Toán hình 12 - bài tập nâng cao về tỉ lệ THỂ TÍCH

Khối Đa Diện Nâng Cao

TỈ LỆ THỂ TÍCH
A- LÝ THUYẾT CHUNG
1. Hai khối chóp S . A1 A2 ... An và S .B1 B2 ...Bm có chung đỉnh S và hai mặt đáy cùng nằm trên một mặt
VS . A1 A2 ... An S A1 A2 ... An
phẳng, ta có:
=
VS .B1B2 ...Bm S B1B2 ... Bm
2. Hai khối chóp tam giác S . ABC có A′ ∈ SA, B′ ∈ SB, C ' ∈ SC ta có:

VS . A ' B ' C ' SA′ SB′ SC ′
=
.
.
vS . ABC
SA SB SC

3. Kiến thức cần nhớ đối với khối lăng trụ tam giác và khối hộp.
 VA′. ABC =

V
2V
, VA′. BCC ′B′ =
.
3
3

 VA′. ABD =

V

V
, VBDA′C ′ = .
6
3

4. Một số công thức nhanh cho các trường hợp hay gặp
2

2

BH  AB  CH  AC 
=
=
 Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH có
 ,
 .
BC  BC  CB  BC 
 Mặt phẳng (α ) song song với mặt đáy của khối chóp S . A1 A2 ... An cắt SAk tại điểm M k thỏa mãn

VS .M1M 2 ...M n
SM k
= p3 .
= p, ta có
SAk
VS . A1 A2 ... An
 Hình lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có

AM
BN
CP

x+ y+z
= x,
= y,
= z có VABC .MNP =
V.
AA′
BB′
CC ′
3

AM
BN
CP
= x,
= y,
= z . Mặt phẳng ( MNP ) cắt DD ' tại Q thì ta
′
′
AA
BB
CC ′
DQ
x+ y + z +t
có đẳng thức x + z = y + t với t =
và VABCD .MNPQ =
V.
DD′
4
 Hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có

SM
SN
SP
= x,
= y,
= z . Mặt phẳng
SA
SB
SC
1 1 1 1
SQ
thức
+ = +
với t =
và
x z y t
SD

 Hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và

( MNP )
VS .MNPQ =

cắt

SD

tại

Q

thì

ta

có

 1 1 1 1
1
xyzt  + + + V .
4
x y z t

 Định lí Meneleus cho 3 điểm thẳng hàng
đường thẳng AB, BC , CA lần lượt tại M , N , P.

57

đẳng

MA NB PC
.
.
= 1 với MNP là một đường thẳng cắt ba
MB NC PA


Khối Đa Diện Nâng Cao

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Cho hình chóp S . ABC .Trên cạnh SA lấy các điểm M , N sao cho SM = MN = NA .Gọi

(α ) , ( β ) là các mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ABC ) và lần lượt đi qua M , N .Khi đó
hai mặt phẳng (α ) , ( β ) chia khối chóp đã cho thành 3 phần.Nếu phần trên cùng có thể tích
là 10 dm3 tích hai phần còn lại lần lượt là?

Câu 2:

A. 80 dm3 và 190 dm3 .

B. 70 dm3 và 190 dm3 .

C. 70 dm3 và 200 dm3 .

D. 80 dm3 và 180 dm3 .

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng V . Gọi
SM 1 SN 2 SP 1
M , N , P lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho
= ,
= ,
= .
SA 2 SB 3 SC 3
Mặt phẳng ( MNP ) cắt cạnh SD tại điểm Q . Tính thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ .

A.
Câu 3:

5
V.
63

B.

10
V.
63

C.

53
V.
63

D.

58
V.
63

Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 3a , AD = a , SA vuông góc với
đáy và

SA = a . Mặt phẳng (α ) qua A vuông góc với SC cắt SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P
. Tính thể tích khối chóp S. AMNP .
A.
Câu 4:

3 3a 3
.
40

B.

3a 3
.
40

C.

3a 3
.
10

D.

3a 3
.
30

Cho khối chóp S . ABCD có thể tích V và đáy là hình bình hành. Điểm S ′ thỏa mãn
SS ′ = k DC ( k > 0 ) . Biết thể tích phần chung của hai khối chóp S . ABCD và S ′. ABCD là
7
V . Tìm k .
25

A. k = 9 .
Câu 5:

B. k = 6 .

C. k = 11 .

D. k = 4 .

Cho hình chóp S . ABC có tất cả các cạnh đều bằng a . Một mặt phẳng ( P ) song song với
mặt đáy ( ABC ) cắt các cạnh SA , SB , SC lần lượt tại M , N , P . Tính diện tích tam giác

MNP biết ( P ) chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau.
A. S ∆MNP =
Câu 6:

a2. 3
.
8

B. S ∆MNP =

a3 . 3
.
16

C. S∆MNP =

a2. 3
43 2

D. S∆MNP =

a2. 3
.
43 4

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = b và cạnh bên

SA = c vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi M là một điểm trên cạnh SA sao cho
AM = x ( 0 < x < c ) . Tìm x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp thành hai khối đa diện có

thể tích bằng nhau.

58


Khối Đa Diện Nâng Cao
A. x =
Câu 7:

SM −3 + 13
.
=
SA
2

( 2 − 3 ) ab .
2c

C. x =

(3 − 5 ) c .
2

D. x =

(

)

5 − 1 ab
2c

.

B.

SM −4 + 26
.
=
SA
2

C.

SM −3 + 17
.
=
SA
2

D.

SM −3 + 23
.
=
SA
2

Cho điểm M trên cạnh SA , điểm N trên cạnh SB của hình chóp tam giác S . ABC có thể tích
SM 1 SN
bằng V sao cho
= ,
= x . Mặt phẳng ( P ) qua MN và song song với SC chia khối
SA 3 SB
chóp S . ABC thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. Tính x .

A. x =
Câu 9:

2

B. x =

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB / /CD và CD = 4 AB .Gọi M
SM
là 1 điểm trên cạnh SA sao cho 0 < AM < SA . Tìm tỉ số
sao cho mặt phẳng ( CDM )
SA
chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau:

A.
Câu 8:

(3 − 2 ) c .

4− 5
3

B. x =

8 − 10
6

C. x =

4− 5
6

D. x =

8 − 10
9

Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , BC svà
BD
E là điểm thuộc tia đối DB sao cho
= k . Tìm k để mặt phẳng ( MNE ) chia khối tứ
BE
diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích là

A. k =

6
.
5

B. k = 6 .

C. k = 4 .

11 2a 3
.
294

D. V = 5 .

Câu 10: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2cm. Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của ba tam
giác ABC , ABD, ACD. Tính thể tích V của khối chóp AMNP.

