Đề thi thử toán 9 ngô gia tự 1920

PHÒNG GD&ĐT HAI BÀ TRƯNG

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG NĂM HỌC: 2019 - 2020

TRƯỜNG THCS NGÔ GIA TỰ

Môn: Toán 9
Thời gian: 120’ (không kể thời gian giao đề)

Bài 1.

(2,0 điểm). Cho hai biểu thức A 

x 2
2x  4
2
x  x 1


; B
với x  0 ,
x x 1 x  x 1
x 1
x 2

x  1, x  4 .
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x  9 .
2) Rút gọn biểu thức A .
3) Với x  , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K  A.B .
Bài 2.

(2,5 điểm).
1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc không đổi. Sau khi đi được một giờ với
vận tốc ấy, người đó dừng nghỉ 15 phút. Vì vậy, để đến B đúng thời gian dự định, người đó
phải tăng vận tốc thêm 10 km/h trên đoạn đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đó,
biết quãng đường AB dài 60km .
2) Nam muốn dán một lớp giấy màu lên mặt ngoài của chiếc mũ phù thủy. Biết phần nhô lên
của mũ là một hình nón có chiều cao 16cm , vành nón được giới hạn bởi hai đường tròn có bán
kính lần lượt là 12cm và 18cm . Tính diện tích giấy màu bạn Nam cần dùng?

Bài 3.

(2,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình:
 5
 x  1  3 y  2

 1  6 y  7
 x  1

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  d  : y  mx  m  2 và parabol  P  : y  x 2
a) Chứng minh với mọi giá trị của m , đường thẳng  d  luôn cắt parabol  P  : y  x 2 tại hai
điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 .
b) Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn
Bài 4.

2 2 x1 x2
   .
x1 x2 x2 x1

(3,0 điểm). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn  O  , kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn

 O  ( B; C

là các tiếp điểm). Kẻ cát tuyến AMN với đường tròn  O  ( M   O  ; N   O  ) sao

cho tia AM nằm trong góc AOB và AM  AN . Gọi H , I lần lượt là giao điểm của BC với
AO , MN .
1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh AB 2  AM . AN và HI là phân giác của góc MHN .
3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt BC tại P , AP cắt đường thẳng BN tại K .
Chứng minh N là trung điểm của đoạn thẳng BK .
Bài 5.

(1,0 điểm). Cho a,b là các số thực khác 0 và thỏa mãn a 2  b 2  b 2  a 2  2 . Tìm giá trị
1 1
nhỏ nhất của biểu thức P    a  b.
a b
Trang 1


Trang 2


HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.

(2,0 điểm).
Cho hai biểu thức A 

x 2
2x  4
2
x  x 1


; B
với x  0 , x  1 , x  4 .
x x 1 x  x 1
x 1
x 2

1) Tính giá trị của biểu thức B khi x  9 .
2) Rút gọn biểu thức A .
3) Với x  , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K  A.B .
Lời giải
1) Ta có x  9 thỏa mãn điều kiện xác định. Thay x  9 vào B ta được:
B

9  9 1 9  3 1

 13 .
3 2
9 2

2) Rút gọn biểu thức A .

A





x 2
2x  4
2


x x 1 x  x 1
x 1

2x  4

x x 1

  x  1 
 x  1  x  x  1 


2x  4  x  x  2  2x  2 x  2





x 2 .



x  x  1



 x  1 . x  x  1 x 



2. x  x  1





x 1 . x  x 1


x 1 . x  x 1

x x







x 1 . x  x  1

x
.
x 1

3) Với x  , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K  A.B .
x
x  x 1
x
2
.

.
 1
x  x 1
x 2
x 2
x 2
2
Đặt C 
x 2
0  x  4
+ Nếu x  2  0  x  2  
.
x  1
K  A.B 

Mà x  suy ra

2
2

hay K  1  2 . Dấu “=” xảy ra khi x  2 (1).
x 2

2 2

x 2  0  x  2  x  4.
2
2
Mà x  suy ra
hay K  5  2 5 . Dấu “=” xảy ra khi x  5 (2).

x 2
52
+ Nếu

Từ (1) và (2) suy ra giá trị lớn nhất của K bằng 5  2 5 khi x  5 .
Bài 2.

(2,5 điểm).
1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc không đổi. Sau khi đi được một giờ với
vận tốc ấy, người đó dừng nghỉ 15 phút. Vì vậy, để đến B đúng thời gian dự định, người đó
Trang 3


phải tăng vận tốc thêm 10 km/h trên đoạn đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đó,
biết quãng đường AB dài 60km .

Lời giải
Gọi vận tốc ban đầu của người đó là x km/h , x  0 .
Theo dự định, thời gian để người đó đi hết quãng đường AB là

60

(giờ).
x

Thực tế:
+ Quãng đường còn lại sau khi đi một giờ là 60  x  km  .
+ Thời gian người đó đi hết quãng đường còn lại là
Đổi 15 phút 

60  x
(giờ).
x  10

1
giờ.
4

Theo bài ra, ta có phương trình:
60 60  x 5


x
x  10 4

 240  x  10    60  x  .4 x  5 x.  x  10 
 x  30
 x 2  50 x  2400  0  
.
 x  80
Kết hợp với điều kiện, ta được vận tốc ban đầu của người đó là 30 km/h .
2) Nam muốn dán một lớp giấy màu lên mặt ngoài của chiếc mũ phù thủy. Biết phần nhô lên

của mũ là một hình nón có chiều cao 16cm , vành nón được giới hạn bởi hai đường tròn có bán
kính lần lượt là 12cm và 18cm . Tính diện tích giấy màu bạn Nam cần dùng?
Lời giải
Diện tích phần nhô lên là diện tích xung quanh của hình nón có r  12cm , h  16 cm .
Ta có đường sinh l  h 2  r 2  20 .
Diện tích xung quanh của hình nón là S xq   rl   .12.20  240  cm 2  .
Diện tích vành mũ là S1   182  12 2   180  cm 2  .
Vậy diện tích giấy cần để dán là S  S xq  S1  420  cm 2  .
Bài 3.

