Bài tập trắc nghiệm khoảng cách có đáp án và lời giải

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

TOÁN 11
KHOẢNG CÁCH

1H3-5

Contents
A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ..................................................... 1
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG ................................................................................... 3
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên.............................................................................. 3
Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng ........................................................................................ 6
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .......................................................................................... 11
B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 18
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ................................................... 18
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG ................................................................................. 22
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên............................................................................ 22
Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng ...................................................................................... 34
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .......................................................................................... 54

A. CÂU HỎI
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 1.

Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy là a 2 và tam giác SAC đều. Tính độ dài cạnh
bên của hình chóp.
B. a 2 .

C. a 3 .
D. a .
A. 2a .

Câu 2.

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có
AC  3a, BD  4a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết AC vuông góc BD . Tính
MN .
a 7
a 5
5a
7a
A. MN 
.
B. MN 
.
C. MN 
.
D. MN 
.
2
2
2
2

Câu 3.

(Ngô Quyền - Hải Phòng lần 2 - 2018-2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh
a , SA   ABC  , góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  SBC  là 60  . Độ dài cạnh SA bằng

A.

Câu 4.

3a
.
2

B.

a
.
2

C. a 3 .

D.

a
.
3

(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Cho hình lăng trụ
ABC. ABC  có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 .
Hình chiếu H của A trên mặt phẳng  AB C   là trung điểm của BC  . Tính theo a khoảng cách
giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ ABC. ABC  .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
1

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A.

a
.
2

B.

ĐT:0946798489

a
.
3

C.

a 3
.
2

D.

a 2
.
2

Câu 5.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AD  2a , CD  a , AA '  a 2 . Đường chéo AC '
có độ dài bằng
A. a 5 .
B. a 7 .
C. a 6 .
D. a 3 .

Câu 6.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có AD  2a , CD  a , AA  a 2 . Đường chéo AC  có
độ dài bằng:
A. a 5 .
B. a 7 .
C. a 6 .
D. a 3 .

Câu 7.

(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có tam giác
ABD đều cạnh bằng 2 , tam giác ABC vuông tại B , BC  3 . Biết khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau AB và CD bằng
A.

Câu 8.

2.

B. 2 .

11
. Khi đó độ dài cạnh CD là
2
C. 1.

3.

D.

Cho hình bình hành ABCD . Qua A, B, C , D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz , Dt cùng
phía so với  ABCD  song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng  ABCD  . Một mặt phẳng

   lần lượt cắt các nửa đường thẳng Ax, By, Cz , Dt tại A, B , C , D thỏa mãn
AA  2, BB  3, CC   4 . Hãy tính DD.
A. 3.
B. 7.

Câu 9.

D. 5.

(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều cạnh bằng 2 , tam
giác ABC vuông tại B , BC  3 . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD
bằng
A.

Câu 10.

C. 2.

11
. Khi đó độ dài cạnh CD là
2
2.
B. 2 .

C. 1.

D.

3.

(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có độ dài cạnh đáy
bằng 4 3 và cạnh bên bằng 12 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AA ' và BC , gọi P và
Q là hai điểm chạy trên đáy  A ' B ' C ' sao cho PQ  3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T  MP  NQ bằng

A. 8 3 .
Câu 11.

B. 3 37 .

C. 3 61 .

D. 6 29 .

(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho hình chóp S. ABCD có SA   ABCD  ,

SA  2a , ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Gọi O là tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O
đến SC .

a 2
a 3
a 3
a 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
4
3
4
Câu 12.

Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ bên.

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
2


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng AB
bằng 2a .

a 5
a 5
a 5
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 5 .
2
4
3
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên
Câu 13.

(THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh lần 1 năm 18-19) Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  ,

SA  AB  2a , tam giác ABC vuông tại B (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
 SBC  bằng

A. a 3 .
Câu 14.

D. a 2 .

a 57
.
19

B.

2a 57
.
19

C.

2a 3
.
19

D.

2a 38
.
19

(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B ,
2SA  AC  2a và SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  là
A.

Câu 16.

C. 2a .

(Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại
A , AB  a , AC  a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng  SBC  bằng

A.

Câu 15.

B. a .

2a 6
.
3

B.

4a 3
.
3

C.

a 6
.
3

D.

a 3
.
3

(THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp S. ABC có
đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết

SB  3a , AB  4 a, BC  2 a . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) bằng
A.

12 61a
.
61

B.

3 14a
.
14

C.

4a
.
5

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D.

12 29a
.
29
3


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 17.

(Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B ,
AB  a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC 
bằng
2 5a
A.
.
5

Câu 18.

ĐT:0946798489

B.

5a
.
3

C.

2 2a
.
3

D.

5a
.

5

(Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng
A.

5a
.
3

B.

3a
.
2

C.

6a
.
6

D.

