toan11 macdinhchi de bui tri hiep

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP. HCM
TRƯỜNG THPT MẠC ĐĨNH CHI

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN TOÁN – KHỐI LỚP 11 (từ 11A2 đến 11A24)
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1(2điểm). Tính các giới hạn sau:



a. xlim
��



x2  x  1  x .

b. xlim
�2

� x2  7  4
�
Bài 2(1điểm). Cho hàm số f ( x )  � x  3
�
m 1
�

2 x3  4 x 2  x  2
.
x2

khi x �3
khi x  3

Tìm m để hàm số f ( x) liên tục tại x  3 .
Bài 3(0.5điểm).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x8  2 x 4 . x  1  x  10 trên tập xác định của nó.
Bài 4(2điểm).
a. Cho hàm số f ( x) 

3 x 2
. Chứng minh rằng f '( x )  0 x  0 .
x 1

b. Tìm đạo hàm hàm số y  cos3x.sin 2 x .
Bài 5(1điểm). Cho hàm số y  x3  2 x 2  x  1 có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1.
Bài 6(3.5điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a .
a 15
Gọi H , K lần lượt là trung điểm AB, BC . Biết SH  ( ABCD ) và SH 
.
2
a. Chứng minh: BC  ( SAB ) .
b. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) .
c. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) .
d. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và ( SOK ) .

HẾT


ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2018 – 2019

MÔN TOÁN – LỚP 11
Bài 1a
(1đ)

Bài 1b
(1đ)



Tính xlim
��

( x  2)(2 x 2  1)
 lim   2 x 2  1  9 .
x �2
  x  2

� x2  7  4
�
Cho hàm số f ( x )  � x  3
�
m 1
�

khi x �3

0.25+0.25
0.25+0.25

. Tìm m để hàm số liên tục tại x  3 .

khi x  3

x2  7  4
x2  9
lim f ( x)  lim
 lim
x �3
x �3
x �1
x 3
( x  3) x 2  7  4



x3

 lim

x 7 4
f (3)  m  1
2

x �3

0.25
0.25

x�3

(0.5đ)



3
4



Hàm số liên tục tại x  3 � lim f ( x )  f (3) �
Bài 3

0.25+0.25
0.25+0.25

2 x3  4 x 2  x  2
x2

Tính xlim
�2
x�2

(1đ)



� 1�
1
x�
1  �

1 
x 1
1
� x �  lim
x
 lim
 lim

x ��
�x��
2 .
1 1
x 2  x  1  x x�� � 1 1
1  2 1
x � 1   2  1�
x x
� x x
�

 lim
Bài 2

x2  x  1  x

3
7
 m 1 � m  .
4
4

0.25+0.25

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x8  2 x 4 . x  1  x  10 trên TXĐ của nó.
f ( x)  x8  2 x 4 . x  1  x  10 có TXĐ: D   1; �





2

f ( x)  x 4  x  1  9 �9, x �D

0.25

Xét hàm số g ( x)  x 4  x  1 có TXĐ: D   1; �

Ta có g (1)  1  0 , g (0)  1  0 và hàm số g ( x) liên tục trên đoạn  1;0
Suy ra pt g ( x)  0 có ít nhất 1 nghiệm x1 �( 1;0)
Do đó GTNN của hàm số f ( x) bằng 9.
Bài 4
(2đ)

a. Cho hàm số f ( x) 

3 x 2
. Chứng minh rằng f '( x )  0 x  0 .
x 1

b. Tìm đạo hàm hàm số y  cos3 x.sin 2 x .

0.25


a. f '( x ) 

3
3

f '( x )  2
f '( x ) 

2 x



x 2 '


x


 

x 1  3 x  2

 





x 1

x 1  3 x  2



1



x 1



x 1
2





x 1 '

2

 21x

0.25

2

0.25+0.25

 0, x  0 (đpcm)

0.25

2
2
b. y '   cos3x  '.sin x  cos3 x.  sin x  '

y '   3sin 3 x  .sin 2 x  cos 3 x. �
2sin x.  sin x  ' �
�
�
y '   3sin 3 x  .sin 2 x  cos 3 x. 2sin x.cos x 

0.25
0.25+0.25

. y '  3sin 3 x.sin 2 x  cos3 x.sin 2 x

0.25
Bài 5

Cho hàm số y  x 3  2 x 2  x  1 có đồ thị (C).

(1đ)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1.
y '  3x 2  4 x  1
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm

0.25

3
2
Ta có y0  1 � x0  2 x0  x0  1  1 � x0  2
f '(2)  5
PT tiếp tuyến: y  5( x  2)  1 � y  5 x  9 .

0.25
0.25
0.25

Bài 6

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a .

(3,5đ)

a 15
Gọi H , K lần lượt là trung điểm AB, BC . Biết SH  ( ABCD ) và SH 
.
2
S

N

A

I
D
O

H
B

K

M
C


Bài 6a

Chứng minh: BC  ( SAB ) .

(1đ)

�BC  AB
�
�BC  SH (do SH  ( ABCD ))
� BC  ( SAB ) .

Bài 6b

Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) .

(1đ)

Do SH  ( ABCD ) nên hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng ( ABCD) là HC
�  SC ,( ABCD)   ( SC , HC )
�  SH 
SH  ( ABCD) � SH  HC � tan SCH
HC

0,25
0,5
0,25

a 15
2
 3
a2
2
a 
4

�  60�.
�  SC ,( ABCD)   SCH
Bài 6c

Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) .

(0.75đ)

Do AH // CD � AH//(SCD) � d(A,(SCD))=d(H,(SCD))

Ta có SH  CD
Vẽ HM  CD ( M �CD )
Suy ra CD  ( SHM ) � ( SCD)  ( SHM )
Mà ( SCD) �(SHM )  SM , vẽ HN  SM ( N �SM )
Suy ra HN  ( SCD) � d(H,(CSD))=HN
Ta có SH  HM �

Bài 6d

0.25
0,25

0,25

0,25

1
1
1
4
1
19
a 15



 2
2
2
2

2
2 � HN 
HN
SH
HM
15a a 15a
19

a 15
.
19
Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC ) và ( SOK ) .
Vậy d(A,(SCD))=

0.5

0.25


(0.75đ)

(SBC ) �(SOK)=SK
�BO  HK
� BO  ( SHK ) � BO  SK
Ta có �
�BO  SH
Vẽ BI  SK ( I �SK )
Suy ra SK  ( BIO) � OI  SK
Do đó  (SBC ),(SOK) =  BI,OI 
� 

cos BIO

0,25

0,25

BI 2  OI 2  BO 2
2 BI .OI

1
1
1
1
4
17
2a


 2  2  2 � BI 
2
2
2
BI
BS
BK
4a a
4a
17
2a
Chứng minh hoặc tính OI  BI 

17
2
8a a 2

1 �
� �17
 2 2
BIO 93,58 � ( SBC ),(SOK) 86, 42 .
Ta được cos BIO
8a
16
17
BC  ( SAB) � BC  SB �

0.25