Luận văn sư phạm Xấp xỉ hàm số bằng ghép trơn

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2
LỜI CẢM ƠN
.

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TS
Khuất Văn Ninh – Người thầy đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn
thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lời cảm ơn tới các thầy, cô trong trường đại học Sư
phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy, cô khoa toán cũng như các thầy, cô
trong tổ Giải tích đã dạy em trong suốt thời gian qua.
Em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã tạo điều
kiện và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Trong quá trình nghiên cứu, với sự hạn chế về thời gian cũng như
về kiến thức của bản thân, khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót.
Kính mong được sự chỉ bảo của thầy, cô và sự góp ý của các bạn sinh
viên.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Nhung

Nguyễn Thị Nhung

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2
LỜI CAM ĐOAN

Em xin khẳng định đề tài này hoàn thành được là do sự tìm tòi và nỗ lực
của bản thân,cũng như sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo PGS.TS
Khuất Văn Ninh – Người thầy đã trực tiếp hướng dẫn em.
Em xin cam đoan kết quả này không trùng với bất kì của tác giả nào
khác.Nếu trùng em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Người cam đoan
Nguyễn Thị Nhung

Nguyễn Thị Nhung

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU............................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu: ...................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................. 1
5. Cấu trúc luận văn ............................................................................ 2
PHẦN 2: NỘI DUNG ........................................................................... 3
CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................... 3

1.1. Một số khái niệm trong giải tích hàm. .......................................... 3
1.2. Một số kiến thức sơ lược về lý thuyết nội suy............................... 6
1.2.1. Bài toán nội suy tổng quát ..................................................... 6
1.2.2. Đa thức nội suy Lagrange ...................................................... 7
CHƯƠNG 2: XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG HÀM GHÉP TRƠN ......... 11
2.1

. Một số định nghĩa về hàm ghép trơn ...................................... 11

2.2. Ví dụ về hàm ghép trơn bậc 2, hàm ghép trơn bậc 3 .................. 13
2.3. Đa thức nội suy ghép trơn bậc 3 ................................................ 13
2.3.1 Phương pháp luận .................................................................. 13
2.3.2 Mô hình bài toán ................................................................... 14
2.4 Ví dụ về xác định hàm nội suy ghép trơn bậc 3 ........................... 17
2.5 Tính chất của hàm ghép trơn bậc 3 .............................................. 28
2.5.1 Tính chất ............................................................................... 28
2.5.2 Định nghĩa ............................................................................. 30
2.5.3 Định lý .................................................................................. 30
2.6.Xấp xỉ hàm nhiều biến với độ trơn r. ........................................... 35
Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA HÀM GHÉP TRƠN ......................... 37
3.1. Sử dụng hàm ghép trơn bậc 3 để tìm đa thức nội suy. ................. 37
Nguyễn Thị Nhung

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

3.2 Sử dụng hàm ghép trơn bậc 3 để tính gần đúng các giá trị của hàm
số ...................................................................................................... 40
3.3. Sử dụng hàm ghép trơn để tính gần đúng giá trị đạo hàm ........... 44
3.4. Ý nghĩa của hàm ghép trơn. ........................................................ 47
KẾT LUẬN ......................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................. 49

Nguyễn Thị Nhung

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng chủ yếu
là giải phương trình, giải các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối
ưu. Và một trong những nhiệm vụ quan trọng của nó chính là “xấp xỉ
hàm số”. tức là việc thay một hàm số có dạng phức tạp hoặc một hàm
cho dưới dạng bảng bằng những hàm số đơn giản và thuận tiện hơn trong
tính toán. Để giải quyết nhiệm vụ đó chúng ta có thể sử dụng phương
pháp nội suy.
Trong các đa thực nội suy thông thường như đa thức Lagrange, đa thức
Newton vẫn tồn tại những hạn chế căn bản là nếu tăng mốc nội suy thì
bậc của đa thức nội suy cũng tăng lên. Cũng tức là chúng ta sẽ gặp khó
khăn trong việc tính toán cụ thể.
Để khắc phục hạn chế đó người ta đã sử dụng hàm phép trơn (spline).