3a, SA

3a
.
3

Câu 19.

(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông cân tại
C, BC  a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC 
bằng
a
2a
3a
A. 2a .
B.
.
C. .
D.
.
2
2
2

Câu 20.

(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh
B , AB  a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
 SBC  bằng
A.

Câu 21.

a
.
2

a 6
.
3

D.

a 2
.
2

3
.
3

B. d 

6
.
4

C. d 

2
.
2

D. d  3 .

(Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình lăng trụ đứng ABCA' B'C ' có đáy là tam giác

ABC vuông tại A có BC  2a , AB  a 3 , (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ A đến mặt
phẳng ( BCC ' B ' ) là

A.
Câu 23.

C.

(HKII-CHUYÊN NGUYỄN HUỆ-HN-2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có
cạnh bằng 1 . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  BDA  .
A. d 

Câu 22.

B. a .

a 5
.
2

B.

a 7
.
3

C.

a 3
.

2

D.

a 21
.
7

(Thi thử Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 07-05 - 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng a . Khoảng cách từ tâm O của đáy tới mp  SCD  bằng

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
4


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A.
Câu 24.

a
.
2

B.

ĐT:0946798489

a
.

2

C.

a
.
3

D. d  S , ABCD    SA.

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC là tam giác
vuông tại A , AC  a 3 , 
ABC  30 . Góc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng 60 . Cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến  SBC  bằng bao nhiêu?
A.

Câu 26.

D.

(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O ,
SA vuông góc với mặt đáy. Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai?
A. d  B, SCD    2d  O, SCD   .
B. d  A, SBD    d  B, SAC   .
C. d  C, SAB    d  C, SAD   .

Câu 25.

a
.

6

a 6
.
35

B.

a 3
.
35

C.

2a 3
.
35

D.

3a
5

(SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp S .MNPQ có đáy là hình vuông
cạnh MN  3a 2 , SM vuông góc với mặt phẳng đáy, SM  3a , với 0  a   . Khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng  SNP  bằng
A. a 3 .

Câu 27.

C. 2a 3 .

2a
.
3

B.

2a
.
2

C.

A. cos  

1
.
2

B. cos  

2
.
2

A đến mặt phẳng  KBC  bằng

C. cos  

3
.
2

D. cos  

a
.
2

3
.
3

3a
.
2

B.

a
.
2

C. a .

D. 2a .

(Chuyên Quốc Học Huế lần 2 - 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a .
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' BD) theo a .

A.

Câu 31.

D. a 2.

(Thi thử SGD Bình Phước - 2019) Cho hình chóp S . ABC có SA  3a và SA   ABC  . Biết
AB  BC  2a , 
ABC  120 . Khoảng cách từ A đến  SBC  bằng
A.

Câu 30.

2a
.
3

(Đề thi HSG 12-Sở GD&ĐT Nam Định-2019) Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt
phẳng  ABC  , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC  a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác
SAB và K là hình chiếu của điểm A trên cạnh SC . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và

 AGK  . Tính cos  , biết rằng khoảng cách từ điểm

Câu 29.

D. a 6 .

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp S . ABCD có đường cao
SA  2a , đáy ABCD là hình thang vuông ở A và D , AB  2 a, AD  CD  a . Khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng  SBC  bằng

A.

Câu 28.

B. 2a 6 .

a 3
.
3

B. a 3 .

C. 2a 3 .

D.

a 3
.
6

(KSCL Sở Hà Nam - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng
a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A ' BC  bằng

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
5


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A.

Câu 32.

B.

a 21
.
7

C.

a 6
.
4

D.

a 3
.
4

(Sở giáo dục Cần Thơ - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại A , AA  AC  a và AB  a 3 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A ' BC ) bằng
A.

Câu 33.

a 12
.
7

ĐT:0946798489

a 21
.
7

B.

a 3
.
7

C.

a 21
.
3

D.

a 7
.
3

(Thi Thử Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-Lần 2-2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC
đôi một vuông góc. Biết OA  a, OB  2a, OC  a 3 . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng

 ABC  .
A.
Câu 34.

a 3
.
2

B.

2a 3
.
19

C.

a 17
.
19

D.

a
.
19

(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho hình chóp tứ giác
S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; mặt phẳng  SAC  vuông góc với mặt phẳng

 SBD  . Biết khoảng cách từ O đến các mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCD  lần lượt là 1; 2;
khoảng cách d từ O đến mặt phẳng  SAD  .
A. d 

5 . Tính

19
.
20

20
.
19
C. d  2 .
2
D. d 
.
2
Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng
B. d 

Câu 35.

(Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông
tâm O , SA   ABCD  . Gọi I là trung điểm của SC . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng  ABCD 
bằng độ dài đoạn thẳng nào?
A. IB .
B. IC .

Câu 36.

