Luận văn sư phạm Xây dựng và sử dụng hệ thống câu hỏi nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh

Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng i h c s ph m hà N i 2
Khoa: Sinh - KTNN
-------***------

Lò Th Bích Y n

Xây d ng và s d ng h th ng
câu h i nh m phát huy tính tích c c h c t p c a h c
sinh trong d y h c ph n III: sinh h c vi sinh v t,
ch ng III: Virut và b nh truy n nhi m sinh h c 10 nâng cao 2006
Khoá lu n t t nghi p đ i h c
Chuyên ngành: Ph

Ng

ih

ng pháp gi ng d y

ng d n khoa h c

Th c S Tr n Th H

Hà N i ậ 2007

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
1

ng


Khoá lu n t t nghi p

L ic m n
hoàn thành khoá lu n t t nghi p này, em đã nh n đ
ng h c a các th y cô giáo tr
th y Nguy n V n Hùng ng

c s giúp đ

i h c s ph m Hà N i 2, đ c bi t là

ng

i đã t n tình tr c ti p h

ng d n em. Qua đây

em xin chân thành c m n các th y cô giáo đã t o m i đi u ki n cho em hoàn
thành khoá lu n t t nghi p này.

Hà N i, tháng 05 n m 2007
Sinh viên

T Anh Hoài

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K

2


Khoá lu n t t nghi p

M cl c
Trang
Ph n 1:M đ u

1

Ph n 2: N i dung

3

Ch

3

ng 1: Ki n th c chu n b

1: S g n đúng và sai
2: Sai s t

3

ng đ i và sai s tuy t đ i

7

3: Cách vi t s x p x

8

4: Sai s quy tròn

8

5: X p x ban đ u

9

6: Ma tr n ngh ch đ o

12

7: Ph

15

ng trình phi tuy n tính

Bài t p ch
Ch

ng 1

20

ng 2:Tính g n đúng nghi m c a h pt phi tuy n tính

21

1: Ph

ng pháp l p đ n

21

2: Ph

ng pháp Seidel

26

3: Ph

ng pháp l p Newton-Raphson

32

Ch

ng 3: Bài t p v n d ng

37

Ph n 3: K t lu n

50

Tài li u tham kh o

51

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
3


Khoá lu n t t nghi p

Ph n 1: M đ u
Gi i tích s là m t ngành khoa h c đã có t lâu, nh ng t khi máy tính
đi n t ra đ i ngành khoa h c này phát tri n r t nhanh, nh m xây d ng nh ng
thu t toán đ n gi n, có hi u l c, gi i k t qu b ng s nh ng bài toán c a khoa
h c k thu t trên máy tính. Vì v y, ngày nay v i vi c s d ng r ng rãi máy vi
tính trong các c quan, xí nghi p, các ki n th c c a môn h c "gi i tích s "
càng tr nên h t s c c n thi t.
Gi i tích s là m t l nh v c toán h c r t r ng, nó nghiên c u lý thuy t
x p x hàm, gi i g n đúng m t l p các bài toán, các ph
g p…

c bi t gi i tích s

đúng các bài toán th c t đ

chuyên nghiên c u các ph

ng trình th

ng

ng pháp s gi i g n

c mô hình hoá b ng ngôn ng toán h c.

có l i gi i g n đúng cho b t k bài toán nào c ng đòi h i ph i có các
d ki n c a bài toán và sau đó là xây d ng mô hình bài toán, ti p theo là công
vi c tìm thu t toán h u hi u nh t và cu i cùng vi t ch

ng trình đ máy tính

tính toán cho ta k t qu g n đúng. Khi gi i bài toán th c t ta đ u ph i làm
vi c tr c ti p ho c gián ti p v i các s li u ban đ u. Chính vì v y không tránh
kh i các sai s , tuy r t nh nh ng nh h

ng tr c ti p đ n k t qu tính toán.

Vì v y c n ph i s d ng các thu t toán h u hi u đ gi m thi u s sai s đ ng
th i ti n l i cho vi c l p trình ti t ki m s l
toán. V n đ tìm g n đúng nghi m c a h ph

ng các phép tính, th i gian tính
ng trình phi tuy n có ý ngh a

lý thuy t và ng d ng r t l n, là c s c a môn gi i tích s .

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
4

Khoá lu n t t nghi p

V i ni m yêu thích b môn " Gi i tích s " em đã l a ch n đ tài cho
khoá lu n t t nghi p c a em là "M t s ph
ph

ng pháp gi i g n đúng h

ng trình phi tuy n".

Khoá lu n đ

c chia làm 3 ph n:

Ph n 1: M đ u
Ph n 2: N i dung
Ph n 3: K t lu n
Ph n n i dung g m 3 ch

ng:

Ch

ng 1: Ki n th c chu n b

Ch

ng 2: Tính g n đúng nghi m c a h ph

Ch

ng 3: Bài t p v n d ng

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
5

ng trình phi tuy n tính.


