Min Max Hàm trị tuyệt đối – Full Bí kíp

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

TỔNG ÔN: MAX – MIN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
Đầy đủ dạng – full 4 cách mỗi bài cho các em lựa chọn.
Group luyện 8+: />Dạng 1: Tìm m để max y  f  x   m  a
 ; 

 a  0 .

Phương pháp:
Cách 1:Trước tiên tìm max f  x   K;

min f  x   k  K  k  .
 ; 

 ; 

Kiểm tra max  m  K , m  k  
TH1:

TH2:

K k
2
K k
2

m K  m k
2



m K mk
2



K k
2

.

 m  k  a
m  a  k
 a. Để max y  a  

 m   a  k ; a  K  .

;

 
m  K  a
m  a  K
 a  m  .

Cách 2: Xét trường hợp
 m  K  a
TH1: Max  m  K  
 m  K  m  k
 m  k  a
TH2: Max  m  k  

 m  k  m  K

Cách 3: Sử dụng đồ thị (khuyến khích nên làm)
Cách 4: Xem ở hướng dẫn ^_^
BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x   ax2  bx  c có đồ thị nhự hình vẽ. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của
tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số g  x   f  x   m trên đoạn  0;4 bằng 9 .
A. 10 .

B. 6 .

C. 4 .

D. 8 .

Lời giải

1|Page

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Từ đồ thị hàm số y  f  x   ax2  bx  c ta có đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  2 là trục đối xứng, mà

f  0   5  f  4   5 . Suy ra: 1  f  x   5, x   0; 4 .
Xét hàm số g  x   f  x   m , x   0;4  .
Ta có: max g  x   max  m  1 ; m  5  .
0;4

Cách 1:
Dễ dàng nhận ra đây là trường hợp 1
Do vậy m  1  9;9  5  m  10; 4
Vậy tổng các giá trị nguyên của m là 10  4   6
Cách 2:
m  3
 m 1  m  5

m  3


   m  8  m  10 .
Trường hợp 1: 
max g x  9
 m  1  9
 0;4  
  m  10


m  3
 m 1  m  5

 m  3


 m  4  m  4 .
Trường hợp 2: 
max g x  9
 m  5  9  
 0;4  

  m  14
Vậy tổng tất cả giá trị nguyên của m là: 10  4   6 .
Cách 3: Dựa vào đồ thị

Từ đồ thị suy ra m 10; 4
Cách 4:
 m  10 k .tra m 5
TH1: m  1  9  

 m  10
m  8
m  4
k .tra m  5
TH2: m  5  9  

m  4
m


14

Vậy m  10; 4
Ví dụ 2. Cho hàm số f  x   x3  3x . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn
nhất của hàm số y  f  sin x  1  m bằng 4. Tổng các phần tử của S bằng
A. 4.

B. 2.

C. 0.
Lời giải

D. 6.

Đặt t  sin x  1  t   0; 2   , khi đó y  f  sin x  1  m  f  t   m  t 3  3t  m .
Xét hàm số u  t   t 3  3t  m liên tục trên đoạn  0;2 có u  t   3t 2  3 .

2|Page

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

t  1   0; 2
.
u   t   0  3t 2  3  0  
t  1  0; 2
Ta có u  0   m; u 1  m  2; u  2   m  2  max u  x   m  2 , min u  x   m  2 .
0;2

0;2

Khi đó max y  max  m  2 ; m  2  .
Cách 1:

  m  6
 
 m  2  4
TH1: 
   m  2  m  2 .


 m  2  m  2 

m  0
 m  2
 m  2  4


TH2: 
  m  6  m  2 .
 m  2  m  2 

m  0
Vậy S  2; 2 2  2  0 .
Cách 2: Dễ dàng nhận ra bài toán thỏa mãn trường hợp 1
Ta có K  2, k  2

 m  2  4; 4  2  m  2; 2
Cách 3: Từ đồ thị

Suy ra m  2; 2
Ví dụ 3. Biết đồ thị hàm số f  x   ax 4  bx2  c có đúng ba điểm chung với trục hoành và f 1  1; f  1  0
. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình f  x   m  12
nghiệm đúng x   0;2 . Số phần tử của S là
A. 10 .

B. 11 .

C. 11 .
Lời giải

D. 0 .

Đồ thị hàm số f  x   ax 4  bx2  c có đúng ba điểm chung với trục hoành nên đồ thị hàm số tiếp
xúc với trục hoành tại gốc toạ độ, suy ra f  0   0  c  0  I  .
Ta có f   x   4ax 3  2bx .
 f 1  1 a  b  c  1
Theo giả thiết 

 II  .
4 a  2b  0
 f  1  0

Từ  I  và  II  suy ra a  1; b  2; c  0  f  x   x4  2x 2 .
Xét hàm số y  x 4  2 x 2  m trên đoạn 0;2 .