D. IO .

(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a . Gọi M là trung điểm của SD . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SAC  bằng
A.

Câu 37.

C. IA .

a 2
.
2

B.

a 2
.
4

C.

a
.
2

D.

a
.
4

(THPT NÔNG CỐNG - THANH HÓA LẦN 1_2018-2019) Cho tứ diện đều S. ABCD có tất cả

các cạnh đều bằng 2a , gọi M là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho DM  2 MA . Tính khoảng cách
từ M đến mặt phẳng  BCD  .
A.

2a 6
.
9

B. a 6 .

C.

4a 6
.
9

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D.

2a 6
.
3

6


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 38.

(THPT THUẬN THÀNH 1) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến
mặt phẳng  BCD  bằng:
A.

Câu 39.

ĐT:0946798489

a 3
.
4

B.

a 3
.
3

C.

a 6
.
3

D.

a 6
.
2

(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Trong không gian cho tam giác ABC có

ABC  90o , AB  a . Dựng AA’, CC’ ở cùng một phía và vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Tính
khoảng cách từ trung điểm của A’C’ đến  BCC ' .
A.

Câu 40.

B. a .

C.

a
.
3

D. 2a .

(Thi thử Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với mặt đáy và
đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AB  4a , AD  3a , SB  5a . Tính khoảng cách từ điểm C đến
mặt phẳng  SBD  .
A.

Câu 41.

a
.
2

12 41 a

.
41

B.

41 a
.
12

C.

12 61 a
.
61

61 a
.
12

D.

(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh
AB  2 AD  2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABCD  Tính
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBD  .
A.

Câu 42.

B.

a 3
.
2

C.

a
.
2

D. a .

(Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng
2a và chiều cao bằng a 3 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  bằng.
A.

Câu 43.

a 3
.
4

a 3
.
2

B. a .

C. a 3 .

D. 2a .

(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

 

vuông cạnh 4a. Gọi H là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho 3HA  HB  0 . Hai mặt phẳng
 SAB  và  SHC  đều vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng

 SHC  .
A.
Câu 44.

B.

12a
.
5

C.

6a
.
5

D.

5a
.
12

(LÊ HỒNG PHONG HKI 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a .
Gọi F là trung điểm của cạnh SA . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  FCD  ?
A.

Câu 45.

5a
.
6

1
a.
2

B.

1
a.
5

C.

2
a.
11

D.

2

a.
9

(TRƯỜNG CHUYÊN QUANG TRUNG- BÌNH PHƯỚC 2018-2019) Cho hình chóp S. ABC
  30 , SA  a và BA  BC  a . Gọi D là
có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC
điểm đối xứng với B qua AC . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) bằng
A.

21
a.
7

B.

2 21
a.
7

C.

21
a.
14

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D.

2
a.

2
7


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 46.

ĐT:0946798489

(Thi thử lần 1 trường THPT Hậu Lộc 2 năm 2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy
ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD  2a , SA vuông góc với đáy và
SA  a 3 . Gọi H là hình chiếu của A lên SB . Khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD  bằng
A.

a 6
.
3

B.

3a 6
.
8

C.

a 6
.
2

D.

3a 6
.
16

Câu 47.

(Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a ,
3a

. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SBC  bằng
ABC  60  , SA   ABCD  , SA 
2
3a
5a
3a
5a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
8
8
4

4

Câu 48.

(Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Cho hình lăng trụ ABC . ABC  có đáy ABC là
tam giác vuông tại A , AB  a, AC  2a . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng  ABC  là
điểm I thuộc cạnh BC . Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng  ABC  .
A.

Câu 49.

2
a.
3

B.

3
a.
2

C.

2 5
a.
5

D.

1

a.
3

(THPT Cẩm Bình 2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh
AB  2 AD  2a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABCD  . Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBD  .
A.

Câu 50.

a 3
.
2

C.

a 3
.
4

D. a .

21a
.
14

B.

21a
.

7

C.

2a
.
2

D.

21a
.
28

(102 - THPT 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ bên).
Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) bằng
A.

Câu 52.

B.

(101 - THPT 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
 SBD  bằng
A.

Câu 51.

a
.
2

21a
.
28

B.

21a
.
14

C.

2a
.
2

D.

21a
.
7

(103 - THPT 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng
cách từ D đến mặt phẳng  SAC  bằng

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
8


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489
S

A

D

B

A.
Câu 53.

2a
.
2

a 21
.
7

C.

a 2
.

2

D.

a 21
.
7

B.

21a
.
28

C.

21a
.
7

D.

21a
.
14

B.

a 15
.

7

C.

a 21
.
3

D.

a 15
.
3

(Đề minh họa lần 1 2017) Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a
. Tam giác SAD cân tại S và mặt bên  SAD  vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối
chóp S. ABCD bằng
A. h 

Câu 56.

a 21
.
28

  60 ,
(Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , BAD
SA  a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  bằng
A.

