Rèn luyện một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng cho học sinh lớp 7

MỤC LỤC
PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ......................................................................................1
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI..................................................................................2
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.........................................................................2
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU........................................................................3
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU......................................................................3
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.................................................................3
VI. PHẠM VI NGHIÊN CỨU...........................................................................4
VII. GIỚI HẠN ĐỀTÀI.....................................................................................4
PHẦN B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ........................................................................5
I. THỰC TRẠNG...............................................................................................5
1. Thuận lợi.....................................................................................................5
2. Khó khăn.....................................................................................................5
3. Số liệu thống kê ban đầu.............................................................................5
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ................................................................................6
1. Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng....................................6
2. Biện pháp thực hiện....................................................................................8
3. Một số bài tập áp dụng..............................................................................18
III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC............................................................................19
PHẦN C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.....................................................20
I. KẾT LUẬN..................................................................................................20
II. ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ......................................................21
III. KHUYẾN NGHỊ........................................................................................21
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong tất cả các môn học nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông
nói chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng,

nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao
trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân.
Trong khi học Toán, phần lớn học sinh đều ngại và sợ Hình học, bởi vì để
học Hình học tốt thì đòi hỏi các em phải có tư duy tốt, tính sáng tạo cao, trí
tưởng tượng phong phú, nhất là phải có sự say mê nghiên cứu, tìm tòi và học
hỏi. Đặc biệt là khi gặp những câu hỏi khó, ví dụ “chứng minh 3 điểm thẳng
hàng” đa số học sinh thường bỏ câu này (kể cả học sinh giỏi). Điều này cũng dễ
hiểu, vì trong SGK có rất ít dạng bài tập này, đến khi kiểm tra 45’ hoặc cuối học
kì, bài toán có dạng tổng hợp nhiều câu hỏi, trong đó có yêu cầu chứng minh 3
điểm thẳng hàng, học sinh không biết phải lập luận thế nào, phải trình bày ra
sao. Vì không có sự định hướng tốt nên nhiều em cũng muốn bài làm của mình
được trọn vẹn, nhưng gặp nhiều khó khăn, suy nghĩ lan man…
Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt
để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng
quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em những phương pháp chứng
minh 3 điểm thẳng hàng và các ví dụ áp dụng đối với từng bài học, từ đó khi các
em tiếp xúc với dạng toán này, các em có thể tư duy tìm hướng giải quyết cho
bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn. Đó là lý do tôi chọn đề tài này: “Rèn
luyện một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng cho học sinh lớp 7”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Trang bị cho học sinh lớp 7 một cách có hệ thống các phương pháp chứng
minh ba điểm thẳng hàng nhằm giúp cho học sinh có khả năng giải dạng toán
này.
- Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, phát triển khả năng tư duy, năng lực
tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú, say mê học tập bộ môn.
- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thức vào
thực tiễn cuộc sống.


III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu nội dung dạy học, lý thuyết cũng như các bài tập áp dụng về chứng
minh ba điểm thẳng hàng trong sách giáo khoa, sách giáo viên và sách nâng cao
toán.
- Nghiên cứu những ứng dụng của việc chứng minh ba điểm thẳng hàng trong
việc giải các bài toán có liên quan để thấy được tầm quan trọng của nội dung
này.
- Thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập để thấy được sự nắm bắt của
học sinh. Qua đó nhận ra những tồn tại, những sai lầm và những thiếu sót mà
học sinh thường mắc phải khi giải các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Từ đó tìm ra những giải pháp phù hợp nâng cao chất lượng giảng dạy.
- Tìm hiểu kĩ đối tượng học sinh (qua khảo sát và thông qua giáo viên chủ
nhiệm) nhằm phân loại đối tượng học sinh để có biện pháp giảng dạy phù hợp.
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng cho học
sinh lớp 7.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
* Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu qua các tài liệu về phương pháp dạy học hình học nói chung và
hình học 7 nói riêng.
- Nghiên cứu và hệ thống hóa các kiến thức về chứng minh ba điểm thẳng hàng
trong chương trình hình học 7.
* Phương pháp thực nghiệm: Nghiên cứu qua các tiết dạy trên lớp, qua việc thực
hành giải toán của học sinh và qua khảo sát.
* Phương pháp tư vấn: Dự giờ, trao đổi chuyên môn, tham khảo ý kiến các đồng
nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài.


