NHÓM TOÁN VD – VDC
SỞ GD&ĐT BẾN TRE
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN: TOÁN – Hệ : THPT
Thời gian: 180 phút
Ngày thi : 27/02/2019
Họ và tên: .......................................................................................... SBD: ................................................. .
2.sin 2 x 6.sin x 1 .
4
4
y 2 . x 2 x y 0
b) Giải hệ phương trình:
với x, y .
x 1. y 1 y 3 1 x 2 y 3x
x 1
c) Cho hàm số y
có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị C biết
2x 1
d cắt trục Ox , Oy lần lượt tại A , B sao cho AB 10.OA (với O là gốc tọa độ).
a) Giải phương trình:
NHÓM TOÁN VD – VDC
Câu 1 (8 điểm).
Câu 2 (4 điểm).
a) Bạn An có đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là
1
và bạn Bình có đồng xu
3
2
. Hai bạn An và Bình lần lượt chơi trò chơi tung
5
đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa ai được mặt ngửa trước thì thắng. Các lần tung
p
trong đó p và q là các số
là độc lập với nhau và bạn An chơi trước. Xác suất bạn An thắng là
q
nguyên tố cùng nhau, tìm q p .
mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là
dương thỏa: Cn1 2Cn2 3Cn3 ... n 1 Cnn1 nCnn 64n .
Câu 3 (4 điểm).
a) Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D thỏa mãn AB 3, BC 7, CD 11, DA 9 .
Tính AC.BD .
b) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 3b 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
4
8
biểu thức P
.
2
2
2
a 1 b 2 c 3
Câu 4 (4 điểm).
Cho hình chóp S . ABC , có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA 2a và tam giác ABC
vuông tại C với AB 2a BAC 30 . Gọi M là điểm di động trên cạnh AC , đặt AM x,
0 x a 3 . Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x . Tìm các giá trị của x để khoảng
cách này lớn nhất.
----- HẾT ---- />
Trang 1
NHÓM TOÁN VD – VDC
n
1
b) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhi thức x 4 biết rằng n là số nguyên
2 x
2
NHÓM TOÁN VD – VDC
SỞ GD&ĐT BẾN TRE
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
ĐỀ CHÍNH THỨC
CẤP TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2018 - 2019
Câu 1 (8 điểm).
Lời giải
2.sin 2 x 6.sin x 1 sin 2 x cos 2 x 3. sin x cos x 1 0
4
4
a) Ta có:
NHÓM TOÁN VD – VDC
2.sin 2 x 6.sin x 1 .
4
4
y 2 . x 2 x y 0
với x, y .
b) Giải hệ phương trình:
2
x
1.
y
1
y
3
1
x
y
3
x
x 1
c) Cho hàm số y
có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị C biết
2x 1
d cắt trục Ox , Oy lần lượt tại A , B sao cho AB 10.OA (với O là gốc tọa độ).
a) Giải phương trình:
sin x cos x sin 2 x cos 2 x 3 sin x cos x 0 sin x cos x 2sin x 3 0
2
x k
4
sin x 0
x
x
sin
cos
0
4
x k 2 .
3
3
2sin x 3 0
sin x
2
x 2 k 2
3
4
k , x
3
k 2 , x
2
k 2 , với k .
3
y 2 . x 2 x y 0
1
b) Giải hệ phương trình:
.
x 1. y 1 y 3 1 x 2 y 3x 2
x 1
* Điều kiện: y 0
.
x 2 y 3x 0
a x 2 1
x a2 2
- Đặt
.
2
y
b
b
y
0
Khi đó 1 trở thành: b2 2 a b a2 2 0 ab b a 2 b a 0
b a ab 2 0 a b do ab 2 0
x2 y y x2.
- Thay vào phương trình 2 ta được phương trình:
x 1.
x 2 1 x 1 . 1 x 2 2 x 2
x 1. 1
x 1 1 x 1 . 1 x 1
- Nếu x 1 thì 3 vô nghiệm.
2
1
/>
3 .
Trang 2
NHÓM TOÁN VD – VDC
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm là: x
NHÓM TOÁN VD – VDC
- Với x 1 , xét hàm số: f t t. 1 1 t 2 trên 0; .
