Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm khối đa diện và thể tích khối đa diện

CHỦ ĐỀ 1. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a. HÌNH HỌC PHẲNG
1. Các hệ thức lượng trong tam giác vng:
Cho tam giác ABC vng tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:
A

B

 BC 2  AB 2  AC 2
 AH .BC  AB.AC
 AB 2  BH .BC , AC 2  CH .CB
1
1
1


, AH 2  HB.HC
2
2
2
AH
AB
AC
 2AM  BC



B

H

C

M

2. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vng:




Cạnh huyền




Cạnh
đối




α

Cạnh kề




Chọn
Chọn góc

góc nhọn
nhọn là α
cạ
n
cạnhh đđốốii  đđii 
sinα
α=
=
sin
;; 

cạnnhh hhuyề
uyềnn  hhoọcïc 
cạ
cạnnhh kkềề  kkhô
hônngg 
cạ
cosα
α=
=
cos
;;

cạnnhh hhuyề
uyềnn  hhưư 
cạ
cạnnhh đđốốii  đđoà
oànn 
cạ
tanα

α=
=
tan
;;

cạnnhh kkềề  kkeếtát 
cạ
cạnnhh kkềề  kkếếtt 
cạ
cot α
α=
=
cot
;;
cạnnhh đđốốii  đđoà
oànn 
cạ

3. Các hệ thức lượng trong tam giác thường:
a. Định lý cosin:
A

b2  c2  a 2
 a  b  c  2bc cos A  cos A 
2bc
2

a
c2  b2
 b 2  a 2  c 2  2ac cos B  cos B 

2ac
a 2  b2  c2
2
2
2
 c  a  b  2ab cosC  cosC 
2ab
2

b

c

B

a

C

2

2

b. Định lý sin:

Trang 1/35


A
c

a
b
c


 2R
sin A sin B
sin C
(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)

b

R
a

B

C

c. Công thức tính diện tích tam giác:
A

c

1
1
1
 S ABC  a.ha  b.hb  c.hc
2

2
2
1
1
1
 S ABC  ab sin C  bc sin A  ac sin B
2
2
2
abc
 S ABC 
, S ABC  p.r
4R
 p=
p ( p − a )( p − b )( p − c )

b

B

C

a

p - nửa chu vi
r - bán kính đường tròn nội tiếp

d. Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
A
K

N

B

AB 2  AC 2 BC 2

2
4
2
2
BA  BC
AC 2
 BN 2 

2
4
 AM 2 

C

M

CA2  CB 2 AB 2
 CK 

2
4
2

4. Định lý Thales:
A
M
B

AM
AN
MN


k
AB
AC
BC
2
 AM 


 
 k2

 AB 

 MN / /BC 

N



C

S AMN
S ABC

(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)

Trang 2/35


5. Diện tích đa giác:
B

a. Diện tích tam giác vuông:

 S ABC 

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh
góc vuông.

C

A

b. Diện tích tam giác đều:
 Diện tích tam giác đều: S 
 Chiều cao tam giác đều: h

B

(cạnh).2 3


đều
4


đều

(cạnh). 3
2

c. Diện tích hình vuông và hình chữ nhật:

A

C

B

A

 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.
 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2 .
 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.

a

h

a

O

D

C
A

d. Diện tích hình thang:
1
 SHình Thang  .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao
2



a2 3

S


ABC

4



a 3

h



2




S HV  a 2





AC  BD  a 2




D

S 
B

AD  BC  .AH
2

C

H

e. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông
góc:

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc A
nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau
tại trung điểm của mỗi đường.

1
AB.AC
2

B
C  S H .Thoi 

1
AC .BD
2

D

b. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng :

d  () 


 d d 
  d  () (Định lý 1, trang 61, SKG HH11)

d   ()






   ()  d  ()


d  ( ) 


(Hệ quả 1, trang 66, SKG HH11)

Trang 3/35


d  d ' 

 ()  d '  d  () (Tính chất 3b, trang 101, SKG HH11)

d  () 

2. Chứng minh hai mặt phẳng song song:
()  a, a  ( )

 ()  b, b  ( )   ()  ( ) (Định lý 1, trang 64, SKG HH11)

a b O




()  (Q )
  ()  ( ) (Hệ quả 2, trang 66, SKG HH11)
( )  (Q ) 


()  ( )

 ()  d   ()  ( ) . (Tính chất 2b, trang 101, SKG HH11)

( )  d 

3. Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau
 Hai mặt phẳng (),   có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a, b thì giao
tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B.
S  ()    

()  a,    b   ()     Sx (  a  b) . (Hệ quả trang 57, SKG HH11)

a b


 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng () . Nếu mặt phẳng ( ) chứa a và cắt () theo
giao tuyến b thì b song song với a.

a  (), a   

  b  a . (Định lý 2, trang 61, SKG HH11)
()     b 




 Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với
đường thẳng đó.

()  ( )
  (P )  ( ) =d ,d   d . (Định lý 3, trang 67, SKG HH11)

(P )  ()  d 

 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

d  d 


d  () 
  d  d  (Tính chất 1b, trang 101, SKG HH11)

d   ()



 Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …
4. Chứng minh đường thẳngvuông góc với mặt phẳng:
 Định lý (Trang 99 SGK HH11). Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
d  a  ()

d  b  ()   d    .

a  b  {O }


 Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông
Trang 4/35


góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia.

d  d 
d   .

 
d   ()


 Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông
góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
     d   .

 
d    

 Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11). Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
  P  
   P    d  P  .
     d 
 Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11). Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì bất cứ đường thẳng nào
nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kiA.
  P  
a     P    d  P 


d   , d  a 

5. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
 Cách 1: Dùng định nghĩa: a  b  a
, b  900.

