Đề thi kỳ 2 môn toán các quận ở hà nội 2019

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KÌ 2

MÔN TOÁN LỚP 9 CÁC QUẬN HÀ NỘI

HDedu - Page 1


1
UBND QUẬN THANH XUÂN

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2018 – 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề số 1

Thời gian làm bài: 90 phút
Ngày kiểm tra: /

x 8
và B =
x7
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25

Bài 1 (2 điểm). Cho hai biểu thức A =

2) Chứng minh B 

MÔN: TOÁN – LỚP 9
/2019

x
8 x  24
với x ≥ 0; x ≠ 9

x9
x 3

x 8
x 3

B
A
Bài 2 (2 điểm). Giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm trong thời gian quy định .Nhờ tăng năng suất lao
động ,nên mỗi ngày đội làm thêm được 30 sản phẩm so với kế hoạch. Vì vậy chẳng những
đã làm vượt mức kế hoạch 170 sản phẩm mà còn hoàn thành công việc sớm hơn dự định
một ngày. Tính số sản phẩm mà đội sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch.
Bài 3 (2 điểm).

2
5
 3 x 

y2

1) Giải hệ phương trình: 
3


 15
4 3  x 
y2


3) Tìm GTNN của P=

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: y= 6x +m2 -1 với m là tham số và
parabol (P): y = x2
a) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điêm phân biệt với mọi số thực m
b) Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm của d và (P).
Tìm m để x12 – 6x2 +x1x2 =48
Bài 4 (3,5 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). từ điểm A vẽ các tiếp tuyến
AB,AC với B,C là tiếp điểm, và cát tuyến AMN với đường tròn (O). ( với MN không đi
qua tâm và AM < AN).
1. CHứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
2. Chứng minh AM.AN=AB2
3. Tiếp tuyến tại N của (O) cắt đường thẳng BC tại điểm F. chứng minh đường thẳng
FM là tiếp tuyến của (O;R)
4. Gọi P là giao điểm của dây BC và dây MN, E là giao điểm của đường tròn ngoại
tiếp tam giác MNO và đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC (E khác O). Chứng
minh P,E,O thẳng hàng
Bài 5 (0,5 điểm). giải phương trình x  2017  2017  x
---------------------HẾT-------------------

HDedu - Page 2


2

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN: TOÁN LỚP 9
Bài

Ý

Nội dung

Điểm

I

2đ
1
(0,5đ)

Thay x=25 TMĐK vào A
Tính được

13
32

0,25đ

B=

x ( x  3) 8 x  24

x9

x9

0,25đ

B=

x  11 x  24
( x  3)( x  3)

0,25đ

B=

( x  8)( x  3)
( x  3)( x  3)

0,25đ

2
(1đ)

A

0,25đ

x 8
x 3

Suy ra B 

Ta có

P

P

B

A

x 3

0,25đ
x7
x  3 đk x>9

16
6  2
x 3

x  3.

0,25đ

16
 6  14
x 3

 P  14
3

(0,5đ)

Dấu = xảy ra

 x 3
P  14  


x  9

Vậy
II

Min P  14

16
x  3  x  49(TMDK )

0,25đ

khi x=49

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

2đ

Gọi số sản phẩm đội sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch
là x sản phẩm ( x  N*)
Nhờ tăng năng suất nên thực tế trong 1 ngày đội đã làm được x+30 sản
phẩm.

0,25đ
0,25đ

HDedu - Page 3


3
Lập luận đi đến pt

1170 1000

1
x  30
x

0,5đ

Giải pt ta được x1 = 100 (Thỏa mãn điều kiện ); x2 = -300 (Loại)
Vậy số sản phẩm đội sản xuất làm trong 1 ngày theo kế hoạch là 100 sản
phẩm

0,5đ
0,25đ

III

2đ
ĐK: x  3; y > 2

0,25đ
0,25đ

Đặt
3  x  a,

1
(1đ)

1
b
y2


a  2b  5


4a  3b  15

với a  0, b>0

0,25đ

Giải được a=3 và b=1 TMĐK

 x  6

 y  3 TMĐK
Từ đó tìm được 

0,5đ

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (-6;3)
Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của phương trình:
2a
(0.5đ)

0,25đ

x2 = 6x +m2 -1  x2 – 6x – m2 +1=0 (1)

 '  m 2  8  0m
Vật pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m hay (d) cắt (P) tại hai