Có: f t 1 1 t 2
t2
1 t 2
0, t 0; , do đó hàm số f t đồng biến trên 0;
x 0
x 1 f x 1 x 1 x 1 x 2 3x 0
x 3 (do x 1 )
x 3
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x; y 3;5 .
3 f
Ta có: y
1
\ .
2
3
2 x 1
2
.
- Giả sử tiếp tuyến d của C cắt Ox , Oy lần lượt tại A và B thỏa mãn AB 10.OA .
Khi đó tam giác OAB vuông tại O và có AB 10.OA OB 3.OA
OB
tan OAB
3 k 3 , với k là hệ số góc của tiếp tuyến d
OA
2 x 1 1
x 1
3
2
y 3
3 2 x 1 1
2
2 x 1
2 x 1 1 x 0
NHÓM TOÁN VD – VDC
c) TXĐ:
M 1; 2
là các tiếp điểm.
M 0; 1
Vậy có 2 tiếp tuyến d thỏa mãn yêu cầu bài toán là : y 3x 5 và y 3x 1 .
Câu 2 (4 điểm).
1
và bạn Bình có đồng xu
3
2
. Hai bạn An và Bình lần lượt chơi trò chơi tung
5
đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa ai được mặt ngửa trước thì thắng. Các lần tung
p
là độc lập với nhau và bạn An chơi trước. Xác suất bạn An thắng là
trong đó p và q là các số
q
nguyên tố cùng nhau, tìm q p .
mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là
n
1
b) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhi thức x 4 biết rằng n là số nguyên
2 x
2
dương thỏa: Cn1 2Cn2 3Cn3 ... n 1 Cnn1 nCnn 64n .
Lời giải
a) Giả sử ở lần gieo thứ n bạn An thắng cuộc, khi đó ở n 1 lần gieo trước bạn An đều chỉ gieo ra
mặt sấp và bạn Bình chỉ gieo được n 1 lần đều có kết quả là mặt sấp.
n 1
2 13
Xác suất để có được điều đó ở lần gieo thứ n là .
3 3 5
Do đó, điều kiện thuận lợi để bạn An thắng là
n
2
1 1
p 1 2 2
5
2
1 ... ...
.
2
q 3 5 5
9
5
3 1
5
/>
n 1
1 2
3 5
n 1
.
Trang 3
NHÓM TOÁN VD – VDC
a) Bạn An có đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là
NHÓM TOÁN VD – VDC
Suy ra q p 9 5 4 .
n
b) Ta xét khai triển 1 x Cnk x k . Lấy đạo hàm 2 vế ta được: n 1 x
n
n 1
k 0
n
kCnk x k 1 .
k 1
Chọn x 1 Cn1 2Cn2 3Cn3 ... n 1 Cnn1 nCnn n.2n1
NHÓM TOÁN VD – VDC
Do đó Cn1 2Cn2 3Cn3 ... n 1 Cnn1 nCnn 64n n2n1 64n n 7 .
Tiếp tục khai triển
7
7
1
x
C7k
4
2 x k 0
x
k
1
4
2 x
7k
1
k 0 2
7
7k
k
7
C x x
Do đó để tìm được số hạng chứa x 2 thì ta cần tìm k để
1
Vậy hệ số của số hạng chứa x là
2
7 5
2
C75
k
2
k 7
4
1
k 0 2
7
7k
k
7
C x
3k 7
4
.
3k 7
2 k 5.
4
21
.
4
Câu 3 (4 điểm).
a) Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D thỏa mãn AB 3, BC 7, CD 11, DA 9 .
Tính AC.BD .
b) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 3b 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
4
8
biểu thức P
.
2
2
2
a 1 b 2 c 3
Lời giải
a) Ta có AB BC CD DA AB BC AB BC CD DA CD DA
Do đó AC.BD
2
2
2
1
9 49 121 81 0 .
2
b) Cách 1:
Áp dụng BĐT A-G: a 2 1 2a; b 2 4 4b; c 2 1 2c
suy ra 2a 4b 2c 6 a 2 b2 c 2 2a b 2c 6
1 .
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi
a c 1
.
b 2
1
1 1
8
2 1
Ta lại có với x, y là các số thực dương: x y 2 2 8 2 2
, dấu " " xảy
2
y
x
y
x y
x
ra khi và chỉ khi x y .
