TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRUONG
Năm học : 2010 – 2011
Môn : Tóan
Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề )
Ngày thi : 13 / 12 / 2008
Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y
2
+ z
2
) + y ( x
2
+ z
2
) + z ( x
2
+ y
2
)
Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định a và b để đa thức A = x
4
– 6 x
3
+ ax
2
+ bx + 1 là bình phương của một đa
thức khác .
Câu 3 : ( 4 ñieåm ) Cho biểu thức :
P =









+
−
+−








+
+
−
+
−
2
10
2:
2
1
36
6

4
2
3
2
x
x
x
xxxx
x
a) Rút gọn p .
b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / =
4
3
c) Với giá trị nào của x thì p = 7
d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên .
Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Câu 5 : ( 3ñieåm)
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần
lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm)
Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai
cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất .
------------- Hết ----------
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Ta có M = 3 xyz + x ( y
2
+ z
2
) + y ( x
2
+ z
2
) + z ( x
2
+ y
2
)
= ( xyz + xy
2
+ yx
2
) + ( xyz + xz
2
+ zx
2
) + ( xyz + yz
2
+ y
2
Z ) ( ½ ñ )
= xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) ( ½ ñ )
= ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ ñ )
Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ ñ )

Câu 2 : ( 4 ñieåm )
Ta có thể viết : A = x
4
– 6x
3
+ ax
2
+ bx + 1 = ( x
2
– 3x + k )
2
= x
4
+ 9x
2
+ k
2
– 6x
3
+ 2kx
2
– 6kx ( 1/2ñ )
= x
4
– 6x
3
+ ( 9 + 2k )x
2
– 6kx + k
2

( 1/2 ñ )
Đồng nhất 2 vế ta có :
a = 9 + 2k (1) ( 1/2ñ )
b = - 6k (2)
1 = k
2
(3)
Từ (3) ta suy ra : k = ± 1 ( 1/2 ñ )
Nếu k = - 1 ; b = 6 và a = 7 ( ½ ñ )
Ta có : A = x
4
– 6 x
3
+ 7 x
2
+ 6 x + 1 = ( x
2
– 3 x – 1 )
2
( ½ ñ )
Nếu k = 1 ; b = - 6 ; a = 11 ( ½ ñ )
Ta có : A = x
4
– 6 x
3
+ 11 x
2
– 6x + 1 = ( x
2
– 3x + 1 )

2
( ½ ñ )
Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Vì a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 nên - 1 ≤ a , b , c ≤ 1
⇒ a + 1 ≥ 0 ; b + 1 ≥ 0 ; c + 1 ≥ 0 ( ¼ ñ )
Do đó : ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) ≥ 0 ( ¼ ñ )
⇔ 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0 (1) ( 1/2 ñ )
Cộng 2 vế của (1) cho 1 + a + b +c + ab + bc + ca . Ta có :
abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 1 + a + b + c + ab + bc + ac ( 1/2 ñ )
Ta biết : 1 + a + b + c + ab + bc + ac =

2
1
( 1 + a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2a + 2b + 2c + 2 ab + 2 bc + 2 ac ) = ( 1/2 ñ )
2
1
( 1 + a + b + c )
2
≥ 0 ( vì a

2
+ b
2
+ c
2
= 1 ) ( 1/2 ñ )
Vậy abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 0 ( 1/2 ñ )
Câu 5 : ( 3ñieåm )
A
M
K
G
B C
N
ta có :
3
2
;
3
1
==
BK
BG
BK
GK
( ¼ ñ )
Do MN // AC nên
3
1
===

BK
GK
BC
CN
AB
AM
( ¼ ñ )
Mà
3
1
=
+
+
BCAB
NCAM
( ¼ đ )
vì AM + NC = 16 (cm) và AB + BC = 75 – AC ( 3/4 đ )
Do đó :
3
1
75
16
=
−
AC
⇒ AC = 27 (cm) ( 3/4 đ )
Ta lại có :
18
3
2

273
2
=⇒=⇒=
MN
MN
AC
MN
(cm) ( 3/4đ )
Câu 6 : ( 4 điểm ) A
Q
( 1/2 đ )
p
H
N

B M C
Gọi p và Q là chân đường vng góc kẻ từ M và N xuống AB .
Ta có tam giác ANQ vng ở Q có góc A = 60
0
⇒ ANQ = 30
0
( 1/2 đ )
⇒ AQ =
2
1
AN ( 1/2 đ )
Tương tự đối với tam giác MpB ta có pB =
2
1
BM ( 1/2 đ )

