SKKN về Toán 9: Phát triển tư duy, sáng tạo...

PGD Long Đất CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Tr THCS Phước Tỉnh Độc lập- Tự do- Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Ngưới viết: NGUYỄN VĂN THẾ
Chức vụ:
Giảng dạy: Toán 9 và đội tuyển HS giỏi Toán 9 năm học 2001-2002
ĐỀ TÀI:
PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH, KHẢ NĂNG KHÁI
QUÁT HÓA, TRỪU TƯỢNG HÓA VÀ BIẾN ĐỔI BÀI TẬP TÓAN
I- ĐẶT VẤN ĐỀ:
Toán học giữ vai trò then chốt trong công cuộc cách mạng về khoa học kỹ thuật; do
đó việc giải bài tập toán là khâu thực hành quan trọng để rèn luyện tư duy phát huy sáng
tạo, điều này rất cần thiết trong khoa học và công nghệ.
Vì vậy nếu dạy tóan trong trường phổ thông thiên về dạy kiến thức theo cách
truyền đạt và rèn luyện kỹ năng theo mẫu là một thiếu sót lớn bởi sau đó HS sẽ vận dụng
một cách máy móc kiến thức đã học. Cũng vì thế mà những năm gần đây Nhà nước ta đã
tổ chức học tập, nghiên cứu lý luận và thực hành đổi mới PPGD theo hướng lấy HS làm
trung tâm, thầy chủ đạo- trò chủ động. Do đó vấn đề phát triển năng lực tư duy, tính năng
động sáng tạo trong học tập của HS trở nên đặc biệt quan trọng. Nếu ở mỗi con người có
thể rèn luyện được những tập tính thói quen tốt thì cũng có thể rèn luyện ở mỗi HS thói
quen tự học và tư duy độc lập; nhất là biết phát huy sáng tạo; khả năng khái quát hóa, trừu
tượng hóa; biết giải bài toán tổng quát, nhìn bài toán theo cách biến thiên, biết cách biến
đổi đề bài toán, tránh được lối suy nghĩ vận dụng kiến thức một cách máy móc, sáo mòn,
thỏa mãn với một cách giải khuôn mẫu vốn thường phổ biến ở HS trong việc học và giải
bài tập toán.
II- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Để thực hiện được yêu cầu nêu trên thì người thầy ngoài các phương pháp sư phạm
phù hợp trong việc giải mỗi loại bài tập; còn phải tập cho HS hiểu vấn đề theo nhiều
hướng, giải bài tập theo nhiều cách và cách nào là tối ưu. Vấn đề không chỉ là giải được
bài tập toán mà còn giải theo cách nào thể hiện sự linh hoạt, sáng tạo. Đơn cử các ví dụ

minh hoạ cụ thể sau:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
Thông thường học sinh chú ý vế trái, lấy tử chia cho mẫu hay đúng hơn là trục căn thức ở
mẫu, làm như sau:
23
263
32231
−=
++
−+
23
23
323223
)267)(267(
)267)(12273766(
22636
12273766
)236)(236(
)236)(32231(
263
32231
−=
−
−
=
−+
−−−+
=
=
−++

−−+
=
−+++
−+−+
=
++
−+
(hai lần nhân tử và mẫu với lượng liên hiệp để trục căn thức ở mẫu)
Đây là cách giải vận dụng đúng theo lý thuyết về trục căn thức ở mẫu. Tuy nhiên
nếu muốn nhanh gọn mà làm theo cách như trên sẽ bị mất thời gian; GV gợi ý HS làm theo
cách 2:
Rõ ràng:
Nên
⇔
Chắc chắn HS sẽ thấy bất ngờ thú vị. GV cho các em tự giải (ở nhà) các bài tương
tự; yêu cầu làm theo hai cách:
Chứng minh rằng:
a)


b)
c)
Nếu dạy ở lớp những bài này GV nên gợi ý HS giải theo cách thứ ba chẳng hạn bài
a) chuyển thành bài chứng minh
:
rất dễ thấy cách giải
Bài c) được suy ra dễ dàng từ 2 bài a) và b) điều này cũng rèn HS tránh thói quen
máy móc mà phải biết vận dụng linh hoạt.
Ví dụ 2: So sánh với
Theo thói quen thông thường các em đem bình phương hai vế hòng làm mất dần đi

căn thức bậc hai. Để HS tự làm xem, làm việc một cách máy móc các em sẽ gặp khó khăn,
có khi bế tắc. GV gợi ý HS: Với hai số dương A và B ta có
Do đó thay vì so sánh với
ta đem so sánh
với
công việc là trục căn thức ở mẫu rồi suy ra kết quả; không có gì khó khăn.
Tới đây GV yêu cầu HS so sánh hai hiệu tương tự nào đấy; chẳng hạn so sánh
ACBC
B
A
=<=>= .
3223126326323)23)(236( −+=−−−++=−++
23
263
32231
−=
++
−+
13
23
533
+=
+
+
23
231
226335
+=
−+
−−+

