Ăn chắc 9+ Vật lý Chủ đề 1: dao động điều hòa

CHỦ ĐỀ 1. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Bài toán liên quan đến thời gian
1. Thời gian đi từ x1 đến x2
a. Thời gian ngắn nhất đi từ x1 đến vị trí cân bằng và vị trí biên
Phương pháp chung:
Cách 1: Dùng vòng tròn lượng giác (VTLG) ≡ giản đồ véc tơ
Xác định góc quét tương ứng với sự dịch chuyển: ∆ϕ
Thời gian: t =

∆ϕ

ω

Cách 2: Dùng phương trình lượng giác (PTLG)
x1
x1
1

 x1 = A sin ωt1 ⇒ sin ωt1 = A ⇒ t1 = ω arcsin A

 x = A cos ωt ⇒ cos ωt = x1 ⇒ t = 1 arc cos x1
2
2
2
 1
A
ω
A

Câu 1: Một chất điểm dao động điều hoà với biên độ 10 (cm) và tần số góc 10 (rad/s). Khoảng thời gian
ngắn nhất để nó đi từ vị trí có li độ +3,5 cm đến vị trí cân bằng là

A. 0,036 s.

B. 0,121 s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Cách 1: Dùng VTLG

C. 2,049 s.

D. 6,951 s.


Thời gian ngắn nhất dao động điều hòa đi từ x = 3,5 cm đến x = 0 bằng thời gian chuyển động tròn đều
đi từ M đến N: t =

∆ϕ

ω

mà sin ∆ϕ=

3,5
∆ϕ 0,3756
⇒ ∆ϕ ≈ 0,3576 ( rad ) nên
=
t =
≈ 0, 036 (s)
10
ω
10

Cách 2: Dùng PTLG
=
t1

x
1
1
3,5
=
arcsin 1
arcsin
≈ 0, 036 (s)
ω
A 10
10

Kinh nghiệm:
1) Quy trình bấm máy tính nhanh:
(máy tính chọn đơn vị góc là rad)
shift sin ( 3,5 ÷ 10 ) ÷ 10 =
2) Đối với dạng bài này chỉ nên giải theo cách 2 (nếu dùng quen
máy tính chỉ mất cỡ 10 s!).
3) Cách nhớ nhanh “đi từ x1 đến VTCB là shift sin ( x1 ÷ A ) ÷ ω =”;“đi từ x1 đến VT biên là
shift cos ( x1 ÷ A ) ÷ ω =”.
4) Đối với bài toán ngược, ta áp dụng công =
thức: x1 A=
sin ωt1 Acosωt2 .
Câu 2: Vật dao động điều hoà, thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x = +A đến vị trí x =
kì dao động của vật là

A. 1,85 s.

B. 1,2 s.

C. 0,51 s.

D. 0,4 s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
=
t2

x1 T
x1
T
1
arccos
=
arccos =
⇒ 0,1
arccos ⇒ T ≈ 0,51 (s)
ω
A 2π
A
2π
3
1

Chú ý: Đối với các điểm đặc biệt ta dễ dàng tìm được phân bố thời gian như sau:

Kinh nghiệm:
1) Nếu số “xấu” x1 ≠ 0; ± A; ±

A
A
A 3
thì dùng shift s in ( x1 ÷ A ) ÷ ω =
,
;±
;±
2
2
2

shift cos ( x1 ÷ A ) ÷ ω =
2) Nếu số “đẹp” x1 = 0; ± A; ±

A
A
A 3
thì dùng trục phân bố thời gian.
;±
;±
2
2
2

A
là 0,1 s. Chu
3

Câu 3: Vật dao động điều hoà với biên độ A. Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ

A
đến vị trí có
2

li độ A là 0,2 s. Chu kì dao động của vật là:
A. 0,12 s.

B. 0,4 s.

C. 0,8 s.

D. 1,2 s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Dựa vào trục phân bố thời gian ta tính được thời gian ngắn nhất đi từ x =
Do đó

A
T
đến x = A là .
2
6

T
= 0, 2 ⇒ T = 1, 2 (s).
6

Chú ý: Khoảng thời gian trong một chu kì vật cách vị trí cân bằng một khoảng
+ nhỏ hơn x1 là ∆t= 4t1= 4
+ lớn hơn x1 là ∆t= 4t2= 4

1

ω
1

ω

arcsin

x1
A

arccos

x1
A

Câu 4: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì 1 s với biên độ 4,5 cm. Khoảng thời gian trong một
chu kỳ để vật cách vị trí cân bằng một khoảng nhỏ hơn 2 cm là:
A. 0,29 s.

B. 16,80 s.

C. 0,71 s.

D. 0,15 s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
x
x
1
T
1
2
=
∆t 4. =
arcsin 1 4. =
arcsin 1 4. arcsin
≈ 0, 29 (s).
A
2π
A
2π
4,5
ω
Kinh nghiệm: Nếu x1 trùng với các giá trị đặc biệt thì nên dựa vào trục phân bố thời gian
Câu 5: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật cách
vị trí cân bằng một khoảng lớn hơn nửa biên độ là
A.

T
.
3

B.

2T
.
3

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Dựa vào trục phân bố thời gian ta tính được:

T 2T
∆=
t 4. =
6
3

C.

T
.
6

D.

T
.
2


Chú ý: Nếu cho biết quan hệ t1 và t2 thì ta có thể tính được các đại lượng khác như:
T , A, x1 ...

