SKKN hướng dẫn giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT CẨM THỦY 3
--------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VEC TƠ

Người thực hiện: Lê Trung Hưng
Chức vụ: Hiệu trưởng
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

THANH HOÁ, NĂM 2020
MỤC LỤC
0


NỘI DUNG
I. Mở đầu ……………………………………………………........
1.1. Lý do chọn đề tài …………………………………………
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………...
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………….
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………
2.1. Cơ sở lý luận………………………………………………
2.2. Thực trạng của vấn đề……………………………………..
2.3. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề ……………
2.3.1. Kiến thức trang bị.…………………………………..
2.3.2. Phương pháp chung để giải bài toán hình học không

gian bằng phương pháp vec tơ........…………………………....
2.3.3. Các dạng toán cơ bản ….........................................
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động
giáo dục …………………………………………………………..
III. Kết luận, kiến nghị …………………………………………..
3.1. Kết luận …………………………………………………...
3.2 Kiến nghị …………………………………………………..

TRANG
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
4
5
16
17
17
17

1


I. MỞ ĐẦU:

1.1. Lí do chọn đề tài:
Hình học không gian chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình toán
cấp trung học phổ thông, vì vậy việc tìm kiếm các con đường tổ chức dạy học cho
phần hình học không gian luôn được quan tâm, tìm hiểu nghiên cứu. Dạy học các
kiến thức hình học bằng các phương pháp khác nhau nhăm tao ra cho hoc sinh tinh
linh hoat, đa dang khi tiêp cân môt bai toan hinh hoc.
Phương pháp vec tơ là sự kết hợp giữa chương trình Hình học giải tích lớp
12 và Hình học không gian, cụ thể là xây dựng hệ trục tọa độ Đề các vuông góc
trên hình vẽ của bài toàn hình học không gian.
Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi nhận thấy phương pháp véc tơ
tỏ ra rất hữu hiệu đối với một số bài toán hình học không gian mà nếu giải bằng
phương pháp tổng hợp sẽ tương đối vất vả, đây la dang toan không chỉ kho ma còn
kha hay, lôi cuôn đươc cac em hoc sinh kha gioi. Để giúp học sinh định hướng
được cách làm dạng toán này, hiểu sâu hơn, tự tin hơn khi gặp các bài toán hình
học không gian, phát triển tư duy, hướng học sinh tới niềm say mê sáng tạo, vì vậy
tôi chọn đề tài: "Hướng dẫn giải một số bài toán hình học không gian bằng
phương pháp vec tơ".
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Đưa ra phương pháp cơ bản giúp học sinh định hướng được dạng bài toán
hình học không gian có thể giải bằng phương pháp vec tơ, đồng thời rèn luyện kỹ
năng giải toán, nâng cao khả năng tư duy, giúp học sinh có hướng nhìn mới về dạng
toán này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu về một số dạng bài toán hình học không gian có thể giải
bằng phương pháp vec tơ và cách vận dụng phương pháp vec tơ để giải các bài toán
đó.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu của đề tài là xây dựng cơ sở lí thuyết, vận dụng vào
bài tập thông qua hệ thống ví dụ.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

2.1. Cơ sở lí luận:
Khi đứng trước một bài toán, học sinh cần định hướng được bài toán đó
thuộc dạng nào? Có thể áp dụng phương pháp nào để giải bài toán đó? Vậy những
bài toán về hình học không gian như thế nào thì có thể giải được bằng phương pháp
vec tơ?
2