3|Page

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

 x  0   0; 2

Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0; 2 và có y  0  4 x  4 x  0   x  1   0; 2

 x  1   0; 2 
3

.
max y   m  8

 0;2
Khi đó y  0   m ; y 1  m 1 ; y  2  m  8 .  
.
y  m  1
min
0;2
Cách 1:
Theo bài ra

   m  8  12

  m  8   m  1
4
2
x  2 x  m  12, x   0; 2  max  m  1 ;  m  8   12  
  m  1  12
   m  1  m  8
 

 4  m  20

7

 m  7
4  m 



2
2



 4  m  11 .
7

13

m

11



 m  11
 2

7
 m 
2

Suy ra S có 11 phần tử.
Cách 2: Từ đồ thị

Ví dụ 4.

Suy ra 4  m  11
x  2020
Cho hàm số f  x  
( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho
xm

max f  x   2020 .

0;2019

A. 2 .

B. 1.

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

Hàm số f  x  xác định với mọi x  m .
*Nếu m  2020 thì f  x   1, x  2020 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
4|Page

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

* Nếu m  2020 thì f  x  đơn điệu trên mỗi khoảng  ;m và  m;   nên yêu cầu bài toán

m   0; 2019
 m   0; 2019

.

max f  x   2020  
4039 

 2020
0;2019


 max f  0  ; f  2019   2020
max  m ; m  2019   2020



Cách 1:
Ta xét hai trường hợp sau:






m  0

m

0;
2019




  m  2019
 2020


Trường hợp 1: 
 2020
  m  1
 m  1 .
 m
 4039
 4039

 2020
 2020

 m  2019
 m  2019

m  0


  m  2019


4082419
 m   0; 2019
 2021
m 
 4039
4082419

2020
 2020   
m

 2021 .
Trường hợp 2: 
2020
 m  2019
  m  4074341  2017
 2020
 
2020
 2020

 2020
 m

 2020
 m
Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Dựa vào đồ thị

Ví dụ 5.

Suy ra có 2 giá trị thỏa mãn
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

f  x 

x 2  2mx  4m
trên đoạn 1;1 bằng 3 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng
x2

`A. 1.

B. 

1
.
2

1
.
2
Lời giải
C.

D. 

3
.
2

Tập xác định D  R \ 2 .
Xét hàm số g  x  

5|Page

x 2  2mx  4m
trên đoạn  1;1 . Hàm số xác định và liên tục trên  1;1 .
x2

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Ta có g   x  

x2  4 x

 x  2

2

 x  0   1;1
. g   x   0  x2  4 x  0  
.
 x  4   1;1

1
Ta có g  0   2m ; g  1  2m  1 ; g 1  2m  .
3
 max g  x   2m  1 ; min g  x   2 m .
1;1

 1;1

Suy ra max f  x   max  2m  1 ; 2m  .
1;1

Cách 1:

  2m  1  3


 m 1
 2m  1  2m

Ta có max f  x   3  
3.
1;1
m  

2
m

3



2
  2m  2m  1

3

Suy ra S  1;   .
2


1
Vậy tổng các phần tử thuộc tập S bằng  .
2
Cách 2: Từ đồ thị

3


Suy ra m  1;   .
2

Cách 3: Bài toán thuộc vào trường hợp 1 nên ta có
 3 
2m  0  3;3  1  m   ;1
 2 

Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ sau.

6|Page

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để max f
1;1

A. 20 .

B. 7 .





8  4x  4x 2  1  m  5 .

C. 10 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn C
Đặt t  8  4 x  4 x 2  1 , h  x   f





8  4 x  4 x2  1  m

Xét hàm số t  g  x   8  4 x  4 x 2  1 trên  1;1 .
g ' x 

2  4x

8  4x  4 x
Bảng biến thiên

2

0 x

1
2

Khi đó ta có t   1; 2 và h  x   f  t   m .

Dựa vào đồ thị ta có min h  x   f 1  m  m  2 , max h  x   f  1  m  m  8
 1;1

 1;1

Cách 1:
Suy ra max h  x   max  m  2 , m  8  .
1;1

  m  2  5

  m  8  5
 m  7
max h  x   5  

 1;1
 m  3
 m  2  5

  m  8  5
Vậy tổng các giá trị của m bằng 10 .
Cách 2: Bài toán nằm trong trường hợp 1 nên ta có
m  2  5;5  8  m  7; 3 .
Cách 3: Từ đồ thị

7|Page

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

suy ra m  7; 3
Ví dụ 7: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y 

x 2  mx  2m
trên đoạn
x2

 1;1 bằng 3 . Tính tổng tất cả các phần tử của S .
8
A.  .
3

5
.
3
Lời giải

B. 5 .

C.