Câu 55.

B.

(104 - THPT 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng
 SAC  bằng
A.

Câu 54.

a 21
.
14

C

2
a
3

4 3
a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  SCD 
3
4
8
3
B. h  a
C. h  a
D. h  a

3
3
4

(THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Cho hình chóp S . ABCD
có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, mặt bên  SCD  tạo với mặt đáy một góc
a3 3
bằng 60 , M là trung điểm BC . Biết thể tích khối chóp S . ABCD bằng
. Khoảng cách từ
3
điểm M đến mặt phẳng  SCD  bằng
0

A.
Câu 57.

a 3
.
6

B. a 3 .

C.

a 3
.
4

D.

a 3
.
2

(Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a .

  60o , hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm của tam giác
Góc BAC
ABC , góc tạo bởi hai mặt phẳng  SAC  và  ABCD  là 60o . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng

 SCD 
A.

bằng

3a
.
2 7

B.

3a
.
7

C.

9a
.
2 7

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D.

a
2 7

.

9


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 58.

ĐT:0946798489

(THPT THUẬN THÀNH 3 - BẮC NINH) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B biết BC  a 3 , BA  a . Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng đáy là trung

a3 6
điểm của cạnh AC và biết thể tích khối chóp S . ABC bằng
. Tính khoảng cách d từ C đến
6
mặt phẳng  SAB  .
A. d 
Câu 59.

a 30

.
5

B. d 

2a 66
.
11

a 30
.
10

D. d 

a 66
.
11

(Thi HK2 THPT Chuyên Bắc Giang 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy la hình vuông
cạnh bằng a 2 . Tam giác SAD cân tại S và mặt phẳng  SAD  vuông góc với mặt phẳng đáy.
Biết thể tích khối chóp S . ABCD bằng

3
A. h  a .
4
Câu 60.

C. d 

2
B. h  a .
3

4 3
a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  SCD  .
3
8
4
C. h  a .
D. h  a .
3
3

(Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  .
Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a , SA  2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB .
Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD  .
A.

4a 5
.
5

B.

4a 5
.
25

C.

2a 5
.
5

D.

8a 5
.
25

Câu 61. (Kim Liên - Hà Nội lần 2 năm 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân,
đáy lớn AB . Biết AD  DC  CB  a, AB  2a, cạnh SA vuông góc với đáy và mặt phẳng  SBD 
tạo với đáy góc 450 . Gọi I là trung điểm cạnh AB . Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng  SBD  .
A. d 

a
.
4

B. d 

a
.
2

C. d 

a 2
.

4

D. d 

a 2
.
2

Câu 62.

(SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tâm O . Biết
SA  2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SBC 
bằng
a 5
2a 5
4a 5
3a 5
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
5
5
5
5

Câu 63.

(SP Đồng Nai - 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a ,
AD  a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  2a . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng
 SBD  .
A.

Câu 64.

2a 57
.
19

B.

2a
.
5

C.

a 5
.
2

D.

a 57
.
19

(Thi thử Nguyễn Huệ- Ninh Bình- Lần 3- 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là
trung điểm của SA . Biết AD  a 3, AB  a . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  MBD  bằng
A.

2a 15
.
10

B.

a 39
.
13

C.

2a 39
.
13

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D.

a 15
.
10
10

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 65.

ĐT:0946798489

(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AB  2 3 và
AA  2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , AC  và BC (tham khảo hình vẽ
dưới). Khoảng cách từ A đến  MNP  bằng
C'
N
B'

M

A'

C

P
B

A.
Câu 66.

17
.
65

B.

A

6 13
.
65

C.

13
.
65

D.

12
.
5

(Kim Liên - Hà Nội - Lần 1 - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông
a
a 3
ABC  30 . Biết AC  a , CD  , SA 
tại C và D , 
và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng
2
2
đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  bằng
A. a 6 .

a 6
.
2
a 6
C.
.
4
a 3
D.
.
2
B.

DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 67.

(KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho hình lập phương
ABCD. ABC D cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD .
a 2
A.
B. a.
C. a 2.
D. 2a.
.
2

Câu 68.

(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai

đường thẳng AB và CD bằng
a 2
a 2
a 3
a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
2
2
3

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
11


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 69.

ĐT:0946798489

(SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp S . MNPQ có đáy là hình vuông,
MN  3a , với 0  a   , biết SM vuông góc với đáy, SM  6a . Khoảng cách giữa hai đường

thẳng NP và SQ bằng
A. 6a .

B. 3a .

C. 2a 3 .

D. 3a 2 .

Câu 70.

(SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật EFGH .E F G H  có
EF  3a, EH  4a, EE   12a, với 0  a   . Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF  và GH 
bằng
A. 12a .
B. 3a .
C. 2a .
D. 4a .