Học sinh cấp THPT nói chung, học sinh khối 12 nói riêng đang trong quá
trình được phát triển, bồi dưỡng và chọn lọc trình độ khác nhau giữa các học sinh
vì vậy, nội dung và phương pháp dạy học phải linh hoạt phù hợp với điều kiện cụ
thể của thầy và tròò̀, của việc tổ chức dạy học. Vì vậy việc cung cấp nội dung
phương pháp khi dạy phần này là hết sức cần thiết.
2.2. Thực trạng của vấn đề:
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy phần bài tập liên quan đến các bài
toán hình học không gian là một phần bài tập khó, học sinh tương đối gặp khó khăn
trong cách tư duy, định hướng cách giải, lúng túng khi gặp phải tình huống này. Vì
vậy, dạng bài tập này trở thành vấn đề khó vượt qua đối với học sinh.
Để giải quyết vướng mắc của học sinh về bài toán hình học không gian,
ngoài cách giải bẳng phương pháp hình học tổng hợp thuần túy, ta cũng có thể dùng
phương pháp vectơ để giải một số bài toán hình học không gian. Lời giải của
phương pháp này sẽ khắc phục một số khó khăn mà học sinh thường gặp, giúp học
sinh dễ tiếp thu và vận dụng một cách dễ dàng, nhanh chóng trong việc làm bài tập.
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:
2.3.1. Kiến thức trang bị.
Học sinh cần nắm chắc được một số định lý: Định lý về hai véctơ cùng
phương; Định lý về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong
mặt phẳng; Định lý về phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng trong
không gian...
Học sinh cần có kỹ năng biến đổi các biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo

hệ véc tơ cho trước và ghi nhớ một số bài toán cơ bản...
a) Định nghĩa véctơ:
KIẾN THỨC CƠ BẢN
+) Véctơ AB là đoạn thẳng có hướng trong đó điểm A là điểm đầu; B là điểm
cuối.
+) Cho 2 điểm A, B bất kì ta có 2 véctơ AB và BA
B
+) Khi A trùng B ta có véctơ không AA 0 A

D

b) Tính chất:
1) AB

CD

AB CD

| AB| |CD|

AB CD

C

AB CD

| AB| |CD|

O

2) Với 3 điểm A, B, C ta có: AB BC AC ; AB AC
3) ABCD là hình bình hành: AB AD AC ; AB DC A
4) M AB M, A, B thẳng hàng MA k MB và với điểm O bất kì:
OA kOB
OM

B

1 k
3


5) M là trung điểm của AB MA MB 0 và với điểm O bất kì:
OA OB
OM
2
6) G là trọng tâm của tam giác ABC GA GB GC 0 và
OA OB OC
OG
3
7) G là trọng tâm của tứ giác ABCD hoặc tứ diện ABCD ta có:
OA OB OC OD
GA GB GC GD 0 và OG
4
k 0:b a

8)

b

9) a b

kak 0:b a
k
b
a
;
a b ab
a

b

10) Nếu a; b 0 và không cùng phương thì tồn tại duy nhất c sao cho
c xa yb và xa yb 0 x y 0
11) a.b | a | .| b | cos(a, b); a b a.b 0
12) a , b; c 0 và không đồng phẳng trong không gian thì tồn tại duy nhất d
sao cho d xa yb zc
13) Góc giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức:
cos

AB.CD

AB.CD

14) Khoảng cách giữa hai điểm A và B là : AB

AB

AB2

2.3.2. Phương pháp chung để giải bài toán hình học không gian bằng phương
pháp vec tơ:
Khi gặp bài toán về hình học không gian, học sinh nhận dạng và định hướng
có thể giải được bằng phương pháp vec tơ:
- Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các giả
thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra “ngôn ngữ” véctơ .
- Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến
đổi các hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở.
- Chuyển các kết luận vectơ sang các tính chất hình học không gian tương
ứng.
2.3.3. Các dạng toán cơ bản.
4


Để giúp học sinh giải tốt các bài toán hình học không gian thường gặp tôi đã
đúc kết thành những dạng toán cơ bản như sau:
Dạng 1. Các bài toán liên quan đến quan hệ song song:
Ví dụ 1. [1] Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trọng
tâm của các tam giác AA’B’, A’B’C’, ABC, BCC’. Chứng minh : MN // PQ.
Định hướng: Để giải bài toán này ta cần ghi nhớ kiến thức: Hai đường thẳng phân
biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉỉ̉ khi AB kCD .
Lời giải:

Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở, biểu

B1

diễn các dữ kiện của bài toán sang ngôn
ngữ vec tơ:
AA '

a,

N

AB b, AC

c

C1

A1
M

Theo bài ra:
+M là trọng tâm của tam giác AA’B’:
1
(1)
AM 3(AA' AB')

F

+N là trọng tâm của tam giác A’B’C’:

AN

1
3(AA' AB' AC ')

B

(2)

+P là trọng tâm của tam giác ABC:
1
(3)
AP 3(AB AC)

E

A

+Q là trọng tâm của tam giác BCC1:
1
(4)
AQ 3 ( A
AC AC ')
B
+ MN / /PQ MN k PQ
Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
3
Từ (1), (2):
3
1

MN AN AM

Từ (3), (4): PQ AQ AP

1

a c

ac

C


(6)

(5)

Từ (5), (6): MN PQ (7)
Bước 3: Chuyển kết luận ra ngôn ngữ hình học tổng hợp
Từ (7) : MN // PQ.
Ví dụ 2. [1] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. M là điểm chia đoạn AD theo
1

2

tỉỉ̉ số 4 , N là điểm chia đoạn A1C theo tỉỉ̉ số 3 . Chứng minh: MN//(BC1D).
Định hướng: Để giải bài toán này ta cần ghi nhớ kiến thức:
5


Cho hai vé tơ a, b không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P).
Khi đó :AB//(P)
AB xa yb .
Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các

dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:
BB
b
{ BA a , 1
, BC c }

D1

C1

A1

B1
N
J

1

+ M là điểm chia đoạn AD theo tỉỉ̉ số
nên AM 1 .AD (1)

4

5
+ N là điểm chia đoạn A1C theo tỉỉ̉ số

2

,

M

D
I

C
O

A

B

3

2

nên A1N 5 .A1C (2)
Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù
hợp với yêu cầu bài toán
Ta có : BD a c , BC1 b c MN BN
BM=
BA AA1 A1 N BA

AM

2

1
5c
2

3 1
2
3
a
b
c
(a
c)
5
5
5 5
5 (b c)
2
3
BD
5
5 BC1
a b 5 (c a b) a

2

Suy ra: MN

5

3

BD

5

BC1 (3)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian .
Từ (3) : MN // (BC1D).
Ví dụ 3. [6] Cho hình hộp ABCD.A/ B / C / D / . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của
AB, CC , A D . Chứng minh: (MNP) //( A/ BC / )
Định hướng: Để giải bài toán này ta cần ghi nhớ kiến thức:
Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) và (MNP).
/

/

/

Khi đó: (ABC) / / MNP

AB xMN yMP

AC

x MN
1

y MP

.

1

Lời giải:
6


B

Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ
kiện của bài toán sang ngôn ngữ vec tơ:
AB a , AD
+ Ta có

b , AA

/

a

M

A

c

/

,

C
b

D

//

c

AB a c AC a b

B

/

/

C

/

+ (MNP) / / A'BC'

PN x A ' B y A ' C '

PM

N

A

xA'B yA'C'
1

/

D
P

1

Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán
Ta có:
1

/

/ / /
PN PD D C C N

B /
A
MP

c

,

a

MA AA

BC /

/

A

2b

a

1

1

2 c

2

/

/ /

/)

(2)

(A B A C ) (1)

b c
/

1

2a

P

1
2 b c

1
( BA /
BC
2

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
1

Từ (1) và (2) :

PN
PM

/

(A'B A'C ')
2
1
( A 'B A'C ')
2

/

Vậy (MNP) //( A BC )
Bài tập vận dụng
Bài 1 . Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Giả sử I là tâm của mặt ABB1A1; E, F lần
lượt là trung điểm của CC1 và CD . Chứng minh : IE//AF.
ABCD.A/ B /C / D/ . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD
Bài 2. Cho hình hộp
và DD / . Gọi G1 , G2 lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A/ D / MN và BCC / D / .
Chứng minh : G1G2 //( ABB / A/ ) .
G ,G ,G
Bài 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi 1 2 3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC,
(G G G )
// (BCD).
ACD, ABD . Chứng minh rằng 1 2 3
Dạng 2. Các bài toán liên quan đến tính góc và khoảng cách
Định hướng: Để sử dụng phương pháp vec tơ đối với các dạng toán này ta cần nhớ
các kiến thức:
+ Góc giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức:
cos

AB.CD

AB.CD

7


+ Khoảng cách giữa hai điểm A và B là : AB

AB

AB2

+ Cho điểm M và đường thẳng l có véctơ chỉỉ̉ phương a , điểm A thuộc l. Tính
khoảng cách từ M đến l.
Đặt AM m , gọi N là hình chiếu của M lên l.
Khi đó: MN AN AM xa m và
MN a xa m a 0
Khoảng cách cần tìm :

2

MN

xa m

+ Cho (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) và
góc giữa MA và (ABC).
Đặt AM m , AB a , AC b , gọi N là hình chiếu của M lên (ABC). Khi
đó : MN AN AM xa yb m
(xa yb m ) a 0

Do MN ( ABC) nên

(xa

yb m )b 0
2

Khi cho biết x,y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC) bằng

xa yb m

.Nếu xa yb 0 thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa m và xa yb , còò̀n xa yb 0 thì
AM (ABC).
+ Cho đường thẳng chéo nhau, d1 đi qua A1 và có véc tơ chỉỉ̉ phương a1 ; đường
thẳng d2 đi qua A2 và có véc tơ chỉỉ̉ phương a2 .
Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng trên.
a1 .a2
- Góc giữa hai đường thẳng : cos
.
a1 a2

- Đoạn vuông
P1 P2 xa1 m ya2 . Do

góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), khi đó:
P P .a 0
1 2

1

P P .a 0
1 2

Khoảng cách cần tìm:

x,y

2

P1P2 ( xa1

m

ya2 )2

Ví dụ 4. [2] Cho hai tia Ax1 và By1 hợp với nhau một góc 600. Đường thẳng AB
vuông góc với cả hai Ax1 và By1. AB = a. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai tia
Ax1 và By1sao cho AM = m, BN = n. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN
và AB theo a, m ,n
Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện sang ngôn ngữ vec tơ:
m,b
a,c
n
Chọn hệ vec tơ gốc : MA a , AB b , BN c ;khi đó a
8


1

và a.b b.c 0;a.c

2 mn .

Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán.
Ta có: MN
MN

(a

a b c ; AB..MN

MA AB .BN
b

c)

2

m

2

2

2

n

a

b.(a

b

c)

a

2 AB

;

b

a

;

m.n

a

Vậy cos(MN; AB)

m

2 2 2
n

a

mn

Ví dụ 5. [6] Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh
SA vuông góc vuông góc với đáy, SA 3 . Mặt phẳng song song với các
đường thẳng SB và AC, mặt phẳng
song song với các đường thẳng SC và AB.
Tính giá trị của góc giữa hai mặt phẳng

và
.
Lời giải:

Chon hệ véc tơ cơ sở
AS a, AB b, AC c .

S

Giả sử m,n là các véc tơ bất kì
khác 0 ,
tương ứng vuông góc hai
mặt phẳng và ,
còò̀n góc hai mặt phẳng
và
.
m.n
Thế thì: cos m . n
Đặt m

C

A

xa yb zc
B

0

SB.m

Ta có: m

AC.m 0

y 23

6x 2y z 0
y 2z 0

x

1

b c xa yb zc 0
c(xa yb zc) 0

z

2

Số phương trình bé hơn số ẩn, điều đó chứng tỏ m không được xác định duy nhất.

9


Chọn z 1 x 1, y 4 nên m a 4b 2c là một trong các véc tơ vuông góc
với
1
0

SC.n
Tương tự : n ta ub vc

t

u
2

0

AB.n

v 2u

Chọn : u 2 v 4, t 1 n a 2b 4c

Khi đó : cos

m.n

1

.

m.n 5
Ví dụ 6. [1] Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 bằng a, các điểm O
và O1 tương ứng trọng tâm của các dáy ABC và A1B1C1.Độ dài hình chiếu của đoạn
thẳng AO1 trên đường thẳng B1O bằng 5a . Hãy tính đường cao của lăng trụ.
4

Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở AA1

m, AB n, AC p .

Giả sử h m
C1

Ta có:
AO1

1
3

AA1 AB1 AC1

B1O AO AB1
Suy ra:

AO1

BO

1

nên

3m n p
N

B1

,cos

2 2

AO1.B1O 6 6h a
5a
Vì: AO1 .cos = 4
2 2 2 2
9h

3

2
2
9h 3a

3
1

1

O1

1

1
33m 2n p

A1

3a (6h

a )

2 2

2 2

6h

a

2 2

2 3h

a

A
C

O
M

5a

a 6
3

B

E

S

6(3h a )
6 h
Ví dụ 7. [3] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh
SA . M , N lần lượt là trung
a . E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của
P
điểm của AE và BC . Tính khoảng cách giữa MN vàM AC .
A
c
Lời giải:
Đặt :

O a , OB
A

b, O

D

a

c

S
B

b
N

O
C

10


Ta có :

a . c 0,

b . c 0, a . b 0

1
1
MN MA AC CN 2 SD AC 2 CB
1

23

1

( SO OD) AC

(CO OB)

1

2

2a 2 c
A
2a
C PQ là đường vuông góc chung
Gọi MN và AC , ta có:
của
PQ PM MA AQ x MN

1

SD y AO

2

x(

3

1

1

2 a

2c)

2 ( cb )

3
2 x) a

(y
PQ. MN 0

3( 3
2y

2

1

x) a

2

1
2 (x 1) c

2

x 1

4

y

2

2(y

1
2 b

(x 1) c 0

3

PQ.AC 0

ya

x) a 0

3
2

2

PQ

1
2

b PQ

2

1
4

OB

2

2
a PQ
8

a 2
4

Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c. Tính cosin của
góc giữa các cạnh đối diện.
Bài 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h.
Tính cosin của góc:
1.Giữa AB1 và BC1.
2.Giữa AB và B1C.
Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
Bài 4. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1. BD là đường cao của tam giác ABC
Tam giác đều BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc , biết rằng các
điểm S và E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC). Tính SE.
Dạng 3. Các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc

Định hướng: Để sử dụng phương pháp vec tơ đối với các dạng toán này ta cần nhớ
các kiến thức:
+ Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉỉ̉ khi
AB.CD 0.
+ Cho hai a, b không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) .
11


AB.a 0 .
AB.b 0

Khi đó : AB (P)

Ví dụ 8. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. M và N là các điểm thuộc các
BM 1 CN 2
đường chéo BA1 và CB1 sao cho:
,
. Chứng minh rằng:
MA1
MN

2 NB1 1

BA1, MN CB1 .

Lời giải:

Chọn hệ véc tơ cơ sở BA a , BB1 b , BC c
Khi đó: a

b

c

a ; a.b c.b a.c 0

D1

C1

A1

B1

Theo bài ra :

BM
MA

1
1

2 BM
2

1

3 BA1
2

N

1
3 a b
2

M

C
N
NB

D

CN
1

A


C

1

B

Mặt khác:
BN BC CN
MN BN

1
2b c
3
1
MN
a b c
3

Do đó:
MN.BA1
MN .CB1

1
3
1
3

a b c
a b c

a b 0 MN BA1
b c

0 MN CB1

Ví dụ 9. [4] Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có các mặt là các hình thoi bằng nhau.
Các góc phẳng của góc tam diện đỉỉ̉nh A1 bằng nhau.
Chứng minh rằng: A1C ( AB1 D1 ) .

Lời giải:

12


Chọn hệ véc tơ cơ sở
A1 A a , A1 B1

D1

b, A1 D1

Theo giả thiết :

C1

c

O1
A1

B1

AA1D1D1 A1B1AA1B1

Gọi m là độ dài cạch hình hộp.
Ta có:
A1C a b c A1C . AB1

(a b c)b a 0
D

(1)

A1C AB1
A1C . AD1 (a b c ) c a 0
A1C

C
A
B

(2)

AD1

Từ (1) và (2) suy ra A1C (AB
Ví dụ 10. [3] Cho hình chóp
AD a
2 , SA (ABCD) ,
(SAC) (SMB) .

1

Lời giải:
Đặt :
A
B

S.ABCD

ó đáy ABCD là hình chữ nhật ,
M là
trung điểm AD . Chứng

AB a ,
minh :

S

a , AD b , AS c

và

Ta có :

a . c 0, b . c

BM

S
A

BM a
BM

D1 ) .

0, a . b 0

(1)

c

1
2 b , AC a b 2
2

. AC a

1

2

b

M
AB

2

1 AD2

2

A b

0

BM AC (2)
Từ (1) và (2) BM (SAC) (SAC) (SMB)

a
B

C

Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M,N lần lượt là trung điểm
cạnh AD và BB’. Chứng minh : MN A’C.
Bài 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .
E là điểm đối xứng của
D qua trung điểm của SA . M , N lần lượt là trung điểm
của AE và BC . Chứng minh MN BD .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC, SA (ABC), SA=a
3 , AC=2a, AB=a, ABC 90O .
Gọi M và N là hai điếm sao cho:
3MB MS 0
4NS 3NC
0
Chứng minh: SC (AMN).
13


Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A.
Vẽ SO (ABC), D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC.
Chứng minh: DC (SOE)).
Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A/ B / C / . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AA , CC và G là trọng tâm A/ B / C / .
/
a) Chứng minh MG //( AB N )

/

/

b) Chứng minh: (MGC
Nhận xét chung:

/

) //( AB

/

N)

Qua các ví dụ, ta đã thấy được sự thuận lợi và khả năng áp dụng phong phú
của phương pháp vec tơ trong việc giải toán hình học không gian. Đây là một phần
kiến thức không thể thiếu của học sinh khi học hình học không gian. Phương pháp
này chỉỉ̉ được học sinh tiếp nhận khi đã học chương trình hình học giải tích lớp 12.
Tuy nhiên, cũng không nên quá lạm dụng phương pháp này mà quên mất phương
pháp tổng hợp cũng là một phương pháp giải hay và phát triển tư duy rất tốt. Cũng
phải chú ý rằng chỉỉ̉ một bộ phận các bài toán hình không gian là giải được bằng
phương pháp vec tơ. Trên thực tế, có những bài toán giải bằng phương pháp vec tơ
hay phương pháp tổng hợp đều như nhau.
Nói chung, Phương pháp vec tơ để giải toán hình không gian là một phương
pháp hay, nó đã thể hiện được sự vượt trội trong một số trường hợp, nó là công cụ
cần thiết trong hành trang của mỗi học sinh, được trang bị công cụ này, học sinh sẽ
dễ dàng ứng phó với những dạng bài toán có thể áp dụng.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục:
Để kiểm tra tính hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng

là hai lớp có lực học tương đương: lớp 12A4 và 12A5. Lớp 12A4 đã được hướng
dẫn sử dụng phương pháp vec tơ giải bài toán hình học không gian, lớp 12A5 chưa
được hướng dẫn. Với hình thức kiểm tra là làm bài tự luận, trong thời gian 1 tiết
học (45 phút), với đề bài:
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Tam giác
ABC vuông tại A, AB 3a , AC AD 4a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(SBC)?
Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB, CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN?
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a 3 và
(SAB) ( ABCD) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính cosin của góc
giữa hai đường thẳng SM và DN?
Kết quả thu được như sau:
14


Lớp
12A4

Số
HS
46

Giỏi
SL
%
15 32,61

45

5 11,11

Khá
SL
%
16 34,78

Trung bình
SL
%
15 32,61

Yếu
SL
%
0
0

11

19

10 22,22

Lớp thực nghiệm
12A5

24,44

42,23

Lớp đối chứng
Tư bang kêt qua nêu trên cho thây răng lơp day thưc nghiêm co kêt qua hoc
tâp đat đươc cao hơn. Như vây bằng cách sử dụng phương pháp vectơ trong việc
giải một số bài toán hình học không gian học sinh giải quyết được các yêu cầu đề ra
tốt hơn, gọn hơn, hiệu quả hơn. Điều đó phản ánh kết quả học tập của học sinh
nâng lên rõ rệt. Đồng thời qua việc rèn luyện cho học sinh sử dụng phương pháp
này vào giải toán, cac em có được tư duy tích cực, độc lập và tạo cho các em mạnh
dạn, tự tin hơn , yêu thích, ham mê với môn toán.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận:
Phương pháp vectơ được ứng dụng khá nhiều vào các bài toán hình học
không gian, có thể bài toán về chứng minh, bài toán về tính góc, tính khoảng cách,
bài toán về tính diện tích, tính thể tích khối đa diện,… Nhưng với khuôn khổ của đề
tài có hạn tôi chỉỉ̉ nêu được trong phần ví dụ một số bài toán điển hình, chủ yếu về
tính khoảng cách và góc, phù hợp với trình độ nhận thức và năng lực tư duy của bộ
phận học sinh trung bình khá.
Qua đề tài tôi nhận thấy, phải cho học sinh làm nhiều bài toán với những
cách giải khác nhau, giúp các em không còò̀n thấy mất phương hướng khi đứng
trước các dạng bài tập dạng khác nhau. Đồng thời thấy được ưu điểm của việc sử
dụng phương pháp vectơ trong việc giải một số bài toán hình học không gian và
biết cách vận dụng tốt phương pháp này. Thông qua đó rèn luyện kỹ năng trình bày
ngắn gọn, chặt chẽ, logic. Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
Kết quả áp dụng đề tài vào giảng dạy đã được thể hiện qua phần 2.4.
Trong thời gian sắp tới, bản thân tôi sẽ tiếp tục đưa đề tài vào giảng dạy đối với
những học sinh trung bình khá trở lên với mong muốn các em có thể đạt được kết
quả tốt trong học tập, và đặc biệt là trong các kì thi.
3.2. Đề xuất:
Việc dạy hình học không gian cần phải kiên trì, uốn nắn và kiểm tra thường
xuyên liên tục. Mỗi bài toán thường là có nhiều cách giải, yêu cầu học sinh phải

thành thạo quy trình giải của từng dạng. Do vậy khi ra bài tập yêu cầu học sinh cần
chỉỉ̉ ra các bước trong quy trình giải. Học sinh khi làm thành thạo cách này thì mới
1
5


cho tiến hành sử dụng cách khác và cần phân tích rõ ưu điểm và hạn chế từ đó chọn
được cách giải tối ưu.
Quá trình tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải bài toán hình học không
gian. Bản thân tôi suy nghĩ và nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học
sinh , Do đó tôi xây dựng đề tài này cho học sinh lớp 12. Định hướng phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng
tạo, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập
cho các em.
Tuy vậy, trong quá trình viết, do thời gian và kinh nghiệm giảng dạy có hạn
nên không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận được sự
góp ý của Hội đồng khoa học nhà trường và các đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người khác

Lê Trung Hưng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
*********

[1] Đào Tam, Giáo trình hình học sơ cấp 2007, NXB Đại học Sư phạm.

16


[2] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải toán hình học phẳng, NXB
Giáo Dục.
[3] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải toán hình học không gian,
NXB Giáo Dục.
[4] Tuyển chọn theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ , NXB Giáo Dục.
[5] Sách giáo khoa Hình học 11 và Hình học 12.
[6] Sách bài tập Hình học 11 và Hình học 12.

17