ũề
ề
é ề ỉ
ề
ể
ừề ì ề
í
ỉệểề
ỉ
ẩ
ừẹ ủ ặ
ỉ ễ ỉừ
ú
ễ
ỉ ề
ễ ềủí éủ
ì
ề ỉệểề
ể
ắ
èệ
ỉá
ể
èểụề
ú
ề
ũẹ ề
ừí
ễ
ỉ
ủ
ẹ ĩ ề
ề ỉ
ỉểủề ỉ
ụ
ỉ
ề
ũểá ỉệí ề
ừỉ
ề
ề
ẹ éủẹ ế ề
ủề
ề
ũẹ
í
ề ỉ
ụ
ỉ
ể
ễ
èệ
ẹ ỉệểề
ề
í
ề ì
ỉệểề
ề
ì
ủ
ụ
ừ
ỉ ỉ
ụ
ậ
ề
ẹ ĩ ề
ẹ ỉ ề ỉ ề
ủí ỉ
á
é
ề
ề
ỉ
ề
ề ì ìỳ
ỉ
ẹ
èậ èừ ặ
ỉ
ủ ặ
ểủề ỉ
á ỉ
ụề
ậ ề
ặ
èệ á ề
ủề
é ề ềủí
ề ẹ ắẳẵ
í ề è
ề
ẩ
ề
Ä
×
òÒ Ø
Ò¸
Ù Úñ Ø
òÓ
Ò
Ñ
ó
ô
Øô
Ѹ
ØÓñÒ ØÖô
ÓñÒ Ø
Ò Ã
Ñ Ü Ò
Ñ
Ò
Ò
Ò
ñÒ
ó
Ó Ò Ò
ØÖ
Ì˺ Ìõ Æ
ñ
ÐÙ Ò Ø
ò
Ò
Ú
Ñ Ó Ò
ÌÖ
ÐÙ Ò
Ø Ò
Ô¸
Ò Ù ØÖÓÒ
Ò
Ñ
Øô
Ú
Ñ Ò
Ø
×
Ã
Ð
úÒ
òÓ Ñ
Ù Ø
Ñ
ÐÙ Ò Ðñ
ò
º ÌÖÓÒ
Ñ
Ñ
Ìñ
Ø ÕÙò ØÖÓÒ
Ø ÕÙò
Ò
Ò
ÕÙô ØÖ Ò
Ò
Ø ×
Ù Ø
Øñ
Ð
Ø ÕÙò Ò
Ñ Ü Ò
Ѻ
¸ Ø
ôÒ
Ë Ò
Æ
Ò Ñ ¾¼½¿
Ú
ÙÝ Ò Ì
Ò
Ñ
òÓº
ô
º Æ Ù ×
Àñ Æ
Ð
Ò
È
Ò
Ò
Ù
Ù
ÓñÒ
Å
Ð
ÌÖ Ò
Å
Ù
½ Ã ÒÌ
½º½º Å
Ø Úñ
Ù Úñ
ô
½º½º½º
Å
Ø Úñ
½º½º¾º
Å
Ø Úñ
ô
Ò
ô
ñÑ Ø
½º¾º Ã
¾ Ã
Ù Ò
Ò
Ò
Ò
ô
Ù
Ò
Ò
Ñ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ò
ô
ñÑ ×ÙÝ Ö
¾º¾º Ã
Ò
Ò
ô
ñÑ
½¿
Ò
òÑ Ò
D ′ (Ω)
Ò
Úñ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò
Ò
ô
ñÑ ×ÙÝ Ö
Ò
ÓÙÖ
Ò
Ö
ÓÙÖ
½¿
Ø Ò
Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò
¿º½º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
D (Ω)
Ò
¿
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾º½º Ã
Ñ
½
¾½
Ö ØÖÓÒ
L1 (R)
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾½
¿º¾º È
Ô
Ò
ÓÙÖ
Ö ØÖÓÒ
L2 (R)
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾
¿º¿º È
Ô
Ò
ÓÙÖ
Ö ØÖÓÒ
S (Rn )
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾
¿º
Ô
Ò
ÓÙÖ
Ö ØÖÓÒ
S ′ (Rn )
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¿
º È
Ã Ø ÐÙ Ò
Ìñ Ð
ÙØ
¿
Ñ
òÓ
¿
ẵ
ể
ề
ỉủ
ủẹ ìí ệ ề
ễễ
ề ế ề ỉệ ề ủể
ề
ừể ủẹ ệ ề ủẹ ìí ệ ề éủ ẹ ỉ
ủẹ ì
ủể
ụ
ề á ỉệểề
ủẹ
ể
ẹủ ẹ ỉ ừ
ặ
á
ũ ỉ
ỉ
ỉẹ
ỉ
èừ ặ
èệ á ẹ ú
ụ ề ẹ
ễ
éỉ
ệ
ề
ề ỉ
ủ
ụ
ề
ẩ ễ
ề
L1, L2
ụ
ủẹ
ủẹ ìí ệ ề á
ề
ũỉ
ề
ụ ĩ éừ
ỉ ỉ
ỉ
ì
ẹ
ề
ụ
ĩ í
ề
ề
ề
ề
èậ
ểệ ệ ỉệểề
ề ỉệ ề
ì à ẹủ
ề
ì ề ề
ề
ỉủ
ểệ ệ
ề áề
ủẹ ỉ
í ề ễ ễ
ề
ụ
ủẹ ìí ệ ề ậ
ệỉị
ề
ụ ề ẹ
(x)
ủẹ ìí ệ ề ề
ề
ẹ
ụ
ề
ề ỉệ ề
ẹ ệ ề ỉ
ề ểủ é ễ
ụ
ủẹ ỉ
ề éủ ủẹ
ề
ề
ụ
ễ
ề
ụ
ủẹ
ề
ỉệểề
ề
ề
ụ
ủẹ ìí ệ ề
é ề
ẹ
ề
ề ẵ ềỉ
ề
ề ềủí
ẹ ỉì
ỉ
ủ
ụ ề ẹ
ềỉ
ỉ
ểề
ề
é ề ề
ặ
ụ ề ẹ ủ
ặ
ề
ề
ề ề
ủ ỉ ề
ụ
ễ ễ ỉểụềá ỉ ề
ỉ
ỉ
ỉ
ề ắ ề
ề ềủí
áỉề
ỉ
ề
ề
ụ
ủẹ ỉ
ề
ề
ụ
ủẹ ìí ệ ề
ủẹ ìí ệ ề
D ()
D ()
ề
ụ
ủẹ ìí ệ ề
ề ề