D. 1 .

Chọn A
Xét hàm số y  f  x  

x 2  mx  2m
4
trên  1;1 có f   x   1 

;
2
x2
 x  2

x  0
3m  1
m 1
f  x  0  
; f  0  m; f 1 
; f  1 
.
3
1
 x  4   1;1
Bảng biến thiên

Trường hợp 1. f  0   0  m  0 . Khi đó
 3m  1

3  max f  x   max f  1 ; f 1  3  max 
; m  1  m  1  3  m  2 .
1;1
 3

Trường hợp 2. f  0  0  m  0 .





 f  1  0
Khả năng 1. 
 m  1 . Khi đó 3  max f  x   f  0   m  3 .
1;1
 f 1  0
1
 f  1  0
Khả năng 2. 1  m   . Khi đó 
. 3  max f  x   max f  0  ; f 1
 1;1
3
 f 1  0
 3  max m; m  1 : Trường hợp này vô nghiệm.





1
Khả năng 3.   m  0 . Khi đó 3  max f  x   max f  0  ; f 1 ; f  1 : Vô nghiệm.
 1;1
3
Vậy có hai giá trị thỏa mãn là m1  3, m2  2 . Do đó tổng tất cả các phần tử của S là 1 .



Ví dụ 8: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y 

 2;2 bằng 5 . Gọi T

x 2  mx  3m
trên đoạn
x 3

là tổng tất cả các phần tử của S . Tính T .

C. T  1.
D. T   4.
Lời giải
G r o u p 8 + : />
A. T  4.
8|Page



B. T  5 .


MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Chọn D
Xét hàm số y  f  x  

x 2  mx  3m
,
x 3

Tập xác định: D   \ 3 và f   x  

x2  6x

 x  3

2

.

 x 0
Xét f   x   0  x 2  6 x  0  
.
 x  6
Bảng biến thiên của hàm số y  f  x  :

4
Ta có: f  2   m  4 ; f  0   m ; f  2   m  .
5
2
x  mx  3m
Với g  x   f  x  
. Ta có max g  x   max f  2  ; f  0  ; f  2  .
 2;2
x3



Dựa vào đồ thị các hàm số u  m ; u  m  4 ; u  m 

u = m+

4
.
5

u

u =m

4



5

2

u =m+4

-4

-2

-

4

O 1

5

Xét với m  2 . Ta có max g  x   f  2   m  4  m  4  5  m  1.
2;2

Xét với m  2 Ta có max g  x   f  0   m  m  5  m  5 .
2;2

Vậy S  5;1 nên tổng T   5  1   4.
9|Page

G r o u p 8 + : />
m


MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Cách 2 : ta có m  m 

4
 m4
5

Vậy Max  Max  m ; m  4 
Suy ra m  0  5;5  4  m  5;1
Cách 3 : Từ đồ thị

Suy ra m  5;1
Ví dụ 9: Cho hàm số f  x   x 2  2 x  1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm
số g  x   f 2  x   2 f  x   m trên đoạn  1;3 bằng 8 ?
A. 5 .

B. 4 .

C. 3 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn D
Xét hàm số f  x   x 2  2 x  1 trên đoạn  1;3 .
Ta có bảng biến thiên

Đặt t  f  x  . Do x   1;3 nên ta có t   2; 2 .
Ta có hàm số g  t   t 2  2t  m
Xét hàm số u  t 2  2t trên đoạn  2; 2 ta có bảng biến thiên

Xét hàm số g  u   u  m , với t   1;8
Ta có max g  u   max  m  1 , m  8  .
 1;8

Cách 1:
Trường hợp 1:
 m  1  m  8
 m  1  m  8
 m  7 .
max g u  m  1  


m

1


8

 1;8

Trường hợp 2:

10 | P a g e

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

 m  8  m  1
 m  8  m  1
 m  0.
 max g u  m  8  
 m  8  8
 1;8  
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m  0 và m  7 .
Cách 2: Bài toán nằm trong trường hợp nên
m  1  8;8  8  m  7;0 .
Cách 3: Từ đồ thị

Suy ra m  7; 0
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1:

2
Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y  x  2 x  m trên đoạn  1; 2

Câu 2.

bằng 5 .
A. 3 .
B. 1.
C. 2 .
D. 4 .
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f  x   x 2  2 x  m  4 trên đoạn 2;1
bằng 4
A. 1.