A. V =

2
cm3 .
162

B. V =

2 2 3
cm .
81

C. V =

4 2 3
cm .
81

D. V =

2
cm3 .
144

Câu 11: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc
60° . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC. Mặt phẳng ( BMN )
chia khối chóp S . ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé)
bằng:

A.

7
.
5

B.

1
.
7

C.

7
.
3

D.

6
.
5

Câu 12: (Hình học không gian) Cho tứ diện ABCD và M , N , P lần lượt thuộc BC , BD, AC sao cho
BC = 4 BM , BD = 2 BN , AC = 3 AP. Mặt phẳng ( MNP ) cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai

phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng ( MNP ) .

A.

59

2
3

B.

7
13

C.

5
13

D.

1
3


Khối Đa Diện Nâng Cao
Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ', có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 .
Lấy M, N lần lượt trên cạnh AB ', A ' C sao cho

AM A ' N 1
=
= . Tính thể tích V của khối
AB ' A ' C 3

BMNC ' C.
A.

a3 6
108

B.

2a 3 6
27

C.

3a 3 6
108

D.

a3 6
27

Câu 14: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên
1
và phẳng đáy là α thỏa mãn cosα = . Mặt phẳng ( P ) qua AC và vuông góc với mặt
3
phẳng ( SAD ) chia khối chóp S . ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện
là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau:

A. 0,11

B. 0,13

C. 0, 7

D. 0,9

Câu 15: Cho tứ diện S . ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA = 2SM ,
SN = 2 NB , (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu ( H1 ) và ( H 2 ) là các
khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S . ABC bởi mặt phẳng (α ) , trong đó, ( H1 ) chứa
điểm S , ( H 2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của ( H1 ) và ( H 2 ) . Tính tỉ số

A.

4
5

B.

5
4

C.

3
4

D.

V1
.
V2

4
3

Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC , SD lần
lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S . AB’C’D’ theo a.

A.

3 3a 3
20

3a 3
20

B.

C

3 3a 3
10

D.

3 5a 3
10

Câu 17: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc
giữa hai mặt phẳng (P) và (BCD) có số đo là α thỏa mãn tan α =
tứ diện ABCE và tứ diện BCDE lần lượt là V1 và V2 . Tính tỷ số

A.

3
8

B.

1

8

C.

3
5

5 2
. Gọi thể tích của hai
7

V1
.
V2

D.

5
8

Câu 18: Cho khối chóp S . ABC có SA = 6, SB = 2, SC = 4, AB = 2 10 và ∠SBC = 90° , ∠ASC = 120° .
Mặt phẳng ( P ) qua B và trung điểm N của SC và vuông góc với mặt phẳng ( SAC ) cắt
cạnh SA tại M . Tính tỉ số thể tích

A.
60

2
.
9

B.

2
.
5

VS .MBN
.
VS . ABC

C.

1
.
6

D.

1
.
4


Khối Đa Diện Nâng Cao
Câu 19: Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện A1B1C1 D1 có thể tích V1 , các đỉnh
A1 , B1 , C1 , D1 lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, DAB,ABC . Khối tứ diện
A2 B2C2 D2 có thể tích V2 , các đỉnh A2 , B2 , C2 , D2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác
B1C1D1 , C1D1 A1 , D1 A1B1 , A1B1C1 . Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện An BnCn Dn có thể
tích Vn , các đỉnh An , Bn , Cn , Dn lần lượt là trọng tâm của các tam giác Bn−1Cn −1 Dn −1 ,

Cn −1 Dn −1 An −1 , Dn −1 An −1 Bn −1 , An−1 Bn −1Cn −1 . Tính S = V1 + V2 + ... + V2018 ?

(3

− 1) V

2018

A. S =
C. S =

2018

2.3

( 27

2018

− 1)V

26.27

2018

B. S =

.

( 27

2019

26.27 2019

(3

− 1) V

2019

D. S =

.

− 1) V

2019

2.3

.

.

Câu 20: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ . Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh bên AA′, CC ′
sao cho MA = MA′; NC = 4 NC ′ . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Hỏi trong bốn khối tứ
diện GA′B′C ′, BB′MN , ABB′C ′ và A′BCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?

A. Khối A′BCN .

B. Khối GA′B′C ′ .

C. Khối ABB′C ′ .

D. Khối BB′MN .

Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ , có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 .
Lấy M , N lần lượt trên cạnh AB’, A’C sao cho

AM
A'N
1
=
= . Tính thể tích V của khối
AB '
A 'C
3

BMNC’C.
A.

a3 6
108

B.

2a 3 6
27

C.

3a 3 6
108

D.

a3 6
27

Câu 22: Cho khối lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh a . Các điểm E và F lần lượt là trung điểm
của C ′B′ và C ′D′ . Mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V1 là
thể tich khối chứa điểm A′ và V2 là thể tich khối chứa điểm C ' . Khi đó

A.

25
.
47

B. 1.

C.

17
.
25

V1
là

V2

D.

8
.
17

Câu 23: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
A ' B ' và BC . Mặt phẳng ( DMN ) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi

(H )
A.

61

là khối đa diện chứa đỉnh A, ( H ') là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số

V( H )
V( H ')

=

37
48

B.

V( H )
V( H ')

=

55
89

C.

V( H )
V( H ')

=

2
3

V( H )
V( H ')

D.

.

V( H )
V( H ')

=

1
2

Khối Đa Diện Nâng Cao
Câu 24: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các
cạnh A′B′ và BC . Mặt phẳng ( DMN ) chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi V1 là thể tích
của phần chứa đỉnh A, V2 là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số

A.

2
.
3

B.

55
.
89

C.

37
.
48

V1
.
V2

D.

1
.
2

Câu 25: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M là trung điểm A’B’. Mặt phẳng (P) qua BM đồng
thời song song với B’D’. Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối có thể tích là
V
V1 , V2 (Trong đó V1 là thể tích khối chứa A). Tính tỉ số F = 1 .
V2
A.

7
.
17

B. 1.

C.

17
.
25

D.

8
.
17

Câu 26: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
AA’ và B’C’. Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai
phần đó.
A.

25
.
47

B. 1.

C.

49
.
95

D.

8
.
17

CỰC TRỊ TỈ LỆ THỂ TÍCH
Câu 27: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A′ , C ′ thỏa
1
1
mãn SA′ = S A, SC ′ = SC . Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng A′C ′ cắt các cạnh SB, SD
3
5

V
lần lượt tại B′, D′ và đặt k = S . A′B′C ′D′ . Giá trị nhỏ nhất của k là bao nhiêu?
VS . ABCD

A.

1
.
60

B.