VI. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Học sinh lớp 7A3 và 7A7.
- Nghiên cứu và thực hiện đề tài trong năm học 2018 - 2019.

VII. GIỚI HẠN ĐỀTÀI
Đề tài nghiên cứu một số phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng cho
học sinh lớp 7 và áp dụng đối với học sinh hai lớp 7A3 và 7A7 trong năm học
2018 - 2019.


PHẦN B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. THỰC TRẠNG
1. Thuận lợi
- Hiện nay ngành giáo dục đang thực hiện giảng dạy theo phương pháp dạy
học tích cực nhằm phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh.
- Ngành giáo dục luôn không ngừng đổi mới, được Đảng và nhà nước quan
tâm, ưu tiên đặt lên hàng đầu.
- Giáo viên tích cực trong giảng dạy và không ngừng học tập, rèn luyện
nâng cao phẩm chất năng lực.
2. Khó khăn
Trong quá trình dạy học dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, tôi
thường thấy học sinh gặp một số khó khăn sau:
 Còn lúng túng trong việc vận dụng lý thuyết vào việc chứng minh ba điểm
thẳng hàng.
 Khó khăn trong việc suy luận để tìm ra hướng giải.
 Chưa biết khai thác các giả thiết nhằm tìm ra hướng giải.
 Thường ngộ nhận chúng đã thẳng hàng trong khi làm bài.
3. Số liệu thống kê ban đầu
Trong năm học 2018 – 2019, trước khi dạy học nội dung chứng minh ba
điểm thẳng hàng, tôi tiến hành khảo sát qua bài kiểm tra 45 phút và nhận
được kết quả như sau: (Có minh chứng ở phần phụ lục)
Lớp Số HS

7A3

45

Điểm dưới 5

Điểm 5 – 7

Điểm 8 - 10

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

23

51,1

16

35,6

6

13,3


7A7

44

21

47,8

15

34,1

8

18,2

Kết quả trên cho thấy khả năng giải các bài toán chứng minh ba điểm thẳng
hàng của học sinh chưa tốt. Một phần do đây là dạng khó đối với các em học
sinh lớp 7, một phần do trong SGK ít đề cập đến vấn đề này, học sinh chưa được
dạy một cách có hệ thống về các phương pháp cũng như ví dụ minh họa ở từng
phương pháp cho dạng toán này. Cũng chính vì những nguyên này mà khi giải
các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng học sinh rất lúng túng, dễ mắc sai
lầm trong quá trình giải.
Từ thực trạng trên tôi luôn trăn trở và cố
gắng tìm ra giải pháp để giảng dạy cho học
sinh nội dung này một cách có hiệu quả nhất.

Trong năm học 2018 – 2019 tôi nghiên cứu và đưa vào giảng dạy một cách hệ
thống cho học sinh các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng ứng với
từng nội dung bài học trong SGK. Mong rằng những giải pháp thiết thực này sẽ
giúp các em có kỹ năng chứng minh ba điểm thằng hàng một cách tốt hơn và
linh hoạt hơn.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng
hàng
 A, B, C thẳng hàng.
Phương pháp 2: Dựa vào tiên đề Ơclit
Hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và cùng song song với 1 đường
thẳng cho trước
�
MA / / xy
�
�
�
MB / / xy
�

 A, M, B thẳng hàng (Tiên đề Ơclit).
Phương pháp 3: Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm và cùng
vuông góc với 1 đường thẳng cho trước


�
AH ^ xy
�
�

�
�BH ^ xy

 A, H, B thẳng hàng.

Phương pháp 4: Chứng minh ba điể m cùng thuộc tia phân giác của một góc
Tia OA là tia phân giác của
Tia OB là tia phân giác của
 A, O, B thẳng hàng.
Mỗi góc chỉ có một tia phân giác.

Phương pháp 5: Chứng minh ba điể m cùng thuộc đường trung trực của một
đoạn thẳng
H, I, K cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB
 H, I, K thẳng hàng.
Phương pháp 6: Áp dụng định lí trong một tam giác, đường trung tuyến thì đi qua
trọng tâm
G là trọng tâm của ABC
AM là đường trung tuyến của ABC
 A, G, M thẳng hàng.
Phương pháp 7: Áp dụng định lí trong một tam giác, đường phân giác thì đi qua
giao điểm chung của chúng
I là giao điểm 2 đường phân giác xuất phát từ đỉnh B và C
AD là phân giác của
 A, I, D thẳng hàng.