Câu 71.

(HKI- BÙI THỊ XUÂN-TP HCM 2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SA  a . Tính khoảng cách

d giữa hai đường thẳng SB và CD .
A. d  2a .
B. d  a 3 .

C. d  a 2 .

D. d  a .

Câu 72.

(Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lập phương ABCD. A B C D  có cạnh bằng a .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC  bằng
a 2
A. a 2 .
B. a .
C. a 3 .
D.
.
2

Câu 73.

(Thi thử THPT lần 2-Yên Dũng 2-Bắc Giang) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a , SA   ABCD  , SA  a 3 . Gọi M là trung điểm SD . Tính khoảng cách
giữa đường thẳng AB và CM .
2a 3
a 3
A.
.
B.
.
3
2

Câu 74.

C.

3a
.
4

D.

a 3
.
4

(THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, các mặt
 SAB  ,  SAD  vuông góc với đáy. Góc giữa  SCD  và đáy bằng 60 , BC  a . Khoảng cách giữa
hai đường thẳng AB và SC bằng
A.

Câu 75.

B. 2

3
a.
13

C.

a
.
2

D. 2

3
a.
5

(Tham khảo 2018) Cho lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a ( tham khảo hình vẽ bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC  bằng

A.
Câu 76.

3a
.
2

3a .

B. a .

C.

3a
.
2

D.

2a .

(THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật,
AB  a , BC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng BD , SC bằng

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
12


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A.

a 30
.
6

B.

ĐT:0946798489

4 21a
.
21

C.

2 21a
.
21

D.

a 30
.
12

Câu 77.

(Ngô Quyền - Hải Phòng lần 2 - 2018-2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AB  a
, AA  2a . Khoảng cách giữa AB và CC  bằng
2a 5
a 3
A.
.
B. a .
C. a 3 .
D.
.
5
2

Câu 78.

(Chuyên ĐH Vinh-lần 2-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B
với AB  BC  a , AD  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Tính theo a khoảng
cách giữa hai đường thẳng AC và SD .
6a
6a
6a

3a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
6
2
3
3

Câu 79.

(Thi thử hội 8 trường chuyên lần 3 - 23 - 5 - 2019) Cho khối lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam
giác ABC cân tại A có AB  AC  2a ; BC  2a 3 . Tam giác ABC vuông cân tại A và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABC  . Khoảng cách giữa hai AA và BC bằng
A. a 3 .

Câu 80.

B.

a 2
.
2

C.

a 5
.
2

D.

a 3
.
2

(HKI-Chuyên Vinh 18-19) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh
AD  2a , SA   ABCD  và SA  a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng
A.

a 3
.
3

B.

a 6
.
4

C.

2a 5
.
5

D. a 6 .

Câu 81.

(TRIỆU QUANG PHỤC HƯNG YÊN-2018-2019) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi
một vuông góc với nhau và OA  a, OB  OC  2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Khoảng
cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng:
a 2
2a 5
a 6
A.
.
B.
.
C. a .
D.
.
2
5
3

Câu 82.

(Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông
với đường chéo AC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng SB và CD là
a
A.
.

3

Câu 83.

B.

a
.
2

C. a 2 .

D. a 3 .

(Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Cho lăng trụ đứng ABC . ABC  có

AC  a, BC  2a, 
ACB  120 . Gọi M là trung điểm của BB . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM và CC theo a .
3
7
3
A. a
.
B. a 3 .
C. a
.
D. a
.
7

7
7
Câu 84.

(HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Cho tứ diện SABC có các cạnh SA, SB, SC
đôi một vuông góc với nhau và SA  a, SB  2a, SC  3a . Gọi I là trung điểm của BC . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AI theo a.
3a 2
a 2
A. a .
B. a 2 .
C.
.
D.
.
2
2

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
13


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 85.

(Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B , AB  a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2 . Gọi E là trung điểm của AB . Khoảng

cách giữa đường thẳng SE và đường thẳng BC bằng bao nhiêu?
a
a 3
a 3
a 2
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
2
3
2
3

Câu 86.

(Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật AD  2a . Cạnh bên SA  2a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB và SD .
2a
A. 2a .
B. a 2 .
C. a .
D.
.
5

Câu 87.

(THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật cạnh AB  a , AD  2a . Mặt phẳng  SAB  và  SAC  cùng vuông góc với  ABCD  . Gọi
H là hình chiếu vuông góc của A trên SD . Tính khoảng cách giữa AH và SC biết AH  a .
19
2 19 a
73
2 73
A.
B.
.
C.
D.
a.
a.
a.
19
19
73
73

Câu 88.

(NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành
  300 , SBC
  600 và SCA
  450. Tính khoảng cách d giữa hai đường
và SA  SB  SC  11, SAB
thẳng AB và SD .