Câu 3.

B. 2.

C. 3.
3

Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số y  x  3 x  m đạt giá trị lớn nhất bằng 50 trên [  2; 4]
. Tổng các phần tử thuộc S là
A. 4 .
B. 36 .

Câu 4.

D. 4.
2

C. 140 .

D. 0 .
4

3

2

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y  3x  4x 12x  m đạt giá trị lớn nhất trên đoạn

 3;2 bằng 150.
A. 4.
Câu 5.

B. 0.
2

Cho hàm số y  2 x  x 
A. 2.

Câu 6.

C. 2.

 x  1 3  x   m . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m
B. 0.

C. 4.

D. 1.

Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số y  x  3x  m đạt giá trị lớn nhất trên đoạn  0; 2 bằng 3.
C. 2.

D. 6.
4

3

2

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y  3x  4x 12x  m đạt giá trị lớn nhất trên đoạn

 3;2 bằng

275
.
2

A. 4.
Câu 8.

để max y  3.

3

Tổng các phần tử thuộc S là
A. 1.
B. 0.
Câu 7.

D. 6.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Cho hàm số f  x   3x  4x  12x  m . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  1;3 . Có bao
4

nhiêu số thực m để M 
A. 1.

11 | P a g e

3

2

59
.
2
B. 0.

C. 2.

D. 3.

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404
Câu 9.

Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y 

1; 2 bằng 3. Số phần tử của tập S
Câu 10:

là

B. 4

A. 1.

x4  mx  m
trên đoạn
x 1

C. 2.

D. 3.

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y 

x 2  mx  m
x 1

trên 1; 2  bằng 2 . Số phần tử của S là

B. 1.

A. 3 .
Câu 11:

Cho hàm số y 
A. 3 .

1.C

2.B

C. 2 .

D. 4 .

x  m2  m
. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để max y  1.
1;2
x2
B. 1.
C. 2 .
D. 4 .
ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
4.C
5.A
6.B
7.D

3.A

Dạng 2: Tìm m để min y  f  x   m  a
 ; 

8.A

9.C

10.C

 a  0.

Phương pháp:
Cách 1: Trước tiên tìm max f  x   K;
 ; 

min f  x   k  K  k  .
 ; 

m  k  a  m  K   a
 m  a  k m   a  K
Để min y  a  



. Vậy m  S1  S2 .
 ;  
m  k  0  m  K  0
 m  k
m   K

Cách 2:Sử dụng đồ thị x  k và x  K
Cách 3: Sử dụng bđt trị tuyệt đối
Ví dụ 1: Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x 2  2 x  m trên

 1; 2 bằng 5.
A. 3 .

B. 1.
Lời giải

C. 2 . D. 4 .

+) Đặt g  x   x 2  2 x  m .
+) Ta có: g ,  x   2 x  2  g ,  x   0  2 x  2  0  x  1 .
 g  1  m  3

+)  g 1  m  1 .

 g  2  m
min g  x   m  1
 1;2
+) Suy ra 
.Vậy min g  x   min 0; m  1 ; m  3 
 1;2
g  x  m  3
max
 1;2
Cách 1:
Ta xét các trường hợp sau:
TH1: .

12 | P a g e

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

 m  1  5
m6 .

 m  1  m  3
TH2: .
 m  3  5
 m  8

 m  1  m  3
Vậy có hai giá trị của tham số m thỏa mãn.
Cách 2: sử dụng đồ thị

Từ đồ thị suy ra m  8; 6
Cách 3: Để
 m  1  5

m  6
m  1  0
min g  x   5  

  m  3  5
 1;2
 m  8


 m  3  0
Cách 4:
TH1: .
m  6
k .tr m  3
m 1  5  

m  6 .
m


4

TH2: .
m  2
k .tr m 1
m3  5  

 m  8
m


8

Ví dụ 2. Tính tích tất cả các số thực m để hàm số y 
bằng 18 là.
A. 432 .

B. 216 .

4 3
x  6 x 2  8 x  m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; 3
3

C. 432 .
Lời giải

D. 288 .

4 3
x  6 x 2  8 x  m liên tục trên đoạn 0; 3 .
3
+ Ta có f   x   4 x 2 12 x  8 .

