Chuyên Đề Cực Trị Của HS

CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
DẠNG 1: CHỨNG MINH HÀM SỐ LUÔN CÓ CỰC TRỊ .
Cách giải :
• Bước 1: Tìm tập xác đònh .
• Bước 2: Tình đạo hàm y’ .
• Bước 3: Chứng minh pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt , ta đi chứng minh y’=0 có
∆
>0 hoặc
'∆
>0 .
Chú ý : Cách xét dấu tam thức f(x)=
2
( 0)ax bx c a+ + ≠
. Tính
∆
, tìm nghiệm .
• Nếu
∆
>0 thì lập bảng xét dấu .
• Nếu
∆
=0 thì tam thức cùng dấu với a với mọi x
2
b
a
≠ −
.
• Nếu
∆
<0 thì tam thức cùng dấu với a .
Bài 1: Chohàm số y=

3 2 2 3
3 3( 1)x mx m x m− + − −
, với m là tham số .
Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m .
Bài 2: Chohàm số y=
( )
3
2 2 2
1 ( 1)
3
x
mx m x m− + − + −
, với m là tham số .
Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m .
Bài 3: Cho hàm số y=
3 2 2
(2 1) ( 2)x a x a x a− − + − +
, với m là tham số .
Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi a .
Bài 4: Chứng minh hàm số y=
2 2 4
( 1) ( 1)x m m x m
x m
+ − − −
−
, với m là tham số .Chứng minh rằng hàm số
luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m .
Chú ý : Nếu bài toán yêu cầu tìm điểm cực đại và cực tiểu thì lấy đạo hàm tử và mầu rồi thể x
vào tính y
Bài 5: Cho hàm số y=

2 2
2 2( 1)x ax a a
x a
− − − − +
−
, với m là tham số .
Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi a .
DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU .
Cách giải :
• Bước 1: Tìm tập xác đònh .
• Bước 2: Tình đạo hàm y’ . Cho y’=0 .
• Bước 3: Để hàm số có cực đại và cực tiểu
⇔
pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt

⇔

∆
>0 hoặc
'∆
>0 .
Chú ý:
• Nếu
∆
là bất phương trình bật nhất , ta giải trực tiếp .Rồi kết luận .
• Nếu
∆
là tam thức bậc hai f(x)=
2
( 0)ax bx c a+ + ≠

• Trường hợp 1: Nếu
∆
<0 thì y’ cùng dấu với a .
• Trường hợp 2: Nếu
∆
=0 thì tam thức cùng dấu với a với mọi x
2
b
a
≠ −
.
1
• Trường hợp 3: Nếu
∆
>0 thì lập bảng xét dấu .
Bài 1: Tìm m để hàm số y=
3 2
2 1x x mx− + −
có cực đại và cực tiểu . ĐS : m<4/3 .
Bài 2: Tìm m để hàm số y=
3 2
3 3 1x x mx m− + + −
có cực đại và cực tiểu .ĐS : m<1 .
Bài 3: Tìm m để hàm số y=
3 2
1
( 3) 2
3
m x x mx m+ − + +
có cực đại và cực tiểu . Chia làm 2 trường hợp :

a=0 và a
≠
0 .
Bài 4: Tìm m để hàm số y=
2
2
1
x mx
x
− +
+
có cực đại và cực tiểu . ĐS : m>-3 .
Bài 5: Tìm m để hàm số y=
2
3 2 1
1
mx mx m
x
+ + +
−
có cực đại và cực tiểu .ĐS :
1
0
6
m m< − ∨ >
.
Bài 6: Tìm m để hàm số y=
1
1
m

x
x
+ +
−
có cực đại và cực tiểu . ĐS : m>0 .
DẠNG 3: XÁC ĐINH THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI x
0
.
Cách giải :
Bước 1: Tìm tập xác đònh
Bước 2: Tính đạo hàm y’ .
Bước 3: Để hàm số đạt cực trò tại x
0

⇔
y’(x
0
)=0 .
Bước 4: Thế m vừa tìm được vào hàm số thử lại , so sánh với giả thiết rối kết luận
.
Bài 1: Tìm m để hàm số y=
3 2
(2 1) ( 5) 1x m x m x− − − + − +
đạt cực đại tại x=1 . ĐS: m=2 .
Bài 2:Tìm m để hàm số y=
3
2 2 2
( 2) (3 1)
3
x

m m x m x m+ − + + + +
đạt cực đại (hoặc cực tiểu )tại x=-2 . ĐS:
Với m=3 thì hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 . Chú ý : Có 2 giá trò m nên ta thử lại 2 lần .
Bài 3: Tìm m để hàm số y=
2
2
1
x mx
x
+ +
−
.
a/ Đạt cực tiểu tại x= 2 .ĐS : Với m=2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x=2 .
b/ Đạt cực đại tại x=3 . ĐS : Không có m để hàm số đạt cực đại tại x=3 .
Bài 4:Tìm m để hàm số y=
2
1x mx
x m
+ +
+
đạt cực đại tại x=2 . ĐS : m=-3 hàm số đạt CĐ tại x=2 .
Chú ý : Nếu bài toán có hai tham số và thêm giả thiết giá trò cực trò y=y
0
thì ta áp dụng thêm
y
0
=f(x
0
) .
Bài 5:Tìm a , b để hàm số y=