 

 

 
 
Hay a  b  a  b  a .b  0  a . b .cos a , b  0

 

 Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì phải
vuông góc với đường kia.

b//c 
a b.

a  c


 Cách 3: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường
thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

a   


  a  b.
b    



 Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng P 
và a là đường thẳng không thuộc P  đồng thời không vuông góc với P  . Gọi a’ là hình chiếu
vuông góc của a trên P  . Khi đó b vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a’.

a '  hch (P )
  b  a  b  a '.


b  P 



 Cách khác: Sử dụng hình học phẳng (nếu được).
6. Chứng minh mp    mp   :

 Cách 1: Theo định nghĩa:        ,    900. Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng





90 .
 Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11):

c.

HÌNH CHÓP ĐỀU
Trang 5/35


1. Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Nhận xét:
S
 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.
 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng
nhau.
2. Hai hình chóp đều thường gặp:
A

a. Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S .ABC . Khi
đó:

O

B

 Đáy ABC là tam giác đều.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
 Chiều cao: SO .
.
  SBO
  SCO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO
.
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO
2
1
AB 3
.
AH , OH  AH , AH 
3
3
2
Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
 Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
 Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên
bằng cạnh đáy.
b. Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S .ABCD .
 Tính chất: AO 

 Đáy ABCD là hình vuông.
 Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
 Chiều cao: SO .
  SBO
  SCO
  SDO
.
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO
.
 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO

S

A

I

D

O
C

B

d. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
S
1. Thể tích khối chóp: V 

1
B.h
3

B : Diện tích mặt đáy.
h : Chiều cao của khối chóp.

C

D
A

O

B

C

Trang 6/35


A

C’

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là
cạnh bên.

4. Tỉ số thể tích:

VS .AB C 
VS .ABC

C’
B’

c

a

a

a

b

a

S

SA SB  SC 
.
.

SA SB SC

B’

A’

5. Hình chóp cụt ABC. A′B′C ′

C’





h
B  B   BB 
3
Với B, B , h là diện tích hai đáy và chiều cao.
V 

A’

B’

3. Thể tích hình hộp chữ nhật: V  a.b.c

C
B

A’

 Thể tích khối lập phương: V  a 3

A

B

2. Thể tích khối lăng trụ: V  B.h
B : Diện tích mặt đáy.
h : Chiều cao của khối chóp.

C

A

B

C

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài
đường cao không đổi thì thể tích S . ABC tăng lên bao nhiêu lần?
1
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. .
2
Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?
B. 5 .
C. 3 .
D. 2 .
A. 4 .
Câu 3.

Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số p là

Câu 4.

A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.
Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số q là

Câu 5.

A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .

Câu 6.

a3 2
a3 2
a3
B.
C. a 3 .
D.
⋅
⋅
⋅
4
12
6
Cho S . ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết AB = a , SA = a .

Câu 7.

a3 2
a3 2
a3
C.
.
D.
2
6
3
Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.

A.

A. a 3

B.

S . ABC biết AB = a , SA = a .
Trang 7/35


Câu 8.

a3 3
a3 3
a3
3
A.
.
B.
.
C. a .
D.
4
12
3
Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích
S . ABCD biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a .

a3
⋅
3
Thể tích khối tam diện vuông O. ABC vuông tại O có OA
= a, OB
= OC
= 2a là
A. a 3 .

Câu 9.

B. 6a 3 .

B. 2a 3 .

D.

a3
2a 3
a3
B. ⋅
C.
D. 2a 3 .
⋅
⋅
3
2
6
Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại A, SA = 2cm ,
A.

=
AB 4=
cm, AC 3cm . Tính thể tích khối chóp.
12 3
24 3
24 3
B.
C.
D. 24cm3 .
cm .
cm .
cm .
3
5
3
Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy,=
AB a=
, AD 2a . Góc giữa
A.

SB và đáy bằng 450 . Thể tích khối chóp là

a3 2
A.
⋅
3

2a 3
B.

⋅
3

a3
C.
⋅
3

a3 2
D.
⋅
6

Câu 12. Hình chóp S . ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a 3, AC = a 2 . Khi đó thể
tích khối chóp S . ABCD là
a3 3
a3 3
a3 2
a3 2
B.
C.
D.
A.
⋅
⋅
⋅
⋅
3
2
3

2
Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết ∆SAB là tam giác đều và
thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

( ABC ) .

Tính thể tích khối chóp S . ABC biết

AB = a , AC = a 3 .

a3
a3 6
a3 2
a3 6
B.
C.
D.
⋅
⋅
⋅
⋅
12
4
4
6
Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên ( SAB ) là tam giác vuông cân tại
A.

S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Tính thể tích khối chóp S . ABCD
biết BD = a , AC = a 3 .

a3 3
a3
a3 3
C.
D.
⋅
⋅
⋅
4
3
12
Câu 15. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng
A. a 3 .

( ABC ) là trung điểm

B.

H của BC . Tính thể tích khối chóp S . ABC biết AB = a , AC = a 3 ,

SB = a 2 .

a3 3
a3 6
a3 3
a3 6
B.
C.
D.
⋅

⋅
⋅
⋅
6
2
6
2
Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng
3a
( ABCD ) là trung điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết SB = .
2
A.

A.

a3
⋅
3

B. a 3 .

C.

a3
⋅
2

D.