ủẹ ìí ệ ề á
ề
ề
ụ
ủẹ ìí
ệ ề
ặ
ủ
ề
ề ề
ủ ỉ ề
ỉ
ề
ụ
ủẹ ỉ ề
ề
ề
ề
ẹ
ểệ ệ
S (Rn )
ề
ụ
ủẹ
ũẹ ề
ề
S (RRn )
ề
ì ủể ễ
ềủí ề
ễ
ắ
ề
ểệ
ề
ề
ề
ặ
ề
ề
ặ
ề
ễ
ẩ
ẩ
ề
ề
ỉủ
ễ
ễ
ễ
ụễ ề
ụễ ễ
é
á ỉệ
ề ỉ
L1
ệ ỉệểề
ề
ụ
ủ
L2
ủẹ ìí ệ
ề
ỉ
ểệ
ề
ề
ề
ề
ề
ễ
ểệ
ệ ỉệểề
ề
ề
ụ
ủẹ ìí ệ
ễ
ề
ủẹ ìí ệ
ẹ ề
ặ
ễ
ệ ỉệểề
ề
ặ
ặ
ụ
ễ
ề
ậ
ểệ
ề
ệỉị
ệ
á ìể ìụề
áỉ
ề
ễ
ề ỉ
ủẹ ìí ệ
ề
Ò ½
à ÒØ
Ù Ò
½º½º
Å
½º½º½º
Å
Ø Úñ
Ù Úñ
Ø Úñ
ô
Ò
Ñ
Ù
Zn+ = {x = (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ Z+}º
Rn = {x = (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ R}º
C (Ω)
Ì Ô
ô
C k (Ω)
Ì Ô
C ∞ (Ω) Äñ Ø
Lp (Ω)
ñÑ Ð
Ô
ô
Ô
Ì Ô
ñÑ Ð
Ô
ô
Ô
ô
Ωº
Ò Ø
ØÖÓÒ
Ò Ø
ñÑ
ñÑ
ò Ú Ú
Ó
Ø
f =
Lploc (Ω)
Ì Ô
Ý Ø Ô
ô
f
ò Ø
Ô
ô
ñÑ
ØÖÓÒ
Å Ø Ú
Ø
Ðñ Ñ Ø
f
Üô
ñÑ
Ò
õÓ
ñÑ Ö
õÒ¸ Ð
Ó Ò
Ò
Ð
Ò Ø
Ø
Ò Ø
ØÖ Ò
Ωº
Ä
ØÖÓÒ
× Ù
Ô
ØÖ Ò
Ω×
Ó
Ó
Ωº
1p
Ω
|f (x)|p < ∞.
ò Ø
ØÖ Ò
Ω
Ô
Ò
× Ó
Ó Ú
Ñ
p, 1 ≤ p ≤ ∞
ØÖ Ò
Î
ÓÑÔ
Ø ØÖÓÒ
Ω
Ω
Ø
κ
õÒ
×
´
α = (α1 , α2, ..., αn) , αj ∈ Z+, j = 1, 2, ..., n
Ý Ò¹
× µ Ú
ñ ´
Ý
Ô
|α| = α1 + α2 + ... + αn .
αµ Ðñ
èểụề ỉ
ễ
ề é
ề
ỉ
ì
éủ
D = D11 .D22 .....Dnn
ỉệểề
j
,
j
=
1,
2,
...,
n,
i
=
Dj =
1
ixj j
ể
ẻ
= 11 .22 ...nn
ẵẵ
ể
xj
j =
(x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 , = (1; 2; 3) Z+3
ủẹ
= x1 y2 z3 = x1y2z3 = 108x2y.
ể
éủ ẹ
f (x)á ề
ỉ
ỉ
ỉểụề ỉ
ụ
ệ ề
ễ
ũ ủ é
ụ
ẹ ỉ
ủẹ é
ỉ
ẹ ỉ
ỉ ủ
ề
ề ỉ
ề
ề
ỉ
ề
ẹ
E tV ặ
ề
f :C
éủ
ỉ ễ
ỉệ ề ỉệ
ủ
éủ
Zn+
ì
f C ()
f
ề
éủ
éủ
ể
ề
ỉệểề
ỉ ễ
ễ
suppf
X
ỉệ ề ỉệ
ề
K
(, y) y
ề
ỉ
ỉ ễ
é ề
ề ẻ
ầ
é
ỉệ ề
ẹ ỉ ỉ ễ
ể
K = Cà éủ
ì ể
ể
ụ
ụề
ề ỉ
á ẹ ỉ ỉ ễ
ầá
ẹ ỉ é ề
ề
K=R
K
ề
ễ
ẹ ỉ ì
E X
s > 0
ề ỉ
ề
éủ ỉ ễ
ì ể
ể
ề
t > s
éủ
ề
ỉ
ề
ề
ỉ ỉ ễ
ễ
E X
x X, t = t(x) = 0
ề
ẹ
ẹ
ề
ỉ
èệểề
ễ
ề ỉ
f : C, x
ủẹ ì
ễ
ụ
(x, y) x + y
ề
ỉ ề ỉừ ủ é
ỉ
Supp f = cl {x : f (x) = 0}
í
ĩừ
Rn
ỉệểề
ềủí
ề
ề ỉ
ẹ
{x : f (x) = 0}
ẵẵắ
f
ề
f C ()
ề
ủẹ
ỉỉ ễ ẹ
E E
ỉ
ề
ề
ỉ
ỉ ễ
x tE
ặ
éủ ỉ ễ
ểề
ề
ì ể
ể
C
éủ ỉ ễ
ẹủ
ỉ ề
|| 1
á ỉ
ỉ
ẹ ỉ
ề
ì
é ề
ề
ỉ
ề
ề
ẹ ề
ễ ễ ỉ ề
ễ
ề
ề
ề
ề
ỉ
ệ
ẹúề
ỉ ề ề
éủ ẹ ỉ
d(x + z, y + z) =
ềà
éủ
ỉ ề
ỉ
ề ạ
ểệ é ề ẹ
éủ ỉ ễ
ểẹễ
ỉ
ề
ụ
ể
ể
ỉ
ề é
ỉ ễ é
éủ
ỉ ễ
D ()
ủẹ ỉ
ặ éủ ỉ ễ
ểẹễ
ỉ ỉệểề
f C (Rn ) ì
ề
ề
ề
ề
ề
ẹ ỉệ
ũẹ ì ề
ề
ỉ
ủ
éủ
ễ
ề
ề
ề
ẵắ
ề é
ỉ
ỉ
ỉ ễ
ầ
ề ẹ ỉệ
d(x, y)
ỉ ễ
ề
ỉ
Rn
ỉ
ỉ
supp f K ặ
Dk
éủ
ề
ề
ụ
ỉ ủề
ẹ ỉ
ủẹ
Kỉ
Dk = {f C () : supp f K} .
