TOAN 11 LE HONG PHONG DEDA thanh le

Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
Họ và tên học sinh:………………………….
Số báo danh: ………………………………..

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
Môn: Toán – Lớp 11 – Tự luận
Thời gian làm bài: 90 phút (8 câu)
Ban: A – B.
Học sinh viết câu này vào giấy làm bài: “Đề thi dành cho các lớp 11CT, 11CL, 11CH,
11CS, 11CTi, 11A, 11B”
2 x2 − 5 x + 3
lim 3
.
x →1 2 x − 7 x 2 + 5
Câu 1: (1 điểm) Tính
m
Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
 x2 + x + 7 − 2 x2 − 1

(khi x > 1)
f ( x) = 
x2 − 1
m
(khi x ≤ 1)


Câu 3: (1 điểm) Chứng minh phương trình
m.
nghiệm với mọi tham số

(x

2

liên tục trên

¡

.

x 4 + x 3 + mx 2 + x ( 2m − 1) + m sin ( π x ) = 1

− 5x + 2)

Câu 4: (1 điểm) Giải bất phương trình

(

có

)

x 2 + 3 x − 2 ≥ 0.

Câu 5: (1 điểm) Tính đạo hàm các hàm số sau:

a.

x 2 − 3x + 1
f ( x) =

.
x −1

b.

f ( x ) = sin x + x 2 .

Câu 6: (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
d : y = 9 x + 7.
tuyến song song đường thẳng

y=
Câu 7: (1 điểm) Cho hàm số
a.

2 x 3 y′ − y 3 ( x + 2 ) = 0.

x
x +1

y = x3 − 3x 2 + 2

. Chứng minh:
b.

2 x 3 y′′ + 3 y′ ( x 2 − y 2 ) − y 3 = 0.

biết tiếp

Câu 8: (3 điểm) Cho hình chóp
SAB

đều cạnh
AB.
trung điểm

a

S . ABCD

MD

là hình chữ nhật. Biết tam giác

AD = a 2.

Gọi

H

là

SH ⊥ ( ABCD ) .

b. Tính góc giữa đường thẳng
c. Gọi

ABCD

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy,

a. Chứng minh

M

có đáy

là trung điểm của

SC

SC

và mặt phẳng

( ABCD ) .

. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng

HC

và

.
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Câu
1

Nội dung

Điểm
1

2 x − 5x + 3
x →1 2 x 3 − 7 x 2 + 5
2

lim

Tính
.
2
2 x − 5x + 3
lim 3
x →1 2 x − 7 x 2 + 5
( x − 1) ( 2 x − 3)
= lim
x →1 x − 1 2 x 2 − 5 x − 5
(
)(
)

0.5

Chú ý: nếu chỉ đúng tử số hay mẫu số thì cho 0.25
2x − 3
= lim 2
x →1 2 x − 5 x − 5

=

0.25
0.25

1
8

2
m
Định
để hàm số
¡
trên .

 x2 + x + 7 − 2x2 − 1

(khi x > 1)
f ( x) = 
x2 − 1
m
(khi x ≤ 1)


f (1) = m

1

liên tục
0.25

lim− f ( x) = lim− m = m
x →1

x →1

lim+ f ( x) = lim+

x →1

x →1

x2 + x + 7 − 2x2 − 1
x2 −1

0.25


x 2 + x + 7 − 3 − (2 x 2 − 2)
x2 −1

x2 + x − 2
÷
2
x + x + 7 + 3 − 2÷
÷
x2 −1
÷


= lim+
x →1



= lim+ 
x →1 



= lim+ 
x →1



= lim+ 
x →1



(


− 2÷
÷
2
2
x + x + 7 + 3 ( x − 1)
÷


(


7
− 2÷
=
−
÷
4
x 2 + x + 7 + 3 ( x + 1)
÷


( x − 1)( x + 2)

)

( x + 2)

f ( x ) = m ∀x ∈ ( −∞;1)

nên

f ( x)

liên tục tại mọi

x2 + x + 7 − 2 x2 −1
∀x ∈ ( 1; +∞ )

x2 −1

f ( x) =
f ( x)

)

liên tục trên

¡

khi và chỉ khi

⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (1)
x →1

nên
f ( x)

f ( x)

x0 ∈ ( −∞;1)

0.25
.

