5 GTLN, GTNN TRONG HH OXYZ

Hình Học Tọa Độ Oxyz

GTLN, GTNN TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ
A - LÝ THUYẾT CHUNG
Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách làm:
Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học
Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số.
Bài toán 1: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) và mặt phẳng
( P ) : ax + by + cz + d = 0. Tìm điểm M ∈ ( P ) sao cho
1. MA + MB nhỏ nhất.
2. MA − MB lớn nhất với d ( A, ( P )) ≠ d ( B, ( P )).
Phương pháp:
• Xét vị trí tương đối của các điểm A, B so với mặt phẳng ( P).
• Nếu (axA + by A + cz A + d )(axB + byB + czB + d ) > 0 thì hai điểm A, B cùng phía với mặt phẳng ( P).
• Nếu (axA + by A + cz A + d )(axB + byB + czB + d ) < 0 thì hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng
( P).

1. MA + MB nhỏ nhất.
• Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng ( P).

Vì A, B ở khác phía so với mặt phẳng ( P ) nên MA + MB nhỏ nhất bằng AB khi và chỉ khi
M = ( P ) ∩ AB.
• Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P).

Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng ( P ), khi đó A ' và B ở khác phía ( P ) và MA = MA′ nên
MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B.
Vậy MA + MB nhỏ nhất bằng A′B khi M = A′B ∩ ( P ).
2. MA − MB lớn nhất.
• Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng ( P ) .

Vì A, B ở cùng phía so với mặt phẳng ( P ) nên MA − MB lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi

M = ( P ) ∩ AB.
• Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng ( P ) .

Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng ( P ) , khi đó A ' và B ở cùng phía ( P ) và
MA = MA′ nên MA − MB = MA′ − MB ≤ A′B.

Vậy MA − MB lớn nhất bằng A′B khi M = A′B ∩ ( P ).
Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng ( P ) biết
1. ( P ) đi qua đường thẳng ∆ và khoảng cách từ A∉ ∆ đến ( P ) lớn nhất
178


Hình Học Tọa Độ Oxyz
2. ( P ) đi qua ∆ và tạo với mặt phẳng (Q ) một góc nhỏ nhất
3. ( P ) đi qua ∆ và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất.
Phương pháp:
Cách 1: Dùng phương pháp đại số
1. Giả sử đường thẳng ∆ :

x − x1 y − y1 z − z1
và A( x0 ; y0 ; z0 )
=
=
a
b
c

Khi đó phương trình ( P ) có dạng: A( x − x1 ) + B( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0
Trong đó Aa + Bb + Cc = 0 ⇒ A = −
Khi đó d ( A, ( P)) =

bB + cC
( a ≠ 0 ) ( 1)
a

A( x0 − x1 ) + B( y0 − y1 ) + C ( z0 − z1 )

Thay (1) vào (2) và đặt t =

A2 + B 2 + C 2
B
, ta đươc d ( A, ( P)) =
C

(2)

f (t )

mt 2 + nt + p
, khảo sát hàm f (t ) ta tìm được max f (t ) . Từ đó suy ra được sự biểu
m 't2 + n 't + p '
diễn của A, B qua C rồi cho C giá trị bất kì ta tìm được A, B .

Trong đó f (t ) =

2. và 3. làm tương tự
Cách 2: Dùng hình học
1. Gọi K , H lần lượt là hình chiếu của A lên ∆ và ( P ) , khi đó ta có:
d ( A, ( P )) = AH ≤ AK , mà AK không đổi. Do đó d ( A, ( P )) lớn nhất ⇔ H ≡ K

Hay ( P ) là mặt phẳng đi qua K , nhận AK làm VTPT.

2. Nếu ∆ ⊥ (Q) ⇒ ( ( P),(Q) ) = 900 nên ta xét ∆ và (Q) không vuông góc với nhau.
• Gọi B là một điểm nào đó thuộc ∆ , dựng đường thẳng qua B và vuông góc với (Q ) . Lấy điểm C
cố định trên đường thẳng đó. Hạ CH ⊥ ( P ), CK ⊥ d . Góc giữa mặt phẳng ( P ) và mặt phẳng (Q ) là
BH BK
BCH . Ta có sin BCH =
≥
.
BC BC

Mà

BK
không đổi, nên BCH nhỏ nhất khi H ≡ K .
BC

• Mặt phẳng ( P ) cần tìm là mặt phẳng chứa ∆ và vuông góc với mặt phẳng ( BCK ) . Suy ra

nP = u∆ , u∆ , nQ   là VTPT của ( P ) .


3. Gọi M là một điểm nào đó thuộc ∆ , dựng đường thẳng d ' qua M và song song với d . Lấy điểm
A cố định trên đường thẳng đó. Hạ AH ⊥ ( P ), AK ⊥ d . Góc giữa mặt phẳng ( P ) và đường thẳng d '
HM KM
là AMH . Ta có cos AMH =
≥
.
AM AM
Mà

179

KM
không đổi, nên AMH lớn nhất khi H ≡ K .
AM


Hình Học Tọa Độ Oxyz
• Mặt phẳng ( P ) cần tìm là mặt phẳng chứa ∆ và vuông góc với mặt phẳng ( d ', ∆) . Suy ra

nP = u∆ , u∆ , ud '   là VTPT của ( P ) .