2
2 ( 1) 2x a x bx
x b
− + +
−
qua một cực đại (hoặc cực tiểu) bằng 7 khi x=3 .
Hướng dẫn :
• Thuận : Để hàm số qua một cực đại (hoặc CT) bằng 7 khi x=3
⇔
'(3) 0 4
(3) 7 2
f a
f b
= =
 
⇒
 
= =
 

• Đảo (thử lại) : với a=4 ,b=2 .Thế vào hàm số , tính đạo hàm ,tìm nghiệm , lập bảng xét dấu
rồi kết luận .
2

DẠNG 4: CHỨNG MINH HÀM SỐ KHÔNG CÓ CỰC TRỊ HOẶC HÀM SỐ LUÔN
ĐỒNG BIẾN HOẶC NGHỊCH BIẾN .
Cách giải : Để chứng minh hàm số luôn đồng biến , ta đi chứng minh y’>0 . Để chứng minh y’>0 ,
ta chứng minh y’ có
∆
<0 và hệ số a<0 .

Bài 1: Cho hàm số y=
3 2 2
(2 1)x mx m m x m− + − − + +
. Chứng minh hàm số luôn nghòch biến trên tập
xác đònh với mọi m .
Bài 2: Chứng minh hàm số : y=
2 2
( 1) (2 1)x m x m
x m
− + − +
−
luôn đồng biến trên tập xác đònh với mọi m .
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠO HÀM .
Bài 1: Cho hàm số y=x.e
x
.
a/ Tính y(
ln 2
e
) .
b/ Tính y’ và giải phương trình y’=0 .
c/ Tính y’(0) .
Bài 2: Cho hàm số y=lnx-x .
a/ Tìm tập xác đònh .
b/ Tính y(e), tính y’ , giải phương trình y’=0 .
Bài 3: Cho hàm số y=x+2cosx , x
(0; )
π
∈
.

a/ Tính y(
3
π
) .
b/ Tính đạo hàm y’ , giải phương trình y’=0 .
Bài 4: Cho hàm số y=(1+cosx).sinx , x
( ; )
π π
∈ −
.
a/ Tính đạo hàm y’ . Giải pt y’=0 .
b/ Tính y(
3
π
) và y(-
3
π
),y(
π
) ,y(
π
) .
Bài 5: Cho hàm số y= x
2
.e
x
. Giải phương trình y’=0 .
Bài 6: Cho hàm số y=
2
ln

x
x
.Giải phương trình y’=0 .
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
Bài:1Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=
2
4 16 2x x− + +
.
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y=
4 2
4 6 6x x+ −
.
Bài 3: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=
4 3
6 8x x− +
.
Bài 4: Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=
3 2
3 4x x− −
trên nửa đoạn [3;5) .
Bài 5: Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=x+
1
x
trên nửa đoạn (
1
2
;2] .
Bài 6: Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=
5 3
5

4
5 3
x x
x− +
. Trên đoạn [0;3] .
Bài 7: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y= x
2
.e
x
trên đoạn [-1;1] .
Bài 8: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y=
2
ln
x
x
trên đoạn [e;e
3
] .
Bài 9: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y=
5 3
5 20 2x x x− − + +
trên đoạn [-2;2] .
3
Bài 10: Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=cosx-
1
2
−
cos2x +1 trên đoạn [0;
2
π

] .
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ .
Bài 1: Tìm cực trò của các hàm số : 1/ y=x
2
.e
x
, 2/ y=
2
ln
x
x
TÌM CỰC TRỊ BẰNG ĐẠO HÀM CẤP HAI .
• Nếu f’’(x
0
)<0 thì hàm số đạt cực đại tại x
0
.
• Nếu f’’(x
0
)>0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
0
.
Bài 1: p dụng dấu hiệu hai tìm cực trò của hàm số : 1/ y=x
2
.e
x
, 2/ y=
2
ln
x

x
Bài 2: Tìm m để hàm số y=
1
sin 3 sin
3
x m x+
đạt cực đại tại x=
3
π
.
Bài 3: Tìm m để hàm số y=
3 2
3 5 2mx x x+ + +
đạt cực đại tại x=2 .
TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính các tích phân sau :
1/ I=
2
6
2
0
cos 2
tg x
e
dx
x
π
∫
2/ I=
3