3a 3

⋅
2
Trang 8/35


Câu 17. Hình chóp S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SD =
trung điểm H của AB . Thể tích khối chóp là
a3 2
A.
⋅
3

a3 2
B.
⋅
3

C. a

3

a 13
. Hình chiếu của S lên ( ABCD ) là
2
12 .

a3
D.
⋅
3

 bằng 1200 . Hình chiếu vuông góc của
Câu 18. Hình chóp S . ABCD đáy hình thoi, AB = 2a , góc BAD
a
S lên ( ABCD ) là I giao điểm của 2 đường chéo, biết SI = . Khi đó thể tích khối chóp
2
S . ABCD là

a3 3
⋅
3
V
Câu 19. Cho hình chóp S . ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Tính tỉ số S . ABC .
VS .MNC
A.

a3 2
⋅
9

B.

a3 3
⋅
9

C.

a3 2
⋅

3

D.

1
1
C. 2 .
D. ⋅
⋅
2
4
Câu 20. Cho khối chop O. ABC . Trên ba cạnh OA, OB, OC lần lượt lấy ba điểm A’, B′, C ′ sao cho
A. 4 .

B.

VO. A ' B 'C '
VO. ABC

=
2OA′ OA
=
, 4OB′ OB
=
, 3OC ′ OC . Tính tỉ số

1
1
1
1

.
B.
.
C.
.
D.
.
12
16
24
32
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi (α ) là mặt phẳng qua A và song song với BC . (α ) cắt SB , SC
A.

SM
biết (α ) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
SB
1
1
1
1
B.
.
C. .
D.
.
A. .
4
2
2 2

2
Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:
lần lượt tại M , N . Tính tỉ số

a3 3
a3 3
a3 2
a3 2
A.
B.
C.
D.
⋅
⋅
⋅
⋅
3
4
3
2
' A A=
' B A ' D . Tính thể tích
Câu 23. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình chữ nhật, A=
khối lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a 3 , AA ' = 2a .
A. 3a 3 .

B. a 3 .

C. a 3 3 .

D. 3a 3 3 .

Câu 24. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của A ' lên ( ABC ) là
trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' biết AB = a , AC = a 3 ,
AA ' = 2a .
3a 3
a3
B.
C. a 3 3 .
D. 3a 3 3 .
⋅
⋅
2
2
Câu 25. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A ' lên ( ABCD ) là
A.

trọng tâm của tam giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB = a ,

ABC = 1200 , AA ' = a .
A. a 3 2 .

B.

a3 2
⋅
6

Câu 26. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Tính tỉ số

C.

a3 2
⋅
3

D.

a3 2
⋅
2

VABB 'C '
.
VABCA ' B 'C '
Trang 9/35


1
1
1
2
B. ⋅
C. ⋅
D. .
⋅
6
3
2
3

Câu 27. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích khối tứ
diện A’BB’C’ là
A.

a3 3
a3 3
a3 3
a3
B.
C.
D.
⋅
⋅
⋅
⋅
12
4
6
12
Câu 28. Lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
300. Hình chiếu A′ lên ( ABC ) là trung điểm I của BC . Thể tích khối lăng trụ là
A.

a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A.
B.
C.

D.
⋅
⋅
⋅
⋅
6
8
2
12
Câu 29. Lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại =
A, BC 2=
a, AB a . Mặt bên

( BB’C’C )

là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là

a3 3
A.
.
B. a 3 2 .
C. 2a 3 3 .
D. a 3 3 .
3
Câu 30. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC ' và BB ' . Tính tỉ số
VABCMN
.
VABC . A ' B 'C '
1
1

2
1
.
B. .
C. .
D. .
3
3
2
6
Câu 31. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Tỉ số thể tích giữa khối chóp A′. ABC và khối lăng trụ đó là
1
1
1
1
B. .
C. .
D. .
A. .
3
4
2
6
′
′
′
′
′
Câu 32. Cho khối lập phương ABCD. A B C D . Tỉ số thể tích giữa khối A . ABD và khối lập phương là:
1

1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
3
4
6
8
Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và
A.

( ABCD) bằng α . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo h và α .

3h3
4h3
8h3
3h3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3 tan 2 α
8 tan 2 α

4 tan 2 α
3 tan 2 α
Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông góc với đáy
và mặt phẳng ( SAD ) tạo với đáy một góc 60° . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .

3a 3 3
3a 3 3
8a 3 3
4a 3 3
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
4
8
3
3
Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC = a , mặt
A. V =

phẳng ( A ' BC ) tạo với đáy một góc 30° và tam giác A ' BC có diện tích bằng a 2 3 . Tính thể
tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
3a 3 3
3a 3 3
a3 3
3a 3 3
.

B.
.
C.
.
D.
.
8
8
2
4
Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông
A.

góc của A ' trên ( ABC ) là trung điểm của AB . Mặt phẳng ( AA ' C ' C ) tạo với đáy một góc

bằng 45° . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
A. V =

3a 3
.
16

B. V =

3a 3
.
8

C. V =

3a 3
.
4

D. V =

3a 3
.
2
Trang 10/35


Câu 37. Cho hình chóp đều S . ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ( ABC ) bằng 600 , khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
A.

a3 3
.
12

B.

a3 3
.
18

3a
. Thể tích của khối chóp S . ABC theo a bằng
2 7
C.

a3 3
.
16

D.

a3 3
.
24

Câu 38. Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AC = 2 3a , BD = 2a , hai
mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết khoảng cách từ
điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng

a 3
. Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo a .
4

a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.

16
3
12
18
Câu 39. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bên của hình
chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo
a.
A.

A. 2a 3 3 .

B. 4a 3 3 .

C. 6a 3 3 .

D. 8a 3 3 .

Câu 40. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) . ABCD là hình thang vuông tại A và B
biết AB = 2a . =
AD 3=
BC 3a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a biết góc giữa

( SCD ) và ( ABCD )

A. 2 6a 3 .

bằng 600 .
B. 6 6a 3 .