B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 0; 2 ) ; B ( 0; −1; 2 ) và mặt phẳng

( P ) : x + 2 y − 2 z + 12 = 0.

Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) sao cho MA + MB nhỏ nhất?
6 18 25
B. M  − ; − ;  .

A. M ( 2; 2;9 ) .

 11

 2 11 18 
D. M  − ; − ;  .
 5 5 5

7 7 31

C. M  ; ;  .
6 6 4 
Câu 2:

11 11 

Cho hai điểm A ( −1,3, −2 ) ; B ( −9, 4,9 ) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z + 1 = 0. Điểm M thuộc
(P). Tính GTNN của AM + BM .

A.
Câu 3:

6 + 204

B.

7274 + 31434
6

C.

2004 + 726
3

D. 3 26

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0 và hai điểm

A(1; −3;0), B ( 5; −1; −2 ) . M là một điểm trên mặt phẳng ( P) . Giá trị lớn nhất của
T = MA − MB là:
A. T = 2 5.
Câu 4:

C. T =

B. T = 2 6.

4 6
.
2

D. T =

2 3
.
3

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình
2 x – y + z + 1 = 0 và hai điểm M ( 3;1;0 ) , N ( −9; 4;9 ) . Tìm điểm I ( a; b; c ) thuộc mặt phẳng

(P) sao cho IM − IN đạt giá trị lớn nhất. Biết a, b, c thỏa mãn điều kiện:

A. a + b + c = 21
Câu 5:

C. a + b + c = 5

B. a + b + c = 14

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 2 ) , B ( 5; 4; 4 ) và mặt phẳng

( P ) : 2 x + y – z + 6 = 0. Tọa độ điểm M nằm trên (P) saocho
A. ( −1;3; 2 )
Câu 6:

D. a + b + c = 19.

Trong

B. ( 2;1; −11)
không

gian

tọa

MA2 + MB 2 nhỏ nhất là:

C. ( −1;1;5)
độ

( P ) : 2 x − y + z + 1 = 0, A (8; −7; 4 ) , B ( −1; 2; −2) .

Oxyz ,

D. (1; −1; 7 )
cho

mặt

phẳng

Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( P )

sao cho MA2 + 2 MB 2 nhỏ nhất.

A. M ( 0; 0; −1) .
Câu 7:

B. M ( 0;0;1) .

D. M ( 0;1;0 )

A ( 0, 0, −3) , B ( 2, 0, −1)
( P ) : 3x − 8 y + 7 z − 1 = 0. Tìm M ∈ ( P )
Cho 2 điểm
và mặt phẳng
sao cho MA2 + 2 MB 2 nhỏ nhất.

 283 −104 −214 
;
;
A. M 
.

 183 183 183 
180

C. M (1;0;1) .

 −283 104 −214 
;
;
B. M 
.
 183 183 183 


Hình Học Tọa Độ Oxyz

 283 −14 −14 
;
;
C. M 
.
 183 183 183 

Câu 8:

 283 14 14 
;
;
D. M 

 183 183 183 

x = 2 + t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : y = −1 + 2t t ∈ R hai điểm
z = 3t


(

(

)

(

)

(

)

)

A 2; 0; 3 và B 2; −2; −3 . Biết điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 thuộc ∆ thì MA4 + MB 4 nhỏ nhất.Tìm

x0
A. x 0 = 0
Câu 9:

B. x 0 = 1

C. x 0 = 2

D. x 0 = 3

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho 3 điểm A (1;2;3) ; B ( 0;1;1) ; C (1;0; − 2 ) .
Điểm M ∈( P ) : x + y + z + 2 = 0 sao cho giá trị của biểu thức T = MA2 + 2MB2 + 3MC 2 nhỏ
nhất. Khi đó, điểm M cách ( Q ) :2 x − y − 2 z + 3 = 0 một khoảng bằng

A.

121
.
54

B. 24.

C.

2 5
.
3

D.

101
.
54

A (1;1;1) B ( 0;1; 2 ) C ( −2;0;1)

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
,
,
( P ) : x − y + z + 1 = 0 . Tìm điểm N ∈ ( P ) sao cho S = 2 NA2 + NB 2 + NC 2 đạt giá trị nhỏ
nhất.

 1 5 3
A. N  − ; ;  .
 2 4 4

B. N ( 3;5;1) .

C. N ( −2;0;1) .

3 1

D. N  ; − ; −2  .
2 2


Câu 11: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (1;01;1) , B (1; 2;1) , C ( 4;1; −2 ) và mặt
phẳng ( P ) : x + y + z = 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ
nhất. Khi đó M có tọa độ

A. M (1;1; −1)

B. M (1;1;1)

C. M (1;2; −1)

Câu 12: (Hình Oxyz) Cho A ( −1;3;5) , B ( 2;6; −1) , C ( −4; −12;5) và điểm

D. M (1;0; −1)

( P) : x + 2 y − 2z − 5 = 0 .

Gọi M là điểm thuộc ( P ) sao cho biểu thức S = MA − 4 MB + MA + MB + MC đạt giá trị
nhỏ nhất. Tìm hoành độ điểm M.

A. xM = 3

B. xM = −1

C. xM = 1

D. xM = −3

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1; −1) , B ( 0;3;1) và mặt phẳng

( P ) : x + y − z + 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm

M thuộc ( P ) sao cho 2MA − MB có giá trị nhỏ

nhất.