Câu 6: Một dao động điều hoà có chu kì dao động là T và biên độ là A. Tại thời điểm ban đầu vật có li
độ x1 > 0 . Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí ban đầu về vị trí cân bằng gấp ba thời gian ngắn nhất
để vật đi từ vị trí ban đầu về vị trí biên x = + A . Chọn phương án đúng.
A. x1 = 0,924 A .

B. x1 = 0,5 A 3 .

C. x1 = 0,5 A 2 .

D. x1 = 0, 021A .

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
T

T

t1 + t2 =
4
t2 = 16

Ta=
có hệ t1 3t2
⇒

 x Acos 2π T ≈ 0,924 A
2=
π t2
 1
 x1 = Acos
T 16

T

Câu 7: Một dao động điều hoà có chu kì dao động là T và biên độ là A. Tại thời điểm ban đầu vật có li
độ x1 (mà x1 ≠ 0; ± A ), bất kể vật đi theo hướng nào thì cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất ∆t nhất định
vật lại cách vị trí cân bằng một khoảng như cũ. Chọn phương án đúng.
A. x1 = ±0, 25 A .

B. x1 = ±0,5 A 3 .

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Theo yêu cầu của bài toán suy ra:
T
T
.
∆t= 2t1= 2t2 mà t1 + t2 = nên t1= t2=
4
8

2π t1
2π T
Do
đó x1 A=
=
sin
A=
sin
T
T 8

A

2

C. x1 = ±0,5 A 2

D. x1 = ±0,5 A


Chú ý: Bài toán tìm khoảng thời gian để vật đi từ li độ x1 đến x2 là bài toán cơ bản, trên cơ sở bài toán
này chúng ta có thể làm được rất nhiều các bài toán mở rộng khác nhau như:
* Tìm thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 đến vận tốc hay gia tốc nào đó.
* Tìm khoảng thời gian từ lúc bắt đầu khảo sát dao động đến khi vật qua tọa độ x nào đó lần thứ n .
* Tìm khoảng thời gian từ lúc bắt đầu khảo sát dao động đến khi vật nhận vận tốc hay gia tốc nào đó lần
thứ n .
* Tìm vận tốc hay tốc độ trung bình trên một quỹ đạo chuyển động nào đó.
* Tìm khoảng thời gian mà lò xo nén, dãn trong một chu kì chuyển động.
* Tìm khoảng thời gian mà bóng đèn sáng, tối trong một chu kì hay trong một khoảng thời gian nào đó.
* Tìm khoảng thời gian mà tụ điện C phóng hay tích điện từ giá trị q1 đến q2 .
* Các bài toán ngược liên quan đến khoảng thời gian,...
b. Thời gian ngắn nhất đi từ x1 đến x2
Phương pháp chung:
Cách 1:
∆ϕ
Dùng VTLG: ∆t =

ω

Cách 2: Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm có li độ x1 đến
điểm có li độ x2 :
=
∆t arccos

x2
x1
x
x
− arccos=
÷ ω arcsin 2 − arcsin 1 ÷ ω
A
A
A
A

Quy trình bấm máy tính nhanh

 shift cos ( x2 ÷ A ) − shift cos ( x1 ÷ A ) =÷ω =

 shift sin ( x2 ÷ A ) − shift sin ( x1 ÷ A ) =÷ω =

Kinh nghiệm: Đối với dạng toán này cũng không nên dùng cách 1 vì mất nhiều thời gian!

π

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà có phương trình =
li độ x 8cos  7t +  cm. Khoảng thời gian tối
6

thiểu để vật đi từ li độ 7 cm đến vị trí có li độ 2 cm là
A.

1

(s).
24

B.

Hướng dẫn: Chọn đáp án D

5
(s).
12

C. 6, 65 (s).

D. 0,12 (s).


=
∆t arccos

x2
x1 1
2
7 1
− arccos=
arccos − arccos
≈ 0,12 (s).
A
A ω
8
8 7

Quy trình bấm máy: shift cos ( 2 ÷ 8 ) − shift cos ( 7 ÷ 8 ) =÷7 =
Kinh nghiêm: Nếu số “đẹp” x1 = 0; ± A; ±

A
A
A 3
thì dùng trục phân bố thời gian
;±
;±
2
2
2

π

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà có phương trình=
li độ x 8cos  7π t +  cm. Khoảng thời gian tối
6

thiểu để vật đi từ li độ 4 2 cm đến vị trí có li độ 4 3 cm là
1
(s).
24

A.

B.

5

(s).
12

C.

1
(s).
6

D.

1
(s).
12

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Dựa vào trục phân bố thời gian, ta tính được:

∆t =

T T T T T 7T
7 2π 1
(s)
+ + + +
=
=
=
24 24 12 12 24 24 24 ω 12

Chú ý: Nếu vật chuyển động qua lại nhiều lần thì ta cộng các khoảng thời gian lại.

Ví dụ 3: Một dao động điều hoà có chu kì dao động là T và biên độ là A. Thời gian ngắn nhất để vật đi
từ điểm có li độ cực đại về điểm có li độ bằng một nửa biên độ cực đại mà véctơ vận tốc có hướng cùng
với hướng của trục toạ độ là
A.

T
.
3

B.

5T
.
6

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Dựa vào trục phân bố thời gian, ta tính được:
∆=
t 3

T T 5T
.
+ =
4 12 6

C.

2T
.
3

D.

T
.
6


Ví dụ 4: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa với biên độ A, thời gian ngắn nhất để con lắc di
chuyển từ vị trí có li độ x1 = − A đến vị trí có li độ x2 =
A. 6 s.

B.

