2 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Khối Đa Diện Nâng Cao

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
A- LÝ THUYẾT CHUNG
1. Thể tích khối lăng trụ

V = B.h với B diện tích đáy, h là chiều cao lăng trụ.

h

B

2. Thể tích khối hộp chữ nhật

V = a.b.c với a , b, c là ba kích thước.

a
b

c

3. Thể tích khối lập phương
V = a 3 với a là độ dài cạnh.

a
a

42

a

Khối Đa Diện Nâng Cao

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho lăng trụ đứng ABCA′B′C ′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a. Góc giữa
mặt phẳng ( AB′C ) và mặt phẳng ( BB′C ) bằng 600 .Tính thể tích lăng trụ ABCA′B′C ′ .
A. a 3 2

C. a 3 6

B. 2a 3

D.

3a 3

Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’
sao cho MA = MA ' và NC = 4 NC ' . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ
diện GA’B’C’, BB’MN , ABB’C’ và A’BCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?
A. Khối A’BCN

B. Khối GA’B’C’

C. Khối ABB’C’

D. Khối BB’MN

Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB ' = a , góc giữa đường thẳng BB ' và ( ABC )
bằng 60° , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 60° . Hình chiếu vuông góc của điểm
B ' lên ( ABC ) trùng với trọng tâm của ∆ABC . Thể tích của khối tứ diện A '. ABC theo a

bằng
A.

13a 3
.
108

B.

7a3
.
106

C.

15a 3
.
108

D.

9a 3
.
208

Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách
từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng ( A ' BC ) bằng

a

.Tính thể tích khối lăng trụ
6

ABC. A ' B ' C ' .
A.

3a 3 2
.
8

B.

3a 3 2
.
28

C.

3a 3 2
.
4

D.

3a 3 2
.
16

Câu 5: Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ

A. V =

27 3
a .
8

B. V =

3 3
a .
4

C. V =

3 3
a .
2

D.

9 3
a .
4

Câu 6: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm
A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai

đường thẳng AA ' và BC bằng

A.

a3 3
12

B.

a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
4

a3 3
6

C.

a3 3
3

D.

a3 3
24

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a , một mặt phẳng (α ) cắt các cạnh
1
2
AA′ , BB′ , CC ′ , DD′ lần lượt tại M , N , P , Q . Biết AM = a , CP = a . Thể tích khối
3
5

đa diện ABCD.MNPQ là:

43


Khối Đa Diện Nâng Cao
A.

11 3
a .
30

B.

a3
.
3

C.

2a 3
.
3

D.

11 3
a .
15

Câu 8: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bên bằng 1.; đáy ABCD là một hình chữ nhật có
các cạnh BA = 3, AD = 7; các mặt bên ( ABB ' A ') và ( ADD ' A ') hợp với mặt đáy các
góc theo thứ tự 450 ;600. Thể tích khối hộp là:

B. 3 (đvdt)

A. 4 (đvdt)

C. 2 (đvdt)

D. 6 (đvdt)

Câu 9: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh bên bằng a; đáy là hình thoi, diện tích của
hai mặt chéo là S1 và S 2 ; góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo là α . Tính thể tích V
của khối hộp đã cho.

A. V =

S1S 2 cosα
a

B. V =

S1S 2 cosα
.
3a

C. V =

S1S 2 cosα

4a

D. V =

S1S 2 cosα
2a

Câu 10: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh bên bằng a và các góc
A ' AB, BDA, A ' AD đều bằng α ( 00 < α < 900 ) . Tính thể tích V của khối hộp.
A. V = a 3 sin 2α cos 2
C. V = 2a 3 sin

α
2

cos 2

a
− cos 2α arcsin θ
2

B. V = 2a 3 sin α cos 2

a
− cos 2α
2

D. Đáp số khác.

a

− cos 2α
2

Câu 11: Cho khối hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB = a, AD = b, BAD = α ; đường chéo AC ' hợp
với đáy góc β . Tính thể tích khối hộp đứng đã cho là:
A. V = 4ab a 2 + b 2 − 2ab.cosα .cosα .cosβ

B. V = 2ab a 2 + b 2 + 2ab.cosα .cosα .cosβ

C. V = 3ab a 2 + b 2 − 2ab.cosα .sin α .tanβ

D. V = ab a 2 + b 2 + 2ab.cosα .sin α .tanβ

CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36 , độ dài
đường chéo AC ′ bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?

A. 8 .

B. 8 2 .

C. 16 2 .

D. 24 3 .

Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp chữ nhật đã cho?

A. Vmax = 8 .

B. Vmax = 12 .

C. Vmax = 8 2 .

D. Vmax = 6 6 .

Câu 14: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6
. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp đã cho.

A. Vmax = 16 2 .
44

B. Vmax = 16 .

C. Vmax = 6 6 .

D. Vmax = 12 3 .


Khối Đa Diện Nâng Cao

Câu 15: Tìm Vmax là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3 2cm
và diện tích toàn phần bằng 18cm 2 .

A. Vmax = 6cm3 .

B. Vmax = 5cm3 .

C. Vmax = 4cm 3 .

D. Vmax = 3cm3 .

Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp chữ nhật đã cho?

A. Vmax = 8 .

B. Vmax = 12 .

C. Vmax = 8 2 .

D. Vmax = 6 6 .

Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6
. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp đã cho.

A. Vmax = 16 2 .

45

B. Vmax = 16 .

C. Vmax = 6 6 .

D. Vmax = 12 3 .


Khối Đa Diện Nâng Cao

C – HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho lăng trụ đứng ABCA′B′C ′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a. Góc giữa
mặt phẳng ( AB′C ) và mặt phẳng ( BB′C ) bằng 600 .Tính thể tích lăng trụ ABCA′B′C ′ .

A. a 3 2

C. a 3 6

B. 2 a 3

3a 3

D.

Hướng dẫn giải:
Từ A kẻ AI ⊥ BC ⇒ I là trung điểm
BC
AI ⊥ (BC C ′B′ ) ⇒ AI ⊥ B ′ C (1)

A'
B'

Từ I kẻ IM ⊥ B ′ C (2)

B'
H

Từ (1), (2) ⇒ B ′ C ⊥ (IAM)
Vậy góc giữa (A B ′ C) và ( B ′ CB) là
AMI = 600

M
M
B

I

C

1
Ta có AI= BC = a ; IM=
2
AI
a
=
0
tan 60
3

BH = 2 IM =

C'

600

A

C
I

B

2a
1
1
1
3
1
1
;
=
−
= 2− 2 = 2 .
2
2
2
BH
BC
4a
4a
2a
3 B'B

Suy ra BB′ = a 2 ; S ∆ABC =

1
1
AI .BC = a.2a = a 2
2
2

VABC A′B′C ′ = a 2.a 2 = a 3 2

Chọn A.

Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’
sao cho MA = MA ' và NC = 4 NC ' . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ
diện GA’B’C’, BB’MN , ABB’C’ và A’BCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?

A. Khối A’BCN

B. Khối GA’B’C’

C. Khối ABB’C’

D. Khối BB’MN

Hướng dẫn giải:
+ Nhận thấy khoảng cách từ G và A xuống mặt phẳng
( A’B’C’) là bằng nhau ( do G,A thuộc mặt phẳng

A

B

( ABC ) / / ( A’B’C’)
VGA ' B 'C ' = VA. A ' B 'C '
Mà VA. A ' B 'C ' = VABB 'C ' (Do 2 hình chóp này có 2 đáy AA’B’ và
ABB’ diện tích bằng nhau;chung đường cao hạ từ C’)

C

G

N

M

C'

A'

⇒ VGA ' B ' C ' = VABB 'C '
=> Không thế khối chóp GA’B’C’ hoặc ABB’C’ thể thích
nhỏ nhất → Loại B,C
46

B'


Khối Đa Diện Nâng Cao
+ So sánh Khối A’BCN và Khối BB’MN
Nhận thấy khoảng cách từ M và A’ xuống mặt BBCC’ là bằng nhau → Khối A’BCN và
Khối BB’MN có đường cao hạ từ M và A’ bằng nhau. Mặt khác Diện tích đáy BNB’ >
Diện tích đáy BCN
=> Khối A’BCN < Khối BB’MN .
=> Khối A’BCN có diện tích nhỏ hơn.

Chọn A.

Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB ' = a , góc giữa đường thẳng BB ' và ( ABC )
bằng 60° , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 60° . Hình chiếu vuông góc của điểm

B ' lên ( ABC ) trùng với trọng tâm của ∆ABC . Thể tích của khối tứ diện A '. ABC theo a

bằng

A.

13a 3
.
108

B.

7a3
.
106

C.

15a 3
.
108

D.

9a 3
.
208

Hướng dẫn giải:

Gọi M , N là trung điểm của AB, AC
và G là trọng tâm của ∆ABC .

(

B'

C'

)

B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ BB ', ( ABC ) = B ' BG = 600 .
1
1
VA '. ABC = .S ∆ABC .B ' G = . AC.BC.B ' G
3
6
Xét ∆B ' BG vuông tại G , có B ' BG = 600
a 3
. (nửa tam giác đều)
⇒ B 'G =
2

A'

60°
B

C
G

M

60°

A

Đặt AB = 2 x . Trong ∆ABC vuông tại C có BAC = 600
AB
⇒ tam giác ABC là nữa tam giác đều ⇒ AC =
= x, BC = x 3
2
3
3a
.
Do G là trọng tâm ∆ABC ⇒ BN = BG =
2
4
Trong ∆BNC vuông tại C : BN 2 = NC 2 + BC 2
3a

 AC = 2 13
2
2
2
x
9a
9a
3a


⇔
= + 3x 2 ⇔ x 2 =
⇒x=
⇒
16
4
52
2 13
 BC = 3a 3

2 13
1 3a 3a 3 a 3 9a 3
Vậy, VA ' ABC = .
.
.
=
.
6 2 13 2 13 2
208
47

N


Khối Đa Diện Nâng Cao

Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách
từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng ( A ' BC ) bằng

a

.Tính thể tích khối lăng trụ
6

ABC. A ' B ' C ' .
A.

3a 3 2
.
8

B.

3a 3 2
.
28

C.

3a 3 2
.
4

3a 3 2
.
16

D.

Hướng dẫn giải:
A'

Gọi M là trung điểm của BC ,
ta có ( A ' AM ) ⊥ ( A ' BC ) theo giao tuyến A ' M .

C'

Trong ( A ' AM ) kẻ OH ⊥ A ' M ( H ∈ A ' M ) .

⇒ OH ⊥ ( A ' BC )

B'

Suy ra: d ( O, ( A ' BC ) ) = OH =
S ∆ABC =

a
.
6

a2 3
.
4

A
O

Xét hai tam giác vuông A ' AM và OHM có góc M
chung nên chúng đồng dạng.

a

OH
OM
=
⇒ 6 =
Suy ra:
A' A A' M
A' A

⇒ A' A =

C

H
M

B

1 a 3
.
1
3 2
⇒
=
A' A
A ' A2 + AM 2

3
a 3
A ' A2 + 


 2 

2

.

a 6
a 6 a 2 3 3a 3 2
. Thể tích: VABC . A ' B ' C ' = S ∆ABC . A ' A =
.
.
=
4
4
4
16

Câu 5: Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ

A. V =

27 3
a .
8

B. V =

3 3
a .

4

C. V =

3 3
a .
2

D.

9 3
a .
4

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120° .

A'

ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E .
1
a2 3
S ABC = S DEF = a.a.sin120° =
2
4

F'

B'

E'
C'

D'

AC = AB 2 + BC 2 − 2. AB.BC.cos B
 1
= a 2 + a 2 − 2.a.a.  −  = a 3
 2
48

A

F

60°
B

H
C

E
D


Khối Đa Diện Nâng Cao

S ACDF = AC. AF = a 3.a = a 2 3
a2 3

a 2 3 3a 2 3
+ a2 3 +
=
4
4
2
a 3
B ' BH = 60° ⇒ B ' H = BB '.sin 60° =
2

S ABCDEF = S ABC + S ACDF + S DEF =

Suy ra

V = BH '.SABCDEF = a 3.

3a2 3 9 3
= a
4
4

Câu 6: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm
A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai

đường thẳng AA ' và BC bằng

A.

a3 3
12

B.

a 3
. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
4

a3 3
6

C.

a3 3
3

D.

a3 3
24

Hướng dẫn giải:
C'

B'

Gọi M là trung điểm BC, dựng MH vuông
góc với AA '. Suy ra MH = d ( BC , A ' A ) =
Đặt AH = x, ta có: A ' A = x 2 +

a 3

4

A'

a2
3

H

M

C

B

a
Từ A ' A.MH = A ' G. AM ⇒ x = .
3

A

a a2 3 a3 3
Vậy V = .
=
.
3 4
12

Chọn A.

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D ′ có cạnh bằng a , một mặt phẳng (α ) cắt các cạnh
1
3

2
5

AA′ , BB′ , CC ′ , DD′ lần lượt tại M , N , P , Q . Biết AM = a , CP = a . Thể tích khối
đa diện ABCD.MNPQ là:

A.

11 3
a .
30

2a 3
.
3

a3
.
3
11 3
D.
a .
15
B.

Hướng dẫn giải:

B

C.

C
O

A

D
N

M

I
P

Tứ giác MNPQ là hình bình hành có tâm là I
thuộc đoạn OO’.

Q
O1

B'

49

C'

O'
A'

D'


Khối Đa Diện Nâng Cao
Ta có: OI =

AM + CP 11
a
= a<
2
30
2

Gọi O1 là điểm đối xứng O qua I thì:
OO1=2OI=

11
a < a. Vậy O1 nằm trong đoạn OO’.
15

Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt
các cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ lần lượt tại
A1, B1,C1, D1. Khi đó I là tâm của hình hộp
ABCD. AB1C1 D1. Vậy V ( ABCD.MNPQ ) = V ( MNPQ. A1 B1C1 D1 ) =
1
1
11

V ( ABCD. A1B1C1 D1 ) = a 2OO1 = a 3
2
2
30

Câu 8: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bên bằng 1.; đáy ABCD là một hình chữ nhật có
các cạnh BA = 3, AD = 7; các mặt bên ( ABB ' A ' ) và

( ADD ' A ')

hợp với mặt đáy các

góc theo thứ tự 450 ;600. Thể tích khối hộp là:

B. 3 (đvdt)

A. 4 (đvdt)

C. 2 (đvdt)

D. 6 (đvdt)

D'

C'

Hướng dẫn giải:
Dựng A ' H ⊥ ( ABCD ) và
A ' I ⊥ AB, A ' J ⊥ AD ⇒ HI ⊥ AB, HJ ⊥ AD.
Ta có A ' IH = 450 ; A ' JH = 60 0.

A'

Đặt A ' H = h.
Tam giác HA ' J vuông có A ' JH = 600 nên là
nửa tam giác đều có cạnh A ' J , đường cao
A ' H , HJ là nửa cạnh

B'

D

C
600

⇒ A' J =

2h 3
h
=
2
3
2

⇒ A ' J 2 = AA '2 − A ' J 2 = 1 −
⇒ AJ =

J

H

A

450

I

12h 2 9 − 12h 2
=
9
9

3
9 − 12h 2
với 0 < h <
3
2

Tam giác HA ' I vuông cân tại H ⇒ IH = A ' H = h

AIHJ là hình chữ nhật.
AJ = IH ⇔

9 − 12h2
3
= h ⇔ 9 − 12h 2 = 9h 2 ⇔ h =
3
21

Thể tích khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' : V = S ABCD . A ' H = 3. 7.

50

3
= 3 (đvdt)
21

B


Khối Đa Diện Nâng Cao
Chọn B.

Câu 9: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh bên bằng a; đáy là hình thoi, diện tích của
hai mặt chéo là S1 và S 2 ; góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo là α . Tính thể tích V
của khối hộp đã cho.

A. V =

S1S2 cosα
a

B. V =

S1S2 cosα
.
3a

C. V =

S1S2 cosα

4a

D. V =

S1S2 cosα
2a

Hướng dẫn giải:
Gọi O và O ' theo thứ tự là tâm của hai mặt
đáy ABCD, A ' B ' C ' D '.

D'

C'

Hai mặt chéo ( ACC ' A ' ) và ( BDD ' B ' ) có
giao tuyến là OO ', có diện tích theo thứ tự
S1 , S2 .
Dựng mặt phẳng ( P ) vuông góc với OO'
tại I , cắt các cạnh bên AA ', BB ', CC ', DD '
theo thứ tự tại E , F , G , H ( ( P ) ⊥ các cạnh
bên).
Ta có: EG , HF ⊥ OO' tại I ⇒ EIH = α là
góc giữa hai mặt phẳng chéo ( ACC ' A ' ) và

A'

B'
H

G
I

P

F

E
D

A

C

B

( BDD ' B ') .
- EFGH là một thiết diện thẳng của hình hộp và là một hình bình hành.
Do đó, ta có thể tích V của hình hộp là:
1
V = S EFGH . AA ' = .EG.HF . AA '.sin α
2
Ta lại có: S1 = S ACC ' A ' = EG.AA' ⇔ EG=

S1
S
; S 2 = S BDD ' B ' = HF .BB ' ⇔ HF = 2
a
a

S S cosα
1 S S
⇒ V = . 1 . 2 a.sin α = 1 2
.
2 a a
2a

Chọn D.

Câu 10: Cho khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh bên bằng a và các góc
A ' AB, BDA, A ' AD đều bằng α ( 00 < α < 900 ) . Tính thể tích V của khối hộp.
A. V = a 3 sin 2α cos 2
C. V = 2a 3 sin

α
2

Hướng dẫn giải:
51

cos 2

a
− cos 2α arcsin θ
2

B. V = 2a 3 sin α cos 2

a
− cos 2α

2

D. Đáp số khác.

a
− cos 2α
2


Khối Đa Diện Nâng Cao

Ta có
 A ' O ⊥ BD
⇒ BD ⊥ ( A ' AC ) ⇒ BD ⊥ AH

 AC ⊥ BD

⇒ AH ⊥ ( ABCD ) ⇒ HK ⊥ AD

C'

D'

Dựng A ' H ⊥ AC ; A ' K ⊥ AD ⇒ ∆A ' BD
cân tại A ' ⇒ A ' O ⊥ BD

A'

B'

D

C
K

Đặt A ' AO = β .∆HAA ' vuông tại
AH
H ⇒ cosβ =
AA '

O

H

A

B

ABCD là hình thoi ⇒ AC là phân giác
góc BAD = α ,∆KAH vuông tại K
⇒ cos

α
2

α AH AK AK
AK
⇒ cosβ .cos =
.
=

= cosα
2 AA ' AH AA '
AH

=

cosα

⇒ cosβ =

cos

α

cos

2

Do đó ta có: VABCD. A ' B 'C ' D ' = S ABCD . A ' H = a 2 .sin α .

= 2a 3 sin

α
2

cos 2α

⇒ A ' H = AA '.sin β = a.sin β ⇒ A ' H = a 1 −

cos 2

a
cos

α

cos 2

α
2

2 α

=

2

a
cos

α

cos 2

α
2

− cos 2α

2

− cos 2α

2

a
− cos 2α .
2

Chọn C.

Câu 11: Cho khối hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB = a, AD = b, BAD = α ; đường chéo AC ' hợp
với đáy góc β . Tính thể tích khối hộp đứng đã cho là:
A. V = 4ab a 2 + b2 − 2ab.cosα .cosα .cosβ

B. V = 2ab a 2 + b2 + 2ab.cosα .cosα .cosβ

C. V = 3ab a 2 + b2 − 2ab.cosα .sin α .tanβ

D. V = ab a 2 + b2 + 2ab.cosα .sin α .tanβ

Hướng dẫn giải:

V = ab a 2 + b2 + 2ab.cosα .sin α .tan β
Ta có: CC ' ⊥ ( ABCD )

⇒ CAC ' = β
( ABCD ) .

là góc của

D'

AC ' và mặt đáy

C'

A'

b

B'
D

C

52

A

a

B


Khối Đa Diện Nâng Cao
Xét ∆ABC , ta có: AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 AB.BC.cos ABC
= a 2 + b 2 + 2ab.cos (1800 − α ) = a 2 + b 2 + 2 ab.cosα .
⇒ AC = a 2 + b 2 + 2ab.cosα

Do đó ta có: CC ' = AC.tan β = a 2 + b2 + 2ab.cosα .tan β .
Thể tích của hình hộp đứng: V = S ABCD .CC ' = ab sin α . a 2 + b 2 + 2ab.cosα . tan β

V = ab a 2 + b2 + 2ab.cosα .sin α .tanβ
Chọn D.

CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36 , độ dài
đường chéo AC ′ bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu?

A. 8 .

B. 8 2 .

C. 16 2 .

D. 24 3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a , b , c > 0
Ta có
AC ′2 = a 2 + b 2 + c 2 = 36; S = 2 ab + 2bc + 2ca = 36 ⇒ (a + b + c ) 2 = 72 ⇒ a + b + c = 6 2
3

3
a+b+c 3
 a+b+c 6 2 
≥ abc ⇒ abc ≤ 
 = 16 2 . Vậy VMax = 16 2

 =
3
3

  3 

Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp chữ nhật đã cho?

A. Vmax = 8 .

C. Vmax = 8 2 .

B. Vmax = 12 .

D. Vmax = 6 6 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật. Ta có
* Độ dài đường chéo d = a 2 + b 2 + c 2 = 6 .
* Tổng diện tích các mặt S = 2 ( ab + bc + ca ) = 36 .
Ta tìm giá trị lớn nhất của V = abc .
Ta có a + b + c = a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ac = 6 2 .

(

Mà ( b + c ) ≥ 4bc ⇔ 6 2 − a
2

(

(

)

2

(

Khi đó V = abc = a 18 − a 6 2 − a

)) = a

3

Khảo sát hàm số y = f ( a ) trên 0; 4 2  .
53

(

≥ 4 (18 − a ( b + c ) ) = 4 18 − a 6 2 − a

− 6 2a 2 + 18a = f ( a ) .

)) ⇔ 0 ≤ a ≤ 4

2.

Khối Đa Diện Nâng Cao
a = 2
Ta có f ′ ( a ) = 0 ⇔ 
.
 a = 3 2
So sánh f ( 0 ) = 0, f

( 2) = 8

(

)

(

)

2, f 3 2 = 0, f 4 2 = 8 2 ta được Vmax = 8 2 .

Câu 14: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6
. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp đã cho.
A. Vmax = 16 2 .

B. Vmax = 16 .

C. Vmax = 6 6 .

D. Vmax = 12 3 .

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi a, b, c là kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có

4 ( a + b + c ) = 32
a + b + c = 8
⇔ 2
 2
2
2
2
2
a + b + c = 24
 a + b + c = 2 6
Suy ra ab + bc + ca =

(b + c )

2

(a + b + c)

2

− ( a2 + b2 + c2 )
2

= 20

≥ 4bc ⇔ ( 8 − a ) ≥ 4  20 − a ( 8 − a )  ⇔ 0 ≤ a ≤ 4 .

2

V = abc = a  20 − a ( 8 − a )  = f ( a ) = a ( a 2 − 8a + 20 ) .

Suy ra Vmax = max f ( a ) = f ( 2 ) = f ( 4 ) = 16
[0;4]

Câu 15: Tìm Vmax là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3 2cm
và diện tích toàn phần bằng 18cm2 .
A. Vmax = 6cm3 .

B. Vmax = 5cm3 .

C. Vmax = 4cm 3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

a 2 + b2 + c 2 = 18
Đặt a, b, c là kích thước của hình hộp thì ta có hệ 
.
ab + bc + ac = 9
Suy ra a + b + c = 6. Cần tìm GTLN của V = abc.

54

D. Vmax = 3cm3 .


Khối Đa Diện Nâng Cao

Ta có b + c = 6 − a ⇒ bc = 9 − a ( b + c ) = 9 − a ( 6 − a ) .
Do ( b + c ) ≥ 4bc ⇒ ( 6 − a ) ≥ 4 9 − a ( 6 − a )  ⇔ 0 < a ≤ 4.
2

2

Tương tự 0 < b, c ≤ 4 .
Ta lại có V = a 9 − a ( 6 − a )  . Khảo sát hàm số này tìm được GTLN của V là 4.

Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng 36 và độ dài đường chéo bằng 6 .
Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp chữ nhật đã cho?

A. Vmax = 8 .

C. Vmax = 8 2 .

B. Vmax = 12 .

D. Vmax = 6 6 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhật. Ta có
* Độ dài đường chéo d = a 2 + b 2 + c 2 = 6 .
* Tổng diện tích các mặt S = 2 ( ab + bc + ca ) = 36 .
Ta tìm giá trị lớn nhất của V = abc .
Ta có a + b + c = a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ac = 6 2 .

(

Mà ( b + c ) ≥ 4bc ⇔ 6 2 − a
2

(

)

2

(

(

Khi đó V = abc = a 18 − a 6 2 − a

)) = a

3

( 2) = 8

(

)) ⇔ 0 ≤ a ≤ 4

2.

− 6 2a 2 + 18a = f ( a ) .

Khảo sát hàm số y = f ( a ) trên 0; 4 2  .

a = 2
.
Ta có f ′ ( a ) = 0 ⇔ 
 a = 3 2
So sánh f ( 0 ) = 0, f

(

≥ 4 (18 − a ( b + c ) ) = 4 18 − a 6 2 − a

)

(

)

2, f 3 2 = 0, f 4 2 = 8 2 ta được Vmax = 8 2 .

Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 32, độ dài đường chéo bằng 2 6
. Tìm thể tích lớn nhất Vmax của hình hộp đã cho.

A. Vmax = 16 2 .

B. Vmax = 16 .

C. Vmax = 6 6 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B
Gọi a, b, c là kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có

a + b + c = 8
4 ( a + b + c ) = 32
⇔ 2
 2
2
2
2
2
a + b + c = 24
 a + b + c = 2 6
Suy ra ab + bc + ca =

(b + c )
55

2

(a + b + c)

2

− ( a2 + b2 + c2 )
2

= 20

≥ 4bc ⇔ ( 8 − a ) ≥ 4  20 − a ( 8 − a )  ⇔ 0 ≤ a ≤ 4
2

D. Vmax = 12 3 .


Khối Đa Diện Nâng Cao
.
V = abc = a  20 − a ( 8 − a )  = f ( a ) = a ( a 2 − 8a + 20 ) .
Suy ra Vmax = max f ( a ) = f ( 2 ) = f ( 4 ) = 16
[0;4]

56