0,25đ

điểm phân biệt với mọi m.
Ta có x1, x2 là hai nghiệm của (1) suy ra
2b
0.5đ

x1 + x2 = 6 và x1 . x2 = - m2 +1

0,25đ

x12 – 6x2 +x1x2=48  x1 (x1 +x2)-6x2 =48 x1 – x2 =8 (*)
mà x1 + x2 = 6 suy ra x1 =7, x2 = -1 vào x1 . x2 =-m2 +1 vào (*) ta có

0,25đ

m2 =8  m= 2 2 . vậy m= 2 2
IV

Hình học

3,5đ

HDedu - Page 4


4

1

Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

0.75đ

AB là tiếp tuyến của (O) nên AB vuông góc với BO suy ra góc ABO=900

2

Lập luận tương tự có góc ACO =900

0,25đ

Vì 
ABO  
ACO  1800 nên tứ giác ABOC nội tiếp

0.5đ

Chứng minh AM.AN=AB2

1đ

Chứng minh được góc ABM= góc ANB

0,25đ

xét  ABM và  ANB CÓ góc BAN chung, góc ABM= góc ANB
suy ra  ABM ~  ANB
Suy ra AM.AN=AB2
3

4

0,25đ

0,25đ
0,25đ

chứng minh đường thẳng FM là tiếp tuyến của (O;R)

1đ

Cminh AB2 = AH.AO va AM.AN=AB2 suy ra AH.AO=AM.AN

0,25đ

Chứng minh M,N,O,H cùng thuộc một đường tròn (I)

0,5đ

 =900 nên FO là đường kính của (I)
Mà FNO

0.25đ

Lập luận tương tự có FM là tiếp tuyến của (O).

0,25đ

Chứng minh K,D,E thẳng hàng

0,5đ

Chứng minh A,E,F thẳng hàng

0,25đ

Chứng minh EO,FH,AK là đường cao của tam giác OFA

0.25đ

HDedu - Page 5


5
V

Giải pt x  2017  2017  x

0,5đ

2017  x
ĐK 
 0  x  2017 2
 x  0

0,25đ

đặt y  2017  x ( y  0)


 x  2017  y (1)
khi đó ta có 
 y  2017  x (2)


0,25đ

suy ra x  y  y  x  0  ( x  y )( x  y  1)  0
TH1:

x

y  x  y thay vào (1) được



 x  1  8069 (l )

1  8069 2
2
x  x  2017  0  
x  ( x 
)
2

1  8069
(TM )
 x

2
TH2:

x  y  1 y  1  x thay vào (1) được

x  x  1  2017  0  x  x  2016  0

 x  1



1
 x


8065
(TM )

1  8065  2
2

 x  

2
8065


(l )
2

0,25đ

2

 2 
1

8065
 1  8069  

 
Vậy tập nghiệm của pt là S  
 ;
 
2
2

 

 


HDedu - Page 6


6
UBND HUYỆN THANH TRÌ

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2018-2019

Đề số 2

MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức:
A=

3
1
x −1
1
và B =
với x > 0
−

+
x x +1
x +1 x − x +1
x

1. Tính giá trị của B tại x =

1
4

2. Rút gọn biểu thức A
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A
B

Bài 2. (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình.
Một ô tô đi trên quãng đường dài 400km. Khi đi được 180km thì ô tô tăng vận tốc
so với lúc trước thêm 10km/h và đi hết quãng đường còn lại. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô,
biết thời gian đi hết cả quãng đường là 8 giờ. (Giả thiết vận tốc ô tô không đổi trên mỗi
đoạn đường).
Bài 3. (2,0 điểm)
 2
 x −3+

1. Giải hệ phương trình: 
 5 −
 x − 3

1

13
=
y + 1 20
2
1
=
y +1 2

− x2
2. Cho (P): y =
và đường thẳng (d): y = m(x – 1) – 2
4
a) Chứng minh: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi.

b) Gọi xA, xB lần lượt là hoành độ của A và B. Tìm m để xA2xB + xB2xA đạt giá trị nhỏ
nhất và tính giá trị đó?
Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) với đường kính AC. Trên đoạn OC lấy điểm B. Gọi
M là trung điểm AB, từ M kẻ dây DE vuông góc với AB. Từ B kẻ BF vuông góc với CD (F
thuộc CD)
1.
2.
3.
4.