+ Xét hàm số f  x  

 x  1  0;3
+ f   x   0  4 x 2 12 x  8  0  
.
x

2

0;3



10
8

+ f 0  m; f 1   m; f 2   m; f 3  6  m .
3
3

13 | P a g e

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

max f  x   max  f 0; f 1; f  2; f 3  f 3  m  6
 0;3
Khi đó 
.
min f  x  min  f 0; f 1; f 2; f 3  f 0  m
 0;3
Suy ra min y  min 0; m ; m  6  .
 0;3

TH1.
 m  18

 m  18 .

 m  m  6

TH2. .
 m  6  18

 m  24 .


 m  m  6

Kết luận: tích các số thực m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 24.18  432 .
Cách 2:
m  18

m  0
 m  18

.
min y  18  

 0;3
m  6  18  m  24

m  6  0
Cách 3: Dựa vào đồ thị

Suy ra m  24;18
Ví dụ 3.

Cho hàm số f  x   x 4  2 x 2  m  1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá
trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0; 2 bằng 18 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 5 .

B. 4 .

C.  14 .
Lời giải

D.  10 .

Xét hàm số g  x   x 4  2 x 2  m  1 liên tục trên đoạn 0;2 .

g   x   4x3  4x .
 x  1  0; 2

g   x   0   x  0   0; 2

 x  1  0; 2 
g  0  m  1 , g 1  m  2 , g  2   m  7 .
14 | P a g e

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

 min g  x   m  2 , max g  x   m  7 .
x 0; 2

x0;2

 min f  x   min 0; m  2 ; m  7  .
x 0;2

Cách 1:
Trường hợp 1:
 m  2  18
 m  20 .


 m  2  m  7
Trường hợp 2: .
 m  7  18
 m  25 .

 m  2  m  7
Suy ra m  20;  25 .
Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 5 .
Cách 2:
 m  2  18

 m  20
m  2  0
min f  x   18  

 m  7  18
x 0;2
 m  25

 m  7  0
Cách 3: Từ đồ thị

Suy ra m  25; 20
Ví dụ 4*. Cho hàm số f  x  
tử của tập S là
A. 2 .

2x  m
. Gọi S là tập hợp tất các giá trị của m để min f  x   2 .Tổng các phần

 2; 0
1 x

B.  8 .

C. 5 .
Lời giải

D. 3 .

+) D   \ {1} .
2x  2
 2 nên min f  x   2 . Vậy m  2 .
 2; 0
1 x
2m
*) Với m  2 . Khi đó, f   x  
, x  1 .
2
1  x 

*) Với m  2 . Ta có f  x  

m  4
m
, f  0   m ; f ( x)  0  2 x  m  x  . Ta xét các trường hợp sau:
3
2
Cách 1 (Xem cho vui)

+) Ta có f  2  

15 | P a g e

G r o u p 8 + : />

MIN MAX HM TR TUYT I LP TON THY HUY THANH TRè HN 0969141404

TH1: th hm s y f ( x ) ct trc honh ti mt im cú honh thuc 2; 0 , tc l
m
0 4 m 0 . Khi ú min f x 0 .
2; 0
2
TH2: th hm s y f ( x ) khụng ct trc honh hoc ct trc honh ti mt im cú honh nm
m
2 2
m 4
ngoi on 2; 0 , tc l

.
m 0
m 0
2
Khi ú:
m 4

m4

min f x min f 2 ; f 0 min
; m min

; m .
2; 0
3

3

m4
2
2
+) Nu
m m 4 3 m m 4 3m 4 2m 4m 4 0
3
m 2
m4

thỡ min f x
.

2;
0


3
m 1
m 4 6
m 2 (loaùi, m 2)
m4
Ta cú
v ).
2

3
m 4 6
m 10 (nhaọn)
2



+) Nu



m4
m 1 m 2 thỡ min f x m .
2; 0
3

m 2 (loaùi)
Ta cú m 2
.
m 2 (loaùi)
Suy ra S {2; 10} .
Vy tng cỏc phn t ca S l 8 .
Cỏch 2: T th

Vy m 10; 2

x2
m ( m l tham s thc). Gi S l tp hp cỏc giỏ tr ca m sao cho
Vớ d 5. Cho hm s y f x

x 1
min f x 5 . S phn t ca S l
2;3

A. 3 .

B. 2 .

Hm s y f x

f x

x2 2x

x 1

2

C. 1 .
Li gii

D. 4 .

x2
m liờn tc trờn on 2;3 .
x 1

.

x 0

Ta cú f x 0
; x 0, x 2 2;3 .
x 2
16 | P a g e

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

9
f  2   m  4 , f 3  m  .
2
9
+ Nếu f  2  . f  3   0    m  4 thì min f  x   0 . Trường hợp này không thoả yêu cầu bài
 2;3
2
toán.
9

m

+ Ta xét trường hợp f  2  . f  3  0 
2.

 m  4


9
Khi đó min f  x   min f  2  ; f  3  min  m  4 ; m   .
 2;3

2

m  1

  m  9
m4 5


TH1: min f  x   m  4  5  
   m   19  m  1 .
9
 2;3
2
m 5

2


1
m 
2
 

1
m  2


9
19


19
9
m 5
2
TH2: min f  x   m   5  
 m    m  
.