ĩ í
ề
ủ
ệ
ề
ỉ
ỉ ề
K ỉ
ẹ
= j kj
ỉệ ề
C () ì
ỉ
ề ạ
ểệ é ủ
ẹ ỉỉ ễ
ủ
ề
ề
ụ
ỉ ễ
ểẹễ
ỉ
ề
ẹ ỉ
ề
C () ỉệ
ể
ể
Dk éủ ẹ
ỉ ỉ ễ
ểề
kj (j = 1, 2...) ì
ề
pN
ỉệ ề
ề
ể
ể
ề
C ()
kj int kj+1
C (), N = 1, 2...
pN (f ) = max {|D f (x)| : x kN , || N } .
ẻ
á
ẹ
pN
VN =
ặ
ề
x á
ể
ề
ỉ
ĩụ
ì
ẹ ỉ ỉ ễ
ễ
ề
ủẹ
ụ
ẳ ỉừ
ề
f C () : pN (f ) <
{fi} éủ
ừ ễ
x f (x)
ủẹ ì
ề
ụ
é
úí
í ỉệ ề
1
N
ề á
ũ ẹ ỉệ
ỉệ ề
éủ é
ề ỉ
ỉ
xề
ề
Dk
ể ỉ ễ
éủ
ề ềủí
ể
|D fi D fj | <
C ()á ặ
1
N ỉệ ề
Dk
ềủí ẻ
ỉệểề
éủ
C ()
ụ
ỉ ễ
ễ
, (N = 1, 2...)
ề
ỉ
é ề
ể
ề
C ()
kN
ề
|| N
fi fj VN
i, j
½¼
Ù ÒñÝ
D α fi
Ø
fi(x) → go (x)º À
Ø
Ø
Ò
Ò
Ú
C ∞(Ω) º
Ñ
Ò
MN < ∞ ×
Ó
Ó
øÒ
Ø
Î Ý
Ò
½º½º
òÒµ ØÖ Ò
À
Ú
Ò Ò
Ú
Ì
Ò
Ò
Ø Ò
Ò
kN −1
Ø À
Ðñ
ô
Ò
¸
Ò
Î
Ó
Ω Ðñ
Ø Ô
ÓÑÔ
Ø
Dk º
¸
¸
β
τ
|β| ≤ N − 1º
Ò
Ñ Ø
Ø
Ò Ò Ò Ø Ò Øõ
Ì
Ðñ Ð
Ó
Ò Ø
Ò
óÝ
ÓÒ
Ò
Ð
{fi } ×
×
ÓÐ
Ó
Ó
Ðñ Ø Ô
ÓÑÔ
غ
Ò
Dk
õÝ ØÖ Ò Ø Ô Ø Ø
ò
ô
ñÑ Ø
´
Ý
Ò
Ò
ô
ñÑ
Ò Ú
Ø
ñÑ Ò
Ñ
Ú
Ô Ô
Ò
Ò
ô
Ù Úñ
ô ØÖ Ô
Ò Ù
Úñ Ô Ô Ò
Ò
º
φ ∈ C ∞ (Ω) Úñ Suppφ
φ ∈ C ∞(Ω) Úñ Suppφ Ðñ Ø
Ô
ÓÑÔ
Ø ØÖÓÒ
= Max {|Dα φ(x)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N } , N = 1, 2...
½º¾º
Ñ
|α| ≤ N ¸
Ò Ù
φ ∈ D(Ω) Ò
ΩØ
N
f i → go
D (Ω)º
Ò
Ωº Î
Úñ
Ù ÒñÝ
Ò
f ∈ Eº
Ñ
kN
Ò
ô
Ò
ñÑ
gα ¸
ÓÖ Ðº
Ò
Ò
Ý Ö÷Ò
غ
ØÖ Ò
Ò
Ðñ Ñ Ø
Ø
Ö
Òº Î
Ù
Ò ¹
Ø Ø
ò
Ù Ðñ
Ðñ Ø Ô
ÓÑÔ
Ø ØÖÓÒ
φ
óÝ ØÖÓÒ
gα = D α go
Ø
º
Úñ
Ò
D (Ω)
Ø
Ø
ØÖ Ò
À Ô
Ω¸
Ò
Dk
Ò
C ∞ (Ω) ¸
Ω¸
Ø Ô
ÓÑÔ
Ø
Ò
Ðñ Ø Ô
Ñ
Ó Ø Ô
C ∞(Ω)
Ò
Ò
C ∞ (Ω) Ðñ
|Dα f | ≤ MN
Ø Ø
Ó
Ó
pN (f ) ≤ MN , N = 1, 2, 3... Ú
Úñ Ò ÙÝ Ò Ð
ÒØÓÖ Ø
{fi}
¸
go ∈ C ∞ (Ω) ×
Ò
ÓÒ
Dβ (f ) : f ∈ E
Ò
Ó
E ⊂ C ∞ (Ω)
ò ×
Ø
Ò Ò
ÓØ Ô
Ω
Ø ØÖ Ò
ô
Ø Ô
ÓÑÔ
Ø
Ø Ô
ÓÑÔ
Ø
Ðñ
Ø Ø
ò
ô
φ+W
Ö Ò
Úñ Ñ
Ù Ðñ Ø Ô
W ⊂ D(Ω)
Ò
K⊂Ωº
Ô
Ò
K ⊂ Ω, τk
Ðñ Ø Ô Ø Ø
ò
ô
Ø Ô Ð
Ñ
Ñ Ø Ø Ô
õÒ
¸ Ú
ØÖÓÒ
× Ó
Ó
Rn
Ò
Ò
Ö
Dk ∩ W ∈ τk
φ ∈ D(Ω) Úñ W ∈ β º
Ú
Ø
½½
Ò
¸
Ð
τ
¸
½º½º Ì
Ðñ Ñ
Ø Ø
D (Ω)
Ò
µ
Ô
Ò
Ñ Ò
º
Ò
τ
Ú
Ì
Ðñ Ñ
Ò
Ò
D (Ω) Úñ β
Ø
Ò
Ñ Ò
Ø Ò
Ò Ú
Ø
Ô
Ðñ Ñ
Ø
Ø
Ô
×
Ô
Ð
Ô
Ò
τ
º
Ò º
Ò Ñ Ø
ò ×
V1 ∈ τ, V2 ∈ τ, φ ∈ V1 ∩ V2 .