A. d  4 11.

B. d  2 22.

C. d 

22
.
2

D. d  22.

Câu 89.

(NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành và
  300 , SBC
  600 và SCA
  450 . Tính khoảng cách d giữa hai đường
SA  SB  SC  11 , SAB
thẳng AB và SD ?
22
A. d  4 11 .
B. d  2 22 .
C. d 
.
D. d  22 .
2

Câu 90.

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp đáy là hình vuông cạnh
a 17
, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H trung điểm của đoạn
a, SD 
2
AB . Gọi K là trung điểm của đoạn AD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD theo
a.
a 3
a 3
a 3
a 3
A.
B.
C.
.
D.
.
5
45
15
25

Câu 91.

(ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình chóp S. ABC có
đáy là tam giác đều cạnh a , I là trung điểm của AB , hình chiếu S lên mặt đáy là trung điểm H
của CI , góc giữa SA và đáy là 45 . Khoảng cách giữa SA và CI bằng:
A.

Câu 92.

a
.
2

B.

a 3
.
2

C.

a 77
.
22

D.

a 7
.
4

(CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp S . ABC
có
  900 , CSA
  1200 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng
SA  SB  SC  a, 
ASB  600 , BSC
AC và SB .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
14


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A. d 

a 3
.
4

B. d 

ĐT:0946798489

a 3
.
3

C. d 

a 22
.
11

D. d 

a 22

.
22

Câu 93.

(SGD Nam Định) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , mặt bên
SAB là tam giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC .
a 7
a 21
a 7
A. h 
.
B. h 
.
C. h  a 3 .
D. h 
.
3
7
21

Câu 94.

(Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A B C  có tất cả các
cạnh đều bằng a . M là trung điểm của AA . Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MB và BC
.
a 3
a 6
a

A. .
B.
.
C.
.
D. a .
2
3
2

Câu 95.

(Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng
a . Gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của CI ,
góc giữa SA và mặt đáy bằng 45o . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và CG bằng
a 21
a 14
a 77
a 21
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
14
8

22
7

Câu 96.

(THPT Minh Khai - lần 1) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a . Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AB và CD .
a 2
a 3
.
.
A.
B.
C. a 2.
D. a 3.
2
2

Câu 97.

(Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a , SA   ABC  , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AC và SB .
a 2
A.
.
B. 2a .
2

Câu 98.

C.

a 7
.
7

D.

a 15
.
5

(Chuyên Đại học Vinh - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có
đáy ABC là tam giác vuông tại A . Gọi E là trung điểm của AB . Cho biết AB  2a , BC  13 a
, CC   4a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CE bằng
4a
12a
6a
3a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
7
7

7
7

Câu 99.

(THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BC ' và CD '.
a 3
a 2
.
.
A. a 2.
B. 2a.
C.
D.
3
3

Câu 100. (TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD
là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Góc giữa SC và mặt đáy
bằng 450 . Gọi E là trung điểm BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC .
a 5
a 5
a 38
a 38
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
5
19
5
19
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
15


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 101. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là ình chữ nhật,
AB  a, BC  2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC và SB bằng
2a
a
a
6a
A.
.
B.
.
C. .
D. .
3
2

3
2
Câu 102. (THPT THUẬN THÀNH 3 - BẮC NINH) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi
  120 và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa  SBC  và
có cạnh bằng a 3 , BAD

 ABCD  bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
A.

3a 39
.
26

B.

a 14
.
6

C.

BD và SC .

a 39
.
26

D.

3a 39

.
13

Câu 103. (Nho Quan A - Ninh Bình - lần 2 - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh bằng 10 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SC  10 5 . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của SA và CD . Tính khoảng cách d giữa BD và MN .
A. d  3 5 .
B. d  5 .
C. d  5 .
D. d  10 .
Câu 104. (Đề thi thử Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk lần 2) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của S xuống ( ABC ) trùng với trung điểm H của AB . Biết góc
tạo bởi hai mặt phẳng (SAC ) và (SBC ) bằng 600 . Khoảng cách giữa AB và SC
A.

a 3
.
6

B.

a 2
.
4

C.

a 3
.
4

D.

a 3
.
2

Câu 105. (Thi Thử Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-Lần 2-2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh
bằng 1, gọi M là trung điểm AD và N trên cạnh BC sao cho BN  2 NC . Tính khoảng cách giữa
2 đường thẳng MN và CD .
2 2
6
6
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
9
3
9
9
Câu 106. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho hình chóp S . ABC D có đáy là hình thoi cạnh là 2a ,
  60 . Tam giác SA D là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M
ABC
AM 1

 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng
là điểm trên cạnh AB sao cho
AB 3
30
30
3
3
a.
a.
a.
A.
B.
C.
D.
a.
10
5
2
4
Câu 107. (HKI - SGD BẠC LIÊU_2017-2018) Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vuông, SAB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD có diện
tích 84 cm 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là



A.