C. 2 3a 3 .

D. 6 3a 3 .

Câu 41. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD là hình thang vuông tại A và B
biết AB = 2a . =
AD 3=
BC 3a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a , biết khoảng cách từ
A đến mặt phẳng ( SCD) bằng
A. 6 6a 3 .

3 6
a.
4

B. 2 6a 3 .

C. 2 3a 3 .

D. 6 3a 3 .

Câu 42. Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB ' = a , góc giữa đường thẳng BB ' và ( ABC ) bằng
= 60° . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên
60° , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC

( ABC ) trùng với trọng tâm của

∆ABC . Thể tích của khối tứ diện A '. ABC theo a bằng

13a 3
7a3

15a 3
9a 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
108
106
108
208
Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ
a
tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng ( A ' BC ) bằng
.Tính thể tích khối lăng trụ
6
ABC. A ' B ' C ' .
A.

3a 3 2
3a 3 2
3a 3 2
3a 3 2
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
8
4
16
28
Câu 44. Cho hình chóp tam giác S . ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SC sao cho
NS = 2 NC . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp A.BMNC và S . AMN . Tính tỉ

số

V1
.
V2

A.

V1 2
=
V2 3

B.

V1 1
=
V2 2

C.

V1
= 2.
V2

D.

V1
=3
V2
Trang 11/35


Câu 45. ho NS = 2 NC , P là điểm trên cạnh SA sao cho PA = 2 PS . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích
của các khối tứ diện BMNP và SABC . Tính tỉ số
A.

V1 1
= .
V2 9

B.

V1 3
= .
V2 4

V1
.
V2

C.

V1 2
= .
V2 3

D.

V1 1
= .
V2 3

Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và
( ABCD) bằng 45° , M , N và P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB và AB . Tính thể tích
V của khối tứ diện DMNP .
a3
a3
a3
a3
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
4
6
12
2
Câu 47. Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC = 2a ; cạnh bên
AA′ = 2a . Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh AC .
Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ .

1 3
a3
2a 3
B. V = .
C. V = a 3 .
D. V =
.
a .
2
3
3
Câu 48. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi G1 , G2 , G3 và
A. V =

G4 lần lượt là trọng tâm các mặt ABC , ABD, ACD và BCD . Biết AB = 6a, AC = 9a ,
AD = 12a . Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 .

A. 4a 3
B. a 3
C. 108a 3
D. 36a 3
Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB
= CD
= 11m , BC
= AD
= 20m , BD
= AC
= 21m . Tính thể tích khối
tứ diện ABCD .
A. 360m3

B. 720m3
C. 770m3
D. 340m3
Câu 50. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là vuông; mặt bên ( SAB) là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD) bằng

3 7a
. Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .
7
1
2
3a 3
A. V = a 3 .
B. V = a 3 .
C. V = a 3 .
D. V =
.
3
3
2
Câu 51. Cho tứ diện S . ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA = 2 SM ,
SN = 2 NB , (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu ( H1 ) và ( H 2 ) là các

khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S . ABC bởi mặt phẳng (α ) , trong đó, ( H1 ) chứa
điểm S , ( H 2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của ( H1 ) và ( H 2 ) . Tính tỉ số

V1
.
V2

4
5
3
4
B.
C.
D.
5
4
4
3
Câu 52. Cho hình chóp S . ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt phẳng ( SAB) ,
A.

( SAC ) và ( SBC ) cùng tạo với mặt phẳng ( ABC ) các góc bằng nhau. Biết AB = 25 , BC = 17 ,
AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp
S . ABC .
A. V = 408 .
B. V = 680 .
C. V = 578 .
D. V = 600 .
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 7.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Trang 12/35


A

B

A

D

A

C

A

C

A

A

B

D

A

C

C

A

A

D

A

B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B

Câu 1.

Câu 2.

II –HƯỚNG DẪN GIẢI
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài
đường cao không đổi thì thể tích S . ABC tăng lên bao nhiêu lần?
1
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. .
2
Hướng dẫn giải:
Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần.
⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần.
Có bao nhiêu khối đa diện đều?

A. 4 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải:
Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối
20 mặt đều.

Câu 3.

Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số p là

Câu 4.

A. Số các cạnh của mỗi mặt.
C. Số cạnh của đa diện.
Cho khối đa diện đều { p; q} , chỉ số q là

Câu 5.

A. Số đỉnh của đa diện.
C. Số cạnh của đa diện.
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .
A.

a3 2
⋅
12

B.

a3 2
⋅
4

Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a .

B. Số mặt của đa diện.
D. Số đỉnh của đa diện.
B. Số mặt của đa diện.
D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.
C. a 3 .

D.

Hướng dẫn giải:

S

Gọi H là hình chiếu của A lên ( BCD ) .
Ta có: BH =
⇒ AH =
S ∆BCD =
Câu 6.

a3
⋅
6

a 3

3

AB 2 − BH 2 =

a 6
3

C

A
O

a2 3
a3 2
⇒ VABCD = .
4
12

B

Cho S . ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết AB = a , SA = a .
A. a 3

B.

a3 2
2

a3 2
.

6
Hướng dẫn giải:
C.

D.

a3
3

Trang 13/35


Gọi H là hình chiếu của S lên ( ABCD )
Ta có: AH =

Câu 7.

a 2
2

SA2 − AH 2 =

⇒ SH =

S

a 2
2

A

D

H
a3 2
S ABCD = a 2 ⇒ VS . ABCD =
C
B
6
Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp

S . ABC biết AB = a , SA = a .
a3 3
A.
.
12
S ∆ABC =

a

⇒ VS . ABC

2

a3 3
B.
.
4

a3

D.
3

3

C. a .
Hướng dẫn giải:

3

S

4
a3 3
=.
12

C

A
B

Câu 8.