Chứng minh: tứ giác BMDF nội tiếp
Chứng minh: CB.CM = CF.CD
Chứng minh: tứ giác ADBE là hình thoi và 3 điểm B, E, F thẳng hàng.
Gọi S là giao điểm của BD và MF, tia CS lần lượt cắt AD, DE tại H và K. Chứng
DA DB DE
minh:

+
=
DH DS DK

Bài 5. (0,5 điểm) Tìm cặp số (x,y) với y là số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện:
x2 + 5y2 + 2y – 4xy – 3 = 0

HDedu - Page 7


7
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN TOÁN – LỚP 9
Bài

Nội dung

Điểm

1

TS:
2.0
a) Thay x =
b)

A=

(

)(

3

)(

)( x + 1)
x + 1) ( x + 1)( x − x + 1)

x − x +1

)(

x +1 x −

+

(

x −1

x +1
1
=
x − x +1
x +1 x − x +1

) (

c) Chứng minh được:
Suy ra

−

) (

x +1 x − x +1

3 − x + x −1+ x −1
=
x +1 x − x +1

(

0.5

1
vào B và tính đúng: B = 2
4

)

)(

B
≥ 1 , dấu “=” khi x = 1
A

A

≤ 1 , dấu “=” khi x = 1. Kết luận
B

2

0.5

0.5
0.25
0.25
TS:
2.0

Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x (km/h) (x > 0)

0.25

Thời gian ô tô đi trên đoạn đường đầu

180
(h)
x

0.25

Thời gian ô tô đi trên đoạn đường sau

220
(h)
x + 10

0.5

Theo đề bài, thời gian ô tô đi trên cả quãng đường là 8 giờ. Ta
180 220
có PT
+
=8
x x + 10

0.25

Giải chi tiết phương trình tìm được hai nghiệm: 45 và – 5
Giá trị x = 45 (tmđk), trả lời

0.5
0.25

3

TS:
2.0
1
1
1. Đặt= a=
;
b . Có được HPT hai ẩn a, b đúng
x −3
y −1

0.25
0.5

HDedu - Page 8


8
Giải HPT tìm ra:=
a

1
1
=
;b
5
4

0.25

Thay a, b tìm ra nghiệm của hệ (x,y) = (64;9)
2. Biến đổi có được PT hoành độ giao điểm: x2 + 4mx – 4m – 8 =
0

0.25

(1)

Tính: ∆’ = (2m + 1)2 + 7 > 0 với mọi m => (d) luôn cắt (P) tại hai

0.25

điểm A, B
xA, xB là hoành độ giao điểm A, B => xA, xB là nghiệm của PT (1)

0.25

Theo Viet ta có: xA + xB = - 4m; xA.xB = - 4m – 8
xA2xB + xB2xA = xAxB(xA + xB) = 16m2 + 32m = (4m + 4)2 – 16 ≥ - 16
Vậy xA2xB + xB2xA min = - 16 khi m = - 1

0.25

4

TS:
3.5
Vẽ hình đúng đến câu a

0.25
D

H

F

K

S

I

A

C
M

J

O

B

E

 900 (Do DE ⊥ AB )
1.=
Có DMB
 900 (Do BF ⊥ AB )
Có DFB
=

 + DFB
=
Suy ra DMB
1800
Suy ra: tứ giác DMBF nội tiếp

0.25
0.25
0.25

2. Chứng minh: ∆CFB và ∆CMD đồng dạng

0.5

CF CB
=
CM CD
⇒ CF .CD =
CM .CB

0.25

3. Có AM = MB (M là trung điểm AB)

0.25

Có DE ⊥ AC => MD = ME (Liên hệ đk và dc)

0.25

⇒

0.25

HDedu - Page 9


9
Suy ra: ADBE là hình bình hành (DHNB)

0.25

Mà DE ⊥ AB

0.25

Vậy ADBE là hình thoi
4. Kẻ AJ // HK (J thuộc DE); BI // HK (J thuộc DE)
DA DJ DB DI
Chỉ ra được:
(Định lí Ta – let)
= =
;
DH DK DS DK

⇒

DA DB DI + DJ
+
=
DH DS
DK

Chứng minh được: DI = EJ (∆AEJ = ∆BDI)
⇒

5

DA DB EJ + DJ DE
+=

=
DH DS
DK
DK

0.25
0.25
0.25
0.25

Xét PT bậc 2 ẩn x: x2 – 4xy + 5y2 + 2y – 3 = 0 (*)
Tính ∆’ = - y2 – 2y + 3 = - (y – 1)(y + 3)
Để PT (*) có nghiệm: ∆’ ≥ 0  1 ≥ y ≥ - 3