Phương pháp 8: Áp dụng định lí trong một tam giác, đường cao thì đi qua trực
tâm
H là trực tâm của ABC

BE là đường cao của ABC
 B, H, E thẳng hàng.
Phương pháp 9: Áp dụng đường trung trực của tam giác phải đi qua giao điểm
chung của chúng
O là giao điểm 2 đường trung trực của 2 cạnh AB và AC
MN là đường trung trực của đoạn thẳng BC
 O, M, N thẳng hàng.
Phương pháp 10: Chứng minh hai tia OA và OB cùng nằm trên một nửa mặt
phẳng bờ chứa tia Ox,
 O, A, B thẳng hàng.
2. Biện pháp thực hiện
Để giúp các em có sự định hướng tốt trong khi tìm tòi cách giải, tôi nghĩ
chúng ta có thể giúp các em làm quen với bài toán “chứng minh ba điểm thẳng
hàng” ngay từ đầu chương trình toán 7 bằng cách chúng ta vẫn dạy theo đúng
nội dung bài học, nhưng trong các tiết luyện tập, chúng ta chọn những bài tập
nhỏ, đơn giản, dễ nhìn, những bài tập này vừa vận dụng kiến thức đã học vừa
giúp chúng ta giới thiệu cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, mỗi lần một ít –
dần dần học sinh sẽ quen và khi gặp những bài toán tổng hợp, phức tạp, học sinh
có thể tự tìm được hướng đi và từ đó giải quyết được yêu cầu của đề bài.
 Ngay từ bài 1: “ Hai góc đối đỉnh”, ta có thể lồng vào bài toán yếu tố
“chứng minh 3 điểm thẳng hàng” như sau:
Bài toán 1: Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ AA’ vẽ
tia OB sao cho . Trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia OC sao cho = 90. Gọi OB’ là
tia phân giác của .
a) Chứng minh B, O, B’ thẳng hàng.
b) Chứng minh và là cặp góc đối đỉnh. So sánh và .
�
Giải: a) A, O, A’ thẳng hàng  AOA’ = 180�

�
� ’ = �
AOC + COA
AOA’
� ’ = 180�
90�+
    COA
� ’ = 180�– 90�= 90�
          COA

Vì OB’ là tia phân giác của
�
90 0
COA'
 = 2 = 2 = 45

= + + = 45 + 900 + 450 = 1800
Vậy 3 điểm B, O, B’ thẳng hàng.
b) Dễ dàng chứng minh được và là hai góc đối đỉnh và =
Trong bài toán này, học sinh vẫn luyện tập về: Tính số đo góc, chứng minh 2
góc đối đỉnh, tính chất 2 góc đối đỉnh. Nhưng qua đó, các em biết cách chứng
minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 1.
 Bài: “ Hai đường thẳng vuông góc” , ta chọn bài tập sau:
Bài toán 2: Cho góc vuông AOB và tia OC nằm trong góc đó. Vẽ tia OM sao
cho tia OA là tia phân giác của . Vẽ tia ON sao cho tia OB là tia phân giác của .
Chứng minh: 3 điểm M, O, N thẳng hàng.
Giải:
OA là tia phân giác của  = 2
OB là tia phân giác của  = 2
= + =2 +2

= 2.( + ) = 2. = 2. 900 = 1800
Vậy 3 điểm M, O, N thẳng hàng.
Trong bài tập này, học sinh được luyện tập về tia phân giác 1 góc; tính số đo
góc, vẽ góc vuông và qua đó, các em chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào
phương pháp 1.
 Bài: “ Hai đường thẳng song song”, ta chọn bài tập sau:
Bài toán 3: Cho 2 góc và kề bù (theo hình vẽ). Vẽ tia MC sao cho 2
góc , so le trong và bằng nhau. Vẽ tia MD sao cho 2 góc , so le trong và bằng
nhau. Chứng minh: C, M, D thẳng hàng.