Cho hình chóp S . ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích
S . ABCD biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a .
3

A. a .

3

a3
D.
⋅
3

3

B. 6a .

B. 2a .
Hướng dẫn giải:

S

= 2=
S ∆ABCD
a.a 2a 2 ⇒ VS . ABC =
2a 3

D

A

Câu 9.

C
B
Thể tích khối tam diện vuông O. ABC vuông tại O có OA

= a, OB
= OC
= 2a là

2a 3
A.
⋅
3

a3
B. ⋅
2

1

=
OB.OC 2a 2
 SOBC =
2

=
h OA
= a
1
2a 3
⇒ VO. ABC = OA ⋅ SOBC =
3
3

a3

C.
⋅
6
Hướng dẫn giải:

D. 2a 3 .

A

C

O

B
Trang 14/35


Câu 10. Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại A, SA = 2cm ,

=
AB 4=
cm, AC 3cm . Tính thể tích khối chóp.
A.

12 3
cm .
3

B.

24 3
cm .
5

24 3
cm .
3
Hướng dẫn giải:
S

D. 24cm3 .

C.

1

=
AB. AC 6 cm 2
 S ABC =
2

=
= 2 cm
h SA
1
12
⇒ VS . ABC = SA ⋅ S ABC = cm3
3
3

C

A

B
Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy,=
AB a=
, AD 2a . Góc giữa
SB và đáy bằng 450 . Thể tích khối chóp là

A.

a3 2
⋅
3

B.

2a 3
⋅
3

a3
⋅
3
Hướng dẫn giải:
C.

D.

a3 2
⋅
6

S

 SA AB
=
=
.tan ( 450 ) a

= a=
.2a 2a 2
 S ABCD
1
2a 3
⇒ VS . ABCD
=
SA.S ABCD
=
3
3

45

0

D

A

B

C

Câu 12. Hình chóp S . ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a 3, AC = a 2 . Khi đó thể
tích khối chóp S . ABCD là
A.

a3 2
⋅
2

B.

a3 2
⋅
3

a3 3
⋅
2
Hướng dẫn giải:
C.

D.

a3 3
⋅
3

S

 SA = a 3

AC.cos ( 450 ) =
a ⇒ S ABCD =
a2
 AB =
⇒ VS . ABCD
=

1
a3 3
SA.S ABCD
=
3
3

D

A

B

C

Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết ∆SAB là tam giác đều và
thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

( ABC ) .

Tính thể tích khối chóp S . ABC biết

AB = a , AC = a 3 .

A.

a3 6
⋅
12

B.

a3 6
⋅
4

a3 2
⋅
6
Hướng dẫn giải:
C.

D.

a3
⋅
4

Trang 15/35


∆ABC vuông tại B ⇒ BC=

AC 2 − AB 2= a 2 .

S

1
a2 2
=
S ∆ABC =
BA.BC
2
2
a 3
Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH =
2
Ta có: ∆SAB đều ⇒ SH ⊥ AB

A

C

H

⇒ SH ⊥ ( ABC ) (vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ).

B

1
a3 6
⇒ VS .=
SH .S ∆=
ABC
ABC
3
12
Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên ( SAB ) là tam giác vuông cân tại

S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Tính thể tích khối chóp S . ABCD
biết BD = a , AC = a 3 .
A. a 3 .

B.

a3 3
⋅
4

a3 3
⋅
12
Hướng dẫn giải:
C.

D.

S

Gọi O là giao điểm của AC và BD .
ABCD là hình thoi ⇒ AC ⊥ BD ,
O là trung điểm của AC , BD .
∆ABO vuông tại O

A

AO 2 + OB 2= a .

⇒ AB=

1
a2 3
.
=
S ABCD =
AC.BD
2
2

a3
⋅
3

D

H

B

C

a
Gọi H là trung điểm AB . ∆SAB vuông cân tại S cạnh AB = a ⇒ SH =
.
2
Ta có: ∆SAB cân ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) (vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ).

a3 3
1
.
SH .S ABCD
=
3
12
Câu 15. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng
⇒ VS . ABCD
=

( ABC ) là trung điểm

H của BC . Tính thể tích khối chóp S . ABC biết AB = a , AC = a 3 ,

SB = a 2 .

a3 3
B.
⋅
2

a3 6
A.
⋅
6

a3 3
C.
⋅
6
Hướng dẫn giải:

S

∆ABC vuông tại A

⇒ BC=
=
S ∆ABC
SH =

a3 6
D.
⋅
2

AC 2 + AB 2= 2a .
1
a2 3
.
=

AB. AC
2
2
SB 2 − BH 2 = a .

B

A
H
C
Trang 16/35


1
a3 3
.
SH .S ∆=
⇒ VS .=
ABC
ABC
3
6
Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng
3a
( ABCD ) là trung điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp S . ABCD biết SB = .
2
a3
A.
⋅
3

3

B. a .

∆ABH vuông tại A

SH =

3a 3
D.
⋅
2

S

a 5
.
2

AH 2 + AB 2=

⇒ BH=

a3
C.
⋅
2
Hướng dẫn giải:

A

SB 2 − BH 2 = a .
2

S ABCD = a .

H

3

1
a
.
SH .S ABCD
=
3
3

⇒ VS . ABCD
=

D

Câu 17. Hình chóp S . ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SD =
trung điểm H của AB . Thể tích khối chóp là
a3 2
A.
⋅
3

S ABCD = a

a3 2
B.
⋅
3

⇒ SH=

C. a

5a
4

2

2

SD − HD =

C

a 13
. Hình chiếu của S lên ( ABCD ) là
2

3

a3
D.