1
s.
3

A
là 1 s. Chu kì dao động của con lắc là:
2

C. 2 s.

D. 3 s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Dựa vào trục phân bố thời gian, ta tính được:
∆t =

T T T
+ =
= 1( s ) ⇒ T = 3( s ) .
4 12 3

Chú ý: Li độ và vận tốc tại các điểm đặc biệt.
1) Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất

T
thì vật lại đi qua M hoặc O hoặc N
6

2) Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất

T
thì vật lần lượt đi qua M 1 , M 2 , O , M 3 , M 4
8

2) Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất

T
thì vật lần lượt đi qua M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 , M 7
12


Ví dụ 5: Một chất điểm đang dao động điều hoà trên một đoạn thẳng xung quanh vị trí cân bằng O. Gọi
M, N là hai điểm trên đường thẳng cùng cách đều O. Biết cứ 0,05 s thì chất điểm lại đi qua các điểm M,
O, N và tốc độ của nó lúc đi qua các điểm M, N là 20π cm/s. Biên độ A bằng
A. 4cm.

B. 6cm.

C. 4 2 cm.

D. 4 3 cm.

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Dựa vào trục phân bố thời gian.

2π 20π
T
=
0,
05
⇒
T
=
0,3
s
⇒
ω
=
=
(rad/ s)
6
T
3


20π

A

A 3
ωA
3
⇒ vM =
⇒ 20π =
⇒ A= 6(cm)
 xM =

2
2
2
Ví dụ 6: Một chất điểm đang dao động điều hoà trên một đoạn thẳng. Trên đoạn thẳng đó có bảy điểm
theo đúng thứ tự M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 và M 7 với M 4 là vị trí cân bằng. Biết cứ 0,05 s thì chất
điểm lại đi qua các điểm M 1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 và M 7 . Tốc độ của nó lúc đi qua điểm M 3 là 20π
cm/s. Biên độ A bằng
A. 4cm.

B. 6cm.

C. 12cm.

D. 4 3 cm.

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Dựa vào trục phân bố thời gian.

2π 10π
T

12 = 0, 05 ⇒ T = 0, 6 s ⇒ ω = T = 3 (rad/ s)


10π
A 3

A
ωA 3
⇒ 20π = 3
⇒ A = 4 3(cm)
 xM 3 = ⇒ vM 3 =

2
2
2
Câu 14: Vật đang dao động điều hòa dọc theo đường thẳng. Một điểm M nằm cố định trên đường thẳng
đó, phía ngoài khoảng chuyển động của vật, tại thời điểm t thì vật xa điểm M nhất, sau đó một khoảng
thời gian ngắn nhất là ∆t thì vật gần điểm M nhất. Độ lớn vận tốc của vật sẽ bằng nửa vận tốc cực đại
vào thời điểm gần nhất là
A. t +

∆t
.
3

B. t +

∆t
.
6

C. t +

∆t
.
4

D. 0,5t + 0, 25∆t .


Hướng dẫn: Chọn đáp án B

∆t =

T
⇒ T = 2∆t
2

vmax
x2
v2
A 3
Khi v =
thì từ 2 + 2 2 =
1 suy ra : x =
2
A
Aω
2
Thời gian ngắn nhất đi từ x = A đến x =

T
A 3
là
12
2

Thời điểm gần nhất vật có tốc độ bằng nửa giá trị cực đại là t +

T
∆t
=T +
12
6

c. Thời gian ngắn nhất liên quan đến vận tốc, động lượng
Phương pháp chung:
Dựa vào công thức liên hệ vận tốc, động lượng với li độ để quy về li độ.

x2 +

v = v1 ⇒ x1 = ?
= A2 ⇒ 
ω
v = v2 ⇒ x2 = ?
v2

2

 p = p1 ⇒ x1 = ?

=
p mv ⇒ 
 p = p2 ⇒ x2 = ?
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T trên trục Ox với O là vị trí cân bằng. Thời gian
ngắn nhất vật đi từ điểm có toạ độ x = 0 đến điểm mà tốc độ của vật bằng nửa tốc độ cực đại là
A.

T
.
8

B.

T
.
16

C.

T
.
6

D.

T
.
12

Hướng dẫn: Chọn đáp án C

 x1 = 0


vmax
⇒ x2 =
v2 =

2

x1 =0 → x2 =

3
A
2

3

A

2

→ ∆t =

T
6

Chú ý:
1) Vùng tốc độ lớn hơn v1 nằm trong đoạn [ − x1 ; x1 ] và vùng tốc độ nhỏ hơn v1 nằm ngoài đoạn [ − x1 ; x1 ]
2) Khoảng thời gian trong một chu kì tốc độ

+ lớn hơn v1 là 4t1 .
+ nhỏ hơn v1 là 4t2 .

Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong mộtchu kỳ để vật có
tốc độ nhỏ hơn

1
tốc độ cực đại là
3

T
.
3

A.

B.

2T
.
3

C. 0, 22T .

D. 0, 78T .

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Trong công thức x12 +

v12

ω

2

=
A2 , ta thay v1 =

ωA
3

suy ra x1 =

8
A
3

Vùng tốc độ nhỏ hơn v1 nằm ngoài đoạn [ − x1 ; x1 ] . Khoảng thời gian trong một chu kì tốc độ nhỏ hơn v1
là 4t2 .
4t2

x
1
T
8
4=
arccos 1 4
arccos

≈ 0, 22T .
ω
A
2π
3

Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật có
tốc độ lớn hơn 0,5 tốc độ cực đại là
A.

T
.
3

B.

2T
.
3

C.

T
.
6

D.

T
.