Giải: Vì và là cặp góc so le trong bằng nhau
 MC // OA  MC // AB (do B, O, A thẳng hàng)
và là cặp góc so le trong bằng nhau
 MD // OB  MD // AB (do B, O, A thẳng hàng)
Ta có: MC // AB (cmt) và MD // AB (cmt)
 C, M, D thẳng hàng (Tiên đề Ơclit).
Trong bài toán này, học sinh luyện tập chứng minh 2 đường thẳng song song
và qua đó biết cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 2.
 Bài: “Định lý”, học sinh làm bài trắc nghiệm sau:
Bài toán 4: Điền vào chỗ chấm (…) sao cho thích hợp:
a) Nếu đường thẳng AB và CD cùng song song với đường thẳng xy thì
AB // CD
b) Nếu 2 đường thẳng AB và AC cùng song song với đường thẳng xy thì
A, B, C, thẳng hàng
c) Nếu 2 đường thẳng EF và HK cùng vuông góc với đường thẳng xy thì
EF // HK
d) Nếu 2 đường thẳng EF và EH cùng vuông góc với đường thẳng xy thì
E, F, H thẳng hàng

Học sinh kết luận A, B, C thẳng hàng (dựa vào phương pháp 2)
Và kết luận E, F, H thẳng hàng (dựa vào phương pháp 3)
 Bài “Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c)”,
A
ta chọn bài tập sau:
Bài toán 5: Cho  ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác
sao cho MB = MC, N là trung điểm BC (theo hình vẽ).
Chứng minh : a) AM là tia phân giác của .
b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng.

M

B

N

C


Giải: a) BAM = CAM (c.c.c)  =
 AM là tia phân giác (1)
BAN =  CAN (c.c.c)  =
 AN là tia phân giác (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, M, N thẳng hàng.
Trong bài toán này, học sinh được luyện tập chứng minh 2 tam giác bằng
nhau (c.c.c) và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 4.
 Bài: “Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh
(c.g.c)”, ta chọn các bài tập sau:
Bài toán 6: Cho ABC, M là trung điểm BC. Vẽ AD // BM và AD = BM (M và
D khác phía đối với AB), I là trung điểm AB. Chứng minh: M, I, D thẳng hàng.

Giải: Xét AID và BIM có:
AD = BM (gt)
IA = IB ( I là trung điểm của AB)
= ( 2 góc so le trong – AD // BM)
�

�

 AID = BIM (c.g.c)  I1 = I 2 (2 góc tương ứng)
�
�
= + I 2 = + I1 = = 1800 ( vì A, I, B thẳng hàng)

Vậy D, I, M thẳng hàng.
Trong bài toán này, học sinh vẫn luyện tập chứng minh tam giác bằng nhau
(c.g.c) và qua đó ôn lại cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương
pháp 1. Bài toán này trong khi chứng minh  AID =  BIM học sinh rất dễ ngộ
�

�

nhận I1 = I 2 (hai góc đối đỉnh), giáo viên cần chỉ ra cho học sinh là hai góc đó
chưa đối đỉnh vì 3 điểm M, I, D chưa thẳng hàng.
Bài toán 7: Cho  ABC, gọi D và E lần lượt là trung điểm AC, AB. Trên tia đối
của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB. Trên tia đối của tia EC lấy điểm N
sao cho EN = EC. Chứng minh: A, M, N thẳng hàng.
Giải:   ADM =  CDB (c.g.c)


 =

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
nên : AM // BC (1)
  AEN =  BEC (c.g.c)
 =
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên: AN // BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, M, N thẳng hàng (Tiên đề Ơclit).
Bài toán 8: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi
đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy
điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Giải:
 AOD

�
�
=  COB (c.g.c) nên DAO  OCB .

�  CBM
�
� AD // BC nên DAB
(ở vị trí đồng vị)

Xét  DAB và  CBM có :
AD = BC ( do  AOD =  COB)
�  CBM
�
DAB

(cmt)

AB = BM ( B là trung điểm AM)

�
�
Vậy  DAB =  CBM (c.g.c). Suy ra ABD  BMC . Do đó BD // CM. (1)

Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)
Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Trong các bài toán 7 và 8, học sinh vẫn được
luyện tập chứng minh 2 tam giác bằng nhau
(c.g.c), chứng minh 2 đường thẳng song song và
cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng (dựa vào
phương pháp 2 – Tiên đề Ơclit).