⋅
3

12 .

Hướng dẫn giải:

S

2

HD 2 = AH 2 + AD 2 =

B

2

13a 2 5a 2
−
= a 2
4
4

A

a3 2
1
.
⇒ VS . ABCD
=

SH .S ABCD
=
3
3

D

H

B

C

 bằng 1200 . Hình chiếu vuông góc của
Câu 18. Hình chóp S . ABCD đáy hình thoi, AB = 2a , góc BAD
a
S lên ( ABCD ) là I giao điểm của 2 đường chéo, biết SI = . Khi đó thể tích khối chóp
2
S . ABCD là

A.

a3 2
⋅
9

B.

a3 3
⋅

9

a3 2
⋅
3
Hướng dẫn giải:
C.

a

 SI =
2

 2 3a 2

=
=
. AD.sin BAD
 S ABCD AB

D.

a3 3
⋅
3

S

A

1
a3 3
⇒ VS . ABCD
=
SI .S ABCD
=
3
3

D
I

B

C
Trang 17/35


Câu 19. Cho hình chóp S . ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Tính tỉ số
A. 4 .

B.

1
⋅
2

C. 2 .

D.

Hướng dẫn giải:

VS . ABC
.
VS .MNC

1
⋅
4

S

M

VS . ABC
SA SB
.
4
=
=
VS .MNC SM SN

N

A

C

B

Câu 20. Cho khối chop O. ABC . Trên ba cạnh OA, OB, OC lần lượt lấy ba điểm A’, B′, C ′ sao cho
=
=
=
2OA′ OA
, 4OB′ OB
, 3OC ′ OC . Tính tỉ số
A.

1
.
12

B.

1
.
24

VO. A ' B 'C '
VO. ABC

1
.
16
Hướng dẫn giải:

Ta có:
OA′ 1 OB′ 1 OC ′ 1
= =

;
=
;
OA 2 OB 4 OC 3
V
OA′ OB′ OC ′ 1 1 1 1
⇒ O. A′B’C ’ =
⋅
⋅
= ⋅ ⋅ =
VO. ABC
OA OB OC 2 4 3 24

C.

D.

1
.
32

O

B′

A′
A

C′

C

B

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi (α ) là mặt phẳng qua A và song song với BC . (α ) cắt SB , SC
SM
biết (α ) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
SB
1
1
1
B.
.
C. .
D.
.
4
2 2
2
Hướng dẫn giải:

lần lượt tại M , N . Tính tỉ số
A.

1
.
2

Trang 18/35

S
Ta có: MN //BC ⇒

SM SN
=
SB SC

VS . AMN SM SN  SM 
Ta có:=
.
=


VS . ABC
SB SC  SB 
V
SM
1
1
Ta có: S . AMN =⇒
=
VS . ABC 2
SB
2

M

2

N

A

C

B
Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:
a3 3
A.
⋅
4

h = a


a2 3
S =

4

a3 3
B.
⋅
3

a3 2
C.
⋅
3

Hướng dẫn giải:

a3 2
D.
⋅
2
A'

C'

B'

⇒ V = h.S =

a3 3
4

A

C

B
' A A=
' B A ' D . Tính thể tích
Câu 23. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình chữ nhật, A=

khối lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a 3 , AA ' = 2a .
A. 3a 3 .

B. a 3 .

D. 3a 3 3 .

C. a 3 3 .
Hướng dẫn giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD .
ABCD là hình chữ nhật ⇒ OA = OB = OD
′A A=
′B A′D nên A ' O ⊥ ( ABD ) (vì
Mà A=

A'

A ' O là trực tâm giác ABD )
∆ABD vuông tại A

D'

⇒ BD=
AB 2 + AD 2= 2a
⇒ OA = OB = OD = a
∆AA ' O vuông tại O

A

⇒ A 'O =

AA '2 − AO 2 = a 3

=
S ABCD AB
=
. AD a

2

B'

C'

B

O

D

C

3

VABCDA
=
A=
' O.S ABCD 3a 3 .
' B 'C ' D '
Câu 24. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của A ' lên ( ABC ) là
trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' biết AB = a , AC = a 3 ,
AA ' = 2a .
a3

A.
⋅
2

3a 3
B.
⋅
2

C. a 3 3 .

D. 3a 3 3 .

Hướng dẫn giải:

Trang 19/35


Gọi H là trung điểm của BC

A'

⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) .

B'

ABC là tam giác vuông tại A

C'

AB 2 + AC 2= 2a

⇒ BC=

1
BC = a
2
∆A ' AH vuông tại H

⇒ AH =

⇒ A' H =
S ∆ABC
=

2

A

B

H
C

2

AA ' − AH = a 3

1
a2 3

AB. AC
=
2
2

3a 3
.
2
Câu 25. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A ' lên ( ABCD ) là
=
VABCA ' B 'C ' A=
' H .S ABC

trọng tâm của tam giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB = a ,

ABC = 1200 , AA ' = a .
A. a 3 2 .

B.

a3 2
⋅
6

a3 2
⋅
3
Hướng dẫn giải:
C.

D.

a3 2
⋅
2

A'

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD
⇒ A ' H ⊥ ( ABCD ) .

B'

C'

D'

 =1800 − 
Ta có: BAD
ABC =600 .
 = 600
Tam giác ABD cân có BAD
nên tam giác ABD đều.