Do đó : AQ + pB =
2
1
2
1
2
1
=+
BMAN
(AN + NC ) =
AC
2
1
( 1/2 đ )
Kẻ MH ⊥ QN . Tứ giác MpQH là hình chữ nhật ( 1/4 đ )
Ta có MN ≥ MH = AB – ( AQ + Bp ) = AB -
ABAC
2
1
2
1
=
( 1/2 đ )
Vậy đọan MN có độ dài nhỏ nhất bằng
2
1
AB . ( 1/4 đ )
Khi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AC ( 1/2 đ )
PHÒNG GIÁO DỤC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2004 – 2005

KHOÁ NGÀY 24 / 2 / 2005
MÔN: TOÁN LỚP 9 - THỜI GIAN: 150 Phút ( Không kể giao đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC:
Bài 1: ( 5 điểm)
a) Rút gọn: A = 1 -
11
1
22
+−
+
−
++
−
++−
xx
xx
xx
xx
xx
(0
1
≤≤
x
)
b) Cho: x =
33
2525
−−+
Tính giá trò của biểu thức f(x) =

3
x
+ 3x
Bài 2: ( 3 điểm)
Giải hệ phương trình:







=++
=++
=++
=++
)4(12
)3(14
)2(15
)1(10
yxt
xtz
tzy
zyx
Bài 3: ( 5 điểm)
Cho phương trình: x
2
– 2mx + 2m –1 = 0
a) Chứng minh: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m ≠ 1.
b) Tính giá trò của biểu thức: A =

).1.(2
3.2
21
2
2
2
1
21
xxxx
xx
+++
+
c) Tìm giá trò lớn nhất của A.
Bài 4: ( 3 điểm)
Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một điểm M trên
cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt hai tiếp tuyến trên tại hai điểm P và Q. Chứng minh rằng chu vi tam giác
APQ không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC.
Bài 5: ( 4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm của tam giác đó. Dựng hình bình hành BHCD và gọi I là
giao điểm của hai đường chéo.
1) Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC. Chứng minh:
CAOHAB
ˆˆ
=
3) AI cắt OH tại G. Chứng minh: G là trọng tâm của tam giác ABC.
4) Gọi M, N theo thứ tự là điểm đối xứng của D qua AC, AB. Chứng minh: N, H, M thẳng
hàng.
**
PHÒNG GIÁO DỤC

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2004 - 2005
MÔN TOÁN - LỚP 9

Bài 1: ( 5 điểm)
a) Rút gọn:
A = 1 -
11
1
22
+−
+
−
++
−
++−
xx
xx
xx
xx
xx

=
1
)1.(
1
)1.(
11
33
+−

+
−
++
−
++−−
xx
xx
xx
xx
xx
(0,5đ)
=
1
)1).(1.(
1
)1).(1.(
11
+−
+−+
−
++
++−
++−−
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
(0,5đ)
=

xxxxxx
−−−++−−
11
(0,5đ)
=
2
)1(1211 xxxxx
−−−=+−−−
= (0,5đ)
=
01111
=+−−=−−−
xxxx
(do 0
1
≤≤
x
nên
01
>−
x
) (0,5đ)
b) Ta có:
3
33
3
2525







−−+=
x
(0,5đ)
=






−−+−+−+−+
33
3
2525).25).(25(.32525
(1đ)
=
x34
−
(0,5đ)
Vậy: f(x) = 4 – 3x + 3x = 4 (0,5đ)
Bài 2: ( 3 điểm)
Cộng (1), (2), (3) và (4) vế theo vế ta được:
3( x + y + z + t) = 51 Suy ra ( x + y + z + t) = 17 (5) (1,5đ)
Lấy (5) trừ (1), (2), (3), (4) ta được:









=
=
=
=
5
3
2
7
z
y
x
t
(1đ)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm: (2; 3; 5; 7) (0.5đ)
Bài 3: ( 5 điểm)
a) Ta có:
mmmm
∀≥−=+−=∆
0)1(12
22'
(0,75đ)
Vậy: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt khi
0
'
>∆

01
≠−⇔
m

1
≠⇔
m
(0,75đ)
Ta có:
12.
21
−=
mxx
(0,5đ)
244)12.(2)2(.2)(
22
21
2
21
2
2
2
1
+−=−−=−+=+
mmmmxxxxxx
(0,5đ)
Vậy: A =
24
14

)121(2244
3)12.(2
22
+
+
=
−+++−
+−
m
m
mmm
m
(0,5đ)
b) Ta có:
A=
24
)12(
1
24
144
1
24
144)24(
24
14
2
2
2
2
2

22
2
+
−
−=
+
+−
−=
+
−+−+
=
+
+
m
m
m
mm
m
mmm
m
m
(0,5đ)
Suy ra:
2
1
012
max
=⇔=−⇔
mmA
(0,5đ)

Lúc đó:
1
max
=
A
(0,5đ)
Bài 4: ( 3 điểm)
- Vẽ hình - Ghi giả thiết, kết luận đúng. (0,5đ)