TÍCH PHÂN CỦA HÀM ẨN
BÀI TẬP
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM
1
f 0 = 2017 f ( 2 ) = 2018
\ {1}
f x
thỏa mãn f ′ ( x ) =
, ( )
,
Câu 1: Cho hàm số ( ) xác định trên
x −1
S= f ( 3) − f ( −1)
. Tính
.
B. S = ln 2 .
C. S = ln 4035 .
D. S = 4 .
A. S = 1 .
2
1
Câu 2: Cho hàm số f ( x ) xác định trên \ thỏa mãn f ′ ( x ) =
và f ( 0 ) = 1 . Giá trị của
2x −1
2
biểu thức f ( −1) + f ( 3) bằng
A. 4 + ln15 .
Câu 3:
Câu 4:
B. 3 + ln15 .
C. 2 + ln15 .
D. ln15 .
2
1
Cho hàm số f ( x) xác định trên \ thỏa mãn f ′( x) =
, f (0) = 1 và f (1) = 2 . Giá
2x −1
2
trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng
A. 4 + ln 5 .
B. 2 + ln15 .
C. 3 + ln15 .
D. ln15.
Cho hàm số f ( x ) xác định trên thỏa mãn f ′ ( x=
) 2 x + 1 và f (1) = 5 . Phương trình
=
S log 2 x1 + log 2 x2 .
f ( x ) = 5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng
A. S = 1 .
Câu 5:
B. S = 2 .
C. S = 0 .
D. S = 4 .
3
1
2
Cho hàm số f ( x) xác định trên \ thỏa =
mãn f ′ ( x ) =
, f ( 0 ) 1 và f = 2 .
3x − 1
3
3
Giá trị của biểu thức f ( −1) + f ( 3) bằng
B. −2 + 5ln 2 .
C. 4 + 5ln 2 .
f x
\ {−2; 2}
Cho hàm số ( ) xác định trên
và thỏa mãn =
f ′( x)
A. 3 + 5ln 2 .
Câu 6:
f ( 3) = 2
P = f ( −4 ) + f ( −1) + f ( 4 )
. Tính giá trị biểu thức
.
3
5
A. P= 3 + ln .
B. P= 3 + ln 3 .
C. P= 2 + ln .
25
3
và
Câu 7:
Cho hàm số f ( x ) xác định trên \ {−2;1} thỏa mãn f ′ ( x ) =
4
x −4
2
D. 2 + 5ln 2 .
f ( 0) = 1
;=
f ( −3) 0 ;
5
D. P= 2 − ln .
3
1
; f ( −3) − f ( 3) =
0
x + x−2
2
1
. Giá trị của biểu thức f ( −4 ) + f ( −1) − f ( 4 ) bằng
3
1 1
1 4
A. + ln 2 .
B. 1 + ln 80 .
C. 1 + ln 2 + ln .
3 3
3 5
và f ( 0 ) =
Câu 8:
Cho hàm số f ( x ) xác định trên \ {−1;1} và thỏa mãn f ′ ( x ) =
1
và f − +
2
Câu 9:
1 8
D. 1 + ln .
3 5
1
; f ( −3) + f ( 3) =
0
x −1
2
1
=
P f ( 0) + f ( 4) .
f =
2 . Tính giá trị của biểu thức
2
3
3
1 3
1 3
A. P= 2 + ln .
B. P = 1 + ln .
C. P = 1 + ln .
D. P = ln .
5
2 5
5
2 5
1
Cho hàm số f ( x ) xác định trên \ {±1} thỏa mãn f ′ ( x ) = 2
. Biết f ( −3) + f ( 3) =
0
x −1
1
1
và f − + f =
2 . Giá trị T = f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) bằng:
2
2
/>
1 5
A. T= 2 + ln .
2 9
1 9
B. T = 1 + ln .
2 5
1 9
C. T = 3 + ln .
2 5
1 9
D. T = ln .
2 5
Câu 10: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ( 2 ) =
và f ′ ( x ) + ( 2 x + 4 ) f 2 ( x ) =
0 . Tính f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) .
1
15
7
11
11
7
.
B.
.
C.
.
D.
.
15
30
15
30
Câu 11: Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên . Biết f 6 ( x ) . f ′ (=
x ) 12 x + 13 và f ( 0 ) = 2 .
A.
Khi đó phương trình f ( x ) = 3 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 .
B. 3 .
C. 7 .
Câu 12: Cho hàm số f ( x ) xác định trên thỏa mãn f ′ ( x ) =
D. 1 .
e x + e − x − 2 , f ( 0 ) = 5 và
1
f ( − ln16 ) + f ( ln 4 ) bằng
f ln = 0 . Giá trị của biểu thức S =
4
31
5
9
A. S = .
B. S = .
C. S = .
D. f ( 0 ) . f ( 2 ) = 1 .
2
2
2
π
Câu 13: Cho hàm số f ( x ) liên tục, không âm trên đoạn 0; , thỏa mãn f ( 0 ) = 3 và
2
π
f ( x )=
. f ′ ( x ) cos x. 1 + f 2 ( x ) , ∀x ∈ 0; . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M
2
π π
của hàm số f ( x ) trên đoạn ; .
6 2
5
21
A. m =
, M = 2 2 . B. m = , M = 3 .
2
2
5
, M = 3 . D. m = 3 , M = 2 2 .
C. m =
2
Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f ( x ) > 0 , ∀x ∈ . Biết f ( 0 ) = 1
f '( x)
= 2 − 2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) = m có hai
f ( x)
nghiệm thực phân biệt.
B. 0 < m ≤ 1 .
C. 0 < m < e .
D. 1 < m < e .
A. m > e .
Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và f ( x ) ≠ 0 với mọi x ∈ . f ′ (=
x ) ( 2 x + 1) f 2 ( x ) và
và
a
a
f (1) = −0,5 . Biết rằng tổng f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2017 ) = ; ( a ∈ , b ∈ ) với
b
b
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a
4035 .
A. a + b =−1 .
B. a ∈ ( −2017; 2017 ) . C. < −1 .
D. b − a =
b
−1
Câu 16: Cho hàm số f ( x ) ≠ 0 thỏa mãn điều kiện f ' (=
. Biết tổng
x ) ( 2 x + 3) . f 2 ( x ) và f ( 0 ) =
2
a
a
là phân số tối giản. Mệnh
f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = với a ∈ , b ∈ * và
b
b
đề nào sau đây đúng?
a
a
A. < −1 .
B. > 1 .
b
b
1010 .
3029 .
C. a + b =
D. b − a =
/>
2
3
0
f ′′ ( x ) . f ( x ) − 2 f ′ ( x ) + xf ( x ) =
Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) , ∀x ≥ 0 , thỏa mãn
. Tính
f ′ ( 0 ) 0;=
f ( 0) 1
=
f (1) .
A.
2
.
3
B.
3
.
2
C.
6
.
7
D.
Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên ; thỏa mãn f ( 0 ) = 1 và
)
(
7
.
6
f ′( x)
x
. Khi đó
= 2
f ( x) x +1
hiệu T f 2 2 − 2 f (1) thuộc khoảng
=
A. ( 2;3) .
π
Câu 19: Khi đó
4
∫
0
( 0; +∞ ) ;
D. ( 9;12 ) .
C. ( 0;1) .
B. ( 7;9 ) .
1
f ( tan t )
dt = ∫ f ( x ) dx . Vậy
cos 2t
0
1
∫ f ( x ) dx = 6 .Cho hàm số
y = f ( x ) đồng biến trên
0
y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên ( 0; +∞ ) và thỏa mãn f ( 3) =
2
và
3
f ' ( x ) = ( x + 1) . f ( x ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
B. 2614 < f 2 ( 8 ) < 2615 .
A. 2613 < f 2 ( 8 ) < 2614 .
2
C. 2618 < f 2 ( 8 ) < 2619 .
D. 2616 < f 2 ( 8 ) < 2617 .
Câu 20: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên ( 0;+ ∞ ) và thỏa mãn f (1) = 1 ,
f ( x) =
f ′ ( x ) 3 x + 1 , với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4 < f ( 5 ) < 5 .
B. 2 < f ( 5 ) < 3 .
C. 3 < f ( 5 ) < 4 .
D. 1 < f ( 5 ) < 2 .
f ( x)
15 x 4 + 12 x ,
f ′ ( x ) + f ( x ) . f ′′ ( x ) =
′ ( 0 ) 1 . Giá trị của f 2 (1) bằng
=
f ( 0 ) f=
Câu 21: Cho hàm số
A.
9
.
2
thỏa mãn
B.
∀x ∈
2
5
.
2
C. 10 .
Câu 22: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và thỏa mãn
hàm của hàm số f ( 2 x ) trên tập là:
∫
(
và
D. 8 .
)
f x +1
2
=
dx
x +1
(
x +1 + 3
x+5
) + C . Nguyên
+
A.
x+3
+C.
2 ( x2 + 4)
B.
x+3
+C .
x2 + 4
C.
2x + 3
+C .
4 ( x 2 + 1)
D.
2x + 3
+C.
8 ( x 2 + 1)
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN
Câu 23: Cho
5
2
2
5
∫ f ( x ) dx = 10 . Kết quả ∫ 2 − 4 f ( x ) dx
A. 34 .
Câu 24: Cho hàm số
F ( 0) = 3
f ( x)
. Tính
A. F ( 9 ) = −6 .
/>
B. 36 .
liên tục trên và
F (9)
F ( x)
bằng:
C. 40 .
là nguyên hàm của
f ( x)
D. 32 .
9
, biết
∫ f ( x ) dx = 9 và
0
.