2
 2;3
2
2
m4 5


 m  9
 m  1

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn bài toán.





Cách 2: Từ đồ thị

 19 
;1
 2 

Suy ra m   
Cách 3:

 m  4  5

 m  4  0
m  1

9
min f  x   5   m   5  
 2;3
 m   19

2
 

2

9
 m   0
2


17 | P a g e

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1.

Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x 3  3 x 2  m trên đoạn

2;3 bằng 2. Tổng các phần tử của tập S bằng
A. 0.
Câu 2.

B. 20.

C. 24.

D. 40.
4

3

2

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y  3x  4x 12x  m đạt giá trị lớn nhất trên đoạn

 3;2 bằng 10.
A. 2.
Câu 3.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

2

Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số y  x  x  m đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  2; 2 bằng 2.
Tổng các phần tử thuộc S là
A. 

31
.
4

B. 8.

23
.
4

C. 

D.

9
.
4

2

Câu 4:

Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  2 x  m trên đoạn  1; 2

Câu 5.

bằng 3 .
A. 3 .
B. 1.
C. 2 .
D. 4 .
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhỏ của hàm số f  x   x 2  2 x  m  4 trên đoạn 2;1
bằng 4
A. 1.

Câu 6.

B. 2.

Gọi S là tập hợp các giá trị của m để hàm số y  x  3x  m đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  0; 2 bằng 3.
C. 2.

D. 6.

x
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  e  4e  m trên đoạn  0;ln 4
2x

bằng 6.
A. 1.
Câu 8.

D. 4.

3

Tổng các phần tử thuộc S là
A. 1.
B. 0.
Câu 7.

C. 3.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

2

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y  x  mx  1 trên đoạn  1; 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng

1.
A. 1.
1.B

18 | P a g e

2.A

3.C

B. 2.

C. 6.
ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
4.C
5.B
6.B
7.C

D. 4.
8.A

G r o u p 8 + : />
9.

10.


MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Dạng 3: Tìm m để max y  f  x   m không vượt quá giá trị M cho trước.
 ; 

Phương pháp: Trước tiên tìm max f  x   K;
 ; 

min f  x   k  K  k  .
 ; 

Cách 1:
m  k  M
 M  k  m  M  K.

m  K  M

Để max y  M  
 ;  

Cách 2: Sử dụng đồ thị (nên dùng)
BÀI TẬP MINH HỌA

Cho hàm số y 

Ví dụ 1.

1 4
x  x 3  x 2  m . Tính tổng tất cả các số nguyên m để max y  11.
1;2
4

A. 19 .

B. 37 .

C. 30 .
Lời giải

D. 11 .

1 4
x  x3  x 2  m liên tục trên đoạn 1; 2 .
4
3


+ Ta có f  x  x  3x 2  2 x .
 x  0  1; 2 

+ f   x   0  x3  3 x 2  2 x  0   x  1  1; 2 .

 x  2  1; 2
9
1
+ f 1   m; f 0  m; f 1   m; f  2  m .
4
4

9
max f  x  max  f 1; f 0; f 1; f 2  f 1  m 
1;2
4 .
Khi đó 


f  x  min  f 1; f 0; f 1; f  2  f 0  f 2  m
min
 1;2


9
m  , m 
Vậy max y  max 

0;3



4
Cách 1:

 m  9  11

4


 m  9  m

4
theo yêu cầu bài toán max y  11  
0;3

 m  11


 m  m  9

4

+ Xét hàm số f  x 

19 | P a g e

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

 53
35
  m 
 4
4

 9
35

9
  m 
m  
35
 8
4
 
8

 11  m  .

9
4

11  m  11
11  m  


8


9
m  

8

Vì m nguyên nên m  11;10;...;8 .

Kết luận: tổng các số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1110  9 ...  8  30 .
Cách 2: Sử dụng đồ thị

Suy ra 11  m 

35 m

 m  11; 10;...;7;8
4

Ví dụ 2. Cho hàm số f  x   x 2  2mx  3 . Có bao nhiêu giá trị m nguyên để giá trị lớn nhất của f  x  trên
đoạn 1; 2 không lớn hơn 3 ?
A. 2 .

