Công thức hình học 11

Giao của hai mặt phẳng
Cách 1: Tìm hai điểm chung phân biệt:
 A   P  ; A   Q 
  P    Q   AB . Hai điểm

 B   P  ; B   Q 
chung thường tìm bằng cách kéo dài các cạnh nằm
trên cùng 1 mặt để tìm giao điểm của chúng:
Ví dụ  SAC    SBD   SO

Giao của đường thẳng – mặt phẳng
Cách 1: Để tìm giao d và  P  :

S

Q

d   Q 

 Q    P   a  d   P   B

a  d  B
Cách 2: Tìm trong mp  P  đường thẳng a

d
M

P
x

A

a

D

B

Mà a  d  B  d   P   B

O
B

C

Cách 2: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến nếu có sẽ
song song với hai đường thẳng đó.
a   P 

b   Q 
  P    Q   Sx / / a / / b .

a / / b
S   P  ; S  Q 


Ví dụ: Cho hình chóp S. ABC . Gọi I , H lần lượt là trung điểm của SA, AB . Trên SC
lấy điểm K sao cho IK không song song với AC ( K không trùng với các đầu mút).
Tìm giao điểm E của đường thẳng BC với mặt phẳng  IHK 

C

A
H
E
B

chứng minh E , N , J thẳng hàng.

A

J
A

P
M

M

N

I
P

Từ 1 ,  2 ,  3 ta có E , J , N là điểm chung của hai măt phẳng  MPI  và  ACD nên
chúng thẳng hàng. Vậy PI , NJ , CD đồng quy tại E

B
Q

E


C
 E  PI   MPI 
E  PI  CD  
1 .
I

 E  CD   ACD 

 N  MI   MPI 
 J  MP   MPI 
J  MP  AD  
 2 . và N  MI  AC  
 3 .


 J  AD   ACD 
 N  AC   ACD 

Trong mặt phẳng  SAC  , do IK không song

I

F

D

là điểm chung thứ nhất của  ABC  và  IHK  .

K

Ví dụ AB / /CD   SAB    MCD   Mx / / AB

Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy:
PP: Chỉ ra giao tuyến của hai đường thẳng nằm trên
đường thẳng thứ ba
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD . Lấy M , N , P lần lượt trên các
cạnh AB, AC , BD sao cho MN cắt BC tại I , MP cắt
AD tại J . Chứng minh PI , NJ , CD đồng quy.
HD: Trong mặt phẳng  BCD  , gọi E  PI  CD . Ta
B

Chọn mặt phẳng phụ  ABC  chứa BC .Ta có H

S

song với AC nên gọi F  IK  AC . Ta có
Suy ra F là điểm chung thứ hai của  ABC  và

 IHK  . Do đó  ABC    IHK   HF .
Trong mặt phẳng  ABC  , gọi E  HF  BC , mà
HF   IHK  . Vậy E  BC   IHK  .

Chứng minh các điểm thẳng hàng
PP: Ta chỉ ra các điểm đó cùng thuộc hai mặt
 A   P  ; A  Q 

B   P  ; B  Q 
phẳng: 

 A, B, C.... thẳng hàng.
C   P  ; C   Q 
........................
D

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là
N
trung điểm AB, CD . Mặt phẳng   qua MN

C

cắt AD và BC lần lượt tại P, Q . Biết MP cắt NQ tại I . Chứng minh ba điểm I , B, D
thẳng hàng.
Hướng dẫn
 I  MP 
 I   ABD 
Ta có MP cắt NQ tại I  
.

 I  NQ 
 I   CBD 
 I   ABD   CBD   BD  I  BD .Vậy I , B , D thẳng hàng.

HDedu - Page 1


Tìm thiết diện
PP: Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt khối đa diện là
tìm giao điểm của mặt phẳng đó với các mặt của khối đa
diện.

Ví dụ: Cho hình chóp S. ABCD . Gọi E , F là trọng tâm
của cáctam giác SBC , và SCD . M là trung điểm của SA
. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
Hướng dẫn
 MEF 

TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II
Véc tơ trong không gian – sự đồng phẳng
Quy tắc 3 điểm: AB  BC  AC
A'

D'

B'

D

Trong mặt phẳng  SBC  gọi H  SE  BC và trong mặt
phẳng  SCD  gọi N  SF  CD .