Khoá lu n t t nghi p

Ph n 2:

N i dung
Ch

ng 1: Ki n th c chu n b
1: S g n đúng và sai s

1. S g n đúng :

Ta nói r ng a là s g n đúng c a s a* n u nh a không sai khác a*
nhi u, hi u s =a*-a g i là sai s th c s c a a, n u  > 0 thì a là giá tr g n
đúng thi u, còn n u  <0 thì a là giá tr g n đúng th a c a a*. Vì r ng a* nói
chung không bi t nên c ng không bi t , tuy nhiên có th th y t n t i  a  0 ,
tho mãn đi u ki n:
a*  a  a

(1.1.1)

S a tho mãn đi u ki n (1.1.1) đ c g i là sai s tuy t đ i c a a, còn
a 

a
là sai s t
a

ng đ i c a s a

Rõ ràng a, a càng nh càng t t.
Chú ý: N u xét đo n th ng AB có s đo a =100m và đo n CD có s đo
b = 10m v i a = b= 0,01m. Khi đó có  a 

0,01
0,01
và  b 
v y b=10a
100
10

và phép đo AB chính xác h n phép đo đo n th ng CD. T đó ta th y đ chính
xác c a 1 phép đo th

ng đ

c ph n ánh qua sai s t

2. Làm tròn s và sai s c a phép làm tròn s :

Xét m t s th p phân d ng t ng quát:

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
6

ng đ i.


Khoá lu n t t nghi p
a  ( p .10 p  ...   i .10 i  ...   p  s .10 p  s )

(1.1.2)

Trong đó j  N,  j, ap  0, 0  aj  9
N u (p-s)  0 thì a là s nguyên; n u (p-s) = - k (k > 0) thì a có ph n l
g m k ch s , n u (p-s)   thì a là s th p phân vô h n.
Làm tròn s a là b đi m t s các ch s bên ph i c a s a đ đ

c a

g n h n và g n đúng v i s a.
Quy t c làm tròn: xét s a

d ng (1.1.2) và ta s gi l i đ n b c th i,

ph n b đi là  thì:
  ( P .10 p  ....   i 1 .10 i 1   i .10 i )

Trong đó:
1

2

1
2

 i  0    .10 i ho c   .10 i khi   2
i 
1
2

1
2

 i 1    .10 i ho c   .10 i khi  i  2  1,   Z

Ta ký hi u sai s c a phép làm tròn là a, nh v y a  a  a , rõ ràng
1
2

là a  .10 i
Vì a *  a  a *  a  a  a   a  a , do đó khi làm tròn thì sai s tuy t đ i
t ng thêm a

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
7


Khoá lu n t t nghi p
3. Ch s có ngh a, ch s ch c:

d ng (1.1.2) ngh a là đ

Xét s a

c vi t d

i d ng th p phân, khi đó,

ch s có ngh a là m i ch s khác 0 và nh ng ch s 0 b k p gi a hai ch
s khác 0 ho c nó là nh ng ch s 0
Xét s a

hàng đ

c gi l i.

d ng (1.1.2)

a  ( p .10 p  ...   i 10 i  ...   p  s .10 p  s )

Ch s j

(1.1.2) c a s a là ch s ch c n u:

 a  .10i ,  là tham s cho tr

Tham s  s đ

c

c ch n đ sao cho m t ch s v n là ch c thì sau khi

làm tròn v n là ch s ch c thì ai+1 c ng là ch s ch c.
a  ( p .10 p  ...   j .10 j  ...   p  s .10 p  s )

4. Sai s tính toán:

Gi s ph i tìm đ i l

ng y theo công th c:

y=f(x1, x2,…, xn)
G i x*= (x1*, x2*,…,x*n), y*= f(x*) là giá tr đúng còn x = ( x1, x2,
…xn), y=f(x) là giá tr g n đúng y*,  x  xi*  xi gi s f(x1, x2, …, xn) là
i

hàm s kh vi liên t c thì:
n

 y  y  y*  f ( x1 , x2 ,..., xn )  f ( x1* , x2* ,..., xn* )   f x'i . xi  xi*
i 1

V i f x' là đ o hàm theo xi tính t i đi m trung gian vì f là kh vi liên
i

t c,  x khá bé nên:
i

n

 y  i1 fx' ( x1 , x2 ,..., xn )  x
i

i

(1.1.3)