B. F ( 9 ) = 6 .
C. F ( 9 ) = 12 .
D. F ( 9 ) = −12 .
2
2
f ( x ) dx 3
∫=
I
=
Câu 25: Cho
A. 2 .
0
4
∫ f ( x ) dx = 10
Câu 26: Cho 2
A. I = 5 .
B. I = 15 .
∫ g ( x ) dx = 16
Câu 27: Giả sử
A. I = 26 .
5
∫
Câu 28: Nếu 1
A. −2 .
,
∫
. Tính
2
0
và
B. I = 58 .
9
0
thì
2
∫ f ( x ) dx = 1
∫ f ( x ) dx =
và
C. I = −5 .
D. I = 10 .
9
=
I ∫ 2 f ( x ) + 3 g ( x) dx
0
. Khi đó,
bằng:
C. I = 143 .
D. I = 122 .
∫ f ( x ) dx
1
B. 2 .
3
Câu 29: Cho 1
A. 1 .
2
5
f ( x ) dx = −1
2
D. 4 .
4
∫ g ( x ) dx = 5 =I ∫ 3 f ( x ) − 5 g ( x ) dx
và
∫ f ( x ) dx = 37
f ( x ) dx = 3
bằng:
C. 8 .
0
4
9
2
∫ 4 f ( x ) − 3 dx
=
J
. Khi đó
B. 6 .
bằng
C. 3 .
D. 4 .
3
−2
2
B. −3 .
∫ f ( x ) dx
. Giá trị của 1
bằng
C. −1 .
Câu 30: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;10] và
D. 3 .
6
10
∫ f ( x ) dx = 7
∫ f ( x ) dx = 3 .
và
2
∫
=
P
0
10
f ( x ) d x + ∫ f ( x ) dx .
6
A. P = 7 .
B. P = −4 .
C. P = 4 .
1
Câu 31: Cho
Tính
2
0
∫ f ( x ) dx = 2
0
D. P = 10 .
2
2
,
∫ f ( x ) dx = 4 , khi đó
∫ f ( x ) dx =
0
?
1
A. 6 .
B. 2 .
Câu 32: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và có
2
∫ f ( x ) dx = 2 ; ∫ f ( x ) dx = 6 . Tính I = ∫ f ( x ) dx .
Câu 33: Cho
∫
−1
A. I =
và
11
.
2
B. I =
∫ f ( x ) dx =
−2
1
;
C. I =
;
1
B.
∫ f ( x ) dx =
1
. Mệnh đề nào sau đây sai?
D.
10 .
∫ f ( x ) + g ( x ) dx =
1
4
−5 .
4
f ( x)
−2 .
∫ 4 f ( x ) − 2 g ( x ) dx =
1
có
f ′( x)
liên tục trên đoạn
3
3
[ −1;3] , f ( −1) =
và
/>
∫ f ′( x) dx = 10 giá trị
−1
f ( 3)
của
bằng
A. −13 .
17
.
2
bằng
5
D. I = .
2
4
∫ f ( x ) dx = 1 .
Câu 35: Cho hàm số
−1
∫ f ( x ) dx = 3 ∫ g ( x ) dx = 7
4
8
C.
. Tính
I=
∫ x + 2 f ( x ) + 3g ( x ) dx
4
8
A.
7
.
2
4
8
Câu 34: Biết
−1
D. I = 4 .
2
2
∫ g ( x ) dx = −1
0
1
C. I = 36 .
B. I = 12 .
f ( x ) dx = 2
3
3
0
A. I = 8 .
D. 3 .
C. 1 .
1
B. −7 .
C. 13 .
D. 7 .
2
∫
2
f ( x ) dx = 3
Câu 36: Cho
A. 4 .
. Tính
0
∫ ( f ( x ) + 1) dx
0
?
B. 5 .
C. 7 .
D. 1 .
2
Câu 37: Cho y = f ( x ) , y = g ( x ) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ 0; 2] và
2
2
0
0
2
∫0 g ( x ) . f ′ ( x ) dx =
′
3 . Tính tích phân I = ∫ f ( x ) .g ( x ) dx .
∫ g ′ ( x ) . f ( x ) dx =
,
B. I = 6 .
A. I = −1 .
C. I = 5 .
Câu 38: Cho hai tích phân
∫ f ( x ) dx = 8
−2
và
∫ g ( x ) dx = 3
5
B. I = 13 .
A. I = −11 .
D. I = 1 .
−2
5
5
. Tính I =
C. I = 27 .
∫ f ( x ) − 4 g ( x ) − 1 dx .
−2
D. I = 3 .
1
Câu 39: Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 4 x3 + 2 x 2 − x + 1 , ∀x ∈ . Tính ∫ f 2 ( x ) . f ′ ( x ) dx .
0
A.
2
.
3
2
C. − .
3
B. 2 .
6
Câu 40: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn
D. −2 .
4
f ( x ) dx = 10 và
∫
∫ f ( x ) dx = 6 . Tính
2
0
2
6
0
4
giá trị của biểu=
thức P
∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
A. P = 4 .`
B. P = 16 .
C. P = 8 .
Câu 41: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1] và có
D. P = 10 .
1
1
5 . Tính ∫ f ( x ) dx .
∫ 3 − 2 f ( x ) dx =
0
0
A. −1 .
B. 2.
D. −2 .
C. 1.
Câu 42: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1], có
1
∫
f ( x ) dx = 4 và
0
. Tính tích phân
=
I
1
∫ g ( x ) dx =
−2
0
∫ f ( x ) − 3g ( x ) dx .
A. −10 .
B. 10 .
D. −2 .
C. 2.
1
Câu 43: Cho hàm số f ( x ) = ln x + x 2 + 1 . Tính tích phân I = ∫ f ' ( x ) dx .
(
)
B.=
I ln 1 + 2 .
A. I = ln 2 .
0
C. I = ln 2
D. I = 2 ln 2
Câu 44: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f (1) = e 2 ,
ln 3
∫ f ' ( x ) dx=
9 − e 2 . Tính I = f ( ln 3) .
1
A. I = 9 − 2e 2 .
B. I = 9 .
C. I = −9 .
D.=
I 2e 2 − 9 .
Câu 45: Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn
1
1
0
0
∫ f ' ( x ) .g ( x ) dx = 1 , ∫ f ( x ) .g ' ( x ) dx =
A. I = −2 .
/>
B. I = 0 .
1
−1 . Tính I = ∫ f ( x ) .g ( x ) dx .
/
0
C. I = 3 .
D. I = 2 .
x2
∫ f ( t ) dt = x.cos π x . Tính f ( 4 ) .
Câu 46: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ( 0; +∞ ) và thỏa
0
2
B. f ( 4 ) = .
3
A. f ( 4 ) = 123 .
Câu 47: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
f ( x)
∫
C. f ( 4 ) =
3
.
4
1
.
4
D. f ( 4 ) =
t 2 .dt = x.cos π x . Tính f ( 4 ) .
0
A. f ( 4 ) = 2 3 .
C. f ( 4 ) =
B. f ( 4 ) = −1 .
D. f ( 4 ) = 3 12 .
π
x
Câu 48: Cho hàm số
=
G ( x)
1
.
2
∫ t.cos ( x − t ) .dt . Tính G ' 2 .
0
π
B. G ' = 1 .
2
π
A. G ' = −1 .
2
π
C. G ' = 0 .
2
π
D. G ' = 2 .
2
x2
Câu 49: Cho hàm số G ( x ) = ∫ cos t .dt ( x > 0 ). Tính G ' ( x ) .
A. G ' ( x ) = x .cos x .
0
x
Câu 50: Cho hàm số G (=
x)
∫
D. G =
' ( x ) cos x − 1 .
B. G ' ( x ) = 2 x.cos x . C. G ' ( x ) = cos x .
2
1 + t 2 dt . Tính G ' ( x ) .
1
A.
x
1+ x
2
B. 1 + x 2 .
.
Câu 51: Cho hàm số F ( x ) =
x
∫ sin t .dt
2
1
C.
1+ x
2
D. ( x 2 + 1) x 2 + 1 .
.
( x > 0 ). Tính F ' ( x ) .
1
A. sin x .
B.
sin x
.
2 x
C.
2sin x
.
x
D. sin x .
x
Câu 52: Tính đạo hàm của f ( x ) , biết f ( x ) thỏa ∫ t.e f (t ) dt = e f ( x ) .
0
A. f ' ( x ) = x .
Câu 53: Cho hàm số
C. f ' ( x ) =
B. f ' ( x=
) x2 + 1 .
y = f ( x)
0; + ∞ )
liên tục trên [
1
.
x
D. f ' ( x ) =
x2
và
∫ f ( t ) dt = x.sin (π x ) . Tính
1
.
1− x
f ( 4)
0
A. f (π ) =
π −1
Câu 54: Cho hàm số
B. f (π ) =
.
4
f ( x)
π
2
liên tục trên khoảng
C. f (π ) =
.
( −2; 3)
. Gọi
F ( x)
π
4
D. f (π ) =
.
là một nguyên hàm của
2
=
I
−2; 3)
khoảng (
. Tính
B. I = 10 .
A. I = 6 .
2
Câu 55: Cho
∫
A. I =
và
11
.
2
2
, biết
2
f ( x ) dx = 2
−1
∫ f ( x ) + 2 x dx
−1
∫ g ( x ) dx = −1
−1
B. I =
7
.
