Chuyên đề bất đẳng thức nguyễn tất thu

WWW.TOANMATH.COM

Mục lục
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG
THỨC
1.1 Khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức . . . . .
1.1.1 Số thực dương, số thực âm . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Khái niệm bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức . . . . .
1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng
thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Dự đoán dấu “=” xảy ra . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Kĩ thuật chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Hướng dẫn, đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
8
11
12

Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
2.1 Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức .
2.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức

2.2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
13
13
16
16
27
32
32
33
34
42
45

1

3
3
3
3
4


Mục lục

2
2.3.1 Bất đẳng thức Schur . . . . . .

2.3.2 Các trường hợp đặc biệt . . . .
2.3.3 Bất đẳng thức Schur suy rộng
2.3.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Hướng dẫn, đáp số . . . . . . . . . . .
2.5 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . .

Nguyễn Tất Thu

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

45
46
46
46
50
51
51


Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG
THỨC
1.1
1.1

Khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức
Số thực dương, số thực âm

• Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
• Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
• Nếu x là số thực dương hoặc x = 0, ta nói x là số thực không

âm, ký hiệu x

0

• Nếu x là số thực âm hoặc x = 0, ta nói x là số thực không dương,

ký hiệu x

1.1

0.

Khái niệm bất đẳng thức

Định nghĩa 1.1. Số thực a được gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu
a > b nếu a − b là một số dương, tức là a − b > 0. Khi đó ta cũng ký
hiệu b < a.
Ta có: a > b ⇔ a − b > 0.
Nếu a > b hoặc a = b, ta viết a b. Ta có: a b ⇔ a − b 0.


Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

4

Định nghĩa 1.2. Giả sử A , B là hai biểu thức bằng số. Khi đó các
mệnh đề có dạng:
" A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu : A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B
" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B

được gọi là một bất đẳng thức.
Quy ước :
• Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta

hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.
• Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức

đó đúng.

1.1

Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Tính chất 1.1. (Tính chất bắc cầu) nếu


a > b
b > c

Tính chất 1.2. a > b ⇔ a + c > b + c
Hệ quả 1: a > b ⇔ a − c > b − c.
Hệ quả 2: a + c > b ⇔ a > b − c.
Tính chất 1.3.


a > b
c > d

⇒ a+c > b+d


ac > bc nếu c > 0
Tính chất 1.4. a > b ⇔
ac < bc nếu c < 0

Hệ quả 3: a > b ⇔ 
−a < − b.

a b

 >
nếu c > 0
Hệ quả 4: a > b ⇔ ac bc

 < nếu c < 0
c c

Nguyễn Tất Thu

.

thì a > c


1.2. Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức

Tính chất 1.5.

a>b>0
c>d>0

5

⇒ ac > bd

Tính chất 1.6. a > b > 0 ⇔ 0 <

1 1
<
a b

Tính chất 1.7. a > b > 0, n ∈ N ∗ ⇒ a n > b n
Tính chất 1.8. a > b > 0, n ∈ N∗ ⇒

n

a>

n

b

Hệ quả 5:
• Nếu a và b là hai số dương thì : a > b ⇔ a2 > b2
• Nếu a và b là hai số không âm thì : a

b ⇔ a2

b2 .

Tính chất 1.9. Với mọi a, b ∈ R ta có:
• |a + b|

| a| + | b |

• |a − b|

| a| + | b |

• |a + b| = |a| + | b| ⇔ a.b

0

• |a − b| = |a| + | b| ⇔ a.b

0.

1.2

1.2

Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về
bất đẳng thức
Dự đoán dấu “=” xảy ra

Trong chứng minh bất đẳng thức, việc dự đoán dấu “=” xảy ra khi
nào có ý nghĩa rất quan trọng. Trong một số trường hợp, việc dự
đoán dấu “=” xảy ra giúp định hướng tìm lời giải. Thông thường, với
các bất đẳng thức đối xứng ba biến thì đẳng thức xảy ra khi ba biến
bằng nhau, với các bất đẳng thức hoán vị thì đẳng thức có khi hai

biến bằng nhau, với các bất đẳng thức có biến thuộc đoạn α; β thì
đẳng thức xả ra khi có một biến bằng α hoặc β, · · ·
Nguyễn Tất Thu


6

Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 1.1
Cho các số thực x, y, z > 0 thỏa x + y + z
x2 +

3
+
x2

y2 +

3
+
y2

3. Chứng minh rằng

z2 +

3
z2

6.

Lời giải. Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1.