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
8


Khoá lu n t t nghi p

y n 
.ln f . x

y i 1 xi

V y y 

i

(1.1.4)

a) Sai s c a phép toán c ng tr
n

n

i 1

i1

N u y   xi thì y x' i  1, vì v y ta có:  y    xi
n

y

i 1

y

Chú ý r ng n u t ng đ i s y   xi bé v giá tr tuy t đ i thì

l n,

phép tính s kém chính xác. Ta kh c ph c b ng cách tránh công th c đ a đ n
hi u c a hai s g n nhau.
b) Sai s c a phép toán nhân, chia:
n

Gi s , y 

x

i 1
q p

i

x
i 1

áp d ng (1.1.3) và (1.1.4)

p i

Ta có:
 y   x  ....   x và  y  y . y
1

q

c) Sai s c a phép tính lu th a:
Xét y  x (  R,x  0) , khi đó  y   . x
Nh v y, n u  >1 thì đ chính xác gi m đi, n u  <1 thì đ chính xác t ng
lên. N u  =-1 (phép ngh ch đ o) thì đ


chính xác là không đ i, n u

1
, k  N * (phép khai c n) thì đ chính xác t ng lên.
k

d) Sai s c a phép tính Logarit:
Xét y = lnx, ta có  y   x
5. Bài toán ng

c c a sai s :

Gi s đ i l

ng y đ

c tính theo công th c:

y =f(x1, x2,…, xn). Yêu c u đ t ra là c n tính  x nh th nào đ  y   ,
i

và  là cho tr c. Theo bi u th c t ng quát c a sai s tính toán, ta ph i có:
SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
9


Khoá lu n t t nghi p
n

 y  i1

f
. x  
xi
i

B t đ ng th c trên s tho mãn n u  x 
i


n. fx'

i

K t lu n: N u các bi n xi có vai trò "đ u nhau" thì ta có th

x 
i

l y


khi đó  y  
n. fx'
i

2 : Sai s t

ng đ i và sai s tuy t đ i

1. Sai s tuy t đ i:

Trong tính toán, th

ng ta không bi t s đúng A mà ch bi t s g n đúng

c a nó là a. Lúc đó ta nói "a x p x A" và vi t " a  A " .

l ch h=A - a đ

c

Vì không bi t A nên ta c ng không bi t h. Tuy nhiên ta có th tìm đ

c

g i là sai s th c s c a A.

s d

ng  a  h sao cho a   a  A  a   a .
S  a bé nh t mà ta có th xác đ nh đ

c g i là sai s tuy t đ i c a a.

N u s x p x c a A có sai s tuy t đ i là  a , ta vi t:
A a  a

V i ngh a a -  a  A  a   a
2. Sai s t

T s

(1.2.1)
(1.2.2)

ng đ i

a 

a

a

(1.2.3) g i là sai s t

ng đ i c a a.

Ta suy ra  a  a . a (1.2.4). Do đó (1.2.1) có th vi t thành: A  a (1   a )
Công th c (1.2.3) và (1.2.4) cho ta liên h gi a sai s tuy t đ i và sai s
t

ng đ i.

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
10


Khoá lu n t t nghi p

3 : Cách vi t s x p x
1. Ch s có ngh a:

M t s vi t

d ng th p phân có th g m nhi u ch s , nh ng ta ch k

các ch s khác 0 đ u tiên tính t trái sang ph i là các ch s có ngh a. Ch ng
h n s 1,35 có 3 ch s có ngh a.S 0,0310 c ng có 3 ch s có ngh a.
2. Ch s đáng tin:

M i s th p phân a đ u có th vi t d

i d ng: a   s.10s (1.3.1)

Trong đó s là nh ng s nguyên t 0 đ n 9. Ch ng h n s 28,134 vi t là:
28,134 = 2.101 + 8.100 +1.10-1 + 3.10-2 + 4.10-3
T c là a có d ng (1.3.1) v i 1= 2; 0= 8; -1= 1; -2= 3; -3= 4; ch s
s

(1.3.1) c a ch s a là ch s đáng tin (ch s ch c) n u  a  0,5.10 s .
N u  a > 0,5.10s thì nói s là ch s đáng nghi.

3. Cách vi t s x p x :

Cho a là giá tr x p x c a A v i giá tr tuy t đ i  a
Cách th nh t là vi t kèm sai s nh công th c (1.2.1)
Cách th hai là vi t theo quy

c m i ch

s có ngh a đáng tin.

M t s vi t theo cách th 2 có ngh a là nó có sai s tuy t đ i không l n
h n m t n a đ n v hàng cu i cùng.
4 : Sai s quy tròn
1. Hi n t

ng quy tròn và sai s quy tròn:

Trong tính toán, khi g p m t s có quá nhi u ch s đáng nghi, ng
th

ng b đi m t vài ch s cu i cho g n. Vi c làm đó g i là quy tròn s .