2
2
F 2 =4
F ( −1) =
1
và ( )
.
I
=
3
C.
.
D. I = 9 .
2
. Tính
I=
∫ x + 2 f ( x ) − 3g ( x ) dx
−1
C. I =
17
.
2
−3
1 ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx =
∫1 3 f ( x ) + 2 g ( x ) dx =
Câu 56: Cho
, 1
. Khi đó,
/>
D. I =
5
.
2
2
∫ f ( x ) dx
1
bằng
1
.
2
f ( x)
trên
16
11
5
6
.
B. − .
C. .
D.
.
7
7
7
7
Câu 57: Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [ −1;1] và f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là
A.
1
hàm số lẻ. Biết
1
∫ f ( x ) dx = 5 ; ∫ g ( x ) dx = 7 . Mệnh đề nào sau đây là sai?
0
0
1
A.
1
∫ f ( x ) dx = 10 .
B.
C.
10 .
∫ f ( x ) + g ( x ) dx =
−1
−1
1
1
10 .
∫ f ( x ) − g ( x ) dx =
D.
−1
∫ g ( x ) dx = 14 .
−1
Câu 58: Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [ −1;1] và f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là
1
hàm số lẻ. Biết
1
∫ f ( x ) dx = 5 ; ∫ g ( x ) dx = 7 . Mệnh đề nào sau đây là sai?
0
0
1
A.
1
∫ f ( x ) dx = 10 .
B.
C.
10 .
∫ f ( x ) + g ( x ) dx =
−1
−1
1
1
10 .
∫ f ( x ) − g ( x ) dx =
D.
10
∫
8
f ( z ) dz = 17
Câu 59: Nếu
A. −15 .
và
0
∫
10
f ( t ) dt = 12
thì
0
∫ −3 f ( x ) dx
bằng
C. 15 .
8
B. 29 .
2
Câu 60: Cho −1
A. 11 .
,
−1
D. 5 .
7
7
∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( t ) dt = 9
∫ g ( x ) dx = 14 .
−1
−1
. Giá trị của
∫ f ( z ) dz
2
B. 5 .
là
D. 9 .
C. 7 .
Câu 61: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, luôn dương trên [ 0;3] và thỏa
mãn I
=
3
f ( x ) dx
∫=
4 . Khi đó
0
∫ (e
3
giá trị của tích=
phân K
1+ ln ( f ( x ) )
)
+ 4 dx là:
0
A. 4 + 12e .
B. 12 + 4e .
C. 3e + 14 .
Câu 62: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên thỏa
D. 14 + 3e .
′ ( 0 ) 1;
f ( 0 ) f=
=
.
) f ( x ) + f ( y ) + 3xy ( x + y ) − 1, ∀x,y ∈
f ( x + y =
1
Tính
∫ f ( x − 1)dx .
0
A.
1
.
2
1
B. − .
4
Câu 63: Cho hàm số f ( x ) là hàm bậc nhất thỏa mãn
C.
1
.
4
D.
7
.
4
1
10 và 2 f (1) − f ( 0 ) =
2.
∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx =
0
Tính I = ∫ f ( x ) dx .
1
A. I = 1 .
0
/>
B. I = 8 .
C. I = −12 .
D. I = −8 .
Câu 64: Cho hàm số
f ( x)
xác định trên
\ {0}
, thỏa mãn f ′ ( x ) =
1
f 1 =a
f −2 =
b
, ( )
và ( )
5
x +x
3
f −1 + f ( 2 )
. Tính ( )
.
A. f ( −1) + f ( 2 ) =−a − b .
B. f ( −1) + f ( 2 ) = a − b .
C. f ( −1) + f ( 2 ) = a + b .
D. f ( −1) + f ( 2 ) = b − a .
Câu 65: Cho hàm số
f ( x)
xác định trên
\ {0}
và thỏa mãn f ′ ( x ) =
1
f 1 = a f ( −2 ) =
b
, ( )
,
4
x +x
2
f −1 − f ( 2 )
. Giá trị của biểu thức ( )
bằng
A. b − a .
B. a + b .
C. a − b .
D. −a − b .
Câu 66: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện f ( x ) > 0
1
. Tính giá trị của f ( ln 2 ) .
2
2
1
C. f ( ln 2 ) = .
D. f ( ln 2 ) = .
3
3
định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các
, ∀x ∈ ; f ′ ( x ) = −e x . f 2 ( x ) , ∀x ∈ và f ( 0 ) =
2
2
.
B. f ( ln 2 ) = − .
9
9
Câu 67: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) , xác
A. f ( ln 2 ) =
, f ′( x)
điều kiện f ( x ) > 0 ∀x ∈ =
( x. f ( x ) )
2
, ∀x ∈ và f ( 0 ) = 2 . Phương trình tiếp
tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị ( C ) là.
A. =
B. y =
C.=
y 6 x + 30 .
y 36 x − 30 .
−6 x + 30 .
Câu 68: Cho hàm số=
y f ( x ) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn
x
g ( x ) = 1 + 2018∫ f ( t ) dt , g ( x ) = f 2 ( x ) . Tính
0
∫
g ( x ) dx .
0
2019
.
D. 505 .
2
−1;1]
y = f ( x)
f x > 0, ∀x ∈
Câu 69: Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên đoạn [
, thỏa mãn ( )
f ' x + 2 f ( x) =
0
f 1 =1
f −1
và ( )
. Biết ( ) , tính ( ) .
A. f ( −1) =
B. f ( −1) =
C. f ( −1) =
D. f ( −1) =
e3 .
e −2 .
e4 .
3.
A.
1011
.
2
B.
1009
.
2
1
D. y =
−36 x + 42 .
[0;1] và thỏa mãn:
C.
Câu 70: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ′ ( 0 ) = 9 và
=
T f (1) − f ( 0 ) .
9 f ′′ ( x ) + f ′ ( x ) − x =
9 . Tính
2
1
D. T= 2 − 9 ln 2 .
+ 9 ln 2 .
2
f ' x . f x= x 4 + x 2
f 2 ( 2)
y = f ( x)
f 0 =2
Câu 71: Cho hàm số
thỏa mãn ( ) ( )
. Biết ( )
. Tính
.
313
332
324
323
A. f 2 ( 2 ) =
.
B. f 2 ( 2 ) =
.
C. f 2 ( 2 ) =
.
D. f 2 ( 2 ) =
.
15
15
15
15
Câu 72: Cho f ( x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1; 4] thỏa mãn
A. T= 2 + 9 ln 2 .
B. T = 9 .
C. T=
2
3
x +=
2 xf ( x ) f ′ ( x ) , ∀x ∈ [1; 4=
] , f (1) . Giá trị f ( 4 ) bằng:
2
361
381
371
391
B.
C.
D.
A.
18
18
18
18
y = f ( x)
f ′( x)
0; +∞ )
Câu 73: Cho hàm số
có
liên tục trên nửa khoảng [
thỏa mãn
3 f ( x ) + f ′ ( x ) =+
1 3.e −2 x
/>
. Khi đó:
1
A. e3 f (1) − f ( 0 )=
C. e f (1) − f ( 0 )
3
e +3
2
( e + 3)
=
2
−
1
.
2
e2 + 3 − 8
.
B. e3 f (1) − f ( 0=
)
1
1
− .
2 e +3 4
D. e3 f (1) − f ( 0 )=
(e
2
2
+ 3) e 2 + 3 − 8 .
3
Câu 74: Cho hàm số f liên tục, f ( x ) > −1 , f ( 0 ) = 0 và thỏa f ′ ( x ) =
x 2 + 1 2 x f ( x ) + 1 . Tính
f
( 3) .
A. 0 .
B. 3 .
C. 7 .
D. 9 .
1
và f ( 0 ) = − . Biết rằng
2
a
a
tổng f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = với ( a ∈ , b ∈ * ) và
là phân số
b
b
tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?
a
a
1010 .
3029 .
A. < −1 .
B. > 1 .
C. a + b =
D. b − a =
b
b
ax + b
Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để F ( x ) =
( 4a − b ≠ 0 ) là nguyên hàm của hàm số f ( x )
x+4
2
và thỏa mãn: 2 f=
( x ) F ( x ) − 1 f ′ ( x ) .
Câu 75: Cho hàm số f ( x ) ≠ 0 thỏa mãn điều kiện f ′ (=
x)
( 2 x + 3) f 2 ( x )
Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
A. a = 1 , b = 4 .
B. a = 1 , b = −1 .
C. a = 1 , b ∈ \ {4} . D. a ∈ , b ∈ .
f (1) = 4
y = f ( x)
1; 2
Câu 77: Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên [ ] thỏa mãn
và
3
2
f ( x=
) xf ′ ( x ) − 2 x − 3x . Tính f ( 2 )
B. 20 .
C. 10 .
D. 15 .
A. 5 .
x
π π
Câu 78: Cho f ( x ) =
trên − ; và F ( x ) là một nguyên hàm của xf ′ ( x ) thỏa mãn
2
cos x
2 2
π π
F ( 0 ) = 0 . Biết a ∈ − ; thỏa mãn tan a = 3 . Tính F ( a ) − 10a 2 + 3a .
2 2
1
1
1
A. − ln10 .
B. − ln10 .
C. ln10 .
D. ln10 .
2
2
4
Câu 79: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
f ( x ) > 0 , ∀x ∈ , f ′ ( x ) = −e x . f 2 ( x ) ∀x ∈ và f ( 0 ) =
1
. Phương trình tiếp tuyến của
2
đồ thị tại điểm có hoành độ x0 = ln 2 là
A. 2 x + 9 y − 2 ln 2 − 3 =
B. 2 x − 9 y − 2 ln 2 + 3 =
0.