Ò
Ñ Ò
´ µ¸ Ø
Ò
Ò
Ñ Ò
φ + W ⊂ V1 ∩ V2, ∀W ∈ β
Ì
Ó
Ò
Ò
τ
Ø
Ø Ò Øõ
φ ∈ φi + Wi ⊂ Vi , (i = 1, 2)º
Ò Ã × Ó
Ó
Dk
ô
φi ∈ D(Ω)
φ1 , φ2 , φº
Î
Ó Ø Ò
φ − φi ∈ (1 − δi )Wi, ∀δi > 0º
´½º½µ
Ð
Dk ∩ Wi
Wi
Wi ∈ β
Úñ
Ðñ Ñ
× Ó
Ó
Dk
ØÖÓÒ
Ò Ò
Ò Ò
φ − φi + δi Wi ⊂ (1 − δi)Wi + δi Wi = Wi .
⇒ φ + δiWi ⊂ φi + Wi ⊂ Vi (i = 1, 2)
Ó
´½º½µ
µ
Ò
Ú
W = (δ1 W1) ∩ (δ2W2)º Î
φ1 , φ2 ∈ D(Ω)º
ò ×
φ
φ1
0
= Max |φ(x)| Ø
Ðñ Ø Ô
x∈Ω
Ò Ø Ò
È Ô
Ò
Ðñ
τ
Ð
W ∈β
ØÖÓÒ
Ò Ø
¸
Ø
Ô Ô Ò
Ò Ú
τ
ÓØ Ò
Úñ
φ1
Ò ¸
Ò
× Ó
Ó
Ñ Ò º
Ò
Ò÷Ñ ØÖÓÒ
φ2 + W
º
Ó
º
Ð
Ñ
Ø Ô
Ò Ñ Ø Ú
αφ − α0 φ = α(φ − φ0 ) + (α − α0 )φ0
δφ0 ∈ 12 W
Ò
< φ1 − φ2 0}
0
ϕ2 + 12 W = (ϕ1 + ϕ2) + W, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ D(Ω) º
Î
Ø
W = {φ ∈ D(Ω) : φ
Ú
Ý ´ µ
Ò
º Æ Ù
2c(|α0 | + δ) = 1º
W ∈β
α0
Ò Ò
Úñ Ñ Ø
W ∈β
Ø
ϕ1 + 21 W +
φ0 ∈ D(Ω)
∃δ > 0
Î Ï Ðñ Ø Ô Ð
Ò
× Ó
Ó
Ò Ò
ẵắ
0 0 W
| 0 | <
0 cW
ủ
ẻ í à
ề
ẹ ề
ề
é
ẵắ
à
ỉ ỉ
ễ
ểề é
á
ề
D ()
ẻ
V
à
ụ
ỉ
k
ễ
Dk
ỉệ
ề
ỉ
ễ
ề
éủ ẹ
ề
ểề
ủ
Dk
ũẹ ì ề
ỉ
D ()
à
ặ
éủ ẹ
ụ
ì
ỉ ỉ
ễ
ểề
MN ì
ể
ể
ề
E
D ()
ỉ
E D()ák
ỉ
ẹúề
ỉ
ứề
ỉ
ủ
MN , (N = 0, 1, 2...)
à
ặ
{j }
ểẹễ
à
ì
èệểề
ề
ỉ
ũ
í ỉệểề
i j
ỉ
D ()
N
ỉ
{j } Dk
D () ỉ
ễ
suppj
ủ
D j
ỉ
í
ỉ
ề
úí
é
ỉểụề ỉ
ề
ễ
ẹ ề
ề
D
ẹ
ỉ
ễ
= 0 (N = 0, 1, 2...)
ẹ
ỉ
ỉ ỉ
ễ
ểẹễ
ỉệểề
éủ ẹ
ỉệ ề
ỉ ụề
ỉ
K ềủể
j0
ẳ
D ()á ẹ
ẹ ề
i,j
ỉ
ếũ ẵẵ
ề
úí
{j } 0 ỉệểề
ặ
ề
ỉ
K ủ lim
ỉ
à
éủ ẹ
ẹ
ẵ ẳ
ĩừ é
ề ỉ
ỉ
D ()ủể
ề ắ
ề
ắẵ
ề
ề
ụ
ủẹ ìí ệ ề
ề
ề
ề
ụ
ỉ
ắẵ
ừề
ủẹ ìí ệ
ỉí ề ỉ ề
ề
D ()
í ẹ ỉ ễ
ẹ
ủẹ ỉí ề ỉ ề à
u : D () C
u () u () = u,
éủ ẹ ỉ
ủẹ ìí ệ ề
ỉ ễ
ểẹễ
ỉ
K á
ỉ
ể ề
ẹ ỉ ì
ậ
ệỉịà ĩụ
ỉ
c0
ề
ủ ẹ ỉ ì
ỉệ ề
áề
ề í ề
ề
ẹ
ẹ ặ
ì ể
ể
| u, | C.
ẻ
supp K
ẹ ỉ
ề
ềá
||N
sup | |, D () .
