dethi hsg binh dinh

Đề thi tỉnh lớp 12 (22/10/2010)
Bài 1. Giải hệ phương trình: ,
Giải :
Biến đổi hệ : (x+y)
2
-z(x+y)+z
2
-3=0 (1) , (x-y)
2
-z(x-y)+1=0 (1)
Hệ có nghiệm x,y  z
2
-4(z
2
-3)
≥
0 , z
2
-4
≥
0  z=2,z=-2
i) z=2 ta có x+y=1 , x-y=1  x=1,y=0
ii) z=-2 , ta có x+y=- 1 , x-y =-1  x=-1,y=0
Hệ có hai nghiệm (1,0,2) , (-1,0,-2)
Bài 2. Tìm a để phương trình sau có nghiệm
Giải : Ta có x=0 , x=-1 không phải là nghiệm của phương trình
Biến đổi phương trình về dạng : x
6
+3x
5
+6x

4
+7x
3
+6x
2
+3x+1=a(x
4
+2x
3
+x
2
)
 a=
3 2
6 5 4 3 2
3 2
4 3 2
1 1 1
3 6( ) 7
3x 6x 7x 6x 3x 1
1
2x
2
x x x
x
x x x
x x
x
x
   

+ + + + + +
 ÷  ÷
+ + + + + +
   
=
+ +
+ +
Đặt t=
1
x
x
+
,
2, 2t t< − ≥
. Phương trình trở thành a =
3 2
3 3 1
2
t t t
t
+ + +
+
=
3
( 1)
2
t
t
+
+

Đặt f(t)=
3
( 1)
2
t
t
+
+
,
2, 2t t< − ≥
f’(t)=
( ) ( )
2 3 2
2 2
3( 1) ( 2) ( 1) ( 1) (2 5)
2 2
t t t t t
t t
+ + − + + +
=
+ +
, f’(t)=0  t =
5
2
−
<-2
Lập bảng biến thiên , kết luận
27
4
a ≥

Bài 3. Chứng minh rằng với và nguyên dương thì
Giải : Xét hàm số f(x)=x
2n
(1-x), x thuộc (0,1)
f’(x)=2nx
2n-1
-(2n+1)x
2n
=x
2n-1
[2n-(2n+1)x]
f’(x)=0 x=
2
2 1
n
n +
thuộc (01)
lập bảng biến thiên trên (0,1)
=>
2 2
2 2 2 2 1
( ) ( ) 1 .
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
n n
n n n n
f x f
n n n n n
     
≤ = − =
 ÷  ÷  ÷

+ + + + +
     
Áp dụng định lý lagrang cho f(t)=lnt liên tục trên [2n,2n+1]
 tồn tại số c thuộc (2n , 2n+1) sao cho f(2n+1)-f(2n)=
1 1
2 1c n
>
+

1
ln(2 1) ln 2
2 1
n n
n
+ − >
+
=>
(2 1)(ln 2 ln(2 1)) 1n n n+ − + < −
=>
2 1
2 1
2 1
n
n
n e
+
 
<
 ÷
+

 

2
2 1 1
.
2 1 2 1 2
n
n
n n ne
 
<
 ÷
+ +
 
=>đpcm
Bài 4. Cho tứ giác lồi ABCD có AB=BC=CD=a. Chứng minh .
Giải : S
ABCD
=S
ABC
+S
ACD

Hạ BH vuông góc với AC , vì AB=BC=a nên AC=2AH
Đặt góc BAC =x nhọn
S
ABC
=AH.BH =x
2
sinxcosx , S

ACD
≤
AH.CD=x
2
cosx
 S
ABCD

≤
x
2
(cosx +sinxcosx)
Xét f(x) =cosx +sinxcosx , x nhọn
f’(x) =-sinx +cos2x =-2sin
2
x-sinx+1 , f’(x)=0  sinx=-1 , sinx =1/2
Vì x nhọn nên ta có x=30
0

Giá trị lớn nhất của f(x) là
3 3
4

S
ABCD

≤
2
3 3
4

a
=> đpcm
/>