0.
C. 2 x − 9 y + 2 ln 2 − 3 =
D. 2 x + 9 y + 2 ln 2 − 3 =
0.
0.
Câu 80: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] , f ( x ) và f ′ ( x ) đều nhận giá trị
1
1
2
dương trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn f ( 0 ) = 2 , ∫ f ′ ( x ) . f ( x ) + 1 dx =
2 ∫ f ′ ( x ) . f ( x ) dx
0
0
1
. Tính
∫ f ( x )
3
dx .
0
A.
15
.
4
/>
B.
15
.
2
C.
17
.
2
D.
19
.
2
Câu 81: Cho f ( x) không âm thỏa mãn điều kiện f =
( x). f '( x) 2 x f 2 ( x) + 1 và f (0) = 0 . Tổng giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên [1;3] là
A. 22
B. 4 11 + 3
C. 20 + 2
Câu 82: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và đồng biến trên
( x ))
( f ′=
2
e f ( x ) , ∀x ∈ . Tính tích phân
x
D. 3 11 + 3
thỏa mãn f ( 0 ) = 1 và
1
∫ f ( x ) dx bằng
0
B. e − 1 .
C. e 2 − 2 .
D. e 2 − 1 .
y = f ( x)
\ {0}
Câu 83: Cho hàm số
xác định và liên tục trên
thỏa
2
2 2
x f ( x ) + ( 2 x − 1) f ( x=
) xf ′ ( x ) − 1 với ∀x ∈ \ {0} và f (1) = −2 . Tính f ( x ) dx .
∫
A. e − 2 .
mãn
1
1
A. − − ln 2 .
2
Câu 84: Cho hàm số
3
ln 2
B. − − ln 2 .
C. −1 −
.
2
2
y = f ( x ) . Có đạo hàm liên tục trên
3 ln 2
D. − −
.
2 2
. Biết f (1) = e
và
( x + 2 ) f ( x ) =xf ′ ( x ) − x3 , ∀x ∈ . Tính f ( 2 ) .
A. 4e 2 − 4e + 4 .
B. 4e 2 − 2e + 1 .
C. 2e3 − 2e + 2 .
D. 4e 2 + 4e − 4 .
Câu 85: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn f ( 0 ) = 0 . Biết
1
∫
f 2 ( x ) dx =
0
A.
1
π
9
và
2
1
∫
f ′ ( x ) cos
πx
2
0
.
B.
4
π
dx =
3π
. Tích phân
4
.
C.
6
π
1
∫ f ( x ) dx bằng
0
.
D.
1
Câu 86: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; 1] , thỏa mãn ∫=
f ( x ) dx
0
1
∫ f ( x ) dx = 4 . Giá trị của tích phân
2
0
1
∫ f ( x )
3
2
π
.
1
xf ( x ) dx
∫=
1 và
0
dx bằng
0
B. 8 .
C. 10 .
D. 80 .
A. 1 .
Câu 87: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f ( x ) > 0 khi x ∈ [1, 2] .
2
Biết
∫
f ' ( x ) dx = 10 và
1
A. f ( 2 ) = −10 .
( )
∫ f ( x ) dx = ln 2 . Tính f ( 2 ) .
2
f' x
1
B. f ( 2 ) = 20 .
C. f ( 2 ) = 10 .
D. f ( 2 ) = −20 .
Câu 88: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ 4;8] và f ( 0 ) ≠ 0 với ∀x ∈ [ 4;8] . Biết
f ′ ( x )
1
1
rằng ∫
. Tính f ( 6 ) .
f ( 4) =
, f (8)
dx = 1 và=
4
4
2
f
x
(
)
4
8
2
2
5
3
1
.
B. .
C. .
D. .
3
8
8
3
Câu 89: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn các điều
A.
kiện f ′ ( 0 ) = −1 và f ′ ( x ) = f ′′ ( x ) . Đặt=
T f (1) − f ( 0 ) , hãy chọn khẳng định đúng?
A. −2 ≤ T < −1 .
B. −1 ≤ T < 0 .
C. 0 ≤ T < 1 .
D. 1 ≤ T < 2 .
2
/>
f ( x ) > 0, ∀ x ∈ ,
′ ( 0 ) 1,
Câu 90: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên thoả =
.
f ( 0 ) f=
2
2
xy + y′= yy′′, ∀ x ∈ .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
1
1
B. 0 < ln f (1) < .
A. < ln f (1) < 1 .
2
2
C.
3
< ln f (1) < 2 .
2
Câu 91: Cho f , g là hai hàm liên tục trên [1;3] thỏa mãn điều kiện
D. 1 < ln f (1) <
3
.
2
3
10 đồng
∫ f ( x ) + 3g ( x ) dx =
1
3
3
thời ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx =
6 . Tính ∫ f ( x ) + g ( x ) dx .
1
1
A. 9 .
B. 6 .
C. 7 .
Câu 92: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ a; b ] , nếu
D. 8 .
d
d
a
b
∫ f ( x ) dx = 5 và ∫ f ( x ) dx = 2 (với a < d < b
b
) thì
∫ f ( x ) dx bằng.
a
5
.
2
Câu 93: Cho f ( x ) và g ( x ) là hai hàm số liên tục trên đoạn [1;3] , thỏa mãn:
A. 3 .
B. 7 .
C.
3
3
1
1
10 và ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx =
=
I
6 . Tính
∫ f ( x ) + 3g ( x ) dx =
D. 10 .
3
∫ f ( x ) + g ( x ) dx
1
A. I = 8 .
B. I = 9 .
C. I = 6 .
D. I = 7 .
Câu 94: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;5] và đồ thị hàm số y = f ′ ( x )
trên đoạn [ 0;5] được cho như hình bên.
y
1
O
3 5
x
−5
Tìm mệnh đề đúng
A. f=
f ( 5) .
( 0 ) f ( 5) < f ( 3) . B. f ( 3) < f ( 0 ) =
C. f ( 3) < f ( 0 ) < f ( 5 ) . D. f ( 3) < f ( 5 ) < f ( 0 ) .
Câu 95: Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ ( 0; +∞ ) đồng thời thỏa mãn điều kiện:
f ( x ) = x ( sin x + f ' ( x ) ) + cos x và
3π
2
∫ f ( x ) sin xdx =
π
−4. Khi đó, f (π ) nằm trong khoảng
2
nào?
A. ( 6; 7 ) .
/>
B. ( 5; 6 ) .
C. (12;13) .
D. (11;12 ) .
Câu 96: Cho
hàm
f ( x)
số
xác
định
π
π
2
π
2 −π
. Tích phân
∫0 f ( x ) − 2 2 f ( x ) sin x − 4 d x =
2
2
2
A.
π
B. 0 .
.
π
0; 2
trên
∫ f ( x) d x
thỏa
mãn
bằng
0
π
C. 1 .
D.
C. I = 2 .
D. I = e + 2 .
.
4
2
2
Câu 97: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên thỏa mãn 3 f ( x ) + f ( 2 − x ) = 2 ( x − 1) e x − 2 x +1 + 4 . Tính
2
tích phân I = ∫ f ( x ) dx ta được kết quả:
0
A. I = e + 4 .
B. I = 8 .
2
2
0
0
Câu 98: Suy ra 4 ∫ f ( x ) dx =
8 ⇔ ∫ f ( x ) dx =
2 . Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên \ {0; − 1} thỏa
mãn điều kiện f (1) = −2 ln 2 và x ( x + 1) . f ′ ( x ) + f ( x ) =
x 2 + x . Giá trị f ( 2 )= a + b ln 3 , với
a, b ∈ . Tính a 2 + b 2 .
25
9
A.
.
B. .
4
2
C.
5
.
2
Câu 99: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên và f ′ ( x ) ≥ x 4 +
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm trên ( 0;1) .
D.
13
.
4
2
− 2 x ∀x > 0 và f (1) = −1 .
x2
B. Phương trình f ( x ) = 0 có đúng 3 nghiệm trên ( 0; +∞ ) .
C. Phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm trên (1; 2 ) .
C. Phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm trên ( 2;5 ) .
Hươngd dẫn giải
Chọn C
x 6 − 2 x3 + 2
2
f ′ ( x) ≥ x + 2 − 2x = =
x2
x
⇒y=
f ( x ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) .
4
(x
3
− 1) + 1
2
x2
> 0 , ∀x > 0 .
⇒ f ( x ) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng ( 0; +∞ ) (1) .
Mặt khác ta có:
2
2
2
2
21
f ′ ( x ) ≥ x 4 + 2 − 2 x > 0 , ∀x > 0 ⇒ ∫ f ′ ( x ) dx ≥ ∫ x 4 + 2 − 2 x dx =
x
x
5
1
1
21
17
⇒ f ( 2 ) − f (1) ≥
⇒ f ( 2) ≥ .
5
5
Kết hợp giả thiết ta có y = f ( x ) liên tục trên [1; 2] và f ( 2 ) . f (1) < 0 ( 2 ) .
Từ (1) và ( 2 ) suy ra phương trình f ( x ) = 0 có đúng 1 nghiệm trên khoảng (1; 2 ) .
Câu 100: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục trên và thỏa mãn f ′ ( x ) ∈ [ −1;1] với
2
∀x ∈ ( 0; 2 ) . Biết f=
( 0 ) f=
( 2 ) 1 . Đặt I = ∫ f ( x ) dx , phát biểu nào dưới đây đúng?