1
.
30

C.

4
.
15

D.

15
.
16

Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi C ′ là trung điểm cạnh SC .
V

Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng AC ′ cắt các cạnh SB, SD tại B′, D′ . Đặt m = S .B′C ′D′ .
VS . ABCD
Giá trị nhỏ nhất của m bằng :

A.

2
.
27

B.

4
.
27

C.

1
.
9

D.

2
.
9

Câu 29: Cho khối tứ diện đều S . ABC cạnh bằng a . Mặt phẳng ( P ) đi qua S và trọng tâm của tam
giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M , N . Đặt m =

VS . AMN
. Giá trị nhỏ nhất của m
VS . ABC

bằng

A.
62

2
.
3

B.

2
.
9

C.

4
.
9

D.

1
.

3


Khối Đa Diện Nâng Cao
Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có thể tích V và đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng qua A
và trung điểm N cạnh SC cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M , P . Tính thể tích nhỏ nhất của
khối chóp S. AMNP .

A.

V
.
8

B.

3V
.
8

C.

V
.
4

D.

V
.

3

Câu 31: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình hình hành. Các điểm A′ , C ′ thỏa
1
1
mãn SA′ = SA, SC ′ = SC . Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng A′C ′ cắt các cạnh SB, SD
3
5
V
lần lượt tại B′, D′ và đặt k = S . A′B′C ′D′ . Tính giá trị lớn nhất của k là bao nhiêu?
VS . ABCD

A.

4
.
105

B.

1
.
30

C.

4
.
15

D.

4
.
27

Câu 32: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình bình hành và có thể tích V . Gọi M , N thứ tự là
các điểm di động trên các cạnh AB, AD sao cho

AB 2 AD
+
= 4 . Gọi V ' là thể tích khối
AM
AN

chóp S . AMN . Tìm giá trị nhỏ nhất của V ' .

A.

1
V
4

B.

1
V
6

C.

1
V
8

D.

1
V
3

Câu 33: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình bình hành và có thể tích V . Gọi M , N thứ tự là
các điểm di động trên các cạnh AB, AD sao cho

AB 2 AD
+
= 4 . Gọi V ' là thể tích khối
AM
AN

chóp S .MBCDN . Tìm giá trị lớn nhất của V ' .

A.

1
V
4

B.

2
V
3

C.

3
V
4

D.

1
V
3

Câu 34: Cho hình chóp S . ABCD có thể tích V , đáy là hình bình hành. Mặt phẳng (α ) đi qua A ,
trung điểm I của SO cắt các cạnh SB, SC , SD lần lượt tại M , N , P . Tính thể tích nhỏ nhất
của khối chóp S. AMNP .

A.

V
.
18

B.

V
.

3

C.

V
.
6

D.

3V
.
8

Câu 35: Cho hình chóp S . ABCD, SA là đường cao, đáy là hình chữ nhật với SA = a, AB = b, AD = c.
Trong mặt phẳng ( SDB ) lấy G là trọng tâm tam giác SDB , qua G kẻ đường thẳng d cắt
cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N, mp ( AMN ) cắt SC tại K. Xác định M thuộc SB sao cho
VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó.

63

A. VSAMKN → max =

abc
abc
,VSAMKN → min =
8
9

B. VSAMKN → max =

abc
abc
, VSAMKN → min =
8
10

C. VSAMKN → max =

abc
abc
,VSAMKN → min =
9
10

D. VSAMKN → max =

abc
abc
,VSAMKN → min =
10
11


Khối Đa Diện Nâng Cao
Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm A ', C ' thỏa mãn
1
1
SA ' = SA , SC ' = SC . Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng A ' C ' cắt các cạnh SB, SD lần
3

5
V
lượt tại B ', D ' và đặt k = S . A ' B 'C ' D ' . Giá trị lớn nhất của k là?
VS . ABCD

A.

4
.
105

B.

1
.
30

C.

4
.
15

D.

4
.
27

Câu 37: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng song song với đáy

cắt các cạnh bên SA , SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P , Q . Gọi M ′ , N ′ , P ′ , Q′ lần lượt
là hình chiếu của M , N , P , Q trên mặt phẳng đáy. Tìm tỉ số

SM
để thể tích khối đa diện
SA

MNPQ.M ′N ′P′Q′ đạt giá trị lớn nhất.

A.

3
.
4

B.

2
.
3

C.

1
2

D.

1
.

3

Câu 38: Cho khối chóp S . ABC . Một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên SA , SB , SC
lần lượt tại M , N , P . Gọi M ′ , N ′ , P ′ lần lượt là hình chiếu của M , N , P trên mặt phẳng
SM
đáy. Tìm tỉ số
để thể tích khối đa diện MNP. M ′N ′P ′ đạt giá trị lớn nhất.
SA
A.

3
.
4

B.

2
.
3

C.

1
.
2

D. . .
.

Câu 39: Cho hình chóp S . ABC D có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Điểm P là trung điểm

của SC , một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N . Gọi V1 là
thể tích của khối chóp S . AM PN . Tìm giá trị nhỏ nhất của

A.

1
.
8

B.

2
.
3

C.

V1
?
V

3
.
8

D.

1
.
3

°
Câu 40: Cho hình chóp S. ABC có ∠ASB = ∠BSC = ∠CSA = 30 và SA = SB = SC = a . Mặt phẳng
( P ) qua A cắt hai cạnh SB, SC lần lượt tại B′, C ′ sao cho chu vi tam giác AB′C ′ nhỏ nhất.

Gọi V1 ,V2 lầ lượt là thể tích các khối chóp S . AB′C ′, S . ABC . Tính tỉ số

A.

V1
= 3− 2 2 .
V2

B.

V1
= 3 −1 .
V2

C.

V1
= 4−2 3.
V2

V1
.
V2

D.

V1
= 2 −1 .
V2

Câu 41: Cho khối chóp S. ABC có SA = SB = SC = a ASB = 60° , BSC = 90° , ASC = 120° . Gọi
CN AM
. Khi khoảng cách giữa
=
M , N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho
SC
AB
M và N nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp S . AMN .

64


Khối Đa Diện Nâng Cao
A.

65

2a 3
.
72

B.

5 2a 3
.

72

C.

5 2a 3
.
432

D.

2a 3
.
432


Khối Đa Diện Nâng Cao

C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:

Cho hình chóp S . ABC .Trên cạnh SA lấy các điểm M , N sao cho SM = MN = NA .Gọi

(α ) , ( β ) là các mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ABC ) và lần lượt đi qua M , N .Khi đó
hai mặt phẳng (α ) , ( β ) chia khối chóp đã cho thành 3 phần.Nếu phần trên cùng có thể tích
là 10 dm3 tích hai phần còn lại lần lượt là?