A. M ( −4; −1;0 ) .
Câu 14: Trong

không
2

B. M ( −1; −4;0 ) .
gian

Oxyz ,

2

2

cho

mặt

C. M ( 4;1;0 ) .
phẳng

D. M (1; −4;0 ) .

2x − 2 y − z + 9 = 0

và

mặt

cầu

(S ) : ( x − 3) + ( y + 2) + ( z − 1) = 100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu ( S ) sao cho
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị nhỏ nhất là:
181

Hình Học Tọa Độ Oxyz

 11 14 13 
A. M  − ; ;  .
 3 3 3

 29 26 7 
B. M  ; − ; −  .
3
3
 3

 29 26 7 
C. M  − ; ; −  .
3
 3 3

 11 14 13 
D. M  ; ; −  .
3
3 3

Câu 15: Trong không gian

Oxyz , cho mặt phẳng

( P) : x + 2 y + 2 z + 4 = 0

và mặt cầu

(S ) : x + y + z − 2 x − 2 y − 2 z − 1 = 0. Giá trị của điểm M trên ( S ) sao cho d ( M , ( P ) ) đạt
GTNN là:
2

2

2

A. (1;1;3) .

5 7 7
B.  ; ;  .
3 3 3

1 1 1
C.  ; − ; −  .
3 3 3

D. (1; −2;1) .

( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 và mặt phẳng
Câu 16: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
( P ) : 2 x − 2 y + z + 3 = 0 . Gọi M ( a; b; c ) là điểm trên mặt cầu ( S ) sao cho khoảng cách từ
( P ) là lớn nhất. Khi đó
M đến
2

A. a + b + c = 5.

B. a + b + c = 6.

2

C. a + b + c = 7.

2

D. a + b + c = 8.

Câu 17: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A ( 2;3; 2 ) , B ( 6; −1; −2 ) , C ( −1; −4;3) , D (1;6; −5 ) . Gọi
M là một điểm nằm trên đường thẳng CD sao cho tam giác MAB có chu vi bé nhất. Khi đó
toạ độ điểm M là:
A. M ( 0;1; −1)

B. M ( 2;11; −9 )

C. M ( 3;16; −13)

D. M ( −1; −4;3)

Câu 18: Cho hình chóp O. ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc với nhau. Điểm M cố
định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng
( OBC ) , ( OCA) , ( OAB ) là 1,2,3. Khi tồn tại a, b, c thỏa thể tích khối chóp O. ABC nhỏ
nhất, giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp O. ABC là

A. 18

B. 27

C. 6

D. Không tồn tại a, b, c thỏa yêu cầu bài toán

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;1) . Mặt phẳng ( P ) thay đổi đi qua
M lần lượt cắt các tia Ox, Oy , Oz tại A, B, C khác O . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích
khối tứ diện OABC .

A. 54.

B. 6.

C. 9.

D. 18.

Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > 0 .Giả sử

a, b, c thay đổi nhưng thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = k 2 không đổi. Diện tích tam giác ABC đạt giá
trị lớn nhất bằng
A.

k2 3
2

B.

k2 3
6

C. k 2 3

D. k 2

Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) ,
cắt các tia Ox, Oy , Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất là

182


Hình Học Tọa Độ Oxyz
A.

x y z
+ + =1
7 3 3

B.

x y z
+ + =1
27 3 3

C.

x
y z
+ + =1
−27 3 3

D.

x y z
+ + = −1
27 3 3

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B ′C ′D ′ có điểm A
trùng với gốc tọa độ, B ( a; 0; 0), D (0; a; 0), A′(0; 0; b) với (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm
của cạnh CC ′ . Giả sử a + b = 4 , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A′BDM ?
A. max VA′MBD =

64
27

C. max VA′MBD = −

64
27

B. max VA′MBD = 1
D. max VA′MBD =

27
64

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;5; 0 ) , B ( 3;3;6 ) và đường thẳng ∆

 x = −1 + 2t


có phương trình tham số  y = 1 − t . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ sao cho
 z = 2t

chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi tam giác ABC là

183

A. M (1; 0; 2 ) ; P = 2( 11 + 29)

B. M (1; 2; 2 ) ; P = 2( 11 + 29)

C. M (1; 0; 2 ) ; P = 11 + 29

D. M (1; 2; 2 ) ; P = 11 + 29


Hình Học Tọa Độ Oxyz

C - HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 0; 2 ) ; B ( 0; −1; 2 ) và mặt phẳng

( P ) : x + 2 y − 2 z + 12 = 0.

Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) sao cho MA + MB nhỏ nhất?
6

18 25

B. M  − ; − ;  .
 11 11 11 

A. M ( 2; 2;9 ) .

 2 11 18 
D. M  − ; − ;  .
 5 5 5

7 7 31 
.


C. M  ; ;
6 6 4

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Thay tọa độ A (1; 0; 2 ) ; B ( 0; −1; 2 ) vào phương trình mặt phẳng ( P ) , ta được
P ( A ) P ( B ) > 0 ⇒ hai điểm A, B cùng phía với đối với mặt phẳng ( P ) .
B

Gọi A′ là điểm đối xứng của A qua ( P ) . Ta có

A

MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B .