2

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Trong công thức x12 +

v12

ω

2

=
A2 , ta thay v1 =

ωA
2

suy ra x1 =

A 3
2

Vùng tốc độ lớn hơn v1 nằm trong đoạn [ − x1 ; x1 ] . Khoảng thời gian trong một chu kì tốc độ lớn hơn v1 là
4t1 .
T 2T
=
4t1 4.=
6
3

Chú ý: Trong các đề thi trắc nghiệm thường là sự chồng chập của nhiều bài toán dễ nên để đi đến bài
toán chính ta phải giải quyết bài toán phụ.


Vớ d 4: (H-2012)Mt cht im dao ng iu hũa vi chu kỡ T. Gi vtb l tc trung bỡnh ca cht
im trong mt chu kỡ, v l tc tc thi ca cht im. Trong mt chu kỡ, khong thi gian m
v 0, 25 vtb l:
A.

T
.
3

B.

2T
.
3

C.

T
.
6

D.

T
.
2

Hng dn: Chn ỏp ỏn B


4A
A
A 3
T
= 0,25 .4 A. =
x1=
t1=
v1= 0,25 vtb= 0,25
T
2
2
2
6

Vựuứng toỏc ủoọ v naốm trong x , + x t=4t = 2T
1
1
1 1

3
Chỳ ý : i vi bi toỏn ngc ta lm theo cỏc bc sau:
Bc 1: Da vo vựng tc ln hn hoc bộ hn v1 ta biu din t1 hoc t2 theo .
Bc 2: Thay vo phng trỡnh
=
x1 A=
sin t1 Acost2 .

Bc 3: Thay vo phng trỡnh x12 +

v12

2

=
A2

Cõu 19: Mt vt nh dao ng iu hũa vi chu kỡ T v biờn 8 cm. Bit trong mt chu kỡ, khong
thi gian vt nh cú ln vn tc khụng vt quỏ 16 cm/s l
A. 4 rad/s.

B. 3 rad/s.

T
. Tn s gúc dao ng ca vt l
3

C. 2 rad/s.

Hng dn: Chn ỏp ỏn A
tc khụng vt quỏ v1 = 16cm thỡ vt phi ngoi on [ x1 ; x1 ]
4t2 =

T
T
A 3
t2 =
x1 =

= 4 3 cm
3
12
2

Thay s vo phng trỡnh x12 +

v12



2

= A2 48 +

256

2

= 64 = 4 (rad/s)

D. 5 rad/s.


Kinh nghiêm: Nếu ẩn số ω nằm cả trong hàm sin hoặc hàm cos và cả nằm độc lập phía ngoài thì nên
dùng chức năng giải phương trình SOLVE của máy tính cầm tay.
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để tốc
độ dao động không nhỏ hơn π (m/s) là
A. 6,48 rad/s.

1
(s). Tần số góc dao động của vật có thể là :
15

B. 43,91 rad/s.

C. 6,36 rad/s.

D. 39,95 rad/s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Vùng tốc độ lớn hơn v1 nằm trong đoạn [ − x1 ; x1 ] . Khoảng thời gian trong một chu kì, tốc độ lớn hơn v1
là 4t1 , tức là 4t1=

1
1
s ⇒ t1=
(s)
15
60

ω

Tính được
: x1 A=
=
sin ωt1 10sin
Thay số vào phương trình x +
2
1

60

v12

ω

(cm)

=
A ta được 10 sin
2

2

2

2

ω
60

(100π )
+
ω

2

2

=
102

⇒ ( sin (ω ÷ 60 ) ) + (10π ÷ ω ) =1 ⇒ ω ≈ 39,95 ( rad / s ) .
2

2

1 thì phải nhớ đơn
Khi dùng máy tính Casio fx‒570ES để giải phương trình ( sin ( x ÷ 60 ) ) + (10π ÷ x ) =
2

2

vị là rad, để có kí tự x , ta bấm ALPHA ) , để có dấu “=” thì bấm ALPHA CALC

và cuối cùng bấm shift CALC = . Đợi một lúc thì trên màn hình hiện ra kết quả là 39,947747. Vì máy
tính chỉ đưa ra một trong số các nghiệm của phương trình đó! Ví dụ còn có nghiệm 275,89 chẳng hạn.
Vậy khi gặp bài toán trắc nghiệm cách nhanh nhất là thay bốn phương án vào phương trình:

⇒ ( sin (ω ÷ 60 ) ) + (10π ÷ ω ) =
1 !!!
2

2

Ví dụ 7: (CĐ - 2012) Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng 250 g và lò xo nhẹ có độ cứng 100
N/m dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 4 cm. Khoảng thời gian ngắn nhất để vận tốc của
vật có giá trị từ −40cm / s đến 40 3cm / s là
A.

π
40

(s).

B.

Hướng dẫn: Chọn đáp án A

π
120

(s).

C.

π
20

(s).

D.

π
60

(s).

vmax
= ω=
A

∆t =


v 
A 3
− max  ⇔ x1 =
±
v1 =

2 
2 
k

=
A 80 ( cm / s ) ⇒ 
m
vmax 3 

A
± 
v2 = 2  ⇔ x2 =
2



T 1

m π
= .2π
=
(s) .
4 4
k 40

d. Thời gian ngắn nhất liên quan đến gia tốc, lực, năng lượng
Phương pháp chung:
Dựa vào công thức liên hệ gia tốc, lực với li độ để quy về li độ.

a = a1 ⇒ x1 = ?
−ω 2 x ⇒ 
a =

a = a2 ⇒ x2 = ?

 F = F1 ⇒ x1 = ?
F =
2
−
kx
=
−
m
ω
x
⇒



 F = F2 ⇒ x2 = ?