Kết quả cho thấy phương pháp này có nhiều ưu điểm và tiện lợi.
Vì lí do trên tôi đã chọn đề tài: “Xấp xỉ hàm số bằng hàm ghép trơn” để
thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu:
-

Bước đầu làm quen với nghiện cứu khóa học dẫn đến hình thành

tư duy logic.
-

Nắm vững và tìm hiểu sâu hơn về phương pháp xấp xỉ hàm số

bằng hàm ghép trơn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Nghiên cứu về cách xấp xỉ hàm số bằng hàm ghép trơn.

-

Biết được một vài tính chất và ứng dụng của hàm ghép trơn.

4. Phương pháp nghiên cứu
-

Phương pháp đọc, phân tích.

Nguyễn Thị Nhung

1

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

-

Phương pháp tổng hợp.

-

Phương pháp so sánh, đánh giá.

5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, kết luận thì luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Xấp xỉ hàm số bằng hàm ghép trơn.
Chương 3: Ứng dụng và ý nghĩa của hàm ghép trơn.

Nguyễn Thị Nhung

2

K35A – CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Một số khái niệm trong giải tích hàm.
a)

Định nghĩa 1.1 Không gian vectơ

Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu  ,  ,  ,... và trường K mà
các phần tử được kí hiệu là x, y, z ,...
Giả sử trên E có hai phép toán:

E×E→E

- Phép toán cộng (+) :

( ,  ) →   

K× E → E

- Phép toán nhân (.) :

( x, ) → x.

Thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1)

(   )      (    ) ,  ,  ,   E .

2)

Tồn tại   E sao cho          ,

  E .

3)

Với mỗi  , tồn tại  '  E sao cho    '   '    .

4)

     

,

 ,   E .

5)

( x  y ).  x.  y

,

x, y  K ;   E .

6)

x.(   )  x.  x.

,

x  K ;  ,   E .

7)

x.( y. )  ( x. y ).

,

  E ; x, y  K.

8)

1.  

, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K.

Khi đó E cùng 2 phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường K
hay có thể gọi K– không gian vectơ.
Khi K = ℝthì E được gọi là không gian vectơ thực (hay không gian

tuyến tính thực), còn khi K  ฀ thì E được gọi là không gian vectơ phức.

Nguyễn Thị Nhung

3

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
b)

Trường ĐHSPHN2

Định nghĩa 1.2 Không gian metric

Cho X là một tập khác rỗng.
Khi đó hàm thực f : X  X → ℝ được gọi là một khoảng cách hay một

metric trên X nếu các tính chất sau được thỏa mãn:
1)

f ( x, y )  0

, x, y  X

và f ( x, y )  0 khi và chỉ khi x  y .
2)

f ( x, y )  f ( y , x )

, x, y  X .

3)

f ( x, z )  f ( x, y )  f ( y , z )

, x, y, z  X .

Cặp ( X , f ) sẽ được gọi là không gian metric.
Trong đó X là một tập khác rỗng và f là khoảng cách trên X sẽ được
gọi là không gian metric.
Ta còn có thể viết tắt là X thay cho ( X , f ) nếu f đã được cố định.
c)

Định nghĩa 1.3

Phiếm hàm tuyến tính

Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng một trường K .
Ánh xạ

f : X Y

gọi là một toán tử tuyến tính nếu:

1) f ( x1  x2 )  f ( x1 )  f ( x2 ) , x1 , x2  X .
,   K ; x  X .