3 21
7



 cm  .

B.

2 21
7

 cm  .

C.

21
7

 cm 

D.

6 21
7

 cm  .

Câu 108. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vuông cạnh
a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. M , N , P lần lượt là
trung điểm SB , BC , SD . Tính khoảng cách giữa AP và MN
A.

3a
.
15

B.

3a 5
.
10

C. 4a 15 .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
D.

a 5
.
5
16


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 109. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình
  45o . Tính khoảng cách d giữa hai
  30o , SBC
  60o và SCA
hành và SA  SB  SC  11, SAB

đường thẳng AB và SD .
22
A. d  4 11 .
B. d  2 22 .
C. d 
.
D. d  22
2
Câu 110. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S . ABCD có các mặt phẳng  SAB  ,  SAD  cùng
vuông góc với mặt phẳng

 ABCD  ,

đáy là hình thang vuông tại các đỉnh A và B , có

AD  2 AB  2 BC  2a , SA  AC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng:

A.

a 3
.
2

B.

a 15
.
5

C.

a 3
.
4

D.

a 10
.
5

Câu 111. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện O. ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau, OA  a và OB  OC  2a . Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng OM và AB bằng
2a
2 5a
6a
A.
.
B. a .
C.
.
D.
.
2
5
3
Câu 112.

(THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh a ( tham

khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC  bằng

B

C
D

A

B'

C'

A'
A.

a 3
.
3

B.

a 2
.
2

D'
C. a 3 .

D. a 2 .

Câu 113. (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp
S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB  a , BC  a 3 . Tam giác ASO cân tại S ,
mặt phẳng  SAD  vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , góc giữa SD và  ABCD  bằng 60 .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng
3a
3a
6a
A.
.
B.
.
C.
.
4
2
7

D.

a 3
.
2

Câu 114. [THPT THĂNG LONG-HÀ NỘI-LẦN 2-2018-2019] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD
là hình vuông tâm O cạnh 2a . Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm của H của OA . Góc
giữa hai mặt phẳng  SCD  và  ABCD  bằng 45 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và SC .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
17

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

B. a 2 .

A. a 6 .

C.

3a 2
.
2

D.

3a 2
.
4

B. LỜI GIẢI
Câu 1.

Câu 2.

DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Chọn A
Hình chóp tứ giác đều S . ABCD nên ABCD là hình vuông có cạnh bằng a 2 nên AC  2a .

Tam giác SAC đều nên cạnh bên SA  AC  2a .
Chọn A
Gọi P là trung điểm AB
 AC // PN
AC 3a
BD
 ; PM 
 2a
Ta có 
 PN  PM và PN 
2
2
2
 BD // PM
5a
MN  PM 2  PN 2 
2
D

M

A

C

P

N

B

Câu 3.

Chọn A

Gọi I là trung điểm BC , khi đó BC  AI
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
18


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Mặt khác BC  AI , BC  SA  BC   SAI   BC  SI
.
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  SBC  là SIA

Tam giác SIA vuông tại A nên tan SIA

SA
  a 3 . 3  3a .
 SA  IA.tan SIA
AI
2
2

Câu 4.

Câu 5.

Chọn
A.
Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 nên 
AAH  30 .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ ABC. ABC  bằng
a
AH  AA.sin 
AAH  AA.sin 30  .
2
Chọn B
2



AC '  AB 2  AD 2 +AA '2  a 2   2a  + a 2
Câu 6.

Câu 7.



2

a 7.

Chọn B

Ta có AC  AD 2  DC 2  a 5 . Nên AC   AC 2  CC 2  5a 2  2a 2  a 7 .
Chọn A
Dựng hình chữ nhật ABCE , gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, CE , MH  DN tại H

Ta có
 AB  DM
 AB   DMN   CE   DMN   MH  CE

 AB  MN
 MH  DN
11
 MH   CDE  tại H  d  AB, CD   d  M ;  CDE    MH 

2
 MH  CE
Tam giác DMN có DM  MN  3  H là trung điểm DN , mà HN  MN 2  MH 2 

1
2

 DN  1

Xét tam giác DNC vuông tại N CD  DN 2  CN 2  2 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
19


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

D

H

A

E

M

N

C

B

Câu 8.

Chọn C
t
x

y
z
D'

A'
I'

C'

B'
D

A
I
B

Câu 9.