C. 1.
Lời giải

B. 3 .

D. 4 .

Ta có giá trị lớn nhất của f  x  trên đoạn 1; 2 không lớn hơn 3, tức là max f  x   3
1;2

2m  x, x  1; 2
2

 x  2mx  3  3, x  1; 2 

 2
x2  6
, x  1; 2
 x  2mx  3  3, x  1; 2
2 m 

x
 2m  max  x 
1
1;2 

.

 x2  6 
2
 2m  min 



1;2
 x 

+) 1  2m  2  m  1.

6
x2  6
6
 x  với x  1;2 có g   x   1  2 .
x
x
x

g
x

0,

x

1;2
Suy ra:  
   min g  x   g  2   5 .
+) Xét hàm g  x  

1;2

Do đó  2   m 
Vậy 1  m 
20 | P a g e

5
.
2

5
, mà m   nên m1;2 .
2

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Cách 2: Cách trên dễ hiểu rồi nên cách sau các e tự làm
Ví dụ 3. Cho hàm số y  x 3  3x 2  9 x  m . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để max y  50
2;3

. Tổng các phần tử của M là
A. 0 .
B. 737 .

C. 759.
Lời giải

D. 215 .

Xét hàm số f  x   x 3  3 x 2  9 x  m liên tục trên đoạn  2;3 .
Ta có f   x   3x 2  6 x  9 .

 x  1
f   x   0  3x 2  6 x  9  0  
.
x  3
Có f  2   m  2; f  1  m  5; f  3  m  27 .
Suy ra max f  x   m  5 ; min f  x   m  27 .

 2;3

2;3

Do đó M  max y  max  m  5 ; m  27  .
 2;3

Cách 1:

  m  5  m  27
 2m  22  0


 m  11; 45 
  m  5  50
50  m  5  50
M  50  


 m   23; 45  .
 2m  22  0
m


23;11



  m  5  m  27





50

m

27

50



  m  27  50
Do đó S  22; 21; 20;...; 1;0;1; 2;...;44 .
Vậy tổng các phần tử của M là 737.
Cách 2: sử dụng đồ thị

m
Suy ra m   23; 45  
 m  22; 21;...; 44

Ví dụ 4: Cho hàm số y  x 4  2 x 3  x 2  a . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để max y  100 .
1; 2

A. 197 .

B. 196 .

C. 200 .

Lời giải

D. 201 .

Xét u  x 4  2 x 3  x 2  a liên tục trên đoạn  1; 2 .
u '  4 x3  6 x 2  2 x .

21 | P a g e

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404


 x  0   1; 2 

u '  0   x  1   1; 2 

1
 x    1; 2 

2




1
u  max u  1 , u  0  , u   , u 1 , u  2    u  1  u  2   a  4
 M  max
1; 2


2



Suy ra 
.
 m  min u  min u  1 , u  0  , u  1  , u 1 , u  2    u  0   u 1  a


 

1; 2 
2



Cách 1 :
 a  4  a  100
 100  a  2
Vậy max y  max  a  4 , a   100  
.

1; 2
 2  a  96
 a  a  4  100

Vậy a  100,  99,..., 96 có 197 số nguyên thỏa mãn.
Cách 2: Sử dụng đồ thị

Suy ra 100  m  96
Ví dụ 5. Cho hàm số y  sin x  cos x  m , có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có giá trị lớn nhất bé
hơn 2 .
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

Xét hàm số f  x   sin x  cos x  m , có tập xác định: D   .
Ta có:  2  m  sin x  cos x  m  2  m , x   .
Suy ra  2  m  f  x   2  m , x   .
Vậy: max y  m  2 hoặc max y  m  2 .
D

 m 


  m 
Yêu cầu bài toán  
  m 

 m 


22 | P a g e

D

2 2

  2  2  m  2  2

2  m 2
  m  0

2 2
  2  2  m  2  2
  m  0

2  m 2

G r o u p 8 + : />

MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

0  m  2  2

 2  2  m  2  2 .
 2  2  m  0
Do m    m  0 . Vậy chỉ có một giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2: sử dụng đồ thị

Từ đồ thị suy ra m  0

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1.

Gọi

S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2  2 x  m

trên đoạn  1; 2 không vượt quá 5 . Số phần tử của
Câu 2.

S bằng

A. 7.
B. 5 .
C. 14 .
D. 2 .
Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

1 4 19 2
x 
x  30 x  m  20 trên đoạn  0; 2  không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng
4
2

y

A. 210.

B.

195 .

C. 105.
3

D. 300.

2

Câu 3.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để max x  3x  m  4?

Câu 4.

A. Vô số.
B. 4.
C. 6.
D. 5.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y  x3  3x  m trên đoạn  0; 2

1;3

không vượt quá 10 .
A. 27.
Câu 5.