(2,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình :
 5
 x  1  3 y  2

 1  6 y  7
 x  1

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  d  : y  mx  m  2 và parabol  P  : y  x 2

Trang 4


a) Chứng minh với mọi giá trị của m , đường thẳng  d  luôn cắt parabol  P  : y  x 2 tại hai

điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 .
b) Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn

2 2 x1 x2
   .

x1 x2 x2 x1

Lời giải
1) Điều kiện xác định: x  1 .
 5
 x  1  3 y  2
Ta có: 
 1  6 y  7
 x  1
5

 3y  2

x 1

 5  30 y  35
 x  1

 33 y  33

 5
 x 1  3y  2

y  1


 5
 x 1  3y  2

 y  1


 5
 x 1  5

 y  1

 x  1  1
 y  1

 x2
Thấy x  2 thỏa mãn điều kiện xác định x  1 .
 x2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
.
 y  1
2) Xét phương trình hoành độ giao điểm parabol  P  và đường thẳng  d 

x2  mx  m  2
 x 2  mx  m  2  0 1
Ta có
  m2  4.  m  2 
 m 2  4m  8
2

  m  2   4  0 với mọi m

Suy ra phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m nên đường thẳng  d  luôn cắt
parabol ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 .
Trang 5

b)Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn

2 2 x1 x2
   .
x1 x2 x2 x1

Theo câu a phương trình 1 luôn có hai nghiệm với mọi m
Áp dụng định lý viet ta có:
x1  x2  m  2 
x1.x2  m  2  3
Với điều kiện x1.x2  0  m  2  0  m  2 * . Ta có:
2 2 x1 x2
  
x1 x2 x2 x1

 2  x1  x2   x12  x2 2
2

 2  x1  x2    x1  x2   2 x1 x2  4 

Thay  2  và  3 vào  4  ta được:

2m  m 2  2  m  2 
 m 2  4m  4  0
2

  m  2  0

 m  2 ( không thỏa mãn điều kiện * )

Vậy không có giá trị nào của m m thỏa mãn
Bài 4.

2 2 x1 x2
   .
x1 x2 x2 x1

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn  O  , kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn  O  ( B; C
là các tiếp điểm). Kẻ cát tuyến AMN với đường tròn  O  ( M   O  ; N   O  ) sao cho tia AM
nằm trong góc AOB và AM  AN . Gọi H , I lần lượt là giao điểm của BC với AO , MN .
1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh AB 2  AM . AN và HI là phân giác của góc MHN .
3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt BC tại P , AP cắt đường thẳng BN tại K .
Chứng minh N là trung điểm của đoạn thẳng BK .
Lời giải

1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
  90  90  180
ABO  ACO
Tứ giác ABOC có: 

 tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh AB 2  AM . AN và HI là phân giác của góc MHN .
Trang 6


Xét ABM và  ANB có:
 chung
BAN

)

 (cùng chắn BM
ABM  BNA
 ABM ∽ ANB  g.g 


AB AM

AN
AB

1

 AB 2  AM . AN

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABO với đường cao BH ta được:

AB 2  AH . AO

 2

Từ 1 và  2  suy ra: AM . AN  AH . AO hay

AM AH

AO AN

Xét AHM và ANO có:
 chung

OAN

AM AH

AO AN

 AHM ∽ ANN  c.g.c 

AHM  
ANO

 tứ giác MHON nội tiếp
  OMN
 (cùng chắn ON
)
 OHN
 ( OMN cân tại O )
Mà 
ANO  OMN



AHM  OHN
  90 ; OHN
  NHB
  90
Mặt khác: 
AHM  MHB
  NHB


 MHB

 HI là phân giác của góc MHN .
3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt BC tại P , AP cắt đường thẳng BN tại K .
Chứng minh N là trung điểm của đoạn thẳng BK .
Ta có: BN //MP 
Mà


BN IN

MP IM

IN
HN
)
( HI là tia phân giác của MHN

IM HM

BN HN

MP HM

Ta có: NK //MP 

 3
NK AN

MP AM

Mà AH  HI
 AH là tia phân giác ngoài của MHN tại đỉnh H
Trang 7




AN
HN

AM HM



NK HN

MP HM

 4

Từ  3  ;  4  

BN NK

MP MP

 BN  NK hay N là trung điểm của đoạn thẳng BK .

Bài 5.

(2,0 điểm ). Cho a,b là các số thực khác 0 và thỏa mãn a 2  b 2  b 2  a 2  2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

1 1
 a b
a b

Lời giải
Ta có: a 2  b2  b 2  a 2  2 , ( a,b  1 )

 a 2  b2  2  2  a 2
 a 2  2  b 2   4  4 b 2  a 2  b2  2  a 2 

 2a 2  a 2 b2  4  4b 2  a 2  2b 2  a 2 b 2
 2  a 2  2b 2  a 2  b 2  0




2  a2



2

 0  2  a 2  b (*)  b  0

Vì a, b có vai trò như nhau  a  0
Từ (*)  a 2  b 2  2

2

Mà a  b

2

a  b

2

2
2

  a  b   4  2  a  b  2

Do a, b  0  0  a  b  2
P

1 1
4
4
 ab 
 a  b   2  0
a b
ab
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  1 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

1 1
  a  b bằng 0 khi a  b  1 .
a b

Trang 8