è ễ ỉ ỉ
ũ
ụ
éủ
ề
ủẹ ìí ệ ề
ề
ụ
ĩụ
ủẹ ìí ệ ề
ề
ỉệ ề
ỉệ ề é ễ ỉ ủề
á ủ
éủ
D ()
ủể
ẻ
f
ắẵ
éủ ẹ ỉ
ề
ụ
ủẹ é
ề
ủẹ ì
ắẵà ỉ
é
ĩỉ ẹ ỉ ì
ề ỉ
ỉệ ề
ề ỉ
ỉệ ề
éủ
ụ
f
ẵ
ì
ủẹ ìí ệ ề è
éủ ẹ ỉ
ủẹ
ũ ỉ
ỉ íá
ỉệ ề
ũ ì
ề
ẵ
ề
á ỉ
f : D () C
f, =
è
ỉ íá
| f, | =
f (x) (x) dx
ỉ
í
ẻ
f (x) (x) dx
c=
f
éủ
ắắ
ụ
ủẹ
|f (x)| dx sup | (x)| , D ()
ỉ
f
|f (x)| dx c 0
ủẹ ìí ệ ề
|f (x)| | (x)| dx
ẻ í
| f, | c sup | (x)| , D ()
ể ề
ậ
ệỉị
Lp () , 1 p <
ỉệểề
ề
éủ
ụ
ủẹ ìí ệ ề
f, =
f (x) (x) dx, D ()
ẻ
ắ ủẹ
í
ủẹ
ẻ
éỉ
Rn
: D (Rn ) C
ề ề
ề
éủ
ủẹ
éủ ẹ ỉ
ĩụ
ũ é
() = , = (0)
ề
ề ỉ
ẹ
ủẹ ìí ệ ề
éủ
supp K
ủẹ ìí ệ ề
ệ
ệ
à
ắ
Rn
ể
éủ
ủẹ ìí ệ ề á
ủẹ
|x| : D (R) C
|x| (x) dx
|x| , =
R
ễ ủ
| , | = | (0)| 1. sup | (x)| , D (Rn ) ẹủ supp K á K
ểẹễ
ỉ ỉệểề
ẻ
ệ
D (Rn )
ạ
ểẹễ
ỉ ỉệểề
í
ạ
supp K á éủ ỉ
ễ
ểẹễ
ỉ ỉệểề
R
½
Ì
|x| φ (x) dx ≤
| |x| , φ | =
R
R
R
R
R
= sup |φ (x)|
K
K
c=
|x|dx ≥ 0
K
|x| sup |φ (x)| dx = sup φ (x)
≤
Ø
|x| |φ (x)| dx
R
|x|dx
|x|dx .
Ý
| |x| , φ | ≤ c sup |φ (x)| , ∀φ ∈ D (R) .
K
|x| Ðñ Ñ
Ú Ý
Ò
Ð
×ÙÝ Ö
Ø
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò º
¾º½º Å
Ò
Ø Ô
Ñ
ñÑ ØÙÝ Ò Ø Ò
u
Üô
Ò
ØÖ Ò
D (Ω)
Ðñ Ñ
Ø
ñÑ
Úñ
lim u, φj = 0.
j→∞
Ú
Ñ
Ò
óÝ
Ò
{φ}j
½º ÀñÑ ×ÙÝ Ö Ò
¾º
ô
Ù
¼ ØÖÓÒ
D (Ω)¸
j → ∞º
f ∈ D′ (Ω)
Ó
¾º¾º
f |K = 0 Ò
Ø Ø
f
Ðñ
÷Ò
¼ ØÖ Ò Ø Ô Ñ
f, φ = 0, ∀φ ∈ D (K)º
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
f
Ù
suppf
K ⊂ Ω
Üô
Ù Ðñ
Ò
supp f = Ω\ (∪ {K ⊂ Ω, f |K = 0})
ØÖÓÒ
Æ Ù
f
à Ñ
suppf
ô
ÓÑÔ
غ Ì Ô
ε′ (Ω)º
Úñ ù
ÓÑÔ
غ
Ðñ Ø Ô
ÓÑÔ
Ø ØÖÓÒ
Ô
ô
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ω
Ø
Ø
Ò
f
Ðñ
ô
ÓÑÔ
Ø
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ù
½
Æ
Ú Ý¸
ØÖ Ò
½º È
Ø
ô
Ô
Ô
Ó
Ø
Ò
Ý
D′ (Ω)
Ðñ
Ò
Ò Ð
Ò
D (Ω)
Ô
ØÖ Ò
Ô ØÓôÒ × Ù
ô
ñÑ ×ÙÝ Ö
f, g ∈ D′ (Ω) Ø
Ò
f + g ∈ D′ (Ω)
Üô
Ò
Ø
Ó ÕÙÝ Øú
f + g, ϕ = f, ϕ + g, ϕ , ∀ϕ ∈ D (Ω)
¾º È
Ô Ò
Ó
Ò Ñ
Ø ×
Ú
Ñ
Ø
ñÑ ×ÙÝ Ö
f ∈ D′ (Ω) Úñ λ ∈ R Ø
Ò
λf ∈ D′ (Ω)
Üô
Ò
Ø
Ó ÕÙÝ Øú
λf, ϕ = λ f, ϕ , ∀ϕ ∈ D (Ω)
Î
Ô
D′ (Ω) ØÖ
Ô ØÓôÒ ØÖ Ò Ø
¿º À
ñÑ ×ÙÝ Ö
Ò
À
ñÑ ×ÙÝ Ö
Ò
÷Ò
Ò
Ø
ñÒ
Ñ
Ø
Ò
Ò ØÙÝ Ò Ø Ò
º
Ù
f, g ∈ D′ (Ω)
Ðñ
÷Ò
Ò
Ù Ò Ù
f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ D (Ω)
º
õÓ
Ò
ñÑ
Ò
ñÑ ×ÙÝ Ö
¾º¿º
Æ Ù
ñÑ ×ÙÝ Ö
f ∈ D′ (Ω) , α = (α1 , α2, ..., αn) ∈ Zn+ º
Ó
Dα f, ϕ = (−1)|α| f, Dα ϕ , ϕ ∈ D (Ω)
ñÑ ØÙÝ Ò Ø Ò
õÓ
Ò
Ò
Ô
| f, ϕ | ≤ c φ
α
Ú
ñÑ ×ÙÝ Ö
Ñ
φ ∈ Dk