2) f ( x)   f ( x)

Khi đó X là một không gian tuyến tính trên trường K thì toán tử tuyến
tính f : X  K xác định trên X và lấy giá trị trong K gọi là một phiếm
hàm tuyến tính trên X .
d)

Định nghĩa 1.4 Hàm số liên tục

Nguyễn Thị Nhung

4

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Cho hàm số y  f ( x) xác định trong khoảng (a,b) và điểm x0  (a,b).
Hàm số đó được gọi là một hàm số liên tục tại điểm x0 nếu:
lim
→



( )= ( )

Điều kiện ắt có và đủ để hàm số y  f ( x) liên tục tại điểm x0 là:

lim y  0

x0

(với ∆ = x  x0 ; ∆ = f ( x0  x)  f ( x0 ) )

Hàm số f được gọi một hàm số liên tục trong khoảng (a,b) nếu nó liên
tục tại mọi điểm trong khoảng (a,b).
e)

Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn

Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là
không gian tuyến tính X trên trường P ( P = ℝ hoặc P = ฀ ) cùng

với 1 ánh xạ từ tập X vào tập số thựcℝ , kí hiệu là ∥∙∥ (chuẩn) thỏa
mãn ba tiên đề sau:
1)∥
2)∥
3)∥ 
Khi đó ∥

∥ = 0 khi và khi x = 0

+

∥

 ∥

∥ = | | ∥

∥+∥

∥

, với  x  X .
∥

, với  x, y  X .
, với    ฀ , x  X .

∥ được gọi là chuẩn của phần tử x .

X được gọi là không gian định chuẩn.

( X ,∥∙∥) được gọi là không gian Banach.

f)

Định nghĩa 1.6 Tích vô hướng

Cho H là một không gian tuyến tính trên K . Khi đó:
Tích vô hướng trên H là quy tắc cho tương ứng mỗi cặp phần tử x, y
thuộc H với 1 vô hướng ( x, y ) thuộc K thỏa mãn 4 tiên đề:

Nguyễn Thị Nhung

5

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1)

Trường ĐHSPHN2

( x, x)  0 nếu x = 0;
( x, x) > 0 nếu x ≠ 0

2) ( x, y )   ( x, y )

,

với x  H .

, với   K ; x, y  H .

3) ( x  y, z )  ( x, z )  ( y, z ) , với x, y, z  H .
4) ( y, x ) = ( , )
Khi đó :
g)

, với x, y  H .

( x, y ) là kí hiệu tích vô hướng của x với y .

Định nghĩa 1.7 Giới hạn của dãy số trong không gian metric

Cho dãy các phần tử xn  X , với mọi n  ฀ và phần tử y  X với X
là không gian metric.
Khi đó : y được gọi là giới hạn của dãy { xn } nếu lim d ( xn , y )  0.
n

Kí hiệu:

lim xn  y trong đó d là metric xác định trên X .
n 

1.2. Một số kiến thức sơ lược về lý thuyết nội suy.
1.2.1. Bài toán nội suy tổng quát
a)

Bài toán:

Giả sử chúng ta có hàm số y  f ( x) và biết giá trị của nó tại các điểm:
x0  a  x1  x2  ...  xn  b ; yi  f ( xi ) , với mọi i = 0 ,…, n.

Hãy tìm đa thức g ( x) đủ đơn giản hơn trên [a,b] sao cho :
y  f ( x)  g ( x) và g ( xi )  yi , i = 0, 1,…, n

+ Về mặt hình học, bài toán nội suy được diễn đạt như sau:
Tìm hàm g ( x) có đồ thị đi qua các điểm ( xi , f ( xi )) , y  f ( x) .
b) Phương pháp:
Ta tìm cách xây dựng một đa thức :
Pn ( x)  a0 x n  a1 x n 1  ....  an1 x  an

Nguyễn Thị Nhung

6

K35A – CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Sao cho thỏa mãn:
, i = 0, 1,…, n

Pn ( x)  f ( xi )  yi

Khi đó:
+ Pn ( x) gọi là đa thức nội suy của hàm f ( x)
+ Các điểm xi (i = 0,…,n) gọi là các mốc nội suy.
c) Định lý sự tồn tại duy nhất của đa thức nội suy.
Đa thức nội suy Pn ( x) của hàm số f ( x) nếu có thì chỉ là duy nhất.
Chứng minh
Giả sử từ điều kiện Pn ( x )  f ( xi )  yi với i = 0, 1,…, n ta xây dựng
được hai đa thức nội suy khác nhau Pn ( x) và Qn ( x ) .
Trong đó :

Pn ( x) = yi = Qn ( x ) , i = 0,…,n.