0.25

y nhỏ nhất = - 3 => x = - 6

0.25

Trả lời

HDedu - Page 10


10
UBND QUẬN CẦU GIẤY
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề số 3
Bài 1 (2 điểm). Cho hai biểu thức
 1
1
2 
x

A= (
) : 


x  1 x  x  x 1 x  1

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN: TOÁN – LỚP 9
Thời gian làm bài: 90 phút
Ngày kiểm tra: 18 tháng 4 năm 2019

với x >0; x ≠ 1

4) Rút gọn biểu thức A
5) Tìm x biết A=2
6) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  ( A  4) x
Bài 2 (2 điểm). Giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 90km với vận tốc dự định. Khi từ B trở về A, ô tô
đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc lúc đi là 5km/ giờ. Do đó thời gian về ít hơn thời gian đi
là 15 phút. Tính vận tốc dự định của ô tô đi từ A đến B.
Bài 3 (2.5 điểm).


 x  2  2( x  y )  8
3) Giải hệ phương trình: 

2 x  2  5( x  y )  19
4) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=mx-m-2 ( m là tham số) và
parabol (P): y=-x2.
a) với m = -2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P).
b) tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2
thỏa mãn x1  x2  20
Bài 4 (3 điểm)
1. Một hộp sữa hình trụ có đường kính đáy là 12cm, chiều cao 10cm. Tính diện tích
vật liệu dùng để tạo nên một vỏ hộp như vậy ( không tính phần mép nối)
2. Cho đường tròn (O,R), từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến
AB,AC với (O) ( B,C lần lượt là các tiếp điểm).
a)
Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp
b)
Gọi D là trung điểm của AC, BD cắt đường
tròn tại E, đường thẳng AE cắt đường tròn (O)
tại điểm thứ hai là F. chứng minh AB2 = AE.
AF.
c)
Chứng minh BC=CF.
Bài 5 (0,5 điểm). Một viên gạch hinhg vuông cạnh a(cm) có
hoa văn như hình vẽ. M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các
cạnh AD,AB,BC,CD.
Tìm độ dài a biết diện tích phần gạch chéo là 200(4   )(cm 2 )

HDedu - Page 11

11
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN: TOÁN LỚP 9
Bài

Ý

Nội dung

Điểm

I

Với x>0, x#1 ta có
 x
  1

1
2
 :

A= 


 x 1
  x  1 ( x  1)( x  1) 

x

(
x
1)


 
1

A=

1 x
x 1
:
x ( x  1) ( x  1)( x  1)

0,25đ

A=

x 1
.( x  1)
x ( x  1)

0,25đ

(1đ)

A=

x 1

x

A=2
2
(0,5đ)

0,25đ

x 1

0,25đ

x 1
 2  ( x  1) 2  0
x

0,25đ

( không thỏa mãn điều kiện)

0,25đ

Vậy không có giá trị nào của x để A=2
P  ( A  4) x  x  4 x  1  ( x  2) 2  3

3
(0,5đ)

0,25đ

Ta có
P  3

0,25đ

Dấu bằng xảy ra khi x=4 (TMĐK)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -3 khi x=4.
II

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

2đ

Gọi vận tốc dự đinhn của ô tô đi từ A đến B là x(km/h) x>0
90
Khi đó thời gian ô tô đi từ A đến B là
(h)
x

0,25đ
0,25đ

Vận tốc ô tô khi từ B đến A là x+5 (km/h)
90
Thời gian ô tô di từ B đến A là
(h)
x 5

0,55đ

1
15 phút = h
4
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút nên ta có phương trình

0,25đ

HDedu - Page 12


12

Do chi đoàn hoàn thành công việc trước dự định là 12 phút =

1
h nên
5

ta có phương trình:

0,25đ
90 90
1


x x 5 4



450

1

x( x  5) 4

0,25đ

 x 2  5 x  1800  0

Tìm được x1 = 40 (Thỏa mãn điều kiện cảu ẩn); x2 = -45 (Loại)

0,25đ

Vậy vận tốc dự định của ô tô là 40km/h

0,25đ

III

2đ


 x  2  2( x  y )  8


2 x  2  5( x  y )  19

1đ

1.
ĐK: x ≥ 2


 x2 u
Đặt 
với u≥0

x
y
v



1
(1đ)

Hệ pt trở thành

0,25đ

u  2v  8

2u  5v  19

Giải hệ tìm được

u  2

v  3

0,5đ
(TMĐK)

 x  2  2  x  6
(TMĐK)


 y  3
x  y  3
Suy ra 

0,25đ

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (6;3)