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
11

i ta


Khoá lu n t t nghi p

Vi c quy tròn s s t o ra sai s m i g i là sai s quy tròn b ng hi u s
gi a s quy tròn và s ch a quy tròn. Tr tuy t đ i c a hi u này đ

c g i là

sai s quy tròn tuy t đ i.
Quy t c quy tròn ph i ch n sao cho sai s quy tròn tuy t đ i càng bé
càng t t. Ta ch n quy t c sau đây : quy tròn sao cho sai s quy tròn tuy t đ i
không l n h n m t n a đ n v

hàng đ

c gi l i cu i cùng, t c là 5 đ n v

hàng b đi đ u tiên. C th là n u ch s b đi đ u tiên l n h n ho c b ng 5
thì thêm vào ch s gi l i cu i cùng m t đ n v , còn n u ch s đ u tiên nh
h n 5 thì đ nguyên ch s gi l i cu i cùng.
2. Sai s đã quy tròn:

Gi s a là s x p x c a s đúng A v i sai s tuy t đ i  a . Gi s ta đã
quy tròn a thành a' v i sai s quy tròn tuy t đ i là a , t c là: a '  a   a
Bây gi tính  a c a a', ta có : a'-A = a'- a + a - A
Suy ra a '  A  a '  a  a  A   a   a
V y có th l y  a '   a   a
Rõ ràng  a '   a , t c là vi c quy tròn làm t ng sai s tuy t đ i. Do v y
sai s quy tròn có th có tác h i trong quá trình tính toán.
5 : X p x ban đ u
Thông th

ng quá trình tìm nghi m r c a ph

đây f(x) là m t hàm th c m t bi n x, đ
ph n x p x ban đ u c a nghi m (th
tinh ch nghi m x p x đó đ có đ

ng đ

ng trình f(x) = 0 (1.5.1)
c chia làm hai ph n. M t là,

c g i là nghi m x p x ). Hai là,

c m t nghi m x p x m i có đ chính xác

mong mu n.
Vi c tìm x p x ban đ u x0 là nghi m r c a ph
là do s đoán d a trên nh ng thông tin v hàm f có đ
SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
12

ng trình (1.5.1) th

ng

c, ho c là b ng cách


Khoá lu n t t nghi p

v đ th tìm đi m x0 sao cho f ( x0 )  0 . Ngoài ra, ta c ng có th tìm x0 d a
vào đ nh lý sau:
N u f(x) là m t hàm th c liên t c trên [a;b], (at i ít nh t m t nghi m r c a f(x) trong kho ng. Vi c tìm m t kho ng [a;b] nh
v yđ

c g i là cô l p nghi m.

Bây gi ta xét m t s thu t toán tìm x p x ban đ u cho nghi m th c c a
ph

ng trình đ i s có d ng:
f(x) = Pn(x) = a0.xn + a1.xn-1 + …+an-1.x + an = 0 (1.5.2)
v i các h s th c ai , i =0,1,2…,n. Ph

ng trình đ i s (1.5.2) nói

chung, có th có các nghi m th c khác nhau ho c nghi m th c kép. N u ta kí
hi u nghi m c a (1.5.2) là các s

r1 , r2 ,....,rn thì Pn(x) có th vi t d

i d ng:

Pn(x) =a0 (x-r1)(x-r2)( x-r3)…(x-rn)
Gi thi t r ng: r1  r2  ...  rn
N u các nghi m ri có môdun khác nhau nhi u, thì x p x ban đ u c a
nghi m có th l y t đ nh lý:
a1
 ri
a0

a2
   ri r j
i j
a0

;

a3
   ri r j rk ;
i  j k
a0

... ;

;

an
 (1) n r1r2 ...rn ;

a0

Vì r1 có môđun l n h n nhi u so v i các nghi m khác, cho nên t đ ng
th c đ u tiên ta có:
r
a1
r
 r1 (1  2  ...  n )
a0
r1
r1

Suy ra a1  r1a0
T đ ng th c th hai c a h trên suy ra:

r .r 
r  r .r
r  r
a2
r
 r1r2 1  3  ...  n    3  ...  n   3 4  ...  n1 n 
r1.r2 
r1  r1.r2
r2   r1
a0
 r2

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
13

Khoá lu n t t nghi p

a 2  r1r2a 0

Suy ra

Quá trình này đ

c ti p t c cho đ n đ ng th c cu i cùng ta đ

a1  r1a0

;

a2  r1r2 a0

a3  r1 .r2 .r3 a0

;

an  r1r2 r3 ...rn a0 ;

a1  r1a0  0

;

a2  r2 a1  0

a3  r3 a2  0

;

an  rn an1  0 ;

;

r2  

c:

;

T đây suy ra:
;

