chuyen de luong giac hay

11a1 thpt tien lu
Hằng đẳng thức thường dùng

( )
2 2 4 4 2 6 6 2
2
2 2
2 2
1 3
sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2
2 4
1 1
1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos
cos sin
a a a a a a a
a a a a a
a a
+ = + = − + = −
+ = = ± = ±

Phương trình dạng
sin ( ) cos ( )a f x b f x c+ =
 Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
 Chia 2 vế cho
2 2
a b+
, dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ
bản theo sin hoặc cos.
c. Phương trình đẳng cấp

 Dạng
2 2
.sin .sin cos .cosa x b x x c x d+ + =
 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
 Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
2
x để được phương trình bậc 2
theo tanx.
 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.
 Dạng
3 2 2 3
.sin .sin cos .sin .cos .cos 0a x b x x c x x d x+ + + =
 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
 Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
3
x để được phương trình bậc 3
theo tanx.
 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.
d. Phương trình đối xứng loại 1:
(sin cos ) .sin cosa x x b x x c± + =
 Đặt t = sinx
±
cosx, điều kiện
2t ≤
 Thay vào phương trình ta được phương trình bậc 2 theo t.
e. Phương trình đối xứng loại 2 :

( )
tan cot ) (tan cot 0
n n
a x x b x x
+ + ± =
 Đặt t = tanx - cotx thì t
∈
R ; Đặt t = tanx + cotx thì
2t ≥
.
 Chuyển về phương trình theo ẩn t.
f. Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát
 Phương pháp biến đổi tương đương đưa về dạng cơ bản
 Phương pháp biến đổi phương trình đã cho về dạng tích.
 Phương pháp đặt ẩn phụ.
 Phương pháp đối lập.
 Phương pháp tổng bình phương.
Bai tap
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1.
cos sin 2 0
3
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
2.
cos cos 1

3 3
x x
π π
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
3.
tan 2 .tan 1x x = −
4.
2 2 2
sin sin .tan 3x x x+ =
5.
2 2
5cos sin 4x x+ =
3.
1
3sin cos
cos
x x
x
+ =
7.
4 4
cos 2 sin3 sin 2x x x= −
8.
tan 1 tan
4
x x
π

 
− = −
 ÷
 
9.
3 3
1
sin cos cos sin
4
x x x x= +
Bài 2 : Cho phương trình
( ) ( )
tan cos cot sinx x
π π
=
1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
2. Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn
[ ]
3 ;
π π
−
của phương trình.
Bài 3 : Cho phương trình sin
6
x + cos
6
x = m.
1. Xác định m để phương trình có nghiệm.
2. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng
( )

0;
π
Bài 4: Giải và biện luận phương trình
( )
2
2 1 cos2 2 sin 3 2 0m x m x m− + + − =
Dạng 2 : Phương trình bậc nhất, bậc hai.
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1.
2
2cos 5sin 4 0
3 3
x x
π π
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
2.
5
cos2 4cos 0
2
x x− + =
3.
4 4
sin cos cos2x x x+ =
4.
4 4
1
cos sin sin 2

2
x x x+ = −
5.
( )
2
2 2cos 3 2 2 cos3 1 0x x− + + =
6.
4 4
cos sin 2sin 1
2 2
x x
x+ + =
7.
( )
6 6
4 sin cos cos 2 0
2
x x x
π
 
+ − − =
 ÷
 
8.
2tan 3cot 4x x+ =
9.
4 2
1
cos sin
4

x x= −
10.
2 2
6 6
cos sin
4cot 2
sin cos
x x
x
x x
−
=
+
11.
1
2tan cot 2sin 2
sin 2
x x x
x
+ = +
12.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x+ =
13.
4cos cos4 1 2cos2x x x− = +
14.
5 5 2

4sin cos 4cos sin cos 4 1x x x x x− = +
15.
2 2
cos4 cos 3 cos 1x x x= − +
: Giải các phương trình lượng giác sau :
1.
3sin cos 2 0x x− + =
2.
3
3sin 1 4sin 3cos3x x x− = +
3.
4 4
sin cos 1
4
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
4.
( )
4 4
2 cos sin 3sin 4 2x x x
+ + =
5.
2sin 2 2sin 4 0x x+ =
6.
3sin 2 2cos2 3x x+ =
7.

9
3cos 2 3sin
2
x x+ =
8.
4cos3 3sin3 5 0x x− + =
9.
2
sin cos sin cos2x x x x− =
10.
( )
tan 3cot 4 sin 3cosx x x x− = +
11.
2sin3 3cos7 sin7 0x x x+ + =
12.
( )
cos5 sin3 3 cos3 sin5x x x x− = −
13.
( ) ( )
2
2sin cos 1 cos sinx x x x− + =
14.
1 cos sin3 cos3 sin 2 sinx x x x x+ + = − −
15.
3
3sin 1 4sin 3cos3x x x− = +
16.
3sin cos 2cos 2
3
x x x

π
 
+ + − =
 ÷
 
Cho phương trình
( )
3 sin 2 1 cos 3 1m x m x m+ − = +
1. Giải phương trình khi m = 1.
2. Xác định m để phương trình có nghiệm.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1.
cos sin 1
sin 2cos 4
x x
y
x x
− +
=
+ −
2.
cos3 sin3 1
cos3 2
x x
y
x
+ +
=
+
3.