A. 80 dm3 và 190dm3 .

B. 70 dm3 và 190dm3 .

C. 70 dm3 và 200 dm3 .

D. 80 dm3 và 180dm3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B
S

Đặt V = VS . ABC , V1 = S S . MNP ta có:

M

Q

3

V1 =

SM SP SQ
1
1
. . .V =   V = V ⇒ V = 270 dm3 .
SA SB SC
27
 3

N

F

P

C

Tương tự ta có :

E

3

V1 + V2 =

SN SE SF
8
2
. . .V =   V = V = 80 dm3 .
27
SA SB SC
3

B

Do đó: V2 = 80 − V1 = 70 dm3 , V3 = V − V1 − V2 = 190 dm3 .

Chọn B.
Câu 2:

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng V . Gọi
SM 1 SN 2 SP 1
M , N , P lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho

= ,
= ,
= .
SA 2 SB 3 SC 3
Mặt phẳng ( MNP ) cắt cạnh SD tại điểm Q . Tính thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ .

A.

5
V.
63

B.

10
V.
63

Hướng dẫn giải:
Chọn D

Đặt x =
t=

SQ
.
SD

Ta có

Do đó
66

SM 1
SN 2
SP 1
= , y=
= , z=
= ,
SA 2
SB 3
SC 3

1 1 1 1
3 1
2
+ = + ⇒ 2+3= + ⇔ t = .
x z y t
2 t
7

C.

53
V.
63

D.

58

V.
63


Khối Đa Diện Nâng Cao
1
1
1
5
VS .MNPQ = VS .MNP + VS .PQM = xyz. V + zxt. V = xz ( y + t ) V = V .
2
2
2
63
5 
58

Suy ra VABCD .MNPQ =  1 −  V = V .
63
63



Câu 3:

Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 3a , AD = a , SA vuông góc với
đáy và

SA = a . Mặt phẳng (α ) qua A vuông góc với SC cắt SB , SC , SD lần lượt tại M , N , P .
Tính thể tích khối chóp S . AMNP .

A.

3 3a 3
.
40

B.

3a 3
.
40

C.

3a3
.
10

D.

3a3
.
30

Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có
SC ⊥ (α ) ⇒ SC ⊥ AM , SC ⊥ AN , SC ⊥ AP .
Mặt khác
CB ⊥ ( SAB ) ⇒ AM ⊥ CB ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ SB

. Tương tự ta có AP ⊥ SD .
Thể tích khối chóp ban đầu là
1
3a 3
.
V=
3a 2 .a =
3
3
Tính các tỉ số x =

SA
=1,
SA

2

y=

SM  SA 
a2
1
=
=
= ,

2
2
SB  SB 
a + 3a

4

z=

SN  SA 
a2
SP  SA 
a2
1
1
,
=
=
=
=
=
=
= .
t



SC  SC 
a 2 + 3a 2 + a 2 5
SD  SD 
a2 + a2 2

2

Vậy V ′ =

Câu 4:

2

xyzt  1 1 1 1 
3
3a 3
.
+
+
+
=
=
V
V


4 x y z t
40
40

Cho khối chóp S . ABCD có thể tích V và đáy là hình bình hành. Điểm S ′ thỏa mãn
SS ′ = k DC ( k > 0 ) . Biết thể tích phần chung của hai khối chóp S . ABCD và S ′. ABCD là
7
V . Tìm k .
25

A. k = 9 .
Hướng dẫn giải:

Chọn D
67

B. k = 6 .

C. k = 11 .

D. k = 4 .


Khối Đa Diện Nâng Cao
Ta có AB // CD // SS ′ nên B′ = S ′A ∩ SB, C ′ = S ′D ∩ SC .
Theo Thales ta cũng có
B′S C ′S S ′S
SB′ SC ′
k
SD
=
=
=k⇒
=
=
,t =
= 1.
′
′
+
B B C C DC
SB SC k 1
SD

Do đó VS . ADC ′B′



k 2 ( 2k + 1)
1
1
1 
k
k 1 1
= .1.1.
.
V.
 + + k + k V =
2
k +1 k +1 1 1
4
2k ( k + 1)

k +1 k +1 


 k 2 ( 2k + 1) 
7
Vậy thể tích phần chung là V ′ = V − VS . ADC ′B′ = 1 −
V = V ⇔ k = 4 ( k > 0 ) .
2
 2k ( k + 1) 
25




Câu 5:

Cho hình chóp S . ABC có tất cả các cạnh đều bằng a . Một mặt phẳng ( P ) song song với
mặt đáy ( ABC ) cắt các cạnh SA , SB , SC lần lượt tại M , N , P . Tính diện tích tam giác

MNP biết ( P ) chia khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau.
A. S∆MNP =

a2. 3
.
8

B. S∆MNP =

a3 . 3
.
16

C. S∆MNP =

a2. 3
43 2

D. S∆MNP =

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

VS .MNP SM SN SP  SM 
=
=
.
.

VS . ABC
SA SB SC  SA 

Theo bài ra:

VS .MNP 1
=
VS . ABC 2

3

(1)

( 2)
3

 SM  1
Từ (1) , ( 2 ) ta có 
 =
 SA  2
SM
1
⇔
=3

SA
2

Lại có:
1
d S , MNP ) ) .S ∆MNP
VS .MNP 3 ( (
1
=
=
1
VS . ABC
d ( S , ( ABC ) ) .S ∆ABC 2
3
Mà

d ( S , ( MNP ) )
d ( S , ( ABC ) )

=

1
SM
=3
SA
2

Từ ( 3 ) , ( 4 ) ta có được

68

( 3)

( 4)

3
3
2
2 a2 . 3 a2. 3
S ∆MNP 3 2
⇒ S∆MNP =
S∆ABC =
.
= 3
=
2
2
4
S ∆ABC
2
4. 4

a2. 3
43 4

.


Khối Đa Diện Nâng Cao
Câu 6:

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b và cạnh bên

SA = c vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Gọi M là một điểm trên cạnh SA sao cho
AM = x ( 0 < x < c ) . Tìm x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp thành hai khối đa diện có
thể tích bằng nhau.

A. x =

(3 − 2 ) c .
2

B. x =

( 2 − 3 ) ab .

C. x =

2c

(3 − 5 ) c .

D. x =

2

(

)

5 − 1 ab
2c

.