4

B. 15 .
3

D. 12 .

C. 17 .

2

Cho hàm số y  x  2 x  x  a . Có bao nhiêu số nguyên a để max y  100.
 1;2

A. 197.
Câu 6.

B. 196.

C. 200 .

D. 201 .
4

3

2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để giá trị lớn nhất của hàm số y  3x  4 x 12x  a trên đoạn

 3;2 không vượt quá 243.
A. 41.
Câu 7.

B. 103.

C. 200.

D. 212.
3

2



2



Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y  x  x  m 1 x  4m  7
trên đoạn  0;2 không vượt quá 15.
A. 3.

Câu 8.

B. 7.

C. 5.

D. 1.

Cho hàm số y  sin3x  sin x  m . Có bao nhiêu số nguyên m để giá trị lớn nhất của hàm số không vượt quá

30.
A. 59.

1.A

23 | P a g e

B. 61.

2.C

3.D

C. 57.

ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
4.C
5.A
6.D
7.C

D. 55.

8.C

G r o u p 8 + : />
9.

10.


MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Dạng 4: Tìm m để min y  f  x   m không vượt quá giá trị a cho trước.
 ;  

Phương pháp: Trước tiên tìm max f  x   K;

min f  x   k  K  k  .
 ; 

 ; 

Cách 1:
m  k  a m  K   a
 m  a  k m   a  K

  m  K  m  k   0  

  K  m  k .
m  k  0 m  K  0
 m  k
m   K

Để min y  a  
 ;  

Cách 2: Sử dụng đồ thị
BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ 1. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên lớn hơn 6 của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  x 2   m  1 x  m trên  2; m  1 nhỏ hơn 2020.

A. 2043210 .

B. 2034201 .

C. 3421020
Lời giải

D. 3412020 .

Cách 1:
+) Xét hàm số f  x   x 2   m  1 x  m liên tục trên  2; m  1 với m  6 .
Ta có: f   x   2 x   m  1 ; f   x   0  x 

m 1
  2; m  1 .
2

2

 m  1
 m 1 
Khi đó: f  2   2  m; f 
; f  m  1  2  m.

4
 2 
+) Vì

 m 1


4

2

 2  m  0, m  6 nên



 m 1 
max f  x   max  f  2  ; f 
; f  m  1   2  m ;

 2 



[2; m 1]


và min f  x   min  f  2  ; f
[2;m-1]


2


 m  1 .
 m 1 


 ; f  m  1   
4
 2 


2

 m  1
Do đó: min y  min  2  m ; 
[2;m-1]
4



  2m


+) Theo yêu cầu bài toán: 2  m  2020  2020  2  m  2020  2018  m  2022
+) Vì m   và m  6 nên m  7;8;9; ; 2021 .
2021

+) Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m là:

n 
n 7

 7  2021 2015  2043210
2

Cách 2:

+) Xét hàm số f  x   x 2   m  1 x  m liên tục trên  2; m  1 với m  6 .
x  1
.
f  x   0  x 2   m  1 x  m  0  
x  m

24 | P a g e

G r o u p 8 + : />
.


MIN – MAX HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

 m 1
 2  2
Do m  6 nên ta có: 
.
 m  1  m 1
 2
2

 m  1
 m 1 
f  2   2  m; f 
; f  m  1  2  m.

4
 2 

Từ bảng biến thiên suy ra: min f  x   m  2
[2;m-1]

Theo bài ra ta có: min f  x   2020  m  2  2020  m  2022 .
[2;m-1]

Kết hợp với điều kiện m  6 suy ra m  7;8;...; 2021 .
2021

+) Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m là:

n 
n 7

Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 3 

 7  2021 2015  2043210
2

9 2
x  6 x  3  m . Tổng các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn   10;10 
2

để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  0;3 không bé hơn 5.
A. 1.

B. 1 .

C. 0 .
Lời giải

D.  7 .

9
Xét hàm số f  x   x3  x 2  6 x  3  m liên tục trên đoạn  0; 3 .
2
 x  1   0;3
Ta có f   x   3 x 2  9 x  6 ; f   x   0  
.
 x  2   0;3
1
3
f  0   3  m ; f 1    m ; f  2   1  m ; f  3   m .
2
2
3
Suy ra max f  x    m ; min f  x   3  m .
0;3
0;3
2
3

TH1:   m   3  m   0 . Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn  0;3 là 0 .
2

3

3

TH2:   m   3  m   0 . Khi đó: min y  min   m ; 3  m  .

0;3
 
2

2

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  0; 3 không bé hơn 5
25 | P a g e

.

G r o u p 8 + : />