2
(1.5đ)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=mx-m-2 (
m là tham số) và parabol (P): y=-x2.
a) với m = -2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và parabol
(P).
Với m =-2 ta có pt đường thẳng d : y=-2x
Xét phương trình hoành độ giao diểm của d và (P)

0,75đ

0,5đ

HDedu - Page 13

13

x  0
-x2 =-2x x 2  2 x  0  
x  2
Với x=0 suy ra y=0
Với x=2 suy ra y=-4
Vậy với m=-2 thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (0;0) và (2; 4).
b)tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1  x2  20

0,25đ

0,75đ

Xét pt hoành độ giao điểm của d và (P):
-x2 = mx –m -2 x 2  mx  m  2  0
0.25đ

Ta có   (m  2) 2  4  4  0m
Do đó pt (1)luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.Duy ra d và (P) luôn cắt
nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2

 x1  x2   m
Theo viet ta có 
 x1 x2   m  2
Theo đề bài x1  x2  20  ( x1  x2 ) 2  20  ( x1  x2 ) 2  4 x1 x2  20
Suy ra m +4m +8=20
2

0.5đ

Giải phương tình ta được m=2, m=-6
Vậy m=2; m=-6
IV

Hình học
1
0.5đ

3,5đ

ta có bán kính đáy là 6cm

0.25đ

diện tích một đáy là  .62  36 (cm 2 )
Diện tich xung quanh đê tạo nên vỏ hộp sữa là 2.36  +120  =192 
(cm2)

2
2.5đ

Chứng minh tứ giác ACPM nội tiếp

0.25đ
1đ

a
1đ

HDedu - Page 14


14

b
1đ

Vì AB,AC là tiếp tuyến của (O) nên
 AC  CO
suy ra 
ABO  
ACO  900

 AB  BO

0.5đ

Xét tứ giác ABOC có 
ABO  
ACO  1800 mà hai góc này ở vị trí đối
nhau nên tứ giác ABOC nội tiếp

0.5đ

Xét đường tròn (O) có

ABE  
AFB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng

chắn cung BE)
Xét  ABE và  AFB có
 chung
BAF

0.5đ


ABE  
AFB
Suy ra  ABE ~ AFB (g.g)
Suy ra
c
0.5đ

AB AE

 AB 2  AE.AF
AF AB

0,5đ

Xét đường tròn (O) có
  DBC
 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng
DCE
chắn cung EC)
Xét  DEC và  DCB có
 chung
CDB

0.25đ

  DBC

DCE
Suy ra  DEC ~ DCB (g.g)
DC DE
Suy ra

 CD 2  DB.DE
DB DC
Mà AD=DC nên AD 2  DB.DE 
XÉT  DAE và  DBA có

ADB chung
AD DB

DE AD

AD DB

DE AD

0.25đ

HDedu - Page 15


15

  DBA

Suy ra  ~
DAE DBA(cgc)  DAE



Mà DBA
AFB , mà hai góc này ởv ị tí so le
AFB(cmt ) , suy ra DAE
trong do đó AC//BF
 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
  BFC
Mà BCA
cùng chắn 1 cung )
  CFB
 suy ra tam giác CBF cân tại C do đó CB=CF.
Suy ra CBF

V’
0.5đ

Một viên gạch hinhg vuông cạnh a(cm) có hoa văn như hình vẽ.
M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AD,AB,BC,CD.
Tìm độ dài a biết diện tích phần gạch chéo là 200(4   )(cm 2 )

0,5đ

Nhận xét rằng phần gạch trắng tạo bởi 8 hình viên phân bằng nhau,

a
Gọi R= là bán kính đường tròn . diện tích một hình viên phân là
2

S

 R2
4



R2 R2
a2




  2 (cm 2 )
2



2
4
16

0,25đ
2

a

  2 (cm 2 )

2
2
a
a2
Diện tích phần gạch chéo bằng a 2    2  4    (cm 2 )
2
2
Vậy diện tích hình gồm 8 viên phân bằng

Vì diện tích phần gạch chéo là 200(4   )(cm 2 ) nên

200(4   )(cm 2 ) 

a2
4    a  20cm
2

0,25đ

Vậy a=20

HDedu - Page 16


16
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II

QUẬN HAI BÀ TRƯNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

Năm học 2018 – 2019
MÔN: TOÁN 9
(Thời gian làm bài: 90 phút)