Do đó
1
1
8
8
8
64
256
P
2
2
2
2
2
2
2
a 1 b 1 c 3 a b 2 c 3 a b c 5 2a b 2c 10
2
2
2
a c 1
Kết hợp 1 suy ra P 1. Vậy min P 1
.
b 2
Cách 2:
Ta có: a2 b2 c2 3b 0 b2 3b a2 c2 0 0 b 3 .
/>
Trang 4
NHÓM TOÁN VD – VDC
AB BC AC CD DA CA AC AB BC CD DA 2 AC.DB
2
NHÓM TOÁN VD – VDC
Ta có
1
a 1
2
8
c 3
9
2
a 1
2
c 3
Lại có 4a 2 a 1 và 6c 3 c 1
2
2
1
a 1
2
8
c 3
2
18
1 .
2a 4a c 2 6c 11
2
2
2
2a2 4a c2 6c 11 2a2 2 a2 1 c2 3 c2 1 11
Từ 1 và 2 ta có
1
a 1
2
8
c 3
2
9
2a 2c 2 8
2
3 .
Lại có từ giả thiết a2 b2 c2 3b 0 a2 b2 c2 3b a2 c2 b2 4 3b 4
b2 4 4b a2 c2 4b 3b 4 a2 c2 4 b 2a2 2c2 8 2b 4 .
1
Từ 3 và 4 ta có
P
1
a 1
2
a 1
4
b 2
Xét hàm số f b
2
4
b 2
2
2
8
c 3
8
c 3
2
2
mà
9
16 2b
4
b 2
2
9
.
16 2b
NHÓM TOÁN VD – VDC
2a2 4a c2 6c 11 4a2 4c2 16 2 .
9
với 0 b 3 .
16 2b
a c 1
Ta có min f b 1 khi b 2 P f b min f b 1 và min P 1
b 0;3
b 0;3
b 2
Câu 4 (4 điểm).
Cho hình chóp S . ABC , có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , SA 2a và tam giác ABC
vuông tại C với AB 2a BAC 30 . Gọi M là điểm di động trên cạnh AC , đặt AM x,
cách này lớn nhất.
Lời giải
Cách 1
/>
Trang 5
NHÓM TOÁN VD – VDC
0 x a 3 . Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x . Tìm các giá trị của x để khoảng
NHÓM TOÁN VD – VDC
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BM . Suy ra BM SAH .
Ta có MAH
MBC AH
BC. AM
a.x
.
2
BM
4a x 2 2 xa 3
5 x 2 8 xa 3 16a 2
x 2 2 xa 3 4a 2
hình SH SA2 AH 2 a
Ta có SM SA2 AM 2 4a 2 x 2 , SB SA2 AB 2 2a 2,
BM BA2 AM 2 2 AB.AM cos BAM 4a2 x2 2 xa 3, p
SM SB BM
2
Diện tích tam giác SBM là SSBM p p SB p MB p SM
a
5 x 2 8 xa 3 16a 2
2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BM . Ta có S SBM
SH
1
SH .BM
2
2 S SBM
5 x 2 8 xa 3 16a 2
5 x 2 8 xa 3 16a 2
d
S
,
BM
SH
a
a
.
BM
x 2 2 xa 3 4a 2
x 2 2 xa 3 4a 2
NHÓM TOÁN VD – VDC
Cách 2
Cách 3
Ta có BC a, AC a 3 .
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho C 0;0;0 , B a;0;0 , A 0; a 3;0 , S 0; a 3; 2a
Do H thuộc AC , AM x nên M 0; a 3 x;0
MB, BS 2ax 2a 3; 2a ; xa .
Ta có MB a; x a 3;0 , BS a; a 3; 2a .
NHÓM TOÁN VD – VDC
2
2
Khoảng cách từ S đến BM là d S , BM
MB, BS
5 x 2 8 xa 3 16a 2
a
.
x 2 2 xa 3 4a 2
MB
* Tìm các giá trị của x để khoảng cách này lớn nhất.
5 x 2 8 xa 3 16a 2
0 xa 3
Xét hàm số f x 2
x 2 xa 3 4a 2
f x
2a 3 x 2 8 xa 2
x 2 2 xa 3 4a 2
2
x 0
, f x 0
. Có f 0 4, f
x 4 3a 0; a 3
3
3 7.
----- HẾT -----
/>
Trang 6