liên tục tại mọi

liên tục tại

x =1

x0 ∈ ( 1; +∞ )

.
0.25

.

x →1

⇔m=−

7
4

Nếu học sinh không lập luận ý liên tục trên 2 khoảng
mà làm đúng liên tục tại
3

x =1

( −∞;1)

và

( 1; +∞ )

thì cho tối đa 0.75
x + x3 + mx 2 + x ( 2m − 1) + m sin ( π x ) = 1

1

4

Chứng minh phương trình
m
nghiệm với mọi .
Cách 1:
x 4 + x 3 + mx 2 + x ( 2m − 1) + m sin ( π x ) = 1

có
0.25

⇔ x 4 + x3 − x − 1 + m ( x 2 + sin π x + 2 x ) = 0

Đặt

f ( x ) = x 4 + x3 − x − 1 + m ( x 2 + sin π x + 2 x )

Ta có:

f ( x)

f ( 1) = 3m
f ( −1) = −m

liên tục trên

¡

0.25
;

.
0.25


⇒ f ( 1) f ( −1) = −3m 2 ≤ 0

0.25

Suy ra phương trình luôn có nghiệm.
Cách 2:
x 4 + x 3 + mx 2 + x ( 2m − 1) + m sin ( π x ) = 1

0.25

f ( x ) = x 4 + x3 − x − 1 + m ( x 2 + sin π x + 2 x )

0.25

⇔ x 4 + x3 − x − 1 + m ( x 2 + sin π x + 2 x ) = 0

Đặt

Ta có:

f ( x)

f ( 0 ) = −1

liên tục trên

¡

;

.
0.25

f ( −2 ) = 9
⇒ f ( 0 ) f ( −2 ) = − 9 < 0

0.25

Suy ra phương trình luôn có nghiệm.

(x

4
Giải bất phương trình
Cách 1:
f ( x ) = ( x 2 − 3x + 2 )

Đặt
Tập xác định:
f ( x)

(

2

− 3x + 2 )

x 2 + 3x − 2

liên tục trên

và

.

.
0.25

Bảng xét dấu:

Kết luận:
Cách 2:

(x

2

0.25

x ≤ −4 ∨ x ≥ 2 ∨ x = 1

− 3x + 2 )

(

.
0.25

[ 0; +∞ )

f ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = −4

1

x 2 + 3x − 2 ≥ 0

)

D = ( −∞; −3] ∪ [ 0; +∞ )

( −∞; −3]

)

(

.

)

x 2 + 3x − 2 ≥ 0

 x 2 − 3x + 2 ≥ 0
 x 2 − 3x + 2 ≤ 0
⇔
∨
2
2
 x + 3x − 2 ≥ 0  x + 3x − 2 ≤ 0

0.25
0.25


5a

x ≤ 1∨ x ≥ 2
1 ≤ x ≤ 2
⇔
∨
 x ≤ −4 ∨ x ≥ 1 −4 ≤ x ≤ −3 ∨ 0 ≤ x ≤ 1

0.5

⇔ x ≤ −4 ∨ x = 1 ∨ x ≥ 2

0.25

Học sinh giải đúng mỗi hệ cho 0,25, giao nghiệm được 0,25
Học sinh giải đúng 2 bất phương trình bậc 2 cho thêm 0,25 (tổng điểm
là 0.5)
Tính đạo hàm các hàm số sau:

x 2 − 3x + 1
f ( x) =
x −1
a.
.

0.5

f ′( x) =

0.5

x2 − 2x + 2

( x − 1)

2

Chú ý: học sinh không cần thu gọn vẫn cho đủ điểm
5b
b.

f ( x ) = sin x + x 2

0.5

cos x + 2 x

0.5

f ′( x) =

2 sin x + x

2

6
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
d : y = 9 x + 7.
tuyến song song đường thẳng
Ta có:
Gọi

x0

y = x3 − 3x2 + 2

1
biết tiếp

y′ = 3x 2 − 6 x

0.25
0.25

là hoành độ tiếp điểm,

Tiếp tuyến song song

d ⇒ y ′ ( x0 ) = 9

Chú ý: nếu học sinh ghi dấu “

⇔

” thì tha không trừ điểm ở đây
0.25

⇒ 3 x − 6 x0 = 9 ⇒ x0 = −1 ∨ x0 = 3
2
0

x0 = −1



: Phương trình tiếp tuyến là:

x0 = 3

y = 9x + 7

(loại).