Đề số 4
Bài 1: (2,0 điểm) Cho các biểu thức:
A=

x +1
2 x +3
x
8
; B=
(ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4)
−
−
x +2
x −2 4− x
x −2

a) Tính giá trị của A tại x = 36
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B
Bài 2: (2,0 điểm) Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 80km trên 1 khúc sông, sau
khi nghỉ 30 phút tại B ca nô đi trên khúc sông ấy trở về A. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ

A đến khi về đến B là 9 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc
của dòng nước là 2km/h.
Bài 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y
= (m – 1)x + 4 (m là tham số)
a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = - 2
b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) sao cho: y1 + y2 =
y1.y2
Bài 4: (3,5 điểm) Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), đường cao BE, CF cắt
nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và AD là đường kính của (O). Chứng minh:
a) BFEC là tứ giác nội tiếp
b) AE.AC = AF.AB
c) H, M, D thẳng hàng
d) Cho (O) và điểm B, C cố định, A di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC luôn có ba
góc nhọn. Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp ∆AEF có bán kính không đổi.
Bài 5: (0,5 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b ≤ 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b +

6 24
+
a b

…………………………….Hết………………………….
Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

HDedu - Page 17


17
Bài

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1

Điểm
2,0

a) Tính giá trị của A tại x = 36 (0,5 điểm)

36 + 1 6 + 1
=
36 − 2 6 − 2

Tại x = 36 (thỏa mãn ĐKXĐ) ta=
có: A
=

7
4

0,25
0,25

b) Rút gọn B (1 điểm)
+ Với ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4 ta có:
B=

2 x +3
x

8
−
+
x +2
x − 2 ( x + 2)( x − 2)

=

(2 x + 3)( x − 2) − x ( x + 2) + 8
( x + 2)( x − 2)

0,25

=

2x − 4 x + 3 x − 6 − x − 2 x + 8
( x + 2)( x − 2)

0,25

=

x −3 x + 2
( x + 2)( x − 2)

0,25

=

( x − 1)( x − 2)

=
( x + 2)( x − 2)

Vậy B =

x −1
x +2

0,25

x −1
(ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4)
x +2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B (0,5 điểm)
+ Với ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4 ta có:

x +2≥2⇒0≤
Khi đó B =

3
3
3
3
≤ ⇒−
≥−
2
x +2 2
x +2

x −1
3
3 −1
= 1−
≥ 1− =
2 2
x +2
x +2

0,25

1
+ B = − ⇔ x + 2 = 2 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn ĐKXĐ)
2

+ Vậy minB = −

1
⇔ x=0
2

0,25
Bài 2

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

2,0

+ Gọi vận tốc riêng của ca nô khi nước yên lặng là x (km/h)

0,25

HDedu - Page 18


18
(ĐK: x > 2)
(sai không cho điểm)
=> Vận tốc của ca nô khi đi xuôi dòng và ngược dòng lần
lượt là: x + 2 (km/h) và x – 2 (km/h)

0,25

=> Thời gian của ca nô khi đi xuôi dòng và ngược dòng lần
80
80
lượt là:
(h);
( h)
x+2
x−2

0,25

+ HS lập luận do tổng thời gian là 9h30; thời gian nghỉ 30p,
nên thời gian đi thực tế là 9 (h), ta có phương trình:
80
80
+
=

9
x+2 x−2
+ Giải pt ra x1 =

0,5

−2
(loại) và x2 = 18 (t/m đk của ẩn)
9

+ Vậy vận tốc riêng của ca nô trong nước yên lặng là 18
(km/h)

0,5
0,25

Bài 3

2,0
a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = - 2 (1,0 điểm)
Với m = - 2 ta có (d): y = - 3x + 4
Khi đó ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)

 x1 = 1
là: x2 + 3x – 4 = 0 ⇒ 
 x2 = −4
Với x1 = 1 => y1 = 11 = 1 => giao điểm thứ nhất (1;1)
Với x1 = - 4 => y2 = (-4)2 = 16 => giao điểm thứ hai là

0,25

(-4;16)

Vậy khi m = - 2 thì tọa độ giao điểm của (d) và (P) là (1;1) và

0,25
0,25

(-4;16)
(Kết luận thiếu khi m = - 2 không cho điểm)
0,25
b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
(0,5 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x2

– (m – 1)x – 4 = 0 (*)
Ta có: ∆ = [ -(m – 1)2] – 4.1.(-4) = (m – 1)2 + 16
Do (m – 1)2 ≥ 0; 16 > 0 với mọi m => ∆ > 0 với mọi m
=> phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

0,25

HDedu - Page 19


19
=> (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m
(đpcm)