Bài toán 9: Cho ABC, trên tia đối của tia AB lấy
điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy
điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH  BC (H  BC).
Trên DE lấy điểm K sao cho BH = DK. Chứng minh:
A, H, K thẳng hàng.
Giải:
  ABC =  ADE (c.g.c)  =

K

E

D

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong  ED // BC
A

  AHB =  AKD (c.g.c)
 = = 90
 AK  ED mà ED // BC nên AK  BC

B

H

C

Ta có: AK  BC (cmt); AH  BC (gt)
 A, H, K thẳng hàng.
Trong bài toán này, học sinh vẫn luyện tập chứng minh tam giác bằng nhau
(c.g.c), sử dụng kiến thức về 2 đường thẳng song song, quan hệ giữa tính vuông
góc và tính song song của hai đường thẳng, ôn lại cách chứng minh 3 điểm
thẳng hàng (dựa vào phương pháp 3).
Bài toán 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx
vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia
Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
Giải:  AMB =  CMD (c.g.c)
�
�
Suy ra: AMB  DMC (2 góc tương ứng)
0
0
�
�
�
�
�

Mà AMB  BMC  180 (kề bù) nên BMC  CMD  180 � BMD = 180�

Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.
Trong bài toán này, học sinh vẫn luyện tập chứng minh tam giác bằng nhau
(c.g.c) và chứng minh 3 điểm thẳng hàng (dựa vào phương pháp 1 – góc bẹt).
 Bài “Tam giác cân”, ta chọn bài toán sau:


Bài toán 11: Cho  ABC có = 60. Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều
ABM và CAN. Chứng minh rằng:
a) 3 điểm M, A, N thẳng hàng;
b) BN = CM.
Giải: a) Vì ABM và CAN đều
,
N
= + + = .3 =
Vậy M, A, N thẳng hàng.

A
M

600

b) ABN = AMC(c.g.c)  BN = CM ( 2 cạnh tương ứng) (đpcm)
C
Trong bài toán này, học sinh được củng cố kiếnBthức về tam giác đều, chứng
minh hai tam giác bằng nhau (c.g.c) và chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào
phương pháp 1.

Bài toán 12: Cho  ABC vuông cân tại A. Vẽ ra ngoài ABC tam giác cân

BCM có đáy BC và góc ở đáy 15. Vẽ tam giác đều ABN (N thuộc nửa mặt
phẳng bờ AB có chứa C. Chứng minh: Ba điểm B, M, N thẳng hàng.
Giải: Vì  ABC vuông cân tại A nên = 45
= + = 45 + 15 = 60

B
M

 ABN đều  = 60
Trên cùng nửa mặt phẳng, có bờ là đường thẳng AB

N

có: = 60, =60
Vậy B, M, N thẳng hàng.

A

C

Trong bài này, học sinh được luyện tập về tam giác cân, đều, vuông cân
và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 10.
 Bài “ Tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác”, ta chọn bài tập sau:
Bài toán 13: Cho ABC có AD là trung tuyến. Trên AD lấy 2 điểm I và K sao
cho AI=IK=KD. Gọi F và E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh:
B, K, E thẳng hàng và C, K, F thẳng hàng.
Giải: Xét ABC có
AD là đường trung tuyến

1
KD = IK = AI = 3 AD

Suy ra: K là trọng tâm ABC.
Mà BE, CF là đường trung tuyến của ABC nên BE, CF đi qua trọng tâm K.
Vậy B, K, E thẳng hàng; C, K, F thẳng hàng.
Bài toán 14: Cho ABC vuông tại A, có BC = 10cm, AC = 8cm. Lấy điểm M
trên AB sao cho BM = 4cm. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm DC, gọi N là
trung điểm BD. Chứng minh: ba điểm C, M, N thẳng hàng.
Giải: Học sinh tính được AB = 6cm (áp dụng định lý Py-ta-go)
B

DBC có BA là trung tuyến
MB
4 2
2
và BA = 6 = 3  BM = 3 BA

4

N

M
D

C

A

Vậy M là trọng tâm của DBC

Vì N là trung điểm BD suy ra CN là đường trung tuyến của BDC
Đường trung tuyến CN phải đi qua trọng tâm M. Vậy C, M, N thẳng hàng.
Trong các bài toán trên, học sinh luyện tập về tính chất 3 đường trung tuyến
trong tam giác và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 6
(trong tam giác, đường trung tuyến phải đi qua trọng tâm).
 Bài “Tính chất tia phân giác của 1 góc”, ta chọn bài tập sau:
Bài toán 15: Cho ABC cân tại A, gọi D là trung điểm BC. Từ D vẽ DE  AB,
DF  AC (E AB; F  AC).
a) Chứng minh: DEF cân.
b) Vẽ BH // DF, CK // DE (H  AC ; K  AB), BH cắt CK tại I.
Chứng minh: A, I, D thẳng hàng.
Giải:
a) Dễ dàng chứng minh BDE = CDF ( cạnh huyền – góc nhọn)