A

a 3
ABD là tam giác đều cạnh a ⇒ AH =
3
∆A ' AH vuông tại H ⇒ A ' H =

AA '2 − AH 2 =

B

H

D

C

a 6
3

a2 3 a2 3
a3 2
; VABCDA
S=
S ABD 2. =
2=
=
A=
' H .S ABC
ABCD
' B 'C ' D '
4
2
2
V
Câu 26. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Tính tỉ số ABB 'C ' .

VABCA ' B 'C '
A.

1
⋅
2

B.

1
⋅
6

1
⋅
3
Hướng dẫn giải:

Ta có: BB ' C ' C là hình bình hành
1
1
⇒ S BB 'C ' =
S BB 'C 'C ⇒ VA.BB 'C ' =
VA.BB 'C 'C
2
2
1
Ta có: VA. A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C '
3
2

⇒ VA.BB 'C 'C = VABCA ' B 'C ' − VA. A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C '
3

C.

D.
A'

2
.
3
C'

B'

A

C

B

Trang 20/35


⇒ VABB=
'C '

V
1
1

'
VABCA ' B 'C ' ⇒ ABB 'C=
VABCA ' B 'C ' 3
3

Câu 27. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích khối tứ
diện A’BB’C’ là

a3 3
A.
⋅
12

a3 3
B.
⋅
4

a3 3
C.
⋅
6
Hướng dẫn giải:

a3
D.
⋅
12

A'

=
=′ a
h BB


a2 3
S
=
 A′B′C ′
4

⇒ VA′BB=
′C ′

C'

B'

A

1
a3 3
BB′.S A′B=
′C ′
3
12

C

B

Câu 28. Lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
300. Hình chiếu A′ lên ( ABC ) là trung điểm I của BC . Thể tích khối lăng trụ là
A.

a3 3
⋅
6

B.

a3 3
⋅
2

a3 3
⋅
12
Hướng dẫn giải:
C.

D.

a3 3
⋅
8

B'

A'

a 3 3 a
0
⋅
=
 A′I = AI .tan ( 30 ) =

2
3
2

a2 3
S
=
 ABC
4

C'

A

a3 3
⇒ VABC . A’ B’C ’ =
A′I .S ABC =
8

I

C

B

Câu 29. Lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại =
A, BC 2=
a, AB a . Mặt bên

( BB’C’C )
A.

a3 3
.
3

là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là
B. a 3 2 .

=
=′ 2a
h BB

2
2
 AC = BC − AB = a 3
1
a2 3
AB. AC
=
2
2

⇒ VABC . A’ B’C ’ = BB′.S ABC = a 3 3
⇒ S ABC
=

C. 2a 3 3 .
Hướng dẫn giải:

D. a 3 3 .

A'

C'

B'

A

C

B

Câu 30. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC ' và BB ' . Tính tỉ số
VABCMN
.
VABC . A ' B 'C '

Trang 21/35


A.

1
.
3

B.

1
.
6

1
.
2
Hướng dẫn giải:
C.

Ta có: BB ' C ' C là hình bình hành
1
⇒ S BCMN =
S BB 'C 'C
2
1
⇒ VA.BCMN =
VA. BB 'C 'C
2
1
Ta có: VA. A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C '
3
2

⇒ VA.BB 'C 'C = VABCA ' B 'C ' − VA. A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C '
3
V
1
1
⇒ VA.BCMN= VABCA ' B 'C ' ⇒ A.BCMN = .
3
VABCA ' B 'C ' 3

D.

2
.
3

A'

B'

C'

M

N

A

B

C

Câu 31. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ . Tỉ số thể tích giữa khối chóp A′. ABC và khối lăng trụ đó là
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
2
3
4
6
Hướng dẫn giải:
C'
A'

B'

1
1
=
AA′.S ABC
VABC . A′B′C ′
3
3
VA′ABC
1
⇒

=
VABC . A′B′C ′ 3

=
VA′ABC

A

C

B

Câu 32. Cho khối lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tỉ số thể tích giữa khối A′. ABD và khối lập phương là:
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
3
4
8
6
Hướng dẫn giải:
A'
1
D'
VA’. ABD = AA′.S ABD

3
C
'
B'
1
1
1
= =
AA′. AB. AD
AA′.S ABCD
3
2
6
1
D
A
= VABCD. A’ B’C ’ D’
6
C
B
VA’. ABD
1
⇒
=
.
VABCD. A’ B’C ’ D’ 6
VẬN DỤNG THẤP
Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và
( ABCD) bằng α . Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo h và α .

A.

3h3
.
4 tan 2 α

B.

4h 3
.
3 tan 2 α

Gọi O là tâm của mặt đáy thì

8h3
.
3 tan 2 α
Hướng dẫn giải:
C.

D.

3h3
.
8 tan 2 α

Trang 22/35


SO ⊥ mp ( ABCD ) . Từ đó, SO là đường

S

cao của hình chóp.Gọi M là trung điểm
đoạn CD.
Ta có:
CD ⊥ SM ⊂ ( SCD)

=
α.
CD ⊥ OM ⊂ ( ABCD) ⇒ SMO
CD ( SCD) ∩ ( ABCD)
=


h

A

α

O

B
C
1
2
V = .SABCD.SO; B = SABCD = AB ; Tìm AB: AB = 2OM
3
SO

h
h
=
.
Tam giác SOM vuông tại tại O, ta có: tan α =
⇒ OM =
OM OM
tan α

D
M

2h
4h 2
. Suy ra: B = SABCD =
. SO = h.
⇒ AB =
tan 2 α
tan α
1 4h 2
4h 3
.
.h
=
.
3 tan 2 α
3 tan 2 α
Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông góc với đáy
và mặt phẳng ( SAD ) tạo với đáy một góc 60° . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
Vậy VS.ABCD =

3a 3 3
.
4
Hướng dẫn giải:
A. V =

B. V =

3a 3 3
.
8

C. V =

8a 3 3
.
3

D. V =

4a 3 3
.
3

S

 AD ⊥ AB
Ta có: 
 AD ⊥ SB

⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SA.
=
⇒ SAB
600 .