4
2
2
(4 cot )sin
dx
gx x
π
π
+
∫
ĐS:
3
ln
4
3/ I=
2
2
4
cot
sin
gx
dx
x
π
π
∫
4/ I=
2
1
0

2
x
xe dx
∫
.
5/ I=
1
2 3
0
( 1)( 2 1)x x x dx+ + −
∫
ĐS : 15/8 . 6/ I=
1
3
0
( 1) (2 3)x x dx+ +
∫
ĐS : 13/20 .
7/ I=
2
1
1
0
.
x
x e dx
+
∫
8/ I=
4

2
0
cos
tgx
x
π
∫
ĐS:
1
2
9/ I=
4
1
x
e
dx
x
∫
.ĐS :
2
2( )e e−
.
10/ I=
3
0
cos sinx xdx
π
∫
11/ I=
2

6
sin 2 cos 2x xdx
π
π
∫
12/ I=
ln 2
2 2
0
.
x x
e e dx
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau :
1/ I=
1
2
0
( 2)
x
x e dx+
∫
. 2/ I=
1
( 2) ln 2
e
x xdx+
∫
3/ I=
2

0
2 sin 2x xdx
π
∫
4/ I=
2
1
ln
e
x
dx
x
∫
5/ I=
2
0
( 1)cos3x xdx
π
+
∫
. 6/ I=
4
0
25 3
dx
x−
∫

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường :y=

3
3x x−
, y=x .ĐS : S=8 (đvdt).
Bài 2: Tính diện tích của hình elip:
2 2
1
9 4
x y
+ =
. ĐS : S=
π
.3.2=6
π
.
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y=
2
3 2
2 1
x x
x
− +
+
và trục hoành .
Chú ý : Chuẩn bò bài tập trước ở nhà :
Soạn các câu hỏi sau để trả bài .
4
HÌNH HỌC
DẠNG 1: VIẾT PT MP QUA 1 ĐIỂM VÀ CÓ VTPT .
Câu 1: Các bước viết pt mp (P) đi qua điểm M(
0 0 0

; ;x y z
) và có vecto pháp tuyến
( ; ; )n A B C=
r
.
Câu 2: Các bước viết pt mp (P) đi qua điểm M(
0 0 0
; ;x y z
) và vuông góc đường thẳng AB .
Câu 3: Các bước viết pt mp (P) vuông góc với MN tại M .
Câu 4: Các bước viết pt mp (P) đi qua điểm M(
0 0 0
; ;x y z
) và vuông góc đường thẳng d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +


Câu 5: Các bước viết pt mp (P) đi qua điểm M(

0 0 0
; ;x y z
)và
⊥
đường thẳng d:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
Câu 6: Các bước viết pt mp (P) đi qua điểm M(
0 0 0
; ;x y z
)và
⊥
đt d:
0
' ' ' ' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =

Câu 7:Các bước viết phương trình mp(P) đia qua M(
0 0 0
; ;x y z
) và song song mp(Q) có phương
trình : (Q): Ax+By+Cz+D=0 .

DẠNG 2: VIẾT PT MP QUA 1 ĐIỂM VÀ CÓ CẶP VECTO CHỈ PHƯƠNG .
Câu 8: Các bước viết pt mp(P) qua ba điểm A,B,C . (hay mp(ABC) ) .
Câu 9: Các bước viết pt mp(P) qua điểm M(
0 0 0
; ;x y z
) và chứa đt d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

.
Câu 10: Các bước viết pt mp(P) qua điểm M(
0 0 0
; ;x y z
) và chứa đt d:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =

Câu 11: Các bước viết pt mp(P) qua điểm M(
0 0 0
; ;x y z
) và chứa đt d:
0
' ' ' ' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =

Câu 12: Các bước viết pt mp(P) chứa 2 đt cắt nhau d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

và d’:
0 0 0

x x y y z z
a b c
− − −
= =
Câu 13: Các bước viết pt mp(P) chứa 2 đt cắt nhau d:
0
' ' ' ' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =

và d’:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
Câu 14: Các bước viết pt mp(P) chứa d:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +



= +


= +

và song song d’:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
Câu 15: Các bước viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d:
0
' ' ' ' 0
Ax By Cz D
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =

và song song d’:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
Câu 16: Các bước viết pt mp(P) đi qua điểm M(
0 0 0
; ;x y z

) và song song 2 đt d:
5