C

Gọi I là giao của AC và BD . I  là giao điểm của AC và BD . Khi đó II  là đường trung
bình của các hình thang ACCA và BDDB . Theo tính chất của hình thang ta có
2 II   BB  DD  AA  CC  2  4  6  DD  3 .
Chọn A

Dựng hình chữ nhật ABCE , gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, CE , MH  DN tại H
Ta có
 AB  DM
 AB   DMN   CE   DMN   MH  CE

 AB  MN
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
20


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

 MH  DN
11

 MH   CDE  tại H  d  AB, CD   d  M ;  CDE    MH 

2
 MH  CE
Tam giác DMN có DM  MN  3  H là trung điểm DN , mà HN  MN 2  MH 2 

1
2

 DN  1

Xét tam giác DNC vuông tại N CD  DN 2  CN 2  2 .
Câu 10. Chọn B
A'

B'

P
Q

H
12

C'

M

A

B

4 3

N
C

3
 6.
2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên BC .
Đặt AP  x, QH  y .
Ta có: AP  PQ  QH  AH  AP  3  QH  6  x  y  3 .
Dấu "  " xảy ra khi P , Q nằm trên đoạn AH .

Chiều cao của tam giác đáy: AN  AH  4 3.

Lại có: MP  62  x 2 , NQ  122  y 2 .
Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki :
x, y, a , b    a 2  b 2  x 2  y 2  ( a  x ) 2  (b  y ) 2 .

ay  bx
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
.
ax  by  0
Ta có :

T  MP  NQ  62  x 2  122  y 2 

2

 6  12    x  y 

2

 182  32  3 37 .

x  y  3
x  1


Dấu "  " xảy ra khi: 6 y  12 x
.
y  2
6.12  xy  0

Vậy Tmin  3 37 .
Câu 11. Chọn B

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
21


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Kẻ OH  SC  d  O, SC   OH .
AC a 2
; SC  SA2  AC 2  a 6

2

2
OH SA
OC.SA a 2.2a a 3
OHC  SAC 

 OH 


OC SC
SC
3
2a 6
Chọn D

OC 

Câu 12.

Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh 2a , O là tâm của
A ' B 'C ' D ' .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, A ' B.
1
 MN  AA '  2a , OM  A ' D '  a .
2
 AB  OM
 AB  ON  d  O, AB   ON  OM 2  MN 2  a 5 .
Lại có: 
 AB  MN
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên

Câu 13.
Lời giải
Chọn D

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
22


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Gọi H là trung điểm cạnh SB .
 AH  BC  BC   SAB 

 AH   SBC  .

 AH  SB

Do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  là AH 
Câu 14.

SB 2a 2

a 2.
2
2

Chọn B

Từ A kẻ AD  BC mà SA   ABC   SA  BC

 BC   SAD    SAD    SBC  mà  SAD    SBC   SD
 Từ A kẻ AE  SD  AE   SBC 
 d  A;  SBC    AE
1
1
1
4


 2
2
2
2
AD
AB
AC
3a
1
1
1
19
2a 57
Trong SAD vuông tại A ta có:
 AE 



2

2
2
2
19
AE
AS
AD 12a

Trong  ABC vuông tại A ta có:

Câu 15.
Lờigiải
Chọn C

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
23


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489
S

H
A

C

B

Kẻ AH  SB  H  SB  .

 BC  AB
 BC   SAB   BC  AH   SAB  .
Ta có: 
 BC  SA  SA   ABC  
 AH  SB
Vì 
 AH   SBC  .
 AH  BC
Do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  là d  A, SBC   AH .
AC
Xét tam giác ABC vuông cân tại B , có AC  2a  AB 
 2a .
2
1
1
1
1
1
3
Xét tam giác SAB vuông tại A , ta có:
 2 
 2  2  2
2
2
AH
SA
AB
a

2a
2a
2
2a
6a
 AH 2 
 AH 
.
3
3
6a
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  là d A, SBC    AH 
.
3
Câu 16. Chọn A
S

H

3a

2a

B

C
I

4a

A

Từ B kẻ BI  AC nối S với I và kẻ BH  SI dễ thấy BH là khoảng cách từ B đến mặt phẳng
( SAC )
Ta có B.SAC là tam diện vuông tại B nên:
1
1
1
1
1
1
1
61
12 61a



 2 2

 BH 
2
2
2
2
2
2
BH
BS
BC
BA

9a
4a 16a
144a
61
Câu 17. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
24


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489
S

2a
H

C

A
a
B

 BC  AB
Ta có 
 BC   SAB  .
 BC  SA
Kẻ AH  SB . Khi đó AH  BC  AH   SBC 
 AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  .

1
1
1
1
1
5
4a 2
2 5a
2
 2
 2  2  2  AH 
 AH 
Ta có
.
2
2
AH
SA AB
4a a
4a
5
5
Câu 18. Chọn B

 BC  AB
Ta có: 
 BC  SA

 BC   SAB 

 SAB   SBC
 SAB   SBC   SB
Trong mặt phẳng  SAB  : Kẻ




AH  SB  AH  d  A;  SBC  

1
1
1
1
1
4


 2  2  2.
2
2
2
AH
SA
AB
a
3a
3a

 d  A;  SBC    AH 
Câu 19.

3a
.
2

Chọn B

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
25