0,25

c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1;y1) và
B(x2;y2) sao cho y1 = y2 = y1.y2 (0,5 điểm)
Theo ý b) ta có A, B luôn tồn tại với mọi m
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = m – 1; x1.x2 = - 4
Do A, B ∈ (P) nên ta có: y1 = x12; y2 = x22

Khi đó: y1 + y2 = y1.y2  x12 + x22 = x12.x22  (x1 + x2)2 – 2x1.x2 =
(x1.x2)2

(m – 1)2 – 2(-4) = (-4)2

0,25

 (m – 1)2 = 8  m – 1 = ±2 2 ⇔ m =1 ± 2 2

0,25

Vậy m = 1 ± 2 2 là thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 4

3,5
a) Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn (1,0 điểm)
+ Do BE, CF là đường cao của ∆ABC (gt)
=>BE ⊥ AC, CF ⊥ AB

 Góc BEC = 900

0,25

Góc BFC = 900

0,25

(không lý giải trừ
0,25)
 E, F cùng thuộc
đường

tròn

0,25

đường kính BC
 Tứ giác BFEC là
tứ giác nội tiếp

0,25

(đpcm)
b) Chứng minh AE.AC = AF.AB (1,0 điểm)
Ta có BE ⊥ AC, CF ⊥ AB => góc AEB = AFC = 900

0,25

Xét ∆AEB và ∆AFC có: góc AEB = AFC; góc B1 = góc C1

0,25

Do BFEC là tứ giác nội tiếp => góc B1 = góc C1 (hệ quả góc
nội tiếp)

 ∆AEB đồng dạng ∆AFC (g.g)
AE AB

= ⇒ AE. AC =
AF . AB (đpcm)
AF AC

0,5

HDedu - Page 20


20
c) Chứng minh H, M, D thẳng hàng (1,0 điểm)
Do AD là đường kính của (O) (gt) => góc ACD = 900 (hệ quả
góc nội tiếp) => DC ⊥ AC

Lại có BE ⊥ AC (gt) => BE // DC => BH // DC (1)

0,25

Do M là trung điểm của BC => M là trung điểm của HD

0,25

Tương tự ta có: HC // BD (2)

0,25

Từ (1) và (2) => tứ giác BHCD là hình bình hành
 H, M, D thẳng hàng (đpcm)

0,25

d) Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp ∆AEF có bán kính
không đổi
+CM: AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH
 ∆AEF nội tiếp đường tròn có bán kính là

1
AH (3)
2

+ Do O, M lần lượt là trung điểm của AD và HD
 OM là đường trung bình của ∆AHD => OM =

1
AH
2

Do (O) và B, C cố định => O, M cố định => OM không đổi =>
1
AH không đổi (4)
2

0,25

Từ (3) và (4) => đường tròn ngoại tiếp ∆AEF có bán kính
không đổi (đpcm)
0,25
Bài 5

Ta có P = a + b +

6 24  3a 6   3b 24   a b 
+ =  + + + − + 
a b  2 a  2 b   2 2

Do a, b > 0 và a + b ≤ 6 => P ≥ 2

3a 6
3b 24 6
. +2
+
− =
15
2 a
2 b 2

(theo BĐT cô si)

0,25

 3a 6
2 =a

a = 2

 3b 24
Dấu “=” xảy ra ⇔  = ⇔ 
b
b = 4
2
a + b ≤ 6


 Min P = 15  a = 2 và b = 4
0,25
Ghi chú: Mọi cách làm khác đúng giám khảo tự quyết định cho điểm theo thang điểm tương ứng.

HDedu - Page 21


21
UBND QUẬN HOÀNG MAI

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN: TOÁN – LỚP 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 90 phút
Ngày kiểm tra: 12 tháng 4 năm 2019

Đề số 5
Bài 1 (2 điểm). Cho hai biểu thức A =

3
2 x +5
−
và B =
x −1
x −1

x
x −2

với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4
7) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 25
8) Rút gọn biểu thức A
9) Đặt P = A.B. Tìm tất cả các giá trị của x để

1
< x −2
P

Bài 2 (2 điểm). Giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Hưởng ứng phong trào tết trồng cây một chi đoàn thanh niên dự định trồng 80 cây
trong một thời gian nhất đinh. Do mỗi giờ chi đoàn trồng nhiều hơn dự định 5 cây nên đã
hoàn thành công việc trước dự định 12 phút và trồng thêm được 10 cây. Tính số cây mà
chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ.
Bài 3 (2 điểm).
1