A

Suy ra DE = DF (2 cạnh tương ứng). Vậy cân tại D.
b) Chứng minh: A, I, D thẳng hàng:
K
E
B

H
I

D

F
C

DE  AB; DF  AC (gt)
DE = DF (cmt)
Suy ra: D thuộc tia phân giác của (1)
Ta c/m IH = IK. Dễ thấy HCB= KBC (cạnh huyền
– góc nhọn)
suy ra � ICB cân tại I nên IB = IC.
� KBI= HCI (cạnh huyền – góc nhọn) � IK = IH

Vì IK  AB, IH  AC (do CK // DE, DE  AB;
BH // DF, DF  AC).
IK = IH
Suy ra: I thuộc tia phân giác của (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, D, I thẳng hàng.
Trong bài toán trên, học sinh luyện tập về “Tính chất tia phân giác của 1
góc” và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 4.
 Bài: “Tính chất 3 đường phân giác của tam giác”
Bài toán 16: Cho  ABC cân tại A. Vẽ phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Gọi
M là trung điểm BC. Chứng minh: A, I, M thẳng hàng.
Giải: ABC có phân giác của B và C cắt nhau tại I
I là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác.
 ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến
nên AM cũng là đường phân giác của ABC
Đường phân giác AM phải đi qua giao điểm I. Vậy A, I, M thẳng hàng.
Bài toán 17: Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I.
Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh
ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải:
Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại A
nên K cách đều hai cạnh Ax và AC (1)

Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại C
nên K cách đều hai cạnh Cy và AC (2)
Từ (1) và (2) =>K cách đều 2 cạnh Ax và Cy
�
hay K cách đều hai cạnh BA và BC => BK là tia phân giác ABC
�

�

Vì I là giao điểm của hai tia phân giác �A , C (gt) nên BI là tia phân giác ABC
=> Ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Trong các bài toán trên, học sinh luyện tập về tính chất 3 đường phân giác
trong tam giác, tính chất tia phân giác của một góc, tính chất tam giác cân và qua
đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 7 (bài toán 16) và
phương pháp 4 (bài toán 17).
 Bài : “Tính chất đường trung trực của 1 đoạn thẳng”
Bài toán 18: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC.
Chứng minh 3 điểm A, D, E thẳng hàng.
A

Giải:
AB = AC  A thuộc đường trung trực của BC
D

DB = DC  D thuộc đường trung trực của BC
EB = EC  E thuộc đường trung trực của BC
Vậy A, D, E thẳng hàng.

E
B

C

Trong bài toán trên, học sinh luyện tập về tính chất đường trung trực của một
đoạn thẳng và qua đó chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương pháp 5.
 Bài : “Tính chất 3 đường trung trực của tam giác”, ta chọn bài toán sau:
Bài toán 16: Cho  ABC cân tại A, M là trung điểm BC. Đường trung trực của
AB, AC cắt nhau ở D. Chứng minh: A, M, D thẳng hàng.
Giải:
AB = AC (gt)

A

MB = MC (M là trung điểm BC)
Suy ra: AM là đường trung trực của đoạn BC

(1)
D

 ABC có đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại D
Suy ra: D là giao điểm 3 đường trung trực trong  ABC

B

M

C

nên D thuộc đường trung trực của BC

(2)

Từ (1) và (2) suy ra A, M, D thẳng hàng.
Trong bài toán trên, học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương
pháp 9.
Bài toán 17 ( Bài tập 55 trang 80 SGK Hình học 7). Cho hình vẽ:
Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng.
B
Giải: KD là đường trung trực của AC � DA = DC
� �
� ADC cân tại D � D1  D2 (1)
DI là đường trung trực của AB � DA = DB
� �
� ABD cân tại D � D3  D4 (2)
� D
� D
� D
�
D

D

4

I

3

2

2
3
Từ (1) và (2) suy ra 1 4
Ta có: DK // AI (cùng vuông góc với AC)

A

1

C

K

0
� � � �
0
0
�
�
Mà DIA  90 suy ra IDK  90 � D1  D4  D2  D3  90
0
�
� � � �
� BDC  D1  D2  D3  D4  180 . Vậy ba điểm B, D, C thẳng hàng.

Trong bài toán trên, học sinh vừa được áp dụng tính chất của đường trung
trực của một đoạn thẳng, vừa chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào phương
pháp 1 (góc bẹt).