231
226335
1
23
533
−+
−−+
=+
+
+
3
23
332
=
+
+
20022003 − 20012002 −
BA
BA
<<=>>
11
20022003 − 20012002 −
20022003
1
−
20012002
1
−
với
tạo tình huống cho các em dẫn ra bài toán khái quát:

Chứng minh (1) với
Các em dùng phương pháp nghịch đảo rồi trục căn thức ở mẫu như trên không có
gì khó khăn. Tuy nhiên GV cần lưu ý HS nhìn ra 2 căn thức đồng dạng, làm gọn rồi dùng
phương pháp bình phương hai vế:
(1) <=>
<=> (bình phương hai vế, ước lược)
<=> điều này đúng, vậy (1) đúng.
Bài tập tự giải: Học sinh phải biết khái quát hóa- giải bài toán tổng quát hoặc biến
đổi bài toán
a) So sánh với 20 ( không dùng phép khai căn)
Bài toán tổng quát: So sánh với ( n nguyên dương)
b) Chứng minh
Bài toán tổng quát:
Chứng minh:
Có thể cắt ra những bài toán nhỏ,ví dụ:
Chứng minh tổng: là một số nguyên
v.v…qua đó GV ra một câu đố giáo dục cái đẹp cho các em: Hãy tìm các số vô tỉ sao cho
tổng của chúng là một số nguyên.
Ví dụ 3: Qua một điểm E bên trong đường tròn tâm O bán kính R ta vẽ hai dây
cung vuông góc nhau AEB và CED. Chứng minh EA
2
+ EB
2
+ EC
2
+ ED
2
= 4R
2
9991000 − 998999 −

aaaa −+<+−+ 112
Ra ∈≤0
122 +<++ aaa
1)2( +<+ aaa
122
22
++<+ aaaa
10199 +
9
10099
1
......
43
1
32
1
21
1
=
+
++
+
+
+
+
+
11
1
1
......

43
1
32
1
21
1
−+=
++
++
+
+
+
+
+
n
nn
43
1
32
1
21
1
+
+
+
+
+
2++ nn 12 +n
A
B

C
D
F
E
O
(h.1)
A
C
B
D
O
E
(h.2) (h.3)
Chỉ cần vẽ một đường kính chẳng hạn AOF (=2R), lưu ý các góc ABF, ADF là những góc
vuông, BF song song với CD => BC = DF . Hai lần áp dụng định lý Pi- ta- go trong hai
tam giác vuông BEC và ADF ta suy ra kết quả. Bài toán vẫn không thay đổi nếu cho hai
dây cung AEB và CED vuông góc quay quanh điểm E bên trong đường tròn (O) (h.1).
GV hướng dẫn HS giải bài tóan trong trường hợp điểm E nằm bên ngoài đường
tròn (O), cách giải tương tự, kết quả vẫn không thay đổi.
Nếu một trong hai dây cung trên là đường kính, ví dụ CD là đường kính, qua A ta
vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròng tròn (O); ta có ngay một bài toán mới: chứng minh AD
và AC lần lượt là phân giác của 2 góc xAB và BAy (áp dụng hệ quả củađịnh lý “ Góc giữa
một tia tiếp tuyến và một dây cung”) (h.2).
Nếu ta cho một đường thẳng đi qua E và trung điểm G của AC thì được một bài
toán mới: chứng minh GE vuông góc với BD tại H. Đây là nội dung của định lý Prahma-
Gupta (h.3).
GV hướng dẫn HS chứng minh định lý này sau đó tập cho các em phát biểu định lý
theo cách khái quát “Nếu một tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc nhau thì đường
thẳng đi qua giao điểm hai đường chéo và trung điểm của một cạnh sẽ vuông góc với cạnh
đối diện”.

(h.4)
Biến đổi bài toán , nâng cao hơn một bước, bằng cách áp dụng định lý Prahma-
Gupta, GV có thể gợi ý HS chứng minh bài toán tổng quát sau “ CMR nếu một tứ giác nội
tiếp có hai đường chéo vuông góc nhau thì khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến
trung điểm một cạnh bằng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện”.
(chứng minh tứ giác OGEH là hình bình hành- hình 4).
Lại có thể biến đổi bài toán ban đầu theo cách khác:
Cho 2 dây cung AB và CD cắt nhau tại một điểm E bất kỳ bên trong đường tròn
(O). Chứng minh tích EA.EB = EC.ED = R
2
- OE
2
(Phương tích điểm E bên trong đường
tròn). (HD: gọi I là trung điểm của AB, dùng Đl Pi-ta-go và phân tích đoạn AB)
GV hướng dẫn HS chứng minh phương tích điểm E bên ngòai đường tròn (O):
B
D
O
A
C
G
H
E
B
A
y
C
D
F
O

x
E