Khi đó :

Pn ( x) – Qn ( x ) là một đa thức có bậc không vượt quá n và

nhận ít nhất là (n+1) nghiệm x0 , x1 ,..., xn .
Do đó

:

Pn ( x) – Qn ( x ) trùng với đa thức không hay Pn ( x) và

Qn ( x ) cùng là một đa thức.

Tức là ta có điều phải chứng minh.
1.2.2. Đa thức nội suy Lagrange
a) Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì
 Bài toán:
Cho xi thuộc đoạn [a,b] , i = 0, 1,…, n ; xi  x j với mọi i  j .
Đồng thời yi  f ( xi ) với i = 0,1,..., n.
Hãy xây dựng đa thức nội suy Ln ( x) thỏa mãn:
+ Deg Ln ( x) ≤ n
Nguyễn Thị Nhung

7

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

+ Ln ( x) = yi với mọi i = 0,1,…, n
 Giải quyết bài toán:
Trước tiên ta xét :

U j ( x) 

( x  x0 )( x  x1 )...( x  x j 1 )( x  x j 1 )...( x  xn )

( x j  x0 )( x j  x1 )...( x j  x j 1 )( x j  x j 1 )...( x j  xn )

Ta thấy deg U j ( x) = n với j = 0,1,…, n và :

U j ( xi ) =

Ln ( x) =

Đặt :
Ta có :

0, ℎ ≠
1, ℎ =
n

 y u ( x)
j 0

j

j

+ deg Ln ( x) = n
+ Ln ( xi )  yi , i = 0,1,2,…,n.

Vậy Ln ( x) thỏa mãn mọi điều kiện của bài toán đặt ra.
Khi đó Ln ( x) xây dựng như vậy được gọi là đa thức nội suy Lagrange.
+ Nhận xét:
1) Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ tính và
nhược điểm là nếu thêm mốc nội suy thì phải tính lại từ đầu.

2) Nếu f ( x) là đa thức, deg f ( x) ≤ n thì đa thức nội suy Lagrange

Ln ( x) là đa thức f ( x) .

Nguyễn Thị Nhung

8

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

b) Ví dụ 1.1
Hàm y  f ( x) cho bởi bảng sau:
x

0

1/6

y

0

1
2

Hãy tìm đa thức nội suy Lagrange.

1
2
1

Giải
Áp dụng công thức nội suy Lagrange ta tìm được :

L2 ( x) =

1
1
x.( x  )
.(
)
x
x

1
6
2  1.
0 .
1 1 1
2 1 .( 1  1 )
.(  )
6 6 2
2 2 6

=

1
1
1
9 x( x  ) + x( x  )
2
6
6

=



53 2
161
x +
6
36

1.2.3. Định lý Rolle
Giả sử hàm số f ( x) liên tục trên [a,b] , khả vi trên khoảng (a,b) đồng
thời f ( a)  f (b) .
Khi đó trên khoảng (a,b) tồn tại điểm c sao cho f '(c )  0 .

Nguyễn Thị Nhung

9

K35A – CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Nói một cách khác giữa hai giá trị bằng nhau của một hàm khả vi luôn
có nghiệm của đạo hàm hàm số này.
Chứng minh
Vì f ( x) liên tục trên đoạn [a,b] nên theo định lí tồn tại Weierstrass thì
f ( x) đạt giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) trên [a,b].