A

SABCD = 4a2.
Xét tam giác SAB tại vuông tại B, ta có:

α

0

=
=
SB AB
tan 60 2a 3 .

B

D
2a

C
1 2
8a 3 3
Vậy V = .4a . 2a 3 =
.
3

3
Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC = a , mặt
phẳng ( A ' BC ) tạo với đáy một góc 30° và tam giác A ' BC có diện tích bằng a 2 3 . Tính thể
tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
a3 3
.
8
Hướng dẫn giải:
A.

B.

3a 3 3
.
4

C.

3a 3 3
.
8

D.

3a 3 3
.
2

Trang 23/35

V= Bh = SABC.A’B’C’.AA’.
 BC ⊥ AB
Do 
⇒ BC ⊥ A′B .
 BC ⊥ AA′

 BC ⊥ AB ⊂ ( ABC )

Và  BC ⊥ A ' B ⊂ ( A′BC )
 BC ( ABC ) ∩ ( A ' BC )
=


(

) (

A’

C’

B’

)



⇒ (
ABC ), ( A ' BC ) =

AB, A ' B =
ABA '

Ta có:

A

C

30o

a
1
′
S ∆A′BC = A B.BC
2
B
.
2
2.S ∆A′BC 2.a 3
⇒ A′=
B
=
= 2a 3
BC
a


=
AB A′B.cos=

ABA′ 2a 3.cos
=
300 3=
a; AA′ A′B.sin=
ABA′ 2a 3.sin
=
300 a 3

VABC . A ' B=
B=
.h S ABC . AA
=′
'C '

1
1
3a 3 3
.
. AB
.BC. AA′ =
=
.3a.a.a 3
2
2
2

Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông
góc của A ' trên ( ABC ) là trung điểm của AB . Mặt phẳng ( AA ' C ' C ) tạo với đáy một góc
bằng 45° . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
A. V =

3a 3
.
16

B. V =

3a 3
.
8

3a 3
.
4
Hướng dẫn giải:
C. V =

3a 3
.
2

A’

Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng AB, AC, AM.
VABC . A ' B 'C ' = S ∆ABC . A ' H .
a2 3
.
S ∆ABC =
4

Ta có IH là đường trung bình của tam giác
AMB , MB là trung tuyến của tam giác đều
ABC.
 IH // MB
Do đó: 
⇒ IH ⊥ AC
 MB ⊥ AC

D. V =

B’

C’

H

A
I

B
a

M
C

 AC ⊥ A ' H
⇒ AC ⊥ ( A ' HI ) ⇒ AC ⊥ A ' I

 AC ⊥ IH
 AC ⊥ IH ⊂ ( ABC )


Mà:  AC ⊥ A ' I ⊂ ( ACC ' A ') ⇒ 
A ' IH là góc gữa hai mặt phẳng ( AA ' C ' C ) và
( ABC ) ∩ ( ACC ' A ') =
AC

A ' IH =
45°
( ABCD ) ⇒ 
Trong tam giác A ' HI vuông tại H, ta có: tan=
45°

A' H
⇒ A=
' H IH .tan 45o .
HI

a 2 3 a 3 3a 3
1
a 3
. Vậy V =
=
.
= IH
=
MB
=
4
4
16

2
4
Trang 24/35


Câu 37. Cho hình chóp đều S . ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ( ABC ) bằng 600 , khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
A.

a3 3
.
12

B.

a3 3
.
18

3a
. Thể tích của khối chóp S . ABC theo a bằng
2 7

a3 3
.
16
Hướng dẫn giải:
C.

D.

a3 3
.
24

Gọi M là trung điểm của BC .
Trong mp(SAM), Kẻ MH ⊥ SA, ( H ∈ SA) .

 BC ⊥ AM
Ta có: 
⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ MH .
 BC ⊥ SO
Do đó MH là đường vuông góc chung của SA và BC .
3a
 = 600 .
Suy ra MH =
. Ta có: SM ⊥ BC ⇒ (
( SBC ) , ( ABC ) ) = SMA
2 7
x ⇒ AM =
3 x, OA =
2x .
Đặt OM =

S

=
⇒ SO OM .tan
=
600 x 3 và

SA
=

( x 3)

2

+ ( 2 x )= x 7 .
2

Trong SAM ta có:
SA.MH = SO. AM
a .
3a
⇔ x 7. = x 3.3x ⇔
=
x
2 7
2 3
Khi
đó: AM =3 x =3.

=
VS . ABC

H
C

A
O

a

a 3
=
⇒ AB =a .
2
2 3
2

N

B

2

1
1 a 3 a a 3
=
.S ∆ABC .SO =
.
.
3
3 4 2
24

Câu 38. Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AC = 2 3a , BD = 2a , hai
mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Biết khoảng cách từ
điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng

a3 3
A.
.
16

a 3
. Tính thể tích của khối chóp S . ABCD theo a .
4

a3 3
B.
.
18

a3 3
C.
.
3
Hướng dẫn giải

a3 3
D.
.
12

Ta có tam giác ABO vuông tại O và

S

AO = a 3 ,

BO = a . Do đó
AO
ABO =
=3 =
tan 600 ⇒ 
600 .
BO
Suy ra ∆ABD đều.
Ta
có:

I

A

D
2a 3

C

O

B

Trang 25/35