| Dα f, φ | ≤ c Dα φ
Dα f
Ó
Î
Ñ
Ðñ
ñÑ ×ÙÝ Ö
f ∈ D′ (Ω)¸
Ñ
Dα Dβ f = Dβ (Dα f )
f
Ò
ØÖÓÒ
Ωº Ã
È
Ù Ðñ
Ñ
Ðñ
Dα f
Ø
N
≤c φ
N +|α|
Ò
α, β ∈ Zn+¸
Ø
Ò
Ø
Dα+β f =
½
Î
¾º
Ý
Ö
º ÀñÑ À
Ú ×
1, x > 0
H (x) =
0, x ≤ 0
H : R → {0, 1}, Ω = Rº
H ∈ D′ (R) Úñ H (x)
Ò
Ì
Ø
Ý
ò Ø
H (x) ∈ L1loc (R)
Ô
Ò
H (x) φ (x) dx =
H, φ =
RÒ
−∞
ñÑ ×ÙÝ
Ò
φ (x) dx
0
Dα H, φ = (−1)|α| H, Dα φ , φ ∈ D (R)
Ò
+∞
+∞
Ì
ØÖ Ò
Üô
Ý
+∞
DH, φ = (−1)1 H, Dφ = −
−∞
+∞
0
=−
−∞
H (x) Dφ (x) dx
0.Dφ (x) dx −
0
+∞
1.Dφ (x) dx = −
1.Dφ (x) dx
0
= φ (0) = δ, φ , ∀φ ∈ D (R)
= φ (x)|+∞
0
DH = δ
Î Ý
Î
¾º
f
º ÀñÑ
Ðñ
ñÑ
f : R∗ → R Ú
Ò
ØÖ Ò
f (x) = log |x| Ì
ò Ø
Ô
Ú
Rº
Ó
f
x → log |x|
Ðñ Ñ
Ø
+∞
f, φ =
−∞
Ì
Ø Ò
Df º
Ò
ÒñÝ Ø
f (x) φ (x) dx, ∀φ ∈ D (R)
Ò
Ù
1
º
x
Ì
Dα f, φ = (−1)|α| f, Dα φ , ∀φ ∈ D (R)
ñÑ ×ÙÝ Ö
Ò
½
Æ Ò
+∞
Df, φ = (−1)1 f, Dφ = −
−∞
+∞
log |x| Dφ (x) dx
=−
−∞
0
+∞
=−
log |x| Dφ (x) dx −
−∞
ε→0
−∞
Ô
Ò Ø
u = log |x|¸ dv =
Ø
Ù
log |x| Dφ (x) dx
0
−ε
= − lim+
Ø
f (x) Dφ (x) dx
ε
Dφ (x) dx
Úñ ôÔ
−ε
= lim+
ε→0
+∞
φ (x)
dx +
x
−∞
Ò
ε
Ò
Ø
Ø
Ø
Ò
D′ (R) \L1l og (R)º
ô ØÖ
lim+
ε→0
Ò
Ø
Ò
−ε
−∞
Ø
Ø
Ø
φ(x)
x dx
Ø
Ò
Ô
+∞
+
1
x
Ò
−∞
ε
ε
φ (x)
dx +
x
ñÑ
1
x
õÒ
∈ D′ (R)
φ(x)
x dx
ε
+∞
+∞
1
x
Ò
Ò
−ε
Ý
ε→0
Ò
ØÖ Ò Ø
Ðñ
Ô
Ò Ø
Ò
φ (x)
dx
x
φ (x)
dx
x
lim+ [φ (ε) − φ (−ε)] log ε = 0¸
Ù Ø
Ò
ε→0
Æ Ò
log |x| Dφ (x) dx
log |x| Dφ (x) dx +
Df, φ = lim+ [φ (ε) − φ (−ε)] log ε +
ÌÖÓÒ
+∞
φ(x)
x dxº
Ò
Ø
Ðñ
Ø
Ô
Ù
L1loc (R)º
Òº ÌÙÝ Ò
Dlog |x|¸
+∞
Ù
−∞
Ò
Ø
φ(x)
x dx¸
Ò
Ù
½
¾º¾º
Ã
Ò
Ò
ô
ñÑ ×ÙÝ Ö
Ò
Ò
Üô
Ú
¾º
Ò
Ò
º Ã
Ø
Ò
Ø Ô
ô
ñÑ
Ò
òÑ Ò
f
ñÑ ×
Úñ
Ò
Ò
ô
Ñ
S (Rn ) Ðñ
Ò
Ò
ØÖ Ò
Ò
Rn
Ò ØÙÝ Ò Ø Ò
× Ó
Ó
C0∞ (Rn )
ÓÒ
xα Dβ f (x)
Ò ØÖ Ò
Rn
α, β ∈ Zn+º
Ñ
S (Rn ) = f ∈ C ∞ (Rn ) | xα Dβ f (x) < cα,β , ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Z+n
Ã
Ò
Ò
S (Rn )
ØÖ Ò
f
ô
Ô
Ò Ø
S (Rn )
ô
= sup xα Dβ f (x) , ∀α, β ∈ Z+n .
α,β
x∈Rn
S (Rn )
Ò
Ò
ô
Ðñ
Ðñ
ô
ñÑ
¾º
Ò
f (x) = xn e−x
º ÀñÑ ×
Ò
¾º
º
ô
Ô
ô
ñÑ ×ÙÝ Ö
Ò
Ø Ò
Ø Ò
Ñ
Î Ý
ØÖ Ò
S (Rn )¸ Ò
Ðñ
Ðñ Ð
Ò Ø
Å Ò
Úñ
¾º½º
ô
Ò
Ò
Ò
T ∈ S ′ (Rn )º
òÑ Ò
Ò
S (R) Ú
Ð
Ò
º Ã
Ò
Ò
Ðñ
º
n ∈ Z+
Ñ
Ò Ø
ØÖ Ò
Ò ØÙÝ Ò Ø Ò
S (Rn )
ô
ñÑ ×ÙÝ Ö
Ò
S ′ (Rn )
ñÑ
T : S (Rn ) → C Ð
T (fn ) → T (f ) ØÖ
S (Rn )¸ Ø
Ð
Ò Ø
Ø
Üõ ØÙÝ Ò Ø Ò
|T (f )| ≤ f
Ø
T (fn) − T (f ) = T (fn − f )
(fn − f ) → 0 ØÖ
Ò
Úñ
ñÑ
Ù
ñÑ ØÙÝ Ò Ø Ò
Ѻ Ã
Ù Ðñ
T ∈ S ′ (Rn )
¾º½º Ì
Ñ
Ø
ñÑ
òÑ Ò
2