Hướng dẫn giải:
Chọn C

S

SM SN c − x
Ta có
=
=
SA SD
c
Vì vậy

VS .MBC SM c − x
c−x
=
=
⇒ VS .MBC =
VS . ABCD
VS . ABC
SA
c
2c

M

Và

(c − x) V
VSMNC SM .SN ( c − x )
=
=
⇒ VS .MNC =
S . ABCD
2
VSADC
SA.SD
c
2c 2
2

2

(c − x)

(

)

3− 5 c
+ c 2 − cx
= 1 ⇔ c 2 − 3cx + x 2 = 0 ⇔ x =
.
2
c

2

2

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB / /CD và CD = 4 AB .Gọi M là
SM
1 điểm trên cạnh SA sao cho 0 < AM < SA . Tìm tỉ số
sao cho mặt phẳng ( CDM ) chia
SA
khối chóp đã cho thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau:

A.

SM −3 + 13
.
=
SA
2

B.

SM −4 + 26
.
=
SA
2

Hướng dẫn giải:
Chọn B

Đặt x =

69

C

2
 ( c − x )2 c − x 
c − x ) + c 2 − cx
(
1
=
+
 VSABCD = VSABCD .
 2c 2

c
2
c2



Từ giả thiết ta có

Câu 7:

B

D

Vậy
VSMNBC

A

N

SM SN
=
, 0 < x < 1.
SA SB

C.

SM −3 + 17
.
=
SA
2

D.

SM −3 + 23
.
=
SA
2


Khối Đa Diện Nâng Cao

VSADC S ADC AD
=
=
=4
VSABC S ABC AB

Ta có

⇒ VSADC

4
1
= VSABDC ,VSABC = VSABDC
5
5

.

VSMCD SM
4x
=
⇒ VSMCD = VSABDC
5
VSACD
SA

Ta có

VSMNC SM SN
x2

=
= x 2 ⇒ VSMNC = VSABC
.
VSABC
SA SB
5
 4 x x2 
V
Vậy VSMNCD =  + VSABCD = SABCD
5 
2
 5
4x x2 1
−4 + 26
.
+ = ⇔x=
5
5 2
2

Suy ra

Câu 8:

Cho điểm M trên cạnh SA , điểm N trên cạnh SB của hình chóp tam giác S. ABC có thể tích
SM 1 SN
bằng V sao cho
= ,
= x . Mặt phẳng ( P ) qua MN và song song với SC chia khối
SA 3 SB

chóp S . ABC thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. Tính x .

A. x =

4− 5
3

B. x =

8 − 10
6

C. x =

4− 5
6

8 − 10
9

D. x =

Hướng dẫn giải:
Chọn B

S

Trong ( ABS ) : MN ∩ AB = E , trong

M

( SAC ) : MQ / / SC , Q ∈ AC , trong ( ABC ) : EQ ∩ BC = P
.
Khi đó NP / / SC / / MQ ⇒

SM CQ 1 SN CP
=
= ,
=
= x.
SA CA 3 SB CB

N

Trong tam giác
NB MS EA
.
.
=1
SAB :
NS MA EB
1 − x 1 EA
EA
2x
AB 3 x − 1
⇒
. .
=1⇒
=
⇒

=
x 2 EB
EB 1 − x
EB 1 − x
Ta có

VEAMQ
VS . ABC

=

Q

A
B

P
E

AM AQ EA 2 2 2 x
8x
8x
= . .
=
⇒ VEAMQ =
V
.
.
AS AC BA 3 3 3 x − 1 9 ( 3 x − 1)
9 ( 3 x − 1)

VEBNP BN BP EB
(1 − x ) ⇒ V = (1 − x ) V
2 1− x
.
.
=
= (1 − x ) .
=
EBNP
VS . ABC BS BC AB
3x − 1 3x − 1
3x − 1
3

(1 − x ) V = 1 V ⇒ 8x − (1 − x ) = 1 ⇒ x = 8 − 10
8x
V−
9 ( 3x − 1)
3x − 1
2
9 ( 3x − 1) 3x − 1 2
6
3

⇒ VAMQBNP =
70

3

3

C


Khối Đa Diện Nâng Cao
Câu 9:

Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , BC
svà E là điểm thuộc tia đối DB sao cho

BD
= k . Tìm k để mặt phẳng ( MNE ) chia khối
BE

tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích là

A. k =

6
.
5

B. k = 6 .

11 2a3
.
294

D. V = 5 .

C. k = 4 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C
A

Ta có diện tích khối tứ diện đều cạnh

a bằng V0 =

a3 2
12

M

VBMNE BM BN BE
.
.
=
VABCD
BA BC BD
⇒ VBMQE

Q

1
= V0
4

B

E

D
P

Theo ta let ta có:

2 ( k − 1)
EP EQ
k −1
=
=
=
EN EM k − 1 + 1
2k − 1
2

N
C

4 ( k − 1) k − 1 1
EP EQ DE
=
.
.
VBMQE =
.
V0

2
EN EM BE
( 2k − 1) k 4
2

⇒ VEDPQ

Do đó VBMNPQD

VBMNPQD

2
3
4 ( k − 1) k − 1 1
4 ( k − 1) 
k
k 
= V0 −
.
V0 = V0 1 −

2
4
4  k ( 2k − 1)2 
( 2k − 1) k 4

3
4 ( k − 1) 
k
k 

22
= V0 hay V0 = V0 1 −
⇔k =4
49
4
4  k ( 2k − 1)2 

Câu 10: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2cm. Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của ba tam
giác ABC , ABD, ACD. Tính thể tích V của khối chóp AMNP.

A. V =

2 3
cm .
162

Hướng dẫn giải:

71

B. V =

2 2 3
cm .
81

C. V =

4 2 3
cm .

81

D. V =

2 3
cm .
144


Khối Đa Diện Nâng Cao
Chọn C.

A

Tam giác BCD đều ⇒ DE = 3 ⇒ DH =
AH = AD 2 − DH 2 =

2 3
3

2 6
3

N

1
1 1
1
3
S ∆EFK = .d ( E , FK ) .FK = . d( D,BC ) . BC =

2
2 2
2
4
⇒ VSKFE =

Mà

M
B

K

P
D

1
1 2 6 3
2
.
AH .S ∆EFK = .
.
=
3
3 3
4
6

H

E

F

AM AN AP 2
=
=
=
AE
AK AF 3

C

Lại có:
VAMNP AM AN AP 8
8
4 2
.
.
.
=
=
⇒ VAMNP = VAEKF =
VAEKF
AE AK AF 27
27
81

Câu 11: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc
60° . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC . Mặt phẳng ( BMN )

chia khối chóp S . ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé)
bằng:

A.

7
.
5

B.

1
.
7

C.

7
.
3

D.

6
.
5

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
S

Giả sử các điểm như hình vẽ.