A. I ∈ ( −∞; 0] .
/>
B. I ∈ ( 0;1] .
0
C. I ∈ [1; +∞ ) .
D. I ∈ ( 0;1) .
Câu 101: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0; 1] thỏa mãn
1
∫ xf ( x ) dx = 0 và
0
max f ( x ) = 1. Tích
[0; 1]
1
phân I = ∫ e x f ( x ) dx thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
0
5
3
5 3
A. −∞; − .
B. ; e − 1 .
C. − ; .
D. ( e − 1; + ∞ ) .
4
2
4 2
Câu 102: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 0 ) = 1 và
3
2
1
3∫ f ′ ( x ) f ( x ) + dx ≤ 2 ∫ f ′ ( x ) f ( x ) dx . Tính tích phân ∫ f ( x ) dx :
9
0
0
0
3
5
7
5
A. .
B. .
C. .
D. .
2
6
4
6
Câu 103: Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn hệ thức
1
1
1
4
4
f (1) + g (1) =
.
Tính
=
I
∫1 f ( x ) + g ( x ) dx .
− x. f ′ ( x ) ; f ( x ) =
− x.g ′ ( x )
g ( x ) =
A. 8ln 2 .
B. 3ln 2 .
C. 6 ln 2 .
/>
D. 4 ln 2 .
HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM
1
f 0 = 2017
f x
\ {1}
Câu 1: Cho hàm số ( ) xác định trên
thỏa mãn f ′ ( x ) =
, ( )
,
x −1
S= f ( 3) − f ( −1)
f ( 2 ) = 2018
. Tính
.
A. S = 1 .
B. S = ln 2 .
C. S = ln 4035 .
D. S = 4 .
Hươngd dẫn giải
Chọn A
1
Cách 1: Ta có ∫ f ( x ) dx= ∫
dx= ln ( x − 1 ) + C .
x −1
f ( x=
) ln ( x − 1 ) + 2017 khi x < 1
Theo giả thiết f ( 0 ) = 2017 , f ( 2 ) = 2018 nên
.
) ln ( x − 1 ) + 2018 khi x > 1
f ( x=
Do đó S= f ( 3) − f ( −1) = ln 2 + 2018 − ln 2 − 2017 = 1 .
Cách 2:
0
0
dx
1
(1)
= ln x − 1 |0−1= ln
f (0) − f (−1)= ∫ f '( x)dx= ∫
x −1
2
−1
−1
Ta có:
3
3
dx
f (3) − f (2) = f '( x)dx =
= ln x − 1 |32 = ln 2 (2)
∫
∫
x
1
−
2
2
Lấy (1)+(2), ta được f (3) − f (2) + f (0) − f (−1) =
0⇒S=
1.
2
1
Câu 2: Cho hàm số f ( x ) xác định trên \ thỏa mãn f ′ ( x ) =
và f ( 0 ) = 1 . Giá trị của
2x −1
2
biểu thức f ( −1) + f ( 3) bằng
A. 4 + ln15 .
B. 3 + ln15 .
C. 2 + ln15 .
Hươngd dẫn giải
D. ln15 .
Chọn C
1
2. d ( 2 x − 1)
2
Ta có f ( =
x ) ∫ f ′ ( x ) dx
= ∫
dx
= ∫ 2
= ln 2 x − 1 + c .
2x −1
2x −1
1 ⇔ f (=
x ) ln 2 x − 1 + 1 .
f ( 0) = 1 ⇔ c =
f ( −1) = ln 3 + 1
⇔ f ( −1) + f ( 3) = 2 + ln15 .
3) ln 5 + 1
f (=
2
1
Câu 3: Cho hàm số f ( x) xác định trên \ thỏa mãn f ′( x) =
, f (0) = 1 và f (1) = 2 .
2x −1
2
Giá trị của biểu thức f (−1) + f (3) bằng
A. 4 + ln 5 .
B. 2 + ln15 .
C. 3 + ln15 .
D. ln15.
Hươngd dẫn giải
Chọn C
2
1
Cách 1: • Trên khoảng ; +∞ : f ( x=
= ln(2 x − 1) + C1.
) ∫
dx
2x −1
2
Lại có f (1) =2 ⇒ C1 =2.
1
• Trên khoảng −∞; : f ( x) =
2
/>
2
∫ 2 x − 1 dx = ln(1 − 2 x) + C .
2
1 C2 =
1.
Lại có f (0) =⇒
1
ln(2 x − 1) + 2 khi x > 2
Vậy f ( x) =
.
1
ln(1 − 2 x) + 1 khi x <
2
Suy ra f (−1) + f (3) = 3 + ln15.
Cách 2:
0
0
2dx
1
0
(1)
= ∫ f '( x)dx
= ∫
= ln 2 x − 1 |=
f (0) − f (−1)
−1 ln
2x −1
3
−1
−1
Ta có:
3
3
2dx
f (3) − f (1)=
f
x
dx
'(
)
=
= ln 2 x − 1 |=13 ln 5 (2)
∫
∫
2x −1
1
1
Lấy (2)-(1), ta được f (3) − f (1) − f (0) + f (−1) = ln15 ⇒ f (−1) + f (3) = 3 + ln15 .
Câu 4: Cho hàm số f ( x ) xác định trên thỏa mãn f ′ ( x=
) 2 x + 1 và f (1) = 5 . Phương trình
f ( x ) = 5 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng
=
S log 2 x1 + log 2 x2 .
A. S = 1 .
Chọn A
Ta có: f ( x ) =
B. S = 2 .
∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 2 x + 1) dx =
C. S = 0 .
Hướng dẫn giải
D. S = 4 .
x2 + x + C .
Mà f (1) = 5 ⇔ 1 + 1 + C = 5 ⇔ C = 3 ⇒ f ( x ) = x 2 + x + 3 .
x = 1
Xét phương trình: f ( x ) = 5 ⇔ x 2 + x + 3 = 5 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔
.
x = −2
=
S log 2 x1 + log 2 =
x2 log 2 1 + log 2 =
−2 1 .
Câu 5:
3
1
2
Cho hàm số f ( x) xác định trên \ thỏa =
mãn f ′ ( x ) =
, f ( 0 ) 1 và f = 2 .
3x − 1
3
3
Giá trị của biểu thức f ( −1) + f ( 3) bằng
A. 3 + 5ln 2 .
B. −2 + 5ln 2 .
C. 4 + 5ln 2 .
Hươngd dẫn giải
D. 2 + 5ln 2 .
Chọn A
1
ln 3 x − 1 + C1 khi x ∈ −∞; 3
3
3
Cách 1: Từ f ′ ( x ) =
.
⇒ f ( x) = ∫
dx=
3x − 1
3x − 1
1
ln 3 x − 1 + C khi x ∈ ; +∞
1
3
1
ln 3 x − 1 + 1 khi x ∈ −∞;
f ( 0) = 1
+ C1 1 =
3
0=
C1 1
Ta có: 2
.
⇒ f ( x) =
⇒
⇔
0
C
2
C
2
=
+
=
f
2
1
=
2
2
ln 3 x − 1 + 2 khi x ∈ ; +∞
3
3
Khi đó: f ( −1) + f ( 3) = ln 4 + 1 + ln 8 + 2 = 3 + ln 32 = 3 + 5ln 2 .
0
) f ( x ) −=1
f ( 0 ) − f ( −1=
Cách 2: Ta có
3
2
f ( 3) − f = f ( x ) 2=
3
3
/>
0
∫
0
f ′ ( x ) dx
=
−1
3
3
∫ 3x − 1 dx=
−1
3
3
∫ f ′ ( x ) dx= ∫ 3x − 1 dx=
2
3
2
3
0
ln 3 x − 1 −=
ln
1
3
ln 3 x − 1 2= ln 8
3
1
4
(1)
( 2)
2
Lấy ( 2 ) − (1) , ta được: f ( 3) + f ( −1) − f ( 0 ) − f = ln 32 ⇒ f ( −1) + f ( 3) = 3 + 5ln 2 .
3
4
\ {−2; 2}
f x
Câu 6: Cho hàm số ( ) xác định trên
và thỏa mãn =
f ′( x)
;=
f ( −3) 0 ;
2
x −4
P = f ( −4 ) + f ( −1) + f ( 4 )
f 3 =2
f ( 0) = 1
và ( )
. Tính giá trị biểu thức
.
5
3
5
A. P= 3 + ln .
B. P= 3 + ln 3 .
C. P= 2 + ln .
D. P= 2 − ln .
3
3
25
Hươngd dẫn giải
Chọn B
x−2
ln x + 2 + C1 khi x ∈ ( −∞; −2 )
x−2
4dx
4dx
4
=∫
Từ f ′ ( x ) = 2
⇒ f ( x) =
= ln
+ C khi x ∈ ( −2; 2 )
2
∫
x −4
x −4
( x − 2 )( x + 2 ) x + 2 2
x−2
+ C3 khi x ∈ ( 2; +∞ )
ln
x+2
0
f ( −3) =
ln 5 + C1 =
0
C1 = − ln 5
1
Ta có f ( 0 ) = 1 ⇒ 0 + C2 =
1
⇔ C2 =
1
C = 2 + ln 5
3
f ( 2) = 2
ln + C3 =
2
5
x−2
khi x ∈ ( −∞; −2 )
ln x + 2 -ln5
x−2
⇒
f ( x ) ln
=
+1
khi x ∈ ( −2; 2 ) .