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với chu kì T, trên một đoạn thẳng, giữa hai điểm biên M và N. Chọn
chiều dương từ M đến N, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng O, mốc thời gian t = 0 là lúc vật đi qua trung
điểm I của đoạn MO theo chiều dương. Gia tốc của vật bằng không lần thứ nhất vào thời điểm
A.

T
.
8

B.

T
.
16

C.

T
.
6

D.

T
.
12

Hướng dẫn: Chọn đáp án D

 x1 = −0,5 A
T
x1 =
−0,5 A→ x2 =
0


→t =

12
a2 =0 ⇒ x2 =0

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo dao động theo phương ngang. Lực đàn hồi cực đại tác dụng vào vật là 12 N.
Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật chịu tác dụng của lực kéo lò xo 6 3N là 0,1 (s). Chu kỳ dao
động của vật là
A. 0,4 (s).

B. 0,3 (s).

Hướng dẫn: Chọn đáp án C

C. 0,6 (s).

D. 0,1 (s).


 F1 = kx1
x
6 3

F
A 3
⇒
=
= 1 ⇒ x1 =

12
2
Fmax A
 Fmax = kA
Vì lực kéo nên lúc ấy lò xo bị dãn ⇒ Vật đi xung quanh vị trí biên từ x =
x=

A 3
đến x = A rồi đến
2

A 3
2

Thời gian đi sẽ là ∆t =

T T T
+ =
= 0,1 ⇒ T = 0, 6( s )
12 12 6

Ví dụ 3: Vật dao động điều hòa với vận tốc cực đại bằng 3 m/s và gia tốc cực đại bằng 30π ( m / s 2 ) .
Lúc t = 0 vật có vận tốc v1 = +1,5(m / s ) và thế năng đang giảm. Hỏi sau thời gian ngắn nhất bao nhiêu
thì vật có gia tốc bằng −15π ( m / s 2 ) ?

A. 0,05 s.

B. 0,15 s.

C. 0,10 s.

D.

1
s.
12

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Từ công thức amax = ω 2 A và vmax = ω A suy ra=
:ω

amax
= 10π (rad / s )
vmax



ωA
+1,5 =
A 3
v1 =
−
2 ⇒ x1 =

T T 1 2π

2 
W ñang giaûm
=0,05(s)
 ⇒ t− A 3 A = + =
 t
6
12
4
ω
→

2
2
−a
A
a2 =
−15π = max ⇒ x2 = 
2
2 

Chú ý:
1) Vùng a lớn hơn a1 nằm ngoài đoạn [ − x1 ; x1 ] và vùng a nhỏ hơn a1 nằm trong đoạn [ − x1 ; x1 ] .
2) Khoảng thời gian trong một chu kì a


+ lớn hơn a1 là 4t2
+ nhỏ hơn a1 là 4t1

Ví dụ 4: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì

π
2

(s), tốc độ cực đại của vật là 40 (cm/s). Tính

thời gian trong một chu kì gia tốc của vật không nhỏ hơn 96 ( cm / s 2 )
A. 0,78 s.

B. 0,71 s.

C. 0,87 s.

D. 0,93 s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Tần số góc: =
ω

2π
= 4(rad/ s)
T

Từ công thức: vmax = ω A suy ra:
=
A
Ta có: =
x1

vmax
= 10(cm)

ω

a1
=
6 ( cm ) .
2

ω

Vùng a lớn hơn 96 ( cm / s 2 ) nằm ngoài đoạn [ − x1 ; x1 ]
Khoảng thời gian trong một chu kì a lớn hơn 96 ( cm / s 2 ) là 4t2 , tức là

x
1
1
6
=
4t2 4.=
arccos 1 4. arccos ≈ 0,93( s ) .
ω
A
4
10

Ví dụ 5: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật có
độ lớn gia tốc bé hơn
A.

T

.
3

1
gia tốc cực đại là
2
B.

2T
.
3

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Ta có: =
x1

a1 A
=
ω2 2

Vùng a nhỏ hơn a1 nằm trong đoạn [ − x1 ; x1 ] .

C.

T
.
6

D.

T
.
2


Khoảng thời gian trong một chu kì a nhỏ hơn a1 là 4t1 tức là
T T
.
=
4t1 4.=
12 3

Chú ý : Đối với bài toán ngược ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Dựa vào vùng a lớn hơn hoặc bé hơn a1 ta biểu diễn t1 hoặc t2 theo ω
Bước 2: Thay vào phương trình
=
x1 A=
sin ωt1 Acosωt2
Bước 3: Thay vào phương trình x1 = ω 2 a1
Ví dụ 6: (ĐH-2010)Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết trong một
chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100cm / s 2 là

T
. Lấy
3

π 2 = 10 . Tần số dao động của vật là
A. 4Hz.

B. 3Hz.

C. 2Hz.

D. 1Hz.

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Để độ lớn gia tốc không vượt quá 100cm / s 2 thì vật nằm trong đoạn [ − x1 ; x1 ] . Khoảng thời gian trong
một chu kì a nhỏ hơn 100cm / s 2 là 4t1 , tức là 4t1 =

T
T
⇒ t1 =
3
12

2π T
Thay vào phương trình
=
x1 A=
sin ωt1 5sin= 2,5 ( cm )
T 12
Tần số góc: ω =

a1
ω
= 2π ⇒ f =
= 1( Hz ) .
x1
2π

Chú ý: Nếu khoảng thời gian liên quan đến Wt , Wd thì ta quy về li độ nhờ các công thức độc lập với
kx 2 mv 2 kA2
.
thời gian: W = Wt + Wd =
+
=
2
2
2
Ví dụ 7: Một vật dao động điều hòa với tần số 2 Hz. Tính thời gian trong một chu kì Wt ≤ 2Wd
A. 0,196 s.