E = SD ∩ MN ⇒ E là trọng
tâm tam giác SCM ,
DF // BC ⇒ F là trung
điểm BM .
Ta có:

(

)

N
E
H

,

a 6
⇒ SO =
2
SF = SO 2 + OF 2 =

D

C

SD, ( ABCD ) = SDO = 60°

O

B

F

A

a 7
2

a 6
1
a2 7
⇒ d ( O, ( SAD ) ) = OH = h =
; S SAD = SF . AD =
2
4
2 7

72

M


Khối Đa Diện Nâng Cao
VMEFD ME MF MD 1
=
⋅
⋅

=
VMNBC MN MB MC 6

5
5 1
1
5
1
5a 3 6
⇒ VBFDCNE = VMNBC = ⋅ ⋅ d ( M , ( SAD ) ) ⋅ S SBC = ⋅ 4h ⋅ S SAD =
6
6 3
2
18
2
72
1
a3 6
7a3 6
⇒ VSABFEN = VS . ABCD − VBFDCNE =
⋅
VS . ABCD = SO.S ABCD =
3
6
36
Suy ra:

VSABFEN 7
= ⋅
VBFDCNE 5

Câu 12: (Hình học không gian) Cho tứ diện ABCD và M , N , P lần lượt thuộc BC , BD , AC sao cho
BC = 4 BM , BD = 2 BN , AC = 3 AP. Mặt phẳng ( MNP ) cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai

phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng ( MNP ) .

A.

2
3

B.

7
13

C.

5
13

D.

1
3

Hướng dẫn giải:
Gọi I = MN ∩ CD, Q = PI ∩ AD,
A

kẻ DH / / BC ( H ∈ IM ) , DK / / AC ( K ∈ IP ) .
∆NMB = ∆NDH ⇒

ID DH BM 1
=
=
= .
IC CM CM 3

P
Q

IK DK ID 1
DK 1
2
=
=
= ⇒
= ⇒ DK =
IP CP IC 3
2 AP 3
3
∆APQ ∼ ∆DKQ.

Suy ra ⇒

Đặt V = VABCD . Ta có:

N

M

VANPQ
VANCD

=

C

AP AQ 1
.
= ;
AC AD 5

VANCD VDACN DN 1
1
=
=
= ⇒ VANPQ = V
VABCD VDABC DB 2
10

VCDMP CM CP 1
1
=
.
= ⇒ VCDMP = V
VCDBA CB CA 2
2
1

1
1
⇒ VV . ABMP = VDABMP = V − VCDMP = V
2
2
4
⇒ VABMNQP = VANPQ + VN . ABMP =

VABMNQP 7
7
=
V⇒
20
VCDMNQP 13

Vậy mặt phẳng ( MNP ) chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích

Chọn B.
73

I

H
B

AQ AP 2
AQ 3
=
= ⇒
=

DQ DK 3
AD 5

K

7
.
13

D


Khối Đa Diện Nâng Cao
Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ', có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 .
Lấy M, N lần lượt trên cạnh AB ', A ' C sao cho

AM A ' N 1
=
= . Tính thể tích V của khối
AB ' A ' C 3

BMNC ' C.
A.

a3 6
108

B.

2a 3 6

27

C.

3a 3 6
108

D.

a3 6
27

Hướng dẫn giải:
Gọi G, K lần lượt tâm các hình chữ

A'

C'

nhật ABB ' A ' và AA ' C ' C.
Ta có:

AM 1
AM 2
= ⇒
=
AB ' 3
AG 3

(Do G trung điểm AB’)

N

Xét tam giác ABA ' có AG là trung
AM 2
tuyến và
= . Suy ra M là trọng
AG 3

B'

K

I
M

G
C

A

tâm tam giác ABA '. Do đó BM đi q

H

ua trung điểm I của AA’.
Ta có:

A' N 1
A' N 2

= ⇒
=
A'C 3
A' K 3

B

(Do K là trung điểm A’C)
Xét tam giác AA ' C ' có A ' K là trung tuyến
A' N 2
= . Suy ra N là trọng tâm của tam giác AA ' C '. Do đó C ' N đi qua trung điểm I
A'K 3
của AA’.

và

Từ M là trọng tâm tam giác ABA ' và N trọng tâm của tam giác AA ' C '. Suy ra:
IM IN 1
=
= .
IB IC ' 3
Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích các khối chóp IMNC ; IBCC '. Ta có:

V1 IM IN IC 1
=
.
.
=
V2
IB IC ' IC 9

8
Mà V1 + V = V2 ⇒ V = V2 .
9

Hạ AH vuông góc với BC tại H thuộc BC . Ta được AH vuông góc với mặt phẳng
( BB ' C ' C ) . AA ' song song với mặt phẳng ( BB ' C ' C ) nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng

( BB ' C ' C )

bằng khoảng cách từ A đến ( BB ' C ' C ) và bằng AH.

Ta có: AH =
74

a 3
1
1 a 3 a2 2 a3 6
; V2 = d  I , ( BB ' C ' C )  .S ∆BCC ' = .
.
=
.
2
3
3 2
2
12


Khối Đa Diện Nâng Cao

8
2a 3 6
Suy ra: V = V2 =
.
9
27

Chọn B.
Câu 14: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên
1
và phẳng đáy là α thỏa mãn cosα = . Mặt phẳng ( P ) qua AC và vuông góc với mặt
3
phẳng ( SAD ) chia khối chóp S . ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện
là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau:

A. 0,11

B. 0,13

C. 0, 7

D. 0,9

Hướng dẫn giải:

S . ABCD là hình chóp tứ giác đều
SO ⊥ ( ABCD ) .

S

Gọi N là trung điểm CD
CD ⊥ SN , CD ⊥ ON
⇒
( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD

M

⇒ ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SNO

A

Kẻ CM ⊥ SD. Ta có:
 AC ⊥ BD
⇒ AC ⊥ ( SBD )

 AC ⊥ SO

D
N

O

⇒ AC ⊥ SD ⇒ SD ⊥ ( ACM ) ⇒ ( ACM ) ⊥ ( SAD )

B

C

nên mặt phẳng ( P ) là ( ACM ) .
+ Xét tam giác SON vuông tại N có:

SN =

ON
cos SNO

=

3a
.
2
2

2

 3a   a 
SO = SN − ON =   −   = a 2.
 2  2
2

2

+ Xét tam giác SOD vuông tại O có:
2

2

SD = SO + OD =

(

2

a 2
a 10
.
a 2 `+ 
 =
2
 2 

)

2

1
1
SN .CD 3a 10
Ta có: S ∆SCD = CM .SD = SN .CD ⇒ CM =
=
.
2
2
SD
10
2

 3a 10 
a 10
Xét tam giác MCD vuông tại M có: DM = CD − CM = a − 

.
 =
10
10


2

75

2

2


Khối Đa Diện Nâng Cao

Ta có:

VM . ACD VMACD
=
VSABCD 2VSACD

a 10
1 DM DA DC 1 10
1
1
.
.
= .