Vì v y:
r1  

a1
a0

a2
;…;
a1

rn  

an
;

an1

Nguyên lý ecart:
N u trong ph

ng trình (1.5.2) hai h s c nh nhau khác d u ta nói r ng

có s đ i d u, n u hai h s c nh nhau cùng d u, ta nói r ng có s gi
nguyên d u.
L u ý r ng
Ph

đây ta ch nói đ n các h s khác 0.

ng trình (1.5.2) đ

c g i là đ y đ n u nó không có h s a nào

b ng 0.
Nguyên lý ecart đ
S nghi m d

c phát bi u nh sau:

ng c a ph

ng trình (1.5.2) b ng ho c kém h n m t s

ch n s l n đ i d u trong dãy h s c a ph

ng trình đó, nh ng h s là s 0

không tính đ n.
S nghi m âm c a ph

ng trình (1.5.2) b ng ho c kém h n m t s ch n

s l n đ i d u trong h s c a ph
N u ph

ng trình f(-x) = 0

ng trình là đ y đ , thì s nghi m âm b ng s l n gi nguyên

d u trong h s c a ph

ng trình ho c kém h n nó m t s ch n.

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
14


Khoá lu n t t nghi p

i- tìm nghi m có môđun l n ho c bé nh t c a ph

ng trình đ i s

(1.5.2). Nghi m đ n c a (1.5.2) v i a0=1, có môđun l n nh t c ng có th
đ

c x p x t ph

ng trình:

x2  a1 x  a  0 ho c x + a1= 0

N u nghi m đ n có môđun l n h n nhi u so v i các nghi m khác thì các
x p x này cho ta k t qu t

ng đ i chính xác. Nghi m có giá tr môđun nh

nh t c a (1.5.2) c ng có th tính x p x t ph

ng trình:

a n2 .xn  a n1 .xn1  a n  0 ho c a n1 .x  a n  0

c đ Horner

ii- l
L

c đ Horner dùng đ chia m t đa th c
a0 xn  a1 xn1  ...  a n1 x  a n

cho m t nh th c x-x0. K t qu sau phép chia s là m t đa th c b c n-1 là
b0 xn1  b1 xn2  ... b n2 x  bn1 và ph n d R, s ch là m t s sao cho tho mãn :





a 0 xn  a1 xn1  ...  a n1 x  a n  ( x  x0 ) b0 xn1  b1 xn2  ...  bn1  R

So sánh các h s c a hai đa th c b ng nhau ta đ

c:

b0 = a0; b1= a0x0; b2= b1x0 + a2
bn-1= bn-2x0 + an-1; R= bn-1.x0 + an
Thông th

ng l

c đ chia đa th c cho m t nh th c đ

c s p x p nh

sau
…

a0

a1

a2

a3

x0

b0x0

b1x0

b2x0 …

b0=a0b1

b2

b3

…

an-1

an

bn-2.x0

bn-1x0

bn-1

R

6 : Ma tr n ngh ch đ o
Ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n vuông A c p n là m t ma tr n, kí hi u

A-1 tho mãn đi u ki n
SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
15


Khoá lu n t t nghi p

A.A-1 = A-1.A = I
Ma tr n A có ma tr n ngh ch đ o A-1 khi và ch khi det A  0 và khi đó ta
có th tìm A-1 b ng cách tính giá tr các ph n bù đ i s

Aij , i, j = 1,2…n sau

đó ta có th áp d ng công th c:
A12 .......... A1n 
 A11
A
A 22 ........... A 2n 
21

1


...............................
A1 
det A 

..............................



 An1
A n2 ........... A nn 

Ngoài ra ta c ng có th áp d ng ph

ng pháp d

i đây hay đ

c dùng

trong khi l p trình tính toán b ng máy tính.
Vi t thêm ma tr n I vào bên ph i c a ma tr n A
 a11 a12  a1n 1 0 0 
a

 21 a 22  a 2 n 0 1 0 

  (1.6.1)
 A, I  



 

 a n1 a n 2  a nn 0 01



B ng phép bi n đ i s c p lên hàng c a ma tr n [A, I] này cho đ n khi ta

đ

c ma tr n d ng:
1 0 0 C1,n 1 C1,n  2 C1,2 n 


0 1 0 C2,n 1 C2,n  2 C2,2 n 
 

 

 (1.6.2)

 
 
0 01 C
Cn,n  2 Cn,2 n 
n , n 1



Khi đó:

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
16


Khoá lu n t t nghi p

C1,n  2 ............. C1,2n 

C1,n 1
C
C 2,n  2 ............C2,2n 
 2,n 1
A1  .................................................


.................................................
C n ,n 1
C n,n  2 .............C n , 2 n 


tìm các thành ph n Cij ta áp d ng công th c vào ma tr n [A, I] sao
cho ma tr n A tr thành ma tr n đ n v . Mu n v y,

b

c l=1,2,...,n-1 ta ph i

chia các thành ph n c a hàng th l cho a ll(l 1) và dùng phép bi n đ i s c p đ i
v i hàng nh th nào đ cho t t c các thành ph n

c t th l b ng 0 tr

all(l-1).