Nên min ( MA + MB ) = A′B khi và chỉ khi M là giao
điểm của A′B với ( P ) .

M

H
P

x = 1+ t

Phương trình AA′ :  y = 2t
( AA′ đi qua A (1;0; 2 ) và

 z = 2 − 2t

A'

có véctơ chỉ phương n( P ) = (1; 2; −1) ).
Gọi H là giao điểm của AA′ trên ( P ) , suy ra tọa độ của H là H ( 0; −2; 4 ) , suy ra

x = t

A′ ( −1; −4;6 ) , nên phương trình A′B :  y = −1 + 3t .
 z = 2 − 4t

2 11 18
Vì M là giao điểm của A′B với ( P ) nên ta tính được tọa độ M  − ; − ;  .
5 5 
 5

Câu 2:

Cho hai điểm A ( −1,3, −2 ) ; B ( −9, 4,9 ) và mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z + 1 = 0. Điểm M thuộc
(P). Tính GTNN của AM + BM .

A.

6 + 204

B.

7274 + 31434
6

C.

2004 + 726
3

D. 3 26

Hướng dẫn giải:
Ta có: ( 2. ( −1) − 3 + ( −2 ) + 1) ( 2. ( −9 ) − 4 + 9 + 1) = 72 > 0 => A, B nằm cùng phía so với mặt
phẳng (P).
184


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Mặt phẳng (P) có vtpt n ( 2, −1,1)
 x = −1 + 2t

Đường thẳng AA’ đi qua A ( −1,3, −2 ) có vtcp n ( 2, −1,1) có pt:  y = 3 − t

 z = −2 + t


Gọi H là giao của AA’ và ( P ) ta có:

2 ( −1 + 2t ) − ( 3 − t ) + ( −2 + t ) + 1 = 0 => t = 1 => H (1, 2, −1) . Ta có H là trung điểm của
AA’ => A’ ( 3,1,0 ) .
 x = 3 − 4t

Đường A’B đi qua A’(3, 1, 0) có vtcp A ' B ( −12,3, 9 ) có pt:  y = 1 + t
 z = 3t


Gọi N là giao điểm của A’B và mặt phẳng ( P ) ta có:

2. ( 3 − 4t ) – (1 + t ) + 3t + 1 = 0 => t = 1 => N ( −1, 2,3) .
Để MA + MB nhỏ nhất thì M ≡ N khi đó MA + MB = A’B =

( −12 )

2

+ 32 + 9 2 = 234 = 3 26

Chọn D.
Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0 và hai điểm

A(1; −3;0), B ( 5; −1; −2 ) . M là một điểm trên mặt phẳng ( P) . Giá trị lớn nhất của

T = MA − MB là:
A. T = 2 5.

B. T = 2 6.

C. T =

4 6
.
2

D. T =

2 3
.
3

Hướng dẫn giải:
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P). Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P). Suy ra
B '(−1; −3;4) .

T = MA − MB = MA − MB ' ≤ AB ' = 2 5. Đẳng thức xảy ra khi M , A, B’ thẳng hàng.

Chọn A.
Câu 4:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình
2 x – y + z + 1 = 0 và hai điểm M ( 3;1;0 ) , N ( −9; 4;9 ) . Tìm điểm I ( a; b; c ) thuộc mặt phẳng

(P) sao cho IM − IN đạt giá trị lớn nhất. Biết a, b, c thỏa mãn điều kiện:

A. a + b + c = 21

B. a + b + c = 14

C. a + b + c = 5

Hướng dẫn giải:
Nhận thấy 2 điểm M, N nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

185

D. a + b + c = 19.


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi R là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (P), khi đó đường thẳng MR đi qua điểm M(3;
x − 3 y −1 z
=
= . Gọi
1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình:
2
−1 1
H = MR ∩ (P) ⇒ H (1; 2; −1) ⇒ R (−1;3; −2) .
Ta có IM − IN = IR − IN ≤ RN . Đẳng thức xảy ra khi I, N, R thẳng hàng. Do đó tọa độ
 x = −1 − 8t

điểm I là giao điểm của đường thẳng NR:  y = 3 + t
(t là tham số ) và mặt phẳng (P).
 z = −2 + 11t



Dễ dàng tìm được I(7; 2; 13).

Chọn A.
Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 2 ) , B ( 5; 4; 4 ) và mặt phẳng

( P ) : 2 x + y – z + 6 = 0. Tọa độ điểm M nằm trên (P) saocho
A. ( −1;3; 2 )

MA2 + MB 2 nhỏ nhất là:

C. ( −1;1;5)

B. ( 2;1; −11)

D. (1; −1; 7 )

Hướng dẫn giải:
+ Kiểm tra phương án A không thuộc (P).
+ Tính trực tiếp MA2 + MB2 trong 3 phương án B,C,D và so sánh.

Chọn C.
Câu 6:

Trong

không

gian

tọa

độ

( P ) : 2 x − y + z + 1 = 0, A (8; −7; 4 ) , B ( −1; 2; −2) .
2

Oxyz ,

cho

mặt

phẳng

Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( P )

2

sao cho MA + 2 MB nhỏ nhất.

A. M ( 0; 0; −1) .

B. M ( 0;0;1) .

C. M (1;0;1) .

D. M ( 0;1;0 )

Hướng dẫn giải:
Gọi I là điểm thỏa mãn IA + 2 IB = 0 ⇒ I ( 2; −1;0 )
Có MA2 + 2MB 2 = MI + IA + 2 MI + IB

(

)

)

Vì IA, IB không đổi nên ( MA2 + 2MB 2 )

⇔ MI min ⇒ M là hình chiếu vuông góc của I

2

(

min

2

= 3MI 2 + IA2 + 2 IB 2

lên mặt phẳng ( P ) .
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với ( P ) .

 x = 2 + 2t


⇒ d :  y = −1 − t ; d ∩ ( P ) = M ( 0; 0; −1)
z = t

Chọn A.
Câu 7:
186

A ( 0, 0, −3) , B ( 2, 0, −1)
( P ) : 3x − 8 y + 7 z − 1 = 0. Tìm M ∈ ( P )
Cho 2 điểm
và mặt phẳng
sao cho MA2 + 2MB 2 nhỏ nhất.


Hình Học Tọa Độ Oxyz

 283 −104 −214 
;
;
A. M 
.
 183 183 183 

 −283 104 −214 
;
;
B. M 
.
 183 183 183 

 283 −14 −14 
;
;
C. M 
.
 183 183 183 

 283 14 14 
;
;
D. M 

 183 183 183 

Hướng dẫn giải:

 4 5
Gọi I sao cho IA + 2 IB = 0 ⇒ I  ;0; 
 3 3
2

(
)
= ( MI + IB )

2

MA2 = MA = MI + IA = MI 2 + IA2 + 2MI .IA
MB 2 = MB

2

2

= MI 2 + IB 2 + 2MI .IB

(

)

MA2 + 2MB 2 = 3MI 2 + IA2 + 2 IB 2 + 2MI IA + IB = 3MI 2 + IA2 + 2 IB 2

(

Suy ra MA2 + 2MB 2

)

khi MI bé nhất hay M là hình chiếu của I trên ( P ) .

min

 283 −104 −214 
;
;
Tìm được tọa độ M 
.
 183 183 183 
Chọn A.

Câu 8:

x = 2 + t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : y = −1 + 2t t ∈ R hai điểm
z = 3t


(

(

)

(

)

(

)

)

A 2; 0; 3 và B 2; −2; −3 . Biết điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 thuộc ∆ thì MA4 + MB 4 nhỏ nhất.Tìm

x0
A. x 0 = 0

B. x 0 = 1

C. x 0 = 2

D. x 0 = 3

Hướng dẫn giải:
x = 2

Phương trình đường thẳng AB là: y = t1
t1 ∈ R . Dễ thấy đường thẳng ∆ và AB cắt
z = 3 + 3t
1


(

(

)

)

nhau tại điểm I 2; −1; 0 suy ra AB và ∆ đồng phẳng.
Lại có IA ( 0;1; 3 ) , IB ( 0; −1; −3 ) => IA = −IB ⇒ IA + IB = AB .
2

2
2
4

Ta có: MA4 + MB 4 ≥ 1 ( MA2 + MB 2 ) ≥ 1  1 (MA + MB )  ≥ 1 AB 4 = 1 ( IA + IB ) .

2

22



(

8

Do đó MA4 + MB 4 nhỏ nhất khi M trùng với điểm I 2; −1; 0

8

)

Chọn C.
Câu 9:
187

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho 3 điểm A (1;2;3) ; B ( 0;1;1) ; C (1;0; − 2 ) .


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Điểm M ∈( P ) : x + y + z + 2 = 0 sao cho giá trị của biểu thức T = MA2 + 2MB2 + 3MC 2 nhỏ
nhất. Khi đó, điểm M cách ( Q ) :2 x − y − 2 z + 3 = 0 một khoảng bằng

A.

121
.
54

B. 24.

C.

2 5
.
3

D.

101
.
54

Hướng dẫn giải:
2
2
2
Gọi M ( x; y; z ) . Ta có T = 6 x + 6 y + 6 z − 8x − 8 y + 6 z + 31
2
2
2

2 
2 

1   145
⇒ T = 6  x −  +  y −   z +   +
3 
3 
2   6


⇒ T = 6 MI 2 +

145
2 2 1
với I  ; ; − 
6
3 3 2

⇒ T nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất ⇒ M là hình chiếu vuông góc của I trên ( P )
5 13
 5
⇒ M  − ;− ;−
 18 18 9


.


A (1;1;1) B ( 0;1; 2 ) C ( −2;0;1)
Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
,
,
( P ) : x − y + z + 1 = 0 . Tìm điểm N ∈ ( P ) sao cho S = 2 NA2 + NB 2 + NC 2 đạt giá trị nhỏ

nhất.
 1 5 3
A. N  − ; ;  .
 2 4 4

B. N ( 3;5;1) .

C. N ( −2;0;1) .

3 1

D. N  ; − ; −2  .
2 2


Hướng dẫn giải:
Chọn A.