0.25

y = 9 x − 25

: Phương trình tiếp tuyến là:
(nhận).

Chú ý: nếu học sinh không loại thì tối đa là 0.75
x
y=
2 x 3 y′ − y 3 ( x + 2 ) = 0
x +1
Cho hàm số
. Chứng minh:
.


7.a

y′ =

1
x+2
2 x +1 =
x +1
2 ( x + 1) x + 1

0.5

0.25

x +1 − x

;


2 x 3 y′ − y 3 ( x + 2 ) = 2 x3

x+2
x3
−
( x + 2) = 0
2 ( x + 1) x + 1 ( x + 1) x + 1

2 x 3 y′′ + 3 y′ ( x 2 − y 2 ) − y 3 = 0.

7.b

0.25
0.5

Chứng minh:
2 x 3 y′ − y 3 ( x + 2 ) = 0

0.25

⇒ 6 x 2 y′ + 2 x3 y′′ − 3 y 2 y′ ( x + 2 ) − y 3 = 0
y′′

Chú ý: Nếu học sinh tính tiếp
và đúng thì cho 0.25
3
2
2
⇒ 2 x y′′ + 3 y′ ( 2 x − y ( x + 2 ) ) − y 3 = 0

0.25

⇒ 2 x 3 y′′ + 3 y′ ( 2 x 2 − y 2 ( x + 1) − y 2 ) − y 3 = 0
⇒ 2 x 3 y′′ + 3 y′ ( 2 x 2 − x 2 − y 2 ) − y 3 = 0
⇒ 2 x 3 y′′ + 3 y′ ( x 2 − y 2 ) − y 3 = 0

8a.

S . ABCD
ABCD
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật. Biết tam giác
SAB
a
đều cạnh
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy,
SH ⊥ ( ABCD ) .
AD = a 2.
AB.
H
Gọi
là trung điểm
Chứng minh
∆SAB

Ta có:

đều

⇒ SH ⊥ AB

1

0.5

( SAB ) ⊥ ( ABCD )

( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB
⇒ SH ⊥ ( ABCD )

SH
⊥
AB

 SH ⊂ ( SAB )


8b.
Tính góc giữa đường thẳng

SC

0.5

.

và mặt phẳng

( ABCD ) .

1
0.25

Ta có:

(

HC

là hình chiếu của

) (

)

SC

lên

· , ( ABCD ) = SC
· ; HC = SCH
·
⇒ SC

(vì

( ABCD )
·
SCH
< 90o

).


HC = BH 2 + BC 2 =

Ta có:
SH =

Gọi
HC

0.25

a 3
2

·
tan SCH
=

8c.

0.25

3a
2

SH
1

=
·
HC
3 ⇒ SCH
= 30o

M

là trung điểm của
MD
và
.

SC

0.25
.

. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng

1

0.25

Dựng
Dựng
Ta có:

DF / / CH

ME / / SH

,
,

F ∈ AB
E ∈ CH

CH / / ( MDF )

,

.

MD ⊂ ( MDF )

.

⇒ d ( MD, CH ) = d ( CH , ( MDF ) ) = d ( E ; ( MDF ) )

.
Chú ý: Học sinh dựng mặt phẳng và chuyển khoảng cách giữa 2
đường thẳng thành khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cho 0.25.
Dựng

EG ⊥ FD

tại

G

,

EK ⊥ MG

tại

K

.

0.25


Ta có:
Ta có:

DF ⊥ EG

,

DF ⊥ ME ⇒ DF ⊥ ( MEG ) ⇒ DF ⊥ EK

EK ⊥ DF , EK ⊥ MG ⇒ EK ⊥ ( MDF )

⇒ d ( E; ( MDF ) ) = EK

Chú ý: Học sinh dựng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cho 0.25.
FD = CH =

Ta có:
⇒ EG =

Ta có:

3a
2

,

SCDFH = S ABCD = a 2 2

0.25

SCDFH 2 2a
=
DF
3

1
1
1
9
16
155
=
+
= 2+ 2 =
2
2

2
EK
EG
EM
8a 3a
24a 2

⇒ d ( MD, CH ) = EK = a

24
155

.

0.25