+
x
2
x−2
+ 2 + ln 5 khi x ∈ ( 2; +∞ )
ln
x+2
1
Khi đó P = f ( −4 ) + f ( −1) + f ( 4 ) = ln 3 − ln 5 + ln 3 + 1 + ln + 2 + ln 5 = 3 + ln 3 .
3
1
Câu 7: Cho hàm số f ( x ) xác định trên \ {−2;1} thỏa mãn f ′ ( x ) = 2
; f ( −3) − f ( 3) =
0
x + x−2
1
và f ( 0 ) = . Giá trị của biểu thức f ( −4 ) + f ( −1) − f ( 4 ) bằng
3
1 1
1 4
1 8
A. + ln 2 .
B. 1 + ln 80 .
C. 1 + ln 2 + ln .
D. 1 + ln .
3 3
3 5
3 5
Hươngd dẫn giải
Chọn A
1
x −1
3 ln x + 2 + C1 khi x ∈ ( −∞; −2 )
1
1
dx
dx
x −1
f ′( x) = 2
=
⇒ f ( x) ∫ =
= ln
+ C khi
x ∈ ( −2;1)
2
∫
x + x−2
x + x−2
( x − 1)( x + 2 ) 3 x + 2 2
1
x −1
+ C3 khi x ∈ (1; +∞ )
ln
3 x + 2
1
1 2
1
Do đó f ( −3) − f ( 3) = 0 ⇒ ln 4 + C1 − ln − C3 ⇒ C3 = C1 + ln10 .
3
3 5
3
/>
1 1 1
1
1 1
Và f ( 0 ) = ⇒ ln + C2 = ⇒ C2 = + ln 2 .
3 3 2
3
3 3
1
x −1
ln
+ C1
khi x ∈ ( −∞; −2 )
3 x+2
1
x −1 1 1
x ∈ ( −2;1) .
=
⇒ f ( x ) ln
+ + ln 2 khi
3
x
2
3
3
+
1
x −1
1
+ C1 + ln10 khi x ∈ (1; +∞ )
ln
3
3 x + 2
Khi đó:
1 1
1
1 5
1
1 1
1 1
f ( −4 ) + f ( −1) − f ( 4 ) =
+ ln 2 .
ln + C1 + ln 2 + + ln 2 − ln + C1 + ln10 =
3 3
3
3 2
3
3 2
3 3
1
Câu 8: Cho hàm số f ( x ) xác định trên \ {−1;1} và thỏa mãn f ′ ( x ) = 2
; f ( −3) + f ( 3) =
0
x −1
1
1
và f − + f =
=
P f ( 0) + f ( 4) .
2 . Tính giá trị của biểu thức
2
2
3
3
1 3
1 3
A. P= 2 + ln .
B. P = 1 + ln .
C. P = 1 + ln .
D. P = ln .
2 5
5
5
2 5
Hươngd dẫn giải
Chọn C
1 x −1
2 ln x + 1 + C1 khi x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ )
1
dx
dx
.
⇒∫ 2
=
=
f ′( x) = 2
∫
x −1
x − 1 ( x − 1)( x + 1) 1 x − 1
+ C2 khi x ∈ ( −1;1)
ln
2 x + 1
1
1 1
Ta có f ( −3) + f ( 3) = 0 ⇒ ln 2 + C1 + ln + C1 = 0 ⇒ C1 = 0 .
2
2 2
1
1 1
1
1
Và f − + f =2 ⇒ ln 3 + C2 + ln + C2 =2 ⇒ C2 =1 .
2
2 3
2
2
1
2 ln
Suy ra f ( x ) =
1 ln
2
x −1
x +1
khi
x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ )
x −1
+ 1 khi
x +1
1 3
Vậy
=
P f ( 0 ) + f ( 4 ) = 1 + ln .
2 5
Câu 9:
.
x ∈ ( −1;1)
Cho hàm số f ( x ) xác định trên \ {±1} thỏa mãn f ′ ( x ) =
1
và f − +
2
1 5
A. T= 2 + ln .
2 9
1
. Biết f ( −3) + f ( 3) =
0
x −1
1
f =
2 . Giá trị T = f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) bằng:
2
1 9
1 9
B. T = 1 + ln .
C. T = 3 + ln .
2 5
2 5
Hươngd dẫn giải
Chọn B
Ta có
1
dx
∫ f ′ ( x ) dx = ∫ =
x −1
/>
2
2
1 1
1
1 x −1
ln
+C .
−=
dx
∫
2 x +1
2 x −1 x +1
1 9
D. T = ln .
2 5
1 x −1
2 ln x + 1 + C1 khi x < −1, x > 1
Do đó f ( x ) =
.
1 ln 1 − x + C khi − 1 < x < 1
2
2 x + 1
1
1
Do f ( −3) + f ( 3) =
0 nên C1 = 0 , f − + f =
2 nên C2 = 1 .
2
2
1 x −1
khi x < −1, x > 1
2 ln x + 1
1 9
Nên f ( x ) =
. T = f ( −2 ) + f ( 0 ) + f ( 4 ) = 1 + ln .
2 5
1 ln 1 − x + 1 khi − 1 < x < 1
2 x + 1
Câu 10: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên ( 0; +∞ ) thỏa mãn
f ( 2) =
A.
7
.
15
1
và f ′ ( x ) + ( 2 x + 4 ) f 2 ( x ) =
0 . Tính f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) .
15
11
11
B.
.
C.
.
30
15
Hươngd dẫn giải
Chọn D
Vì f ′ ( x ) + ( 2 x + 4 ) f 2 ( x ) =
0 và f ( x ) > 0 , với mọi x ∈ ( 0; +∞ ) nên ta có −
D.
7
.
30
f ′( x)
=
2x + 4 .
f 2 ( x)
1
1
1
= x 2 + 4 x + C . Mặt khác f ( 2 ) =
nên C = 3 hay f ( x ) = 2
.
f ( x)
15
x + 4x + 3
1 1 1
7
.
Do đó f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) = + +
=
8 15 24 30
Câu 11: Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên . Biết f 6 ( x ) . f ′ (=
x ) 12 x + 13 và f ( 0 ) = 2 .
Suy ra
Khi đó phương trình f ( x ) = 3 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 .
B. 3 .
C. 7 .
Hươngd dẫn giải
D. 1 .
Chọn A
6
2
Từ f 6 ( x ) . f ′ (=
x ) 12 x + 13 ⇒ ∫ f 6 ( x ) . f ′ ( x ) dx =
∫ (12 x + 13) dx ⇔ ∫ f ( x ) df ( x ) = 6 x + 13x + C
f 7 ( x)
2
f ( 0)= 2
→C = .
= 6 x 2 + 13 x + C
7
7
Suy ra: f 7 ( x ) = 42 x 2 + 91x + 2 .
⇔
Từ f ( x ) = 3 ⇔ f 7 ( x ) =
2187 ⇔ 42 x 2 + 91x − 2185 =
0 ( *) .
2187 ⇒ 42 x 2 + 91x + 2 =
Phương trình (*) có 2 nghiệm trái dầu do ac < 0 .
Câu 12: Cho hàm số f ( x ) xác định trên thỏa mãn f ′ ( x ) =
e x + e − x − 2 , f ( 0 ) = 5 và
1
f ( − ln16 ) + f ( ln 4 ) bằng
f ln = 0 . Giá trị của biểu thức S =
4
9
5
31
A. S = .
B. S = .
C. S = .
2
2
2
Hươngd dẫn giải
Chọn C
/>
D. f ( 0 ) . f ( 2 ) = 1 .
Ta có f ′ ( x ) =
e x + e− x − 2 =
ex −1
ex
x
−
2x
2
−
e
e
= x
x
e − 2 − e 2
khi
x≥0
khi
x<0
.
x
−
2x
2
2e
2e
+
+ C1 khi x ≥ 0
Do đó f ( x ) =
.
x
x
−
−2e 2 − 2e 2 + C khi x < 0
2
1.
Theo đề bài ta có f ( 0 ) = 5 nên 2e0 + 2e0 + C1 =
5 ⇔ C1 =
⇒ f ( ln 4 ) =2e
ln 4
2
+ 2e
−
ln 4
2
+1 = 6
−
1
Tương tự f ln = 0 nên −2e
4
⇒ f ( − ln16 ) =
−2e
−
( − ln16 )
2
− 2e
1
ln
4
2
( − ln16 )
2
− 2e
1
ln
4
2
5.
+ C2 =
0 ⇔ C2 =
7
+5 = − .
2
5
Vậy S =
f ( − ln16 ) + f ( ln 4 ) =.
2
π
Câu 13: Cho hàm số f ( x ) liên tục, không âm trên đoạn 0; , thỏa mãn f ( 0 ) = 3 và
2
π
f ( x )=
. f ′ ( x ) cos x. 1 + f 2 ( x ) , ∀x ∈ 0; . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M
2
π π
của hàm số f ( x ) trên đoạn ; .
6 2
5
21
A. m =
, M = 2 2 . B. m = , M = 3 .
2
2
5
C. m =
, M = 3.
D. m = 3 , M = 2 2 .
2
Hươngd dẫn giải
Chọn A
Từ giả thiết f ( x )=
. f ′ ( x ) cos x. 1 + f 2 ( x )
⇒
f ( x). f ′( x)
f ( x). f ′( x)
=
cos x ⇒ ∫
dx =
sin x + C
1+ f 2 ( x)
1+ f 2 ( x)
Đặt t = 1 + f 2 ( x ) ⇒ t 2 =1 + f 2 ( x ) ⇒ tdt =
f ( x ) f ′ ( x ) dx .