+ Trường hợp1
Nếu M = m:
Khi đó f ( x) là hàm hằng trên [a,b].
Do đó với mọi c thuộc (a,b) ta có f '(c)  0 .
+ Trường hợp 2
Nếu M > m :
Do f ( a)  f (b) nên một trong hai giá trị M và m phải đạt được tại
một điểm c thuộc (a,b).
Nhưng khi đó hàm số f ( x) đạt cực trị tại điểm này và theo định lí
Fermat ta có f '(c )  0 .
Như vậy định lí được chứng minh.

Nguyễn Thị Nhung

10

K35A – CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

CHƯƠNG 2: XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG HÀM GHÉP TRƠN
2.1 . Một số định nghĩa về hàm ghép trơn
a) Định nghĩa 2.1
Hàm ghép trơn là những đa thức từng khúc được ghép nối với nhau.
b) Định nghĩa 2.2
Trên một phân hoạch  của đoạn [a,b] với :
 = { a = x0 < x1 < … < xn = b }

Ta định nghĩa hàm ghép trơn g ( x) có bậc n trên phân hoạch  là hàm
số thỏa mãn 2 điều kiện sau:
n-1
[a,b]

1) Thuộc lớp C

(n ≥ 1).

2) Là đa thức bậc n trên mỗi đoạn con  j = [ x j 1 , x j ]
( j = 1, 2,…, n)
c) Định nghĩa 2.3
Giả sử U , V là hai không gian tuyến tính.
Trong không gian tuyến tính U, cho một hệ các phiếm hàm tuyến tính có
giới hạn li ( i = 1, 2,…, n) và hệ này độc lập tuyến tính.
Xét ánh xạ tuyến tính : U → V .

Ta định nghĩa hàm ghép trơn nội suy là phần tử  thuộc U thỏa mãn 2

điều kiện sau:
1) li(  ) = (li,  )U = Pi ,
2) (T  , T  )V = ∥

Trong đó:



với i = 1, 2,…, n

∥

+ ( , )U và ( , )V là các tích vô hướng trong các không gian U , V.

+ Pi ( với i = 1, 2,…, n) là các số cho trước.
d) Định nghĩa 2.4
Xét một phân hoạch  của đoạn [a,b] :
Nguyễn Thị Nhung

11

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

 ={ a  x0  x1  ...  xn  b }

và { }

lần lượt là các giá trị của hàm số f ( x) tại các điểm {

}

.

Khi đó hàm ghép trơn bậc 3 một biến số là hàm g ( x) thỏa mãn 4 điều
kiện sau:
1) g ( x) thuộc C2[a,b] , tức g ( x) là hàm số liên tục và có các đạo
hàm liên tục đến cấp 2 trên đoạn [a,b].
2) g ( x) là một đa thức bậc 3 trên mỗi đoạn con [ xk 1 , xk ], k  0, n.
với k  0, n.

3) g ( xk )  f k

4) g "( x) thỏa mãn : g "(a )  g "(b)  0.
e) Định nghĩa 2.5
Xét miền D = { x, y : a  x  b ; c  y  d } .
Trên D ta xây dựng miền Dh như sau:
Dh = { xk , yl : a  x0  x1  ...  xn  b ; c  y0  y1  ...  ym  d }
Khi đó ta định nghĩa hàm ghép trơn bậc 3 hai biến số g ( x, y ) là hàm
thỏa mãn :
1) g ( x, y ) thuộc C2(D).
2) Mọi ( x, y ) thuộc D, g ( x, y ) là một đa thức bậc 3 theo 2 biến có
dạng:
g ( x, y ) = gk ,l ( x, y ) =

Trong đó :

3

a

i , j 0

k ,l
i, j

( xk  x)i ( yl  y ) j

k = 0,n và l = 0, m.

3) Trên Dh , g ( x, y ) sẽ có những giá trị cụ thể:
g ( xk , yl )  f kl

với k = 0,n ; l = 0, m.

4) Hàm số g ( x, y ) thỏa mãn điều kiện biên:

Nguyễn Thị Nhung

12

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

|  = 0 với  : là pháp tuyến ngoài;  : là biên của D.

2.2. Ví dụ về hàm ghép trơn bậc 2, hàm ghép trơn bậc 3
a) Ví dụ 2.1 Hàm ghép trơn bậc 2
2
(t  1)  1
S(t) = 
2
1  (t  1)

, 2  t  0
,0  t  2

Ta thấy :
+ S(t) là hàm thuộc lớp C[-2,2].
+ S(t) là đa thức bậc 2 trên các đoạn con [-2,0] và [0,2].
Theo định nghĩa 2.2 ta có S(t) là hàm ghép trơn bậc 2.
b) Ví dụ 2.2 Hàm ghép trơn bậc 3
57
 3 3 27 2 89
 10 x  20 x  20 x  4

87
893
 11
k ( x)   x 3  x 2 
x  142
10

5
10

 2 3 48 2 727
 5 x  5 x  10 x  182


,3  x  5
,5  x  6
,6  x  8

Ta có :
+ k ( x) là hàm thuộc lớp

[ , ]

.

+ Trên ba đoạn con [3,5] ; [5,6] ; [6,8] ta thấy k ( x) đều
là các đa thức bậc 3.
Như vậy theo định nghĩa 2.2 ta có k ( x) là hàm ghép trơn bậc 3.
2.3. Đa thức nội suy ghép trơn bậc 3
2.3.1 Phương pháp luận
- Phương pháp nội suy bằng đa thức có nhược điểm là nếu số mốc nội
suy tăng lên thì bậc của đa thức cũng tăng lên. Điều này rất bất lợi cho
việc tính toán.
Nguyễn Thị Nhung

13

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Chính vì vậy ta có thể thực hiện phép nội suy nhờ những hàm ghép trơn.
2.3.2 Mô hình bài toán
a) Bài toán
Giả sử f ( x) xác định trên đoạn [a,b].
Với yi  f ( xi ) và yi '  f '( xi ) là các giá trị của hàm số và giá trị đạo hàm
của hàm y  f ( x) tại các mốc xi (i = 0,1,…, n) là đã cho.
Hãy tìm hàm nội suy ghép trơn bậc 3 g ( x) sao cho:
g ( xi )  yi và g '( xi )  yi ' với mọi i = 0, 1,…, n.

b) Cách giải bài toán
Vì đạo hàm bậc 2 của g ( x) là liên tục trên mỗi đoạn [ xi 1 , xi ] ; i = 1, n
nên với xi 1  x  xi ta đặt :
d i = xi  xi 1
mk  g ''( xk ) ,

k  0, n

Vì g "( x ) là đa thức bậc 1 trên mỗi đoạn [ xi 1 , xi ] nên:
g "( x) =  i ( xi  x ) +  i ( x  xi 1 )

, ta được :

Cho x  xi 1



Cho x  xi

, ta được :


mi 1   i di

mi 1
di

i 

mi   i di

i 

mi
di

Khi đó, ta được :
g "( x) 

mi 1
m
( xi  x ) + i ( x  xi 1 )
di
di

(1)

Tích phân hai lần ở hai vế của đẳng thức (1) ta có:

Nguyễn Thị Nhung

14

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp
g ( x) =

Trường ĐHSPHN2

( x  xi 1 )
( x  x)
mi 1
m
+ Di .
( xi  x)3 + i ( x  xi 1 )3 + Ci . i
di
di
6d i
6d i

(2)

Trong đó Ci , Di là các hằng số tích phân.
Ta sẽ tìm hai hằng số này.
Vì hàm g ( x) thỏa mãn g ( xi )  yi nên:
g ( xi 1 )  f ( xi 1 )  fi 1
g ( xi )  f ( xi )  fi

Thay x  xi 1 và x  xi vào (2) ta được hệ :

d i2
m
.
 i 1 6  Ci  f i 1

2
m . di  D  f
i
i
 i 6

Suy ra

di2
C
f
m
.


i 1
i 1

 i
6

2
 D  f  m . di
i
i
 i
6

Khi đó :

( xi  x)3
( x  xi 1 )3
di2 ( xi  x)
+ mi
+ ( f i1  mi1 ).
g ( x) = mi 1
6
di
6di
6d i

di2 ( x  xi 1 )
+ ( fi  mi ).
6
di
 g '( x) = mi 1.

(3)

( xi  x) 2
( x  xi 1 ) 2
m  mi 1
f  fi 1
+ i
+ mi .
.di (4)
 i
2di
2di
di
6

Nguyễn Thị Nhung

15

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Từ (4) ta tìm được các giới hạn 1 phía của đạo hàm tại các điểm x1 , x2
…, xn1 như sau:
di
di
f i  f i 1


, i  1, n
 g '( xi  0)  6 .mi 1  3 .mi  d

i

 g '( x  0)   di 1 .m  di 1 .m  f i 1  f i , i  0, n  1
i
i
i 1

3
6
di 1

Vì g′( ) là hàm liên tục trên [a,b] tại các điểm x1 , x2 ,…, xn1 nên :

i  1, n  1

g '( xi  0)  g '( xi  0)

Do đó ta thu được một hệ gồm (n − 1) phương trình:

di  d i 1
d
f f
f f
 di
mi  i 1 mi 1  i 1 i  i i 1
 mi 1 

3
6
di 1
di
6

1  i  n 1


(5)

Hơn nữa ta có m0  mn  0 .
Thay vào hệ phương trình tuyến tính ta thu được một hệ phương trình
tuyến tính với (n-1) ẩn m1 , m2 , m3 ,..., mn 1 .
Hệ này viết dưới dạng ma trận như sau:
Am = D f
 d1
6

0

A= 
0

 ...

0



d1  d 2
3
d2
6

(6)

...

d2
6
d 2  d3
3
d3
6
...

d3
6
d3  d 4
3
...

0

0

0

0

Nguyễn Thị Nhung

0

16

...

0

0

...

0

0

...

0

0

...

...
d n 1
...

6

...
d n1  d n
3


0 

0 


0 

... 

dn 

6 

(7)

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

D =

1

d
 1

0

 ...

0





1 1

d1 d 2

1
d2

...

0

1
1

d2 d3

...

0

...

...

...

...

0

0

... 

1
d2



 m0 
m 
 1
 m2 
 
 m3 

m =

Trường ĐHSPHN2

;



f = 





0 


0 

... 

1 
d n 

1
1

d n1 d n

f0 
f1 

f2 

f3 

(8)

(9)

Giải hệ phương trình (6) ta thu được (n-1) giá trị m1 , m2 , m3 ,..., mn1 . Sau
đó thay m0  mn  0 và (n-1) giá trị này vào (3) ta thu được hàm g ( x)
cần tìm.
2.4 Ví dụ về xác định hàm nội suy ghép trơn bậc 3
a) Ví dụ 2.3
Cho hàm y  f ( x) được xác định bởi bảng sau:
xi

1

2

3

4

f i  f ( xi )

2

1

3

2

Hãy tìm hàm nội suy ghép trơn bậc g ( x) .
Giải

Nguyễn Thị Nhung

17

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Ta có:
x0 = 1

;

x1 = 2

;

f 0 = f (1) = 2

f1 = f (2) = 1

x2 = 3

;

f 2 = f (3) = 3

x3 = 4

;

f3 = f (4) = 2

d1  d 2  d 3  1

Áp dụng (7) ta có :
1
6
A= 
0



2
3
1
6

1
6

2
3


0

1

6

Áp dụng (8) ta có :
 0 2 1 0 
D= 

 1 1 2 1 

Áp dụng (9) ta có :
 m0 
 0
m 
m 
1

=  1
m =
 m2 
 m2 
 
 
 0

 m3 

Và

f =








f0 
 2

1
f1 
=  
 3
f2 

 
f3 
 2

Từ hệ (6) ta có m1 , m2 là nghiệm của hệ :

Nguyễn Thị Nhung

18

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2
1
2
 3 m1  6 m2  3

 1 m  2 m  3
 6 1 3 2



 m1

 m2

6
 6

+ Với mọi x thuộc [1,2] thì m0 = 0, m1 = 6 và d1 = 1
Theo (3) ta suy ra :

g ( x)  m0 .