B. 0,146 s.

C. 0,096 s.

D. 0,304 s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
1

 Wd = 3 W
Quay về li độ =
Wt 2Wd ⇒ 
2
2
 W= 2 W ⇒ kx1 = 2 kA ⇒ x =
1
 t 3
2

3 2

2
A
3


Vùng Wt ≤ 2Wd nằm trong đoạn [ − x1 ; x1 ] . Khoảng thời gian trong một chu kì Wt ≤ 2Wd là 4t1 , tức là

x
1
1
2
=
4t1 4.=
arcsin 1 4.
arcsin
≈ 0,304 (s)
ω
A
2π .2
3
2. Thời điểm vật qua x0
a. Thời điểm vật qua x0 theo chiều dương (âm)
Phương pháp chung:
=
+ ϕ ) x1
 x Acos (ωt =
Cách 1: Giải hệ phương trình 
−ω A sin (ωt + ϕ ) =

v1
v =

t t01 + k .T
=
0,1, 2...)
( t01 , t02 ≥ 0 ⇒ k , l =
=
t t02 + l.T
 Xác đònh vò trí xuất phát : φ0 =

 Xác đònh vò trí cần đến
Cách 2: Xác định VTLG  Xác đònh góc cần quét : ∆ϕ

Thời gian : t= ∆ϕ

ω

( ω.0 + ϕ)

Cách 3: Chỉ dùng VTLG để xác định thời điểm đầu tiên

 Xác đònh vò trí xuất phát : φ0 = ( ω.0 + ϕ )

Thời điểm đầu tiên vật đến x1 theo chiều dương : t1

 các thời điểm

→ t= t1 + kT ( k= 0,1,2...)
 




 Xác đònh Thời điểm đầu tiên vật đến x1 theo chiều âm : t1
 các thời điểm

→ t= t1 + kT ( k= 0,1,2...)
 






Lần thứ 1 vật đến x=x1 theo chiều dương (âm) là: t1

Lần thứ 2 vật đến x=x1 theo chiều dương (âm) là: t 2= t1 + T

.....

Lần thứ n vật đến x=x1 theo chiều dương (âm) là: t n =t1 + ( n − 1) T.
 πt π 
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa theo phương=
trình x 4cos  −  trong đó x tính bằng xentimét
 2 3
(cm) và t tính bằng giây (s). Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = 2 3 cm theo chiều âm lần thứ 2 là
A. t = 6, 00s .

B. t = 5,50s .

C. t = 5, 00s .

D. t = 5, 75s .


Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Cách 1: Dùng PTLG

 πt π 
=
2 3
x 4cos  2 −=
3 



 v =x′ =−2 π sin  πt − π  < 0
 2 3




  πt π 
3
cos  −  =
  2 3 2
⇒
sin  πt − π  > 0
  2 3 
⇒

πt π π
− = + n.2 π
2 3 6

t =1 + n.4 ≥ 0 ⇒ n = 0;1;2;3;...
Lần thứ 2 ứng với n = 1 nên t = 5 (s).
Cách 2: Dùng VTLG
Vị trí xuất phát trên VTLG là điểm M,
điểm cần đến là N. Lần thứ 2 đi qua N cần
quét 1 góc:
∆ϕ=

π
+ 2 π , tương ứng thời gian:
2

π
+ 2π
∆ϕ 2
=
t =
= 5(s)
π
ω
2
Cách 3: Chỉ dùng VTLG để xác định thời điểm đầu tiên =
T

2π

= 4(s)
ω

π
 π.0 π 
Vị trí xuất phát: φ0 =
−  =−
3
 2 3

Vị trí cần đến là điểm M trên VTLG
Thời điểm đầu tiên vật đến x1 = 2 3
T T T
theo chiều âm : t1 = + = =1(s)
6 12 4

Lần thứ 2 vật đến x1 = 2 3 theo chiều âm là:
t 2 = t1 + T = 5(s)
Kinh nghiêm:
1) Bài toán tìm các thời điểm vật qua x1 theo chiều dương (âm) thì nên dùng cách 1.
2) Bài toán tìm thời điểm lần thứ n vật qua x1 theo chiều dương (âm) thì nên dùng cách 2,3


π

Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình
=
x 6cos  2 πt +  trong đó x tính bằng
4


xentimét (cm) và t tính bằng giây (s). Chỉ xét các thời điểm chất điểm đi qua vị trí có li độ x = −3 cm
theo chiều dương. Thời điểm lần thứ 10 là
A. t =

245
s.
24

B. t =

221
s.
24

C. t =

229
s.
24

D. t =

253
s.
24

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
=
T

2π
= 1(s)
ω

Lần 1, vật đến x = −3 cm theo chiều dương là:
t 01 =

T T T T 13T 13
+ + + =
=
(s)
8 12 6 6
24 24

Lần 10, vật đến x = −3 cm theo chiều dương là:
t = t 01 + 9T =

13
229
+ 9,1 =
(s)
24
24

b. Thời điểm vật qua x 0 tính cả hai chiều
Phương pháp chung:
Cách 1: Giải phương trình
=
x Acos ( ωt =
+ ϕ ) x1

⇒ cos ( ωt + ϕ=
)

t = ?
ωt + ϕ = α + (2 π)
x1
= cosα ⇒ 
⇒ 1
A
ωt + ϕ = −α + (2π)  t 2 = ?