Thay vào ta được ∫ d=
t sin x + C ⇒=
t sin x + C ⇒ 1 + f 2 ( x )= sin x + C .
2.
Do f ( 0 ) = 3 ⇒ C =
Vậy 1 + f 2 ( x=
) sin x + 2 ⇒ f 2 ( x=) sin 2 x + 4sin x + 3
π
sin 2 x + 4sin x + 3 , vì hàm số f ( x ) liên tục, không âm trên đoạn 0; .
2
π
π
1
Ta có ≤ x ≤ ⇒ ≤ sin x ≤ 1 , xét hàm số g ( t ) = t 2 + 4t + 3 có hoành độ đỉnh t = −2 loại.
6
2
2
1 21
t ) g=
1) 8 , min=
Suy ra max g=
.
g ( t ) g=
(
(
1
1
2 4
2 ;1
2 ;1
⇒ f ( x )=
/>
π
π
Suy ra max=
f ( x ) g=
f ( x ) f=
2 2 , min =
π π
π π
6
2
6;2
6;2
21
.
2
Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f ( x ) > 0 , ∀x ∈ . Biết
f '( x)
= 2 − 2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) = m
f ( x)
có hai nghiệm thực phân biệt.
A. m > e .
B. 0 < m ≤ 1 .
C. 0 < m < e .
D. 1 < m < e .
Hươngd dẫn giải
Chọn C
f ′( x)
f ′( x)
Ta có
dx =
= 2 − 2x ⇒ ∫
∫ ( 2 − 2 x ) dx .
f ( x)
f ( x)
f ( 0 ) = 1 và
A.e 2 x − x . Mà f ( 0 ) = 1 suy ra f ( x ) = e 2 x − x .
⇔ ln f ( x ) = 2 x − x 2 + C ⇔ f ( x ) =
2
2
Ta có 2 x − x 2 =−
1 ( x 2 − 2 x + 1) =1 − ( x − 1) ≤ 1 . Suy ra 0 < e 2 x − x ≤ e và ứng với một giá trị thực
2
2
t < 1 thì phương trình 2x − x 2 =
t sẽ có hai nghiệm phân biệt.
Vậy để phương trình f ( x ) = m có 2 nghiệm phân biệt khi 0 < m < e1 =
e.
Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và f ( x ) ≠ 0 với mọi x ∈ . f ′ (=
x)
( 2 x + 1) f 2 ( x )
và
a
a
f (1) = −0,5 . Biết rằng tổng f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2017 ) = ; ( a ∈ , b ∈ ) với
b
b
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a
4035 .
A. a + b =−1 .
B. a ∈ ( −2017; 2017 ) .
C. < −1 .
D. b − a =
b
Hươngd dẫn giải
Chọn D
f ′( x)
f ′( x)
Ta có f ′ (=
=
x ) ( 2 x + 1) f 2 ( x ) ⇔ 2
( 2 x + 1) ⇒ ∫ 2 dx =+
∫ ( 2 x 1) dx
f ( x)
f ( x)
⇔−
1
= x2 + x + C
f ( x)
1
1
1
1
nên C = 0 ⇒ f ( x ) =
− 2
=− .
x + x x +1 x
2
1
1 1 1 1 1
1
Mặt khác f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2017 ) = − 1 + − + − + ... +
−
2 3 2 4 3
2018 2017
−2017
1
⇒ a =−2017 ; b = 2018 .
⇔ f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2017 ) =−1 +
=
2018 2018
4035 .
Khi đó b − a =
−1
Câu 16: Cho hàm số f ( x ) ≠ 0 thỏa mãn điều kiện f ' (=
. Biết tổng
x ) ( 2 x + 3) . f 2 ( x ) và f ( 0 ) =
2
a
a
là phân số tối giản.
f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) = với a ∈ , b ∈ * và
b
b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
a
a
A. < −1 .
B. > 1 .
b
b
3029 .
1010 .
C. a + b =
D. b − a =
Hươngd dẫn giải
Chọn D
Mà f (1) = −
/>
f '( x )
f '( x )
=
2
x
+
3
⇔
∫ f 2 ( x ) dx =+
∫ ( 2 x 3) dx
f 2 ( x)
1
1
−1
⇔−
= x 2 + 3x + C ⇒ f ( x ) = − 2
. Mà f ( 0 ) =
nên = 2 .
f ( x)
x + 3x + C
2
1
1
− 2
=
−
Do đó f ( x ) =
.
x + 3x + 2
( x + 1)( x + 2 )
Biến đổi f '(=
x)
( 2 x + 3) . f 2 ( x ) ⇔
a
1
1
1
1
Khi đó = f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 2017 ) + f ( 2018 ) =
−
+
+ ..... +
+
b
2018.2019 2019.2020
2.3 3.4
1 −1009
1
1
1
1
1 1 1 1
.
− −
=
− − + − + ..... +
−
−
=
=
2018 2019 2020
2 2020 2020
2 3 3 4
a = −1009
3029 .
⇒b−a =
Với điều kiện a, b thỏa mãn bài toán, suy ra:
b = 2020
2
3
0
f ′′ ( x ) . f ( x ) − 2 f ′ ( x ) + xf ( x ) =
Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) , ∀x ≥ 0 , thỏa mãn
. Tính
f ′ ( 0 ) 0;=
f ( 0) 1
=
f (1) .
A.
2
.
3
B.
3
.
2
6
.
7
Hươngd dẫn giải
C.
D.
7
.
6
Chọn C
f ′′ ( x ) . f ( x ) − 2 f ′ ( x )
Ta có: f ′′ ( x ) . f ( x ) − 2 f ′ ( x ) + xf ( x ) =
=
−x
0⇔
f 3 ( x)
2
2
3
f ′ ( x ) ′
f ′( x)
f ′ ( 0)
x2
02
0.
⇒
=
−
+
C
⇒
=
−
+C ⇒C =
⇒ 2
=
−
x
2
2
f
x
2
0
2
f
f
x
(
)
(
)
(
)
′
f ( x)
x2
Do đó 2
= −
2
f ( x)
1
f ′( x)
x3
1
1
1
x2
6
1
+
= − ⇒ f (1) =
.
dx =
⇒∫ 2
− ∫ dx ⇒ −
= − ⇒ −
f (1) f ( 0 )
6
2
f ( x)
7
f ( x) 0 6 0
0
0
f ′( x)
x
Câu 18: Giả sử hàm số f ( x) liên tục, dương trên ; thỏa mãn f ( 0 ) = 1 và
. Khi đó
= 2
f ( x) x +1
1
1
(
1
)
hiệu T f 2 2 − 2 f (1) thuộc khoảng
=
A. ( 2;3) .
B. ( 7;9 ) .
Chọn C
Ta có
∫
f ′( x)
dx =
f ( x)
x
∫ x 2 + 1 dx ⇔
∫
C. ( 0;1) .
Hươngd dẫn giải
d ( f ( x ))
f ( x)
2
1 d ( x + 1)
.
= ∫ 2
2
x +1
1
x)
ln ( x 2 + 1) + C , mà f ( 0 ) =1 ⇔ C =0 . Do đó f (=
2
Nên f 2 2 = 3; 2 f (1) = 2 2 ⇒ f 2 2 − 2 f (1) =
3 − 2 2 ∈ ( 0;1) .
Vậy ln ( f (=
x ))
(
)
/>
(
)
D. ( 9;12 ) .
x2 + 1 .
π
Câu 19: Khi đó
4
∫
0
( 0; +∞ ) ;
1
f ( tan t )
d
t
=
∫0 f ( x ) dx . Vậy
cos 2t
1
∫ f ( x ) dx = 6 .Cho hàm số
y = f ( x ) đồng biến trên
0
y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên ( 0; +∞ ) và thỏa mãn f ( 3) =
2
và
3
f ' ( x ) = ( x + 1) . f ( x ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2613 < f 2 ( 8 ) < 2614 .
B. 2614 < f 2 ( 8 ) < 2615 .
2
C. 2618 < f 2 ( 8 ) < 2619 .
D. 2616 < f 2 ( 8 ) < 2617 .
Hươngd dẫn giải
Chọn A
Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( 0; +∞ ) nên suy ra f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) .
Mặt khác y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên ( 0; +∞ ) nên
f ′ ( x ) =
( x + 1) f ( x ) ⇒ f ′ ( x ) =( x + 1) f ( x ) , ∀x ∈ ( 0; +∞ )
f ′( x)
⇒
=
( x + 1) , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ;
f ( x)
2
⇒∫
f ′( x)
f ( x)
Từ f ( 3) =
dx =+
∫ ( x 1)dx ⇒
3
suy ra =
C
2
1
Như vậy f ( =
x )
3
Bởi thế:
f ( x=
)
1
3
( x + 1)
3
+C ;
2 8
−
3 3
2 8
( x + 1) + −
3 3
2
3
2
2
4
1
2 8
2 8
2 8
3
f ( 8 ) =
(8 + 1) + − = 9 + − ⇒ f 2 (8) = 9 + − ≈ 2613, 26 .
3 3
3 3
3 3
3
Câu 20: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương trên ( 0;+ ∞ ) và thỏa mãn f (1) = 1 ,
f ( x) =
f ′ ( x ) 3 x + 1 , với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4 < f ( 5 ) < 5 .