Quy tắc hình hộp: AB  AD  AA '  AC '
Nếu a , b cùng phương thì a  k . b

C'
A

B

C

Quy tắc hình bình hành: AB  AD  AC
Hiệu hai vecto: AB  AC  CB

Tích vô hướng của hai vecto: a.b  a . b .cos 
Nếu I là trung điểm AB : IA  IB  0 ; MA  MB  2MI

Trong mặt phẳng  ABCD  gọi I  AC  HN . Khi đó

I   SAC    SHN  .

Nếu G là trọng tâm tam giác thì: GA  GB  GC  0 ; MA  MB  MC  3MG

Trong mặt phẳng  SHN  gọi K  EF  SI . Khi đó K   MEF    SAC  .

Nếu G là trọng tâm tứ diện ABCD thì :

Trong mặt phẳng  SAC  gọi P  SK  SC . Khi đó P   MEF   SC
Trong mặt phẳng  SBC  gọi R  PE  SB . Khi đó R   MEF   SB .
Trong mặt phẳng  SCD  gọi Q  PF  SD . Khi đó Q   MEF   SD .

 MEF    SAB   MR

 MEF    SBC   RP
Dựa vào hình vẽ ta có 
 MEF    SCD   PQ
 MEF  SAD  MQ
 


Vậy thiết diện là hình tứ giác MRPQ

Chứng minh hai đường thẳng song song
a / / b

a / / b
Cách 1: 
Cách 2: a   P  ; b   Q   a / /b / / c (Hình 1)
 b / /c
a / / c

 P    Q   c
Cách 3: + Định lí giao tuyến của 3 mặt: 3 mặt phẳng cắt
nhau từng đôi một thì 3 giao tuyến song song hoặc trùng
a
nhau hoặc dùng tính chất trong hình học phẳng: Hai cạnh
P
đối của hình bình hành, ……, đường trung bình hoặc hệ
quả định lí Talet.
c
a / /  P  ; a / /  Q 
b
 a / /b (Hình 2)
Cách 4: 
Q
 P    Q   b
Hình 1

a / /  P  ; a   Q  ;
 a / /b (Hình 3)
Cách 5: 


 P    Q   b
Cách 6: Nếu  P  / / Q  ;     P   a;    Q   b  a / /b (Hình 4)

GA  GB  GC  GD  0 ; MA  MB  MC  MD  4MG
Nếu AB  k . AC thì với mọi điểm M ta có: MA 

MB  k .MC
1 k

Sự đồng phẳng của vecto: Ba vecto đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với
một mặt phẳng. Để chứng minh vecto đồng phẳng có các PP sau:
-

Ba vecto nằm trong 3 mặt phẳng song song thì đồng phẳng

-

Nếu một trong 3 vecto bằng 0 thì 3 vecto đồng phẳng

-

Nếu hai trong 3 vecto cùng phương thì 3 vecto đồng phẳng

-

3 vecto a, b, c đồng phẳng, ta chỉ ra a  m.b  n.c

Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta chỉ ra AB  k . AC

 k  0

a

P

P

P

a
b

b
Q

Hình 2

b

a
Q

Hình 3

α

Q

Hình 4

HDedu - Page 2

TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II
Chứng minh hai đường thẳng chép
nhau
Dùng phương pháp phản chứng :
Giả sử a, b không chéo nhau, suy ra
a, b cùng nằm trên một mặt phẳng.
Từ các điều kiện bài cho chỉ ra vô lí
Chứng minh hai đường thẳng
vuông góc
+ Sử dụng kiến thức cấp 2: Góc nội
tiếp, Pytago….

Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng

a / /b
Cách 1: 
 a / /  P  (Hình 1)
a   P  ; b   P 
a   Q 
Cách 2: 
 a / /  P  (Hình 2)
 Q  / /  P 
a  b

Cách 3: b   P   a / /  P  (Hình 3)

a   P 
a   Q 


Cách 4:  Q    P   a / /  P  (Hình 4)

a   Q 

a

a

Q

b
P

P

Hình 1

Hình 2

+ Chỉ ra góc giữa  a; b   900 .

a
Q

+ Chỉ ra tích vô hướng a.b  0
a / / c
+ Nếu 
ab
b  c

a

b

a   P 
+ Nếu 
 a  b.
b   P 

P
P

a / /  Q 

b / /  Q 
Cách 1: 
  P  / /  Q  (Hình 1)
a c¾t b
 a, b   P 

 P  / /  Q 
  P / /  R
Cách 2: 
 R  / /  Q 

Hình 4
Chứng minh hai mặt phẳng song song

a / /  P 

+ Nếu 
 a b.
b   P 
+ Sử dụng định lí 3 đường vuông
góc:
Nếu a  là hình chiếu của a lên  P 

Hình 3

a
b

P

mà b   P  ; b  a  b  a .

P

Q

 P   a
  P  / /  Q  (Hình 2)
Cách 3: 
 Q   a

Q
a

Hình 1

Hình 2
Đường thẳng vuông góc mặt phẳng

a  b; a  c

Cách 1: b, c   P   a   P  (Hình 1)
b c¾t c


 Q    P  ;  R    P 
 a   P  (Hình 2)
Cách 2: 
 Q    R   a
 P    Q  ;  P    Q   b
 a   P  (Hình 3)
Cách 3: 
a   Q  ; a  b

Q

R

c
b

a

Q

a

P
b

a

Hình 1

P

Hình 2

P

Hình 3

HDedu - Page 3


TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II
Đường thẳng vuông góc mặt phẳng


a / / b
Cách 4: 
 a   P  (Hình 4)

b   P 

a

b

a   Q 
Cách 5: 
 a   P  (Hình 5)
 Q  / /  P 

P

P

Hai mặt phẳng vuông góc
a


 P
Cách 1: 
 Q    P 
a   Q 
a   P 

Cách 2: b   Q    Q    P 
a  b


Cách 3: Chỉ ra góc giữa  P  và  Q  bằng 900

Q
a

Hình 4

Hình 5
Góc giữa hai đường thẳng a, b
Cách 1: Từ điểm O trên a kẻ đường

Q

a

thẳng c / / b . Khi đó  a; b    a; c   
(Hình 1)

a  c

Cách 2: b  d   a; b    c; d 
c c¾t d

(Hình 2)
* Để tính góc  ta thường sử dụng định lí
hàm số sin, cosin; tỉ số lượng giác góc
nhọn hoặc tích vô hướng

b

φ

P

b

Hình 1

c
d

φ

a

a

Q

b

a
c

Hình 1

Hình 2
P

Hình 2

Góc  giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng

Cách 1: a   P     90

a   P 

Cách 1: 
    a; b  (Hình 1)

b  Q

0

b

Cách 2: Nếu a không vuông góc với  P 
thì góc giữa a và  P  là góc giữa a và
hình chiếu a  của a lên  P 

P

a

P
φ

a
d

b

a

Q

Q

Hình 2
φ

Hình 1

 P  / /  Q 
  0
Cách 2: 
 P    Q 
 P    Q   d

Cách 3: a   P  ; a  d     a; b  (Hình 2)

b   Q  ; b  d

a'
P

HDedu - Page 4


TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II
Khoảng cách từ điểm A đến đường
thẳng d

+ Từ A kẻ AH  d tại H . Khi đó
khoảng cách là AH
+Chuyển về tính gián tiếp qua điểm khác
(Thường là chân đường vuông góc)
+ Sau đó để tính khoảng cách ta dùng
định lí hàm số sin, cosin, Pytago,
Talet….
Khoảng cách giữa đường thẳng a và
 P  với a / /  P 

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P 
S

cách là AH
+ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chứa đường cao:
Từ điểm đó dựng đoạn vuông góc với cạnh đối diện.