 1 3
 3 5
Gọi I là trung điểm BC và J là trung điểm AI . Do đó I  −1; ;  và J  0; ;  .
2 2

 4 4
Khi đó S = 2 NA2 + 2 NI 2 +

1
1
BC 2 = 4 NJ 2 + IJ 2 + BC 2 .
2

2

Do đó S nhỏ nhất khi NJ nhỏ nhất. Suy ra J là hình chiếu của N trên ( P ) .

x = t

3

Phương trình đường thẳng NJ :  y = − t .
4

5

 z = 4 + t

188


Hình Học Tọa Độ Oxyz

x − y + z +1 = 0 
1
x = t
x = − 2


5


3

⇒ y =
Tọa độ điểm J là nghiệm của hệ:  y = − t
4
4


3


5
z = + t
z = 4

4

Câu 11: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (1;01;1) , B (1; 2;1) , C ( 4;1; −2 ) và mặt
phẳng ( P ) : x + y + z = 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ
nhất. Khi đó M có tọa độ

A. M (1;1; −1)

B. M (1;1;1)

C. M (1;2; −1)

D. M (1;0; −1)

Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có G ( 2;1;0 ) , ta
có

MA2 + MB 2 + MC 2 = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 (1)
Từ hệ thức (1) ta suy ra:
MA2 + MB 2 + MC 2 đạt GTNN ⇔ MG đạt GTNN ⇔ M
là hình chiếu vuông góc của G trên (P).

Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì
x = 2 + t

(d) có phương trình tham số là  y = 1 + t
z = t

x = 2 + t
t = −1
 y = 1+ t
x = 1


Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình 
⇔
⇒ M (1; 0; −1)
z
t
=

y = 0
 x + y + z = 0
 z = −1

Chọn D.

Câu 12: (Hình Oxyz) Cho A ( −1;3;5) , B ( 2;6; −1) , C ( −4; −12;5) và điểm

( P) : x + 2 y − 2z − 5 = 0 .

Gọi M là điểm thuộc ( P ) sao cho biểu thức S = MA − 4 MB + MA + MB + MC đạt giá trị
nhỏ nhất. Tìm hoành độ điểm M.

A. xM = 3

B. xM = −1

C. xM = 1

D. xM = −3

Hướng dẫn giải:
Gọi I là điểm IA − 4 IB = 0 ⇒ I ( 3;7; −3) . Gọi G là trọng tâm ta m giác ABC ⇒ G ( −1; −1;3)
Nhận thấy, M,I nằm khác phía so với mp(P).
Có S = 3 ( MI + MG ) ≥ 3GI . Dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của GI và (P) ⇒ M (1;3;1)

Chọn C.
189


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1; −1) , B ( 0;3;1) và mặt phẳng

( P ) : x + y − z + 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm

M thuộc ( P ) sao cho 2MA − MB có giá trị nhỏ

nhất.

A. M ( −4; −1;0 ) .

B. M ( −1; −4;0 ) .

C. M ( 4;1;0 ) .

D. M (1; −4;0 ) .

Hướng dẫn giải:
Gọi I ( a; b; c ) là điểm thỏa mãn 2 IA − IB = 0 , suy ra I ( 4; −1; −3) .
Ta có 2 MA − MB = 2 MI + 2 IA − MI − IB = MI . Suy ra 2MA − MB = MI = MI .
Do đó 2MA − MB nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I trên mặt phẳng

( P ) Đường thẳng đi qua

I và vuông góc với ( P ) có là d :

x − 4 y +1 z + 3
=
=
.
1
1
−1

Tọa độ hình chiếu M của I trên ( P ) thỏa mãn
 x − 4 y +1 z + 3

=
=

−1 ⇒ M (1; −4;0 ) .
1
 1
 x + y − z + 3 = 0

Chọn D.
Câu 14: Trong

không

gian

Oxyz ,

2

2

2

cho

mặt

phẳng

2x − 2 y − z + 9 = 0

và

mặt

cầu

(S ) : ( x − 3) + ( y + 2) + ( z − 1) = 100 . Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu ( S ) sao cho
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị nhỏ nhất là:
 11 14 13 
A. M  − ; ;  .
 3 3 3

 29 26 7 
B. M  ; − ; −  .
3
3
 3

 29 26 7 
C. M  − ; ; −  .
3
 3 3

 11 14 13 
D. M  ; ; −  .
3
3 3

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu ( S ) có tâm I (3; −2;1) .
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) : d ( I ; ( P )) = 6 < R nên ( P ) cắt ( S ) .
Khoảng cách từ M thuộc ( S ) đến ( P ) lớn nhất ⇒ M ∈ ( d ) đi qua I và vuông góc với
( P)

 x = 3 + 2t

Phương trình (d ) :  y = −2 − 2t .
z = 1− t

Ta có: M ∈ ( d ) ⇒ M (3 + 2t ; −2 − 2t ;1 − t )

190


Hình Học Tọa Độ Oxyz
 10
 29 26 7 
t = 3 ⇒ M 1  3 ; − 3 ; − 3 


Mà: M ∈ ( S ) ⇒ 

10
 11 14 13 
t = − ⇒ M 2  − ; ; 
3
 3 3 3


 11 14 13 
Thử lại ta thấy: d (M1 ,( P)) > d ( M 2 ,( P)) nên M  − ; ;  thỏa yêu cầu bài toán
 3 3 3
Câu 15: Trong không gian

Oxyz , cho mặt phẳng

( P) : x + 2 y + 2 z + 4 = 0

và mặt cầu

(S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z − 1 = 0. Giá trị của điểm M trên ( S ) sao cho d ( M , ( P ) ) đạt
GTNN là:
5 7 7
B.  ; ;  .
3 3 3

A. (1;1;3) .

1 1 1
C.  ; − ; −  .
3 3 3

D. (1; −2;1) .

Hướng dẫn giải::
Ta có: d ( M , ( P )) = 3 > R = 2 ⇒ ( P ) ∩ ( S ) = ∅.

 x = 1+ t


Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có pt:  y = 1 + 2t , t ∈ ℝ.
 z = 1 + 2t


5 7 7
1 1 1
Tọa độ giao điểm của d và (S) là: A  ; ;  , B  ; − ; − 
3 3 3
3 3 3
Ta có: d ( A, ( P )) = 5 ≥ d ( B, ( P )) = 1. ⇒ d ( A, ( P )) ≥ d ( M , ( P )) ≥ d ( B, ( P )).
Vậy: ⇒ d (M ,( P))min = 1 ⇔ M ≡ B.

( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 9 và mặt phẳng
Câu 16: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu
( P ) : 2 x − 2 y + z + 3 = 0 . Gọi M ( a; b; c ) là điểm trên mặt cầu ( S ) sao cho khoảng cách từ
( P ) là lớn nhất. Khi đó
M đến
2

A. a + b + c = 5.

B. a + b + c = 6.

2

C. a + b + c = 7.

2

D. a + b + c = 8.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9 có tâm I (1; 2;3) và bán kính R = 3.
2

2

2

Gọi d là đường thẳng đi qua I (1; 2;3) và vuông góc ( P )

 x = 1 + 2t

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d là  y = 2 − 2t .
z = 3 + t


191


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Gọi A, B lần lượt là giao của d và ( S ) , khi đó tọa độ A, B ứng với t là nghiệm của
t = 1
2
2
2
phương trình (1 + 2t − 1) + ( 2 − 2t − 2 ) + ( 3 + t − 3) = 9 ⇔ 
t = −1
Với t = 1 ⇒ A ( 3;0; 4 ) ⇒ d ( A;( P) ) =

13
.
3

5
Với t = −1 ⇒ B ( −1;4; 2 ) ⇒ d ( B;( P) ) = .
3
Với mọi điểm M ( a; b; c ) trên ( S ) ta luôn có d ( B;( P) ) ≤ d ( M ;( P) ) ≤ d ( A;( P) ) .
Vậy khoảng cách từ M đến ( P ) là lớn nhất bằng

13
khi M ( 3;0; 4 )
3

Do đó a + b + c = 7.

Câu 17: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A ( 2;3; 2 ) , B ( 6; −1; −2 ) , C ( −1; −4;3) , D (1;6; −5 ) . Gọi
M là một điểm nằm trên đường thẳng CD sao cho tam giác MAB có chu vi bé nhất. Khi đó
toạ độ điểm M là:
A. M ( 0;1; −1)

B. M ( 2;11; −9 )

C. M ( 3;16; −13)

D. M ( −1; −4;3)

Hướng dẫn giải:
Tam giác MAB có độ dài cạnh AB = 4 3 không đổi, do đó chu vi bé nhất khi và chỉ khi

MA + MB bé nhất.

AB = ( 4; −4; −4 ) ; CD = ( 2;10; −8) . Vì AB.CD = 0 nên AB ⊥ CD , suy ra điểm M cần tìm là
hình chiếu vuông góc của A, cũng là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng CD . Từ
đó tìm ra điểm M ( 0;1; −1) .
Chọn A.
Câu 18: Cho hình chóp O. ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc với nhau. Điểm M cố
định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng
( OBC ) , ( OCA) , ( OAB ) là 1,2,3. Khi tồn tại a, b, c thỏa thể tích khối chóp O. ABC nhỏ
nhất, giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp O. ABC là

A. 18

B. 27

C. 6

D. Không tồn tại a, b, c thỏa yêu cầu bài toán

Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độ thỏa O ( 0,0, 0 ) , A ( a, 0, 0 ) , B ( 0, b, 0 ) , C ( 0, 0, c )
Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng
( OBC ) , ( OCA) , ( OAB ) là 1,2,3 nên tọa độ điểm M là (1,2,3)

192

Phương trình mặt phẳng (ABC) là

x y z
+ + =1

a b c

Vì M thuộc mặt phẳng (ABC) nên

1 2 3
+ + =1
a b c


Hình Học Tọa Độ Oxyz

1
VOABC= abc
6
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 =

1 2 3
1 1 1
1
+ + ≥ 3 3 . . ⇔ abc ≥ 27
a b c
a b c
6

Chọn B.
Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;1) . Mặt phẳng ( P ) thay đổi đi qua
M lần lượt cắt các tia Ox, Oy , Oz tại A, B, C khác O . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích
khối tứ diện OABC .

A. 54.

B. 6.

C. 9.

D. 18.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0, 0, c ) với a, b, c > 0 .
Phương trình mặt phẳng ( P ) :
Vì: M ∈ ( P ) ⇔

x y z
+ + =1.
a b c

1 2 1
+ + = 1.
a b c

Thể tích khối tứ diện OABC là: VOABC =
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Hay 1 ≥ 3 3

1
abc
6

1 2 1

12 1
+ + ≥ 33
.
a b c
ab c

2
54
1
⇔1≥
. Suy ra: abc ≥ 54 ⇔ abc ≥ 9
abc
abc
6

Vậy: VOABC ≥ 9 .

Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > 0 .Giả sử

a, b, c thay đổi nhưng thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = k 2 không đổi. Diện tích tam giác ABC đạt giá
trị lớn nhất bằng
A.

k2 3
2

B.

k2 3
6

C. k 2 3

Hướng dẫn giải:
Phương trình (ABC):

x y z
+ + =1
a b c

Gọi H ( x; y; z ) là hình chiếu vuông góc của O lên ( ABC )

193

D. k 2


Hình Học Tọa Độ Oxyz


ab 2 c 2
x =
2
2
2
( ab ) + ( bc ) + ( ca )

 H ∈ ( ABC )
a 2bc 2


bcx + cay + abz = abc

⇔ y =
Khi đó OH ⊥ AB ⇔ −ax + by = 0
2
2
2
( ab ) + ( bc ) + ( ca )
−ax + cz = 0
OH ⊥ AC

2 2

abc
z =
2
2
2
( ab ) + ( bc ) + ( ca )

⇒ OH =

abc

( ab ) + ( bc ) + ( ca )
2

2

2

1
1
Ta có VOABC = OA.OB.OC = abc
6
6
⇒ S ∆ABC =

3VABCD 1
=
OH
2

( ab ) + ( bc ) + ( ca )
2

2

2

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có
a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≤

a4 + b4 b4 + c4 c4 + a 4
+
+
= a4 + b4 + c4
2
2
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Vậy max S =

1 k4 k2 3
=
2 3
6

Chọn B.
Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) ,
cắt các tia Ox, Oy , Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất là
A.

x y z
+ + =1
7 3 3

B.

x y z
+ + =1
27 3 3

C.

x
y z
+ + =1
−27 3 3

D.

x y z
+ + = −1
27 3 3

Hướng dẫn giải:
Giá sử A(a; 0;0) ∈ Ox, B(0; b;0) ∈ Oy, C (0;0; c) ∈ Oz (a, b, c > 0) .
Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng:
Ta có: M (9;1;1) ∈ (P) ⇒

x y z
+ + =1.
a b c

9 1 1
1
+ + = 1 (1); VOABC = abc (2)
a b c
6

2
3
(1) ⇔ abc = 9 bc + ac + ab ≥ 3 9(abc) ⇔ (abc)3 ≥ 27.9(abc)2 ⇔ abc ≥ 243

 a = 27
9bc = ac = ab

x y z


+ + =1.
⇔  b = 3 ⇒ (P):
Dấu "=" xảy ra ⇔  9 1 1
27 3 3
c = 3
 a + b + c = 1

Chọn B.

194


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B ′C ′D ′ có điểm A
trùng với gốc tọa độ, B ( a;0;0), D (0; a;0), A′(0;0; b) với (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm
của cạnh CC ′ . Giả sử a + b = 4 , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A′BDM ?
A. max VA′MBD =

64
27

C. max VA′MBD = −

B. max VA′MBD = 1

64
27

D. max VA′MBD =

27
64

Hướng dẫn giải:

b

Ta có: C (a; a;0), B′(a;0; b), D′(0; a; b), C ′(a; a; b) ⇒ M  a; a; 
2

b

Suy ra: A′B = (a;0; −b), A′D = (0; a; −b), AM =  a; a; − 
2

⇒  A′B, A′D  = (ab; ab; a 2 ) ⇒  A′B, A′D  . A′M =

3a 2b
a 2b
⇒ VA′MBD =
2
4

Do a, b > 0 nên áp dụng BĐT Côsi ta được: 4 = a + b =
Suy ra: max VA′MBD =

1
1
1

64
a + a + b ≥ 3 3 a 2b ⇒ a 2b ≤
2
2
4
27

64
.
27

Chọn A.
Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) và đường thẳng ∆

 x = −1 + 2t

có phương trình tham số  y = 1 − t . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ sao cho
 z = 2t

chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi tam giác ABC là
A. M (1;0; 2 ) ; P = 2( 11 + 29)

B. M (1; 2; 2 ) ; P = 2( 11 + 29)

C. M (1; 0; 2 ) ; P = 11 + 29

D. M (1; 2; 2 ) ; P = 11 + 29

Hướng dẫn giải:
Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM .

Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.
Điểm M ∈ ∆ nên M ( −1 + 2t;1 − t; 2t ) . AM + BM = (3t )2 + (2 5) 2 + (3t − 6)2 + (2 5) 2

(

)

(

)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = 3t ; 2 5 và v = −3t + 6; 2 5 .
Ta có u = (3t )2 + (2 5) 2 ; v = (3t − 6) 2 + (2 5)2
⇒ AM + BM =| u | + | v | và u + v = (6; 4 5) ⇒| u + v |= 2 29

Mặt khác, ta luôn có | u | + | v |≥| u + v | Như vậy AM + BM ≥ 2 29
195


Hình Học Tọa Độ Oxyz
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng ⇔

3t
2 5
=
⇔ t =1
−3t + 6 2 5

⇒ M (1;0; 2) và min( AM + BM ) = 2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2( 11 + 29)

Chọn A.

196