1 3sin 2cos
2 sin cos
x x
y
x x
− +
=
+ +
4.
2
sin cos cos
sin cos 1
x x x
y
x x
+
=
+
Giải các phương trình lượng giác sau :
1.
2 2
2sin sin cos 3cos 0x x x x+ − =
2.
2
2sin 2 3cos 5sin cos 2 0x x x x− + − =
3.
2 2
sin sin 2 2cos 0,5x x x+ − =
4.
2

sin 2 2sin 2cos2x x x− =
5. 2sin
2
x + 3sinx.cosx - 3cos
2
x = 1 6.
2 2
1
4 3 3
2 2 2
os sin sin
x x
c x+ + =
7.
( )
2 2
3sin 4sin 2 8 3 9 cos 0+ + − =x x x
8.
3 3
2cos 3cos 8sin 0x x x+ − =
9.
3 3
8
3cos 5sin 7sin cos 0
3
x x x x− + − =
10.
3
5sin 4 cos
6sin 2cos

2cos2
x x
x x
x
− =
11.
2
sin 2sin
4
x x
π
 
+ =
 ÷
 
12.
3 2 cos sin cos3 3 2 sin sin 2x x x x x− = +
13.
2 2
3sin 2sin 2 cos 0x x x− + =
14.
3
12 sin 2 sin
4
x x
π
 
− =
 ÷
 

Luyen tap
1/
2cos2x- 4cosx=1
sinx 0


≥


2
2
3
x k
π
π
= +
2/ 4sin
3
x+3
2
sin2x=8sinx
; 2
4
x k k
π
π π
 
= ± +
 
 

3/ 4cosx.cos2x +1=0
2 ; 2 ; 2
3
x k k k
π
π α π β π
 
= ± + ± + ± +
 
 
4/
1-5sinx+2cosx=0
cos 0x


≥


2
6
x k
π
π
= +
5/ Cho 3sin
3
x-3cos
2
x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos

2
x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2).
Tìm n
0
của (1) đồng thời là n
0
của (2) ( nghiệm chung sinx=
1
3
)
6/ sin3x+2cos2x-2=0
5
; 2 ; 2
6 6
x k k k
π π
π π π
 
= + +
 
 
7/ a/ tanx+
3
cot x
-2 = 0 b /
2
4
cos x
+tanx=7
c

*
/

sin
6
x+cos
4
x=cos2x
x k
π
=
8/sin(
5
2
2
x
π
+
)-3cos(
7
2
x
π
−
)=1+2sinx
5
; 2 ; 2
6 6
x k k k
π π

π π π
 
= + +
 
 
9/
2
sin 2sin 2 2sin 1x x x
− + = −

2
x k
π
π
= +

10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4
5
;
12 12
x k k
π π
π π
 
= + +
 
 
12/
2 4
sin 2 4cos 2 1

0
2sin cos
x x
x x
+ −
=
3
; ;
4 8 8
x k n l
π π π
π π π
 
= + + +
 
 
13/
sin 1 cos 0x x+ + =

(2 1) ; 2
2
x k k
π
π π
 
= + − +
 
 
14/ cos2x+3cosx+2=0
2

; 2
3
x k k
π
π π π
 
= + ± +
 
 
15/
2 4
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
+ − −
=

3
x k
π
π
= ± +
16/ 2cosx-
sin x
=1
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1/a/ 3sin
2

x-
3
sinxcosx+2cos
2
x cosx=2 b/ 4 sin
2
x+3
3
sinxcosx-
2cos
2
x=4
c/3 sin
2
x+5 cos
2
x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin
2
x+6sinxcosx+2(1+
3
)cos
2
x-5-
3
=0
2/ sinx- 4sin
3
x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

4

x k
π
π
= +
+ sin3x- sinx+ cosx- sinx=0
⇔
(cosx- sinx)
(2sinxcosx+2sin2x+1)=0
3/ tanx sin
2
x-2sin
2
x=3(cos2x+sinxcosx)
;
4 3
x k k
π π
π π
 
= + ± +
 
 

4/ 3cos
4
x-4sin
2
xcos
2
x+sin

4
x=0
;
4 3
x k k
π π
π π
 
= ± + ± +
 
 
5/ 4cos
3
x+2sin
3
x-3sinx=0
4
x k
π
π
= +
6/ 2 cos
3
x= sin3x
4
x k
π
π
= +

x k
α π
= +
7/ cos
3
x- sin
3
x= cosx+ sinx
x k
π
=

8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos
3
x
3
x k
π
π
= ± +

x k
α π
= +
9/sin
3
(x-
π
/4)=
2

sinx
3
4
x k
π
π
= +

Bai 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1/ sin
2
x+sin
2
3x=cos
2
2x+cos
2
4x
; ;
10 5 4 2 2
k k
x k
π π π π π
π
 
= + + +
 
 
2/
cos

2
x+cos
2
2x+cos
2
3x+cos
2
4x=3/2
;
8 4
k
x k
π π
α π
 
= + +
 
 
3/sin
2
x+ sin
2
3x-3 cos
2
2x=0
;
3 2
x k k
π α
π π

 
= ± + ± +
 
 

4/ cos3x+ sin7x=2sin
2
(
5
4 2
x
π
+
)-2cos
2
9
2
x
; ;
12 6 8 2 4
k k
x k
π π π π π
π
 
= + − + −
 
 