤ 2 | t −r | k
r
r
t
2
E | f (s, X(s)) | ds+2
t
2
(1 + E | X(s) | )ds + 2k
r
r
E | g(s, X(s)) |2 ds
(1 + E | X(s) |2 )ds
≤| t − r | (2k | t − r | (1 + M)) + 2k(1 + M)
≤ c | t −r |
trong đó c = 2k(T + 1)(1 + M).
24