Trong một chu kì vật qua mỗi vị trí biên một lần và các vị trí khác hai lần. Để tìm hai thời điểm đầu tiên
( t1 và t 2 ) có thể dùng PTLG hoặc VTLG. Để tìm thời điểm, ta làm như sau:
Số lần
dư 1: t=nT+t1
= n
2
dư 2 : t=nT+t 2

 Xđ vò trí xuất phát: φ0 =

 Xđ vò trí cần đến
Cách 2: Dùng VTLG  Xđ góc cần quét: ∆ϕ

Thời gian: t= ∆ϕ

ω

( ω.0 + ϕ)

 2 πt 
Ví dụ 1: (ĐH-2011) Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos 
 (x tính bằng
 3 

cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0 , chất điểm đi qua vị trí có li độ x = −2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm
A. 3015 s.

B. 6030s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Cách 1: Giải PTLG: =
T

2π
= 3(s)
ω

C. 3016 s.

D. 6031 s.


 2 πt 2 π
=
t1 = 1(s)
2 πt
2 πt
1  3
3

4cos
=−2 ⇒ cos
=− ⇒ 
⇒
3
3
2
2(s)
 2 πt =− 2 π + 2 π t 2 =
 3
3
2011
= 1005 dö 1 ⇒ t 2.1005
=
1005T =
+ t1 1005.3=
+ 1 3016(s) .
+1
2
Cách 2: Dùng VTLG
Quay một vòng đi qua li độ x = −2 cm là hai lần.
Để có lần thứ=
2011 2.1005 + 1 thì phải quay 1005 vòng và quay thêm một
góc

2π
2π
, tức là tổng góc quay:
=
∆ϕ 1005.2 π +

3
3

Thời gian:
∆ϕ
=
t =
ω

1005.2 π +
2π
3

2π
3 3016(s) .
=

 4 πt 5π 
Câu 32: Một vật dao động có phương trình
li độ x 4cos 
=
+  ( cm,s ) . Tính từ lúc t = 0 , vật đi
6 
 3

qua li độ x = 2 3 cm lần thứ 2012 vào thời điểm nào?
A. t = 1508,5 s.

B. t = 1509, 625 s.

C. t = 1508, 625 s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Cách 1: Giải PTLG: =
T

2π
= 1,5(s)
ω

 4 πt 5π π
 3 + 6 = 6 + 2 π ⇒ t 2= 1(s)
3
 4 πt 5π 
x =2 3 ⇒ cos 
+ = ⇒
6  2
 3
 4 πt + 5π = − π + 2 π ⇒ t = 0, 75(s)
1
 3
6
6
t=
t 2.1005
=
1005T +=
t 2 1005.1,5=
+ 1 1508,5(s)
2012

+2
Cách 2: Dùng VTLG
Quay một vòng đi qua li độ x = 2 3 cm là hai lần.
Để có lần thứ =
2012 2.1005 + 2 thì phải quay 1005 vòng và
quay thêm một góc
=
∆ϕ 1005.2 π +
Thời gian

4π
3

4π
, tức là tổng góc quay :
3

D. t = 1510,125 s.


=
t

∆ϕ
=
ω

1005.2 π +
4π
3

4π
3 1508,5(s) .
=

c. Thời điểm vật cách vị trí cân bằng một đoạn b
Phương pháp chung:
Trong một chu kì, vật qua mỗi vị trí biên một lần và các vị trí khác hai lần. Vì vậy nếu b = 0 hoặc b = A
thì trong một chu kì có 2 lần x = b , ngược lại trong một chu kı̀ có 4 lầ n x = b (hai lần vật qua x = + b
và hai lần qua x = −b ). Để tìm bốn thời điểm đầu tiên t1 , t 2 , t 3 và t 4 có thể dùng PTLG hoặc VTLG.
Để tìm thời điểm tiếp theo ta làm như sau:
dö

Soá laàn
dö
= n
4
dö
dö


1: t=nT+t1
2: t=nT+t 2
3: t=nT+t 3
4: t=nT+t 4

 10 πt π 
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương
trình x 6cos 
=

+  cm. Xác định thời điểm thứ
6
 3

2015 vật cách vị trí cân bằng 3 cm.
A. 302,15 s.

B. 301,87 s.

C. 302,25 s.

D. 301,95 s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
2015
2π
= 503 dö 3
= 0, 6(s) . Ta nhận thấy:
ω
4

=
T

⇒=
t 503T + t 3 nên ta chỉ cần tìm t 3
t3 =

T T T 7T
+ + =

6 4 6 12

7T
⇒=
t 503T + = 302,15(s)
12

Chú ý: Nếu khoảng thời gian liên quan đến Wt , Wd thì ta quy về li độ
nhờ các công thức độc lập với thời gian:
W = Wt + Wd =

kx 2 mv 2
kA 2
+
=2
2
2
2

 50 πt π 
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương
trình x 4cos 
=
+  cm. Xác định thời điểm thứ
3
 3
2012 vật có động năng bằng thế năng.
A. 60,265 s.

B. 60,355 s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án B

C. 60,325 s.

D. 60,295 s.


2π
= 0,12(s)
ω

=
T

Từ điều kiện: Wt = Wd =
Ta nhận thấy:

1
W⇒ x =
2

A
2

2012
= 502 dö 4
4

⇒=

t 502T + t 4 nên ta chỉ cần tìm t 4
t4 =

T T T T T 23T
+ + + + =
12 4 4 4 8
24

17T
⇒=
t 502T + = 60,355(s) .
24

 10 πt 2 π 
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với phương
trình x 6cos 
cm. Xác định thời điểm thứ
=
+
3 
 3
100 vật có động năng bằng thế năng và đang chuyển động về hía vị trí cân bằng.
A. 19,92 s.