 Bài: “Tính chất 3 đường cao”, ta chọn bài toán sau:
Bài toán 18: Cho  ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Gọi
M là trung điểm BC. Chứng minh A, I, M thẳng hàng
A
Giải: +)  ABC có 2 đường cao BH và CK cắt nhau tại I
nên I là trực tâm của tam giác.
+)  ABC cân tại A, có AM là trung tuyến

K

I

H

ứng với cạnh đáy nên AM cũng là đường cao.
B

Đường cao AM phải đi qua trực tâm I. Vậy A, I, M thẳng hàng.

M

C

Trong bài toán trên, học sinh chứng minh 3 điểm thẳng hàng dựa vào
phương pháp 8 (trong tam giác, đường cao phải đi qua trực tâm).
Trên đây là những định hướng ban đầu nhằm giúp cho học sinh làm quen
với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Vì đây là kiến thức mới và khó


đối với học sinh nên bước đầu bản thân tôi chỉ chọn những bài tập nhỏ, đơn

giản, những bài tập chủ yếu vận dụng kiến thức đã học để qua đó giới thiệu
cách chứng minh ba điểm thẳng hàng. Tuy nhiên dù dễ hay khó giáo viên cần
phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh
những lập luận sai hoặc lập luận quanh co dẫn đến những sai lầm đáng tiếc.
3. Một số bài tập áp dụng
Từ thực tế kinh nghiệm giảng dạy cho tôi thấy ngoài việc giúp và yêu cầu
học sinh nhớ các kiến thức liên quan một cách hệ thống, tôi còn chú trọng vào
các giải pháp: phân loại thành từng dạng bài tập, chú trọng rèn luyện kỹ năng
vận dụng thông qua các ví dụ và các bài tập áp dụng, chỉ ra những sai lầm
thường gặp nhằm khắc phục những thiếu sót trong quá trình giải toán. Sau đây là
một số bài tập áp dụng cho các phương pháp điển hình trong việc chứng minh 3
điểm thẳng hàng cho học sinh lớp 7.
Bài 1: Cho ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia
đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của BE và CD. Chứng minh M, A, N thẳng hàng.
�

Bài 2: Cho ABC vuông ở A có ABC  60 . Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở
phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối
của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh E, A, F thẳng hàng.
0

Bài 3: Cho ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy
điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc
đường thẳng BC). Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh D, M, E thẳng hàng.
Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối
�

�

nhau bờ AB, kẻ tia Ax và By sao cho BAx  ABy .Trên Ax lấy hai điểm C và E (E
nằm giữa A và C), trên By lấy hai điểm D và F (F nằm giữa B và D) sao cho AC
= BD, AE = BF. Chứng minh C, O, D thẳng hàng; E, O, F thẳng hàng.
Bài 5: Cho ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D. Kẻ DF song song với
BC (F AC). Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Gọi I là trung
điểm của DE. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.
Bài 6: Cho ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ
các đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự
tại D và E. Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.


Bài 7: Cho ABC có AB = AC. Kẻ BM  AC, CN  AB ( M �AC , N �AB ), H là
giao điểm của BM và CN.
a) Chứng minh AM = AN.
b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.
Bài 8: ChoABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ
AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia
Cy vuông AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh A, H, E thẳng hàng.
Bài 9: Cho ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm
N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C
thẳng hàng.
III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Qua quá trình giảng dạy môn hình học 7, sau khi xây dựng đề cương chi tiết
của chuyên đề này, tôi đã vận dụng vào dạy ở lớp 7A3 và 7A7, chủ yếu vào các
tiết luyện tập hoặc ôn tập chương và qua khảo sát các bài kiểm tra tôi nhận thấy
rằng tỷ lệ học sinh biết cách vận dụng và làm được dạng toán chứng minh ba
điểm thẳng hàng đã tăng lên khá nhiều so với đầu năm học.
Đây là kết quả bài kiểm tra khảo sát 45 phút sau khi thực hiện đề tài (có
minh chứng ở phụ lục):
Lớp Số HS

Điểm dưới 5

Điểm 5 – 7

Điểm 8 - 10

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

7A3

45

4

8,9

25

55,6

16

35,5

7A7

44

5

11,4

23

52,3

16

36,3

Tuy chỉ mới dừng lại ở những bài tập đơn giản, những bài tập mang tính áp
dụng nhưng bước đầu bản thân tôi nhận thấy kết quả đạt được đã phản ánh phần
nào hướng đi đúng, số học sinh giải được dạng toán này đã tăng lên rõ rệt. Từ
đó chất lượng dạy và học dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng nói riêng
và môn hình học 7 nói chung đã được nâng lên.


