Đáp án đề thi HSG toán 8 (vòng 2) năm 2018 2019

TRƯỜNG THCS BẠCH LIÊU

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG TRƯỜNG VÒNG 2
NĂM HỌC: 2018 - 2019
Môn thi: Toán 8

Câu

Sơ lược lời giải
1
a, Đkxđ: ∀x , x ≠ 2 , x ≠ 3 , x ≠ −
4
3x + 2
Kết quả rút gọn: A =
4x + 1
3x + 2
3 4x + 1) + 5
⇒ 4.A = (
b, Ta có: A =
4x + 1
4x + 1
5
⇒ 4.A = 3 +
⇒ 4.A ∈ ¢ thì 4x + 1 ∈ Ư(5)
Câu 1
4x + 1
(4,5 điểm)
⇒ x ∈ { 0;1} thì 4.A ∈ ¢
Với x = 0 thì A = 2 (t/m)
Với x = 1 thì A =1 (t/m)
Vậy với x = 0; x = 1 thì A ∈ ¢

16x 2 + 8
16x 2 + 8
⇒ M=
c, Ta có: M = A.
3x + 2
4x + 1
2
2
4 ( 4x + 1) + ( 16x − 16x + 4 )
4x − 2 )
(
⇒ M=
⇒ M = 4+
4x + 1
4x + 1
2
Do x > 0 ⇒ 4x + 1 > 0 và ( 4x − 2 ) ≥ 0 ∀x

⇒ M = 4 + ( 4x − 2 )

2

1
≥ 4 . Dấu “=” khi và chỉ khi x = (t/m)
2
4x + 1
1
Vậy GTNN của M = 4 khi x =
2
2

a, Ta có PT: 6x + x − 40 = 0
⇔

Câu 2
(4,0điểm
)

( 2x − 5) ( 3x + 8) = 0

⇔

5
2

 2x − 5 = 0
3x + 8 = 0


⇔

5

x
=

2

x = − 8

3

8
3

Điểm
0,5
1,5

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

1,25

Vậy nghệm của PT là: S =  ; − 

0,25

b, Ta có PT: x − 2018 + x − 2020 = 2 ⇔ x − 2018 + 2020 − x = 2
Do: x − 2018 + 2020 − x ≥ x − 2018 + 2020 − x = 2

0,5

Dấu “=” xảy ra ⇔ ( x − 2018 ) ( 2020 − x ) ≥ 0 ⇔
Vậy nghiệm của PT là 2018 ≤ x ≤ 2020

2018 ≤ x ≤ 2020

0,5
0,5


5
23
2
+1 = 2
−
x −8
x − 5x − 24 x + 3
2
5 ( x + 3) + x − 5x − 24 = 23 − 2 ( x − 8 )

đkxđ: ∀x , x ≠ 8 , x ≠ −3

c, Ta có PT:
⇔
⇔

x 2 + 2x − 48 = 0

( x − 6) ( x + 8) = 0

⇔

⇔

Vậy nghiệm của PT là: x = 6 và x = −8

 x = 6 (t/m dkxd)
 x = −8 (t/m dkxd)


0,25
0,25
0,25
0,75

3
3
a, Ta có: A = 3n + 15n = 3n − 3n + 18n = 3 ( n − 1) n ( n + 1) + 18n

Câu 3
(4,0điểm
)

0,25

18 ∀n ∈ ¢
 3 ( n − 1) n ( n + 1) M
Do 
18 ∀n ∈ ¢
 18nM
⇒ AM

18
b, ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0

1,0
0,25

3a 2 5
* 2 + 3 = 1 ⇒ b3 − 3a 2b = 5 ⇒ b6 − 6a 2b 4 + 9a 4b 2 = 25 (1)
b
b
2
3b 10
* 2 + 3 = 1 ⇒ a 3 − 3ab 2 = 10 ⇒ a 6 − 6a 4b 2 + 9a 2b 4 = 100 (2)
a
a
Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:
2
2 3
3
a 6 + 3a 4b 2 + 3a 2b 4 + b 6 = 125 ⇒ (a + b ) = 5 .
Vậy M = 5

0,75
0,75
0,5

E

D
A

0,5

M
Q

Câu 4
(6,5 điểm)

B

P

H

C

a, - Chứng minh ∆EBD
∆ECA (g.g)
EB ED
⇒
⇒ EA.EB = ED.EC
=
EC EA
- Chứng minh ∆EAD
∆ECB (g.c.g)
·
·
⇒ EAD
= ECB

·
·
b, Từ BMC
= 1200 ⇒ AMB
= 600 ⇒
·
- Xét ∆EBD vuông tại D có EBD
= 300
2

2

S
 ED   1  1
- Lý luận cho EAD = 
÷ = ÷ =
SECB  EB   2 
4

0,5
0,5
0,75
0,25

·
ABM
= 300
1
⇒ ED = EB
2

⇒

0,5

⇒

SECB = 144 cm 2

ED 1
=
EB 2

0,75
0,75


c, Chứng minh PQ là đường trung bình của ∆BHD
⇒ PQ // BD
Mặt khác: BD ⊥ CD (giả thiết)
Suy ra: PQ ⊥ DC ⇒ Q là trực tâm của ∆DPC
Suy ra CQ là đường cao thứ ba của ∆DPC .
Hay CQ ⊥ PD
a+b
b+c
c+a
1 1 1
+
+
Đặt A =

và B = + +
2
2
2
ab + c bc + a
ca + b
a b c
1
 a +b 1  b+c 1  c+a
− ÷+ 
− ÷+ 
− ÷
Xét hiệu: A − B = 
2
2
2
 ab + c c   bc + a a   ca + b b 
( a − c) ( c − b) + ( b − a ) ( a − c) + ( c − b) ( b − a )
=
( ab + c2 ) c
( bc + a 2 ) a
( ca + b2 ) b (*)
Câu 5
(1,0điểm
)

Do vai trò a, b, c trong (*) có vai trò bình đẳng, nên ta giả sử a ≥ b ≥ c > 0
Khi đó: ( a − c ) ( c − b ) ≤ 0 ; ( c − b ) ( b − a ) ≥ 0 ; và c3 ≤ b 3
( c − b) ( b − a ) ≤ ( c − b) ( b − a )
⇒ abc + c3 ≤ abc + b3 ⇒

( ca + b2 ) b
( ca + b2 ) c
Vậy A − B ≤
=
=

0,5
0,75
0,75

0,25

0,25

( a − c) ( c − b) + ( c − b) ( b − a ) + ( b − a ) ( a − c)

( ab + c ) c

( ca + b ) c

2

2

( bc + a ) a
2

( a − c) ( c − b) + ( c − b) ( b − a ) + ( b − a ) ( a − c)

( ab + c ) c

2

−( c − b)

2

( ab + c ) c
2

+

( bc + a ) a
2

( b − a ) ( a − c)

( bc + a ) a
2

2
≤ 0 (vì − ( c − b ) ≤ 0 và ( b − a ) ( a − c ) ≤ 0 )

a+b
b+c
c+a
1 1 1
⇒ A ≤ B hay
+
+
≤ + +

2
2
2
ab + c bc + a
ca + b
a b c
Những chú ý khi chấm thi:
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh
phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết.
3. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống
nhất trong cả tổ chấm. Điểm thống nhất toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm,
không làm tròn.
...................................... Hết ............................................

0,25

0,25