3
 x + y −5 =

5) Giải hệ phương trình: 
2 x − 3 =
1

y −5

6) Cho phương trình x2 + mx – 2 = 0 (1) (với m là tham số)
c) Giải phương trình với m = 1
d) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
thỏa mãn x12x2 + x22x1 = 2019
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (AC > R).
Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với CA. Lấy điểm M trên đường tròn (O) sao cho AM
R
= . Tia BM cắt đường thẳng d tại điểm P. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là
2
N, tia PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q.
1) Chứng minh tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh NQ // PC
3) a) Tính thể tích của hình tạo thành khi quay tam giác MAB một vòng quanh AM
theo R

HDedu - Page 22


22
b) Gọi H là giao điểm của QN và AB. Gọi E là giao điểm của MB và QN, tia AE cắt

đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K.
Chứng minh AE.AK + BE.BM = 4R2.
4) Chứng minh rằng ba điểm B, N và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NEK thẳng
hàng.
Bài 5 (0,5 điểm). Tìm giá trị của m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ
nhất đó.
F = (2x + y + 1)2 + (4x + my + 5)2
---------------------HẾT-------------------

HDedu - Page 23


23
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN: TOÁN LỚP 9
Bài

Ý

Nội dung

Điểm

I

2đ
1
(0,5đ)

2

(1đ)

5 . Thay
x = 25 (TMĐK) ⇒ x =
Tính được B =

5
3

0,25đ

x = 5 vào B

Kết luận

0,25đ

A=

3( x + 1)
2 x +5
−
( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1)

0,25đ

A=

3( x + 1) − (2 x + 5)
( x − 1)( x + 1)

0,25đ

A=

3 x +3− 2 x −5
( x − 1)( x + 1)

0,25đ

x −2
x −1

A=
P=

0,25đ

x
1 x −1
⇒ = ĐK: x > 0; x ≠1; x ≠ 4
x −1
P
x

0,25đ

1
x −1
Có: < x − 2 ⇔

< x −2
P
x
3
(0,5đ)

⇔

x −1
2 x −1
− ( x − 2) < 0 ⇔
<0
x
x

⇔ 2 x − 1 < 0 (Vì

x > 0 với mọi x thỏa mãn ĐK)

0,25đ

1
⇔x<
4

Kết hợp điều kiện tìm được 0 < x <
II

1
và kết luận.

4

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

2đ

Gọi số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là x (cây) (ĐK: x
∈ N*)

Số cây chi đoàn trồng được trong mỗi giờ trên thực tế là x + 5 (cây)
Thời gian chi đoàn trồng xong số cây là

80
(h)
x

0,25đ
0,25đ
0,25đ

Số cây mà chi đoàn trồng được trong thực tế là 80 + 10 = 90 (cây)

0,25đ

HDedu - Page 24


24
Thời gian chi đoàn trồng xong số cây trong thực tế là

90
(h)
x+5

Do chi đoàn hoàn thành công việc trước dự định là 12 phút =

1
h nên
5

ta có phương trình:

0,25đ
80 90
1
−
=
x x+5 5

⇔ x 2 + 55 x − 2000 =
0

0,25đ

Tìm được x1 = 25 (Thỏa mãn điều kiện cảu ẩn); x2 = -80 (Loại)

0,25đ

Vậy số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là 25 cây

0,25đ

III

2đ

1
(1đ)

1

3
 x + y −5 =

ĐK: x ≥ 0; y ≠ 5

3
2 x −
=
1

y −5

0,25đ

2

 5
6  =
2 x + y=

−5

 y −5
⇔
⇔
3
2 x − =
1 2 x −


y −5

0,25đ

5
3
= 1
y −5

1
y −5 =

 y = 6
⇔
3

1 2 x = 4
2 x − y − 5 =


0,25đ

 x = 4(TM )
⇔
 y = 6(TM )

0,25đ

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (4;6)
a. Thay m = 1 vào phương trình (1) ta được: x2 + x – 2 = 0

0,25đ

Có a + b + c = 1 + 1 + (-2) = 0 => x1 = 1; x2 = - 2

0,25đ

Kết luận
2
(1đ)

b. x2 + mx – 2 = 0 (1)
Chứng minh ∆ = m2 + 8 > 0 với mọi m.
 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m.

0,25đ

−m
 x1 + x2 =
Theo định lí Vi – ét ta có: 

 x1 x2 = −2
x12x2 + x22x1 = 2019 x1x2(x1 + x2) = 2019

0,25đ

HDedu - Page 25