Î
Ù Ò
Ø
Ý Ñ
Ò
Ò Ø
Úñ
Cº
Úñ
fn → f
Ø ôÒ
ØÖ Ò
α,β , ∀f
S (Rn )
Üõ ØÙÝ Ò Ø Ò
ØÖ Ò
0 ∈ S (Rn )º
T : S (Rn ) → S (Rn ) Ø
∈ S (Rn ) , ∀α, β ∈ Z+n
fn → f
ÑóÒ
Úñ
S (Rn )
¾¼
Ò
Ñ Ò
¼º Ì
ôÔ
º
Ø Ú Ý¸ Ò Ù
n → ∞¸ Ò
´¾º½µ¸
fn → 0 ØÖ
Ðñ
T
Ò
Ð
Ò
Ø
S (Rn ) Ø
fn
Ò
α,β
Ò
T
Ñ Ò
Ð
Ò Ø
Øõ
→ 0 Úñ T f ≤ f
α,β
→0
Ò Ø
ØõÓ ¼º
T ∈ S ′ (Rn )º
Î Ý
Ò
Ò
Ò
¾º
º
Î
k, m ∈ Z+ , f ∈ S (Rn )º
Ñ
f
=
k,m
f
Ø
α,β
|α|≤k
|β|≤m
Ù Ò ÒñÝ ØÖ Ò
(k ′′ , m′′ ) Ø
S (Rn )
fn − f
¾º¾º
Ò
f
Ò
Å Ò
Ò
Ø
Ò
α,β
→ 0Ú
Ò
Ø Ô
Å Ò
Ñ
ñÑ ØÙÝ Ò Ø Ò
Úñ
k,m , ∀f
¾º¿º
Ó
Ø
Ñ
(k ′, m′ ) Úñ
∈ S (Rn )
Å Ò
ñÑ ×ÙÝ Ö
ØÖ Ò
Ì ØÖ Ò
Ú
ôÒ
Ò
Ø
Ò
Ò
Ñ Ò
Üõ ØÙÝ Ò Ø Ò
℄ ØÖ Ò
º
k,m
S (Rn ) Ðñ
→ 0
Ðñ Ñ
k, m ∈ Z+
Ñ
Ñ
ØÖÓÒ
k,m
S (Rn )
g (x) f (x) dx
ØÖ Ò
fn
Ú
∈ S (Rn )
g ∈ L2 (Rn ) Ø
fn − f
Úñ
ñÑ ØÙÝ Ò Ø Ò
c>0
Ò Øõ
Tg : f →
S (Rn ) Ðñ
Ñ
T (fn ) → 0
Úñ
Ø Ô
Ñ
|T (f )| ≤ c f
ØÖ Ò
Ðñ Ú
k,m , ∀f
α, β ∈ Zn+
Ñ
Ðñ Ñ
Ñ
¾º¾º Å
Ø
≤ f
k ′′ ,m′′
k, m ∈ Z+º
Ö
Ò ¸ Ò
ÑóÒ
k ′ ,m′ ,
k, m ∈ Z+ ¸ Ò
Ñ
×ÙÝ Ö
f
Ø
(k, m) Ññ k ≥ max {k ′, k ′′ } , m ≥ max {m′ , m′′ }º
Ñ
0Ú
(k, m) Ø
Ø Ò Øõ
max
Ú
Ø Ò
Ø
Ú
→
ñÑ
Ñ
ñÑ ×ÙÝ
Ø
ÑóÒ
Ò ¿
Ò
ÓÙÖ Ö
¿º½º
Ò
Ò
Ðñ
Ò
ÓÙÖ
Ò
¿º½º
ñÑ ×
Üô
ÓÙÖ
Ö
Ð
Ð
¿º½º
Ò Ø
Ø
Ò
ò ×
f ∈ L1 (R) Ø
Ò Ú
¼ Øõ
Ú
Ñ Ò
º
¼
Ø
øÒ
Ù Ø
n → ∞º Î
Ó
f
Ð
Ff
Ý
f
Ø
e−iλt f (t) dt, λ ∈ R.
−∞
f ∈ C0 ¸ Ú
∞
Ú Ý
Ò Ø
º
Ô
Ò
Ò
ô
ñÑ ×
1
f 1.
≤√
2π
×ÙÝ ØÖ
Ø
Ò
C0 Ðñ
Ò Ò
Ô Ø
1
f (tn ) − f (t) ≤ √
2π
ÀñÑ
Ù Ðñ
+∞
º À
f
Ò
f ∈ L1 (R)¸
ñÑ
Ò
1
f (λ) = √
2π
Ò
L1 (R)
Ö ØÖÓÒ
ØÖ Ò
f (tn ) → f (t)
Ò
tn → t Ø
´¿º½µ
+∞
−∞
|f (x)| e−itx dx.
|f (x)| Úñ
Ò
Ó
¾½
Ò
Ò
Ð
Ú
×
Ø Ø Ò
Ø
Ñ Ø
Òº
¾¾
Î
ñÑ ×
x → h (x)¸ Ø
Ù
√
2π f (t) = −
hα
Ðñ
x → h (x − α)º Ã
ñÑ ×
+∞
f (x) e−it(
x+π
t
) dx
−∞
+∞
f πt (x) e−itx dx.
=−
−∞
ËÙÝ Ö
√
2 2π f (t) =
+∞
−∞
+∞
f (x) − f πt (x) e−itx dx ≤
≤ f − f πt
f →0
ËÙÝ Ö
¿º½º Æ Ù
1
−∞
f (x) − f πt (x) dx
, ∀t ∈ R (t = 0) .
t → ∞º
f ∈ Lp (R) , 1 ≤ p < ∞ Ø
Ú
Ñ
y ∈ R ôÒ
Üõ
F :R → Lp (R)
y → f (y)
Ð
Ò Ø
Ò
Ð
Ùº
¿º¾º Æ Ù
f ∈ L1 (R) Úñ f ∈ L1 (R) Ø
1
g (x) = √
2π
Ã
Æ
Ø
f (x) = g (x)
Ù
ñÑ
g
Üô
Ò
f (λ) eixλ dλ.
R
úÔ Ò
ØÖ Ò
Rº
Ò ÜØ ¿º½º
1
f=√
2π
1
=√
2π
R
1
eixλ f (λ) dλ = √
2π
e−ixλ f (λ)dλ = f
R
e−i(−x)λ f (λ) dλ = f (−x) .
R
¾¿
Î
¿º½º
Ì
Ó
ñÑ
x, −1 ≤ x ≤ 1
2 − x, 1 < x ≤ 2
f (x) =
0, |x| > 2
−x − 2, −2 ≤ x < −1
1
f (λ) = √
2π
+∞
e−ixλ f (x) dx
−∞
−1
1
=√
2π
e−ixλ (−x − 2) dx +
−2
Ñ Ø
1
e−ixλ xdx +
1
−1
e−ixλ (2 − x) dx .