3
= 3 nên ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM
x2

Khi x = 1 thì x2 = 1 và
cho 4 số ta được

x2 +

3
1
1
1
2
=
x
+
+
+
x2
x2 x2 x2

4
.
x

Tương tự

y2 +

3
y2

3
4
và z2 + 2
y
z

4
.
z

Do đó
x2 +

3
+
x2

Mặt khác

y2 +
x+
x2 +

3
+

y2

y+
3
+
x2

z2 +

z

3
z2

2

1
x

3
+
y2

1
1
+
y
z

18

x+

y+

z

3 nên ta có

3 (x + y + z)
y2 +

+

z2 +

3
z2

18
= 6 (đpcm).
3

Ví dụ 1.2
Cho các số thực không âm x, y, z đôi một khác nhau. Chứng
minh rằng
(x y + yz + zx)

Nguyễn Tất Thu

1

(x − y)

2

+

1
(y − z)

2

+

1
(z − x)2

4.

.


1.2. Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức

7

Lời giải. Vì x, y, z 0 nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi có một số
bằng 0. Ta giả sử z = min { x, y, z}, ta có
x y + yz + zx

x y;

1
2

(y − z)

1
1
và
2
y
(z − x)2

1
.
x2

Suy ra
VT

Với t =

1

xy

(x − y)

2

+

1
1
x y
1
1
+t
+ + =
+ 2 = x y
2
x
y
+ −2 y x t−2
y x

x y
+ > 2.
y x

Ta chứng minh
1
+t
t−2

4 ⇔ 1 + t2 − 2t

4t − 8 ⇔ t2 − 6t + 9

0 ⇔ (t − 3)2

0.

Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi z = 0

3± 5
x y
+ =3⇔x=
y, y > 0.
y x
2

Ví dụ 1.3
Cho a, b, c > 0 thỏa a + 4b + 9c = 6.Chứng minh rằng
a3 + b 3 + c 3

1
.
6

Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số thực dương ta có
a3 + x3 + x3

3x2 a hay a3 + 2x3

3x2 a.

Tương tự: b3 + 2y3 3y2 b, c3 + 2z3 3z2 c với x, y, z là các số thực
dương.

Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta có được:
a 3 + b 3 + c 3 + 2 x 3 + y3 + z 3

3 x2 a + y2 b + z2 c .

Ta chọn x, y, z sao cho
x2 =

Nguyễn Tất Thu

y2 z2
=
= k2 ⇒ x = k, y = 2k, z = 3k.
4
9


Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

8
Mà

a + 4b + 9c = 6 ⇒ k + 8k + 27k = 6 ⇒ k =

1
1
1
1
. Đẳng thức xảy ra khi a = , b = , c = .
6

6
3
2

Suy ra a3 + b3 + c3

1.2

1
1
1
1
⇒ x= ,y= ,z= .
6
6
3
2

Kĩ thuật chuẩn hóa

• Bất đẳng thức thuần nhất: Bất đẳng thức có dạng

f (a 1 , a 2 , · · · ., a n )

0 (1) với a i ∈ D .

Được gọi là thuần nhất 1
2 2

P

Bài toán được chứng minh.

Nguyễn Tất Thu

3 1
− =1⇒P
2 2

2 2.


Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN

48
Ví dụ 2.31

(APMO 2004) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)

9(ab + bc + ca).

Lời giải. Ta có
V T = a2 b2 c2 + 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 4(a2 + b2 + c2 ) + 8.

Mặt khác
a2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a2 + 3 = a2 b 2 + 1 + b 2 c 2 + 1 + c 2 a2 + 1

2(ab + bc + ca)

và
a2 b 2 c 2 + 2 = a2 b 2 c 2 + 1 + 1
9abc
a+b+c

3

3

a2 b 2 c 2 =

3abc
3

abc

2(ab + bc + ca) − (a2 + b2 + c2 ).

Suy ra
VT

2(ab + bc + ca) − (a2 + b2 + c2 ) + 2.2(ab + bc + ca) + 4(a2 + b2 + c2 )

= 6(ab+ bc+ ca)+3(a2 + b2 + c2 )

6(ab+ bc+ ca)+3(ab+ bc+ ca)

9(ab+ bc+ ca).

Bài toán được chứng minh.

Ví dụ 2.32
(VMO 2014) Cho a, b, c

0. Chứng minh rằng

3(a2 + b2 + c2 )

với P = (a + b + c)

Nguyễn Tất Thu

ab + bc +

P

(a + b + c)2 ,

ca + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 .


2.3. Bất đẳng thức Schur

49

Lời giải. Ta có
P ⇔ a+b+c

3(a2 + b2 + c2 )

ab + bc +

ca.