=
= ⇒ VMACD = VSABCD
2 DS DA DC 2 a 10 10
10
2

Mặt phẳng ( P ) chia khối chóp S . ABCD thành hai khối M . ACD và
S . ABCM ⇒ VSABCD = VMACD + VSABCM ⇒ VSABCM =
Do đó:

9
VSABCD
10

VMACD 1
= ≈ 0,11
VSABCM 9

Chọn A.
Câu 15: Cho tứ diện S . ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA = 2SM ,
SN = 2 NB , (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu ( H1 ) và ( H 2 ) là các
khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S . ABC bởi mặt phẳng (α ) , trong đó, ( H1 ) chứa
điểm S , ( H 2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của ( H1 ) và ( H 2 ) . Tính tỉ số

A.

4
5

B.

5
4

C.

3
4

D.

V1
.
V2

4
3

Hướng dẫn giải:
Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện SABC .
Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của (α ) với
các đường thẳng BC , AC .

S

Ta có NP //MQ //SC . Khi chia khối ( H1 ) bởi
mặt phẳng (QNC ) , ta được hai khối chóp
N .SMQC và N .QPC .
Ta có:

VN .SMQC
VB. ASC

=

d ( N , ( SAC )) S SMQC
⋅
;
d (B,( SAC )) SSAC

d ( N ,( SAC )) NS 2
=
= ;
d (B, ( SAC )) BS 3
S AMQ
S ASC

VN .QP C
VS . ABC
=

76

2

S SMQC 5
4
 AM 
=
= .

 = ⇒
S ASC
9
 AS  9

Suy ra

VN .SMQC
VB. ASC
=

M

2 5 10
= ⋅ =
3 9 27

d ( N , (QP C )) SQPC
⋅
d (S, (A BC )) S ABC

NB CQ CP
1 1 2 2
⋅
⋅
== ⋅ ⋅ =
SB CA CB
3 3 3 27

N

C
A

Q
P
B


Khối Đa Diện Nâng Cao

V1 VN .SMQC VN .QP C 10 2 4
V1
4
V 4
=
+
=
+
= ⇒
= ⇒ 5V1 = 4V2 ⇒ 1 =
V
VB. ASC VS . ABC 27 27 9 V1 + V2 9
V2 5
Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC , SD lần
lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S . AB’C’D’ theo a.

A.

3 3a 3
20

3a 3
20

B.

C

3 3a 3
10

D.

3 5a 3
10

Hướng dẫn giải:
BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB '

S

SC ⊥ ( P ) ⇒ SC ⊥ AB ' ⇒ AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SB
Tương tự AD ' ⊥ SD

C'
D'

VS . AB 'C ' D ' = VS . AB 'C ' + VS . AD 'C '

B'

VS . AB 'C ' SB ' SC ' SB '.SB SC '.SC
=
.
=
.
VS . ABC
SB SC
SB 2
SC 2
SA2 SA2 3 3 9
= 2. 2 = . =
SB SC
4 5 20

(1)

D

C

A
B

VS . AD 'C ' SD ' SC ' SD '.SD SC '.SC SA2 SA2 3 3 9
=
=
=

= . =
.
.
.
(2)
VS . ADC
SD SC
SD 2
SC 2
SD 2 SC 2 4 5 20
1 1
a3 3
Do VS . ABC = VS . ADC = . a 2 .a 3 =
3 2
6
Cộng (1) và (2) theo vế ta được

VS . AB 'C ' VS . AD 'C ' 9
9
9 a3 3 3 3a 3
+
=
+
⇔
V
=
.
=
S
.

AB
'
C
'
D
'
10 6
20
a3 3
a3 3 20 20
6
6
Chọn A.
Câu 17: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc
giữa hai mặt phẳng (P) và (BCD) có số đo là α thỏa mãn tan α =
tứ diện ABCE và tứ diện BCDE lần lượt là V1 và V2 . Tính tỷ số

A.

3
8

Hướng dẫn giải:

77

B.

1
8

C.

3
5

5 2
. Gọi thể tích của hai
7

V1
.
V2

D.

5
8


Khối Đa Diện Nâng Cao
+) Gọi M là trung điểm BC.

A

Khi đó BC ⊥ (MAD) nên (P)⊥(AMD);
(P)∩(AMD) =ME.

H

Kẻ AH⊥ME thì AH⊥(BCE) (do AH ⊂
(AMD))

E

K

Kẻ DK⊥ME nên DK⊥(BCE) (do DK ⊂
(AMD)). Hiển nhiên AH song song DK
Khi đó

D

B

V1 VA.BCE AH
=
=
V2 VD.BCE DK

M

+) Gọi β là góc giữa (P) và (ABC) (
0<β <

π
2

C

). Hiển nhiên DME = α ;

AME = β .

Vì AM = DM nên:

sin β AH
V
=
⇒ sin β = 1 .sin α = t.sin α (1)
sin α DK
V2

+) Trong tam giác OMA: cos(α + β ) =

MO 1
1
= ⇔ cosα cos β − sin α sinβ = . (2)
MA 3
3

Từ (1) có: cosβ = 1 − sin 2 β = 1 − t 2 .sin 2 α = 1 − t 2 .x ; với x=sin2α.
Thay vào (2) ta có: 1 − t 2 x . 1 − x − t.x =
+) Giải phương trình có: x =
Vì sin 2 α = x → tan 2 α =

1
1
↔ (1 − t 2 x)(1 − x ) = t.x + .
3

3

8
.
(9t + 6t + 9)
2

x
8
9t 2 + 6t + 9
8
= 2
. 2
= 2
1 − x 9t + 6t + 9 9t + 6t + 1 9t + 6t + 1

 3
t = 5
8
50
196
171
2
2
=
↔
+
+
=
↔

+
−
=
↔
t
t
t
t
9
6 1
9
6
0 
Theo giả thiết suy ra 2
9t + 6t + 1 49
25
25
t = −19

15
Vậy

VABCE 3
=
VDBCE 5

Chọn C.
Câu 18: Cho khối chóp S . ABC có SA = 6, SB = 2, SC = 4, AB = 2 10 và ∠SBC = 90° , ∠ASC = 120° .
Mặt phẳng ( P ) qua B và trung điểm N của SC và vuông góc với mặt phẳng ( SAC ) cắt
cạnh SA tại M . Tính tỉ số thể tích

A.
78

2
.
9

B.