C ng l u ý r ng m i l n chia cho all(l-1) nh v y b t bu c ph i ki m tra all(l-1) .q
có khác không hay không?
C th , sau khi chia hàng th nh t c a (1.6.1) cho a11, t c là ta có
a ij( i ) 

a ij
a11

Ti p theo, nhân hàng đ u c a ma tr n trên v i -a21, sau đó c ng vào
hàng th hai theo t ng thành ph n m t ta đ

c:

a 12 .......a
1
1
0............0 
1n
a 11
a 11


(1)
(1)
(1)
a
a 22 ..........a 2 n
a 2,n 1
1............0 
21

A, I  ...................................................................................
...................................................................................



a n1 a n2 .........a nn
0
0............1 

đây a 2(1j)  a 2 j 

a 2i .a 1 j
a 11

Cách làm này đ

, j =2,3,….., n+1

c áp d ng vào hàng 3,4,…cho đ n hàng cu i cùng là

hàng th n đ cho a31, a41,…, an1 tr thành s 0
Vì v y, v i m i hàng i:
a ij(1)  a ij 

a i1 .a 1 j
a 11

, i= 2,3, …., n+1

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
17


Khoá lu n t t nghi p

Bây gi gi thi t là ta đã đ a đ

c ma tr n v d ng

(l-1)
1

0.............a1l(l-1) ...............a1(nl 1)
a1,n
1...........0


(l-1)
( l 1)
(l-1)
1.............a 2l ...............a 2 n
a 2,n 1............0 
0
......................................................................................


( l 1)
0............a (l-1)
a (l-1)
0
nl .................a nn
n,n 1..........1 


cc b nc nđ

Hai b

c ti n hành đ i v i ma tr n này là:

1.V i m i hàng th l, chia t t c a lj(l 1) cho a ll(l 1) , j = l, l+1, …, n+l
2. V i m i i = 1, 2, ..., n, i  1 thay a lj(l 1) b ng :
a

(l )
ij

a

( l 1)
ij



a ik(l 1) .a lj(l 1)
a ll(l 1)

; j = l, l+1, … ,1 + n

Và v n đ tìm A-1 tr thành tìm :
a

(l )
lj



a lj( l 1)
a ll( l 1)

; l= 1, 2, …, n; j = l,…,n+l

a ij(l )  a ij(l 1)  a il(l 1) .a lj(l ) ; i = 1, 2, …, l-1, l+1, …n

j = l, l+1, …, n+l
Thông th
đ

ng i ch s hàng, j ch s c t còn l gán cho giá tr 0 và sau đó

c thay ngay b ng l+1 là ch s c a các ph n t

đ

ng chéo chính hi n

t i. Nên thay a ll(l 1) b ng Q đ d dàng v i m i l c đ nh các thành ph n
th
a

(l )
lj

l có th

chia cho a ll(l 1) . N u không chuy n all(l-1) đ n ch

a ll( l i )
 ( l 1)  1 s gi nguyên giá tr vì nó ch chia cho 1 thôi.
a ll

7 : Ph
M t s ph
1. Ph

ng trình phi tuy n tính

ng pháp gi i ph

ng trình phi tuy n

ng pháp chia đôi:

Cho hàm s f(x) liên t c trên đo n [a;b] và f(a).f(b) < 0.
SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
18

hàng
Q, thì


Khoá lu n t t nghi p

t  0 = [a;b] và ta chia đôi  0 và ch n  1 = [a1;b1] là m t n a c a  sao

cho f(a1).f(b1)  0.
c th n, ta có  n  a n ; bn    n1  ...  1   0

Nói chung, đ n b

Ngoài ra, ta còn có bn  a n 

(b  a )
 0 khi n   .D dàng th y r ng,
2n

dãy a n  đ n đi u t ng, b ch n trên b i b còn dãy bn  đ n đi u gi m và b
ch n d

i b i a. H n n a do bn  a n 

(b  a )
 0 suy ra a n , bn  r khi n  
2n

Vì f(a).f(b)  0, cho n   ta có  f (r )2  0 suy ra f(r) = 0. T c là r là
nghi m c a ph

ng trình (2.1). Do đó, nghi m x p x xn có th đ

c l y theo

công th c:
xn 

a n  bn
2

(1.7.1)

Ngoài ra, ta còn có đánh giá
0  xn  r 

r  a n bn  r
ba

 bn  a n  n
2
2
2

Do đó, đ tìm x p x xN sao cho:
xn  r   ,suy ra ph i có

ba

2n

T c là ln(b  a )  N ln 2  ln  .Nh v y, ph i ti n hành đ n b
b i:
 ln( b  a )  ln  
N  int eger 

ln 2


2. Ph

ng pháp dây cung

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
19

c l p th N tính


Khoá lu n t t nghi p

Ph

ng pháp chia đôi là l y đi m gi a c a kho ng tr

c a quá trình l p. Ph

c làm đi m m i

ng pháp dây cung, v nguyên t c không khác gì

nguyên t c chia đôi. Ch có đi u là đi m ti p theo c a ph

ng pháp dây cung

không ph i là đi m gi a mà là giao đi m c a hai đo n th ng n i hai đi m
(a,f(a)) và (b,f(b)) v i tr c hoành. D dàng ki m tra đi m c đ

c tính theo

công th c:
c b

f (b).(b  a )
f (b)  f (a )

Có 3 kh n ng x y ra:
i) f(c) = 0, t c là r = c
ii) f(c).f(b)>0 t c là f(c) và f(b) cùng d u, nh v y f(c) khác d u v i
f(a).Suy ra nghi m r n m trong đo n [c;b]. D a vào đó ta có th

tìm đ

c

kho ng [an;bn] ch a nghi m ph i tìm .Khi có kho ng [an; bn] ta tìm cn theo
công th c:
c n  bn 

Ph

f (bn )(bn  a n )
f (b)  f (a )

ng pháp dây cung khác v i ph

ng pháp chia đôi

ch bn- an

không ti n d n đ n 0, vì trong quá trình l p nh v y có th x y ra tr
m t đi m a ho c b không thay đ i.
3. Ph

ng pháp l p đ n

Gi s ta có th đ a ph
x   (x)

ng trình (1.5.1) v d ng:
(1.7.2)

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
20

ng h p


Khoá lu n t t nghi p

Ch n m t đi m b t k thu c kho ng [a;b]. Các x p x ti p theo đ

c tính

theo công th c:
xn1   ( xn ) ; n = 0,1,…

(1.7.3)

Ta có:
N u  (x) là m t hàm kh vi liên t c và
a)  ' ( x)  q  1 ,  x  a; b
b)  ( x)  a; b , x  a; b thì ph

ng trình (1.7.3) có nghi m duy

nh t r trên [a;b], phép l p h i t , h n n a có:
xn  r  q n (1  q) 1 . x1  x0

4. Ph

ng pháp l p Newton - Raphson

X p x ban đ u c a nghi m có th làm vi c t t lên nh ph
xn 1  xn 

f ( xn )
, n = 0,1,2…
f ' ( xn )

(1.7.4)

Công th c này cho phép ta tính đ
giá tr x p x xn.

ng pháp l p:

c giá tr x p x m i xn+1 khi đã bi t

gi m vi c tính toán ta có th dùng ph

ng pháp l p

Newton c i ti n b ng cách thay f'(xn) trong (1.7.4) b ng f'(x0)

nghiên c u kh n ng h i t c a ph
chu i TayLor:

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
21

ng pháp, ta khai tri n f(x) theo


Khoá lu n t t nghi p

f ( x)  f ( xn )  ( x  xn ) 

( x  xn )2
. f "()
2

đây  là m t đi m n m trong kho ng gi a xn và x. Thay x = r, vì r là
nghi m c a f và v i gi thi t r ng f ' ( xn )  0 ta đ
r  xn 

c:

f ( xn ) (r  xn ) 2 f "()

.
f '( xn )
f '( xn )
2

Khi đó ta có:
( xn  r ) 2 . f " ( )
xn 1  r 
2. f ' ( xn )

t En = xn- r, sai s x p x
E n 1

b

c l p th n. Suy ra:

( E n ) 2 f " ( )
.

2
f ' ( xn )

N u E0<1, t c là vi c ch n x p x ban đ u t

ng đ i g n nghi m r, và:

f " ( )

 M1
2. f ' ( xn )

V i M1 là m t s b t k thì ph ng pháp l p Newton - Raphson h i t .
Có th s d ng ph ng pháp này đ tìm ma tr n ngh ch đ o c a m t ma
tr n không suy bi n A. Ta bi t r ng ngh ch đ o c a m t s a là m t s x sao
cho a.x=1. T c là x ph i tho mãn ph
ph

ng trình f ( x) 

ng pháp l p Newton - Raphson tìm nghi m ph
xn 1  xn (2  a .xn )

Ta có th vi t t

a 1
 0 , áp d ng
x

ng trình f(x) = 0 ta đ

c:

n = 0,1,2….

ng t cho quá trình l p tìm ma tr n ngh ch đ o cho ma

tr n A là:
X(n+1) = X(n) (2I - A.X(n)) , n=0,1,2….