B. 2 < f ( 5 ) < 3 .
C. 3 < f ( 5 ) < 4 .
D. 1 < f ( 5 ) < 2 .
Hươngd dẫn giải
Chọn C
Cách 1:
Với điều kiện bài toán ta có
f ′( x)
=
f ( x) =
f ′ ( x ) 3x + 1 ⇔
f ( x)
⇔∫
d ( f ′ ( x ))
f ( x)
f ′( x)
1
⇔∫
dx =
f ( x)
3x + 1
∫
1
dx
3x + 1
2
1
3 x +1 + C
2
1
−
.
3x + 1 + C ⇔ f ( x ) =
e3
=∫ ( 3 x + 1) 2 d ( 3 x + 1) ⇔ ln f =
( x)
3
3
4
Khi đó f (1) =1 ⇔ e 3
Vậy 3 < f ( 5 ) < 4 .
/>
+C
=1 ⇔ C =−
2
4
4
3 x +1 −
4
3
e3
⇒ f ( x) =
⇒ f ( 5) =
e 3 ≈ 3, 79 ∈ ( 3;4 ) .
3
Chú ý: Các bạn có thể tính
∫
dx
=
t
bằng cách đặt
3x + 1
3x + 1 .
Cách 2:
Với điều kiện bài toán ta có
5
5
5
d ( f ( x )) 4
f ′( x)
f ′( x)
1
1
f ( x) =
f ′ ( x ) 3x + 1 ⇔
= ⇔∫
dx =
d
x
⇔
∫1 3x + 1
∫1 f ( x ) =
f ( x)
f ( x)
3
3x + 1
1
4
5
f ( 5) 4
4
⇔ ln
=
⇔ ln f ( x ) =
⇔ f ( 5=
) f (1) .e 3 ≈ 3, 79 ∈ ( 3;4 ) .
f (1) 3
3
1
Câu 21: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) + f ( x ) . f ′′ ( x ) =
15 x 4 + 12 x , ∀x ∈ và
′ ( 0 ) 1 . Giá trị của f 2 (1) bằng
=
f ( 0 ) f=
2
9
.
2
A.
B.
5
.
2
Chọn D
C. 10 .
D. 8 .
Hươngd dẫn giải
15 x 4 + 12 x , ∀x ∈ .
Ta có: ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) . f ′′ ( x ) =
2
⇔ f ′ ( x ) . f ( x ) ′ =
15 x 4 + 12 x , ∀x ∈ ⇔ f ′ ( x ) . f ( x ) = 3 x5 + 6 x 2 + C1
′ ( 0 ) 1 nên ta có C1 = 1. Do đó: f ′ ( x ) . f ( x ) = 3 x 5 + 6 x 2 + 1
Do =
f ( 0 ) f=
1
′
⇔ f 2 ( x ) = 3 x 5 + 6 x 2 + 1 ⇔ f 2 ( x ) = x 6 + 4 x 3 + 2 x + C2 .
2
Mà f ( 0 ) = 1 nên ta có C2 = 1. Do đó f 2 ( x ) = x 6 + 4 x3 + 2 x + 1 .
Vậy f 2 (1) = 8.
Câu 22: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và thỏa mãn
hàm của hàm số f ( 2 x ) trên tập là:
∫
(
)
f x +1
2
=
dx
x +1
(
x +1 + 3
x+5
) + C . Nguyên
+
x+3
+C.
2 ( x2 + 4)
A.
B.
x+3
+C .
x2 + 4
C.
2x + 3
+C .
4 ( x 2 + 1)
D.
Hươngd dẫn giải
Chọn D
Theo đề ra ta có:
∫
f
x + 1)
2(
(=
dx
x +1
∫
x+5
) +C ⇔ 2
∫ (
f
) (
)
x + 1 d=
x +1
2
(
(
x +1 + 3
/>
)
2
) +C .
x +1 + 4
2 ( t + 3)
t +3
+ C ⇒ ∫ f ( t ) d=
t 2
+ C′ .
2
t +4
t +4
2x + 3
1
1 2x + 3
=
+
=
+C
f ( 2 x ) d=
x
f
2
x
d
2
x
C
(
)
(
)
1
8x2 + 8
2∫
2 ( 2 x )2 + 4
t
Hay 2 ∫ f ( t ) d=
Suy ra
x +1 + 3
2x + 3
+C.
8 ( x 2 + 1)
DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN
5
Câu 23: Cho
∫
f ( x ) dx = 10 . Kết quả
2
∫ 2 − 4 f ( x ) dx
bằng:
5
2
A. 34 .
B. 36 .
D. 32 .
C. 40 .
Hươngd dẫn giải
Chọn A
2
Tacó
2
5
2
−2 x 2 + 4 ∫ f ( x ) dx =
−2. ( 5 − 2 ) + 4.10 =
34 .
2 ∫ dx − 4 ∫ f ( x ) dx =
∫ 2 − 4 f ( x ) dx =
5
5
5
2
5
Câu 24: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) , biết
∫ f ( x ) dx = 9
0
và F ( 0 ) = 3 . Tính F ( 9 ) .
B. F ( 9 ) = 6 .
A. F ( 9 ) = −6 .
9
D. F ( 9 ) = −12 .
C. F ( 9 ) = 12 .
Hươngd dẫn giải
Chọn C
9
Ta có: I
=
f ( x ) dx
∫=
F ( x ) 0 = F (9) − F ( 0) = 9 ⇔ F (9) =
12 .
9
0
2
f ( x ) dx
∫=
=
I
Câu 25: Cho
A. 2 .
0
2
=
J
. Khi đó
B. 6 .
∫ 4 f ( x ) − 3 dx
3
0
bằng:
C. 8 .
Hươngd dẫn giải
D. 4 .
Chọn B
2
2
2
Ta có J =∫ 4 f ( x ) − 3 dx =4 ∫ f ( x ) dx − 3∫ dx =4.3 − 3 x 0 =6 .
2
0
4
Câu 26: Cho
A. I = 5 .
∫
0
4
f ( x ) dx = 10
0
4
∫2 g ( x ) dx = 5 =I ∫2 3 f ( x ) − 5 g ( x ) dx
và
. Tính
B. I = 15 .
C. I = −5 .
Hươngd dẫn giải
2
D. I = 10 .
Chọn A
4
Có: I
=
4
4
2
0
2
∫ 3 f ( x ) − 5 g ( x ) dx = 3∫ f ( x ) dx − 5∫ g ( x ) dx = 5 .
2
9
Câu 27: Giả sử
A. I = 26 .
∫
f ( x ) dx = 37
và 9
B. I = 58 .
0
9
∫ g ( x ) dx = 16
=
I ∫ 2 f ( x ) + 3 g ( x) dx
0
. Khi đó,
bằng:
C. I = 143 .
D. I = 122 .
Hươngd dẫn giải
Chọn A
Ta có: I =
9
9
9
9
0
0
0
0
0
9
∫ 2 f ( x ) + 3g ( x) dx = ∫ 2 f ( x ) dx + ∫ 3g ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx − 3∫ g ( x ) dx =
2
Câu 28: Nếu
A. −2 .
∫
5
f ( x ) dx = 3
1
Chọn B
/>
,
∫
5
f ( x ) dx = −1
2
B. 2 .
thì
∫ f ( x ) dx
bằng
C. 3 .
Hươngd dẫn giải
1
D. 4 .
26 .
5
Ta có
∫
f ( x ) dx =
1
2
∫
1
2
Câu 29: Cho
A. 1 .
∫
5
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 3 − 1 = 2 .
2
3
f ( x ) dx = 1
∫
và
B. −3 .
1
3
f ( x ) dx = −2
∫ f ( x ) dx
. Giá trị của 1
C. −1 .
Hươngd dẫn giải
2
bằng
D. 3 .
Chọn C
3
∫
f ( x ) dx =
1
2
∫
1
3
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −1 .
2
Câu 30: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;10] và
10
∫
f ( x ) dx = 7 và
0
P
=
2
10
0
6
6
∫ f ( x ) dx = 3 . Tính
2
∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
A. P = 7 .
B. P = −4 .
D. P = 10 .
C. P = 4 .
Hươngd dẫn giải
Chọn C
10
Ta có
∫
0
2
6
10
0
2
6
f ( x ) dx = 7 ⇔ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =
7
2
10
0
6
⇔ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 7 − 3 = 4 .
Vậy P = 4 .
1
Câu 31: Cho
∫
2
f ( x ) dx = 2
2
,
0
∫ f ( x ) dx = 4 , khi đó
∫ f ( x ) dx =
0
?
1
A. 6 .
B. 2 .
D. 3 .
C. 1 .
Hươngd dẫn giải
Chọn A
2
1
2
0
0
1
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 6 .
Câu 32: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và có
1
∫
f ( x ) dx = 2 ;
0
A. I = 8 .
B. I = 12 .
3
∫
1
C. I = 36 .
Hươngd dẫn giải
3
f ( x ) dx = 6 . Tính I = ∫ f ( x ) dx .
0
D. I = 4 .
Chọn A
3
I =∫=
f ( x ) dx
0
2
Câu 33: Cho
11
A. I = .
2
∫
1
3
0
1
∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2 + 6 = 8 .
2
f ( x ) dx = 2
−1
Chọn D
/>
và
∫ g ( x ) dx = −1
−1
7
B. I = .
2
2
. Tính
I=
∫ x + 2 f ( x ) + 3g ( x ) dx
−1
17
C. I = .
2
Hươngd dẫn giải
bằng
5
D. I = .
2