ô
−1
−2
e−ixλ (−x − 2) dx = −
−1
e−ixλ (x + 2) dx
−2
= −
−e−iλx
(x + 2)
iλ
−1
−1
−1
+
−2
−2
−ixλ −1
e
e−iλx
(x + 2) + 2 2
iλ
iλ
−2
eiλ eiλ e2iλ
=
− 2 +
.
iλ
λ
4
=
Úñ
2
1
−ixλ
e
−1
−2
e−iλ eiλ e−iλ
eiλ
xdx =
−
−
+
.
iλ
iλ i2 λ2 i2 λ2
e−ixλ
dx
iλ
ắ
ắ
ẩ
ễ
ề
ề
ề
ụ
ề
ề
ểệ
ủẹ
ủẹ
ũẹ ề
ũẹ ề
L2 (R)
ệ ỉệểề
S (R) éủ ỉệ
ề
ề
f : R C, f C , sup xm
S (R) =
xR
í éủ
ụ
ẹ ề
ề
ẵ
ề
ểệ
ề
ệ
f () = (2)
ể ễ
Ff
ỉệểề
n
2
L2 (R)
ẹ ỉ ỉệểề
dl
f (x) < , m, l
dxl
ề ềủí
S (R)
ĩụ
ề
ề
ỉ
eix f (x) dx, R.
R
ỉ
ụ
ỉệ
ề é
ề
ẹ ề
ề ỉ
è ỉ
ễ ũ éủ ẹ ỉ
í
ề ẹ
ề
ề
ỉ
ứề
L2 (R) L2 (R)
S (R) éủ ẹ
í ệữề
ề
ỉ
ỉ
ề
ề
í
ề
ề ẹ ỉệ
ẹ ỉ
ề ỉệ ề
ề
ề
ề
=
k
f
ề ề
ề
ề
S
dp
.
sup x
dxq
xR
p
p+qk
S (R)
ề
ề
à
f
ẻ íá
ỉ
k éủ ẹ ỉ
ề
ề
ề
à
ề
ỉ
ề
ề
ề
d (f, g) =
k=1
ề
ẹ ề
ẵà ỉ
ắ ặ
f
k
ễ ũ éủ ẹ ỉ
ềà ẹủ éủ ẹ ỉ ẹ ỉệ
f g k
.2k , [0, ).
1+ f g k
ẹúề
éủ ẹ
ỉ
ỉ
ỉ
ểũề
ụ
ỉ
ỉ ẹ
ềá
d (f, g) =
éủ ẹ
ứề
f g
1+ f g
ụ
ỉ
ẵà
ì
ắ
ề
ề
ắ ủẹ ìí ệ
ề
éủ ẹ
ỉ
ủẹ ỉí ề ỉ ề
ề
u : S (R) C.
è
ỉ
í
V L2 (R)á ĩụ
u, f =
f (x) u (x) dx,
.
L (R) S (R) = {u : S (R) C}
0 : S (R) Cá
ắ
H=
ủ
0 (f ) = f (0)
1, x 0
0, x < 0
H (f ) =
y
S (R)
èệểề
d
df
H (f ) = H
dx
dx
F
ỉ
ỉ
ẹ
ệ
ề
ỉ
ẹ
ỉ ỉ ễ
=
ễ ỉệ
df
= f (0) = 0 (f ).
dx
0
ẹ ỉ ỉệểề
L2 ủể L2 á
í
á
ề
í ệữề
ặ
fn S (R) , fn f á ỉệểề L2 (R) ỉ
fn fm
ẻ
f (x) dx, f S (R)
f Hdà =
R
ỉ
df
du
(f ) = u
dx
dx
R
2
ẻ
ề
íá ễ
ễ
2
F
ề
= 2 fn fm
L2
ỉệểề
ỉ
F fn = f
2
ỉ
ẹúề
ề ỉừ
0, n .
ĩụ
ề
F f = lim fn ; f = lim fn , fn S (R) .
n
n
ẻ
íá
ậ
ỉệ
ẹ ỉ
ặ
F : S (R) S (R) L2 (R)
ể
ề
ụ
í
ề
ẹ ề
ủẹ
ề
ụ
ềủíá
f n Sn
ể ẹ
fn f, n
ề
ủẹ ậ
ỉ
ề ễ
ệỉị
ũ
f L2 (R)
ề
ẹ ề
ì
ỉ
ẹ
ỉ
¾
Ò
Ð
¿º¿º Æ Ù
fn′ → f, fn′ ∈ S ¸
lim fn = lim fn = f
n→∞
n→∞
Ø
Ff
Ò
Üô
Ñ Ò
º
Ò
ÙÝ Ò
fn′ → f, ⇒ fn′ − fn → 0 ØÖÓÒ L2 (R)¸ Ø
f ′n − f
Ò
Ñ Ò
½
fN → f
Ì
Ð
Æ Ù
L2 (R)
Ø Ú Ý
2
= (2π) f ′n − f
S (R) Ðñ ØÖ
Ö÷Ò
Ò
ØÖÓÒ
L2 (R)º
Ø ØÖÓÒ
Ñ Ø ØÖÓÒ
f ∈ L2 (R)
Úñ
N → ∞º
2
Ù Ö÷Ò
→ 0.
L2 (R)º
Ñ Ø
Ó ¾
f (x) , |x| ≤ N
fN (x)
0, |x| > N
×ÙÝ Ö
0, |x| ≤ N
2
||f − fN | | =
−f (x) , |x| > N
Úñ
f − fN
2
|f (x)|2 dx → 0
=
|x|≥N
N →∞Ú f
¾
Ó
Ò
Ø
Ø
Ù
Æ
Ò
Ò
Ò
Ô
Ò
Ú
Ø
ô
g (y) = f (2Ry)¸
Ò Ò
Ã
Óñ
Ò
ò Ø
Ý
ô
Ø
Ø ÕÙò ØÖÓÒ
×úÔ Ü Ô¸ ØÖ Ò
Ò
g=
ÀñÑ
Ò Ù
ØÖ Ò ØÖÓÒ
L2 (R)
Ðõ
ô
ñÑ
g
×
ØÖ
[−1; 1] , g ∈ L2 (R)º
¸ Ø
Ø ØÖÓÒ
ñÑ
S (R)º
óÝ ØÖÓÒ
Ò
º
ÓÙÖ
Ö
Cneiny
L2 º
C ∞ : gm (y) =
L2 ([−π; π])º
|n|≤m
Cn einy ∈ C ∞ ([−π; π])
Ø
Ò
g
ØÖÓÒ
Ø