Bất đẳng thức này là kết quả quen thuộc.
Đặt x = a, y = b, z = c. Khi đó, bất đẳng thức
P

(a + b + c)2 ⇔

x4 + x yz

x y(x2 + y2 )

x+

x2 y2

4

(1)

Sử dụng bất đẳng thức Schur (với trường hợp r = 2) ta có
x4 + x yz

x y(x2 + y2 )

x

do đó
V T(1)

x y(x2 + y2 )

2

2.

x y.2x y = 4

x2 y2 .

Hay (1) được chứng minh.
Ví dụ 2.33
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a2 + bc
b2 + ca
c2 + ab
+
+
a2 (b + c) b2 (c + a) c2 (a + b)

1 1 1
+ + .
a b c

Lời giải. Ta có
a2 + bc
1 a2 + bc − a(b + c) (a − b)(a − c)
−
=

=
.
a2 (b + c) a
a2 (b + c)
a2 (b + c)

Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
x(a − b)(a − c) + y(b − c)(b − a) + z(c − a)(c − b)

Với x =

1
a2 (b + c)

, y=

1
b2 (c + a)

Giả sử a > b > c, ta có

, z=

1
c2 (a + b)

0

(1).

.

1
1
ab(b − a) + c(b2 − a2 )
−
=
>0
a2 (b + c) b2 (c + a)
a2 b2 (b + c)(c + a)

hay x < y.
Do đó, bộ (x, y, z) là bộ đơn điệu giảm. Do đó, theo bất đẳng thức
Schur suy rộng, ta có (1) đúng.
Nguyễn Tất Thu


Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN

50

2.3

Bài tập

Bài tập 2.53. (Hello IMO 2007- Trần Nam Dũng) Chứng minh
rằng với mọi a, b, c 0,ta có:
2(a2 + b2 + c2 ) + abc + 8

5(a + b + c).

HD: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:
12(a2 + b2 + c2 ) + 6abc + 48 − 30(a + b + c)
= 12(a2 + b2 + c2 ) + 3(2abc + 1) + 45 − 5.2.3(a + b + c)
3

12(a2 + b2 + c2 ) + 9 a2 b2 c2 + 45 − 5.((a + b + c)2 + 9)
9abc
= 7(a2 + b2 + c2 ) + 3
− 10(ab + bc + ca)
abc
27
7(a2 + b2 + c2 ) +
− 10(ab + bc + ca)
a+b+c

Mặt khác sử dụng bất đẳng thức Schur,
9
a+b+c

4(ab + bc + ca) − (a + b + c)2 = 2(ab + bc + ca) − (a2 + b2 + c2 )

Do đó

27
− 10(ab + bc + ca)
a+b+c
2
2
2

7(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) − 3(a2 + b2 + c2 ) − 10(ab + bc + ca)

7(a2 + b2 + c2 ) +

= 4(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)

0.

Bất đẳng thức được chứng minh.
Bài tập 2.54. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng
minh rằng
1
1
1
+
+
+3
a2 b 2 c 2

2(a + b + c).

HD:
1
1
1
Đặt x = , y = , z = . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
a

b

c

x2 + y2 + z2 + 3
⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 + 3)

2(x y + yz + zx)
2(x + y + z)(x y + yz + zx)

Hay
x3 + y3 + z3 + 3(x + y + z)

Nguyễn Tất Thu

x2 (y + z) + y2 (z + x) + z2 (x + y) + 6

(1).


2.4. Hướng dẫn, đáp số

51

Ta có
x3 + y3 + z3 + 3(x + y + z)

x3 + y3 + z3 + 9 = x3 + y3 + z3 + 3x yz + 6

V P(1).

Vậy bài toán được chứng minh.

Bài tập 2.55. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a2 + bc b2 + ca c2 + ab
+
+
b+c
c+a
a+b

a + b + c.

Bài tập 2.56. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a3 + b3 + c3 + 3abc

ab

2(a2 + b2 ) + bc

2(b2 + c2 ) + ca

2(c2 + a2 ).

Bài tập 2.57. (Iran 1996) Cho các số thực dương x, y, z. Chứng
minh rằng
(x y + yz + zx)

1
1
1
+
+

2
2
(x + y)
(y + z)
(z + x)2

2.4

Hướng dẫn, đáp số

2.5

Tài liệu tham khảo

9
.
4

1. Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Sử dụng bất đẳng thức AM-GM
để chứng minh bất đẳng thức, NXB ĐHSP.
2. Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Sử dụng bất đẳng thức CauchySchwarz để chứng minh bất đẳng thức, NXB ĐHSP.
3. Tuyển tập các đề thi HSGQG THPT từ năm 1990-2006, NXBGD
4. Các chuyên đề trên mạng và các lời giải và bình luận đề thi VMO,
VN TST của Thầy Trần Nam Dũng chủ biên.

Nguyễn Tất Thu