2
.
5

VS .MBN
.
VS . ABC

C.

1
.
6

D.

1
.
4

Khối Đa Diện Nâng Cao
Hướng dẫn giải:
Chọn C

S
V
SM SN 1
SM
.
Ta có: S .MBN =
= k với k =
.
VS . ABC
SA SC 2
SA

Áp dụng định lý hàm số cosin ta có:
∠ASB = 90° ; ∠BSC = 60° ; ∠ASC = 120°

H

N

Đặt
 a = 6, b = 2, c = 4
SA = a; SB = b; SC = c ⇒ 
B
 a.b = 0; b.c = 4; a.c = −12

M
A

Vì ( BMN ) ⊥ ( SAC ) nên kẻ
BH ⊥ MN , H ∈ MN ⇒ BH ⊥ ( SAC ) .

(

C

)

(

Khi đó: BH = x.BM + (1 − x ) BN = x SM − SB + (1 − x ) SN − SB

)

1− x
1

= x k a − b + (1 − x )  c − b  = kxa − b +
c.
2
2


(

)

1− x 
 
a  kxa − b +
c = 0


2 
 BH ⊥ SA
 BH .SA = 0
 
Lại có: BH ⊥ ( SAC ) ⇒ 
⇔
⇔
 BH ⊥ SC
c  kxa − b + 1 − x c  = 0
 BH .SC = 0

 
2 

1

k = 3
36kx − 6 (1 − x ) = 0
⇔
⇔
.
−12kx − 4 + 8 (1 − x ) = 0  x = 1


3
Vậy

VS .MBN SM SN 1
1 1 1
=
.
= k= . = .
2 3 6
VS . ABC
SA SC 2

Câu 19: Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện A1B1C1 D1 có thể tích V1 , các đỉnh
A1 , B1 , C1 , D1 lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, DAB,ABC . Khối tứ diện
A2 B2C2 D2 có thể tích V2 , các đỉnh A2 , B2 , C2 , D2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác
B1C1D1 , C1D1 A1 , D1 A1B1 , A1B1C1 . Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện An BnCn Dn có thể
tích Vn , các đỉnh An , Bn , Cn , Dn lần lượt là trọng tâm của các tam giác Bn−1Cn −1 Dn −1 ,
Cn −1 Dn −1 An −1 , Dn −1 An −1 Bn −1 , An−1 Bn −1Cn −1 . Tính S = V1 + V2 + ... + V2018 ?

(3
A. S =

2018

79

− 1) V

2.32018

.

( 27
B. S =

2019

− 1) V

26.27 2019

.


Khối Đa Diện Nâng Cao

( 27
C. S =

2018

− 1) V

26.27 2018

(3
D. S =

2019

.

− 1)V

2.32019

.

Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có
3

1
1
V1 =   V = V
27
 3
3

2

1
1
 1 
V2 =   V1 = V1 =   V
27
 3
 27 
…

3

V2018

1
 1 
=   V2017 =  
 3
 27 

2018

V
2018

 1 
1−  
2018
 1  1 2

1
27
 1 
⇒ S = V  +   + ... +    = V . .  
1
27
27
27
27
 

  

1−
27

=

( 27

2018

− 1)V

26.27 2018

Câu 20: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ . Gọi M , N lần lượt thuộc các cạnh bên AA′, CC ′
sao cho MA = MA′; NC = 4 NC ′ . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Hỏi trong bốn khối tứ
diện GA′B′C ′, BB′MN , ABB′C ′ và A′BCN , khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?
A. Khối A′BCN .

B. Khối GA′B′C ′ .

C. Khối ABB′C ′ .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi V là thể tích khối lăng trụ đã cho.
2
Ta có: VM .BB′C ′C = VA. BB′C ′C = VA′BB′C ′C = V
3

Và
S BB′N = SCBB′ =

1
1
1
S BB′C ′C ⇒ VA.BB′C ′ = VA.BB′C ′C = V
2
2
3

Và
S BB′N = SCBB′ =

Chú
S BCN

ý:
4
2
2
4
= S BCC ′ = S BB′C ′C ⇒ VA′.BCN = VA′. BB′C ′C = V
5
3
3
15

.

Chọn A.
80

1
1
1
S BB′C ′C ⇒ VBB′MN = VM .BB′C ′C = V
2
2
3

D. Khối BB′MN .


Khối Đa Diện Nâng Cao
Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ , có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 .
Lấy M , N lần lượt trên cạnh AB’, A’C sao cho

AM
A'N
1
=
= . Tính thể tích V của khối
AB '
A 'C
3

BMNC’C.
A.

a3 6
108

B.

2a 3 6
27

C.

3a 3 6
108

D.

a3 6
27

Hướng dẫn giải:
Gọi G, K lần lượt là tâm các hình chữ nhật ABB’A’ và
AA’C’C.

C'

A'

AM
1
AM
2

= ⇒
= (Do G trung điểm AB’).
Ta có:
AB '
3
AG
3
AM
2
= .
AG
3
Suy ra M là trọng tâm tam giác ABA’. Do đó BM đi qua
trung điểm I của AA’.

N

Xét tam giác ABA’ có AG là trung tuyến và

Ta có:

A'N
1
A'N
2
= ⇒
= (Do K là trung điểm
A 'C
3
A'K

3

A’C).

K

I

M

B'

G
C

A

A'N
2
= .
A'K
3
Suy ra N là trọng tâm của tam giác AA’C’. Do đó C’N đi
qua trung điểm I của AA’.

Xét tam giác AA’C’ có A’K là trung tuyến và

H
B

Từ M là trọng tâm tam giác ABA’ và N là trọng tâm của tam giác AA’C’. Suy ra:
IM
IN
1
=
= .
IB
IC '
3

Gọi V1 ; V2 lần lượt là thể tích các khối chóp IMNC; IBCC’. Ta có:
V1
V2

=

8
IM IN IC
1
.
.
= . Mà V1 + V = V2 . Suy ra V = V2 .
9
9
IB IC ' IC

Hạ AH vuông góc với BC tại H thuộc BC . Ta được AH vuông góc với mặt phẳng
(BB’C’C). AA’ song song với mặt phẳng (BB 'C 'C ) nên khoẳng cách từ I đến mặt phẳng
(BB’C’C) bằng khoẳng cách từ A đến (BB’C’C) và bằng AH. Ta có: AH =

V2 =

1 
1 a 3 a2 2 a 3 6
8
2a 3 6
. Suy ra V = V2 =
.
=
.d I ; (BB 'C 'C ) .S ∆BCC ' = .
.

3 
3 2
2
12
9
27

Chọn B.

81

a 3
.
2