B. 9,96 s.

C. 20,12 s.

D. 10,06 s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
2π
= 0, 2(s)
ω

=
T

Trong một chu kì chỉ có hai thời điểm động năng bằng thế
năng và vật đang chuyển động về phía vị trí cân bằng. Hai thời
điểm đầu tiên là t1 và t 2 . Để tìm các thời điểm tiếp theo ta
làm như sau:
dö 1: t=nT+t1
Soá laàn
= n
2
dö 2: t=nT+t 2
Ta nhận thấy:
t2 =

100
t 49T + t 2 nên ta chỉ cần tìm t 2 .
= 49 dư 2 ⇒ =
2

T T T 19T
19T
+ + =
⇒ t100 = 49T +
≈ 9,96(s)

6 2 8
24
24

Chọn đáp án : B
Ví dụ 4: Một vật nhỏ dao động mà phương trình vận
tốc v
=

π

5π cos  π t +
 cm/s . Tốc độ trung
6


bình của vật tính từ thời điểm ban đầu đến vị trí động năng bằng

1
thế năng lần thứ hai là
3

A. 6,34 cm/s.

B. 21,12 cm/s.

C. 15,74 cm/s.

Hướng dẫn:
Đối chiếu với phương trình tổng quát, ta suy ra phương trình li độ:

D. 3,66 cm/s


=
 x A cos(ω t + ϕ )


−ω A sin(ω t + ϕ )
v =
ω = π (rad / s)

π
π 


=
⇒ x 5cos  π t −  (cm)
=
 x ' ω Acos  ω t + ϕ +  ⇒
A 5(cm) =
3
2 



π

ϕ = −
π


3

=
 v 5π cos  π t + 
6



1

Wd = W

1
4

Wd
Wt ⇒ 
Từ điều kiện: =
3
W = 3 W ⇒ x = A 3
 t 4
2
Thời điểm lần thứ 2, động năng, một phần ba thế năng thì vật đi
được quãng đường và thời gian tương ứng là:
∆S =

A 
A 3
+  A −

 ≈ 3,17(cm);
2 
2 

∆t =

T T
+ = 0,5(s)
6 12

nên tốc độ trung bình trong
v tb =

khoảng thời gian đó là:

∆S
=6,34 (cm/s).
∆t

Chọn đáp án: A
d. Thời điểm liên quan đến vận tốc, gia tốc, lực…
Phương pháp chung:
Cách 1: Giải trực tiếp phương trình phụ thuộc t của v, a, F…
Cách 2: Dựa vào các phương trình độc lập với thời gian để quy về li độ.

π

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà mô tả bởi phương trình: x = 6cos  5π t -  (cm) (t đo bằng giây).
4


Thời điểm lần thứ hai có vận tốc −15π (cm/s) là
A.

1
s.
60

B.

11
s.
60

C.

5
s.
12

D.

13
s.
60

Hướng dẫn:

π

v ==

x ' −30π sin  5π t −  =
−15π
4


π

5π t − 4 =
⇒
5π t − π =

4

π

5
2
+ k ≥ 0 → k = 0,1, 2...
6
60
5
5π
13
2
+ n.2π ⇒ t =
+ n ≥ 0 → n = 0,1, 2...
6
60
5
+ k.2π ⇒ t =


k = 0 ⇒ t =

n = 0 ⇒ t =


5
(s)
60
13
(s)
60

Chọn đáp án: D
 10π t 
Câu 2: Một vật dao động với phương trình x = 6cos 
 ( cm ) . Tính từ t = 0 thời điểm lần thứ
 3 
2013 vật có tốc độ 10π cm / s là
A. 302,35 s

B. 301,85 s

Hướng dẫn: =
T

2π
= 0,6(s)

ω

Thay tốc độ 10π cm / s vào phương trình:
x2 +

v2

ω

2

= A 2 ⇒ x = 3 3(cm)

Ta nhận thấy:

2013
= 503 dư 1
4

⇒=
t 503T + t1 nên ta chỉ cần tìm t1 .
t2 =

T
T
⇒ t = 503T + = 301,85(s)
12
12

Chọn đáp án: B

C. 302,05 s

D. 302,15 s


Bài toán liên quan đến quãng đường
Chúng ta sẽ nghiên cứu các bài toán:
+ Quãng đường đi được tối đa, tối thiểu.
+ Quãng đường đi được từ t1 đến t2.
1. Quãng đường đi được tối đa, tối thiểu.
1.1. Trường hợp ∆t <

T
⇔ ∆ϕ = ω∆t < π
2

Trong dao động điều hòa, càng gần vị trí biên thì tốc độ càng bé. Vì vậy trong cùng một khoảng thời
gian nhất định muốn đi được quãng đường lớn nhất thì đi xung quanh vị trí cân bằng và muốn đi được
quãng đường bé nhất thì đi xung quanh vị trí biên.
Cách 1: Dùng PTLG


Qu·ng đ ­êng cùc đ ¹i ⇔ t1 =



Qu·ng đ ­êng cùc tiÓu ⇔ t 2 =


Cách 2: Dùng VTLG

∆t
∆ϕ
⇒ S max = 2A sin ω t1 = 2A sin
2
2
∆t
∆ϕ
⇒ S min = 2(A − A cos ω t 2 ) = 2A − 2A.cos
2
2