H
A

K

A

D

d  C;  SAD    CK
Ví dụ: SA   ABCD   
(Hình 1)
d  C;  SAB    CH

D

H

M

Là khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên a
đến  P  :

+ Nếu điểm cần tính khoảng cách là chân đường vuông

B

góc : Từ chân đường vuông góc ta kẻ vuông góc với

C

B

Hình 2


a / /  P 
 d  a;  P    d  A;  P  


A a
A

Phương pháp: Từ A kẻ AH   P  . Khi đó khoảng

S

Hình 1

cạnh đối diện tại M , kẻ AH  SM  khoảng cách là

S

AH (Hình 2)
+ Ngoài ra có thể đưa về tính khoảng cách qua các điểm

a

gián tiếp,
Ví dụ: SA   ABCD  và

A

D

d  B;  SCD    d  A;  SCD  

(Hình 3)
AB / /CD  
1
d  O;  SCD    d  A;  SCD  

2

O

P

B

C

Hình 3
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách hai mặt phẳng xong song
Là khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia

 P  / /  Q 
 d   P  ;  Q    d  O;  Q  


O   P 

S

A

b
P

A

O
P

D

b
a'

B

O
B

P
C

Hình 1

Q

a

c

A

B

a

c

Hình 2

Hình 3
Cách 1: Dùng đường vuông góc chung: Là đường thẳng vuông góc với a, b cắt a, b tại A, B . Khi đó khoảng cách giữa d  a; b   AB .
Ví dụ SA   ABCD  với ABCD là hình thoi, thì d  SA; BD   SO (Hình 1)
Cách 2: + Dựng  P  chứa b và  P  / / a , dựng a  là hình chiếu của a lên  P  , dựng B  b  a  , qua B dựng c   P  , c  a  A
(Hình 2)
Cách 3: Nếu a chéo nhau b và a  b
+ Qua b dựng  P   a , Tìm A  a   P  , trong  P  dựng c qua A và c  b tại B (Hình 3)

HDedu - Page 5


TỔNG HỢP KIẾN THỨC HÌNH HỌC 11 – HỌC KÌ II
Các công thức hay dùng trong tam giác
a
a
b
c
Định lí hàm số sin:


 2 R hay a  2 R.sin A hay sin A 
2R
sin A sin B sin C
Định lí hàm số cos:
a 2  b 2  c 2  2bc.cos A;

b 2  a 2  c 2  2ac.cos B;

c 2  a 2  b 2  2ab.cos C

A

b2  c2  a 2
Hoặc cos A 
. Nếu góc A nhọn thì cos A  0 , tù thì cos A  0
2bc
Công thức trung tuyến: ma2 

b2  c 2 a 2
 ;
2
4

mb2 

a 2  c 2 b2
 ;
2
4

mc2 

b

a 2  b2 c 2


2
4

c
ha

Và AB 2  AC 2  2 BC.MH ( với M là trung điểm BC , H là chân đường cao)
Phân giác trong: la 
Diện tích: SABC 

2bc.cos
bc

A
2;

lb 

2ac.cos
ac

B
2;

lc 

2ab.cos
ab

C
2

B

H

ma

M

C

a

1
1
1
1
1
1
a.ha  b.hb  c.hc  ab.sin C  ac.sin B  bc.sin A
2
2
2
2
2
2

SABC  p.r   p  a  .ra   p  b  .rb   p  c  .rc 

abc

4R

p  p  a  p  b  p  c 

Hệ thức lượng hay dùng trong tam giác vuông
+ ABC vuông tại A, đường cao AH , kẻ HF  AC; HE  AB :
* AB 2  AC 2  BC 2 ; AH 2  BH .CH

* AB 2  BH .BC ; AC 2  CH .BC
*

1
1
1


; AB. AC  AH .BC
2
2
AH
AB
AC 2

*S 

* CF . HB  EB. HC  AH . BC
* sin C 

AB
BC

cos C 

AC
BC

*

tan C 

3

1
1
AB. AC  AH .BC
2
2

C
F

H

BE 2  3 CF 2  3 BC 2

AB
AC

A

E

B

HDedu - Page 6