( x1  x)3

( x  x0 )3
d 2 ( x  x)
 m1.
 ( f0  m0 . 1 ). 1
6d1
6d1
6
d1

d 2  ( x  x0 )
+  f1  m1. 1  .
6 
d1


=

(1  x)3
( x  1)3
1 (2  x)
1 ( x  1)
0.
 6.
 (2  0. ).
 (1  6. ).
6
6
6
1
6

1

=

( x  1)3  2.(2  x)

=

x3  3x 2  x  3

+ Với mọi x thuộc [2,3] thì m1 = 6, m2 = -6 và d 2 = 1
Theo (3) ta suy ra:

g ( x)  m1.

( x2  x)3
( x  x1 )3
d 2 ( x  x)
 m2 .
 ( f1  m1. 2 ). 2
6d 2
6d 2
6
d2

d 2  ( x  x1 )
+  f 2  m2 . 2  .
6  d2


=
=

6.

(

)

3

( −2)
(3– )
( –2)
+ 6.
+ (1– 6. ) .
+ (3 + 6. ).
1
1
6

(3  x)3  ( x  2)3  4.( x  2)

Nguyễn Thị Nhung

19

K35A – CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

=

27  27 x  9 x 2  x3  x3  x 2  12 x  8  4 x  8

=

2 x3  15 x 2  35 x  27

+Với mọi x thuộc [3,4] thì m2 = –6, m3 = 0 và d 3 = 1
Theo (3) ta suy ra:

g ( x)  m2 .

( x3  x)3
( x  x2 )3
d 2 ( x  x)
 m3 .
 ( f 2  m2 . 3 ). 3
6d 3
6d 3
6
d3

d 32  ( x  x2 )
+  f 3  m3 .  .
6  d3



=

(4  x)3
( x  3)3
1 (4  x)
1 ( x  2)
6.
 0.
 (3  6. ).
 (2  0. )
6
6
6
1
6
1

=

(4  x)3  4.(4  x)  2.( x  3)

=

64  48 x  12 x 2  x3  16  4 x  2 x  6

=

x3  12 x 2  46 x  54

Vậy hàm nội suy ghép trơn bậc 3 g ( x) được xác định như sau :

 x3  3x 2  x  3

g ( x) = 2 x3  15 x 2  35 x  27
 x3  12 x 2  46 x  54


,1  x  2
,2  x  3
,3  x  4

b) Ví dụ 2.4
Cho hàm y  f ( x) dưới dạng bảng sau:

xi

f i  f ( xi )

Nguyễn Thị Nhung

-2

-1

1

3

-36

-7

3

34

20

K35A – CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSPHN2

Hãy tìm hàm nội suy ghép trơn bậc 3 h( x) .
Giải
Ta có:
x0 = −2

x1 = −1

;

x2 = 1

;

x3 = 3

;

f 0 = f (−2) = −36

;

d1 = 1

f1 = f (−1) = −7

f 2 = f (1) = 3

f 3 = f (3) = 34

;

d 2 = d3 = 2

Áp dụng (7) ta có :
1
6
A= 
0



1
3

4
3

1
1
3


0

1

3

Áp dụng (8) ta có:
3

1  2
D= 
0 1


2

1
2


0


1
1

2

Theo (9) ta có :
 m0 
 0 
m 
m 
1

=  1
m =
 m2 
 m2 
 
 
 0 
 m3 

Nguyễn Thị Nhung

21

K35A – CN Toán