V i X(0) là ma tr n ban đ u c a b

c l p. D dàng nh n th y, n u

 X ( n ) và quá trình l p đ
SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
22
AX ( n)  I thì X

( n 1)

c d ng. N u ph

ng trình


Khoá lu n t t nghi p

(1.5.1) có nghi m kép v i b c là  thì công th c (1.7.3) trong tr

ng h p này

có th thay th b ng:
xn 1  xn   .

Và nó đ

f ( xn )
f ' ( xn )

c g i là ph

ng pháp l p Newton - Raphson suy r ng. N u x0

ch n g n v i nghi m r c a (1.5.1) v i b c (   1) và c a f"(x) = 0 v i b c là
(   2) ,…. Cho nên các bi u th c:

x0   .

f ( x0 )
f ' ( x0 )

;

x0  (   1)

f ' ( x0 )
;
f ' ' ( x0 )

x0  (   2).

f " ( x0 )
;
f (3) ( x0)

có cùng giá tr
Vì v y nhi u khi ta có th dùng giá tr này đ tính các giá tr ti p theo.
5. Ph

ng pháp ti p tuy n:

N u trong vòng th c l p Newton - Raphson ta thay f'(xn) b ng bi u th c
x px
f ( xn )  f ( xn 1 )
, n =1,2,3….
xn  xn 1

Trong thu t toán này giá tr x p x m i xn+1 đ
tr tr

c xn-1 và xn. Ph

ng pháp này v m t công th c gi ng nh ph

pháp dây cung nh ng khác
nh t thi t ph i n m

Bài t p ch

ph

ng

ch x0 và x1 ch n b t k nghi m g n r, không

hai phía c a nghi m nh ph

Bài 1: Dùng ph

c xác đ nh nh vào 2 giá

ng pháp dây cung đòi h i.

ng 1

ng pháp chia đôi, tìm nghi m g n đúng c a các

ng trình sau:
a) x3 - x - 1 = 0. Bi t kho ng cách ly nghi m là (1; 2)

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
23


Khoá lu n t t nghi p

b) x3 + 3x2 -3 = 0 v i đ chính các 10-3, bi t kho ng cách ly nghi m là
(-3;-2)
Bài 2: Dùng ph

ng pháp l p, tìm nghi m g n đúng c a ph

ng trình

a) 5x3 - 20x +3 = 0, V i đ chính xác 10-4 bi t kho ng cách ly nghi m là
(0;1)
b) x3 + 3x2 - 3 = 0, v i đ chính xác 10-3 bi t kho ng cách ly nghi m là
(- 2,75;-2,5)
Bài 3: Dùng ph

ng pháp dây cung, tìm nghi m g n đúng v i đ chính

xác 10-2 c a:
a) x3 + 3x + 5 = 0
b) x4 - 3x + 1 = 0
Bài 4: Dùng ph
ph

ng pháp l p Newton - Raphson tìm nghi m c a các

ng trình
a)

x3 - 2x - 5 = 0

b)

x5 + 5x + 1 = 0

c)

x3 - 5x + 3 = 0
Ch

ng 2

Tính g n đúng nghi m c a h ph
Cho h ph

ng trình phi tuy n

ng trình phi tuy n

f1(x1,x2, …., xn) = 0
f2(x1,x2, …., xn) = 0

(2.1.1)

f3(x1,x2, …., xn) = 0
……………………
fn(x1,x2, …., xn) = 0
đây fi và các đ o hàm riêng c a chúng cho đ n b c hai đ
liên t c và gi i n i
SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
24

c gi thi t là


Khoá lu n t t nghi p

ng pháp l p đ n

1 : Ph
1. Ph

ng pháp l p đ n

Tr

c tiên ta đ a h (2.1.1) v d ng:
x1 =g1(x1, x2,…, xn)
x2 =g2(x1, x2,…, xn)

(2.1.2)

……………………
xn =gn(x1, x2,…, xn)
N u có:
g1 g1
g

 .....  1  1
x1
x2
xn

,

g 2
g 2
g 2
1 ,
 ..... 

xn
x2
x1

……………………
g n
g n
g n

1 ,
 .... 
x1
xn
x2

T i lân c n c a nghi m r = (r1, r2, …., rn) thì ph
x(k+1) = g(x(k))

(2.1.3)

h i t đ n nghi m c a h ph
x( k 1)

 x1( k 1) 
 ( k 1) 
x
 2 
 ....... 
 ( k 1) 
 xn 

2. Cách gi i h ph

Cho h ph

ng pháp l p đ n :

,

ng trình (2.1.1),
 g1 
g 
g   2
.... 
 
gn 

ng trình phi tuy n hai n

ng trình phi tuy n:

SVTH: T Anh Hoài - L p K29K
25

đây