PHẦN C. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN

Nội dung chứng minh ba điểm thẳng hàng là một kiến thức rộng và sâu,
tương đối khó đối với học sinh. Vì vậy đòi hỏi người học phải có đầy đủ kiến
thức, phải có đầu óc phân tích, tổng hợp. Đây là một tiền đề giúp học sinh có
khả năng tích hợp các kiến thức cũ để phát hiện kiến thức mới.
Qua quá trình vận dụng chuyên đề này bản thân tôi nhận thấy còn có một số
khó khăn sau:
- Khả năng tư duy sáng tạo của một số học sinh còn hạn chế.
- Đòi hỏi người dạy phải linh hoạt trong việc sắp xếp bố trí thời gian trong
quá trình giảng dạy trên lớp.
- Đây là kiến thức mới và khó nên học sinh dễ rơi vào tình trạng e ngại hoặc
mất tự tin khi gặp dạng toán này. Có lẽ đây là khó khăn mà giáo viên cần phải
khéo léo tháo gỡ.
Qua quá trình giảng dạy, qua việc nghiên cứu các phương án giúp học sinh
chứng minh ba điểm thẳng hàng, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm sau:
* Đối với giáo viên:
- Muốn áp dụng được đề tài này, người thầy phải thường xuyên trau dồi kiến
thức cả về chuyên môn lẫn nghiệp vụ, phải thường xuyên dự giờ thăm lớp, rút
kinh nghiệm từ phía đồng nghiệp. Thường xuyên nắm bắt được tâm sinh lý của
từng đối tượng học sinh, phải hiểu được khả năng tiếp thu của học sinh, từ đó
tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh của mình.
- Thông qua các phương pháp trên thì giáo viên cần có sự uốn nắn sai sót mà
học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt. Đặc
biệt chú ý đến đối tượng học sinh yếu thông qua việc bố trí các buổi học phụ
đạo để giúp các em nắm được bài.
- Giáo viên phải có sự chuẩn bị kỹ càng, chu đáo về kiến thức, kế hoạch
cũng như phương tiện dạy học. Giúp cho người học có cảm giác nhẹ nhàng
nhưng cũng không kém phần sôi nổi, tạo hứng thú và niềm say mê học tập cho
các em.
* Đối với học sinh:
- Bản thân học sinh phải tích cực trau dồi kiến thức thông qua tự học, tự rèn,

kiên trì và chịu khó trong quá trình học tập.
- Nắm và hiểu được lý thuyết ngay tại lớp. Có kỹ năng vận dụng linh hoạt lý
thuyết giải bài tập.
- Phải biết vận dụng khéo léo các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng
hàng mà giáo viên đã hướng dẫn trên lớp để áp dụng làm bài tập.


- Tập trung nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở nhà, thường xuyên trao
đổi và thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân.
Những kinh nghiệm nhỏ trên đây có thể không phải là điều mới mẻ và còn
nhiều thiếu sót. Tuy nhiên vì thời gian có hạn, kinh nghiệm cũng như năng lực
của bản thân còn hạn chế, kính mong thầy cô và các anh/chị đồng nghiệp góp ý
bổ sung để sáng kiến kinh nghiệm này ngày càng hoàn chỉnh hơn và có tác dụng
tích cực đến việc dạy – học chứng minh ba điểm thẳng hàng cho học sinh lớp 7.
II. ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ
Chuyên đề này áp dụng cho tất cả đối tượng là giáo viên dạy toán lớp 7. Tuy
nhiên với những giáo viên có trình độ cao và có phương pháp giảng dạy tốt thì
hiệu quả thu được sẽ cao hơn.
III. KHUYẾN NGHỊ
Với lượng thời gian để thực hiện đề tài ít, mặt khác đây cũng là nội dung
mới và khó, không có các chuyên đề dành riêng nên đề tài khó có thể áp dụng và
đem lại hiệu quả mong muốn. Để sáng kiến kinh nghiệm trên được áp dụng vào
thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả, tôi xin có một vài khuyến nghị sau:
- Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các
chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào
thực tiễn giảng dạy.
- Đối với các cấp quản lí: Tổ chức các chuyên đề về vấn đề chứng minh ba điểm
thẳng hàng trong chương trình hình học 7 để giáo viên được dự giờ, nghiên cứu
trao đổi học hỏi các đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay.