SKKN một số giải pháp giúp học sinh trường THPT thường xuân 2 giải bài toán lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ oxy

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong
Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII, Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII, đ ược
thể chế hóa trong Luật Giáo dục, được cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ
Giáo dục và Đào tạo.
Trong Luật Giáo dục, tại điều 24.2 đã ghi: "Phương pháp giáo dục ph ổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của h ọc sinh;
phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp
tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác đ ộng đ ến
tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Chương trình Toán học ở THPT có nội dung tương đối trừu tượng và
khái quát. Mặc dù, nội dung chương trình đã được biên soạn phù hợp với
khả năng nhận thức, tiếp thu của lứa tuổi học sinh THPT nhưng với đối
tượng học sinh đa dạng thì việc tìm ra phương pháp giảng dạy phù h ợp là
yêu cầu cần thiết đối với giáo viên. Giáo viên cần phải phân lo ại đ ược h ọc
sinh, thiết kế bài giảng cho từng đối tượng, giúp học sinh hứng thú với môn
học, chủ động, tích cực trong học tập. Trong quá trình gi ảng d ạy, tôi nh ận
thấy việc phân dạng và hình thành phương pháp giải từng dạng toán là
biện pháp mang lại hiệu quả cao trong giảng dạy, đặc biệt với đ ối t ượng
học sinh có học lực trung bình, yếu môn Toán.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là một phương pháp dùng đ ại
số và giải tích để giải các bài toán hình học phẳng. Đây là ph ần ki ến th ức
mới, được đưa vào nội dung môn Hình học lớp 10 nên đa s ố h ọc sinh còn
gặp nhiều lúng túng khi tiếp cận phương pháp giải toán này, nhất là những
học sinh có học lực trung bình, yếu.
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng có thể coi là bước đệm để học
sinh để học sinh có thể tiếp thu tốt nội dung phương pháp tọa độ trong
không gian, một mảng kiến thức quan trọng ở chương trình Hình h ọc l ớp
12. Vì vậy, việc tìm ra giải pháp giúp học sinh (đặc bi ệt là h ọc sinh có h ọc
lực trung bình hoặc yếu) nắm được kiến thức cơ bản và kỹ năng gi ải các

bài toán tọa độ là một việc thực sự cần thiết.
Trường THPT Thường Xuân 2 đóng trên địa bàn mi ền núi, v ới đa s ố
học sinh là con em dân tộc Thái, Mường, còn nhiều hạn chế trong vi ệc ti ếp
thu kiến thức, đặc biệt là kiến thức của các môn đòi hỏi khả năng t ư duy
trừu tượng như môn Toán. Đại đa số các em đều có học lực môn Toán là
trung bình, yếu. Với đặc điểm như trên, để cải thiện chất lượng môn Toán
cho đối tượng học sinh đại trà, chúng tôi thường tập trung vào giúp các em
nắm vững kiến thức và giải thành thạo các bài toán cơ bản.

1


Từ những lí do trên, tôi chọn đề tài: “ Một số giải pháp giúp h ọc sinh
trường THPT Thường Xuân 2 giải bài toán lập phương trình đ ường th ẳng
trong mặt phẳng tọa độ Oxy”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung các định nghĩa phương trình tham số, phương
trình tổng quát của đường thẳng, từ đó để phân dạng các bài toán l ập
phương trình đường thẳng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là:
- Phân dạng các bài toán cơ bản về lập phương trình đường th ẳng,
nhằm giúp đối tượng học sinh có học lực trung bình, yếu nắm vững kiến
thức và kỹ năng giải bài toán dạng này.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu, sách tham
khảo liên quan đến phương trình đường thẳng trong mặt phẳng, nghiên
cứu chương trình giáo khoa của bộ môn.
- Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy và học giúp
học sinh nhận dạng và biết cách lập phương trình đường thẳng trong mặt

phẳng.
- Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy và kiểm tra khả
năng
ứng dụng của học sinh nhằm minh chứng cho hiệu quả của việc sử dụng
các giải
pháp.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của Bộ giáo d ục
và đào tạo, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người
thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra
các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần
truyền thụ.
Toán học là một môn học đòi hỏi ở người học khả năng tư duy và
logic. Một trong những hoạt động cơ bản của học sinh trong h ọc t ập môn
Toán ở trường phổ thông là hoạt động giải toán. Thực tiễn dạy học lâu nay
ở nước ta, theo nội dung, chương trình và SGK đã ban hành, hoạt động học
và giải toán của học sinh đối tượng trung bình, yếu cơ bản diễn ra theo
trình tự: quan sát, tiếp thu kiến thức; làm bài có sự hướng dẫn; tự làm theo
mẫu; độc lập làm bài.
Bài toán lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng là ph ần
kiến thức rất đa dạng, phong phú. Đây là phần kiến thức học sinh mới được
làm quen nên không tránh khỏi những bỡ ngỡ. Kiến thức, bài tập ở SGK
tương đối dễ với đối tượng học sinh khá, giỏi, nhưng đối với học sinh trung
bình, yếu thì
2


khá khó khăn trong việc phân biệt các dạng toán và sử dụng cách gi ải phù
hợp.

Do đó, tôi luôn muốn tìm ra phương pháp dạy hiệu quả cho đối tượng
học sinh có học lực trung bình, yếu; một phương pháp học đơn giản giúp
học sinh tiếp thu kiến thức dễ dàng và thấy hứng thú khi học.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng sáng ki ến
kinh nghiệm
Lượng kiến thức về phần phương trình đường thẳng trình bày trong
sách giáo khoa Hình học 10 tương đối nhiều, bài tập đa dạng. Tuy nhiên, các
ví dụ minh họa chủ yếu ở mức độ nhận biết, thông hiểu trong khi nhiều bài
tập lại đòi hỏi ở mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao. Qua th ực t ế gi ảng
dạy trực tiếp ở các lớp đại trà, tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này
học sinh có học lực trung bình, yếu thường bị lúng túng khi xác định các yếu
tố để lập phương trình đường thẳng như: vectơ chỉ phương, vectơ pháp
tuyến, điểm thuộc đường thẳng, quan hệ vuông góc, quan hệ song song,
….dẫn đến lập
không chính xác phương trình các đường thẳng. Cụ thể, năm học 2018-2019
khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, tôi cho học sinh lớp 10C2 làm bài
khảo sát, kết quả như sau:
Lớp

Sĩ số Giỏi
SL
10C2 45
4

TL(%)
8.9

Khá
TB
SL

TL(%) SL
15
33.3
14

Yếu
TL(%) SL
31.1
12

TL(%)
26.7

Xuất phát từ thực tế đó, trong năm học 2019-2020 tôi đã tiến hành
đổi mới cách dạy nội dung này tại lớp 10C3 (có chất lượngmôn Toán t ương
đương với lớp 10C2 trong năm học trước).
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Như tôi đã nói ở trên, hoạt động học và giải toán của học sinh đ ối
tượng trung bình, yếu cơ bản diễn ra theo trình tự: quan sát, ti ếp thu ki ến
thức; làm bài có sự hướng dẫn; tự làm theo mẫu; độc lập làm bài.Vì vậy, đ ể
giúp học sinh có học lực môn Toán ở mức trung bình, yếu có th ể gi ải đ ược
bài toán lập phương trình đường thẳng tôi đã thực hiện các giải pháp sau:
2.3.1. Giải pháp 1: Hệ thống các kiến thức cơ bản về ph ương trình
đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy a. Phương trình tham số
của đường thẳng:
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x0; y0), có vectơ chỉ
phương có phương trình tham số có dạng:

{x= x +u
0

1

t

u⃗=(u1;u2)

( t ∈

R) y= y0+u2 t

Nhận xét 1: Muốn viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta
cần biết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường
thẳng đó.


3


b. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:
ax+by+c=0, với a2+ b2≠0.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x0; y0), có vectơ pháp tuyến n⃗=( a;b)
, có phương trình tổng quát dạng:
a( x− x0)+ b( y− y0)=0.
Nhận xét 2: Muốn viết phương trình tổng quát của đường thẳng ta
cần biết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ pháp tuyến của đường
thẳng đó.
c. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox tại điểm A( a;0) và cắt trục Oy tại

điểm
B( 0;b), với a≠0,b≠0, thì đường thẳng ∆ có phương trình dạng:
x
y
a +b =1

d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
∆ :a x b y c 0

Cho hai đường thẳng 1 1 + 1 + 1=
∆2:a2 x+b2 y+c2=0
a1 x+ b1 y+ c1= 0
Xét hệ phương trình:

{a

2

x+ b2 y+ c2=0

(*)

Khi đó:
- ∆1,∆2 song song với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (*) vô nghiệm.
- ∆1,∆2 cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (*) có nghiệm duy nhất.
- ∆1,∆2 trùng nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (*) vô số nghiệm.
Nhận xét 3:
- Hai đường thẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của
đường thẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ng ược
lại.

- Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì hai vectơ pháp tuyến
của chúng cũng vuông góc với nhau.
e. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng

∆ :a x+b y+ c =0
1

1

1

1

∆2:a2 x+b2 y+c2=0
Góc giữa hai đường thẳng ∆1,∆2 được xác định bằng công thức:

cos( ∆ ,∆ )=

1

|a1 a2+b1 b2|
2

√a21+b21√a22+b22

Nhận xét 4:
- Góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ
pháp tuyến ( hoặc góc giữa hai vectơ chỉ phương )của hai đường thẳng đó.
f. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đ ường th ẳng

Cho đường thẳng ∆ có phương trình: ax+by+c=0, với a2+ b2≠0.
4


Khoảng cách từ điểm M ( x0; y0) đến đường thẳng ∆ được xác định
bởi công thức:
d ( M0 ,∆)= |ax 0+b y0+ c|

√a2+b2

2.3.2. Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân dạng và tìm cách gi ải
cho bài toán lập phương trình đường thẳng trong m ặt ph ẳng t ọa đ ộ
Oxy a. Lập phương trình tham số của đường thẳng
Phương pháp giải:
⃗=
- Tìm vectơ chỉ phương (VTCP) u (u1;u2) của đường thẳng ∆; - Tìm
một điểm M ( x0; y0) thuộc ∆;

- Phương trình tham số của ∆ là:

{x= x +u t ( t ∈ R)
0

1

y= y0+u2 t

Dạng a1: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x0;
y0), có vectơ chỉ phương u⃗=(u1;u2).
x= x +u t

Ptts ∆ có dạng:
0
1 ( t ∈ R)
{y= y +u t
Dạng a2: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x0;
0

2

y0)

, có vectơ pháp tuyến n⃗=( a;b)
. Cách giải:
+ Tìm VTCP: u⃗=(−b;a) hoặc u⃗=( b ;− a).
+ Lập ptts ∆ như dạng a1.
Dạng a3: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x0;
y0)

, có hệ số góc
k . Cách giải:
+ Tìm VTCP: u⃗=( 1; k).
+ Lập ptts ∆ như dạng a1
Dạng a4: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm
A( xA ; yA) và B( xB ; yB).
Cách giải:
x −x ;y −y
⃗
+ Tìm VTCP:
A
( B

B
) hoặc
+ Lập ptts ∆ như dạng a1.
b. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ pháp tuyến (VTPT) n⃗=( a;b) của đường thẳng ∆;
- Tìm một điểm M ( x0; y0) thuộc ∆;
- Lập phương trình ∆ theo công thức: a( x− x0)+ b( y− y0)=0
- Biến đổi phương trình ∆ về dạng: ax+by+c=0
Dạng b1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm
M ( x0; y0), có vectơ pháp tuyến n⃗=( a;b) .
Cách giải:
+ Phương trình tổng quát ∆ có dạng:
u⃗= AB=

A

u⃗=BA

5


a( x− x0)+ b( y− y0)=0
⇔ ax+by+c=0 , với c=−a x0−b y0 .

Dạng b2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M
( x0; y0), có vectơ chỉ phương u⃗=( a;b) .
Cách giải:
+ Tìm VTPT: n⃗=(−b;a) hoặc n⃗=( b;−a).
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.

Dạng b3: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M
( x0; y0), có hệ số góc k .
Cách giải:
+ Tìm VTCP u⃗=( 1; k), suy ra VTPT n⃗=(−k ;1)
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Dạng b4: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm
A( xA ; yA), B( xB ; yB)
Cách giải:
+ Tìm VTCP:

∆

⃗

.

( B − x A B − y A ) hoặc u⃗=BA , từ đó suy ra VTPT của
⃗
;y

u⃗= AB=x

+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Chú ý: Nếu đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A( a;0) và B( 0;b), với a≠0,b≠0 thì
đường thẳng ∆ có phương trình dạng:
x
y
a +b =1
∆ đi qua điểm
Dạng b5: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng

M ( x0; y0) và song song với đường thẳng d: ax+by+c=0.
Cách giải:
+ Tìm VTPT của ∆: do ∆/ ¿ d nên n⃗∆=n⃗d=( a; b).
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
∆ đi qua điểm
Dạng b6: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng
M ( x0; y0) và vuông góc với đường thẳng d: ax+by+c=0.
Cách giải:
+ Tìm VTPT của ∆: do ∆⊥ d nên n⃗∆=u⃗d=(−b; a).
+ Lập pttq ∆ như dạng b1.
Dạng b7: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là đường phân
giác
của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau
∆2:a2 x+b2 y+c2=0.

∆ ,∆
1

, biết

2

∆ :a x+b y+ c =0
1

1

1

1

và

Cách giải:
+ Giả sử điểm M ( x ; y) thuộc đường thẳng ∆, do ∆ đường phân giác
của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆1,∆2 nên ta có:
d ( M ,∆1)= d( M ,∆2)
⇔ |a1 x+b1 y+c1|=|a2 x+b2 y+ c2|
√

a12+b21√a22+b22

6


⇔

a x+ b y+ c
1

1

2

√ a 1+b

=±

1

a x+b y+ c
2

2

2

√a22+b2221

Từ đó suy ra lập được phương trình của hai đường phân giác của
góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1,∆2.
Dạng b8: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là tập hợp các
điểm
M cách đều hai đường thẳng song song

∆ ,∆

∆2:ax+by+ c2= 0, c1≠ c2.

1

, với

2

∆ :ax+by+ c = 0
1

1

và

Cách giải:
+ Do M cách đều hai đường thẳng ∆1,∆2 nên ta có:
d ( M ,∆1)= d( M ,∆2)
⇔ |ax+by+ c1|=|ax+by+ c2|
√

a2+b2√a +b
2

2

⇔ 2ax+2by+c1+ c2=0

Từ đó phương trình ∆: ax+by+

c1+ c2

= 0.

2

c. Chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quát và
ngược lại
c1. Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số:

{x= x +u t ( t ∈ R)
0

1

y= y0+u2 t

Khi đó, ∆ đi qua điểm M ( x0; y0), có VTCP u⃗=(u1;u2) nên ∆ đi qua điểm
M ( x0; y0), có n⃗=(−u2 ;u1), từ đó suy ra phương trình tổng quát của đường
VTPT thẳng ∆
( dạng b1).
c2. Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: ax+by+c=0,
+ + =
Chọn điểm M ( x0; y0) sao cho a x0 b y0 c 0, khi đó ∆ đi qua điểm
M ( x0; y0), có VTCP u⃗=(−b;a), từ đó suy ra phương trình tham số của đường
thẳng ∆ ( dạng a1).
2.3.3. Giải pháp 3: Hướng dẫn học sinh giải các ví dụ minh h ọa về bài
toán lập phương trình đường thẳng trong mặt ph ẳng t ọa đ ộ Oxy
Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình tham số của đường
thẳng ∆, biết:
a) ∆ đi qua điểm A( 2;1) và có VTCP u⃗=( 3;4);
b) ∆ đi qua điểm B(−2;3) và có VTPT n⃗=( 5;1);
c) ∆ đi qua điểm C ( 0;1) và có hệ số góc k=3;
d) ∆ đi qua hai điểm M (3;1) và N ( 2;3).
Hướng dẫn:
HS đọc đề bài để nhận dạng và nêu cách giải.
Lời giải:
a) Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A( 2;1) và có
VTCP u⃗=( 3;4) là:

{x=2+3t ( t ∈ R)
y=1+4 t

7


b) Do ∆ có VTPT n⃗=( 5;1) nên ∆ có VTCP là u⃗=(−1;5).
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm B(−2;3) và có
VTCP u⃗=(−1;5) là:

{x=−2−t (t ∈ R)
y=3+5t

c) Do ∆ có hệ số góc k=3 nên ∆ có VTCP là u⃗=( 1;3).
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm C ( 0;1) và có
VTCP u⃗=( 1;3) là:
x=t

{y=1+3t

( t ∈ R)

d) Do ∆ đi qua hai điểm M (3;1) và N ( 2;3) nên
Phương trình tham số của đường thẳng ∆
VTCP u⃗=(−1;2) là:

{

x=3− t

∆ có VTCP u⃗= MN

⃗

=(−1

;

2).

đi qua điểm M (3;1) và có

( t ∈ R)

y=1+2t

Ví dụ 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình tổng quát của đường
thẳng ∆, biết:
a) ∆ đi qua điểm A( 2;1) và có VTPT n⃗=( 3;4);
b) ∆ đi qua điểm B(−2;3) và có VTCP u⃗=( 5;1);
c) ∆ đi qua điểm C ( 0;1) và có hệ số góc k=3;
d) ∆ đi qua hai điểm M (3;1) và N ( 2;3);
e) ∆ đi qua hai điểm A( 3;0) và B( 0;−2);
f) ∆ đi qua điểm P( 3;4), song song với đường thẳng d :2x− y+ 5=0;
g) ∆ đi qua điểm Q ( 1;−4), vuông góc với đường thẳng d :3 x+2 y= 0;
h) ∆ là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1,∆2, biết
∆ 1:2 x− y+3= 0 và ∆2: 4 x+ 2 y−7= 0.
Hướng dẫn:
HS nhận dạng và nêu cách giải.
Lời giải:

a) PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm A( 2;1) và có VTPT n⃗=( 3;4) là:
3 ( x−2) +4 ( y−1)= 0
⇔ 3 x+ 4 y−10=0
b) Do ∆ có VTCP u⃗=( 5;1) nên ∆ có VTPT là n⃗=(−1;5)
Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm B(−2;3) và có
VTPT n⃗=(−1;5) là:
−1( x+2)+5( y−3)=0
⇔ − x+5 y−17=0

c) Do ∆ có hệ số góc k=3 nên ∆ có VTCP là u⃗=( 1;3), suy ra ∆ có VTPT
n⃗=(−3;1).
8


Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm C ( 0;1) và có
VTPT n⃗=(−3;1) là:
−3( x−0)+1( y−1) =0
⇔ −3 x+ y−1= 0
d) Do ∆ đi qua hai điểm M (3;1) và N ( 2;3) nên
), suy ra ∆ có VTPT n⃗=(−

⃗
⃗ = = (−

u MN

;− ).

1;2

2

∆ có VTCP là

1

Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm M (3;1) và có
VTPT n⃗=(−2;−1) là:
−2( x−3)−1( y−1)=0

⇔ −2 x− y+7=0 .
e) Do ∆ đi qua hai điểm A( 3;0) và B( 0;−2) nên phương trình ∆ có dạng:
x+
−2

y

=1 3

⇔−2 x+ 3 y+6=0

f) Do ∆ song song với đường thẳng d :2x− y+ 5=0 nên ∆ có VTPT
n⃗=⃗nd=( 2;−1).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm P( 3;4) và có
VTPT n⃗=( 2;−1) là:
2 ( x−3)−1( y− 4)=0

⇔ 2 x− y−2=0 .
g) Do ∆ vuông góc với đường thẳng d :3 x+2 y= 0 nên ∆ có VTPT
n⃗=⃗ud=(−2;3).

Khi đó, PTTQ của đường thẳng ∆ đi qua điểm Q ( 1;−4) và có
VTPT n⃗=(−2;3) là:
−2( x−1) +3( y+ 4)=0

⇔ −2 x+3 y+14=0 .
h) Giả sử điểm M ( x ; y) thuộc đường thẳng ∆, do ∆ đường phân giác
của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆1,∆2 nên ta có:
d ( M ,∆1)= d( M ,∆2)
⇔

|2 x− y+3|=|4 x+ 2 y−7|

√22+(−1)2 √42+22
⇔

2 x− y+3=± 4 x+ 2 y−7

√52√5

[

⇔ −4 y+13=0 8
x−1=0

Vậy PTTQ ∆: − 4 y+13=0 hoặc ∆: 8 x−1= 0.
Ví dụ 3: (BT3-sgk-tr93)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm cách đều hai
đường thẳng ∆1:5 x+ 3 y−3= 0 và ∆2:5 x+ 3 y+7=0.
9

Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng song song ∆1,∆2 là một
đường thẳng ∆ song song với ∆1,∆2 ( dạng b8).
Lời giải:
Do điểm M ( x ; y) cách đều hai đường thẳng ∆1,∆2 nên ta có:
d ( M ,∆1)= d( M ,∆2)
⇔ |5 x+3 y−3|=|5 x+3 y+ 7|

√52+32√52+32

⇔ 5 x+3 y+2=0

Vậy tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng ∆1,∆2 là đường
thẳng ∆ có phương trình: 5 x+ 3 y+2=0
Ví dụ 4:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, biết A( 1;4), B( 4;0),
C ( 5;1). Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng:
a) Đường thẳng chứa cạnh BC;
b) Đường trung tuyến AM;
c) Đường cao AH;
d) Đường trung trực của cạnh BC;
e) Đường phân giác trong góc A.
Hướng dẫn:
HS phân tích đề bài, nắm vững các định nghĩa đường trung tuy ến,
đường cao, đường trung trực, đường phân giác từ đó vẽ hình, nhận dạng và
lập phương trình đường thẳng.
a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC (dạng b4).
b) Lập phương trình đường trung tuyến AM (dạng b4).
c) Lập phương trình đường cao AH (dạng b6).

d) Lập phương trình đường trung trực của cạnh BC (dạng b6).
e) Lập phương trình đường phân giác trong góc A (dạng b7).
Lời giải:

a) Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua hai điểm B( 9;−2), C ( 4;0) nên có
VTCP

u⃗=BC

=(− ; ), suy ra VTPT
5

2

.

n⃗=( 2;5)

Phương trình cạnh BC:

2 ( x−9)+5( y+2)= 0

10


⃗
11
u⃗
=
AM

;−1 của BC nên có VTCP
= 2 ;−5 , suy ra VTPT
Phương trình trung tuyến AM:

13
M 2

(

⇔ 2 x+5 y−8= 0 .
Vậy phương trình cạnh BC: 2 x+5 y−8= 0.
b) Đường trung tuyến AM đi qua hai điểm A( 1;4)

)

5 ( x−1) +

(

11
( y− 4)=0
2

)

và trung điểm

(

n⃗= 5;

11

)

2 .

⇔ 10 x+11 y−54=0

Vậy phương trình trung tuyến AM: 10 x+11 y−54=0.
c) Đường cao AH đi qua điểm A( 1;4) và vuông góc với cạnh BC nên có
⃗

.

VTPT n⃗=BC=(−5;2)

Phương trình đường cao AH:

−5( x−1)+2( y−4)= 0

⇔ −5 x+ 2 y−3=0 .
Vậy phương trình đường cao AH: −5 x+ 2 y−3=0.

d) Đường trung trực của cạnh BC đi qua trung điểm M

(

BC

và vuông góc với cạnh BC nên có VTPT n⃗=BC=(−5;2).

(

)

13
2 ;−1 của

⃗

Phương trình đường trung trực của cạnh BC:

)

13
−5 x− 2 + 2( y+1) =0
⇔ −10 x+ 4 y+69=0

Vậy phương trình đường trung trực của cạnh BC: −10 x+ 4 y+69=0.
e) Trước hết, lập phương trình đường phân giác ∆ của góc A, là góc
tạo bởi hai đường thẳng lần lượt chứa cạnh AB và AC.
Tương tự câu a), ta có phương trình cạnh AB: 3 x+ 4 y−19=0 và
phương trình cạnh AC: 4 x+3 y−16= 0
Giả sử điểm P( x; y) thuộc đường thẳng ∆, do ∆ đường phân giác của
góc tạo bởi hai đường thẳng AB , AC nên ta có:
d ( P , AB)= d( P , AC )
⇔ |3 x+4 y−19|=|4 x+3 y−16|

√32+ 42√42+32

⇔ 3 x+ 4 y−19=± 4 x+3 y−16

55

⇔ − x+ y−3=0

Do ∆ là phân giác trong của
[ x+ y−5= 0
góc
A nên hai điểm B ,C phải nằm về hai phía khác nhau so với ∆, vậy phương
trình đường phân giác ∆ cần tìm là: x+ y−5=0.
Ví dụ 5: (BT1-sgk-tr93)


11


Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Biết các đỉnh
A( 5;1) ,C ( 0;6) và phương trình CD: x+2 y−12=0 . Tìm phương trình các đường
thẳng chứa các cạnh còn lại.
Hướng dẫn:
HS vẽ hình, phân tích đề bài, nhận dạng và lập phương trình đường
thẳng.
- Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm A( 5;1) và song song với CD
(dạng b5).
- Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm C ( 0;6) và vuông góc với CD
(dạng b6).
- Đường thẳng chứa cạnh AD đi qua điểm A( 5;1) và vuông góc với CD
(dạng b6).
Lời giải:

+) Đường thẳng chứa cạnh AB song song với CD nên có VTPT:
n

n

⃗AB=⃗

CD=(

1;2

).

Khi đó, PTTQ của đường thẳng AB đi qua điểm A( 5;1) và có
VTPT n⃗AB=( 1;2) là:
1 ( x−5) +2( y−1)= 0

⇔ x+2 y−7= 0 .
+) Đường thẳng chứa cạnh BC vuông góc với CD nên có VTPT
n⃗BC=u⃗CD=(−2;1).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng BC đi qua điểm C( 0;6) và có
VTPT n⃗BC=(−2;1) là:
−2( x−0) +1( y−6)=0

⇔ −2 x+ y−6=0 .
+) Đường thẳng chứa cạnh AD vuông góc với CD nên có VTPT
n⃗AD=⃗uCD=(−2;1).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng AD đi qua điểm A( 5;1) và có
VTPT n⃗AD=(−2;1) là:

−2( x−5) +1( y−1)= 0

⇔ −2 x+ y+ 9=0 .
Ví dụ 6: (BT3.6- Sách BTHH 10-tr131)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, biết phương trình
đường thẳng AB: x−3 y+11=0, đường cao AH :3 x+ 7 y−15= 0, đường cao BH :3
x−5 y+13= 0. Lập phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn l ại của
tam giác.
12


Hướng dẫn:
HS đọc kĩ đề bài , vẽ hình, phân tích, định hướng cách giải.
- Xác định tọa độ điểm A ,B.
- Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm A và vuông góc với đường
cao BH (dạng b6).
- Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm B và vuông góc với đường
cao AH (dạng b6).
Lời giải:

Điểm A là giao của hai đường thẳng
nghiệm của hệ phương trình:

{

x−3 y+11=0 ⇔
y−15=0 y=3

{x=−2

3x+7

AB, AH nên tọa độ điểm A là

⇒ A(−2;3).

Tương tự, điểm B là giao của hai đường thẳng AB, BH nên tọa độ
điểm
B là nghiệm của hệ phương trình:
x−3 y+11=0

{3x−5 y+13=0

⇔

x=4

{y=5

⇒ B(4;5).

Đường thẳng chứa cạnh AC vuông góc với BH:

n

VTPT ⃗AC= ⃗

u

BH=(

5;3

3 x−5 y+13= 0

⇒

).

Khi đó, PTTQ của đường thẳng AC đi qua điểm A(−2;3) và có VTPT
n⃗AC= ( 5;3) là:
5( x+ 2)+ 3( y−3)= 0
⇔ 5 x+ 3 y+1=0 .
Vậy phương trình cạnh AC: 5 x+ 3 y+1=0
Đường thẳng chứa cạnh BC vuông góc với AH: 3 x+ 7 y−15= 0
n u
7;3
VTPT ⃗BC= ⃗AH=(− ).
Khi đó, PTTQ của đường thẳng BC đi qua điểm B( 4;5) và có
VTPT n⃗BC=(−7;3) là:
−7( x− 4) +3( y−5)=0
⇔ −7 x+3 y+ 13=0 .
Vậy phương trình cạnh BC: −7 x+3 y+ 13=0

⇒

Ví dụ 7:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2+
y2−4 x−2 y+3=0. Lập phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ vuông góc với
đường thẳng d : y= x.

Hướng dẫn:
13


giải.

HS đọc kĩ đề bài, vẽ hình, phân tích yêu cầu bài toán, định hướng cách

- Xác định dạng phương trình của ∆.
- Xác định điều kiện để ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C).
Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm A( 2;1), bán kính R=√2.
Do đường thẳng ∆ đường thẳng d : y= x nên VTPT n⃗∆=u⃗d=( 1;1).
Khi đó, ptđt ∆ có dạng: x+ y+c=0.
Mặt khác, ∆ là tiếp tuyến của (C) nên ta có: d( A ,∆)= R

⇔

|2+1+c|

= √2⇔|3+ c|=2

√

12+ 12
⇔

[c=−1
c=−5

Vậy phương trình dường thẳng ∆ là: x+ y−1= 0 hoặc x+ y−5=0.
2.3.4. Giải pháp 4: Giao bài tập về nhà.
Bài 1. Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp
sau:
a) ∆ đi qua điểm A(−5;−2) và có VTCP u⃗=( 4;−3);
b) ∆ đi qua điểm B( 3;0) và có VTPT n⃗=( 2;1);
c) ∆ đi qua điểm C(−3;2) và có hệ số góc k=−2;
d) ∆ đi qua hai điểm M ( √3;1) và N (2+√ 3; 4).
Bài 2. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆, trong các trường
hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm A( 1;1) và có VTPT n⃗=( 3;−2);
b) ∆ đi qua điểm B(−1;−3) và có VTCP u⃗=( 2;−3);
− 1
c) ∆ đi qua điểm C ( 2;−1) và có hệ số góc k= 2 ;
d) ∆ đi qua hai điểm M (3;5) và N (−2;3);
e) ∆ đi qua hai điểm A( 2;0) và B( 0;−3);
f) ∆ đi qua điểm P( 1; 4), song song với đường thẳng d : x−2 y+ 1=0;
g) ∆ đi qua điểm Q ( 5;0) và vuông góc với đường thẳng
d :− 4 x+3 y−1= 0;
h) ∆ là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1,∆2, biết
∆ 1:2 x+ 4 y+7=0 và ∆2: x−2 y−3=0.

14


Bài 3. (BT6-sgk-93) Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo
bởi hai đường thẳng 3 x−4 y+ 12=0 và 12 x+5 y−7=0.
Bài 4. (BT3.5- BTHH10-tr131) Lập phương trình đường thẳng đi qua đi ểm
M (1;2) và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.

Bài 5. Lập phương trình đường thẳng chứa ba cạnh của một tam giác có
trung điểm các cạnh lần lượt là M (−1;0), N ( 4;1), P( 2; 4).
Bài 6. (BT3-sgk-tr80) Cho tam giác ABC, biết A( 1;4), B( 3;−1) và C ( 6;2).
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA.
b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM.
Bài 7. Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x+3 y=0 và 2 x−5 y+
6= 0, một đỉnh của hình bình hành là C(4; 1). Lập phương trình các cạnh còn lại
của hình bình hành.
Bài 8. Biết phương trình hai cạnh của một tam giác là
5 x−2 y+ 6= 0 và
4 x+7 y−21=0 . Lập phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm tam giác
trùng với gốc toạ độ.
Bài 9. Cho tam giác AB có A(−2;1) và các đường cao có phương trình
C

2 x− y+1=0 và x+ y+2=0. Lập phương trình đường trung tuyến qua đỉnh A của tam
giác ABC.

Bài 10.(BT7-sgk-tr99) Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Biết phương trình
của đường thẳng AB, BH và AH lần lượt là 4 x+ y−12=0,5 x−4 y−15= 0 và 2 x+2 y−
9=0. Hãy lập phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao
thứ ba.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo d ục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Như trong phần lí do chọn đề tài đã nêu, sáng kiến kinh nghiệm trình
bày các giải pháp giúp học sinh trường THPT Thường Xuân 2 gi ải bài toán
lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Với tinh th ần
đó, trong quá trình giảng dạy bài toán này tôi thực hiện theo cách hệ thống
kiến thức, phân dạng và định hướng cách giải cho từng dạng, thông qua các
ví dụ được chọn lọc từ dễ đến khó. Từ những bài toán cơ bản học sinh có

thể áp dụng vào giải các bài phức tạp, đòi hỏi nhiều ki ến th ức và kỹ năng
hơn. Khi thực hiện các giải pháp này tại lớp 10C3 (năm học 2019-2020), tôi
nhận thấy:
- Học sinh hứng thú hơn khi giải toán, bởi các kiến thức, kỹ năng mà
các em còn lúng túng, mơ hồ đã được trình bày một cách tường minh, d ễ
hiểu.
- Giờ dạy tránh được tính đơn điệu, nhàm chán theo một lối mòn lâu
nay.
- Học sinh có nhiều thay đổi tích cực về phương pháp học tập và tư
duy giải toán.
Kết quả đó còn được thể hiện rõ rệt qua các bài kiểm tra:
Số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Lớp
HS
SL
TL(%)
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%)


15


10C3

43

6

14

17

39,5

17

39,5

3

7

3. Kết luận và đề
xu
ất
3.1. Kết quả thực hiện đề tài
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy khi chưa áp dụng đề tài vào
giảng dạy, học sinh có học lực môn Toán ở mức trung bình, y ếu g ặp
khá nhiều khó khăn, kể cả giải những bài tập ở dạng cơ bản nhất. Sau
khi triển khai đề tài học sinh đã có thể làm tốt các bài t ập c ơ b ản ở
mức độ thông hiểu và vận dụng, đặc biệt là các bài tập trong sách giáo
khoa. Vì vậy, các em đã thực sự cảm thấy tự tin, hứng thú v ới môn Toán.
Qua khảo sát kết quả học tập của các em cũng có s ự tiến b ộ rõ r ệt.
3.2.
Kiến nghị
a)Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần nghiên cứu, tìm tòi các

phương pháp dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh để mang l ại
hiệu quả cao nhất.
b) Giáo viên cần tăng cường kiểm tra, sửa chữa sai sót cho h ọc
sinh, đồng thời động viên các em khi các em tiến bộ.
c) Giáo viên hướng dẫn cách tự đọc sách của học sinh, động viên
tìm tòi các phương pháp hay, ngắn gọn.
d) Đề tài là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các em h ọc sinh và
thầy cô giáo.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong quá
trình thực hiện việc đổi mới phương pháp dạy học, đề tài không tránh
khỏi những hạn chế. Vì vậy, tôi rất mong sự đóng góp quý báu của b ạn
bè, đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành
cảm ơn.
XÁC
Thanh Hóa, ngày 26 tháng 6
NHẬN
năm
CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
020
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.

Nguyễn Thị Thanh
Huyền

6

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa: Hình học 10.
2. Sách bài tập: Bài tập Hình học 10.
3. Một số tài liệu tham khảo từ trang web: Violet.vn.

17